Los temas de la asignatura son cinco, estamos en el tema dos todavía.
Podéis pensar que vamos mal de tiempo, pero no vamos mal de tiempo, de
verdad, porque los más largos son el uno y el dos. El tema tres es un tema
de matrices. Muchas de las cosas ya las hemos ido contando aquí, de las
que ven después. Y es muy breve. El tema cuatro es el de sistemas de
ecuaciones, que también es breve y además suele resultaros más fácil,
porque eso os suena más. Y el tema cinco, que lo dejaremos para enero, ya
es un tema que no tiene nada que ver con todo esto. Es un tema de la parte
de cálculo, de matemáticas. Pero es muy sencillo también. Así que lo
más difícil, el uno y el dos. Por eso es a lo que dedico más tiempo. Y
el tema dos en concreto además es el que más cuenta en el examen, porque
es del que más preguntas hay, con lo cual es el que más interesa
también. El dos. Del tema dos por lo menos hay tres preguntas en el
examen, normalmente cuatro. Es el que más cuenta. Bueno, os dije que
íbamos a hacer ejercicios precisamente de exámenes del año pasado del
tema dos. Yo no sé si tenéis por ahí o habéis sacado ya los exámenes
de otros años, pero deberíais estudiar con un examen de otros años o
varios delante, porque os daréis cuenta de que para cada tema se van
repitiendo las preguntas. Y hay preguntas que las ponen siempre. ¿Qué
mejor pasan? ¿Los exámenes o estos de autoevaluación? Los exámenes.
Vale, vale, vale. Los de autoevaluación está bien también, pero... Sí,
sí, es verdad. Los exámenes. Tenme caso. Vale, vale. Bajaros los
exámenes del año pasado, del anterior y del anterior. Cuantos más
tengáis mejor. Y comparad las preguntas y veréis que se repiten. Si es
que se repiten siempre. En concreto del tema dos, si habéis mirado
exámenes de otros años, yo tengo aquí los del año pasado, pero los de
años anteriores son iguales. Cuando acaba la segunda pregunta, ponen una
raya y a partir de ahí vienen tres o cuatro preguntas en bloque, con los
mismos datos al principio. Bueno, vamos con uno de estos. Yo tengo aquí el
del febrero del año pasado, la primera semana. El tipo A. Febrero del año
2013, la primera semana. El tipo A. De que acaba la segunda pregunta,
empieza el bloque que corresponde al tema dos. Y primero lo que ponen
siempre son los datos. Y en este caso ponen que considérese la aplicación
lineal F de R3 en R3 tal que y os ponen esto F de X y Z es igual a 2X más
3Y más Z coma X más 2Z coma. Esos son los datos que os da. Y con esos
datos tenéis que contestar en este caso las tres preguntas siguientes, que
se refieren a esa aplicación. La primera de las preguntas, la 3, os pide
que digáis cuáles son las dimensiones del núcleo y de la imagen. La
siguiente pregunta, la 4, os pide que digáis quién es el núcleo y quién
es la imagen. Y la siguiente pregunta, que es la 5, Os pide que digáis de
qué tipo es la aplicación. Suprayectiva, inyectiva, isomorfismo, todo
eso. O sea, más o menos lo que hemos estado viendo el otro día y el
anterior. Empezamos por el principio. Os insisto además en que
descarguéis los exámenes para que os deis cuenta y os mentalicéis de que
este es un examen de tipo test, con lo cual en el propio examen ya os dan
pistas. Para la pregunta 3 no tanto, pero la 4... Bueno, ahora llegamos. La
pregunta 3 dice, las dimensiones respectivas de los subespacios vectoriales
Kerr de F e imagen de F, o sea núcleo e imagen, son apartado A, 0 y 3,
apartado B, 1 y 2, apartado C, 2 y 1, apartado D, 3 y 0. Son los cuatro
casos posibles, no hay más. Tenéis que elegir cuál de esas cuatro vale.
Hace falta calcular las dos. Hay dos dimensiones. No, con que calculeis
una, ya está, porque solo encaja uno de los cuatro casos. O sea, que o
calculáis la del Kerr, el núcleo, o calculáis la de la imagen. Y no hace
falta calcular la otra, aunque sería muy fácil, porque como es una
pregunta de tipo test, ya lo tenéis. Bueno, ¿cómo se hace esto? En este
caso, en el examen, no daban la matriz asociada. En otros exámenes, el
dato que os dan es la matriz... ¿Cuál es la matriz asociada? En este, no.
Bueno, pues si no la dan, lo primero que deberíais hacer es escribirla.
Calcular cuál es la matriz asociada. Antes de pasar a contestar ninguna
pregunta. ¿Cuál es la matriz asociada de esta aplicación? Eso es lo
primero que deberíais hacer. Porque con la matriz asociada, todo lo demás
sale muy fácil. ¿Cómo se hacía eso? Os recuerdo que la matriz asociada
tiene en cada columna la imagen de un elemento de la base canónica. Así
que lo que os voy a hacer es que os voy a dar un ejemplo. Lo primero que
tenéis que pensar es quién es la base canónica. La base canónica del
espacio inicial, que en este caso es R3. ¿Quién es la base canónica de
R3? Pues 1, 0, 0. 0, 1, 0. Y 0, 0, 1. Tenéis que calcular la imagen de
esos tres vectores. Utilizando lo que os dan. ¿Tenéis claro cómo se
calcula eso? Tenéis que utilizar lo que os dan de dato. f de x y z igual a
todo esto. Vamos a calcularlo. Vamos a calcular primero f de 1, 0, 0. Solo
tenéis que sustituir ahí arriba. Donde pone x tenéis que poner el primer
número, que es un 1. Donde pone y el segundo número, que es un 0. Y donde
pone z el tercer número, que es un 0. Es decir, la primera parte es esta.
Hasta la coma. Quitáis la x ponéis un 1. Quitáis la y ponéis un 0.
Quitáis la z ponéis un 0. ¿Cuánto queda? 2. Luego viene la segunda
parte. ¿Qué es esta? Quitáis la x ponéis un 1. No hay y. Pondríais un
0. Y quitáis la z y ponéis un 0. ¿Qué queda? 1. Y luego viene la
tercera parte, que es esta otra. Y hacéis lo mismo. Y sale menos 1. ¿De
acuerdo? Vale. Lo mismo con los otros dos. En el segundo, la x vale 0, la y
vale 1 y la z vale 0. Sustituís ahí. Y lo que queda es 3. 3, 0 y 1. Y
ahora hacéis lo mismo en el tercero. En el tercero la x vale 0, la y vale
0 y es la z la que vale 1. Lo que sale entonces es 1, 2 y 1. ¿Tenéis
todos claro de dónde he sacado eso? Bueno, pues ¿para qué sirve esto?
Para ahora escribir la matriz asociada. La matriz asociada tiene en cada
columna... Uno de estos que me ha ido saliendo. O sea, el primero, 2, 1,
menos 1, lo colocáis en la primera columna. El segundo, que era 3, 0, 1,
en la segunda columna. Y el tercero, 1, 2, 1, en la tercera columna. En
este examen no daba la matriz asociada. Lo primero que deberíais hacer es
calcularla. Otras veces os la dan y ya está hecha. Bueno. ¿Para qué me
sirve la matriz asociada? ¿Qué hago con ella? Si me preguntan primero por
las dimensiones... ...del núcleo de la imagen, ¿qué hago con la matriz
asociada para calcular eso? El rango de la matriz. El rango de la matriz es
la dimensión de la imagen. Acordaros de eso. Así que... 2, 3, 1, 1, 0,
2... Menos 1, 1, 1, 1. Necesito calcular el rango de esa matriz. ¿Cómo se
calculaba el rango de una matriz cuadrada de orden 3? Empieza calculando el
determinante. Si ese determinante vale 0, es que el rango no es 3. Y si no
vale 0, es que el rango es 3. Y se acabó. Esto valdría 2 por 0 por 1, que
es 0. Menos 3 por 2 por 1, que es menos 6. Más 1 por 1 por 1, que es 1.
Menos 0. Menos 3 por 1 por 1, que es menos 3. Y menos 2 por 1 por 2, que es
menos 4. O sea, menos 6 y 1 menos 5, menos 8, menos 12. Distinto de 0. Con
lo cual ya está. El rango de A es 3. Y ese número coincide con la
dimensión de la imagen de F. Es 3. Pues ya hemos contestado la primera
pregunta. Os recuerdo que... Os recuerdo las tres opciones que había. El
ejercicio 3 del examen decía... Las dimensiones respectivas de los
subespacios vectoriales, núcleo e imagen son... Apartado A, 0 y 3.
Apartado B, 1 y 2. Luego 2 y 1 y 3 y 0. En este caso sería el apartado A.
Porque es el único en el que la dimensión de la imagen pone un 3.
Además, ya tenéis que saber... Que si la dimensión de la imagen es 3...
¿Cuál tiene que ser obligatoriamente? ¿Cuál tiene que ser
obligatoriamente la dimensión del núcleo? 0. Porque, vuelvo para atrás a
la aplicación... Esta era la aplicación. Recordad que si sumáis la
dimensión de la imagen, que es un 3, y la dimensión del núcleo, que no
sé cuál es, me tiene que salir la dimensión del espacio inicial, que es
3. Por lo tanto, la dimensión del núcleo tiene que ser 0,
obligatoriamente. Hemos tardado un poco más porque hemos tenido que
calcular la imagen de estos tres vectores. ¿Por qué es? Esto se hace en 5
minutos. Solo tenéis que tener un poco de cuidado al calcular el
determinante y no confundiros. Esto es muy fácil. En el 90% de los
exámenes siempre ponen esta pregunta. Y siempre se hace igual. Hay más
formas de hacerlo, ¿eh? Pero a mí esta es la que me parece más fácil.
Escribid la matriz asociada y calculáis su rango. Y el rango de la matriz
asociada es la dimensión de la imagen. Y se acabó. Bueno. Bueno, esto es
un punto del examen. Ya tenéis un punto. Vamos con la siguiente pregunta,
que es la más difícil de este bloque. En la siguiente pregunta, la
número 4, os pide que digáis quién es el núcleo y quién es la imagen.
Pero claro, esto no lo pide así. Os vuelvo a decir que este es un examen
de tipo CES. Con lo cual, el examen os da cuatro opciones. Os voy a
escribir las cuatro opciones de la pregunta. La pregunta número 4 dice...
Se verifica. Dos puntos. Y ahora pone cuatro opciones. Y tenéis que elegir
la que se verifica, o sea, la que vale. En la opción A pone que el ker de
F es igual a el vector nulo. Y la imagen de F es igual a R3. O sea, no sé
si me explico con esto. Vosotros no tenéis casi ningún problema. Tenéis
que calcular la imagen y el núcleo. Porque el examen ya os da lo que puede
valer la imagen y el núcleo. Bueno, el apartado B dice... Que el ker de F
es igual a R por menos 2 menos 3, 1. Y que la imagen de F es R3. El
apartado C dice... Que el ker de F es igual... A R por menos 2 menos 3, 1.
Y... Esto es más largo. Lo escribo debajo. La imagen de F es igual a...
Entre diades. Los vectores I1, I2, I3... Que pertenecen a R3 y que cumplen
que... I1 menos 5I2 menos 3I3 es igual a 0. Esto uno lo ve y dice... Uf,
esto es impresionante. Esto ya no lo hago. El apartado D... Es parecido.
Dice que el ker de F es igual a... El vector nulo, 0, 0, 0. Y... Y la
imagen de F es lo mismo que antes. Ya no lo escribo otra vez. Y la imagen
de F sería lo mismo que en el apartado C. La pregunta dice... Se verifica.
Dos puntos. O sea, vosotros tenéis que conocer... Y contestar cuál de
estas cuatro es verdad. Solo hay una que puede ser verdad. Eso es lo bueno.
Como solo puede ser verdad una... Pues si es que solo hay que mirarlo. Si
habéis contestado bien la otra pregunta... Y habéis entendido la otra
pregunta... El ejercicio ya está hecho. No tenéis que calcular nada. O
sea, esto se ve y se contesta. ¿Cuál es la respuesta aquí? La A.
Entendéis todos por qué. Hemos dicho que la dimensión del núcleo es 0.
Si la dimensión del núcleo es 0... Solo hay una opción. Y es que el
núcleo sea el vector nulo. Por lo tanto, las respuestas donde no ponga que
el núcleo sea el vector nulo ya no valen. Es decir, la opción B ya no
vale. Y la opción C ya no vale. Solo valen la A o la D. Vale, ahora paso a
la imagen. Hemos visto en la pregunta anterior que la dimensión de la
imagen es 3. Como la dimensión del espacio final es 3... ¿Quién es la
imagen entonces? R3. Así que, la A. Os repito otra vez entonces. No veáis
esto y os pongáis como locos a intentar calcular la imagen y el núcleo
desesperados porque no sabéis otra forma de hacerlo. Pensad en las
dimensiones y lo que habéis respondido en el apartado anterior y mirad las
opciones que os dan e ir descartando. Y siempre suele ser así de fácil. A
veces no es tan fácil como esta. Ya veremos luego otro que no es tan
fácil. Pero en muchos de los exámenes es tan fácil como este
razonamiento. Por ejemplo, la B y la C no pueden ser porque no pone que el
núcleo es el vector nulo. Y la D no puede ser porque no pone que la imagen
es R3. Y se acabó. Pues ya tenéis los puntos. Y si al final esta es
fácil, la siguiente es todavía más fácil. Vamos a la pregunta 5. La
pregunta 5 dice... La aplicación lineal F es... Y os da cuatro opciones,
como siempre. Primero. Suprayectiva. Pero no inyectiva. Suprayectiva pero
no inyectiva. La opción B. Inyectiva pero no suprayectiva. La opción C.
Un isomorfismo. Y la opción D. Ninguna de las anteriores. ¿Sabríais
contestar ya? Eso es que no lo habéis estudiado. Perfecto. Está la
pregunta más fácil de todo el examen. Claro, hay que saberse lo que es
inyectiva, suprayectiva y demás. Que os lo contéis. Os lo voy a recordar.
Y luego volvemos a la pregunta. Para responder a este tipo de preguntas,
aparte de todas las definiciones que os vengan en el libro y las que os
pude dar yo, que a lo mejor os iré más, lo que tenéis que saber es lo
siguiente. Una aplicación es inyectiva... Inyectiva. Si... El Kerr de F es
el vector nulo. Para que sea inyectiva se tiene que cumplir eso. Si eso no
se cumple, no es inyectiva. Y esto lo hemos calculado antes. Vale. Para que
una aplicación sea suprayectiva se tiene que cumplir que la imagen de F
sea igual al espacio final. Si eso se cumple, la aplicación es
suprayectiva. Y si no, no. Y eso también lo hemos calculado antes. Hay
otra forma de decirlo igual de fácil. Utilizando las dimensiones. Es igual
de fácil porque también hemos calculado antes las dimensiones. Para que
sea inyectiva, ¿cuál tiene que ser la dimensión del núcleo si el
núcleo tiene que ser el vector nulo? Cero. O sea, una aplicación es
inyectiva si la dimensión del núcleo es cero. Y si no, no. Podéis
decirlo de las dos formas. Y una aplicación es suprayectiva si la
dimensión de la imagen coincide con la dimensión del espacio final. Y si
no, no. Podéis pensarlo con las dimensiones o así como os la he puesto.
Luego vienen las biyectivas. Una aplicación es biyectiva si es inyectiva y
suprayectiva a la vez. Tiene que ser las dos cosas para ser biyectiva.
Mirad que fácil de aprenderse esto, ¿eh? Y luego hay dos cosas. ¿Cuáles
habrán más? Endomorfismo. Una aplicación es un endomorfismo si el
espacio inicial y el espacio final coinciden. Si pongo EI, espacio inicial,
es igual al espacio final, F. Si el espacio inicial y el espacio final
coinciden, la aplicación es un endomorfismo. Y si no, no. Y por último,
isomorfismo, que creo que es lo que pregunta aquí en el C. Isomorfismo.
Una aplicación es un isomorfismo si es endomorfismo y biyectiva. Como para
ser biyectiva tiene que ser inyectiva y suprayectiva, podríamos decir
también que una aplicación es un isomorfismo si es un endomorfismo,
inyectiva y suprayectiva. Las tres cosas. Aprenderos esto de memoria porque
con esto tenéis un punto. El punto del examen. Vuelvo para atrás ahora.
Vamos descartando. Empiezo por la A. Si no tenéis otra forma de verlo a la
primera, empezáis probando una por una. La A. La aplicación que tengo es
suprayectiva pero no inyectiva. Vamos a empezar por el principio. ¿Es
suprayectiva? Sí. Pero también es inyectiva, ¿no? Así que la opción A
no vale. La opción B tampoco porque hemos dicho que es inyectiva y
suprayectiva. La C tiene que cumplirse que sea inyectiva, suprayectiva y
endomorfismo. Y sí. ¿Pero cómo saber de una F si es espacio inicial,
final o último? Te lo dan al principio. A ver, no olvides lo que te han
dado al principio. Los datos que llegaban eran estos. Los datos son los
mismos para todos los ejercicios estos. O sea, a ti te daban esto y te vale
para las tres preguntas. Entonces tú tienes esta aplicación. El espacio
inicial y el final coinciden. Por lo tanto, es un endomorfismo. Además,
hemos dicho que el núcleo es el vector cero. Por lo tanto, es inyectiva. Y
hemos dicho también que la imagen coincide con el espacio final. Así que
se cumple todo. Es un isomorfismo. Ya está. Pues tres puntos. En este caso
ya no me presento. Te vais a sacar bien. Pero bueno, ¿es fácil o no es
fácil? Sí, sí. Hay que estudiar un poco, claro. Tenéis que aprenderos
todo eso. Pero que no... Luego no hay que hacer mucho cálculo ni nada muy
complicado. Cada pregunta de estas, si entendéis, ¿qué tenéis que
hacer? Y habéis estudiado un poco, se contesta en cinco minutos. Y sin
hacer ningún cálculo, ¿eh? Fijaros que para esta pregunta no habéis
calculado nada. Bueno, alguien puede decir, vale, pero esto es en este
examen que tienes. Pero si cojo o me ponen otro examen, esto no va a
aparecer. Bueno, este examen era el de la primera semana de febrero. Si
cojo el de la segunda semana de febrero, del año pasado, el 6. Es lo
mismo. ¿Qué es lo que cambia el examen de la segunda semana con el examen
de la primera? Pues que los datos al principio, en vez de ser ese dato que
me daban, en vez de deciros esto de f, d, x y z igual a todo eso, el dato
que os daban era la matriz asociada ya. Podríais pensar entonces, el
examen de la segunda semana es más fácil que el de la primera porque ya
me dan la matriz asociada. Pero luego es un poco más complicado porque la
segunda semana la pregunta es más enrevesada. Quiero decir, no es tan
fácil de responder como antes. Es un poco más fácil por un lado pero un
poco más difícil por el otro. Pero la pregunta número 3 es la misma en
la segunda semana que en la primera. Las dimensiones del núcleo y de la
imagen. Y la pregunta número 5 es la misma también. Estos cuatro
apartados. Lo mismo. Y tengo también por aquí el de septiembre. El de
septiembre del año pasado uno, porque creo que hay dos. Solo tengo uno.
Era igual que este. Igual, os daban lo mismo este dato y las tres preguntas
eran las mismas. Que siempre preguntan lo mismo. Igual este año cambia,
¿eh? Y el profesor dice bueno, este año voy a fastidiar a todos. Pero
esto va siendo así desde hace muchos años y nunca ha cambiado. Y esta sí
ha estado alucinada. Este último año. Es así. Y no cambia hasta el
último año. Que no cambien. Si cambian nos han fastidiado. Vosotros
estudiar todo por si acaso. Vamos a hacer el examen de la segunda semana de
febrero. Este era el de la primera semana, ¿vale? Las tres preguntas de
ese tema de la primera semana. Si alguien tiene el examen delante hemos
hecho la pregunta 3, la 4 y la 5. Si miráis la 6, la pregunta 6 habla de
bases duales. De eso no hemos hablado todavía. Hablaremos. También se
refiere a este tema. O sea, hay cuatro preguntas de este tema. ¿Y la 7
también? La 7 no, es de matrices. La 7 habla de una matriz invertible. Esa
ya es de matrices. Es del tema 3. En el examen de febrero, en este que
estamos haciendo, la pregunta 1 y la 2 eran del tema 1. Las preguntas 3, 4,
5 y 6 del tema 2. La pregunta 7 del tema 2. El tema 3, la pregunta 8 del
tema 4. Y las 9 y 10 del tema 5. Y esa es la proporción de casi siempre.
Puede ser una más o menos en algún tema. Pero la proporción es más o
menos esa. Siempre. La que más cuenta o el tema que más cuenta es el 2.
Donde hay cuatro preguntas normalmente. Bueno, me paso al de la segunda
semana. Y aquí sí que está claro que del tema 2 hay cuatro preguntas.
Porque las cuatro las pone juntas en el mismo bloque. Voy a dejar de
momento la sexta. Porque no os he contado cómo hacer eso todavía. Y vamos
a hacer la 3, 4 y 5. Que es como esto, pero tiene una pequeña
complicación más. Así que ahora vamos al examen de febrero, segunda
semana del año pasado. En este caso, el dato que os dan al principio es
este. F, la aplicación lineal de R3 en R2. Cuya matriz asociada en las
bases canónicas es 3, 2, 0 0, 1, 3. Y las preguntas son las mismas. La
pregunta 3 pregunta las dimensiones del núcleo y la imagen. La pregunta 4
os pregunta quién es el núcleo y quién es la imagen. Y la pregunta 5 de
qué tipo es la aplicación. ¿Por dónde empezamos? El rango de la matriz.
Es más fácil que el otro, de momento, porque en el otro primero tenía
que escribir la matriz y aquí ya la tengo. Hay que calcular el rango de
esa matriz. Esta matriz ya no es cuadrada como la otra. No puedo empezar
calculando el determinante de esta matriz porque es una matriz de dos filas
y tres columnas. ¿Cuál es el máximo rango posible? Dos, porque tiene dos
filas solo. Así que hay que empezar viendo si el rango es 2, que es el
máximo posible. ¿Cómo compruebo si el rango es 2? Pues cogiendo
determinantes de orden 2 dentro de esa matriz y mirando a ver si encuentro
alguno que no valga 0. Empiezo cogiendo las dos primeras columnas y me
queda este determinante. Lo calculo y me sale 3, distinto de 0. Pues se
acabó. ¿Cuál es el rango de esa matriz? Dos. El rango de la matriz
asociada es 2 y el rango de la matriz asociada coincide con la dimensión
de la imagen. Por lo tanto, la dimensión de la imagen ya la tengo. Vale 2.
Recordad que la primera pregunta, la número 3, os plantea, os escribo las
cuatro opciones. Os pregunta cuáles son las dimensiones del núcleo y de
la imagen por este orden. Primero el núcleo y luego la imagen. Y las
opciones que da son opción A, 1 y 2. Opción B, 0 y 3. Opción C, 2 y 1. Y
opción D, 2 y 2. Hemos calculado la dimensión de la imagen que sería el
segundo de estos números. Si pensáis en descarte ya puedo quitar la
opción B y la opción C. Porque no tienen un 2 al final. Me quedarían
como posibles la A y la D. La diferencia está en el núcleo. Que en la A
pone que la dimensión del núcleo es 1 y en la D pone que la dimensión
del núcleo es 2. Así que lo siguiente es calcular la dimensión del
núcleo con la fórmula. ¿Os acordáis de la fórmula? No, la puse antes.
Si sumáis la dimensión del núcleo y la dimensión de la imagen tiene que
salir la dimensión del espacio inicial que es R3. O sea, tiene que salir
3. Si sumáis la del núcleo que no la sé más la de la imagen que es 2
tiene que salir 3. Por lo tanto, ¿cuál es la del núcleo? 1. Así que,
¿cuál es la respuesta correcta? La A. Fijaros en lo que se tarda en
contestar a esto. Y yo, ¿por qué me he enrollado aquí? No llega a dos
minutos. La dimensión del núcleo más la dimensión de la imagen es igual
a la dimensión del espacio inicial. Y en este caso el espacio inicial es
R3 pero la dimensión es 3. ¿Está claro la expresión? Sí, sí, sí.
Bueno, pues ya tenemos una pregunta. Me salto de momento la 4 que es más
complicada y vamos a la 5. La 5. La 5 Vamos a la 4. La 4. La 4 es lo mismo
que en el examen de antes. Se verifica dos puntos y ahora se pone cuatro
opciones. Opción A. El Kerr de F es igual a al vector nulo. La imagen de F
es igual a R2. Opción B. El Kerr de F es igual a el conjunto formado por
los vectores X y Z de R3 que cumplen que X menos 2Z es igual a 0 coma 3X
menos 2Y es igual a 0. Y la imagen de F es igual a R2. La opción C. El
Kerr de F es igual a R por menos 2 tercios coma 1 coma menos 1 tercio. La
imagen de F es igual al conjunto formado por los vectores de R2 que cumplen
que Y sub 2 es igual a 0. Y la opción D. El Kerr de F es igual a R por el
vector menos 2 3 menos 1 imagen de F igual a R2. Esta es la pregunta que
impresiona. Y a veces es más complicado, pero... Se puede razonar fácil.
Si recordáis la que contestamos antes del otro examen, era muy fácil. En
el otro examen coincidía que el núcleo era el vector 0 y la imagen era el
espacio final. Era muy fácil de contestar. Aquí también pasa eso. Si
vuelvo para atrás a las dimensiones, acordaros que la dimensión del
núcleo es 1. Por lo tanto, el núcleo no es el vector 0. Eso complica las
cosas, claro. ¿La imagen quién es? La imagen tiene dimensión 2, coincide
con la dimensión del espacio final, así que lo que está claro es que la
imagen es R2. ¿Entendéis eso? La imagen es R2, el núcleo no lo sé.
Bueno, pues descarto todas las opciones donde la imagen no pone R2, que de
momento es la C. La opción C, fuera. Con lo cual ya he quitado una de las
difíciles. Acabamos de decir, vuelvo para atrás, que la dimensión del
núcleo es 1. Por lo tanto, ¿quién no puede ser el núcleo? El vector
nulo. Así que descarto todas las opciones donde pone que el núcleo es el
vector nulo porque no vale. Eso quita la opción A. Y solo puede ser la B o
la D. La B es más difícil de pensar, pero la D es muy fácil. En la B
está claro que la imagen es R2. Vale, vamos al núcleo. Aquí tenéis que
recordar qué era eso del núcleo. El núcleo era el conjunto de los
vectores cuya imagen es 0, cuya imagen es el vector nulo. El conjunto de
los vectores cuya imagen es el vector nulo. ¿Qué me dice aquí? Aquí me
dice que el núcleo está formado por este vector y sus múltiplos. Bueno,
pues, ¿cómo se comprueba si esto es verdad o mentira? Mentira. Cogéis
ese vector y comprobáis si pertenece al núcleo. O sea, calculáis la
imagen de este vector. Ahora vemos cómo. Si la imagen de este vector no es
el vector nulo, es que esto es mentira. Y si la imagen de ese vector sí es
el vector nulo, es que esto es verdad. ¿Y cómo se calcula eso de la
imagen de ese vector? ¿Cómo calculo la imagen del vector menos 2, 3,
menos 1? Con los datos que me da el problema, que era la matriz asociada.
Si recordáis el examen de antes, lo primero que hicimos fue calcular la
imagen de 1, 0, 0, la de 0, 1, 0, pero entonces los datos que tenía eran
otros. Aquí el dato que me dan es la matriz asociada. ¿Cómo se calcula
la imagen de un vector con la matriz asociada? Que os lo dije.
Multiplicando. Cogéis la matriz y la multiplicáis por el vector. ¿Cuál
era el vector? 2, 1, 3, menos 1. Tenéis que hacer esa multiplicación.
Vamos a hacerlo. Os recuerdo multiplicación de matrices. La primera matriz
tiene dos filas, tres columnas. La segunda tiene tres filas y una columna.
Esto es el tema siguiente. ¿Se pueden multiplicar? Sí, porque este
número y este número coinciden. ¿Y qué matriz va a salir? Va a salir
una que tiene dos filas y una columna. Dos filas y una columna. O sea, va a
salir una matriz con dos números colocados en columna. Ahora, ¿cómo
calculo esos números? Multiplicáis los tres números de la primera fila
de esta por los tres números de la otra y sumáis 3 por menos 2 menos 6. 2
por 3 6. 0 por menos 1 0. Ha salido menos 6 6 y 0. ¿Cuánto es la suma de
todo eso? 0. El primer número me sale un 0. Ahora hago lo mismo con la
otra fila. Multiplico el 0 por el menos 2 0. El 1 por el 3 3 y el 3 por el
menos 1 menos 3. Me han salido 0, 3 y menos 3. Sumáis todo eso y el
resultado es 0. La imagen de ese vector es el vector nulo. Vuelvo a la
pregunta del examen. Lo que he hecho es calcular la imagen del vector menos
2 menos 3 menos 1. La he calculado y esa imagen vale el vector nulo. Por lo
tanto este vector está en el núcleo. Por lo tanto esto es verdad. Y como
sólo puede haber una opción que sea verdad la otra no hace falta que la
compruebe. Tiene que ser mentira. Este ejercicio es más complicado.
Recordad esto entonces. Una vez que en este caso ya sabemos quién es la
imagen que la imagen está clara ¿cómo distingo lo del núcleo? Bueno, si
os dan algo como esto que el núcleo es igual a R por un vector lo que
tenéis que hacer es coger ese vector y calcular su imagen y tiene que
salir el vector nulo. Si no sale es que esto es mentira. Algún ejercicio
tiene que haber más difícil. Hay más formas de hacer esto pero yo creo
que las otras formas son más complicadas que esta. Vamos a la siguiente
que es mucho más fácil. Esta era la aplicación que tenía. La siguiente
pregunta es lo mismo que en el examen de antes. ¿De qué tipo es la
aplicación? La opción A suprayectiva pero no inyectiva. La opción B
inyectiva pero no suprayectiva. La opción C unisomorfismo. La opción D
ninguna. O sea, las cuatro opciones son las mismas que en la misma pregunta
del examen anterior. Y ahora recordad lo que os puse antes y que tenéis
que aprenderlo de memoria. Esta aplicación ¿es inyectiva o no es
inyectiva? No. Porque la dimensión del núcleo no es cero. Por lo tanto no
es inyectiva. ¿Es suprayectiva o no? Sí. Porque la imagen coincide con el
espacio final. Así que esta es una aplicación que es suprayectiva pero no
inyectiva. Por lo tanto no puede ser biyectiva. ¿Es un endomorfismo esta
aplicación? No. Porque el espacio unisomorfismo inicial y el final no
coinciden. Por lo tanto tampoco puede ser un isomorfismo. ¿Cuál es la
respuesta correcta? La es suprayectiva pero no inyectiva. Ya no tenías que
mirar nada más. En cuanto sabes que es suprayectiva o no inyectiva se
acabó. Solo hay una respuesta correcta. En cuanto veis que es una ya no
pueden ser las otras. Vamos al de septiembre. Este es el de septiembre el
tipo de examen A. De septiembre del año 2013. Esperar a ver que sea el
mismo de antes. Un momento. Es que es el que tengo ¿no? Tengo el C. Pero
el C no es el mismo que el D. Pero el C no es el que hice antes. A ver. El
C es el C. Septiembre tipo A dijiste. Vale. Pues el C. Tipo C. Ah, lo pones
a pillar porque tiene una matriz más grande. Claro. Y este siempre yo creo
que está viendo todos los años hay un examen que tiene una matriz. Bueno,
vale. Pero se hace igual. A ver. Este es el de septiembre el tipo C. El
problema de este examen es que la aplicación es R4 en R3. Entonces el dato
que os dan es la matriz asociada. La matriz asociada es 1, 2, 3, 2 2, 0, 2,
2 y 1, 2, 3, 2. Y las preguntas son las mismas. La primera es las
dimensiones luego quién es el núcleo quién es la imagen y luego de qué
tipo es la aplicación. Vale. La forma de hacerlo la misma. Necesito
calcular el rango de esa matriz. Esta es una matriz de tres filas y cuatro
columnas. Como sólo tiene tres filas el rango como mucho puede ser tres.
¿Cómo compruebo si el rango es tres? Buscando de entre todos los
determinantes posibles de orden tres alguno que no valga cero. Y si todos
valen cero es que el rango es menos de tres. Cojo las tres primeras
columnas y me queda este determinante. Y ya no lo calculo ya os digo yo que
vale cero. ¿Por qué se sabe que vale cero? Porque tiene dos filas
iguales. Cuando un determinante tiene dos filas iguales va a salir cero. Y
si no va a ser cero. Ya veréis cómo sale cero. Este sale cero seguro.
Como este me ha salido cero necesito otro. Cojo iba a decir cojo las tres
últimas columnas pero también va a salir cero porque tendría dos tres
dos y dos tres dos. ¿Vale? Pero si cojo siempre van a salir igual. Coja la
que coja siempre va a salir cero. ¿Veis por qué? Porque la primera fila y
la última es la misma. Cojáis los determinantes de orden tres que cojáis
todos van a salir cero. Si alguien no se lo cree que los calcule todos.
Como todos los de orden tres salen cero eso quiere decir que el rango no es
tres. Tiene que ser menos. O sea o es dos o es uno. Para saber si es dos
cojo un determinante de orden dos con los cuatro primeros números me llega
el determinante uno dos dos cero. Este vale menos cuatro. Como ese no sale
cero es que el rango es dos. Por lo tanto ya tengo el rango que es igual
que la dimensión de la imagen. La dimensión de la imagen de F es dos. Y
si la dimensión de la imagen es dos ¿cuál es la dimensión del núcleo?
Dos también. Porque entre los dos tiene que dar cuatro que es la
dimensión del espacio inicial. Así que la dimensión de la imagen es dos
y eso también es la dimensión del núcleo. Pues ya tenéis la primera
pregunta contestada. La opción sería la A en este caso que es dos y dos.
En este caso la cinco ya es facilísima. La pregunta cinco ¿de qué tipo
es la aplicación? ¿Esa aplicación es inyectiva? No porque la dimensión
del núcleo no es cero. ¿Es suprayectiva? No. Para que fuese suprayectiva
¿cuál tendría que ser la dimensión de la imagen? Tres para que
coincidiese con la del espacio final. Como la dimensión de la imagen es
dos entonces no es suprayectiva tampoco. Así que ni es inyectiva ni es
suprayectiva. Por lo tanto si miráis las cuatro opciones de los ejercicios
de antes la opción A dice suprayectiva pero no inyectiva. Mentira. La
opción B inyectiva pero no suprayectiva. Mentira. La opción C un
isomorfismo. Mentira. ¿Cuál queda? La D ninguna de las anteriores. Esa
sería la que valdría aquí ninguna de las anteriores. Por si os lo
preguntasen también porque a veces estas cuatro opciones cambian. ¿Esto
sería un endomorfismo? No porque el espacio inicial y el primer final no
coinciden. Así que no es un endomorfismo. Como no es un endomorfismo
tampoco puede ser un isomorfismo. Esta aplicación es biyectiva tampoco
porque para hacerlo tendría que ser inyectiva y suprayectiva y no es nada.
A veces las opciones cambian y no pone siempre las mismas cuatro. Así que
aprenderos lo que os dije antes. Vale. Y queda el ejercicio 4. En este caso
es más complicado. En el ejercicio 4 nos dice lo mismo. ¿Cuál se
verifica? Y esta sería la pregunta más difícil de este examen. Apartado
A. Dice el Kerr de F es igual a 0, 0, 0, 0 o sea el vector número y imagen
de F es igual a R3. Bueno. Está claro que es mentira, ¿no? Eso no vale.
Sigo. Opción B. El Kerr de F es igual a R3. Es igual a R por 1, 1, 0 menos
1. Y imagen de F es igual a R3. ¿Vale o no vale? ¿Por qué no? Porque la
imagen no es R3. Porque la dimensión de la imagen hemos dicho que es 2.
Así que no puede ser R3. Esta tampoco vale. Faltan dos. La C o la D. Vamos
con la D. Me salto la C de momento que parece más difícil. Voy a la D. El
Kerr de F es igual a R por 1, 1, menos 1, menos 1. La imagen de F es igual
a todos los vectores X y Z de R3 que cumplen que esto está mal. Aquí pone
no sé si es un fallo de la fotocopia o de qué es el fallo. Aquí pone X
menos Z. Eso es imposible. No puede poner eso. ¿Qué falta ahí? Un igual
a algo. Eso no lo puede poner, ¿vale? Esto está mal. O es un fallo de la
fotocopia y eso era un igual en vez de un menos o es que falta algo. Bueno,
da igual. Pensemos que fuese un igual, lo que fuera. ¿Esta opción vale o
no vale? Olvidaros de la imagen. Pensad en el núcleo. ¿Esto vale o no
vale? ¿El núcleo puede ser eso? No. ¿Por qué no? Porque tiene una
dimensión. Porque la dimensión del núcleo es dos. ¿Y cuántos vectores
hay aquí? Uno. Este núcleo que nos han puesto aquí tendría dimensión
uno y hemos calculado que la dimensión del núcleo es dos. Pues esto no
puede ser. Se acabó. La que vale es la otra. La otra, os la escribo, no
habría que calcular nada. Fijaros que si vais descartando y esto se
descarta a simple vista, si vais descartando la que vale es la otra. La
otra es la opción C en este caso. Y mirad lo que pone ahora. Ahora para el
núcleo. El núcleo es R por uno, menos uno, cero, más R por uno, un
medio, cero y menos uno. Eso sí que cuadra. La dimensión del núcleo
hemos dicho que es dos y ahí hay dos vectores. Sí que cuadra. Puede ser.
Y luego pone que la imagen de eje es igual al conjunto de los vectores X y
Z de R3 que cumplen que X menos Z es igual a cero. Supongo que esto es lo
que querría poner también en la otra opción. X menos Z es igual a cero.
No hay que comprobar que esta vale porque las otras tres no valen. Esta
vale. Si alguien quisiera la comprobación del núcleo, si cogéis este
vector y calculáis su imagen, ¿qué tiene que salir? El vector nulo. Y
este también. En este caso, la imagen de los dos tendría que ser el
vector nulo. Y si alguno no saliese el vector nulo, ese no podría ser el
núcleo. ¿Vale? Bueno, pues será fácil así. ¿Sí o no? Es que son
fáciles. ¿Qué nos falta de este tema? Para el próximo día porque hoy
no nos da tiempo, es un poco largo, ¿vale? Hay una pregunta que suelen
poner casi siempre. En este examen está la pregunta 6. En el de la primera
semana no aparecía, pero sí en el de la segunda semana y en este. La
pregunta 6 habla de, en este caso, os da dos bases. Una del espacio inicial
y una del espacio final. Y en este caso pregunta por los términos de la
cuarta columna de la matriz asociada en las bases B y B'. En el de antes la
pregunta era los términos de la segunda columna de la matriz asociada en
las bases B y B'. No os he contado todavía cómo hacer eso. Tenéis que
saber hacerlo. Un avance. Que podéis ir pensando esto. En... Sin... En uno
que era fácil. En uno que era fácil que era el de la segunda semana. La
aplicación era esta. F de R3 en R2. Y el dato que nos daban era la matriz
asociada que es A320-013. Siempre os dicen en el ejercicio cuando os da
esto... Bueno, siempre os dicen esto. No. Casi siempre os dicen que esta es
la matriz asociada en las bases canónicas. Pero hay más matrices
asociadas de una aplicación. Depende de las bases. La más fácil de
escribir es esta. Que es en las bases canónicas. Acordaros que la base
canónica en este caso de R3 es 1-0-0-0-1-0-0-0-1. Y de R2 es 1-0 y 0-1.
Pero R3 tiene otras bases aparte de esa. Y R2 también. Y os podrían
preguntar cuál es la matriz asociada en otras bases. Y lo preguntan. Esa
pregunta aparece casi siempre. ¿Cómo se calcula eso? El próximo día lo
hacemos. Pero podéis ir mirando. Investigar vosotros. A ver cómo calcular
eso. ¿El examen tuyo? En diciembre. ¿En diciembre? Sí, porque...
Descargaros los exámenes de unos cuantos años atrás. Hacedme caso. Y
miradlos. Iros mirando todas las preguntas que ponen. Ya veréis como...
Siempre son iguales. El próximo día seguimos con esto. Y es el último
día ya que dedicamos a este tema. Luego al siguiente ya pasamos al tema 3.
Mirad a ver si tenéis alguna duda de algo que no sepáis de este tema.