lo conseguimos por aquí habíamos quedado resolviendo sistemas de
ecuaciones y yo para hoy os traía ejercicios de exámenes del año pasado
para ver ejemplos de esto de cómo lo ponen en el examen antes de que me
olvide estábamos comentando antes cuando llegué que a la vuelta de
vacaciones tenéis la prueba de evaluación continua es recomendable que la
hagáis aunque cuente poco y todo lo que queráis pero está bien que la
hagáis para que veáis que preguntas ponen también y para que
practiquéis vosotros creo que entra todo el temario nosotros hoy vamos a
acabar con ejercicios y ejemplos del cuarto tema pero faltaría el quinto
que os contaré a la vuelta de a la vuelta de vacaciones pero si vais bien
y tenéis tiempo durante estos días de navidad irlo estudiando y aunque yo
no os haya contado nada podéis mirar las clases grabadas mías del año
pasado o de hace dos años de ese tema porque cuento lo mismo lo mismo que
os voy a contar es lo que ya conté ¿el quinto tema cuál es? el quinto
tema es sucesiones y números reales no me acuerdo del título no sé si te
he dicho el título bien pero es totalmente distinto no tiene nada que ver
con ninguno de los temas anteriores habla de límites de números reales de
sucesiones de números que si tenéis tiempo durante estos días que
vayáis mirando ese tema y es el más fácil del curso el más fácil a la
vuelta de vacaciones en las dos tutorías que nos quedan hablamos de ese
tema y ya veréis que es muy sencillo pero idlo mirando vosotros bueno, y
ahora sí vamos con esto y antes de empezar con ejercicios una aclaración
de algo que os conté el otro día y que luego pensándolo digo bueno, yo
no se lo expliqué o no sé si quedó claro aquí tenemos un ejemplo que
debemos acabar con este el último día para resolver un sistema hola
cogíamos la matriz la matriz de los coeficientes y luego transformábamos
la matriz en otra a través de las operaciones que estaban permitidas y
llegábamos a una matriz escalonada y resolvíamos el sistema en este caso
en este ejemplo que está aquí al final llegábamos a una solución que es
aquella que está allí puesta que es donde acabamos y recuerdo que os dije
no sé si ya el otro día o el anterior o los dos días que si en todo este
proceso llegamos a que en la matriz nos sale una fila con todos ceros menos
el último número que no es cero el sistema se incorpora es incompatible
¿os acordáis de eso? vale si llegamos a una matriz donde la última fila
nos salen todos ceros menos el último número que no es un cero entonces
paráis decís el sistema es incompatible no tiene solución perfecto pero
si llegamos a una matriz en la que os sale una fila donde todos son ceros
yo os dije entonces el sistema es compatible indeterminado ¿os acordáis
de esa parte? bueno eso no es del todo así porque vamos a aclarar eso
porque suele salir de hecho vamos a verlo ahora en los ejemplos a ver si
estaba diciendo que si hacéis memoria de algo que os conté en los otros
días cuando en todo este proceso este es un ejemplo del otro día no he
hecho nada nuevo todavía porque hemos tenido problemas técnicos esto es
un ejemplo del otro día si a lo largo de este proceso de convertir la
matriz en otra llegamos a que una de las filas de la matriz se convierte en
todos ceros yo os había dicho que entonces el sistema es compatible e
indeterminado bueno, eso no es del todo correcto yo no lo expliqué bien si
llegamos a eso una fila de la matriz se convierte en todos ceros entonces
tenéis que contar cuántas filas quedan en la matriz os olvidáis de la
fila que son todos ceros contáis cuántas filas quedan contáis el número
de incógnitas normalmente el número de filas que queden quitando esa que
son todos ceros va a ser más pequeño que el número de incógnitas y
entonces es lo que yo os dije el sistema es compatible e indeterminado eso
es lo normal pero puede ocurrir y de hecho lo ponen y por eso os lo cuento
que el número de filas que queden después de quitar esa que son todos
ceros coincida con el número de incógnitas en ese caso el sistema es
determinado compatible, determinado no sé si os habéis situado con esto o
no pero vamos a ver ahora un ejemplo así que vamos a ver ahora un ejemplo
ahora os lo recuerdo con lo que sale es que tengo un lío con lo de la
fórmula que es la inversa de la matriz es igual a la junta a la traspuesta
de la junta y dividida todo ello entre el determinante no es elevado a la
traspuesta no te líes con eso de elevado no es elevado a la traspuesta es
ahí no hay que elevar nada no hay que calcular ninguna potencia es la
traspuesta de las juntas la inversa de la matriz ¿cómo se hace? es que
había uno que quería cambiar los signos que es la junta hay dos opciones
depende del tipo de matriz que te den si a ti te dan una matriz sencilla el
ejemplo fácil es que te den una matriz de orden 2, por ejemplo esta si te
dan esta matriz y te piden que calcules la inversa entonces utilizando esa
fórmula que tú me has dicho la traspuesta de las juntas partido por el
determinante primero habría que calcular el determinante que es lo primero
que tendría que haber hecho lo voy a poner aquí a la izquierda, a la
derecha sería 2 por menos 1 menos 3 por 1 o sea eso sale menos 2 menos 3
menos 5, el determinante vale menos 5 eso quiere decir que si hay inversa
ahora, lo primero que tú tienes que calcular es la matriz adjunta y luego
hacer la traspuesta ¿cómo se calcula la adjunta de una matriz cuadrada de
orden 2, que es esta fácil? a los dos números de la diagonal principal
los cambias de sitio donde pone el 2 pones el menos 1 y donde pone el menos
1 pones el 2 y ahora, a los otros dos números los cambias de sitio y de
signo donde pone el 3 pones el 1 cambiado de signo, menos 1 y donde pone el
1 pones el 3 cambiado de signo, menos 3 esa es la matriz adjunta y ahora
tú haces la traspuesta que es cambiar las filas por columnas y te
quedaría eso y divides por el determinante que valía menos 5 Y ahora solo
queda coger cada número de la matriz arriba y dividirlo por menos 5. La
diagonal principal no cambia el signo, ¿verdad? Cambia de orden. Cambian
de orden. Los dos números de la diagonal principal cambian de sitio, no de
orden, de sitio. Y los otros dos números cambian de sitio y de signo. Pero
esto solo vale para el caso fácil, que es este. Cuando la matriz es de
orden 2. Y luego, después de contaros este caso fácil, os conté el
difícil, que es cuando la matriz es de orden 3. En ese caso, calcular la
matriz adjunta es mucho más complicado. Yo no sé si todos os acordáis de
esto, pero había que calcular el adjunto de cada número y eso ya era un
proceso mucho más largo. Sí, pero tú dijiste, pues empieza... El primero
no cambia, el segundo sí. Sí, eso para ver si se cambiaba el signo o no.
Pero luego había que calcular un montón de determinantes. Hay que
calcular 9 determinantes. Uno para cada número. Eso ya es algo más largo.
¿Te acuerdas de eso o no? Es que lo tengo aquí en la... No, no te lo
había explicado. A ver, empiezo sin hacerla entera. Imagínate que la
matriz fuese esta. 1, 0, 2, menos 1, 2, 0, 0, 1 y 3. Para calcular la
inversa, primero habría que hacer el determinante. Ya no lo hago. ¿Vale?
Y luego la matriz adjunta. Esto es lo difícil. La matriz adjunta cómo se
calcula. Coges el primer número, el 1. Y tienes que calcular lo que se
llama el adjunto del 1. El adjunto del 1 es el determinante de los números
que quedan si quitas la fila donde está el 1 y la columna donde está el
1. ¿Qué números son los que te quedan? Estos cuatro. ¿Y cuál es el
determinante formado por esos cuatro? Dos por tres, que es seis. O sea, el
adjunto del número uno es un seis. Así que tú escribirías un seis. Y a
este número no hay que cambiarle de signo. Se quedaría así, seis. En
cambio, en el siguiente sí tocaría cambiar el signo. A lo que te salga,
tú le tienes que cambiar el signo. Bueno, vamos a hacer el siguiente. El
siguiente, en la matriz del principio, es un cero. Tú tienes que quitar
ahora la fila donde está ese cero y la columna donde está ese cero. Y te
quedan cuatro números. ¿Qué números te quedan? Menos uno, cero, cero y
tres. Y hay que calcular ese determinante. ¿Te aclaras de dónde salen
estos cuatro? Estoy calculando el adjunto de este. Quitas toda esa fila. Y
quitas toda esa columna. ¿Qué números te quedan? Este, este, este y
este. Estos cuatro. ¿Cuánto vale ese determinante? Menos tres. ¿Qué
número hay que poner entonces aquí? El tres. Más tres. Hay que cambiarle
el signo. Y así con todos. Al siguiente no se le cambiaría el signo. Y
luego al primero de aquí sí. Al siguiente no. El siguiente sí. Esto es
solo para matrices de orden tres. De orden tres. Porque esto vale también
para las otras. Pero para las otras es más fácil hacerlo de la otra
forma. Vale. Vale, gracias. Bueno, pues volvemos a sistemas. A ver. Estos
son ejercicios de exámenes del año pasado. El primero, este que os voy a
poner, es del febrero, el tipo A. De la primera semana de febrero, el tipo
A. El ejercicio dice que tenéis este sistema. Os lo pongo aquí. 2X más
3X. Igual a 1. y no os pide que resolváis el sistema ninguno de estos
ejercicios os va a pedir que resolváis el sistema hay cuatro opciones, hay
cuatro frases a continuación y tenéis que decir cuál de las cuatro
frases es la que es cierta la primera frase dice que no tiene solución la
segunda frase dice tiene una sola solución esta, tiene una sola solución
y lo escribo así tiene una sola solución la matriz AB y cumple que A más
B es igual a 1 tiene una sola solución AB y cumple que A más B es igual a
1 la tercera frase dice que tiene una sola solución AB y cumple que A es
igual a B tiene una sola solución AB y esa solución cumple que A es igual
a B y la cuarta frase dice que ninguna de las anteriores es cierta bueno,
para empezar ¿qué significa esto de AB? hay dos frases que dicen tiene
una sola solución AB ¿qué significa esto de AB? que pone el ejercicio
¿qué es la A y qué es la B? la X y la Y La A sería lo que vale la X y
la B sería lo que vale la Y en la solución. Porque si no tenéis eso
claro, luego no entendéis lo otro, claro. Imaginaros que vosotros
resolvéis este sistema, que sabéis resolverlo, lo resolvéis y
encontráis la solución. ¿Qué os va a salir? ¿Cuánto vale la X y
cuánto vale la Y? Bueno, pues en este caso la A es lo que vale la X y la B
es lo que vale la Y. ¿De acuerdo? Y si aquí pusiese A, B y C, es que
habría tres letras en el sistema, la X, la Y y la Z. Y C sería lo que
vale la Z. Bueno, ¿cómo se resuelve un ejercicio de estos? Igual que
estos todos los que ponen de este tipo. Pues, como os expliqué el otro
día, cogéis la matriz ampliada del sistema y la transformáis en una
matriz escalonada. Estos ejercicios se pueden hacer de otras formas. Cada
uno de estos ejercicios se podrá hacer probablemente de 20 formas
distintas. Pero yo siempre lo haría así. Cogéis la matriz ampliada del
sistema y la convertís en escalonada. Y luego ya se verá qué pasa.
¿Cuál es la matriz ampliada de este sistema? Pues la primera fila sería
2, 3, 1. La segunda fila, 1, 2, 2. Y la tercera fila, 4, 7, 5. Recordad las
operaciones permitidas. En todo este proceso. La primera operación
permitida era cambiar filas de sitio. Yo puedo cambiar una fila por otra y
no pasa nada. ¡Gracias! ¿Para qué me sirve en este caso? Recordad que
era interesante y muy útil y muy práctico para luego los cálculos,
hacerlos bien, tener un 1 o un menos 1 en la esquina de arriba de la
izquierda. Hay un 2, pero debajo hay un 1. Así que es interesante, cuando
uno tiene mucha práctica esto sobra. Pero como vosotros no soléis tener
tanta práctica, si cambiáis la fila 1 y la fila 2 de sitio, pues
estupendo. Eso se puede escribir así. Cambio la fila 1 por la fila 2. Eso
no hace falta escribirlo, por supuesto. O sea, la matriz me quedaría así.
Y ahora que ya tengo un 1 arriba, las filas. También se pueden cambiar las
columnas, pero yo no lo haría nunca. Las filas no hay ningún problema.
Cambiarlas de sitio cuando queráis y como os dé la gana. No hay problema.
También se pueden cambiar de sitio las columnas, pero eso yo no lo haría
nunca, porque las columnas corresponden a cada letra. La primera columna
corresponde a la letra X, la segunda a la letra Y y la tercera a los
números sin letra. Si miráis el libro... En el libro algunas veces cambia
las columnas de sitio, pero luego tiene que deshacer el cambio, porque
imaginaros que aquí cambiáis la primera columna con la segunda y
resolvéis. Entonces la solución que salga será al revés. Es decir, lo
que os salga para la primera letra en realidad será la segunda letra y lo
que salga para la segunda será la primera. Bueno, resumiendo, que nunca
cambiéis las columnas de sitio. Cambiar las filas, pero nunca las
columnas. Con las filas no hay problema, pero nunca cambiar las columnas.
Ahora, necesito un 0 donde está el 2 y un 0 donde está el 4. Empiezo por
el 2. ¿Cómo consigo un 0 donde está el 2? La primera por menos 2 y le
sumo la segunda. Pongo aquí abajo. La primera fila no cambia, se queda
como está. 1, 2, 2. Una vez que habéis conseguido un 1 o un menos 1 ahí
arriba, esa fila ya no se toca. La dejáis siempre igual. En la segunda
fila me quedaría un 0. Ahora, 2 por menos 2 es menos 4. Menos 4 y 3 es
menos 1. Y 2 por menos 2 es menos 4. Menos 4 y 1 son menos 3. ¿De acuerdo?
La operación que he hecho, la escribo aquí, es cambiar la segunda fila
por el resultado de sumar la segunda fila menos 2 por menos 2. 2 por la
primera fila. Si a alguien eso le resulta complicado de entender, ni lo
copiéis, porque eso no es lo importante. Lo importante es que lo hagáis
bien. Bueno, ahora necesito un 0 donde está el 4. ¿Qué tengo que hacer?
Multiplicar la primera por menos 4 y sumarle la tercera. O sea, lo que voy
a hacer es quitar la tercera fila y en su lugar poner la tercera menos 4
por la primera. Al hacer eso ya me sale un 0. Y los otros números serían
menos 4 por 2, que son menos 8. Menos 8 y 7, menos 1. Menos 4 por 2 otra
vez, que son menos 8. Menos 8 y 5, menos 3. Cuando uno tiene práctica ya
con esto... Ve que aquí hay dos filas que son iguales y entonces
automáticamente el siguiente paso es poner toda la fila de abajo con
ceros. Si no tenéis práctica y no lo veis, pues lo que hay que hacer
ahora es quitar la tercera fila y en su lugar poner la tercera menos la
segunda. O sea, restáis la tercera menos la segunda. ¿Qué queda? La
primera fila igual que estaba, 1, 2, 2. La segunda fila igual que estaba,
esa hora no la cambio, 0, menos 1, menos 3. Y la que voy a cambiar es la
tercera y la voy a cambiar de forma que voy a poner lo que sale al restar
la tercera menos la segunda. Pero como la tercera es igual que la segunda,
si restáis dos cosas que son iguales va a salir cero. O sea, me van a
salir todos ceros. Y se acabó, el sistema ya se ha escalonado. Recordad
que se trata de conseguir un sistema en el que cada fila tenga un cero más
por lo menos. Contando desde la izquierda. Y ya lo hemos conseguido, así
que al llegar ahí paráis. Paráis y ahora tenéis que contestar a lo que
preguntan, claro. Bueno, antes de volver a las cuatro preguntas que hace el
examen. Ha salido una fila con todos ceros, lo que os contaba antes. Eso
quiere decir que este sistema es indeterminado. ¿Cómo es este sistema?
¿De qué tipo? Sigue siendo determinado. ¿Cuántas filas quedan si
quitáis la que tiene todos ceros? Dos. Y hay dos letras. Como coincide el
número de filas que quedan con el número de letras, el sistema sigue
siendo determinado. ¿Y qué significa que es determinado? Que tiene una
sola solución. Bueno, eso descarta la opción A de las cuatro opciones que
os dicté. La opción A, que decía que el sistema no admite solución, no
vale. ¿De acuerdo? Así que tiene que ser la B, la C o la D. La B y la C
en principio encajan, porque este sistema hemos visto que es determinado,
tiene una sola solución. Y eso es lo primero que dice la B y eso es lo
primero que dice la C, que tiene una sola solución. Así que puede ser la
B o la C, o puede que no sean, y entonces sería la D. ¿Qué hay que hacer
ahora? Escribir las ecuaciones y resolver. Ahora hay que resolver. Ya
sabemos que hay una solución. Con eso no me vale todavía para contestar,
por lo tanto ahora tengo que resolver. Es decir. Las dos filas que me han
quedado, las convierto en ecuaciones. La primera fila sería X más 2Y
igual a 2. Y la segunda fila, menos Y igual a menos 3. Ha quedado un
sistema muy fácil. Empezáis a resolver por la ecuación fácil, que es la
de abajo. ¿Cuánto vale la Y? 3. Y ahora sustituís eso en la de arriba y
calculáis la X. ¿Qué es la X? Era que X más 6 es igual a 2. O sea, que
X es igual a menos 4. Bueno, la X ha salido menos 4, la Y ha salido 3.
Ahora volvéis a leeros las tres opciones que tengo todavía posibles en el
examen. La opción A dice que el sistema tiene una sola solución, ¿vale?
Y que esa solución cumple que A más B es 1. ¿Os lo he dictado bien?
Menos 1. ¿Menos 1 o 1? ¿Cuánto os dije? Menos 1. Menos 1. Aquí he
puesto 1, pero en el examen pone menos 1, es que si no nos sale, claro.
Menos 1. La opción C es parecida. Dice que hay una sola solución y que
esa solución cumple que A es igual a B. Y ahora recordad lo que os dije
antes. ¿Quién es la A? Lo que ha salido para X. Y B, lo que ha salido
para Y. ¿Cuál de estas dos valen? La primera. Si sumáis lo que ha salido
la X y lo que ha salido la Y, el resultado es menos 1. Esa es la opción
que vale. ¿Entendéis esto? Para X nos ha salido menos 4. Para Y ha salido
3. Si sumáis esos dos números, o sea, si sumáis A más B, menos 4 más
3, ¿cuánto sale? Menos 1. Esa es la opción que vale. Era 1. Era menos 1,
menos 1. Me confundí yo. Ponía menos 1 al examen. Si pusiese 1, no
valdría la B ni valdría la C. Y la que valdría era la D. Pero pone menos
1. Bueno, pues todos los ejercicios que ponen en el examen de este tema son
como este. Pueden ser sistemas. Con dos letras. Y tres ecuaciones, como
este que hay aquí. O lo habitual es que pongan tres ecuaciones y tres
letras, como vamos a ver ahora. Y a veces han puesto alguno todavía más
fácil, con sólo dos ecuaciones y dos letras. Vale, vamos a hacer otro.
Este de ahora es el de febrero del año pasado, de la segunda semana, el C.
Y al principio es lo mismo, dice, consideres el siguiente sistema. El tipo
C, del año pasado. 2X más 3Y más Z igual a cero. X más 2Z igual a cero.
Menos X más Y menos 3Z igual a cero. Bueno, como está en el sistema, y
luego dicen, ¿cuál de las cuatro siguientes se cumple? La primera,
apartado A. Admite una sola solución, que es 0, 0, 0. Admite una sola
solución. ¿Qué es esa? 0, 0, 0. El apartado B. Admite infinitas
soluciones. Y todas verifican que la suma de sus términos es nula. Cuando
escribo eso. Admite infinitas soluciones. Y todas verifican que la suma de
sus términos es nula. El apartado C no admite solución y el apartado D
ninguna de las anteriores. Si volvéis a leer con calma las cuatro
opciones, la primera opción nos está diciendo que el sistema es
compatible determinado y que la única solución es esta, que la X vale
cero, la Y vale cero y la Z vale cero. El apartado B nos está diciendo que
el sistema es compatible indeterminado, pero no solo eso. En este caso,
dice que si cogéis cualquier solución de las infinitas que hay y sumáis
lo que vale la X, lo que vale la Y, lo que vale la Z, el resultado tiene
que ser un cero. El apartado C dice que el sistema es incompatible. Bueno,
¿cómo se hace? Pues como siempre, tenéis que coger la matriz ampliada
del sistema y resolver, y ver qué sale. En este caso, la matriz ampliada
tiene cuatro columnas. La primera fila sería 2, 3, 1, 0. La segunda fila,
1, 0, 2, 0. Y la tercera fila, menos 1, 1, menos 3, 0. Por cierto, no sé
si os lo he contado, pero este sistema tiene un nombre especial. Y a veces
preguntan por el nombre de esto, aunque no es habitual. Cuando un sistema
acaba en ceros, cuando todas las ecuaciones a la derecha tienen ceros, el
sistema es homogéneo. Se llama homogéneo. El de antes no lo era, este
sí. Y los sistemas homogéneos siempre son compatibles. Es imposible que
un sistema homogéneo sea incompatible. O sea, un sistema homogéneo
siempre tiene solución. Por lo tanto, si recordáis eso, la opción C ya
no vale. La opción C que dice que no admite solución, esa ya no vale.
Porque los sistemas homogéneos siempre tienen una solución por lo menos.
¿Cuál es la solución que siempre tienen? 0, 0, 0. En un sistema
homogéneo esa solución siempre la hay. Lo que pasa es que a veces hay esa
e infinitas más. Así que no podéis decir todavía que la opción es la
A. Porque puede que aparte de 0, 0, 0 haya más soluciones. La que no vale
desde luego es la C. Bueno, no hace falta recordar eso para hacer el
ejercicio, porque va a salir lo que es al hacer la matriz. Pero si
recordáis eso, pues ya tenéis algo más claro. Cambio. La primera fila
por la segunda, para tener un 1 arriba. La primera fila se queda en 1, 0,
2, 0. Y la segunda fila es la 2, 3, 1, 0. Y la tercera se queda igual,
menos 1, 1, menos 3, 0. A continuación, dejo ya la primera fila como
está, esa no la voy a tocar. Y la multiplico por menos 2 para sacar un 0
donde está el 2. Me quedaría 0, 3, menos 3 y 0. ¿Tenéis claro de dónde
saco estos números? Esto tenéis que practicarlo. He multiplicado la
primera por menos 2, para tener un 0 donde estaba el 2. O sea, lo escribo
aquí, lo que he hecho es esto. La fila 2 la he cambiado por la fila 2
menos 2 por la fila 1. Y ahora voy a obtener un 0 donde está el menos 1,
de la esquina de abajo de la izquierda. Y para eso, quito la fila 3 y pongo
en su lugar la fila 3 más la fila 1. Creo que os lo comenté ya el otro
día. En este primer paso, en el paso de conseguir los dos primeros ceros,
dos ceros en la primera columna, las dos operaciones que hay que hacer
implican a la primera fila. Es decir, aquí he restado la fila 2, 2 por la
fila 1. Aquí he sumado la fila 3 y la fila 1. Es decir, los dos primeros
ceros, este y este, los dos ceros de la primera columna, se consiguen
haciéndole algo a la primera fila. No lo podéis conseguir de otra manera.
En cambio, el siguiente paso, que daremos después, ya no utiliza la fila
1. Porque si en el siguiente paso volvéis a utilizar la fila 1, deshacéis
lo que habéis hecho antes. O sea, deshacéis los ceros de la primera
columna. Eso pasa siempre. Bueno, sigo aquí. En vez de la fila 3, pongo lo
que me sale de sumar la fila 1 y la fila 3. 0, 1, menos 1 y 0. Y ya está.
Ya tengo dos ceros en la primera columna. Me falta un cero más. Me falta
un cero más donde está el 3 o donde está el 1. Aquí ya podéis pensarlo
de muchas formas. La forma más fácil de pensarlo sería cambio de sitio
las dos filas, la segunda y la tercera, para conseguir aquí el 1 y aquí
el 3. Igual esto lo estoy haciendo y os resulta larguísimo. Todo esto se
puede abreviar con la práctica de cada uno. La primera fila no la toco.
Cambio de sitio la segunda y la tercera. Y ahora voy a conseguir un cero
donde está el 3. ¿Cómo consigo un cero donde está el 3?
Multiplicándola arriba por menos 3 y sumando la tercera. O sea, lo que voy
a hacer es quitar la tercera fila y poner en su lugar la tercera menos 3
por la segunda. Bueno, lo que sale es esta matriz. En la primera fila, 1,
0, 2, 0. Ese no se toca. En la segunda, 0, 1. 1, menos 1, 0. Tampoco se
toca ahora. La que voy a cambiar es la tercera. ¿Qué queda en la tercera?
Todos ceros. ¿De qué tipo es este sistema? Indeterminado. Este sí que es
indeterminado. Porque nos han quedado dos filas y hay tres letras. Como hay
menos filas que letras, el sistema es indeterminado. Eso quiere decir que
la opción A no vale. La opción C tampoco valía. Así que quedan la B o
la D. Y todavía no podemos decidir cuál es. ¿Qué se hace ahora?
Escribir el sistema otra vez y resolverlo. Y este es el caso más difícil
posible porque ha salido indeterminado. Escribo el sistema con las dos
ecuaciones que han quedado. X más 2Z igual a 0. Y menos Z igual a 0. Hay
dos ecuaciones y tres letras. ¿Qué se hace para resolver un sistema que
tiene menos ecuaciones que letras? ¿Qué hay que hacer ahora? Es igualar Z
a lambda. Se coge una letra, la que queráis, normalmente la Z, y se le
llama de otra manera. Lambda. Y Z. Y esa letra, la Z, se le llama de otra
manera. Se pasa al otro lado del igual, en todas las ecuaciones. El 2Z lo
pasáis al otro lado. El menos Z lo pasáis al otro lado. Pero ya no se
llama Z, se llama lambda. ¿Cómo queda entonces? Queda que X es igual a
menos 2 lambda. Y que Y es igual a lambda. Y ya está la solución. La
solución escrita como la suelen poner en los exámenes en forma de
matriz-columna sería el primer número es lo que vale la X la X me ha
salido menos 2 lambda el segundo número lambda, que es lo que vale la Y y
el tercer número lo que vale Z ¿cuánto vale Z? lambda también esa es la
solución del sistema aclaremos esto ¿cuántas soluciones tiene este
sistema? infinitas porque es indeterminado ¿cómo se obtienen las
infinitas soluciones? dándole valores a lambda si quitáis lambda y
ponéis 7 por ejemplo, tenéis una solución que sería menos 14, 7, 7 si
quitáis lambda y ponéis 25 tenéis otra solución bueno y ahora volvemos
a las preguntas a las cuatro opciones del examen ya habíamos dicho que la
A no valía y que la Z tampoco la veo la de como me dé la tos no puedo
seguir la B vale o no vale la B empezaba diciendo que tiene infinitas
soluciones y luego decía que todas cumplen que la suma de los tres
números es cero y lo cumple no es que quede homogéneo es que si tú sumas
estos tres números el resultado es cero ¿sí o no? ¿entendéis eso? si
sumáis menos 2 lambda lambda y lambda ¿cuánto sale? cero si no lo veis
así quitar lambda y poner el número que os dé la gana 8 ¿qué solución
quedaría? menos 16, 8 y 8 si sumáis esos tres números ¿qué sale? 0 y
pongáis el valor de lambda que pongáis al sumar los tres números va a
salir un 0 la solución en este caso es la B vale, otro pero ya sabíamos
que tenía diferentes soluciones pero no valía solo con eso el apartado B
dice tiene infinitas soluciones y todas cumplen que o sea que no valía
solo con que fueran infinitas soluciones por eso hubo que seguir haciendo
este otro es el del año pasado también del 2013 de septiembre el tipo de
examen A septiembre 2013 el A empieza igual x más y más z igual a 0 menos
y menos 3z igual a 3 3i más 2z igual a menos 2 y ahora las cuatro opciones
que da son el apartado A no tiene solución o sea, no admite solución el
apartado B admite una única solución ABC y A mayor que B mayor que C
tenéis claro lo del símbolo mayor y menor ¿no? Apartado C, una única
solución, ABC, y A es igual a B igual a C. Y apartado D, ninguna de las
anteriores. ¿Entendéis lo que significa esto de ABC? A es lo que vale la
X, B es lo que vale la Y y C es lo que vale la Z. En el apartado B lo que
dicen es que solo hay una solución y que lo que vale la X es mayor que lo
que vale la Y y es mayor que lo que vale la Z. Y en el apartado C dicen que
hay una sola solución y en esa solución la X, la Y y la Z valen lo mismo.
Bueno, pues otra vez igual. La matriz ampliada del sistema. Este sistema no
es homogéneo porque en el lado de la derecha no todos son ceros. 1, 1, 1.
0, 0, menos 1, menos 3, 3. 0, 3, 2, menos 2. Y fijaros que más jodido es
el examen, que ya nos ha puesto dos ceros en la primera columna. O sea que
la mitad del ejercicio ya está hecha. Solo falta conseguir un cero más.
¿Dónde está el 3? Porque ya tengo dos ceros en la primera columna.
¿Cómo consigo un cero donde está el 3? Haciendo qué. La segunda fila.
Por 3. Y le sumo la tercera. porque menos 1 por 3 es menos 3 le sumo el 3 y
ya tengo un 0 o sea, la operación que voy a hacer la única que falta por
hacer es esta quito la fila 3 ¿y por qué pusiste 0? ¿qué hiciste?
porque no hay x aquí ni x aquí te ha puesto ya un sistema muy fácil
claro que estaba mirando y estaba perdido hay que hacer quitar la fila 3 y
en su lugar poner la fila 3 más 3 veces la fila 2 bueno, la fila 1 se
queda como está 3, 1 y un 0 la fila 2 se queda como está 0, menos 1, 3 y
3 y ahora en la fila tercera me quedará 0, 0 menos 3 por 3 es menos 9
menos 9 y 2 son menos 7 y por último 3 por 3 es 9 9 menos 2 es 7 0, 0,
menos 7 es 0 ¿de qué tipo es ese sistema? compatible y determinado así
que la A no vale y todavía no sabemos cualquiera de las otras 3 tiene una
sola solución porque es compatible y determinado pues ahora hay que
encontrarla escribís las letras x más i más z igual a 0 menos i más 3z
igual a 3 ¿qué escribirías en la última fila? en la última ecuación
¿qué pondríais? menos 7z igual a 7 Pero recordad que había una
operación más permitida que no he usado hasta ahora hoy. Que es que
podéis coger todos los números de una fila y dividirlos por el mismo
número. Y sale lo mismo. ¿Por qué número dividís aquí? Por 7. ¿Y
qué quedaría? Menos z igual a 1. No hace falta hacer esto, porque de la
otra forma saldría igual de fácil. Pero así es más fácil todavía.
¿Cuánto vale la z? Menos 1. Paso a la segunda ecuación. Y sustituyo.
Donde pone z pongo menos 1. Y me queda menos i, menos 3, es igual a 3. O
sea, si menos i es igual a 6, así que i es igual a menos 6. En la segunda
fila le comiste un menos. Le comí un menos. 0 menos 1 menos 1. Este menos
de aquí, que aquí me lo olvidé, esto es un menos. Y abajo es menos. Así
que aquí hay un menos. Aquí es un más. Y así que no es un 6, es un 0.
La i vale 0. Me había olvidado este menos. Entonces, aquí había que
poner un menos, que no lo puse. Con lo cual aquí también había un menos.
Y al quitar ahora z y poner menos 1, quedaría menos 3 por menos 1, que es
más 3. O sea, aquí sería un más. Al pasar el 3 al otro lado queda 3
menos 3, que es un 0. Por lo tanto la i vale 0. Paso a la primera ecuación
y sustituyo. Y queda x más 0 menos 1 igual a 0. Así que x es igual a 1.
Bueno, total, que la x vale 1, la i vale 0 y la z vale menos 1. ¿Qué
opción vale? La b, la c o la d. La b. La b decía, recordad, que hay una
sola solución y que cumple que a mayor que b mayor que c. O sea, lo que
vale la x es mayor que lo que vale la y, que es mayor que lo que vale la z.
¿De acuerdo, no? Porque la x ha salido 1, la y ha salido 0 y la z ha
salido menos 1. Bueno, ya veis que son ejercicios que no son muy
complicados. De hecho aquí, no solo no era complicado, sino que
directamente ya pusieron un sistema donde salían dos ceros en la primera
columna. Así que más fácil nos lo ponen todavía. Vale, vamos a hacer el
último. También del año pasado. No, este ya no es del año pasado, este
hace dos años. El año 2012, de febrero. La segunda semana, el tipo c.
Segunda semana de febrero, el tipo c del año 2012. Ahora, nos dan este
sistema. 2x menos y igual a 2. 3x más y igual a 1. 7x menos y igual a 5.
Esto es como el primero que hicimos, solo tiene dos letras. Tres ecuaciones
pero dos letras. El apartado a no admite solución. El apartado b admite
una sola solución. A ver... Y A más B es igual a menos un quinto. Admite
una sola solución, AB. Y A más B es igual a menos un quinto. Apartado C.
Lo mismo. Admite una sola solución, AB. Y A es igual a B. Y el D, ninguna
de las anteriores. Bueno, os vuelvo a decir lo mismo. ¿Quién es la A? Lo
que vale la X. ¿Quién es la B? Lo que vale la Y. Aquí solo hay dos
letras, la X y la Y. Por eso no hay ABC, solo hay AB. ¿Qué hay que hacer?
Pues lo mismo en todos. La matriz ampliada del sistema. Y a ver qué sale.
En este caso, la matriz sería 2. Menos 1, 2. 3, 1, 1. 7 menos 1, 5. Y esta
matriz ya no es tan fácil como las otras. Es muy fácil, ¿eh? Pero no es
tan fácil como las otras. No hay un 1 arriba a la izquierda. No puedo
cambiar filas para que me salga un 1 arriba a la izquierda. Si sois
hábiles y tenéis práctica, yo lo haría. Yo cambiaría las columnas
porque sé hacerlo. Pero vosotros no, no os lo recomiendo. No os lo
recomiendo. Lo dije antes. Entonces, ¿qué hay que hacer? Si no hay un 1
ni hay forma de cambiar filas para que me quede un 1, ¿qué se hace? Pues
conseguir un 1 dividiendo. Cogéis la primera fila y la dividís por lo que
haga falta para que salga un 1. ¿Por qué hace falta dividir la primera
fila para conseguir un 1? Por 2. Pues dividís toda la primera fila por 2.
Toda la fila por el mismo número. ¿Cuál es el problema? Que salen
fracciones. Pero si veis el apartado B, ha salido una fracción. Eso quiere
decir que no estamos haciéndolo mal. Quito la primera fila y en su lugar
pongo la primera fila dividida por 2. 2. Me queda 1 menos un medio, 1. Las
otras filas quedan iguales. 3, 1, 1. 7 menos 1, 5. Recordad que eso siempre
se puede hacer. Coger una fila entera y dividirla por el mismo número. Y
de hecho en muchas ocasiones hay que hacerlo. Esto por un lado complica las
cosas porque ha salido una fracción. Y es complicado trabajar con
fracciones. Si no tenéis calculadora en el examen, recordad que no os
dejan calculadora. Pero por otro lado hemos conseguido el 1. Y con unos
ahí las cosas salen más fácil. Si queréis, en vez de escribir menos un
medio, podéis ponerlo como número decimal. Menos 0,5. Pero como aquí
habla de fracciones, es mejor siempre dejarlo en fracciones. Gracias. Pues
ahora, lo de siempre. Ya tengo un 1. Necesito un 0 donde está el 3.
¿Cómo lo consigo? De arriba por menos 3 y le sumo la segunda. La de
arriba se queda como está ya. 1 menos 1 medio, 1. Y ahora multiplico esa
por menos 3 y le sumo la segunda. Ya me sale un 0. El último número, me
salto el segundo que es más complicado y paso al último. 1 por menos 3 es
menos 3. Menos 3 y 1, menos 2. El último número va a ser un menos 2. El
complicado es el del medio porque está la fracción. Pues hacerlo con
calma. Hay que multiplicar menos 1 medio por menos 3 y sumarle 1. O sea,
tenéis que hacer esta operación. Menos 1 medio, hay que multiplicarlo por
menos 3 y sumarle 1. Menos por menos es más. 1 medio por 3 es 3 medios. Y
hay que sumarle 1. El número 1 son 2 medios. 3 medios y 2 medios, 5
medios. Ese es el número que va ahí, 5 medios. No suele pasar que pongan
ejercicios con fracciones en el examen. Pero a veces pasa y tenéis que
saber hacerlo. Necesito un 0 donde está el 7. Hay que multiplicar la
primera fila por menos 7 y sumarle la tercera. ¿De acuerdo? Donde está el
7 me va a salir un 0. Me salto el del medio, el último. Multiplico este 1
por menos 7. Menos 7. Y le sumo 5. Menos 2. Y ahora vamos al número del
medio. Tengo que multiplicar menos 1 medio por menos 7. Y sumarle menos
uno. Menos por menos es más. Un medio por siete, siete medios. Siete
medios menos uno. ¿Cuánto sale? Cinco medios. El número uno son dos
medios. Hay que restar siete medios menos dos medios. Total cinco medios.
Ese es el número que faltaba. Cinco medios. Y lo que ha salido nos da una
idea de que lo hemos hecho bien. Porque la segunda fila y la tercera fila
son iguales. Es decir, ¿qué os dije que podíais hacer cuando salían dos
filas iguales? Eliminar una. Poner todos ceros en esa última. La última
fila ya no lo escribo. Es como si fueran todos ceros. Por lo tanto solo
quedan dos filas. ¿Cómo es el sistema? ¿Cómo es este sistema? ¿De qué
tipo? Compatible. Compatible determinado. ¿Por qué? Porque han quedado
dos filas sin ceros y hay dos letras. Compatible determinado. Por lo tanto
la opción A no vale. Y puede valer la B o la C o la D. ¿Qué hay que
hacer? Resolverlo. Vamos a resolverlo. Esta última fila yo no la escribo,
es como si fueran todos ceros. Me quedo solo con las dos filas de arriba.
Escribo las letras. X menos un medio por Y es igual a 1. Esa sería la
primera ecuación. La segunda ecuación sería 5 medios por Y es igual a
menos 2. Ese es el sistema escalonado que queda y que hay que resolver. Se
empieza por la ecuación fácil, que es la de abajo. Un poco de práctica
con números hace que esto sea muy fácil. ¿Qué se hace con el 5 medios?
Está multiplicando, pasa al otro lado dividiendo. O sea, tenéis que coger
el menos 2 y dividirlo por 5 medios. Hacer esta operación. Os recuerdo que
el menos 2 es como si tuviese un 1 de abajo. Y que para dividir se
multiplica en cruz. Así que el menos 2 por el 2, que es menos 4. Y el 5
por el 1, que es menos 4. La Y vale menos 4 quintos. Ahora la X. Voy a la
primera ecuación y sustituyo. Me queda X menos un medio por lo que vale Y,
que es menos 4 quintos. Eso es igual a 1. Multiplicáis esas dos
fracciones. Menos por menos es más. Así que queda X más 4. 4 décimos es
igual a 1. Y ahora el 4 décimos lo pasáis al lado derecho restando. Y
queda que X es igual a 1 menos 4 décimos. 4 décimos, 4 décimos.
¿Cuánto sale esa resta? 1 menos 4 décimos son 10 décimos, menos 4
décimos son 6 décimos. Y si simplificáis 6 décimos, 3 quintos. Esto es
lo que vale la X. La X vale 3 quintos, la Y vale menos 4 quintos. Ahora nos
vamos a lo que pedía el examen. La opción A ya dijimos que no. La B. El
sistema tiene una sola solución. Y A más B es igual a menos 1 quinto.
¿Vale o no vale? Sí. Si sumáis lo que nos ha salido la X y lo que nos ha
salido la Y, menos 1 quinto. Esa es la que vale. Este es más complejo. Es
más complicado porque salen fracciones. No es habitual, pero a veces pasa.
Pues ya veis que todos los ejercicios se hacen igual. Pongan el que pongan
de este tema. La manera de resolverlo es esta. Cogéis la matriz.
Trabajáis con ella hasta el final y luego resolvéis. Bueno, os recuerdo
lo que os dije antes. A la vuelta de las fracciones tenéis la prueba de
evaluación continua. En la prueba entran todos los temas. Con lo cual, si
queréis ir estudiando el tema que falta, el quinto tema es de números
reales, sucesiones, límites. Si queréis irlo estudiando, mirad mis
vídeos del año pasado, mis clases grabadas del año pasado, porque cuento
lo mismo. Buscar en mis clases del año pasado esos temas que son los de...
Si lo buscáis por fecha, son los del mes de enero siempre. Buscar mis
clases grabadas del mes de enero del año pasado. Si queréis ir
adelantando. De todas formas, en enero volvemos a hablar de eso. Yo creo
que es el fin de semana... A ver, el día 6, el Día de Reyes, es lunes.
Pues 7, 8, 9, 10... El 10 es viernes. Pues será ese fin de semana, ¿no?
No es ese fin de semana. Pero la ponen un lunes, no la ponen siempre un
viernes o algo así. No sé. Hoy tuvimos lunes. Yo no sé por qué me suena
el viernes. Viernes, viernes 10. Pero bueno, si no es el viernes 10, será
el lunes 14. Miradlo. Hasta luego. Es martes, el 14 de martes. ¿Lo tienes
anotado ese día? Yo lo tengo puesto para el 14. Vale, vale. A las 6 de la
tarde. Mirad ese día, ¿eh? Yo no he mirado. Sé que es por ahí, pero no
he mirado la fecha definitiva. No se lo tengo a mí. Gracias.