Bien, vamos a empezar con el módulo de repaso de geometría analítica,
concretamente con el módulo primero G-1, que aparece ahí en la
transparencia, en su presentación. Desde el siglo XVII, que fue una época
de grandes sabios, y entre ellos, obviamente, el padre de la mecánica,
Newton, se conoce que las trayectorias de los cuerpos sometidos a la
atracción de la gravedad, como es el caso del Sol, la Tierra, la Luna, en
general todos los planetas y satélites, se corresponde con la figura de
una curva plana denominada cónica. Por esta razón, en la asignatura de
mecánica que nos compete, y que vamos a estudiar, aparecerán multitud de
problemas de movimientos de cuerpos con trayectorias en forma de curvas
planas. y en muchos casos coincidentes con las curvas cónicas. De ahí la
importancia de este repaso de las curvas planas en general y de las
cónicas en particular, que por otra parte son conocidas sus propiedades
geométricas desde tiempos ya de Apolonio de Perga, un famoso sabio griego
que vivió sobre los años 260 a. J. El estudio sistemático de curvas en
el plano y de superficies en el espacio, aunando o conjuntando la
geometría y el álgebra, es lo que corresponde a la geometría analítica.
Y de sus aspectos más básicos va a tratar este y los siguientes módulos,
como ya hemos dicho en la presentación, con el objetivo final de recordar
conceptos que van a ser imprescindibles para la construcción de la
geometría analítica. La resolución de gran cantidad de problemas de
mecánica que irán apareciendo a lo largo de la asignatura. Comenzaremos
con las cónicas a las cuales está destinada este primer módulo, como ya
hemos dicho. Las curvas planas tales como circunferencia, elipse,
hipérbola y parábola, también conocidas como cónicas, son el resultado
de ciertas secciones de planos con distintas orientaciones con un cono
circular. Comenzaremos con el estudio de la elipse, que como ya se sabe
desde tiempos de Kepler, es decir, estamos hablando del siglo XII ya, es la
curva que define la trayectoria de los planetas en su movimiento alrededor
del Sol, situado este el Sol en uno de sus focos. en uno de los focos de la
elixir. Esto que acabo de decir resulta ser la primera ley de Kepler que
tendremos ocasión de estudiar en la asignatura de mecánica en cuanto nos
metamos en la cinemática. Así pues, el presente módulo contiene los
siguientes apartados que ves ahí en la transparencia. Primero, propiedades
generales y nomenclatura de la elixir. A continuación hablaremos de la
elixir horizontal con centro en el origen de coordenadas, 0, 0. Después
hablaremos de la elixir horizontal con origen en el polo izquierdo de la
elixir, F1. De la elixir horizontal con el polo derecho, F2. De la vertical
con centro en el origen de coordenadas. Asimismo de la vertical con centro
como origen en el polo superior, F1. También hablaremos de la elixir
horizontal con centro, C. Desplazado, pero manteniendo los ejes de la
elixir paralelos a los ejes de coordenadas. Gracias por ver el video. A
continuación hablaremos de la iglesia vertical también con centro
desplazado y ejes paralelos a los de coordenadas. A mí me parece que lo he
repetido dos veces. Esto está dos veces repetido porque es la misma
historia, pero no. Es que el error está en que hay que tachar este segundo
y hay que poner con ejes no paralelos a los de coordenadas. Después
hablaremos del elipse con centro en posición arbitraria y finalmente el
elipse generada cinemáticamente. Los vamos a ver uno a uno a
continuación. Definición del elipse. Se define el elipse como el lugar
geométrico de los puntos M de coordenadas X e Y, que aparece ahí en la
figura de la derecha de color verde, ahora subrayado en amarillo. Bien,
lugar geométrico de todos los puntos M, X y Y del plano cuya suma de
distancias a otros dos puntos fijos llamados polos es constante. En la
figura de la derecha observamos una helice trazada en color azul, tamaño
grueso, de trazo grueso. Vemos también dos ejes de coordenadas, el OX y el
OY con origen de coordenadas en el punto O. También vemos dos puntos, el
F1 a la izquierda y el F2 a la derecha situados estos dos puntos F1 y F2 en
el eje mayor de la helice y un punto correspondiente a la helice que ya
hemos dicho antes que es el punto M. Propiedades de la helice. Para
cualquier punto M de la helice perdón ahí hay otro error perdonad por los
errores van apareciendo Para cualquier punto M de la helice se cumple que
la distancia desde el punto M al foco F1, al punto F1 que vemos ahí en la
figura, vemos esa distancia trazada en trazo discontinuo de color verde,
más la distancia desde el punto M al otro punto F2 que llamaremos foco, la
suma de estas dos distancias que están representadas en trazo de color
verde, es constante para cualquier punto M que pertenezca a la helice. Da
igual donde esté el punto M, con tal de que pertenezca a la helice, la
suma de esas dos distancias es la misma siempre. Esta propiedad que sólo
se da en la helice, es por lo tanto una propiedad típica de esta figura,
de esta curva de la helice, y a partir de esta propiedad, deduciremos la
expresión algebraica que define precisamente la helice. Vamos a ver qué
nomenclatura tiene esta figura de la elipse. Como vemos ahí en la figura
de la derecha, los puntos A1 y A2 le vamos a llamar vértices. Estos puntos
son los puntos de intersección de la elipse con el eje mayor de la elipse,
que es el eje de las X que está representado. A los puntos F1 y F2 le
vamos a llamar focos. Como vemos, están distanciados desde el centro de la
elipse, hacia la izquierda una distancia C, el F1, y hacia la derecha una
distancia C, el F2. Esos puntos se llamarán focos de la elipse. El centro
de la elipse es el punto O. La distancia F1... F2, que hay entre los dos
focos, le llamaremos distancia focal y tiene una longitud igual a 2C, 2 por
C. Luego, la distancia desde O a F2 será C, porque es la mitad de la
distancia entre F1 y F2. Por eso se ha marcado ahí en la figura esa
distancia OF2 como C. La distancia ASU1, ASU2, que vemos ahí representada
también en la figura, conforma lo que es el eje mayor de la elipse. Y esa
distancia es igual a 2 por A, 2 multiplicado por un parámetro A. Luego,
dado que B2 es un punto de la elipse, fijaros que B2 está en el eje
vertical, en el eje I, dado que B2 es un punto de la elipse, y haciendo uso
de la propiedad que antes hemos citado de la elipse, se ha de cumplir que
la distancia B2 F1 más la distancia de B2 a F2 Es igual a dos veces la
distancia de B sub 2 a F sub 2. O también igual a dos veces la distancia
de B1 a F sub 1. Por lo tanto, B2F sub 2 ha de ser igual, por eso lo hemos
representado ahí, esa hipotenusa de ese triángulo O, B2F2, como A. La
distancia B sub 1, B sub 2, es lo que se llama, conforma y se llama, eje
menor de la helice. Y esa distancia es igual a 2 por B, siendo B otro
parámetro, típico de la helice. Luego, la mitad de ese parámetro, de esa
distancia B2B sub 1, la mitad del eje menor, es igual a B. Por eso hemos
colocado la letra B, marcando la distancia que existe entre O y B sub 2, y
que a su vez es la longitud de ese cateto, perdón, de un cateto formado
por el triángulo O, B2F sub 2. Así que ya tenemos el triángulo S
definido. O, B2, F es un triángulo retángulo en O, cuyos catetos son B,
el vertical, C, el horizontal, y cuya hipotenusa es A. A es la mitad de la
longitud del eje mayor, B es la mitad de la longitud del eje menor, y C es
la mitad de la longitud de la distancia focal F1, F2. Si por los polos F1 o
F2 trazamos una vertical, es decir, una paralela al eje Y, ahí está
representado, por ejemplo, la derecha con el segmento QQ', lo mismo que en
la izquierda, segmento QQ', a ese segmento QQ' le vamos a llamar lado recto
o ancho focal, y tiene una longitud igual a 2 por B cuadrado dividido entre
A. B2. B y A ya hemos dicho antes lo que eran, el semieje menor y el
semieje mayor respectivamente. Finalmente, llamaremos E, excentricidad, a
la relación que hay entre el parámetro C dividido por el parámetro A. Es
decir, la mitad de la distancia focal dividido entre la mitad de la
distancia del eje mayor, a eso se le llama excentricidad. En la helice, el
valor de la excentricidad está siempre comprendida entre los valores 0 y
1. Por tanto, ha de ser mayor que 0 y menor que 1. Bien, estos son, digamos
de alguna forma, pues la definición y la nomenclatura de la helice.
Conocido esto, vamos a seguir hacia adelante, avanzando. Los ejes
coordenados. Los O, X e Y que hemos visto antes, pueden estar en el centro
de la helice. Pueden pasar por el centro de la elipse o bien pueden estar
en cualquier otro punto del plano. Generalmente se sitúa en el origen, el
origen de coordenadas, de estos ejes de coordenadas, estos ejes de
referencia, se sitúa en el centro de la elipse o bien en los focos de la
elipse. Y, normalmente también, se mantienen los ejes OX y OY paralelos a
los ejes de la elipse, el eje mayor y el eje menor. Vamos a ver en cada
caso concreto de los citados cómo se expresa la ecuación algebraica que
representa a la elipse. Comenzaremos con el caso de una elipse horizontal
con centro en el origen de coordenadas O001. Tal y como aparece ahí
representado en la figura de la derecha. Los ejes X e Y, cuyo origen de
coordenadas es el punto O, que es el centro de la elipse, y observamos como
el eje OX tiene la misma dirección que el eje mayor de la hélice, A1, A2,
y el eje Y tiene la misma dirección que el eje menor de la hélice, B1,
B2. En este caso concreto, la ecuación canónica de la hélice,
coordenadas cartesianas obviamente, será esta que veis aquí. Aquí, B
cuadrado por X cuadrado, más A cuadrado por Y cuadrado, igual a A cuadrado
por B cuadrado. Ya sabemos lo que es A y lo que es B. A es la distancia
semi, la mitad de la distancia del eje mayor de la hélice, y B es la mitad
de la distancia del eje menor de la hélice. Bueno, lo que ocurre es que
normalmente no se presenta, bueno, muchas veces no se presenta así la
ecuación, la ecuación canónica, se presenta de otra forma un poco más
fácil de recordar. Para lo cual vamos a dividir los dos miembros de esta
ecuación que acabamos de ver. por a cuadrado b cuadrado, resultando la
ecuación que veis ahí abajo. x cuadrado partido por a cuadrado, o así
cuadrado partido por b cuadrado, igual a 1. Esta es una ecuación más
fácil de recordar y llamada la ecuación canónica de la helice. Siempre
que veamos una ecuación de este estilo, sabremos que se trata de una
helice con los ejes de coordenadas paralelos a los ejes de la helice y con
el origen de coordenadas localizado en el centro o de la helice.
Recordemos, una vez más, que a es el semieje mayor y b es la longitud del
semieje menor. Por lo tanto, a partir de la ecuación, una ecuación de ese
estilo, sabremos identificar que es una helice de ejes paralelos a los
ejes, ejes de la helice, ejes de coordenadas paralelos a los ejes de la
helice, cuyo origen de coordenadas pasa por el centro de la helice. y que
la longitud del eje mayor corresponde a la raíz cuadrada del denominador
multiplicado por 2. La longitud del eje menor de la hélice será la raíz
cuadrada del denominador de esa expresión algebraica multiplicado por 2.
La demostración de cómo se obtiene esta ecuación canónica de la hélice
en estas condiciones que acabo de editar aparece en el ejercicio resuelto
de código GA20 y en el ejemplo GA26 se da, por la redundancia, un ejemplo
práctico que aclara cómo se maneja esta ecuación. Claro que muchas veces
no nos darán la ecuación, en coordenadas cartesianas, por lo tanto no
tendremos ocasión de comparar la ecuación algebraica con la figura de la
hélice. coordenadas cartesianas, claro está, sino que nos vendrá nada en
coordenadas polares, coincidiendo el polo en el origen de coordenadas O.
Cuando esto es así, cuando la ecuación de la elipse, en estas condiciones
que he dicho antes, es decir, horizontal con el eje mayor horizontal, con
el eje menor vertical, y con el centro de la elipse, punto O, coincidiendo
con el polo de las coordenadas polares, la ecuación es esta que veis
aquí. R igual a B partido por raíz cuadrada de 1 menos E cuadrado coseno
cuadrado T cita. Ya sabemos. Entonces lo que es B, que es la mitad de la
longitud del eje menor de la elipse, R lo veis ahí en la figura de la
derecha, que es el radio polar, el radio que va desde el polo O hasta el
punto M, que es un punto de la helice. Y E ya sabemos que es la
excentricidad, que es C dividido entre A. Cuando veamos una ecuación de
este tipo, sabremos que es la ecuación en polares de una helice horizontal
con centro O coincidiendo con el polo de la helice. También, muchas veces,
en muchos problemas, nos vendrá dada la ecuación de la helice en
paramétricas. En este caso, para deducir esta ecuación de paramétricas,
nos conviene trazar las circunferencias que... que veis ahí en la figura
de la derecha, con centro en O y radio. Radio A, que es la interior, esta
que voy a marcar ahora en la mano. Perdón, radio B, la interior. Y otra,
radio A, la exterior. Una vez trazadas esas circunferencias, las
coordenadas del punto M, que hemos visto antes, el punto M de la helice de
coordenadas X y Y, podrá expresarse en función de los triángulos OHG,
que aparece ahí en línea de trazos, triángulo rectángulo HG, y en
función también de otro triángulo rectángulo que es el FHM. Resultando,
aplicando simplemente la trigonometría sencilla a estos dos triángulos,
resultan las expresiones siguientes, que aparecen ahí en la transparencia.
X igual a A por coseno de T, Y igual a B por seno de T. Siendo T el ángulo
que forma el radio vector OH. o la hipotenusa del triángulo, o HGO.
Ángulo que forma este, esta hipotenusa con el eje de las X, que está ahí
marcado como T. Bien, todas estas serían las ecuaciones en paramétricas
de una helice. X igual a coseno de T, D igual a seno de T, que constituyen
las ecuaciones paramétricas de la helice, y siendo, repito, el parámetro
elegido, el ángulo T que forma el lado H con el eje OX. Fáciles de
deducir, muy fáciles de deducir, a partir de esos dos triángulos,
rectángulos que hemos dicho, sin ningún problema para el alumno
seguramente. Claro que muchas veces se da estas ecuaciones paramétricas de
otra forma diferente, haciendo un cambio de variables y poniendo tangente
detrás, T medio, siendo T ese ángulo que acabamos de citar. llamándole a
eso m, y sustituyendo las ecuaciones anteriores, resultarán estas dos
ecuaciones que figuran aquí al final, x igual a a por 1 menos m cuadrado
partido por 1 más m cuadrado, e i igual a b por 2m partido por 1 más m
cuadrado, que es otra expresión un poco diferente de las mismas ecuaciones
paramétricas que hemos visto antes. Lo que ocurre es que ahora hemos
cambiado de parámetro. Antes el parámetro era el ángulo t, ahora el
parámetro es la variable m que coincide con la tangente del ángulo t
medios. A veces la helice viene expresada en forma horizontal también,
pero con origen en el polo f1, es decir, Ahora, el origen de coordenadas de
los ejes de referencia X, OX y OY ya no coincide con el centro de la helice
como antes, sino que se ha desplazado al foco F1. A veces los problemas
vienen así, enfocados, de tal forma que el origen de coordenadas se sitúa
en el polo F1 de la izquierda. Entonces, la ecuación canónica de la
helice en esta situación es la misma que la vista anteriormente, pero con
el eje OY desplazado a una distancia OF igual a C. Hemos desplazado el eje
OY que antes estaba en el punto O, ahora lo hemos desplazado al punto F1,
es decir, a una distancia C hacia la izquierda. De ahí, la expresión de
la ecuación canónica coincidirá con como la anterior, igual será igual
que la anterior, pero restándole a la X una distancia C, que es la que se
ha desplazado el eje Y hacia la izquierda. Por el resto, es lo mismo. En
cuanto a la ecuación de esta helice, en esta nueva situación con polo en
el origen de coordenadas F1, esto está mal ahí, otro error que hay que
corregir, esto es, polo ahora está en el punto F1, será la que veis ahí,
ahí, R igual a B cuadrado partido por A por 1 menos E coseno de cita, o lo
que es igual, haciendo operaciones y reduciendo, sería igual que P medios
partido por 1 menos E coseno de cita. P es lo que antes hemos llamado lado
recto, perdón, es la mitad del lado recto, la anchura focal, es decir, es
igual a B cuadrado partido por A, tal y como aparece ahí en la izquierda.
B cuadrado partido por A es igual a P medios. Por lo tanto, P será igual a
2B cuadrado partido por A, que antes, cuando hablamos de nomenclatura, eso
recibía el nombre de lado recto o ancho focal. Esta demostración, cómo
surge esta ecuación, lo veréis en el ejercicio resuelto GA21. GA21, R
será la distancia, el radio focal, la distancia que va entre el origen y
el polo, que es F, y el punto M, esta distancia F sub 1M, coincidirá con
la distancia R que aparece en la fórmula, B, como ya sabemos, es la mitad
del lado menor de la elipse, A es la mitad del lado mayor de la elipse, y E
es la excentricidad que esté partido por A. En paramétricas, Es
prácticamente igual que lo hemos visto en la elixir anterior, pero ahora
sumándole la distancia C que se ha desplazado el eje Y hacia la izquierda.
X igual a C más A coseno de T e Y igual a B por seno de T. Lo mismo que
antes, si cambiamos de variable y llamamos a tangente de T medios igual a
M, M resulta que saldrán esas ecuaciones paramétricas nuevas con el
parámetro M. El ángulo T coincidirá con el ángulo que aquí se ha
puesto como cita. Este es el ángulo T porque es el ángulo que forma el
eje focal o eje X con el radio o vector de posición F1, M. En el caso de
que la elipse Siga siendo horizontal y con sus ejes paralelos a los ejes de
coordenadas. Pero ahora, el origen de coordenadas T en el foco F2, es este
caso, figura inferior que veis ahí. Ahora, el eje Y se ha desplazado hacia
el foco de la derecha, hacia el foco 2. Las ecuaciones son similares a las
anteriores, pero en lugar de sumarle a la X, de restarle C a la X, ahora
habrá que sumarle C porque se ha desplazado una distancia C hacia la
derecha. Eso para la ecuación canónica. El resto sigue siendo igual. En
polares, más o menos igual que la otra, aquí tenéis la expresión. Y en
paramétricas, pues lo mismo que antes, pero en lugar de sumarle C,
restarle C. Distancia ahora, que se ha separado hacia la derecha. El eje Y
en lugar de hacia la izquierda. Lo mismo, las paramétricas con el
parámetro M, que es tangente de T medios igual a M, serán estas,
similares también. a las anteriores, con la única diferencia de la suma o
la resta del parámetro C. La demostración de estas fórmulas que
acabamos, estas expresiones algebraicas que acabamos de ver, y que todas
ellas representan a la hélice en esta nueva situación, las veréis en el
ejercicio resuelto GA22. A continuación, hasta ahora hemos visto las
helices en posición horizontal, ahora vamos a verlas en posición
vertical, que también suelen salir en algunos problemas de mecánica. Si
la hélice es vertical y su centro de coordenadas de los ejes de referencia
coinciden con el centro de la hélice, figura derecha superior, eje de
coordenadas coincide con el eje vertical, el centro de la helice, perdón,
o la ecuación canónica pues será igual que cuando la helice era
horizontal pero ahora habrá que cambiar los denominadores. En lugar de
poner x cuadrado partido por a cuadrado como poníamos antes ahora habrá
que poner x cuadrado por b cuadrado puesto que se ha dado un giro de 90
grados a la helice. Y en lugar de poner y cuadrado por b cuadrado como en
el caso de la helice horizontal ahora pondremos y cuadrado partido por a
cuadrado, el resto igual. Lo mismo ocurrirá con las ecuaciones en polares
cuya demostración aparece en el ejercicio GA23 y en el caso de que la
helice vertical tenga el origen de coordenadas situado encima del polo F1
que es el polo superior, tal y como vemos en la figura inferior derecha
pues la ecuación canónica será exactamente igual que ocurría. En el
caso del alis horizontal con polo desplazado, esta que veis ahí. Habrá
que sumarle al y la distancia c que se han desplazado los ejes hacia
arriba. El eje x hacia arriba. La ecuación limpolar será esta que veis
ahí y cuya demostración está, aparece, representada o desarrollada en el
ejemplo GA24. GA24 Vamos a seguir avanzando, deslocalizando cada vez más
los ejes de referencia de los puntos relacionados con la elise.
Comenzaremos con la elise con centro c desplazado en las coordenadas hk tal
y como veis ahí en la figura superior derecha. Pero manteniendo los ejes
de la elise paralelos a los ejes de coordenadas ox y oi. simplemente lo que
hemos hecho es desplazar el centro, ya no sobre el eje X y ya no sobre el
eje Y, sino a un punto pues totalmente arbitrario del plano. En este caso,
la ecuación canónica vuelve a ser igual, similar, vamos, a la ecuación
de la helice cuando los ejes de coordenadas, el origen de coordenadas de
los ejes de coordenadas o coincidía con el centro C de la helice, pero
ahora habrá que restar las distancias H y K a los ejes X e Y porque son
las distancias que se han desplazado el eje. Veis ahí la ecuación
canónica en coordenadas cartesianas y en el ejemplo GA31 se ve que...
...clarísimamente cómo trabajar con esta nueva ecuación. Claro que, a
veces, en los problemas, algunas veces o en muchas veces, la ecuación de
la elipse no vendrá expresada exactamente de la forma canónica como esa
que acabamos de ver, sino que vendrá representada de una forma más
general, como esta que aparece aquí. ax cuadrado más ci cuadrado más dx
más ci más fi igual a cero. Y tendremos que reconocerla, es decir, cuando
se nos presente una ecuación de este tipo, tendremos que saber que se
está refiriendo a una elipse con el centro c desplazado a un punto del
plano cualquiera. Bien, esto lo vamos a... bueno, aparece una demostración
que nos va a aclarar mucho ahí en el ejemplo GA25 y aparece un problema...
sobre este asunto en el ejemplo GA27, pero lo vamos a dejar un poquito más
para adelante para otro módulo concreto que vamos a dedicarle un módulo
completo a este tipo de ecuaciones representadas de esta forma, de forma
general. Pero, observemos ya una cosa. En esta ecuación general que
acabamos de citar aparecen los términos cuadráticos, cuadráticos, que
son aquellos términos en la cual las variables x e y están elevadas al
cuadrado, es decir, a por x cuadrado, c por y cuadrado, siendo ahí c, d, e
y f números constantes. Aparecen entonces los términos cuadráticos y
aparecen los términos lineales, que son aquellos términos donde aparece
la x o la y elevado a la potencia 1. Es decir, dx. Y aparece además un
término constante, que es una f, donde no figura ni la x ni la y. El
simple hecho de que no aparezcan los términos en los que figure la X
multiplicada por la Y, que le vamos a llamar términos rectangulares, nos
está indicando que esa ecuación es la ecuación de una elipse con los
ejes paralelos a los ejes de coordenadas. Muy importante. Esto lo adelanto,
luego vamos a hablar más de él, pero adelante esto. Porque, repito,
cuando aparece en un problema una ecuación de este tipo como resultado de
una serie de operaciones que tengamos que hacer en el problema, luego
deberemos saber identificar esa ecuación con una curva, con la elipse en
este caso. Entonces debemos saber perfectamente que eso se trata de una
elipse. Repito que los ejemplos GA25 y GA27, todo esto se aclara
perfectamente y que luego, en un módulo posterior, hablaremos más de este
importante asunto. Claro que podíamos transformar perfectísimamente esta
ecuación general en la ecuación canónica anteriormente vista. No habrá
más que hacer una serie de operaciones algebraicas para tratar de buscar
el cuadrado de un binomio, x menos h al cuadrado, el cuadrado de un binomio
en y, menos k al cuadrado, dividido por unas constantes igual a 1. Hay que
transformar esta fórmula general, haciendo operaciones, de tal forma que
consigamos la ecuación canónica vista anteriormente. Y entonces ya
tenemos clarísimamente identificado, primero, que es una lice, y segundo,
identificado cuánto vale su eje mayor, 2a, cuánto vale su eje menor, 2b,
e incluso identificado también las coordenadas de su centro, h y k. Y esto
está claro. En el ejercicio GA27. Pero dejémoslo aquí, no hablemos más
de esto, y sigamos, porque repito que hay ocasión de hablarlo más
adelante en profundidad. Si la helice es vertical con centro desplazado
también en un punto cualquiera del plano, de coordenadas HK, y también
está el centro de la helice fuera del origen de coordenadas O, pero sin
embargo siguen coincidiendo paralelos los ejes de la helice con los ejes
coordenados, entonces ese es el caso que vemos aquí, la parte inferior
derecha de la figura inferior, centro C desplazado a una distancia HK del
centro de coordenadas, origen de coordenadas O, y ejes paralelos, los ejes
coordenados, ejes de la helice paralelos a ejes de coordenadas, entonces,
tal y como hemos visto antes, no hay, la ecuación canónica en este caso
es muy fácil, será X menos H, que es el desplazamiento del eje Y sobre el
eje X, una distancia H, al cuadrado, partido por b al cuadrado, b porque es
vertical, a sería horizontal, más y menos k, siendo k el desplazamiento
del eje x sobre el eje y, al cuadrado, partido por a al cuadrado, puesto
que es vertical ahora, igual a 1. Ejemplo de cómo tratar esta ecuación en
el GA28. GA28, que nos dan una ecuación no de esta forma que acabamos de
ver, sino de forma general, tal y como aparece aquí. Bueno, pues tendremos
que identificar la elipse también, tendremos que saber que es una elipse
vertical. La forma de la expresión general es igual que la de hemos visto
antes. No tiene términos cuadráticos, perdón, tiene términos
cuadráticos y términos lineales. Y constante f, pero no tiene términos
rectangulares en los que aparezca x multiplicado por e. Eso identifica que
es una elipse. Habrá que ver si es horizontal o vertical, pero ese es otro
asunto. Y siempre podemos pasar, haciendo operaciones, como aparece en
muchos de los problemas de este tema, en muchos de los ejercicios que
figuran en la colección de este tema, siempre podemos pasar, repito, de la
ecuación general a la ecuación canónica, que identifica perfectamente la
elipse vertical, identifica su eje menor, su eje mayor e identifica las
coordenadas de su centro. Finalmente, y ya que estamos deslocalizando la
elipse, vamos a deslocalizarla totalmente. ¿Por qué? Con respecto a los
ejes de referencia. alejando, por una parte, el centro C de la hélice del
origen O de coordenadas, tal y como ya habíamos hecho antes. Pero ahora
vamos a rezar el rizo. Vamos a evitar que los ejes OX y OY, ejes de
referencia, ejes de coordenadas, sean paralelos a los ejes de la hélice,
A1A2 y B1B2. En la figura de la derecha lo veis, pues, como el centro C ya
no coincide con el origen de coordenadas O, y los ejes de la hélice, eje
mayor A1A2 y eje menor B1B2, tampoco son paralelos a los ejes OX y OY. Este
es el caso más general que se nos puede dar. Y vamos a ver qué ecuaciones
resultan para esta hélice. Total. Totalmente deslocalizada. Bueno, esta
hélice, habrá que decir que el eje B1B2 en este hélice, el eje menor del
hélice, B1B2, es una recta... ¿Qué tendrá una ecuación? La ecuación
de una recta. Ahí la hemos puesto, y igual a m sub 2 por x más b sub 2. Y
el eje mayor b de la helicia, a sub 1, a sub 2, será asimismo una recta
cuya ecuación conoceremos. Y igual a m sub 1 por x más b sub 1. Como ya
sabemos, m sub 2 coincide con la pendiente de la recta, b1, b2. Y m sub 1
coincide con la pendiente, es decir, la tangente del ángulo que forma la
recta, a1, a2, con el eje de las x. Bien, fijémonos en una cosa. Vamos a
tomar como ejes de referencia inicial los ejes de la helice, los b1, b2 y
a1, a2. Y tomando estos ejes de referencia, la ecuación de la helice, pues
es la ecuación de una helice cuyo ejes de coordenadas coinciden con los
ejes del elipse y cuyo origen de coordenadas coincide con el centro del
elipse. Ya sabemos cuál es la ecuación, la hemos visto en el primer caso.
La ecuación sería esta, x que en este caso es qm al cuadrado partido por
a cuadrado más mr al cuadrado que sería y al cuadrado partido por b al
cuadrado igual a 1. qm sería, lo vemos aquí, la distancia desde el punto
q hasta el punto m del elipse. En vertical es decir, la y. Suponiendo que
los ejes son, los ejes de referencia, los ejes de coordenadas son los ejes
mayor y menor del elipse, qm sería y y rm sería x. Por tanto la ecuación
canónica de esa circunferencia, la primera que hemos visto es esa que
hemos subrayado en la barilla. Teniendo en cuenta que la distancia qm
Conociendo la ecuación de la recta B1-B2, que es Y igual a M2X por B2, es
igual a esa expresión que veis ahí, Y menos M2X, perdón, M2X menos B2
partido por raíz cuadrada de 1 menos M2 al cuadrado, y la distancia RM,
desde el punto M a la recta A1-A2 es Y menos M1X menos B1, que es la
ecuación de la recta, partido por raíz cuadrada de 1 menos M1 al
cuadrado, sustituyéndolo en la ecuación anterior, obtenemos la ecuación
canónica de esta helice, que es esa que acabo de marcar en amarillo. La
ecuación de... ...de la helice en una posición arbitraria. Animamos al
alumno a que deduzca por sí mismo estas expresiones que acabamos de
presentar y que por otra parte son muy sencillas, puesto que es simplemente
calcular la distancia desde el punto M a dos rectas, a la B1-B2 y a la
A1-A2. No es otra cosa, así de sencillo. Si tiene dificultades en todo
caso en hacerlo, le ruego que se ponga en contacto conmigo vía e-mail que
aparece ahí en la transparencia. Pero no va a tener ningún problema
porque es muy sencillo. También podemos representar la helice así
totalmente deslocalizada como esa que aparece ahí en la figura, de una
forma general. Y esta helice de forma a ser representada en suspensión
analítica de una forma general es esa que veis ahí. Aquí sí que aparece
ya... ...el término cuadrat de rectangular, como ya veis. Aparecen los
términos cuadráticos ax2 y ci2, como antes. Aparecen los términos
lineales dx y ei, como antes. Aparece el término independiente, o el
término de la constante f. Pero ahora además aparece el término
cuadrático dx por i. Y esto nos indica clarísimamente clarísimamente que
el eje de simetría del helice está inclinado con respecto a los ejes de
coordenadas x e i. Es decir, que los ejes del helice no son paralelos a los
ejes de referencia. Esto nos damos cuenta de ello porque en la ecuación
general aparece el término rectangular b por x por i. En los ejercicios
GA29 y GA30 aparece claramente estos conceptos de forma práctica. Bien,
hasta aquí hemos repasado las propiedades del elipse, así como sus
ecuaciones, vistas desde el punto de vista geométrico. Sin embargo, vamos
a estudiar mecánica. Y en mecánica vamos a estudiar movimientos. Por lo
que es muy interesante ver la elipse, también, como la curva generada
cinemáticamente por un segmento ABM, que aparece ahí en la figura de la
derecha, ese segmento ABM, que podría ser una barra, o podría ser
cualquier otro objeto material similar a la barra, tal que la distancia
desde el punto A hasta el punto M, de esa barra, sea igual a A, que era,
recordad, el semieje mayor de la elipse. Y la distancia BM en esa barra es
igual a B, que es el semieje menor de la elipse. Y de tal forma que esta
barra AM tenga un movimiento. Este movimiento será tal que los puntos A y
B del segmento deslizan por un par de ejes ortogonales que son el eje OX y
el eje OY. Por eso ahí la figura se ha puesto una flechita, aunque se ve
poco, la verdad. Esta flechita en verde significa, hacia la izquierda, que
el punto B, por ejemplo, se desplaza sobre el eje OX hacia la izquierda o
hacia la derecha. Y el punto A se desplaza sobre el eje Y hacia arriba o
hacia abajo. Eso genera un movimiento de la barra y el punto M va pasando
por todos los puntos de la helice. Es decir, si el punto M en su extremo de
la barra tiene un lápiz o una tiza de cualquier forma, va dibujando la
helice a medida que se mueve la barra de esa forma que acabo de decir. Esta
es la generación cinematográfica. Cinemática de la helice, es decir, la
generación de la helice a través del movimiento de la barra AM. En este
caso, el punto Y, ese punto que veis aquí, que es la intersección de dos
líneas, una perpendicular al eje X pasando por el punto B y otra
perpendicular al eje Y pasando por el punto A, este punto Y es el centro
instantáneo de rotación del movimiento de la barra ADN. Tal y como
veremos cuando estudiemos la cinemática. Es un concepto muy importante de
cinemática, ahora mismo no vamos a ahondar en él, puesto que nos estamos
adelantando, pero lo estudiaremos muy profundamente en cinemática. En este
caso, vista la lice de esta forma generada por este movimiento de este
elemento o segmento AM o barra AM, la determinación de las ecuaciones
paramétricas de la lice, Es muy sencilla. Si proyectamos el segmento ABM
sobre los ejes OX y OY, resulta que las coordenadas de un punto arbitrario
MXI, que está representado ahí en la figura, que es un punto de la
elipse, que tiene unas coordenadas X e Y en cada momento, serán muy
fáciles de calcular estas coordenadas simplemente aplicando trigonometría
de la más sencilla y así aparecerá que X es igual a A por coseno de
zita, siendo zita el ángulo que forma la barra con el eje X, e Y igual a B
seno de zita. Creo que no hace falta gastar más palabras porque se ve
fácilmente que es así. Bien. Y con esto que acabamos de decir, con este
importante asunto, importante desde el punto de vista de los problemas
futuros en mecánica que acabamos de hablar, que acabamos de... Citar ahora
mismo, finalizamos el primer módulo dedicado al repaso de la geometría
analítica. El siguiente módulo tratará de otra cónica que es un poco
especial, puesto que es una variación de la helice, que acabamos de ver.
Se trata de la circunferencia, ni más ni menos. Y antes de finalizar, sin
embargo, quiero insistir en la importancia que tiene para el alumno
interesado en estos temas, el carácter complementario que tienen los
problemas resueltos que aparecen referenciados en cada transparencia, tan
fundamental es este asunto, que solamente el estudio en conjunto de los
mismos, en paralelo con la visión de estas grabaciones, dará lugar a
resultados positivos. Y el resto será una pérdida de tiempo que debemos
evitar. Por lo tanto, es muy importante que, paralelamente a la visión de
estas grabaciones, tengamos los problemas delante. Y vayáis viendo el
concepto teórico y a continuación el problema, porque solamente así se
entenderá. Nada más, muchas gracias y hasta la próxima.