¿Vas a continuar con lo de la semana pasada? Sí, voy a continuar con dos
cosas que nos quedaron ahí sin aclarar. No sé si viste la plaza, no
viniste. No vi, pero vi hasta la mitad de la cocina. Voy a firmarlo aquí,
por favor. La semana pasada nos quedaron dos dudas sin aclarar, que al
final es lo mismo. No sé si recordáis que estábamos hablando de la
intersección de subespacios vectoriales y habíamos hablado de qué pasaba
cuando era la intersección de un subespacio con otro y los dos eran de
dimensión 1. Y habíamos llegado al punto en el que... A ver si lo
encuentro, volviendo para atrás. No, aquí no lo voy a encontrar porque no
era aquí. Era aquí. Aquí. Aquí fue donde me atasqué yo. Estábamos
calculando la intersección de un subespacio de dimensión 1, r por 1, 0, 1
con un subespacio de dimensión 2 r por 1, 0, 0 más r por 2, 1, 2. ¿Os
acordáis de esto del otro día? ¿Os creísteis? Bueno. Voy a quitar esa
pantalla, ¿vale? Después de esto, seguí contándoos y llegamos al
problema que apareció puesto aquí cuando abrí la pizarra que es uno de
los problemas de examen. Entonces, voy a explicarlo. Voy a explicaros eso
directamente con ese problema. Porque así lo vemos práctico. Vuelvo a
donde estábamos antes, que era aquí. Este es un ejercicio de Saming, que
se repite con mucha frecuencia y donde aparece lo de antes. El ejercicio
decía o dice, considérense los siguientes subespacios vectoriales de R3,
el F1 y el F2. Y cuál de estas cuatro frases o condiciones, o llamarlo
como queráis, se verifica. La primera es que F1 está incluido en F2 y por
lo tanto F1 más F2 es F2. La segunda, que son subespacios independientes.
La tercera, que son suplementarios. Y la cuarta es al revés que la
primera. La primera era que F1 está incluido en F2, la cuarta es que F2
está incluido en F1. Y por lo tanto la suma es igual a F1. Bueno, este
problema planteado igual. Las cuatro opciones las mismas. Lo único que
cambia son los dos subespacios que dan como dato. Y los dos datos aparecen
muchas veces como primera pregunta del examen. Así que tenéis que saber
resolver un problema de estos. Empezamos a hacerlo el otro día. Os dije
que la primera parte era escribir el primer subespacio de la otra forma. Y
es todo esto que hicimos aquí. Y habíamos llegado a que era R por 1, 0, 0
más R por 0, 1, 0. Hasta ahí llegamos el otro día. Bueno, entonces,
ahora. Ya tengo los dos subespacios. Escritos de esta manera. El segundo,
ahora. El segundo porque ya me lo daban. Y el primero porque lo calculé el
otro día. Yo quiero ver cuál de estas cuatro opciones se cumple. Gracias.
Estamos en el problema donde habíamos quedado el otro día. El otro día
habíamos hablado también, y lo vamos a utilizar aquí, de la fórmula de
las dimensiones. ¿Os acordáis de ella? La dimensión de una suma es igual
a la dimensión del primero más la dimensión del segundo menos la
dimensión de la intersección. Vamos a hablar de eso ahora. Vamos a
utilizar eso ahora. Bueno, ¿cómo empezaría a resolver yo este problema
de la forma más sencilla posible? Y os repito que este problema, de la
misma forma, con las mismas cuatro frases, A, B, C y D, aparece muchas
veces. Lo único que cambia son los datos del principio. ¿La dimensión
del primer subespacio cuál es? ¿La dimensión del subespacio F1 cuál es?
Tal como lo hemos calculado. Dos. Tiene dos vectores. Dos. Hasta ahí
habíamos llegado el otro día. La dimensión del segundo subespacio es
uno. Tiene un vector en la base. La dimensión del primero es dos. La
dimensión del segundo es uno. ¿De acuerdo? Bueno, pues el primer paso
para intentar resolver esto es hacer la suma. No hacer la intersección. La
suma. Antes de plantearme cuál de las cuatro opciones es correcta, en un
ejercicio de este tipo, lo primero que tendríais que hacer, si queréis
hacerlo creo que de la forma más fácil posible, es sumarlos. Sumar los
dos subespacios. Una vez que los tenéis escritos así. O sea, una vez que
hicimos... Lo hicimos lo del otro día, que era aquello. A ver si llevo una
página libre. El primer subespacio era... R010 más R001. ¿Era ese? ¿Lo
teníais copiado? ¿Era ese? No. 1 0 0 0 1 A ver. 1 0 0 y el otro... 0 1 0.
Vale. Uy, ¿por qué me sale este color? Y el otro, ¿cuál era? R por 1,
1, 0. Tengo que hacer la suma de los dos. O sea, tengo que hacer eso. A ver
si consigo el net. Y esto explicamos el otro día cómo se hacía. Cómo se
hace la suma de esos tres subespacios. Estamos en R3 y estoy sumando 3. Por
lo tanto, ¿qué puede salir ahí? ¿Qué había que hacer para saber lo
que sale? Esto os lo conté el otro día. Hacerme morir. Y es muy
importante. Ver si son independientes esos tres vectores. Eso es lo primero
que tenéis que hacer. Coger los tres vectores y ver si son independientes
o no. Con el determinante. Bueno, hemos cambiado de color porque no hay
forma de que pinche el negro. Esto vale 0, 0. 0, 0, 0 y 0. Si no me he
confundido, todos los productos valen 0. Por lo tanto, el determinante vale
0. ¿Cómo son esos tres vectores entonces? Dependientes. Si hubiese salido
que son independientes, si hubiese salido que son independientes, ¿cuánto
valdría esta suma? Nada. r3, porque serían tres vectores independientes
de r3, la suma valdría r3, pero no ha salido eso me sale que son
dependientes si son dependientes, eso quiere decir que la suma no es r3,
tiene que ser menos de r3 solo puede ser una cosa, en este tipo de
problemas recordad que esto venía de esto de aquí por una parte que era
un subespacio y esto de aquí por otra vale, cuando el otro día hicimos
ejemplos de este tipo, y aquí me salía que el determinante valía cero y
por lo tanto la suma no es r3 entonces, ¿cuál era el siguiente paso? ver
si dos de ellos independientes o sea, quitar uno había que ver, o había
que encontrar dos que sean independientes, dos de los tres que sean
independientes y, ¿cuáles van a ser los que son independientes siempre en
este tipo de problemas? cuando no ha salido que la suma es r3 los dos que
van a ser independientes van a ser estos dos, obligatoriamente en este tipo
de problemas, en otro tipo de problemas podría salir otra cosa pero en
este tipo, los independientes van a ser estos dos y si no lo creéis y
queréis comprobarlo, hacerlo recordad cómo se comprobaba que este y este
son independientes teníais que comprobar que ninguno era múltiplo del
otro que este no era múltiplo de este, o al revés y es fácil de
comprobar no hay ningún número que multiplicado por este de este y si no,
pensadlo un momento por lo tanto la suma es a lo que íbamos ¿cuánto
vale? ¿cuánto vale esa suma? los dos primeros repito todo esto yo tengo
que sumar los tres Cojo los tres vectores. Escribo el determinante con
ellos. Calculo a ver cuánto sale. Si el determinante no saliese cero, la
suma valdría R3. Como el determinante vale cero, eso quiere decir que
sobra uno. ¿Cuál sobra? El que depende de los otros. Y en este tipo de
problemas, recordad que esto viene de esa pregunta concreta del examen, en
este tipo de problemas, el que va a sobrar, si sobra alguno, siempre es
este, no los otros dos. Y si no lo creéis, comprobadlo. Y la forma de
comprobarlo es ver que este no es múltiplo de este. Por lo tanto,
¿cuánto vale la suma? Estos dos. Quito el otro. Quito el que sobra. La
suma vale R por 1, 0, 0, más R por 0, 1, 0. Bueno, el ejercicio nos pide
que calculeis la suma. No vais a tener que poner el resultado de esta suma
en el ejercicio. Pero necesitamos saber lo que sale la suma. Para saber
cuál de las cuatro opciones es la que vale. Y lo que nos importa aquí de
la suma no es tanto lo que vale, sino la dimensión que tiene. ¿Cuál es
la dimensión de la suma? Dos. Eso es lo que nos importa de verdad. No lo
que sale, sino la dimensión que tiene la suma. La dimensión de la suma es
dos. Vuelvo para atrás un momento a lo que era el ejercicio del examen.
Que era este. Teníamos dos subespacios. ¿Vale? El primero y el segundo.
¿Qué es lo que he hecho hasta ahora? Calcular su suma y ver que su
dimensión es dos. La dimensión de la suma es dos. Con lo cual ya sé que
la dimensión del primero de los subespacios es dos. La dimensión del
segundo de los subespacios es uno. Y la dimensión de la suma es dos. Ahora
es cuando hay que utilizar la fórmula de las dimensiones que os conté el
otro día. Os la recuerdo. La fórmula de las dimensiones era esta. La
dimensión de A más B es igual a la dimensión de A más la dimensión de
B menos la dimensión de la intersección de A y B. En nuestro problema yo
ya sé que la dimensión de la suma vale 2. Que la dimensión del primero
vale 2. Que la dimensión del segundo vale 2. Y lo que no sé es la
dimensión de la intersección. Pues con esa fórmula se calcula. ¿Cuánto
tiene que valer la dimensión de la intersección? 1. De acuerdo todos,
¿no? La dimensión de la intersección tiene que ser 1. ¿Alguien no ve
eso? ¿Qué podría salir aquí? En algunos ejercicios como este. En
algunos ejercicios saldrá 1. Y en otros, os saldrá 0. No hay más
opciones. Si el ejercicio lo ponen parecido al que ponen siempre, os va a
salir siempre 1 o 0. ¿Cuánto saldría 0? ¿Cuándo saldría que la
dimensión de la intersección es 0? Cuando la suma hubiese salido R3. Si
la suma vale R3, la intersección va a salir 0. En este caso, que la suma
no ha salido R3, la dimensión de la intersección es 1. Bueno, ¿y para
qué sirve esto de la dimensión de la intersección? Pues sirve para
empezar a descartar cosas. Esta es la pregunta. El apartado B dice Los dos
subespacios son independientes. Ya sabemos que no. Para que sean
independientes, su intersección tiene que ser el vector nulo. El vector
nulo tiene dimensión cero. Nos ha salido que la dimensión de la
intersección es uno. Por lo tanto, la intersección no puede ser el vector
nulo, así que los subespacios no pueden ser independientes. El apartado B
no vale. ¿Entendéis ese razonamiento? Si la dimensión de la
intersección es uno, entonces los subespacios no pueden ser
independientes. Si no lo entendéis siguiendo los pasos lógicos,
aprenderos eso. Si la dimensión de la intersección es uno, los
subespacios no pueden ser independientes. Es imposible. Para que fuesen
independientes, la dimensión de la intersección tendría que salir cero.
Obligatoriamente. Vale. El apartado B no vale. El C. El C dice que son
subespacios suplementarios. Con lo que sabemos ya, pueden ser
suplementarios. Tampoco. Para que sean suplementarios se tienen que cumplir
dos condiciones. Lo dijimos el otro día. La primera es que sean
independientes. Ella falla. Y la segunda es que su suma sea R3. Que
también falla, porque hemos calculado la suma y no salía R3. Así que no
pueden ser suplementarios. El apartado C tampoco vale. Ni el B ni el C.
Vale. Solo puede ser el A o el D. Y el A y el D en este tipo de ejercicios
siempre son contrarios. El A dice lo contrario que el D. O al revés. El D
lo contrario que el A. El A dice que el primer subespacio está incluido en
el segundo. Y el D dice que el segundo está incluido en el primero. Y
volvemos a las dimensiones otra vez, que es lo más útil. Porque son
números y los números entienden bien. ¿La dimensión del primero cuál
era? Dos. ¿La dimensión del segundo? Uno. ¿cuál es el que está
incluido en cuál? el segundo en el primero el pequeño en el grande no va
a estar incluido el grande en el pequeño pues ¿cuál es la respuesta que
vale? la D ¿lo habéis entendido? vamos a hacer otra igual que esta
recordad esto último que he dicho es muy importante trabajar con las
dimensiones es muy fácil porque las dimensiones son números el 1, el 2,
que los entiende todo el mundo la dimensión nos dice lo grande que es un
subespacio si el ejercicio me está diciendo en el apartado A que el primer
subespacio está incluido en el segundo y resulta que el primero tiene
dimensión 2 y el segundo dimensión 1 ¿cómo va a estar incluido algo que
es más grande en otra cosa que es más pequeña? imposible, así que la
respuesta del apartado A no vale y si no vale la A, ni el B, ni el C la que
vale es la D vamos a otro de este tipo para acabar ya con esto este está
sacado de otro examen y es el mismo tipo de pregunta lo único que cambia
son los dos subespacios del principio y bueno, luego los apartados del
medio que los escribe de otra forma pero significan lo mismo en este caso
el subespacio F1 está formado por los vectores R3 cuya primera coordenada
es 0 y el subespacio F2 es el R por 2, 1, 0 y lo que nos pide es ver cuál
de las cuatro condiciones siguientes se cumplen el apartado A y el D son
los mismos que antes el apartado A dice que F1 está incluido en F2 y el
apartado D dice que F2 está incluido en F1 cambia un poco los dos del
medio el apartado B ahora dice que son subespacios independientes pero no
suplementarios Y el apartado C dice que la suma de los dos es directa. He
traducido a palabras lo que pone aquí. Bueno, ¿por dónde hay que
empezar? Convirtiendo el F1 en un subespacio escrito de la otra forma. A
ver, yo os aconsejo que empecéis así, pero realmente tampoco hace falta
eso. El ejercicio asusta porque se ve tanta historia que asusta un poco.
Pero es facilísimo. Solo tenéis que pensar en dimensiones. Lo importante
son las dimensiones de los dos subespacios. Eso es lo importante, las
dimensiones. Si sois capaces de ver las dimensiones de otra forma, con eso
llegaría. Pero bueno, yo lo voy a hacer siguiendo el mismo orden que
antes. Cojo el F1 y lo escribo de la otra forma. La condición del
subespacio F1 es que la primera coordenada vale cero. Así que un vector de
ese subespacio tiene de primera coordenada un cero. La segunda cualquier
cosa. Y la tercera cualquier cosa. Cero y zeta. Eso es un vector del primer
subespacio. Recordad que este vector, que tiene dos letras, lo tengo que
partir en dos. Cada uno de los dos con una letra. O sea, tengo que hacer
que ese vector sea la suma de dos vectores. Y cada uno de esos dos vectores
se lleve una letra. Y al sumarlos me tiene que dar el de arriba. El primero
se va a llevar la letra i. Y el segundo se va a llevar la letra b. Y el
tercero se va a llevar la letra z. ¿Cuál sería el primer vector? Pues
cero y cero. ¿Y cuál sería el segundo? Cero, cero, zeta. Si sumáis esos
dos sale el de arriba. Sí. Vale, ahora la letra sale para afuera,
convertida en R. ¿Qué me queda en el primero? R por 010 más R por 001.
Ese es el primer subespacio, escrito de la otra forma. Una aclaración a
esto, porque no siempre es tan fácil. Esto parece muy fácil, pero no
siempre es tan fácil. Llegados aquí, habría que comprobar que estos dos
vectores son independientes. Que sí lo son, en este caso. En el caso de
antes también lo eran. Pero podría ocurrir que no lo fueran. Imaginaros
que aquí hubiese salido 010 y aquí hubiese salido 020. 010 y 020 serían
dependientes. Por lo tanto, habría que tachar uno de los dos. Eso lo vimos
en algún ejemplo, no el otro día, el anterior. No suele ocurrir en este
tipo de ejercicios, pero podría pasar. Así que una vez llegados aquí,
tenéis que aseguraros que los dos vectores que han salido, si salen dos,
son independientes. Y si no lo fuesen, tendríais que tachar uno y quedaros
con el otro. No suele pasar, pero puede pasar. Bueno, en este caso, esos
dos vectores son independientes. Porque ninguno es múltiplo del otro. No
podéis coger el primero, multiplicarlo por un número y que salga el
segundo. Es imposible. Por lo tanto, la dimensión del primer subespacio es
2. La dimensión del segundo, este que tenemos aquí, es 1. Estamos, en
principio, en el mismo caso del ejercicio de antes. La dimensión del
primero es 2, la dimensión del segundo es 1. Así que ya puedo descartar
una de las cuatro opciones. ¿Cuál de las cuatro opciones descarto?
recordad que la primera pone que el 1 está incluido en el 2 y la última
pone que el 2, el segundo está incluido en el primero no puede ser que el
primero esté incluido en el segundo porque el primero es de dimensión 2 y
el segundo es de dimensión 1 no puede estar algo más grande incluido en
algo más pequeño así que la opción A es imposible ya la podéis
descartar porque no vale ¿de acuerdo? vale, ahora ¿cuál es el siguiente
paso que hicimos antes? una vez que ya tuve eso hecho ¿qué es lo que hice
después? la suma calcular la suma la suma de eso que me ha salido ahí que
es el primero más esto que es el segundo tengo que sumar el R010 más R001
que corresponde al primero de los subespacios el segundo que es R201 tengo
que ver cuánto sale esa suma no me importa lo que salga la suma lo que me
importa es la dimensión de la suma la dimensión de la suma eso es lo que
vale ¿cómo se sabe eso? pues mirando a ver si esos tres vectores son
independientes o no con el determinante calculo el determinante formado por
esos tres vectores este sale 0 2 0 y 0 creo que lo he hecho bien sale 2
como este no sale 0 recordad que el de antes no salía 0 este no sale 0
como este determinante no sale 0 eso quiere decir que estos tres vectores
son independientes y por lo tanto ¿cuánto vale la suma? R3 esta suma vale
R3 y más que lo que vale lo importante es la dimensión de lo que sale la
dimensión de la suma es 3 porque R3 es de dimensión 3 la dimensión de la
suma es 3 bueno, pues ahora me voy a la fórmula ya no la escribo bueno, la
escribo aquí arriba que tengo sitio la dimensión de la suma de F1 más F2
os la vuelvo a poner es igual a la dimensión de F1 más la dimensión de
F2 menos la dimensión de la intersección de F1 y F2 si sustituís lo que
sabéis ya la dimensión de la suma es 3 la dimensión del primero es 2 la
dimensión del segundo es 1 hay que calcular la dimensión de la
intersección ¿cuánto vale la dimensión de la intersección? 0 la
dimensión de la intersección es 0 para que se cumpla esta fórmula
¿vale? si la dimensión de la intersección es 0 ¿quién es la
intersección? el vector nulo por lo tanto ¿son independientes los
subespacios sí o no? sí para que sean independientes la intersección
tiene que ser el vector nulo que es lo que nos pasa aquí así que estos
dos subespacios son independientes pero resulta que en el apartado B pone
son independientes pero no son suplementarios así que además además de
ver si son independientes tengo que ver si son suplementarios o no son
independientes porque la dimensión de la intersección es 0 ¿son
suplementarios sí o no? con lo que sabemos Para que sean suplementarios se
tienen que cumplir dos condiciones. La primera, que sean independientes,
que ya hemos visto que sí. Y la segunda, que su suma sea R3, que ya hemos
visto que también. Así que son independientes y son suplementarios. Por
lo tanto, el apartado B no vale, porque el apartado B dice que son
independientes pero no son suplementarios. Mentira. Son independientes y
suplementarios. El apartado B no vale. Vamos al apartado C. El apartado C
utiliza ese símbolo de la suma rodeada por un círculo. Ese símbolo
significa suma directa. El apartado C dice que la suma es directa y vale
R3. Pues claro, con todo lo que llevamos, precisamente eso es lo que nos ha
salido. La suma sale R3, ya lo hemos visto. Y es directa porque son
suplementarios. Por lo tanto, las soluciones son diferentes. Pues esa. Ya
podía haberlo visto directamente y saltarle todo el razonamiento del
apartado B. La que vale es la C. Y como la C vale, ya no tenéis que
comprobar la D, porque solo vale una. Y si ha valido la C, no puede valer
la D. Bueno. Buscar más ejercicios de este tipo en los exámenes, que hay
más en exámenes anteriores, y probad a hacerlos a ver si os salen. Son
todos iguales. Lo único que cambia son los dos subespacios del principio.
El esquema que pone es siempre el mismo. Poned un subespacio escrito de una
forma y el otro escrito de la otra. Y las cuatro opciones, la A y la D, son
las mismas siempre. Y las dos del medio cambian, pero al final casi siempre
dice lo mismo. Vale. Probad a hacerlo. Si no os sale alguno, me lo decís
aquí y lo hacemos. ¿Alguna duda más de espacios vectoriales? ¿Qué
decías en ese ejercicio que te podías ahorrar el paso B? ¿Cómo lo
verías antes? Yendo directamente al C. Porque ya sabemos, quiero decir,
antes de todo el razonamiento que hice para el B, ya sabía que el C era
verdad, en parte. La suma ya sabía que era R3. Habría que comprobar que
son suplementarios, además. Que es una parte del apartado mismo. O sea, no
me podía saltar todo el paso B. Bueno, si habéis pillado esto, esto es lo
más complicado del tema 1. Pues empezamos con el 2. El tema 2 se titula
Aplicaciones lineales. Es el más importante en el sentido de que es el que
más vale para el examen. Si buscáis cualquier examen de años anteriores,
del año pasado o de hace dos años, veréis que hay cuatro preguntas por
lo menos del tema 2. El tema 2 es el tema que más preguntas tiene en el
examen. Por lo menos cuatro puntos del examen son de este tema. Este tema,
el segundo, es continuación del primero. Vamos a seguir hablando de
dimensiones y de subespacios. Así que todo lo que hemos razonado aquí nos
vale para el tema 2. Porque luego los siguientes ya son totalmente
distintos y más fáciles. El tema 2 y el tema 1 van juntos, son
continuación. Y seguimos hablando de lo mismo, aunque con palabras nuevas.
Bueno, yo me he hecho aquí un resumen de lo más importante que tenéis
que saber. No da tiempo de contarlo todo. En el libro vienen muchísimas
más cosas aparte de las que os cuento yo. Yo intento deciros lo que veo
que es más importante para los exámenes, pero a lo mejor un año el
profesor, que es el que pone el examen, decide que va a poner preguntas
nuevas y distintas. Eso no se puede prever. Estudiad todo, vamos,
estudiéis todo entero, no solo lo que cuento yo. Vale, empezamos. El tema
se titula aplicaciones lineales, pero lo primero que tenéis que tener
claro es que es una aplicación. Una aplicación se suele representar con
una letra minúscula y transforma vectores de un espacio vectorial en
vectores de otro. Una aplicación es una transformación de vectores de un
espacio vectorial en vectores de otro. Eso se suele decir. Se suele
escribir así. Por ejemplo, yo transformo vectores de R2 en vectores de R3.
La aplicación F de R2 en R3. Se escribe así. Y tengo que decir cómo los
transforma la aplicación. Tengo que decir qué le hace la aplicación a
los vectores de R2 para transformarlos en vectores de R3. Eso se suele
escribir de esta forma. F de XI es igual a 0. XI. Ese podría ser un
ejemplo de aplicación. Bueno, ¿qué significa esto? Primero tenéis que
acostumbraros a estos símbolos porque aparecen constantemente a lo largo
del tema. Esta es la aplicación F que transforma vectores del espacio
vectorial R2 en vectores del espacio vectorial R3. ¿Cómo los transforma?
Pues cada vector XI lo transforma en el vector 0XI. Por ejemplo, al vector
1, 4. ¿En qué vector lo transforma? En el 0, 1, 4. Eso se escribe así. Y
se lee la imagen de 1, 4 es igual a 0, 1, 4. O al revés. El vector 0, 1, 4
es la imagen del vector 1, 4. ¿A quién le llamas imagen? A este. El
vector que sale es la imagen de este. La aplicación del vector tal. F es
la aplicación. La aplicación F al vector 1, 4 lo transforma en el vector
0, 1, 4. Pero eso no se suele decir así. Lo que se suele decir es que la
imagen del vector 0, 1, 4 es el vector 1, 4. En todas las aplicaciones hay
dos espacios vectoriales. Uno al principio y otro al final. Al espacio
vectorial del principio se le llama espacio inicial. En este caso R2 es el
espacio inicial. Y el otro es el espacio final. Espacio inicial, espacio
final. Los dos espacios pueden coincidir. Es decir, podemos tener esta otra
aplicación. La aplicación G del espacio vectorial R2 en el espacio
vectorial R2. Que coge un vector XY y lo transforma en el vector IX. En
este caso el espacio inicial y el espacio final coinciden. Son R2 los dos.
La imagen del vector 2, 3 ¿cuál sería? 3. Esos. Bueno, aplicaciones hay
infinitas. Yo me acabo de inventar estas dos. Y a vosotros os pueden
ocurrir 800.000 más. Otro ejemplo. Podría ser este, la aplicación f de
el espacio R3 en el espacio R2, que coge un vector x y z y lo transforma en
el vector x al cuadrado y al cuadrado. Esa es una aplicación. Por ejemplo,
la imagen del vector 1, 2, 3, ¿cuál sería? 1, 4. El cuadrado de 1, el
cuadrado de 2. 1, 4. 1, 4 es la imagen de 1, 2, 3. O la imagen de 1, 2, 3
es 1, 4. Este es un ejemplo de aplicación, pero no es un ejemplo de los
que vais a estudiar vosotros. Esto es una aplicación, pero vosotros vais a
estudiar en este tema aplicaciones. Aplicaciones lineales, que son un caso
particular de las aplicaciones. ¿Qué es una aplicación lineal y en qué
se distingue de esta, por ejemplo? Bueno, en las aplicaciones lineales no
pueden aparecer cuadrados por ningún sitio, ni cubos, ni multiplicaciones.
O sea, aquí, cuando digo por ningún sitio me refiero a aquí. Aquí, en
una aplicación lineal, las que os entran a vosotros, no pueden aparecer
cuadrados, ni cubos, ni cuartas potencias, ni quintas, ninguna potencia. Ni
raíces cuadradas. Ni cosas extrañas. Ni pueden aparecer productos. No
podría poner, por ejemplo, x por y. O x entre y. Solo pueden aparecer
signos de sumar y de restar. Si aparece algún cuadrado, cubo, raíz
cuadrada, multiplicación, división, eso no es una aplicación lineal. Y
no os entra a vosotros. Por cierto, no lo he dicho, pero es importante que
lo tengáis claro si es que no habéis estudiado esto nunca. La imagen de
un vector solo puede ser una. Un vector no puede tener más de una imagen.
Por ejemplo, el vector 1, 2, 3 tiene de imagen el vector 1, 4, una imagen.
No puede tener dos. No podría salirme dos vectores distintos como imagen
del primero. Eso ya no sería una aplicación, sería otra cosa. En vuestro
libro, y en todos los libros, evidentemente, donde se estudian aplicaciones
lineales, dice que para distinguir las aplicaciones lineales de las que no
lo son, tenéis que saber demostrar que esa aplicación cumple dos
condiciones. En el libro os vienen las dos condiciones y cómo se
demuestran. Yo no voy a entrar en eso porque no he visto que lo pregunten
nunca. A lo mejor algún día lo preguntan. Pero es curioso. Es complicado
de hacer. Así que me salto esa parte. Pero apuntad ahí para estudiarla
vosotros, por si acaso. Las dos condiciones que tiene que cumplir una
aplicación para ser lineal. Buscadlo en el libro y estudiadlo por si
acaso. Yo aquí me la salto porque si no, no llegamos a ningún sitio.
Bueno. Normalmente, me salto esas dos condiciones, ¿vale? Pero
normalmente, la forma más fácil de comprobar si una aplicación es lineal
o no, que no siempre funciona, pero casi siempre, es que en todas las
aplicaciones lineales, en todas, la imagen del vector nulo tiene que ser el
vector nulo. Si eso falla, la aplicación no es lineal. Seguro. Si eso se
cumple... Lo más probable es que sea lineal, pero no del todo. Es decir,
no van a preguntaros esto porque yo no he visto que lo pregunten nunca,
pero imaginaros que os preguntase, ¿esta aplicación es lineal o no? Nunca
he visto que pregunten esto, ¿vale? Pero podrían preguntarlo. Primero,
¿esa aplicación es una aplicación lineal o no? En vuestro libro responde
a esto. Hay varios ejercicios donde intentan explicaros cómo se hace esto.
¿Cómo se hace esto? Bien. Bien con un proceso largo. Para que sea lineal
tiene que cumplir esas dos condiciones de las que yo nos voy a hablar. No
vamos a entrar en eso. Pero hay una forma más fácil de verlo. En este
caso, calculáis la imagen del vector nulo. El vector nulo es el 0,0.
¿Cuánto vale la imagen de 0,0? 1,0,0. ¿Me ha salido el vector nulo? No.
Por lo tanto, esa aplicación no es lineal. Se acabó. Si sí hubiese
salido el vector nulo, o sea, si hubiera salido 0,0,0, eso querría decir
que probablemente la aplicación fuese lineal, pero no seguro del todo.
Pero como no ha salido, entonces seguro que la aplicación no es lineal. Es
imposible. Esta aplicación no es lineal. Si hacéis memoria de hace un
momento, yo os dije que si aquí... aparecían cuadrados, cubos, raíces
cuadradas signos de multiplicar o dividir no era lineal que en las lineales
solo podían aparecer signos de sumar o restar bueno, pues aquí solo
aparecen signos de sumar pero esta no es lineal bueno esto no suelen
preguntar por ello o sea, en todos los ejercicios de este tema os dan una
aplicación que ya os dicen que es lineal y os hacen preguntas de ella
bueno, seguimos en todas las aplicaciones lineales hay dos ideas muy
importantes que luego preguntan por ellas, evidentemente una es el núcleo
de la aplicación y otra es la imagen de la aplicación el núcleo y la
imagen vamos a hablar de qué es una cosa y qué es la otra en todos los
exámenes en todos, aparece una pregunta donde os pregunta por el núcleo o
os pregunta por la imagen o dos preguntas, cada una por una cosa a partir
de ahora todas las aplicaciones que os ponga van a ser lineales ya no
tenéis que andar pensando si lo son o no lo son vamos a suponer que todas
son aplicaciones lineales todas si a lo mejor alguna vez me confundo y
pongo alguna que no pero será por error mío por ejemplo esta este es un
ejemplo de aplicación perdón, me falta una cosa ¿por qué está mal?
¿qué falta aquí? me falta una coordenada más porque el espacio final es
R3 tengo que poner otra coordenada más si no, eso no tendría sentido X0Y
por ejemplo ahora ya estaría bien ¿cuál sería la imagen del vector 1,1?
por ejemplo 1,1 0,1 si no tenéis eso claro pensadlo bien porque entonces
no entenderéis nada de lo siguiente la imagen de un vector cualquiera por
ejemplo 3,7 se calcula sustituyendo allí el 3 es la X y el 7 es la Y
sustituís aquí 0,Y que es un 7 y otra vez Y que es un 7 por lo tanto la
imagen del vector 3,7 es el vector 0,7,7 ¿de acuerdo? bueno el núcleo de
una aplicación es el vector 0,7,7 son o está formado por los vectores del
espacio inicial cuya imagen es el vector nulo todos los vectores del
espacio inicial cuya imagen sea el vector nulo forman el núcleo de la
aplicación esa es la definición de núcleo si yo quiero calcularlo en
esta aplicación una forma de hacerlo sería pensando ¿qué vectores van a
tener de imagen el vector nulo? ¿a alguien se le ocurre alguno? decidme un
vector cuya imagen sea 0,0,0 el 1,0 vamos a comprobarlo tengo que calcular
la imagen del vector 1,0 en este caso la X vale 1 y la Y vale 0 y tengo que
hacer o calcular esto 0,Y,Y resulta que la Y vale 0 Así que, ¿qué me
sale? Pues 0, 0, 0, el vector nulo. Eso quiere decir que el vector 1, 0
está en el núcleo. Es un vector del núcleo, porque su imagen es el
vector nulo. Podéis pensar más, el 2, 0, el 3, 0, el 4, 0, el 5, 0, el 0,
0, todos esos son vectores cuya imagen es el vector nulo, así que todos
están en el núcleo. Bueno, resulta que, aquí volvemos a lo del tema
anterior, el núcleo de una aplicación lineal siempre es un subespacio
vectorial. El núcleo obligatoriamente es un subespacio vectorial. ¿De
quién? Porque aquí hay dos espacios, uno es R2, que es el espacio
inicial, y otro es R3, que es el espacio final. ¿De quién es subespacio
el núcleo? ¿Del inicial o del final? Del inicial. El núcleo siempre
tiene que ser un subespacio. El núcleo es un subespacio del espacio
inicial. Siempre. Esto es muy importante. Y como el núcleo es un
subespacio del espacio inicial, su dimensión, ahora volvemos a las
dimensiones, tiene que ser, como mucho, la del espacio inicial. Como mucho.
Así que en este caso, la dimensión del núcleo, como mucho, tiene que ser
2, pero puede ser menos. Habría que calcularlo. La dimensión del núcleo
va a ser 2. 1 puede ser 0, en este caso. La dimensión del núcleo es 0.
Para que la dimensión de un subespacio sea 0, el subespacio tiene que
estar formado solo por quién? Por el vector nulo. Me acabáis de decir que
el 1,0 está en el núcleo. Por lo tanto, el núcleo ya no está formado
solo por el vector nulo. Así que la dimensión del núcleo, en este caso,
no puede ser 0. Como mucho es 2 y como poco es 1. Más adelante, el
próximo día, veremos cómo calcular eso exactamente. Y por cierto, no lo
he dicho aún, pero el núcleo se escribe con estas letras. Kerr, D-F. Kerr
creo que viene del inglés o del alemán, yo de idiomas no controlo mucho.
Y es la abreviatura de kernel, que debe significar núcleo. Y se suele
escribir así. En algunos libros, y no sé en el vuestro, aquí ya dudo, no
sé cómo lo pone en vuestro libro. Igual lo pone con la palabra núcleo,
directamente. O lo pone así, Kerr, o pone núcleo. Si lo pone así, ya
sabéis que eso significa núcleo. En este caso, en esta aplicación, si os
preguntasen quién es el núcleo, pensando un poco, ya la he quitado, está
en la pantalla anterior, pero ¿qué vectores estaban en el núcleo? Los
que cumplían. ¿Qué? Que i igual a 0. Así que, si tuvieses que escribir
quién es el núcleo, tendrías que escribirlo así. Esta sería una
posible respuesta. El núcleo de esta aplicación es eso. El conjunto
formado por los vectores x y de redón que cumplen que i es 0. Podrías
escribirlo de la otra forma. La otra forma de escribirlo, que es más útil
siempre, sería r por un vector. ¿Por qué vector? ¿Qué vector tendría
que poner ahí? x, no. No podéis poner ninguna letra ahí dentro. 1, 0.
Aquí dentro no podéis poner ninguna letra, solo números. r por 1, 0. Son
dos formas de escribir lo mismo. El núcleo sería esto. Y viéndolo así,
ya está claro que el núcleo tiene dimensión 1 en este caso. La
dimensión del núcleo sería 1. Bueno, más cosas. Os he dicho que,
además del núcleo, hay que hablar de la imagen de una aplicación lineal.
Hay dos cosas muy importantes de una aplicación lineal. Su núcleo, que es
esto, y su imagen. Ya hemos hablado del núcleo, ahora toca la imagen. En
esta aplicación, de R2 en R2, ¿que cumple qué? La imagen de un vector
cualquiera, XI, es igual a 0Y, esa misma. La imagen de esa aplicación es
un conjunto de vectores, igual que el núcleo era un conjunto de vectores,
la imagen también. El núcleo era un conjunto de vectores del espacio
inicial. La imagen es al revés, es un conjunto de vectores del espacio
final. ¿Qué vectores? Pues los que son imagen de alguno. La imagen de la
aplicación está formada por todos los vectores del espacio final que son
imagen de algún vector. Por ejemplo. Si calculáis la imagen del vector
2,3, ¿cuánto sale en este caso? 0,3. ¿Qué vector pertenece a la imagen,
el 2,3 o el 0,3? El 0,3. El 0,3 sería un vector de la imagen, de la
aplicación. La imagen de una aplicación se escribe normalmente con la
abreviatura IM, de imagen. Imagen de XI. Igual que el núcleo era un
subespacio del espacio inicial, la imagen siempre es un subespacio
también, pero del espacio final. La imagen es un subespacio del espacio
final y por lo tanto su dimensión, como mucho, es la del espacio final. En
este ejemplo, la dimensión de la imagen habría que calcularla, pero ya
sabemos que como mucho puede ser 2 y como poco 1. ¿Por qué 1? Porque ya
hemos encontrado un vector de la imagen, el 0,3. Bueno, pues ya sabéis
mucho. Si le dais vueltas a esto y entendéis todo esto, ya casi sabéis
todo el tema. Falta poco. ¿Qué sería lo siguiente? Lo siguiente es que
aprendáis en cada aplicación lineal que yo os dé, que os dé en el
examen, a calcular exactamente quién es el núcleo y quién es la imagen y
cuáles son la dimensión del núcleo y de la imagen. Eso ya. El próximo
día seguimos, ¿vale? Eso lo vamos a hacer el próximo día, pero no hemos
acabado. Vamos a ver más cosas todavía. El próximo día hacemos ya
ejercicios de examen reales aquí con todo esto. Más cosas. Por si vais
estudiando el tema, os van apareciendo más palabras nuevas a lo mejor, os
las cuento. Aplicaciones lineales hay de muchos tipos y por esto también
preguntan en los exámenes. Vamos a ver algunos tipos importantes de
aplicaciones lineales. El primer tipo, que creo que viene en vuestro libro,
son las aplicaciones inyectivas. Las aplicaciones lineales pueden ser
inyectivas o no. Inyectiva, inyectiva. Primero os digo la definición real,
pero que no vale en la práctica. Y luego os digo lo que realmente vale en
la práctica para hacer un ejercicio. Una aplicación lineal es inyectiva
cuando no hay dos vectores que tengan la misma imagen. No puede haber, para
que sea inyectiva, no puede haber dos vectores con la misma imagen. Si los
hay, la aplicación no es inyectiva. Todos los vectores tienen que tener
imágenes distintas. Por ejemplo, la aplicación F de R2 en R2, que cumple
que la imagen de XI es igual a, a ver que me salga, X0. ¿Es inyectiva o no
es inyectiva? Si queréis utilizar esto que os he dicho, que no es lo que
luego vais a usar en los exámenes, en los exámenes se utiliza otra cosa
más fácil. Para ver si es inyectiva. Para ver si es inyectiva o no,
tendríais que pensar. ¿Habrá dos vectores que tengan la misma imagen? Y
si los hay, decidme cuáles. Con que encontréis dos que tengan la misma
imagen, la aplicación ya no es inyectiva. ¿Cómo se calcula la imagen de
un vector? El vector tiene dos coordenadas. La imagen tiene la primera, que
se queda como está, y la segunda, que es C. ¿Alguien me sabe decir dos
vectores que tengan la misma imagen? 1, 0 y 1, 1, por ejemplo. ¿Cuál es
la imagen del vector 1, 0? 1, 0. ¿Y cuál es la imagen del vector 1, 1? 1,
0. ¿Sí o no? He encontrado dos vectores con la misma imagen. Esa
aplicación no es inyectiva. ¿Pero por qué pones la coordenada ahí con
0? ¿Por qué pongo? ¿Por qué pones 1, 0 y luego 1, 1, 0 también? ¿Por
qué pones la segunda coordenada con 0? ¿Aquí o aquí? ¿Te tienes que
basar en alguna condición? No, te pregunto. ¿Aquí, a la izquierda o a la
derecha? Si me dices por qué pongo un 0 a la derecha, lo pongo por esto.
Lo pongo por esto. A la izquierda, porque me los ha dicho él. Pero
podrías haber puesto más. Quiero decir, si aquí buscas la imagen del
vector 1, 17, también vale 1. 0. Con tal de que seáis capaces de
encontrar dos vectores con la misma imagen, ya no hay que hacer más. La
aplicación no es inyectiva. Bueno, este es un ejemplo de aplicación no
inyectiva. Un ejemplo de aplicación inyectiva, y eso ya sería mucho más
complicado de probar así, sería esta. La aplicación G de R2 en R2
también, que cumple que G de XY es igual a IX. Creo que lo he dicho bien.
¿Alguien sabe encontrar dos vectores con la misma imagen? Dime. ¿Quién?
Dime, dime dos. El 1, 1 su imagen es 1, 1. Y el 2, 2 su imagen es 2, 2. No
es la misma. a ver si me estoy explicando tiene que salir lo mismo para los
dos igual que aquí salía lo mismo no cero y no cero y no los hay por
mucho que busquéis no los hay ese es un ejemplo de aplicación que sí es
inyectiva pero claro podríais estar preguntándose ¿pero hasta dónde
tengo que buscar? porque vectores hay infinitos tengo que comprobar los
infinitos eso es imposible así que este método no es práctico para saber
si una aplicación es inyectiva este método es práctico para saber si no
lo es pero no para saber si sí lo es para saberlo hay que hacer otra cosa
el próximo día vamos a hablar de cómo se hace esto más fácil ¿vale?
aplicación inyectiva que os suene y ya por adelantaros algo una
aplicación es inyectiva si su núcleo es el vector nulo esto es lo útil
el próximo día veremos ejemplos de cómo se usa ¿vale? una aplicación
es inyectiva si su núcleo es el vector nulo y si no lo es no es inyectiva
así que ¿qué hay que hacer para saber si una aplicación es inyectiva?
calcular su núcleo y ni siquiera eso para que el núcleo sea el vector
nulo ¿cuál tiene que ser la dimensión del núcleo? cero así que lo que
nos va a interesar solo es calcular la dimensión del núcleo si la
dimensión del núcleo sale cero la aplicación es inyectiva y si no sale
cero no lo es bueno otro tipo de aplicación dependiendo del libro tiene un
nombre u otro en vuestro libro creo que pone suprayectiva pero en otros
libros le llama epinyectiva bueno, suprayectiva creo que viene en vuestro
libro Entender lo que es una aplicación suprayectiva es un poco más
complicado que las inyectivas, pero luego en la práctica es muy fácil.
Una aplicación es suprayectiva si todos los vectores del espacio final,
todos, son imagen de alguno. Si todos los vectores del espacio final son
imagen de alguno, del espacio inicial, claro. Por ejemplo, a ver si lo
pongo bien. No sé qué quería poner, pero nos vale igual el ejemplo.
Pensar en cualquier vector del espacio final, el que os dé la gana. Y
tenéis que pensar al revés. ¿Seríais capaces de encontrar un vector del
espacio inicial cuya imagen sea ese que habéis pensado? Por ejemplo, hago
leo. Yo pienso un vector del espacio final, 7-8. ¿Qué vector del espacio
inicial tiene de imagen 7-8? 7-8-5, por ejemplo. 7-8-7, 7-8-24, muchos,
pero con encontrar uno me llega. O sea, cualquier vector de aquí, del
espacio final, porque yo he puesto el 7-8-5, el 7-8 a boleo, es imagen de
alguno. Eso habría que comprobarlo con todos los vectores del espacio
final, lo cual es imposible. O sea, esto no es práctico. Pero se entiende
bien. Cualquier vector que yo ponga aquí, soy capaz de encontrar de quién
es imagen. Ese es un ejemplo de aplicación subrayectiva. ¿Qué es lo
práctico para las aplicaciones subrayectivas? O sea, ¿cómo se calcula si
una aplicación es subrayectiva o no? ¿Cómo lo vamos a hacer el próximo
día? Para que una aplicación sea su proyectiva, la imagen, acordaros de
la imagen de la que hablamos antes, la imagen tiene que coincidir con el
espacio final. La imagen y el espacio final tienen que coincidir. Y si
habláis en términos de dimensiones, que es más útil, la dimensión de
la imagen tiene que ser igual que la dimensión del espacio final. Bueno,
todo esto lo vamos a repasar el próximo día con ejemplos. Pero ya para
acabar, y para que tengáis todos los nombres. Hemos hablado de
aplicaciones inyectivas y suprayectivas. Si una aplicación es las dos
cosas a la vez, o sea, si una aplicación es inyectiva y suprayectiva a la
vez, entonces la aplicación se llama billectiva. Billectiva. Para que sea
billectiva tiene que ser a la vez inyectiva y suprayectiva. Si falla alguna
de las dos, no es billectiva. Por todos estos nombres preguntan en los
exámenes, así que que os vayan sonando. Más corto. En una aplicación
hay dos espacios, el espacio inicial y el espacio final. Esos dos espacios
pueden coincidir o pueden ser distintos. Yo os he puesto ejemplos con R2 y
R3, y os he puesto ejemplos con R2 y R2. Si coinciden, si el espacio
inicial y el espacio final coinciden, la aplicación se llama endomorfismo.
Endomorfismo. Así que, ¿qué es un endomorfismo? Es una aplicación
lineal donde el espacio inicial y el final son el mismo. Coinciden.
¿Coincide? ¿Es una aplicación? Es una aplicación lineal donde el
espacio inicial y el espacio final coinciden. son el mismo espacio por
ejemplo, esta aplicación sería un endomorfismo f de R2 en R2 que cumple
qué y aquí poner lo que os dé la gana f de xy es igual a ix ahora lo
usé antes ese es un ejemplo de endomorfismo porque el espacio inicial es
R2 y el espacio final es R2 coinciden eso es un endomorfismo vale, y para
acabar el último nombre si una aplicación lineal es un endomorfismo y
además es una aplicación biyectiva si es las dos cosas un endomorfismo y
biyectiva entonces la aplicación lineal se llama automorfismo todos estos
nombres son importantes porque aparecen en los exámenes con frecuencia
así que iros aprendiendo lo que es cada uno para que sea automorfismo
tiene que ser a la vez biyectiva y endomorfismo o sea el espacio inicial y
el espacio final tienen que coincidir y tiene que ser inyectiva y
suprayectiva todo eso para que sea un automorfismo bueno, y aquí paramos
hoy no, R2 R2 es el mismo no puedo poner aquí R2 y aquí R3 esos serían
distintos evidentemente la dimensión será la misma y es R2 y R2 la
dimensión es 2 en los dos lo que no valdría sería R2 y R3 o R3 y R2 vale
si lo quieres llamar así, sí hay una cosa muy importante de la que no
hemos hablado el próximo día vamos a trabajar con ella la matriz asociada
a una aplicación si veis eso en el libro id mirando lo que es matriz
asociada a una aplicación si veis eso en el libro sirve para hacer todos
los ejercicios