Bueno, pues vamos a empezar hoy con el módulo G9, último de momento en
esta primera etapa que se va a grabar sobre recordatorio de conceptos
previos al estudio de la mecánica. Posteriormente, seguramente en años
posteriores, se seguirán ampliando estos conceptos y se añadirán otros
nuevos, etcétera, pero este año va a ser el último módulo sobre esta
materia. Hoy nos toca hablar de geometría diferencial. En cinemática, y
concretamente en el estudio del movimiento claro, vamos a necesitar tener
claros algunos conceptos elementales de geometría diferencial tales como
curvatura, evoluta y envolvente. Curvas, por lo que nos ha parecido
interesante refrescar estos conceptos que frecuentemente se traen olvidados
y a ello vamos a dedicar este módulo. Hablaremos pues en este módulo G9
de la relación que existe entre el arco de una curva y sus derivadas, su
derivada. del concepto de curvatura de una curva, del cálculo de la
curvatura de una curva, hablaremos también del radio, el círculo y el
centro de curvatura de una curva, hablaremos de las ecuaciones que nos dan
las coordenadas del centro de curvatura de una determinada curva,
hablaremos de evolvente y evoluta de una curva y hablaremos de propiedades
de la evolvente, esto es el esquema, el índice que vamos a seguir.
Comencemos recordando la relación existente entre la longitud de arco de
una curva y su derivada. En la figura de la derecha, veis ahí, se aprecia
una curva que está dibujada en rojo, la figura es representada
algebraicamente esta curva, a través de una función explícita que vamos
a llamar I igual a FD. Además, también se observa en la misma figura un
arco de dicha curva, concretamente el M0M1 y la cuerda del mismo, que es el
segmento que une el punto M0 con M1 y que está dibujado ahí con esa
línea de color negro. Sabemos que... el límite del cociente, longitud de
arco M0M1 que se ha representado, la longitud de árbol M0M1 que hemos
representado como S, vemos aquí, S, dividido por la longitud de cuerda
entre los puntos M0 y M1, ese límite cuando M0 se acerca infinitamente a
M1 es igual a 1, porque se confunde la longitud de arco con la longitud de
la cuerda en unas longitudes tan pequeñas, es decir, repito, estando el
punto M0 muy muy muy cerca al punto M1. Es decir, si tomamos un punto M de
esta curva, próximo al M1, que vemos ahí representado, tendremos el
triángulo, MQM1, que veis ahí representado también, que es un triángulo
lozano. Con el cateto MQ le vamos a llamar incremento de X. Al cateto MSU1Q
le vamos a llamar incremento de Y. Y a la longitud de arco MMSU1, arco
MMSU1, le vamos a llamar incremento de S. Entonces, del triángulo MQM1,
que acabamos de comentar, Resulta que la cuerda M1 elevada al cuadrado, es
decir, la hipotenusa de este triángulo que acabo de citar, elevado al
cuadrado, es igual a la suma de los cuadrados de los catetos aplicando el
teorema de Pitágoras, es decir, sería igual a incremento de X al cuadrado
más incremento de Y al cuadrado, que es lo que aparece ahí en la
trasparente. Y multiplicando y dividiendo el primer miembro por incremento
de S al cuadrado resulta lo que vemos aquí, M1 al cuadrado partido por
incremento de S al cuadrado multiplicado por incremento de S al cuadrado,
con lo cual se queda lo mismo que antes es igual a incremento de X al
cuadrado más incremento de Y al cuadrado y dividiendo por incremento de X
al cuadrado. Ambos miembros resulta que M1 al cuadrado partido por
incremento de S al cuadrado por incremento de S al cuadrado partido por
incremento de X al cuadrado es igual a 1 más incremento de Y al cuadrado
partido por incremento de X al cuadrado. Es decir, hemos simplemente
dividido ambos miembros de la expresión anterior por incremento de X al
cuadrado. Si ahora pasamos al límite cuando incremento... Si ahora pasamos
al límite cuando incremento de X tiende a 0, resulta que donde pone
incremento pasa a ser diferencial, por lo tanto, será diferencial de S.
partido por diferencial de x al cuadrado, igual a 1 más diferencial de y
partido por diferencial de x al cuadrado. Y extrayendo la raíz cuadrada de
ambos miembros y pasando el diferencial de x al segundo miembro, del primer
miembro al segundo, quedaría que el diferencial de x es igual a la raíz
cuadrada del diferencial de x al cuadrado más diferencial de y al
cuadrado. Esta expresión, así tan fácilmente extraída, deducida, nos da
la relación que existe entre la longitud de arco de una curva diferencial
de s y la derivada de la función de esa curva, derivada de irrespecto de
x, puesto que la podemos representar así, tal y como acabamos de ver.
Podemos ver diferencial de s igual a raíz cuadrada del diferencial de x al
cuadrado más diferencial de y al cuadrado, o también podemos multiplicar
y dividir el segundo miembro por diferencial de x, y nos quedaría
diferencial de s igual a raíz cuadrada de 1 más derivada de irrespecto de
x al cuadrado. Con lo cual tenemos representada la, repito, longitud del
arco de una curva y su... En función... En función de su derivada, de la
derivada de la función que representa a esa curva. y igual a f de x como
muestra. Esto es una expresión muy importante y que vamos a utilizar mucho
en los problemas. Si la curva nos la presenta, viene representada a través
de la función explícita y igual a f de x en coordenadas cartesianas,
viene expresada en forma paramétrica, en forma de coordenadas de
ecuaciones paramétricas, es decir, x igual a g de t, y igual a g de t con
el parámetro t. Entonces, lo único que hay que hacer es sustituir,
primero, calcular las derivadas de x respecto a t, de y respecto a t, y
sustituirlas en la ecuación anterior que hemos visto. Por lo que saldrá
diferencial de x igual a raíz cuadrada de f' de t al cuadrado más g' de t
al cuadrado multiplicado por diferencial de t. Siendo g' de t la derivada
de la función g con respecto al parámetro t, y f' de t la derivada de la
función g con respecto al parámetro t. Esto es muy sencillo, fácil de
comprender, porque no es más que sustituir, repito, las ecuaciones de x y
de y, las ecuaciones de las funciones paramétricas con respecto al
parámetro t, en la expresión anterior que nos da la longitud del arco en
función de su derivada. Y finalmente, en algunos problemas, la función
esa, la curva roja que hemos dibujado, vendrá representada en coordenadas
polares a través de la función ro igual a f' de t. siendo ρ el
radiopolar y zeta el ángulo polar. Si derivamos ρ respecto a zeta, le
llamamos ρ', sustituyendo en la ecuación primera que nos daba la longitud
de dar con función de la derivada, obtenemos esta expresión que vemos
aquí, aquí, diferencial de S igual a raíz cuadrada de ρ al cuadrado
más ρ' al cuadrado, es decir, derivada de ρ respecto de zeta al
cuadrado, y todo multiplicado por r. La demostración o la deducción de
estas fórmulas, podéis ver tanto representando la función
paramétricamente como representando la función en colares, la podéis ver
en mi ejecución. El ejercicio resuelto en colisión g de u. Todas estas
expresiones que acabamos de ver, nos relacionan la longitud del arco de una
curva dada con las derivadas de la función que representa a la curva, y
nos van a ser de gran aplicación los problemas de mecánica con los que ya
veremos en vida que avancemos en el estudio de la simulación. Por tanto,
es muy conveniente el recordarlas. Pasemos. Pasemos ahora a intentar medir
la curvatura de la curva. Bien, sea una curva que no se corta y que tiene
una tangente bien determinada en cada punto. Ahí la tenemos representada
en la figura superior izquierda. Pues la curva A ver, dibujada en rojo,
arriba de esa curva A ver, representada en trazo grueso de color rojo, y
vemos que tiene una línea tangente en A y una línea tangente en B, y que
el ángulo formado por los dos tangentes es el ángulo alfa. Este ángulo
alfa formado por los tangentes en dos puntos A y B de la misma, que no es
ni más ni menos que el ángulo de giro de la tangente cuando ésta pasa
del punto A al punto B, se llama ángulo de contingencia. De los dos arcos
de una misma longitud, de dos curvas diferentes, tal como se ve ahí en la
figura, primera y segunda, la izquierda, superiores, todas corresponden a
la parte superior de la transparencia. Vemos dos figuras, dos curvas, una
AB y la otra CD. Bien, todo el repito. De los dos arcos de una misma
longitud, de dos curvas diferentes, como son la AB y la CD que aparecen en
una figura, la curva que tenga mayor ángulo de contingencia será A. La
más curva. O sea, La que tiene mayor curvatura, tal y como se ve
intuitivamente en la figura. La curva, o sea, si el arco, si la longitud
del arco AB es igual a la longitud del arco CD, las dos curvas tienen la
misma longitud de arco, y si el ángulo beta es mayor que el ángulo alfa,
tal y como vemos ahí en la figura, lo que quiere decir es que la curvatura
de la curva CD es mayor que la curvatura de la curva. La razón entre el
ángulo de contingencia alfa de una curva y la longitud del arco de la
curva AB, abarcado entre las tangentes, se llama curvatura media del arco
AB. La vamos a representar así, K sub media, K sub MD, para significar
curvatura. La curvatura media del arco AB, en este caso. Así que entonces,
la curvatura media del arco AB sería igual a la relación entre el ángulo
abarcado, al ángulo de contingencia, es decir, el ángulo recorrido por la
tangente en A hasta llegar al B, alfa, partido por la longitud del arco AB.
Esta es la curvatura media del arco AB. Obviamente, la curvatura de una
curva, puede ir cambiando en cada trozo de la curva. Es decir, ahí hemos
representado la curvatura de la curva AB. En todo ese tramo ABD, en todo
ese arco AB, pero es muy lógico pensar que la curva en cada punto entre A
y B tiene una curvatura diferente. El límite de la curva, perdón, por eso
no conviene tomar un arco AB grande para calcular la curvatura, sino
hacerlo tan pequeño que tienda a cero, para saber, conocer exactamente la
curvatura en un punto determinado de la curva. No la curvatura media, sino
la curvatura exacta de ese punto A. El límite de la curvatura media del
arco AB, cuando la longitud de este arco AB tiende a cero, es decir, cuando
el punto A se aproxima infinitamente al punto B, se llama curvatura...
Curvatura KA, como está representado ahí en la transparencia, CASUA de la
curva AB en el punto A. Ahora ya no es curvatura media, ahora es la
curvatura en el punto A. Y hemos acercado, repito, el punto B infinitamente
al punto A, de tal forma que la longitud del arco AB tienda a cero. Hemos
calculado el límite de la razón entre el ángulo de contingencia partido
por ese trozo de arco AB, que es este límite, cuando AB tiende a cero, de
alfa partido por arco AB, y esa es la curvatura en el punto A. Ahora ya no.
conviene hablar de curvatura media, sino de curvatura de un punto
determinado, en este caso, un punto A. La curvatura de una circunferencia
de radio R, tal y como vemos ahí en la figura inferior, sería la
curvatura media, parece ahí la transparencia, igual como siempre, al
ángulo de contingencia alfa, es decir, para ello tomemos los puntos A y B
de la circunferencia cualquiera, por el punto A, traemos una tangente en la
circunferencia y hagamos la girada pasando del punto A al punto B. El
ángulo de contingencia será el ángulo. Si dividimos este ángulo alfa de
contingencia entre la longitud del arco AB, me va a dar la curvatura media
de la circunferencia en ese trozo de arco AB, que será igual alfa es alfa,
lógicamente, lógicamente, y la longitud del arco AB en una circunferencia
es arco igual ángulo alfa por radio. Fijémonos que en la figura el
ángulo de contingencia, la circunferencia, tal y como la de la figura, el
ángulo de contingencia coincide con el ángulo formado por los radios en A
y B, por eso la longitud del arco AB será igual a, por eso la longitud del
arco AB será igual a, entre A y B multiplicado por el ratio. Así que,
haciendo esta operación, me da igual a 1 partido por R. Es decir, la
curvatura media de una circunferencia es igual a 1 partido por R. Y al ser
R una constante, si queremos calcular la curvatura, por ejemplo, del punto
A de la circunferencia, será igual al límite cuando B tienda a de la
curvatura media calculada anteriormente. Pero es que este límite, al ser 1
partido por R constante, sigue siendo 1 partido por R. Por lo tanto, en el
caso de la circunferencia, la curvatura en cualquier punto de la misma es
constante igual a 1 partido por R, siendo R el ratio de la circunferencia.
Por lo que coincide curvatura media con curvatura media. O sea, la
curvatura de la circunferencia es la misma en cualquier punto de la misma.
Calculemos ahora, pasemos ahora a ver cómo calculamos la curvatura de una
curva, pero cuando ésta viene dada en coordenadas cartesianas, en forma
explícita. Es decir, viene dado por la función I igual a F. Y nos piden,
pues, determinar la curvatura de una curva, que sería esa que está
representada en la figura, pues, en un punto M determinado de la curva.
Deduciremos la fórmula para calcular la curvatura de una curva en uno de
sus puntos con las siguientes condiciones preliminares, que han de
cumplirse siempre para poder realizar este cálculo que vamos a hacer. Las
condiciones preliminares son las siguientes, las que aparecen ahí en la
transparencia. Primero, la función f de x ha de tener segunda derivada y
esta segunda derivada ha de ser continua. Segunda condición, en el
segmento, bueno, perdón, no hay más condiciones, esta es la condición
que ha de tener la función f de x para que se pueda aplicar la fórmula
que vamos a determinar ahora para calcular, la curvatura de una curva
cualquiera en un punto determinado de esa curva. Vamos a ver cómo la
hacemos. En el segmento de arco MM1 que se ve en la figura, la curvatura
media será, como acabamos de decir, la relación entre el ángulo de
contingencia y los incrementos de alfa, dividido entre la longitud de arco
Entre M y M es 1, en este caso. Está mal ahí la transparencia. No es arco
AB, sino arco M, M es 1, que es lo que abarca el ángulo de corte G. Bien,
en el punto, esa sería la curvatura media de esa curva, entre el arco,
entre los puntos M y M. En el punto M, concretamente, la curvatura será el
límite cuando el incremento de S tiende a 0, es decir, cuando M sub 1 se
acerca infinitamente a M, del incremento del ángulo de contingencia
partido por el incremento de S, el aumento de ese pequeño arco. Límite
cuando el incremento de S tiende a 0 de esto es derivada de alfa con
respecto a S. Por lo tanto, en la forma de calcular la curvatura en un
punto determinado de una curva cualquiera, será igual a la derivada del
ángulo de contingencia con respecto a S. Pero dado que tanto alfa como S
son funciones de X, funciones de la abscisa X, pues tanto alfa como la
longitud del arco S varían al cambiar la X, entonces tenemos que,
utilizando las reglas de la cadena de derivación, la derivada de alfa con
respecto a S es igual a la derivada de alfa con respecto a X partido por
derivada de S respecto de X. Pero además sabemos que la derivada de
respecto a X es la tangente del ángulo alfa, es la tangente del ángulo
que forma la tangente a la curva en el punto F con el eje de las X. Así
que despejando alfa de ahí sería alfa igual a arco tangente derivada de
respecto a X. Y derivando esta expresión resulta recordar aquí que la
derivada de arco tangente de una función f de X es igual a f de prima de
X, a la derivada de esa función con respecto a X, dividido entre uno más
f de X elevado a cuadrado. En nuestro cuerpo, en nuestro caso, f de X será
igual a derivada de respecto a X. Luego resulta que la derivada de alfa
respecto a X, derivando esta expresión anterior de alfa igual a arco
tangente derivada de respecto a X será igual a derivada de la función,
que es derivada de respecto a X derivada de respecto a X es derivada
segunda de respecto a X. Partido por uno más la función, que es derivada
de respecto a X elevado a cuadrado. Esa es derivada del ángulo de
contingencia con respecto a la longitud de la. Perdón, con respecto a X.
Además, sabemos porque lo hemos deducido en la transparencia anterior. que
derivada de S respecto de X es igual a raíz cuadrada de 1 más derivada de
S respecto de X elevado a la cuarta. Por tanto, sustituyendo estas dos
expresiones, en la anterior resulta que derivada de alfa respecto a S, que
es como ya hemos dicho, derivada de alfa con respecto a X dividido por
derivada de S respecto de X, sustituyendo estas dos expresiones, por las ya
determinadas anteriormente, será igual a todo esto que veis aquí. Hay
más que sustituir las expresiones. Finalmente, haciendo operaciones,
resulta que derivada de alfa respecto de S es igual a derivada segunda de
respecto de X dos veces partido por 1 más derivada de S respecto de X al
cuadrado y todo este denominador elevado a 3 medios. Finalmente, como hemos
dicho ya antes, la curvatura de cualquier curva de S que está representada
en una figura en el punto M concretamente, hemos dicho antes que era el
valor absoluto de la derivada del ángulo de contingente con respecto a la
longitud de arco derivada de alfa respecto a S que la acabamos de calcular.
Por tanto, igual a valor absoluto de derivada segunda de respecto de X dos
veces partido por 1 más derivada de S respecto de X al cuadrado y todo
esto. Es el denominador elevado a 3 medios. Esta fórmula es muy importante
porque nos va a servir para calcular la curvatura de una curva cualquiera
en un punto M cualquiera de la misma. a partir de las derivadas de su
función, de la función que representa esa curva. Tengas en cuenta,
decimos, que por definición, la curvatura de una curva no puede ser nunca
negativa. De ahí que el signo de que aparezcan las fórmulas es el signo
de valor absoluto, que son estas rayitas que hay entre derivada segunda y
respecto de X dos veces y las dos rayitas que hay entre la expresión de
derivada de alfa con respecto a S. Esas dos rayitas significan valor
absoluto y es por esto que acabo de decir, porque una curvatura no tiene
signo, no puede ser nunca negativa o tiene sentido. Por ejemplo, resueltos
de la corrección de problemas codificados como GD2 y GD3, se aclaran estos
conceptos teóricos. Teóricos tan importantes que acabamos. ¿Y si la
curva viene dada a través de sus ecuaciones paramétricas, en lugar de a
través de sus ecuaciones príncipes? Bueno, pues es otro tango de lo
mismo. Dado que la derivada de respecto de X es derivada de Y con respecto
de T, partido por derivada de Y con respecto de T, siendo phi de T la
función de X, que nos da X, y phi de T la función que nos da Y, y dado
que también Derivando esto otra vez, resulta que la derivada segunda de y
respecto a x dos veces es xi segunda por fi prima menos xi prima por fi
segunda partido por fi prima al cuadrado. No hay más que derivar la
expresión anterior otra vez con respecto a x y teniendo en cuenta la regla
de la cadena de derivación, nos sale esa expresión. Introduciendo, por
tanto, estos valores en la fórmula que hemos visto anteriormente que nos
da la curvatura, obtenemos esta expresión que vemos. Es decir, la
curvatura de una curva cualquiera en un punto cualquiera de la misma M,
cuando esa curva viene expresada a través de sus ecuaciones paramétricas,
será igual a xi segunda. Es derivada segunda. La segunda de la función xi
con respecto a t por fi prima, que es derivada de fi con respecto a t,
menos xi prima por fi prima segunda, dividido entre fi prima al cuadrado
más xi prima al cuadrado. Esta fórmula, repito, se usa para calcular la
curvatura de una curva en un punto cualquiera de la misma cuando la
función que representa esa curva, la función algebraica que representa
esa curva, viene... viene representada en coordenadas paramétricas. Y en
el ejemplo 4 hay un ejemplo práctico de este caso. Finalmente, nos puede
venir dada la curva en coordenadas polares. Muchas veces vamos a tener que
tirar de las coordenadas polares en mecánica para representar la función
de una curva en lugar de sus funciones plícitas cartesianas o en lugar de
sus ecuaciones paramétricas. Bien, entonces cuando la función viene
representada en colares, la curva viene representada en colares de la
fórmula rho igual a f de zeta, siendo rho, que es ahí la figura, el radio
polar y zeta el ángulo polar. Entonces la curvatura en un punto M
cualquiera de la misma entra dada por esta expresión. Valor absoluto de
rho al cuadrado más 2 por derivada de rho respecto a zeta al cuadrado
menos rho por derivada segunda de rho. Respecto a zeta dos veces. Y todo
esto dividido entre rho al cuadrado más derivada de rho respecto de zeta
al cuadrado. Que no sirve para calcular la curvatura cuando la función que
representa la curva viene dada en polares. La demostración de esto viene
dada en el ejercicio GD5 y en el GD6 aparece un ejemplo práctico de este
caso concreto. Introduzcamos ahora tres nuevos ejemplos. Dos conceptos
relacionados con la curvatura de una curva. Que son el radio, el círculo y
el centro de curvatura. Vamos a ver, la magnitud inversa de la curvatura K,
que acabamos de hablar de ella en transparencias anteriores y ya sabemos
calcular, bueno, pues la inversa de K, es decir, 1 partido por K, en un
punto dado de una curva, es lo que se denomina radio de la curvatura en
dicho punto. Lo veis ahí representado a la derecha. Entonces, la
curvatura, vemos una función representada por una curva, representada por
un trazo grueso rojo, y vemos un punto M de la misma. En ese punto M
calculamos su curvatura. Bien, invirtiendo el valor de esa curvatura,
obtenemos lo que se llama radio de curvatura, que es este valor R que veis
ahí representado a la circunferencia. Por lo tanto, como ya sabemos cómo
calcular la curvatura, pues invirtámosla. Hagamos 1 partido por K y será
la fórmula para calcular el radio de curvatura en cualquier curva y en
cualquier punto de dicha curva. Por lo tanto, será igual a, en coordenadas
cartesianas, es decir, cuando la función de la curva viene dada en
explícitas, sería radio de curvatura igual a 1 más derivada por K
elevado a 3 medios, dividido entre el valor absoluto de la curvatura
secundaria. X. Bien, ese es el radio de curvatura. Si trazamos como se ve
ahí en la figura, por el punto M de la curva, la normal a la curva,
dirigida hacia la concavidad de la misma, que es el segmento MC, hemos
trazado por el punto M una tangente a la curva y luego también por el
punto M una perpendicular a esa tangente y es la línea o el segmento MC,
que va dirigido como veis hacia la concavidad de la curva. Y marcamos en
ese segmento MC una longitud igual al radio R de curvatura, que ya sabemos
calcular, porque lo hemos calculado anteriormente, obtenemos el punto C. Al
punto C, con sus coordenadas X, C y Z, se le llama centro de curvatura de
esa curva, en el punto M. Y al círculo de radio R y centro en C que pasa
por el punto M, se le llama círculo de curvatura de la curva. Por lo
tanto, el círculo de curvatura de una curva en un punto de la misma, tiene
el mismo radio de curvatura y por lo tanto tiene la misma curvatura que la
curva en dicho punto. Repito, la curvatura del firme, que está
representada una figura en acción. En el punto M es 1 partido por R, y el
radio de curvatura es R. Pues ese radio de curvatura y esa curvatura que
acabamos de definir es la misma que tiene la curva de rojo en el punto M.
Obviamente, cada punto de la curva tendrá su propio círculo de curvatura,
salvo en el caso de la circunferencia, que como acabamos de ver en la
transparencia anterior, el círculo de curvatura coincide con el círculo
de la propia curva, por lo tanto, es siempre el mismo círculo. Por eso
decíamos antes que la circunferencia es una de las pocas curvas que tienen
curvatura constante, por lo tanto, radio, curvatura constante. Ecuaciones
que nos dan las coordenadas del centro de curvatura de una curva en un
punto dado de la misma. Es decir, lo que vamos a tratar ahora es de
encontrar las coordenadas del centro de curvatura de una curva, que es el
punto C de la figura. Ahí en la derecha veis la curva pintada de rojo en
trazo grueso. Vemos un punto M de la misma, que hemos trazado su tangente a
la curva en ese punto M. A continuación, con el punto M, hemos trazado una
perpendicular a esa tangente, a esa recta tangente, que es la normal a la
curva, y hemos llevado una longitud MC al rango de curvatura. Queremos
calcular las coordenadas de ese punto C, es decir, las coordenadas XC e IC.
Bueno, estas coordenadas, que son ni más ni menos que las coordenadas de
la recta normal a la curva en el punto M, y cuya longitud MC es igual, como
hemos dicho, al radio de curvatura, por lo tanto serán ecuaciones de una
recta, de una recta normal. Son estas, XC igual a X menos Y' por 1 más Y'
al cuadrado entre Y' siendo Y' derivada de irrespeto a X e Y' derivada
segunda de irrespeto a X. Y la coordenada IC se calculará de esta forma,
IC igual a I más 1 más Y' al cuadrado partido por YC. Estas ecuaciones
nos dan las coordenadas. El centro de curvatura C, que aparece ahí en la
figura, en un punto M de la curva, cuando ésta viene representada
algebraicamente de forma explícita, I igual a F de X. Y la demostración
de dónde salen esas fórmulas que hemos llamado 1, nos dan los valores de
las coordenadas del centro de curvatura en un punto M, la deducción de
esas fórmulas está en el ejemplo resuelto G de 7. En una curva podrán
existir infinitos puntos C. es decir, infinitos centros de curvatura,
tantos, lógicamente, como puntos tenga la curva. La curva tiene infinitos
puntos, por lo tanto aparecerán infinitos centros de curvatura. Bien, esto
es como, o sea, estas expresiones 1 son las que nos dan las coordenadas del
centro de curvatura cuando la curva viene representada algebraicamente en
forma explícita, es decir, de la forma igual a f de x. Pero, ¿y cuando la
curva viene dada en paramétricas? Es decir, de la forma x igual a fi de t
e y igual a g de t, siendo t parámetro cualquiera. Pues, una vez más,
sabiendo que la derivada del respecto de x es igual a la derivada de y
respecto de t partido por la derivada de x respecto de t, y que derivando
esta expresión otra vez respecto de x, nos sale que y segunda es igual a x
prima de t por y segunda de t menos x segundo de respecto a t por y prima
respecto de t partido por x derivada de x respecto de t elevado al cubo.
Sustituyendo estas expresiones en las anteriores ecuaciones que nos daban
xc y su c para una curva de forma explícita, sustituyéndolas en ella, nos
saldrán estas otras. Estas otras dos expresiones. Y a, teniendo en cuenta
que las derivadas son ahora con respecto al parámetro t. La demostración,
la función de estas fórmulas aparece en el ejemplo resuelto G de 8. Y en
el ejemplo G de 9 se da un ejemplo, es un problema práctico donde aparecen
aplicadas estos dos conceptos que acabamos de definir. Bueno, en la figura
que aparece a la derecha se ha representado una curva en color azul trazo
grueso, curva que le vamos a llamar envolvente tal y como figura y una
segunda curva está pintada en rojo y la hemos denominado evoluta que
también aparece. Esta es la evoluta, la curva en rojo es la evoluta de la
envolvente. Si la curvatura de una curva, es decir, la curvatura de una
envolvente en el punto MXI en el punto M de coordenadas XI, punto M
cualquiera y aparecen varios en la curva, es distinta de 0. Es decir, si la
curvatura de la envolvente, la curva envolvente en un punto determinado de
coordenadas XI es distinta de 0. A dicho punto le corresponde, obviamente,
un centro de curvatura bien determinado, como acabamos de decir en la
transparencia anterior y ya sabemos calcular por qué dábamos esa
expresión. Por lo tanto, corresponderá a un punto C, que es el centro de
curvatura. En la figura, por ejemplo, al punto M1, que hemos marcado en
amarillo, le corresponderá el centro de curvatura que se ha llamado C sub
1. Al punto M2 de la envolvente, le corresponderá un centro de curvatura C
sub 2. ¿Cómo hallamos ese centro de curvatura? Lo hemos dicho antes, pero
lo podemos volver a repetir. Por ejemplo, por el punto M, trazamos una
recta tangente a la curva que llamamos envolvente. Por ese mismo punto M,
trazamos una normal o perpendicular a la línea tangente, que es la M sub
1, C sub 1. Y llevamos una distancia en ella, M sub 1 igual a C sub 1, M
sub 1, perdón, C sub 1, una distancia igual al rayo de curvatura R1 que ya
hemos calculado previamente. Ahí nos aparece el punto C1. Si hacemos esto
mismo que acabamos de decir para todos los puntos de la curva, para por lo
menos un montón grande de ellos, es decir, para el M1, para el M2, para el
M3, para el M4, para el M5, etcétera, etcétera. Calculamos para todos
ellos los centros de curvatura como acabamos de decir. y los unimos todos,
nos obtendremos una nueva curva, que es la pintada de rojo, que se llama
e-volunta de esa curva e-volvente. Por lo tanto, si la curva e-volvente
está dada en forma explícita, igual a f de x, eliminando el parámetro x
de las ecuaciones 1 que hemos visto anteriormente, y recordar la
transparencia anterior, las ecuaciones 1, que nos hagan las coordenadas del
centro de curvatura en un punto, bueno pues, repito, si la curvatura
e-volvente está dada en forma explícita, eliminando el parámetro x de
las ecuaciones 1, obtendríamos la expresión directa de las coordenadas x,
d e i, c de la e-volunta, que conformaría su ecuación, la ecuación de la
e-volunta. Porque no hemos dicho cuál era el punto m, sino que es un punto
arbitral, el m de coordenadas x, y, y, su 1, perdón, el m de coordenadas
x, e, y. Por lo tanto, repito, eliminando el parámetro x de las ecuaciones
que nos dan las coordenadas x, d, y, su 0 en un punto m cualquiera de la
curva, obtendremos una ecuación que es la ecuación de esa curva de color
rojo que hemos llamado e-volvente. Si la curva e-volvente está dada a
través de sus ecuaciones paramétricas, Pues lo mismo, las mismas
ecuaciones 2 que hemos visto en la transparencia anterior nos daban las
coordenadas x, t y su c de la centro de curvatura puntual de la curva
cuando ésta venía representada. Ecuaciones paramétricas. Por lo tanto,
eliminando entre estas dos ecuaciones el parámetro t, obtendríamos la
expresión directa de las coordenadas x, c y su c de la ecoluta que
conformarían su ecuación. Es decir, obtendríamos la ecuación de la
ecoluta cuando, repito, la envolvente viene dada en coordenadas
paramétricas. En los ejemplos que figuran relacionados en esta
transparencia, estos que veis aquí aparecen determinados. Están
determinadas las evolutas de varias curvas planas que con gran probabilidad
van a aparecernos en algún problema de mecánica como ya veréis. Sobre
todo esas tres, quizá alguna más, pero sobre todo esas tres. Por eso se
ha querido relacionar en este ejercicio. Propiedades de la ecuación. En la
figura superior de la derecha Vemos representada la curva evoluta en color
rojo de una curva evolvente que está dibujada en color azul. Y observamos
que si por un punto M de la evoluta, punto M cualquiera de la evoluta,
trazamos su normal, la recta M1C1 para el caso del punto M1, o la recta
M2C2 para el caso del punto M2, ésta será tangente a la evoluta en los
puntos C1 y en los puntos C2 respectivamente. Así pues, la normal a la
curva dada que hemos llamado evolvente, en un punto M de la misma, es
tangente a la evoluta en el punto C, que es C1. Es decir, el centro de
curvatura precisamente de ese punto M de la evolvente. Siendo precisamente
las longitudes de los segmentos M1C1 y M2C2 que veis ahí en la figura, los
radios de curvatura de la evolvente en los puntos M1 y M2. Si el radio de
curvatura de la evolvente varía uniformemente, sobre cierto segmento M1,
M2 de la curva de la evolución, perdón, de la evolución. Es decir, si
sólo crece o sólo decrece el radio de curvatura, o crece o decrece, pero
no las dos cosas en un mismo tiempo. Entonces, si se cumple esto, el
incremento de la longitud del arco de la evolución absoluta en este
segmento de la curva, es igual al valor absoluto al incremento
correspondiente del radio de curvatura de inicia curva. Es decir,
representado algebraicamente, matemáticamente, es derivado de R respecto
de X, siendo R el radio de curvatura y X la hostisa, es igual a valor
absoluto de derivada de S respecto de X. Variación del radio con respecto
a la... hostisa, es igual a la variación del arco con respecto a la
hostisa. Un método mecánico bastante didáctico para construir una
evolvente a partir de una curva evoluta, ya sabemos, hasta ahora hemos
dicho cómo construir una evoluta a partir de la evolvente. Ahora vamos a
darle la vuelta, vamos a ver cómo construimos una evolvente a partir de
una evoluta, ¿de acuerdo? Vamos a hacerlo más mecánicamente. Consiste en
lo siguiente. Vamos a disponer de un alambre curvado en forma de la curva
evoluta C0-C5. Y tenemos una aguluta que es la de color rojo, la de color
inferior, por ejemplo, C0, C5. Cogemos un alambre y lo doblamos siguiendo
la forma de esta curva, C0, C5. Y a continuación cogemos un hilo
inextensible y lo contorneamos con ese hilo dicho alambre. Es decir,
cogemos el hilo, lo atamos, por ejemplo, en el punto C5 y contorneamos el
alambre hasta llegar al punto, por ejemplo, MC. No, perdón, vamos a
hacerlo al revés. Bueno, bien, sí, así, tal y como le he dicho.
Contorneamos el hilo, el hilo lo contorneamos en el alambre de tal forma
que abarque el punto C5 hasta el C0. Y luego lo vamos... Yendo desdoblando.
Vamos desdoblando, tirando del hilo desde MC0. Tiramos del hilo, tiramos
del hilo, tiramos del hilo y nos va saliendo precisamente la curva
envolvente. De tal forma que cuando el hilo está tangente a la curva en el
punto C5, el punto que está marcando es el MC. También podríamos hacerlo
al revés. Atemos un hilo en el punto C5 y esteremoslo hasta que sea
tangente al alambre en el punto C5. Estamos, por lo tanto, con el extremo
del hilo en el punto MC, marcado ahí. Y a continuación... vayamos
moviendo el hilo de la posición C5 hasta la posición M5, la posición M4,
M3, M2, M1, haciendo descansar el hilo sobre el alambre. El extremo del
hilo irá marcándonos la curva devolvente de esa evoluta. Obviamente, como
se entiende perfectamente, a una evoluta le pueden corresponder infinitos,
los infinitas devolventes. No tenemos más que variar la longitud del hilo.
Hemos dicho, hemos cogido un hilo que lo hemos sujetado del punto C5 a la
evoluta y lo hemos estirado de otra forma que sea tangente en C5 y tiene
una longitud C5M5. Pero también podríamos añadirle medio centímetro
más y entonces nos saldría la devolvente esta segunda que hay marcada a
trazos en azul porque el hilo es un poco más largo. Y podríamos hacerlo
un poquito más largo o menos, saldría una tercera devolvente. Y así
hasta el infinito. Por lo tanto, por eso se dice ahí en la transparencia
que a una evoluta le corresponde una multitud infinita de diferentes
devolventes. No tenemos más que variar la longitud del hilo y nos saldrán
diferentes evolutas para demás elementos. Bueno, pues lo dejamos aquí.
Con esto termina este módulo de repaso de curvaturas evolutas y
devolventes. Por lo tanto, hasta próximo. Y gracias por vuestro...