¿Qué tal? ¿Cómo vais con aplicaciones? Es fácil este tema, es fácil.
Además es muy previsible porque todos los ejercicios del examen que ponen
en este tema son muy parecidos, siguen el mismo esquema. Luego al final de
hoy o si no el próximo día ya empezamos a hacer ejercicios de examen para
que veáis cómo es esto. El resumen del otro día es lo básico que
tenéis que saber de este tema. Luego hay muchas más cosas, pero yo creo
que os conté casi todo, me faltó algo, que es hablar de la matriz
asociada. De eso no os conté nada el otro día, vamos a empezar por eso
hoy. Os recuerdo que una aplicación lineal coge vectores... ...de un
espacio vectorial y los transforma en vectores de otro espacio vectorial.
Por ejemplo, recordando un poco rápido lo del otro día, una aplicación
lineal F que coja vectores de R3 y los transforma en vectores de R2. Eso se
escribe así. R3 es el espacio inicial de la aplicación y R2 es el espacio
final de la aplicación. Yo ahora tengo que decir, o el ejercicio tendría
que deciros, ¿qué hace exactamente esa aplicación? Un vector cualquiera
de R3, X y Z lo transformaría, por ejemplo, en el vector X más Y coma 0.
Ese es un ejemplo de aplicación lineal. Eso significa que si vosotros
queréis calcular la imagen de un vector, el 1, 3, 5, por ejemplo,
tendríais que utilizar lo que he puesto aquí a la derecha y la primera
coordenada sería x y y, la primera más la segunda, 1 más 3, que es 4. La
segunda coordenada sería un 0 y eso se leería la imagen del vector 1, 3,
5, que es el vector 4, 0. O al revés, el vector 4, 0 es la imagen del
vector 1, 3, 5. En otro ejemplo pusiste, de AR2, pusiste x al cuadrado y
luego y al cuadrado. Ese no era aplicación lineal. Luego os dije que ese
no era un ejemplo de aplicación lineal, era un ejemplo de aplicación,
pero no lineal. No lineal. No, si hay cuadrados, si hay cubos, acuérdate
que lo dijimos el otro día, esos no son aplicaciones lineales. Sí que
puse ese como ejemplo al principio del otro día, uno parecido, pero luego
os dije que ese no era una aplicación lineal. O sea, ese no te va a salir
en ningún examen. De todas las aplicaciones lineales interesan, os
interesa a vosotros porque lo van a pedir dos subespacios vectoriales que
son el núcleo y la imagen de la aplicación. El núcleo siempre es un
subespacio del espacio inicial. En este caso el espacio inicial es R3, así
que el núcleo va a ser un subespacio de R3. Y la imagen va a ser un
subespacio del espacio final, de R2, en este caso. Y en los ejercicios os
van a pedir que los calculeis, que calculeis el núcleo y que calculeis la
imagen. O que calculeis, que digáis, cuáles son las dimensiones del
núcleo y de la imagen. Eso el otro día todavía no os enseñé a hacerlo.
Hoy vamos a ver luego cómo se calcularía exactamente el núcleo y la
imagen. Aunque algo ya os conté y ya podríais ir haciendo algo. Bueno, en
todas las aplicaciones lineales hay una matriz, no hemos llegado todavía
al tema de matrices, con lo cual es curioso que aquí hable de matrices,
cuando en el orden del temario el tema de matrices sería el siguiente.
Pero como ya os conté algo también al principio, el primer día, una
matriz es una colección de números. ¿Tenéis idea de lo que es una
matriz? ¿No? Todos. Bueno, en todas las aplicaciones lineales hay una
matriz que se llama matriz asociada a la aplicación. ¿Y qué es muy
importante? En los exámenes, en el bloque de ejercicios que corresponden a
este tema, a veces os dan como dato la matriz y otras veces os piden que la
calculeis lo primero. Bueno, se llama matriz asociada a la aplicación. Se
suele representar por una letra A mayúscula, pero el nombre es lo de
menos. Y se calcula de la siguiente forma. Tenéis que coger los vectores
de la base canónica del espacio inicial y calcular sus imágenes. Os
recuerdo que la base canónica es, en este caso, del espacio inicial R3, la
formada por los vectores 1, 0, 0, 0, 1, 0, y 0, 0, 1. Los vectores de la
base canónica de R3 serían esos tres. Bueno, pues hay que calcular las
imágenes de esos tres vectores. Los voy a ir escribiendo aquí. la imagen
de 1, 0, 0 hay que calcularla, la imagen de 0, 1, 0 hay que calcularla y la
imagen de 0, 0, 1. En este ejemplo es muy fácil calcular esas imágenes.
Recordad que me tiene que salir un vector con dos componentes, dos
coordenadas. La primera es x más y y la segunda un 0. Así que ¿quién
sería la imagen del 1, 0, 0 en este caso? 1, 0. La imagen del 0, 1, 0
vuelve a ser 1, 0. ¿Y la imagen del 0, 0, 1? 0, 0. Bueno, una vez que
tenéis calculadas las imágenes de todos los vectores de la base canónica
del espacio inicial, los resultados, lo que me ha salido aquí a la
derecha, 1, 0, 1, 0 y 0, 0, los colocáis en la matriz en columnas. Cada
uno de estos resultados es una columna de la matriz. Así que, la matriz,
esta sería la que tiene de primera columna, 1, 0. De segunda columna, en
este caso, otra vez 1, 0. Y de tercera columna, 0, 0. Esa matriz se llama
matriz asociada a la aplicación F. Es la matriz asociada a la aplicación.
Y se calcula así. Bueno, el proceso, os lo repito, es muy fácil. Tenéis
que coger la base canónica del espacio inicial. No os confundáis de
espacio y cogeis el espacio que no es. Del espacio inicial, la base
canónica. En este caso, el espacio inicial es R3. Así que tengo que coger
los vectores de la base canónica de R3, que son el 1, 0, 0, el 0, 1, 0 y
el 0, 0, 1. Y calcular las imágenes de esos tres vectores. Las imágenes
que me han salido aquí, las colocáis en la matriz en columnas. No en
filas, en columnas. La primera imagen es la primera columna, la segunda es
la segunda columna y la tercera es la tercera columna. La matriz que sale
se llama matriz asociada a la aplicación. Muchas veces, una de las
preguntas del examen es calcular esta matriz. Os dan una aplicación y os
piden que la calculeis. No suele ser tan fácil. Nos falta complicarlo un
poco más. Pero a veces es tan fácil. A veces el ejercicio es tan fácil
como esto. No suele ser tan fácil. Bueno, ¿para qué sirve la matriz
asociada? Para muchas cosas. Pero para empezar, sirve para calcular
imágenes. Vamos a ver cómo utilizar, vamos a ver primero, cómo utilizar
la matriz asociada para calcular imágenes. Voy a cambiar de pantalla.
Pasamos a otro ejemplo. Os dan una aplicación de R2 en R3, en este caso. Y
os dicen que la matriz asociada a esa aplicación es esta. La primera
columna, 1, 1, 1. La segunda columna, 0, 1, 0. Y os piden que calculeis la
imagen del vector 3, 5. F de 3, 5. ¿Qué es lo que no os he dado aquí?
Que en todos los ejemplos hasta ahora sí os había dado. Mirad el
anterior. Esto, ¿no? En este ejemplo ya no os doy esto. En sustitución de
esto, os dan la matriz asociada. Que vale lo mismo. Bueno, ¿cómo se
haría entonces esto? ¿Cómo calculo la imagen de un vector utilizando la
matriz? Pues consiste en hacer lo siguiente. La imagen de un vector, en
este caso el 3, 5, se calcula multiplicando la matriz asociada por ese
vector colocado en columna. Hay que multiplicar la matriz asociada por el
vector que os den colocado en columna. No en fila. Y aquí llegamos al
interesante tema de la multiplicación de matrices, que todavía no hemos
tratado. Yo no sé si vosotros ya habéis visto algo de matrices o
recordáis cómo se multiplican matrices. Esto corresponde al tema
siguiente. ¿Os suena cómo se multiplican matrices? Bueno, si no os suena,
de esto no os preocupéis, porque en el tema siguiente lo vamos a ver con
calma, ¿vale? Pero... Fila por columna. consiste en hacer lo siguiente, ir
multiplicando cada fila de la matriz por cada columna de la siguiente. En
este caso la siguiente solo tiene una, así que habría que multiplicar la
fila 1-0 por la columna 3-5, luego la fila 1-1 por la columna 3-5 y por
último la fila 1-0 por la columna 3-5. Cuando digo multiplicando, ¿nunca
habéis hecho una multiplicación de matrices? Sí. A ver, voy a adelantar
algo del tema siguiente, pero es muy importante, así que si ya lo sabéis,
pues mejor. Hay veces que las matrices se pueden multiplicar y hay veces
que no. Lo primero que tendréis que tener claro es si estas dos matrices
se pueden multiplicar. Y no fiaros de que lo digo yo. Lo primero es ver
cuántas filas y columnas tiene cada una de estas matrices. La primera,
aquí hay dos matrices. Esta grande, que es la matriz principal. La
asociada y la otra más pequeña. Esta matriz grande, la matriz asociada,
tiene tres filas y dos columnas. Eso se representaría así. Es una matriz
3x2. Tres filas, dos columnas. Es una matriz de dimensión 3x2. La otra
matriz, la pequeña, la que corresponde al vector, tiene dos filas y una
sola columna. Dos filas, una columna. Sería una matriz 2x1. ¿Entendéis
eso? Para que dos matrices se puedan multiplicar, esto es muy importante.
Para que se puedan multiplicar, el número de columnas de la primera, o sea
este 2, tiene que coincidir con el número de filas de la segunda, ese otro
2. Si esos dos números son distintos, las matrices no se pueden
multiplicar y no podríais seguir. En este caso son iguales, así que sí
se puede. El número de columnas de la primera tiene que coincidir con el
número de filas de la segunda. Si coincide, se pueden multiplicar. Si no
coincide, no. Bueno, en este caso, si coinciden, sí se pueden multiplicar.
Una vez que ya sé que se pueden multiplicar, hay que saber qué va a
salir. Va a salir otra matriz, pero ¿de cuántas filas y de cuántas
columnas? Los dos números que me han quedado. El 3 va a ser el número de
filas del resultado. Y el 1 va a ser el número de columnas del resultado.
Así que va a salir una matriz de tres filas y una columna. Tres por uno.
Repito eso. Tenéis el producto de dos matrices. Para saber si se pueden
multiplicar, el número de columnas de la primera tiene que coincidir con
el de filas de la segunda. Este 2 y este 2. Vale, coinciden en este caso.
Para saber qué matriz va a salir, tenéis que mirar los otros dos
números. El número de filas de la primera, que es un 3, y el número de
columnas de la segunda, que es un 1. Así que el resultado va a ser una
matriz 3 por 1. Tres filas, una columna. ¿Cuántos números hay ahí?
Tres. Voy a poner puntos. Tres números. Tienen que salirme tres números.
Ahora, ¿de dónde saco esos tres números? Pues haciendo lo que os contaba
antes. Hay que ir multiplicando filas por columnas. Filas de la primera por
columnas de la segunda. Empiezo por la primera fila de la primera. Y la
única columna que hay en la segunda. Se multiplica el primer número por
el primer número y el segundo por el segundo. Y los resultados se suman.
¿Os suena eso? Habría que hacer 1 por 3 y 0 por 5. Eso sale 3 y 0.
Sumáis 3 más 0, total 3. El primer número del resultado es un 3. Bueno,
ahora lo cuento un poco deprisa. Cuando empecemos con el tema siguiente
volveremos a hacer esto un poco más despacio. El segundo número del
resultado sería, o saldría, de multiplicar la segunda fila, 1, 1, por la
columna que hay, 3, 5. Se multiplica el 1 por el 3, el otro 1 por el 5 y se
suman los resultados. 3 más 5, total 8. Y el tercer número del resultado
sería de multiplicar la fila 1, 0 por la columna 3, 5. El 1 por el 3 y el
0 por el 5. Eso sale 3. El vector que ha salido, está colocado en columna,
3, 8, 3, es la imagen que me pedían. Así que la imagen de 3, 5 es 3, 8,
3. Bueno, este es un ejemplo de cómo se puede usar la matriz asociada para
calcular imágenes. Si no tenéis otra opción, en todos los ejemplos
anteriores que hicimos el otro día y en el que hicimos antes, había otra
manera de calcular imágenes. Pero en este, solo me han dado la matriz
asociada. Habría que calcularlas así, si os las piden. La matriz asociada
sirve para más cosas. Volvemos a hablar ahora del núcleo y de la imagen.
Resulta que otra de las cosas que se estudian de matrices es su rango, el
rango de una matriz. Y sería muy interesante que ya tuvieseis claro qué
es el rango ahora. Así que vamos a hablar un momento del rango de una
matriz y luego sigo con esto. La de antes era 3, 1 al principio y la
segunda columna ¿qué era? 0, 1, 0. Esa matriz tiene tres filas, dos
columnas. 3 por 2. Es una matriz 3 por 2. El rango de una matriz es el
orden del mayor determinante que podéis encontrar dentro de esa matriz que
no valga 0. A ver, esto parece complicado de pensar pero luego es muy
fácil de hacer. De esta matriz podéis coger números de ella formando
determinantes. Recordad que los determinantes, de esto hablamos al
principio, el primer día, los determinantes tienen que ser el mismo
número de filas y columnas. Bueno, pues pensad en determinantes que
podéis sacar de esta matriz. El mayor de los determinantes, cuando digo el
mayor, el que tenga más números. El mayor de los determinantes que
podáis encontrar en esa matriz es el número de filas y columnas. Que no
valga 0. Su número de filas o de columnas, eso es el rango. Bueno, y
ahora, esta matriz tiene tres filas y dos columnas. El mayor determinante
que podemos encontrar en ella, valga 0 o no, que lo veremos después,
¿cuántas filas y columnas tendrá? Dos. No podemos encontrar aquí un
determinante que tenga tres filas o tres columnas. Así que, según lo que
os he contado, el rango de esta matriz, como mucho, es 2. No puede ser más
de 2. Es decir, el rango de una matriz, como mucho, es el más pequeño de
estos dos números. Número de filas, número de columnas. El más pequeño
de esos dos, como mucho. Puede que sea menos, pero como mucho, en este caso
es dos. Escojo cuatro números de esta matriz, por filas. Por ejemplo, la
primera fila y la segunda fila. Y formo un determinante con ellas, este. Y
se calcula ese determinante. ¿Vale cero o no vale cero? Vale uno, no vale
cero. Lo que vale da igual, lo importante es que sea cero o que no sea
cero. En este caso no es cero. Como he sido capaz de encontrar en esa
matriz un determinante de orden dos. Eso de orden dos quiere decir que
tiene dos filas o dos columnas. He sido capaz de encontrar un determinante
de orden dos que no vale cero. Entonces, el rango de la matriz A es dos.
Rango de A igual a dos. Bueno, ¿entendéis más o menos esto del rango?
Con matrices como esta es muy fácil descubrirlo. Hay que calcular el
rango. Si la matriz es más grande, es más complicado. Esto corresponde al
tema siguiente. Y ahí veremos ejercicios más complicados del rango. Pero
para lo que nos interesa ahora, con esto nos vale. ¿Y si fuera cero? Solo
puede ser cero cuando todos los números de la matriz son ceros. El rango
de una matriz solo puede ser cero si todos los números de la matriz son
cero. Si no, tiene que ser más de cero. Pero puede ser... Puede que haya
un caso de determinante cero y otro de determinante... Ah, tú dices que si
el determinante fuera cero. Claro. Ah, vale, vale. Pensé que me decías
que el rango es cero. El resultado es cero. A ver, por ejemplo. Por
ejemplo, esta otra. la matriz B es parecida 1 menos 1 menos 2, 2 y yo qué
sé 3 menos 3 yo os pido que calculéis el rango de esa matriz vuelve a ser
una matriz de tres filas y dos columnas así que como mucho el rango puede
ser 2 como mucho pero como mucho no quiere decir que sea 2 hay que
encontrar algún determinante de orden 2 que no valga 0 y entonces sería 2
si cogéis las dos primeras filas 1 menos 1 y menos 2, 2 ese determinante
valdría 1 por 2 que es 2 menos menos 2 por menos 1 que también es 2 total
0 así que ese determinante es 0 ¿se acabó? o hay que hacer más hay que
hacer más porque hay más determinantes de orden 2 si el primero me sale 0
tengo que calcular otro y si sale 0 también otro y así hasta que
encuentre alguno que no sea 0 o que acabe con todos en este caso podría
coger la primera fila y la tercera 1 menos 1 y 3 menos 3 y si calculáis
ese sale menos 3 más 3 también vale 0 ¿hay alguno más? segunda fila y
tercera fila el determinante 2 menos 2, 2 y 3 menos 3 si lo calculamos vale
6 menos 6 también vale 0 ¿hay algún determinante más de orden 2 en esa
matriz? no he calculado todos los que hay todos salen 0 ¿cuál es su rango
entonces? no 1 el rango de una matriz solo vale 0 si todos los números de
la matriz son 0 En este caso, desde luego no es 0, tampoco es 2, ¿qué me
queda? 1. El rango es 1. Bueno, volveremos a hablar del rango en el tema
siguiente con ejemplos un poco más complicados que este. Pero para lo que
nos sirve en este tema, con que tengáis una idea de cómo se calcula el
rango en matrices así, no os llega. ¿Por qué es importante el rango de
una matriz? Vuelvo a poneros el ejemplo de antes, que era F de R2. En R3, y
la matriz asociada era la matriz 1, 1, 1. Y luego, ¿cómo era? 0, 1, 0.
Esa aplicación lineal con esa matriz asociada. Ya hemos calculado el rango
de la matriz, y me ha salido que es 2. El rango de A es igual a 2. Bueno,
pues resulta que el rango de la matriz asociada es la dimensión de la
imagen. Aquí vuelve a aparecer la imagen. El rango de la matriz asociada
coincide con la dimensión de la imagen, siempre, en todas las aplicaciones
lineales. Por lo tanto, como yo he calculado el rango de la matriz y me
sale 2, eso quiere decir que la dimensión de la imagen es 2. La dimensión
de la imagen de F es igual a 2. Y si recordáis la fórmula que os puse el
otro día, os puse al final la fórmula de la dimensión del núcleo más
la dimensión de la imagen, ¿vale? Nos puse esta fórmula. No, claro. Pues
os la pongo ahora. En todas las aplicaciones lineales se cumple que, esto
es muy importante, la dimensión del núcleo, o sea, la dimensión del Kerr
de F más la dimensión de la imagen de F es igual a la dimensión del
espacio inicial. La dimensión del núcleo más la dimensión de la imagen
siempre tiene que ser igual a la dimensión del espacio inicial. Esto se
cumple en todas las aplicaciones lineales. Aprenderos esta fórmula, es
fácil de recordar. No os confundáis con lo del espacio inicial y pongáis
en su lugar el espacio final. La suma de las dos dimensiones tiene que ser
igual a la dimensión del espacio inicial. Bueno, vuelvo para atrás, al
ejemplo. Estamos en este ejemplo. ¿Quién es el espacio inicial aquí? R2.
¿Cuál es la dimensión del espacio inicial? 2. 2. Acabo de calcular que
la dimensión de la imagen es 2. Ya sé que la dimensión del espacio
inicial es 2. Por lo tanto, ya podemos saber quién es la dimensión del
núcleo, utilizando esa fórmula. 0. Y por lo tanto, ya sabemos quién es
el núcleo, porque si la dimensión es 0, ¿quién es el núcleo? El vector
nulo. Así que, sencillamente calculando el rango de esta matriz, ya hemos
calculado quién es el núcleo. ¿Y las dos dimensiones? ¿Habéis
entendido esto? Bueno, en muchos de los ejercicios del examen de esta
parque, el próximo día os voy a poner aquí exámenes de otros años con
estos ejercicios y vamos a ir haciéndolos. Hoy si nos da tiempo empezamos
ya con alguno. Pero básicamente si habéis mirado exámenes de otros
años, al principio de que acaba la pregunta número 2 empieza un bloque.
Además es un bloque que siempre es de 4 o de 5 preguntas como mucho, pero
por lo menos de 4 que corresponden a este tema. Entonces empieza ese bloque
con los datos y os dicen que tenéis una aplicación lineal de R3 en R3 o
de R2 en R3, lo que sea. Y os pueden dar, como aquí, la matriz asociada en
algunos exámenes. En otros dan otro dato, pero en algunos dan este. Y
luego a partir de ahí os hacen 4 preguntas. Una pregunta casi siempre es
¿cuál es? La dimensión del núcleo y cuál es la dimensión de la
imagen. Y se hace así, es así de fácil. Otra pregunta puede ser ¿quién
es el núcleo? ¿Quién es la imagen? En este caso ya hemos visto quién es
el núcleo, R2. Y es así de fácil. Es más fácil todavía porque
vosotros ni siquiera tenéis que escribir ningún cálculo porque es tipo
test. Bueno, que esto es muy sencillo porque siempre preguntan lo mismo. Ya
lo veréis. Vamos a ver otro ejemplo de esto. Una pregunta. Sí. El rango
siempre. ¿Siempre coincide con la dimensión de la imagen? Siempre. El
rango de la matriz asociada es la dimensión de la imagen, siempre. Y
acordaros de la fórmula y aprenderla. La dimensión del núcleo más la
dimensión de la imagen es igual a la dimensión del espacio inicial. Otro
ejemplo. Una aplicación de R2 en R2, en la que la matriz asociada, pues la
primera columna es 1,3 y la segunda 1,0, por ejemplo. Vamos a calcular las
dimensiones del núcleo y de la imagen. Se empieza siempre con el rango de
esa matriz. El rango de esa matriz. Esta es una matriz 2x2. Con lo cual el
rango, como mucho, puede ser 2. 0 no es, porque esta matriz tiene números
que no son ceros. Así que el rango o es 1 o es 2. No hay más opciones.
¿Cuándo será 2? Cuando el determinante, porque sólo puedo sacar un
determinante de orden 2 de aquí, no valga 0. Si el determinante de esta
matriz no vale 0, el rango es 2. Y si sí vale 0, el rango es 1. Bueno,
pues se ve a simple vista. Vosotros pensad que en el examen no os van a
pedir los cálculos. A simple vista, ya tendréis que ser capaces de ver
que ese determinante no vale 0. ¿Vale? Menos 3. Lo que vale es lo de
menos. No vais a tener que ponerlo. Lo importante es que no vale 0. Si el
determinante no vale 0, es que el rango de la matriz es 2. El rango de A es
2. Y el rango es la dimensión de la imagen. Así que la dimensión de la
imagen es 2. Así que lo escribo. La dimensión de la imagen de F es igual
a 2. Y ahora, a ver si habéis acabado de entender esto porque es muy
importante. Si la dimensión de la imagen es 2, ¿quién es la imagen? A
ver, pensadlo un momento. Si la dimensión de la imagen es 2, ¿quién es
la imagen? Esto es muy importante y tenéis que tenerlo claro. La imagen es
un subespacio del espacio final, del final. Así que la imagen tiene que
ser un subespacio de R2. Un subespacio quiere decir que como mucho es R2 o
si no es más pequeño. Y para eso, para saberlo, he calculado su imagen.
Me sale que es 2. Perdón, he calculado su dimensión. Me sale que es 2.
¿Cuál es la dimensión del espacio final? 2 también. Si las dimensiones
coinciden, ¿quién es la imagen? R2. ¿Tenéis eso claro o no? Si la
dimensión de la imagen coincide con la dimensión del espacio final, es
que la imagen es el espacio final. No hay otra opción. ¿Por qué? Porque
la dimensión nos dice lo grande que es algo. Si este es igual de grande
que ese, es que tiene que ser el mismo. No sé cómo explicaros esto ya,
pero aprenderlo. Si la dimensión de la imagen coincide con la dimensión
del espacio final, es que la imagen es el espacio final. R2. Así que la
imagen de F es R2. Esto sale muchas veces. Este es el ejemplo fácil. Que
sale muchas veces en los exámenes. Resulta que calculáis la dimensión de
la imagen y os coincide la dimensión de la imagen con la dimensión del
espacio final. Si no tenéis esto claro, os liaréis y empezaréis a
calcular quién es la imagen y perderéis el tiempo, claro, porque la
imagen coincide con el espacio final en ese caso. Bueno, vale, ya tengo que
la imagen es R2. Ahora pasamos al núcleo. Primero se calcula la
dimensión. Si la dimensión de la imagen es 2, utilizando la fórmula que
os puse antes, ¿cuál será la dimensión del núcleo? Cero. Volved a la
fórmula de antes, la dimensión del núcleo, que no sé cuál es, más la
de la imagen, que es 2, tiene que ser la del espacio inicial, que también
es 2. Así que ¿qué número más 2 me da 2? El cero. Por lo tanto, la
dimensión del núcleo es cero. Y si la dimensión de un subespacio es
cero, ¿cuánto vale ese subespacio? El vector nulo. Eso se escribiría
así. El Kerr de F es igual al conjunto formado por el vector nulo. Pues ya
está. Ya tengo las dimensiones, quién es la imagen y quién es el
núcleo. Ya está todo hecho. ¿Quién es el núcleo cero por qué? Por la
fórmula. Por la fórmula que os puse antes. Esta. La vuelvo a poner aquí.
Aprenderla. La dimensión del núcleo más la dimensión de la imagen es
igual a la dimensión del espacio inicial. EI. Pongo EI porque no me entra.
Eso quiere decir espacio inicial. Entonces. En este caso hemos calculado la
de la imagen. Y sale 2. El espacio inicial es R2. Su dimensión es 2. Así
que. ¿Qué número hay que sumarle a 2 para que me salga 2? Cero. La
dimensión del núcleo tiene que ser cero. Bueno, una pregunta del examen,
en el 90%, 95% de todos los exámenes, siempre es calcular la dimensión de
la imagen y del núcleo. ¿Cómo se calcula? Primero la matriz asociada. El
rango de la matriz asociada. El rango de la matriz asociada ya es la
dimensión de la imagen, ya está hecho. Y la dimensión del núcleo con
esta fórmula. Y ya tenéis un punto. Se tarda un minuto. En cuanto cojáis
algo de práctica se tarda un minuto en hacer eso. Vamos a hacer otro más.
Uno más complicado. De R3 en R3. Estoy intentando buscar uno más
complicado en los exámenes y no lo encuentro. Lo sabía porque recuerdo
haberlos visto. Pero en todos los exámenes que tengo aquí... No hay
ninguno tan complicado. No hay ninguno de R3 en R3. Los hay y los pueden
poner, porque recuerdo haberlos visto. Pero aquí no los tengo. Me lo
invento. La matriz asociada es la matriz, os lo digo por filas. 1, 0, menos
2. 2, 1, 1. 3, 1, menos 1. Esos serían los datos. Estos datos os dan una
aplicación de R3 en R3 y os dicen su matriz asociada. Y la pregunta
sería, ¿quiénes son las dimensiones? El núcleo y de la imagen. Y si se
puede, calcular la imagen y el núcleo. Si se puede. Digo si se puede
porque todavía me falta por contaros exactamente cómo se calcula la
imagen y el núcleo en casos complicados. Pero la dimensión es haciendo lo
mismo que hemos hecho en los ejemplos de antes. Hay que empezar con el
rango de la matriz asociada. En este caso es una matriz 3x3, de 3 filas, 3
columnas. Por lo tanto su rango puede ser 3. Por eso este ejemplo es más
complicado. El rango puede ser 3, como mucho. Y si no es 3, es menos. O sea
que el rango o es 1, o es 2, o es 3. ¿Cómo se procede para saber cuál es
el rango? 1, 2 o 3. Pues hay que empezar siempre probando por el más
grande, por el 3. En este caso. Calculando algún determinado. A ver si
encuentro algún determinante de esa matriz de orden 3 que no valga 0.
¿Cuántos determinantes de orden 3 tiene esta matriz? 1, el formado por
todos sus números. Así que habría que empezar calculando ese
determinante. ¿Tenéis claro ya cómo se calcula eso? Muy importante.
Habría que multiplicar 1 por 1 por menos 1, que sale menos 1. Luego 0 por
1 por 3, que sale 0. Después 2 por 1 por menos 2, que sale menos 4. A
continuación, menos menos 2 por 1 por 3, eso me queda más 6. Después
menos 0 por 2 por menos 1, que sale 0. Y por último, menos 1 por 1 por 1,
menos 1. Son 6 productos de números. De 3 números cada producto.
Acordaros cómo iba eso. Y ahora al final hay que sumar todo esto. Menos 1
y menos 4 son menos 5, y 6 es 1, y menos 1, 0. Si no hubiese salido 0,
sería muy difícil. Muy fácil. Como sale 0, ¿eso qué quiere decir? Que
el rango no es 3. El que salga 0, lo único que nos dice es que el rango no
es 3. O sea, o es 2 o es 1. Que nadie conteste ya automáticamente que es 2
o que es 1, porque todavía no lo sabemos. Lo que nos dice que este salga 0
es que el rango no es 3. Ahora hay que ver si es 2 o si es 1. ¿Entendéis
eso? Vale. Si ya he descartado la opción del 3, ahora hay que pasar a la
opción del 2. Nunca se pasa a la del 1. Se va bajando. Ahora tengo que ver
si el rango es 2. Para que sea 2, yo tengo que ser capaz de encontrar
algún determinante de orden 2, o sea, dos filas, dos columnas, dentro de
esa matriz que no valga 0. Y hay muchas opciones. Pues, hay que probar.
Empiezo por ese. Y ya a simple vista se ve que no va a salir cero. Ese
determinante va a valer uno. ¿Lo tenéis claro? Por lo tanto, ¿cuál es
el rango de la matriz? Dos. El rango de esa matriz es dos. Porque he
encontrado un determinante de dos filas, dos columnas, que no vale cero. El
rango de la matriz es dos. Y el rango de la matriz coincide con la
dimensión de la imagen, que es lo que os van a preguntar a vosotros.
¿Cuál es la dimensión de la imagen? Pues dos. ¿La imagen entonces es
R3? No. Para que fuese R3, la dimensión de la imagen tendría que haber
salido tres. Como no ha salido tres, la imagen no es R3. Todavía no
sabréis calcularla. Yo no os lo he explicado. Eso el próximo día. Vamos
a la dimensión del núcleo ahora. Utilizando la fórmula, la dimensión
del núcleo más la dimensión de la imagen es igual a la dimensión del
espacio inicial, ¿cuál será la dimensión del núcleo? Uno. Pues ya
tengo. Una pregunta, un punto del examen. En el examen siempre preguntan...
Tengo alguno por aquí. Pregunta 4 de este examen. Este es un examen del
2011, este primero que tengo aquí. La pregunta 4 dice... Las dimensiones
respectivas de los subespacios vectoriales, núcleo e imagen son...
Apartado A, 1 y 2. Apartado B, 2 y 1. Apartado C, 0 y 3. Apartado D, 3 y 0.
Y vosotros tenéis que elegir la que vale. En este caso, 1 y 2. Os prometo
que en el 95% de los exámenes siempre aparece esta pregunta. Y se hace
así. Hay más formas de hacerlo, ¿eh? Si miráis el libro, en el libro os
lo explica de 100.000 formas distintas. Yo creo que esta es la más fácil.
No, no he encontrado ninguna más fácil. ¿Alguna duda de todo esto?
Bueno, después... Sí. En la fórmula, ¿lo último qué es? Inicial. Os
lo he dicho bien, ¿no? Inicial. Me has hecho dudar en un momento. Vosotros
que lo habréis estudiado ya, es la dimensión del espacio inicial. A ver
si os lo estoy diciendo al revés. A ver, los que habéis estudiado ya todo
este tema en el libro... Es inicial, ¿verdad? Sí, sí. Vale. Lo
comprobaré al llegar a casa. Si os lo estoy diciendo al revés, os mando
un correo a todos en el foro diciendo que lo he dicho al revés. Pero creo
que lo he dicho bien. Bien. Inicial. Dimensión del núcleo más dimensión
de la imagen es igual a dimensión del espacio inicial. Vale. Miradlo en el
libro vosotros al llegar. No, yo me confundo, ¿eh? A veces. No os fíéis
de todo lo que digo yo. Que me confundo muchas veces. Yo creo que lo he
dicho bien. Bueno. Pues... Pues como nos queda tiempo y esto ya está,
vamos a empezar con la segunda parte. La primera parte es calcular las
dimensiones. Ya está. Siempre se hace igual. La segunda parte es calcular
quién es la imagen, quién es el núcleo, quién es una base de la imagen,
quién es una base del núcleo. Siempre preguntan por algo de eso. O por
todo. Vamos a ir viendo cómo se hace eso con calma. No vamos a tiempo hoy
de ver todo, pero empezamos. Empiezo con un ejemplo más fácil. La
aplicación que os puse antes, que era más sencilla, FDR2NR3, creo que era
la matriz asociada, la primera columna 1, 1, 1 y la segunda 0, 1, 0. Una
pregunta del examen sería calcular las dimensiones de imagen en el
núcleo. Otra pregunta sería, ¿quién es la imagen, quién es el núcleo?
No lo van a preguntar así, son preguntas de tipo test. Entonces os van a
decir, la imagen vale, y os darán cuatro opciones. Y vosotros tenéis que
decir cuál es la correcta. El núcleo vale, y vosotros tenéis que decir
cuál es la opción correcta. Os lo ponen más fácil todavía, porque ya
en las opciones os dan pistas. Bueno, ¿por dónde se empieza? Calculando
el núcleo o calculando la imagen. Se puede hacer de las dos formas. Bueno,
yo creo que es más fácil empezar calculando la imagen, siempre. Ya hemos
calculado las dimensiones. Lo primero son las dimensiones, como lo de
antes. Os recuerdo que en este ejemplo la dimensión de la imagen era 2, me
parece que había salido, ¿no? O no os puse este ejemplo. Este ejemplo lo
habíamos hecho. ¿Y quién salía? ¿La dimensión de la imagen quién
era? Dos. ¿La dimensión de la imagen? Dos. ¿Y la dimensión del núcleo?
Cero, ¿no? Eso es lo que nos había salido. Se empieza por ahí,
calculando las dimensiones. Y ahora, una vez que tenéis las dimensiones,
el siguiente paso es calcular la imagen. ¿Cómo se calcula la imagen? La
imagen se calcula utilizando la matriz asociada. De la siguiente forma. A
ver, ¿os he puesto bien esto? Ya me he bloqueado con lo de la duda de
antes y me atasqué. Vale. Está bien. La imagen se calcula utilizando la
matriz asociada. Las columnas de la matriz asociada. Recordad que cada
columna de la matriz asociada, os lo conté al principio, es la imagen de
un vector de la base canónica. La primera columna, 1, 1, 1, sería la
imagen, ¿la imagen de quién? ¿Quién es 1, 1, 1? ¿La imagen de quién?
La primera columna, 1, 1, 1, es la imagen de qué vector? Del primer vector
de la base canónica, de R2. ¿Quién es el primer vector de la base
canónica de R2? 1, 0. 1, 1, 1 sería la imagen del vector 1, 0. Y la
segunda columna, 0, 1, 0, sería la imagen del segundo vector de la base
canónica, T01. Acordaros de eso. La matriz asociada es eso. La primera
columna es la imagen del primer vector de la base canónica. Esto es lo que
dijimos al principio de la clase de hoy. Y la segunda columna es la imagen
del segundo vector de la base canónica. No suelen preguntar por eso. Pero
acordaros. Bueno, pues vosotros tenéis que pensar que cada columna es un
vector. Entonces, la imagen está generada por esos vectores que son las
columnas. O sea, en el caso más sencillo posible, hay que comprobar si
esto que voy a poner es verdad o no. En el caso más sencillo posible, esto
que voy a poner ya sería verdad y ya estaría acabado el cálculo de la
imagen. La imagen sería R por el primer vector, o sea, la primera columna,
1, 1, 1, más R por el segundo vector, 0, 1, 0. Bien, si tenemos suerte,
esa es la imagen. ¿Cuándo tenemos suerte? ¿Cuándo pasa qué? ¿Cuándo
eso es verdad? Ya hicimos ejercicios parecidos a este en el tema anterior.
Cuando los dos vectores que hay ahí son independientes. Si los vectores
que aparecen ahí son independientes, el ejercicio está acabado, la imagen
es eso. Si son dependientes, ¿qué habría que hacer? Quitar uno. Uno
cualquiera de los dos. Bueno, estos dos vectores, el 1, 1, 1 y el 0, 1, 0,
¿son dependientes o independientes? Independientes. Además, si miráis lo
que tenemos arriba, la dimensión de la imagen, eso ya nos dice que son
independientes. Porque si la dimensión de la imagen es 2, ¿cuántos
vectores tienen que aparecer ahí? Dos. Así que tienen que ser
independientes. Independientes. Ya ni siquiera habría que comprobarlo.
Pues ya tenéis la imagen. En el examen, en la pregunta donde os pidan
quién es la imagen, pueden preguntar lo más complicado. En algún examen
lo han preguntado más complicado, ya veremos cómo. Pero la mayor parte de
las veces, una de las opciones será eso. R por 1, 1, 1 más R por 0, 1, 0.
Y ya está, se acabó. Voy a ver si discurro un ejemplo más complicado que
ese. No pensé que llegásemos hasta aquí hoy, así que estoy
improvisando. Por ejemplo, F de R2 en R2 y la matriz asociada es el número
1 menos 3, 3 menos 1. ¿Quién sería la dimensión de la imagen? Eso es lo
primero que tendréis que calcular. La dimensión de la imagen, utilizando
el rango de esa matriz. ¿Quién es la dimensión de la imagen? A ver, he
puesto el ejemplo que me da, perdonad. Perdonad. Quito el 1 y pongo 9, es
que si no me vuelve a salir el ejemplo complicado. Así. ¿Quién sería la
dimensión de la imagen en ese ejemplo? Hacerlo. ¿Cuánto sale? 0. El
determinante de esa matriz vale 0. Por lo tanto, el rango de esa matriz,
¿cuánto vale? 1. Por lo tanto, la dimensión de la imagen, 1. La
dimensión de la imagen es 1. Eso quiere decir que la dimensión del
núcleo, ¿cuál es? ¿Cuánto vale la dimensión del núcleo? 1 también,
porque entre los dos tienen que sumar 2. Ahora vamos a calcular la imagen.
Para calcular la imagen, en principio, cogeis las columnas. Cada columna la
multiplicáis por r. Ponéis el r delante y sumáis. O sea, r por la
primera columna, que es 1, 3. Más r por menos 3 menos 9. Y por decirlo de
alguna manera, como mucho, la imagen es eso. Y si no es eso, hay que
quitar. Pero nunca habrá que añadir. En este caso, se queda así o hay
que quitar. Hay que quitar. Eso podéis saberlo de dos maneras. O
comprobando que esto... Todos los vectores son dependientes, porque el
segundo es múltiplo del primero. O, ya que lo tenemos aquí, que lo hemos
hecho antes, si la dimensión de la imagen es 1, es que aquí solo puede
haber uno. Si solo puede haber uno, ¿cuál quito? El que queráis de los
dos. Pero, todos estaríamos tentados de quitar ese, supongo. Yo lo
quitaría y me quedaría con lo otro. Si a mí me preguntasen en el examen,
¿cuál es la imagen? Yo contestaría r por 1, 3. Pero a vosotros la
pregunta del examen es de tipo test, y os van a dar cuatro opciones.
Entonces, os podría poner, ¿quién es la imagen? Y os pondría, apartado
A, R por 1, 3, más R por menos 3, menos 9. Apartado B, R por, yo qué sé,
4, 7. Apartado C, R por menos 3, menos 9. Y apartado D, ninguna. ¿Cuál es
la solución? La C. ¿Entendéis esto? Vale, pues pensad siempre que el
examen que vais a hacer es de tipo test. Y entonces pensad siempre lo que
os pueden preguntar. Si os preguntasen quién es la imagen, vale, quitáis
aquel y diréis, la imagen es R1, 3. Pero eso no os lo van a preguntar. Y
luego, o sea, no habría ningún criterio para elegir un otro. No, es que
es el mismo. No, no, por eso te lo digo, no te podría poner 1, 3 y menos
3, menos 9. No, lo que no te puede poner es en dos opciones los dos casos.
Porque solo hay una que valga. Entonces, si te pone los dos casos,
valdrían 2. No, eso no puede ser. Puede ser que no te pusiera ninguno.
Entonces tendrías que contestar la D. Que eso también lo hace. Bueno.
Pues la imagen se calcula así de fácil. Como nos quedan 5 minutines,
vamos a hacer un ejemplo con el núcleo. El núcleo suele ser lo más
complicado. Así que, los pasos. Primero, escribir la matriz asociada.
Segundo, el rango de la matriz asociada. Después, las dimensiones.
Dimensión de la imagen, que coincide con el rango. La dimensión del
núcleo, utilizando la fórmula. A continuación se calcula la imagen.
Utilizando las columnas de la matriz asociada. Fijaros que sin la matriz
asociada no somos capaces de hacer nada de esto. Así que lo primero que
tenéis que hacer siempre es calcular la matriz asociada, si no os la dan.
Lo normal es que la den, pero bueno, digo lo normal y no. El próximo día
ya veremos ejercicios reales de examen y veremos qué se hace cuando no la
dan, que lo primero que hay que hacer es calcularla. Y el último paso
sería calcular el núcleo, que se podría haber hecho antes también, pero
bueno, vamos a calcular el núcleo. A ver, con este ejemplo, F de R2 en R2
y la matriz asociada era 1-3, 3-9. Hay varias formas de calcular el
núcleo. Una consiste en multiplicar matrices igual que el ejemplo que os
puse antes. A mí me parece la más fácil, pero a lo mejor esto ahora os
resulta más complicado porque aún no hemos dado el tema de matrices o no
lo habéis visto. Si tenéis la matriz asociada, para calcular el núcleo
tenéis que hacer esto. Coger la matriz asociada y multiplicarla por un
vector cualquiera del espacio inicial, o sea, un vector cualquiera de R2.
Un vector cualquiera quiere decir que hay que poner letras. ¿Quién es un
vector cualquiera de R2? XI. Y el resultado tiene que ser el vector nulo,
del espacio final. En este caso el espacio final también es R2. Tiene dos
coordenadas. El vector nulo tendrá dos ceros. Cuando os dan la matriz
asociada, la forma o una de las formas más sencillas de calcular el
núcleo es esta. Y ahora hay que hacer esa multiplicación de esta matriz
por esta matriz. La primera matriz es 2 por 2. La segunda matriz es 2 por
1. ¿Se puede multiplicar? Sí. Y el resultado, ya lo sabemos, va a ser
0,0. Multiplico la primera fila, el 1 y el menos 3, por la columna X e Y. Y
eso me sale 1 por X menos 3 por Y. ¿Y eso cuánto tiene que valer? 0, que
es el primer número del resultado. Ahora multiplico 3, la segunda fila, 3
por X menos 9 por Y. Y eso tiene que valer 0 también. Normalmente al hacer
esto, sale un sistema como aquí. Y hay que resolver ese sistema. ¿Qué
pasa en este caso? Bueno, esas dos ecuaciones, ¿cómo son? Iguales. La
segunda es la primera multiplicada por 3. Si recordáis tres sistemas, eso
quiere decir que una de las ecuaciones sobra. Porque son iguales. Así que,
solo hay una. Si me queda una sola ecuación, ¿cómo se resuelve una sola
ecuación con dos letras? No tenéis que intentar resolverla calculando que
la X valga 7 y la Y valga 24. No. Si hay una ecuación y dos letras, hay
que despejar la letra que sea más fácil, la X. Y en este caso X es igual
a 3Y. Y ya hemos acabado. Un vector cualquiera del núcleo era XY. Pero la
X vale 3Y. Así que un vector cualquiera del núcleo es el vector 3Y, Y.
¿Entendéis ese paso? Un vector cualquiera del núcleo es XY. Pero yo he
calculado que la X vale 3Y. Así que quitáis la X y ponéis 3Y. Y la
segunda coordenada es la Y. Ahora, la Y la sacáis fuera. Esto ya lo hemos
hecho en el tema 1. Y me queda la Y fuera, que pongo una R. Y dentro que me
queda es 1. Ese es el núcleo. R por 3, 1. Si recordáis de antes, la
dimensión del núcleo habíamos dicho que era 1. Coincide con lo que nos
ha salido. Bueno, hay más formas de calcular el núcleo. Igual que la
imagen, yo siempre os recomiendo que la calculeis como lo hemos hecho. Para
el núcleo hay muchas opciones. Y, por suerte, en muchos de los exámenes
no habrá ni que calcularlo. Porque la dimensión del núcleo os habrá
salido 0. Con lo cual el núcleo ya sabéis que es el vector nulo. O la
dimensión del núcleo os habrá salido todo el espacio inicial. Lo mismo
que la del espacio inicial. Con lo cual el núcleo será el espacio
inicial. En muchos de los exámenes ya no hará falta ni calcularlo. Porque
solo con ver la dimensión ya tendríais que saber quién es. En este caso
sí que habría que calcularlo. Así. Bueno. El próximo día hacemos
ejercicios ya de exámenes de otros años. Voy haciendo pregunta por
pregunta para que vayáis viendo qué es lo que ponen y cómo se hace. Pero
es esto que hemos hecho hoy. Con alguna cosa más. Hasta luego.