¡Gracias! Lo que están escuchando ustedes es la canción del físico de
partículas interpretada por el coro del CER y en la herramienta compartir
escritorio a través de ella podrán estar viendo aunque no con muy buena
calidad el vídeo que acompaña a la canción interpretado por el coro del
CER desde el centro de operaciones del CER. ¡Gracias! Muy bien, pues hemos
acabado con la sintonía y vamos a comenzar con la tutoría. Vuelvo a
descompartir escritorio, un momento por favor. Vale. ¿Todos veis las
diapositivas? ¿Todo el mundo o nadie tiene problemas ni en la parte visual
ni en la parte de audio? ¿Podemos comenzar? ¿Nadie se queja de ningún
problema? Muy bien. Pues... Entonces, veis que en el chat en cualquier
momento de la tutoría podéis preguntar, intentaré ir mirando mientras
explico el chat y podéis interrumpir en cualquier momento para aclarar
cualquier elemento de la tutoría que os parezca que debe ser aclarado. Lo
que vamos a hacer hoy es la primera de una serie de tres tutorías
virtuales de las cuales soy responsable, donde vamos a ver las lecciones 1,
2 y 3 del frame. Bien, en esta primera tutoría vamos a trabajar con la
lección 1 y con la lección 2 que le he llamado tema 1, oscilaciones
libres y tutorías, oscilaciones libres y forzadas y hoy nos vamos a
concretar en la cinemática del más y la superposición de vibraciones. En
las siguientes dos tutorías veremos el movimiento, la dinámica del
movimiento armónico simple y en la tercera la dinámica del movimiento
amortiguado. Y este bloque acabará con una cuarta tutoría que ya os dará
otro profesor que tiene que ver con las oscilaciones forzadas. ¿Vale? Pues
vamos allá. Bien, el programa de la tutoría de hoy, bueno quería
comentar que en principio tengo previsto pues hacer como dos horas de
tutoría de 4 y media a 5 y media, un pequeñito descanso y de 5 y media a
6 y media. Pues como os decía vamos a trabajar con la cinemática del
más, luego con la superposición de vibraciones, e intercalado una serie
de resolución de problemas de las cuales os mandé hace unos días un
boletín con la anuncia de los problemas que vamos a trabajar. Las
referencias son los capítulos 1 y capítulo 2 del French, que es el libro
de referencia para la asignatura. Bien, algunos de los objetivos
didácticos de esta secuencia didáctica en la que vamos a trabajar es
conocer las características generales de un más, establecer una analogía
entre el movimiento armónico, el movimiento armónico simple y el
movimiento circular uniforme de una partícula material, conocer el
significado de un fasor, Saber resolver expresiones con fasores, saber
representar un mal mediante fasores, saber superponer vibraciones
paralelas, saber superponer vibraciones perpendiculares y conocer el
significado de la figura de Elisa Yavs. Pues vamos a comenzar con algunas
definiciones previas. Que me ordena un poco aquí la aplicación pizarra.
Muy bien, pues definición. Un movimiento es oscilatorio o vibratorio si se
reproduce idénticamente a sí mismo después de un cierto intervalo de
tiempo al que llamaremos T, T mayúscula o periodo. Esa T mayúscula nos
marca el periodo del movimiento oscilatorio o vibratorio. La frecuencia de
la vibración se define como la inversa del periodo medida en el sistema
internacional 1 partido 10. El movimiento armónico simple es un caso
particular del movimiento oscilatorio. Entonces, ¿cómo definimos un
movimiento armónico simple? Como un movimiento cuya posición o grado de
libertad, ya sea el sistema mecánico, eléctrico, económico, sistema
físico, o no, con un grado de libertad tal que esa función del tiempo a
la que llamamos X de T cumpla esta ecuación. Una amplitud constante por
una función coseno que depende de W0 por tiempo más delta. Donde cada uno
de estos nombres, cada uno de estos símbolos tienen unos nombres que voy a
definir en la siguiente diapositiva para que queden claras a lo que hacen
referencia. Bien, A. Se llama amplitud del movimiento armónico simple. W0
se llama frecuencia angular o pulsación y se mide en radianes por segundo.
El ponerle su índice 0 en estas notas es para recordarnos que hace
referencia a la frecuencia natural del sistema. Veréis en estas próximas
lecciones, tanto en este tema como en el siguiente, y en general durante
todo el curso, que un sistema físico tiene frecuencias diferentes, pues
guardamos la anotación W0 para la frecuencia natural del sistema. Nu, o en
otros textos F, es la frecuencia del más medida en hercios, directamente
lo que hemos definido antes como T a la menos 1, el periodo a la menos 1. Y
su significado es el número de oscilaciones que ocurren por segundo. El
periodo, ya lo hemos definido, el tiempo que tarda el sistema en realizar
una oscilación. Y a la parte angular de la función coseno, a eso se le
llama fase. Y la podemos visualizar como phi de t, una función del tiempo,
igual a w sub cero por t más delta. Delta es la fase en función del
tiempo del movimiento armónico simple. Y se llama desfasaje o fase inicial
a la fase en el instante t igual a cero. Luego este delta es el desfasaje o
fase inicial en t igual a cero. De forma que podemos escribir la ecuación
que nos da la posición en cada instante del tiempo de un sistema
vibratorio que vibra comúnmente. Un más como su amplitud por el coseno de
la función tiempo que hemos llamado fase o ángulo de fase. ¿Pregunta,
duda hasta el momento? ¿Todo bien? Pues seguimos. Hay dos propiedades, dos
proposiciones importantes que caracterizan la cinemática del más. La
primera es que durante un ciclo completo, durante un ciclo completo de un
movimiento armónico simple, la fase aumenta en 2pi. La otra propiedad
importante es que si se cumple la primera propiedad, en un más el periodo
que hemos definido es 2pi partido de la frecuencia natural del sistema.
Vamos a ver la demostración de estas dos propiedades. La primera
proposición nos dice que durante un ciclo completo, queremos demostrar que
en un ciclo completo, a ver que es que se me, un momento, que se me sube
aquí la herramienta donde no debe ser, a ver, vale. Durante un ciclo
completo de un movimiento armónico simple, la fase aumenta en 2pi. Pues
vamos a intentar demostrarlo. Consideramos la fase del más. Pi de t igual
a frecuencia natural por tiempo más desfasaje inicial. La clave es darse
cuenta que durante un ciclo completo, el más vuelve a repetir su valor
tras la duración de un periodo. Eso significa que x en t, que es a por el
coseno de la fase, es igual a x de t más el periodo, que es a por el
coseno de la fase en t más el periodo. Esta ecuación será cierta si se
cumple la igualdad de los cosenos. Y entonces uno aplica que esos dos
cosenos son iguales usando, si se cumple la periodicidad, en 2pi del
coseno. Por lo tanto, fi, el ángulo de fase en t más el periodo, tiene
que ser igual a 100t más 2pi, que es justo lo que queríamos demostrar.
¿Se entiende alguna pregunta de la demostración? Parece que es una
demostración sencilla, ¿no? ¿Alguien tiene alguna duda? ¿Seguimos? Muy
bien. Vamos para adelante. Pues, la otra propiedad, satisfaciéndose de la
anterior, es comprobar que el periodo es 2pi partido de w. 0, la frecuencia
natural. Si se cumple la propiedad anterior, pues se cumple esta igualdad.
Y si se cumple esa igualdad, la parte del argumento frecuencia natural por
t más periodo más desfasaje tiene que ser igual al argumento frecuencia
natural por tiempo más 2pi. De aquí viene la pregunta. Aquí despejamos
que el periodo vale 2pi partido de la frecuencia natural, como queríamos
demostrar. ¿De acuerdo? Pues estas dos propiedades son fundamentales, son
básicas, son sencillas, en la construcción de la cinemática del
movimiento armónico simple. Bien. Cuando hablamos de un más, en las notas
la primera definición que os he dado es esta. Pero es bien claro que esto
también es un más, solo que en vez de poner la frecuencia natural, hemos
puesto la frecuencia natural. Hemos puesto la frecuencia nu. O también es
un más y en vez de expresarlo en función de la frecuencia natural o la
frecuencia nu en hercios, lo expresamos en función del periodo. En general
en la literatura, pues en distintos problemas, podemos usar o necesitar
usar cualquiera de las tres expresiones. La siguiente propiedad, que es la
propiedad 3, digamos que es lo que diferencia un movimiento armónico
simple en el contexto de un problema de matemáticas, de un movimiento
armónico simple en el contexto de un problema físico. Un problema
físico, pues que se debe de poder realizar en el laboratorio, siempre
viene asociado a unas condiciones iniciales. En el movimiento armónico
simple, en su cinemática, en el contexto de un problema físico, las
condiciones iniciales van a ser la posición en el instante inicial, que
llamaremos x sub cero, y la velocidad en el instante inicial, que
llamaremos u sub cero. Pues bien, la amplitud y el desfasaje se pueden
expresar en función de esas dos variables físicas que tienen que ver en
un problema físico real con dos medidas hechas en el laboratorio, como son
la posición inicial del grado de libertad x sub cero y la velocidad
inicial de ese grado de libertad. Esta expresión os da la amplitud y esta
expresión os da el desfasaje en el instante inicial en función de la
velocidad y de la posición inicial y por supuesto de la frecuencia natural
que es la constante del más. Pues vamos a ver cómo se demuestra la
proposición 3. Pues partimos del más, sustituimos en x su valor en x
igual a cero, que lo conocemos, calculamos v derivando, la derivada del
coseno es el seno y sustituimos v en t igual a cero, os quedará menos la
frecuencia natural por a seno de delta y de esta ecuación y de esta
ecuación de la primera despejamos coseno de delta y de la segunda seno de
delta. dividiendo seno cuadrado más coseno cuadrado de delta igual a uno,
obtenemos esta expresión de la cual podemos despejar la amplitud. Volvemos
seno de delta igual a esta expresión, coseno de delta igual a esta
expresión, dividimos cero por coseno, obtenemos la tangente y despejando
la arcotangente obtenemos la expresión del desfasaje. Estas dos
expresiones son bastante importantes a la hora de resolver los problemas
prácticos ¿Qué es lo que tenemos que hacer para resolver los problemas
prácticos de esta parte de la asignatura? Siempre que tengas un más, la
amplitud y el delta dentro del problema lo tendrás que expresar en
función de las condiciones iniciales. ¿Alguna pregunta? Así que en vez
de tener que hacer esa cuenta en cada problema ya lo doy hecha para todos
los problemas. ¿Preguntas? Muy bien, pues parece que estaban en preguntas,
seguimos. Bien, la cinemática del más se compone de la definición que
hemos dado de la función del tiempo en cada instante, grado de libertad.
Bueno, un problema en concreto, posición. La primera derivada, la
notación x punto, recordar que x punto significa derivada de x respecto de
t. Esta sería la velocidad del más. Y la segunda derivada, aceleración.
Al calcular la segunda derivada obtenemos la condición necesaria pero no
suficiente desde el punto de vista dinámico para que algo sea un más. Un
sistema físico es candidato a ser un más. Aunque la condición es
necesaria pero no suficiente si su aceleración x dos puntos, si el sistema
tiene un grado de libertad, es opuesta a la posición. Luego,
necesariamente para tener un más, la aceleración del sistema debe ser...
menos una cantidad constante, cuyo significado físico es que es la
frecuencia natural del sistema al cuadrado, por la posición. En la
siguiente tutoría, donde hablemos de la dinámica del más, encontraremos
siempre esta ecuación, básicamente la segunda ley de Newton, que debe
cumplir un sistema dinámicamente para poder ser un movimiento armónico
simple. Bien, pues vamos a hacer un primer problema. El problema os dice,
una partícula realiza un movimiento armónico simple, y nos dan la
expresión, donde x de t se mide en milímetros y t en segundos. Obtener
frecuencia, periodo, amplitud de pasaje, frecuencia angular, posición del
más y representarlo gráficamente, velocidad en todo instante y
representarlo gráficamente, el apartado k, la aceleración en todo
instante y representación, y la última pregunta, ¿es el más propuesto
un más físico? Bien, ¿alguien que haya intentado hacer el problema antes
de la tutoría y haya encontrado alguna dificultad esencial que quiera
comentar? ¿Alguien quiere comentar algo sobre el problema antes de ver la
resolución? Bueno, pues pasamos a la resolución. Daros cuenta que es un
problema, en principio, pues el primer problema para ver si los cálculos
que hacemos sobre un más sabemos identificar en la función del más los
nombres que hemos definido, que eso a veces, pues genera bastante
confusión la primera vez que se estudia este tipo de contenidos. Bien,
pues lo primero que piden es la frecuencia. Pues ojo que hay dos
frecuencias, está la frecuencia natural del sistema, que se en radianes
partido segundo, que es 2pi partido por nu, donde la frecuencia nu es en
segundos a la menos uno, y la frecuencia nu, que es la que puedo calcular,
es la frecuencia natural del sistema, y la frecuencia natural del sistema,
que es la que puedo calcular, es la que puedo calcular, y la frecuencia
natural del sistema, ¿qué vale 2pi? Pues 2pi partido por nu es pi a la
menos uno hercios. Hemos visto que en la plantilla 0,3 coseno de la
función del tiempo de la fase, aquello que multiplica el tiempo es la
frecuencia natural del sistema, pues W0 es 2, dividido 2pi, pues la
frecuencia nu es pi a la menos uno hercios. ¿Cuánto vale el periodo? El
periodo es 2pi partido W0, que será 2pi partido por 2pi. ¿Cuánto vale la
frecuencia natural? 2, 2pi partido por 2, pi segundos. ¿La amplitud? Pues
en este problema la amplitud es 0,3. Pero es conveniente calcular todas las
expresiones en el sistema internacional. 0,3 ¿qué? 0,3 milímetros.
Pasamos de milímetros a metros y la amplitud es 3 por 10 elevado a 4
metros. ¿Cuánto es el desfasaje? ¿Qué es el desfasaje? El desfasaje es
la fase en t igual a cero. Pues para este problema, pi sextos. ¿Cuánto
vale la frecuencia angular? Dos radianes partido segundo. ¿Alguna duda
hasta ahora? ¿Algún problema en esta primera parte? Muy bien, pues la
representación gráfica, claro, depende de la herramienta que estéis
usando. Aquí os he puesto el código de cómo sería la representación
gráfica de este más usando matemática. Si no tenéis matemática,
perfectamente podéis usar, y buen complemento con esta primera parte de
vibraciones y ondas, la asignatura que posiblemente muchos también estéis
haciendo que es física computacional 1, ¿no? En física computacional...
Tenéis que usar en el primer cuatrimestre máxima. Es correcto lo que
digo, ¿no? Pues ya habéis visto que la sintaxis de máxima, que es
código libre y descarga gratuita, es bastante similar o muy parecida a la
de matemática. Podéis intentar probar los que no tenéis matemática,
hacer estos códigos en máxima. Aquellos que no tengáis física
computacional, pues simplemente poner en Google máxima y lo podéis
descargar. Máxima es un sistema de cálculo. Máxima es un sistema
simbólico de código libre y gratuito que es una buena alternativa de
código abierto al programa comercial matemática. Y los que tengáis
matemática, pues podéis usar tal cual los códigos. En cálculo
simbólico la ventaja que tiene es que matemáticamente el más es una
función del tiempo, pero yo puedo definir todo el más como una función
del tiempo, de la amplitud, de la frecuencia natural y del desfasaje. Las
variables se ponen en matemática y en máxima entre corchetes y se indican
con guión bajo separados por comas que son variables. Dos puntos iguales
en matemática, la amplitud, esto significa multiplicar por el coseno, las
funciones en matemática empiezan con letra mayúscula y entre corchetes
omega0t más delta. Al introducir esta función, esto ya no es una función
matemática, es una función digamos informática, para cada valor de t, de
a, de w y de delta obtienes un valor y desde el punto de vista matemático
pues sería una función de r4 en r. ¿Para qué nos sirve eso? Porque una
vez que hemos definido la función yo ahora cojo y digo ¿cuál es mi
problema? Mi problema era x de t, donde la frecuencia valía esto en el
sistema internacional, perdón, la amplitud valía esto en el sistema
internacional, la frecuencia natural era 2 y el desfasaje, pisectos. Dejo
como única variable t, tomo los demás variables como parámetros, que son
parámetros del más, y le digo que me represente plot, abre escorchete, la
función entre 0 y 3pi. Y todo lo demás es para que aparezca el gráfico
bonito. Pues hay que usar la sintaxis, si estáis usando matemática, o la
sintaxis de máxima, o de derive, o de MATLAB, o de cualquiera de estas
herramientas, la que más os guste para trabajar. Pues esta es la
representación del más del problema. Ya os digo que mi recomendación es
que en esta lección intentéis hacer los problemas, intentéis hacer los
problemas usando alguna de estas herramientas de cálculo simbólico.
Porque va a ser más divertido la resolución, vais a aprender más y vais
a conectar, a tener sinergia entre esta parte de la asignatura y la primera
parte de la asignatura. Y a Edo me dice, para representaciones rápidas, si
no se tiene instalado ningún software, puedes, sí. Y a Edo habla de
Wolfram Alpha, perfecto, Wolfram Alpha es una aplicación de matemática
gratuita en línea, donde hasta ciertas cuentas que haces las puedes hacer
sin que te cobren nada y te da una representación gráfica. Los que no
sepáis nada, ponéis www.wolframalpha.com y llegáis a una herramienta, es
como computación simbólica a distancia. ¿Cómo funciona? Colocando el
código de matemática. Eze García dice que tiene MATLAB, perfecto, si
tienes MATLAB puedes funcionar de la siguiente manera, lo que pasa es que
si tienes MATLAB y quieres hacer cálculo simbólico tienes que tener
MATLAB con el paquete de cálculo simbólico que es Maple activado. Si no
es MATLAB solo harás cálculo numérico, podrás representar las
funciones, pero solo cálculo numérico. Mi consejo es que uséis un
paquete que de alguna manera puedas definir en el cálculo simbólico.
MATLAB perfecto. Un paquete de Maple que es con el que haces cálculo
simbólico. ¿Alguna pregunta más sobre esto? La idea es que intentéis
darle vida a los problemas con alguna herramienta computacional. ¿Alguna
sugerencia más? Seguimos. Bien, entonces con un sistema de cálculo
simbólico, pues esto lo podríamos hacer también a mano, pero ya que
tenemos la herramienta os pongo el código. ¿Qué habría que hacer para
calcular la velocidad derivada respecto del tiempo la función x de t?
¿Qué? Aquí definimos la velocidad como una función simbólica. La
velocidad depende, abres corchete, cierras corchete, separas por coma las
variables, que vuelven a ser el tiempo, la amplitud, la frecuencia natural
y el desfasaje. La primera vez pones guión bajo y en matemática dos
puntos igual, asignación diferida. ¿Y cómo defines la velocidad? Como la
derivada de mayúscula, abres corchete, cierras corchete, de la función
que ya hemos definido antes y que tienes en memoria, coma, respecto al
tiempo. Esto sería la primera derivada respecto del tiempo de la función
x de t. Lo haces y en matemáticas te saldría menos a w0 seno de t omega 0
delta. Podéis probar y es muy buena idea hacer estas cosas si no tenéis
matemática directamente en Wolfram, en la referencia del Wolfram Alpha. Y
si queremos representar, pues hacemos la misma orden, plot de la función.
Aquí hay una pequeña, por lo menos en matemática y en máxima sería lo
mismo, que es el paso de parámetros. Como hemos gastado en la definición
de la derivada respecto de t, no puedo usar el mismo símbolo para derivar
y para sustituir valores. Entonces daros cuenta que llamo plot de v de t
donde la variable t la sustituimos por tt y ahora tt es el valor numérico
del tiempo entre 0 y 5pi. Es un pequeño truqui de paso de parámetros para
que el código sea más corto y a partir de aquí pues que el gráfico sea
bonito. El resultado de eso sería la velocidad y análogamente para la
aceleración. Volvemos a hacer el mismo truqui del paso de parámetros y
ahí tendríamos la aceleración de este problema concreto. Velocidad,
posición, velocidad y aceleración, su representación gráfica. Por
supuesto si analizáis la este gráfica, aunque ya las he pasado, veréis y
volveremos a ello el desfasaje relativo que hay entre velocidad, perdón,
entre posición, velocidad y aceleración. Siempre es un más pero con un
desfasaje relativo entre ellos. Ahora una pregunta muy importante y que en
los libros de texto y en los de problemas no se suele hacer. Es el ejemplo
propuesto de más un ejemplo físico. ¿Qué quiero decir con esa pregunta?
Si tú resuelves un más, tienes dos opciones. Que el más solo sea un
ejemplo matemático que no tiene nada que ver con el mundo físico o que el
más provenga de verdad de un ejemplo físico. ¿Cómo distingues un
ejercicio, un simple ejercicio matemático de un más físico? En que el
más que te den con esta amplitud, con esta frecuencia pero solo con esta
amplitud y con este desfasaje, tiene que cumplir las condiciones iniciales.
Si el más que te dan no cumple las condiciones iniciales, no es un
problema físico, no es un problema que se pueda resolver físicamente.
Entonces, ¿qué estoy pidiendo aquí? Pues que se razone de que a partir
de la amplitud... del 0,3 y del desfasaje en pisectos, obtengas la x0 y v0.
Pues eso es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, lo que pasa
es que una de ellas es el arco tangente o lo haces a mano o lo haces con un
sistema de cálculo simbólico. Si usaras matemática o máxima pondrías
solve de la ecuación delta igual a la condición inicial arco tangente de
lo que toca y amplitud de lo que toca, donde las variables son x0 y v0.
Primero ejecutas el resultado y lo que te da es este valor para la x0 y
este valor para la v0. Ahora sustituyes barra punto delta por el pisectos
del problema y la amplitud por el valor de la amplitud de este problema
para la frecuencia natural del sistema igual a 2 y te dan dos posibles
soluciones. Luego este problema solo sería un problema físico en el caso
de que la posición inicial fuera 0.003 metros y la velocidad inicial fuera
menos 0.003 hacia la izquierda o la posición inicial menos 0.003 metros y
la velocidad inicial 0.003 metros por segundo. Para cualesquiera otras
condiciones iniciales el problema no sería un problema físico. ¿Se
entiende la idea de lo que se pide aquí, de lo que se ha resuelto? Un más
es un problema físico si las condiciones iniciales posición y velocidad
inicial están unívocamente relacionadas con la amplitud y el desfasaje.
¿De acuerdo? ¿Preguntas? Muy bien, pues seguimos. Vale, el siguiente
problema, bueno os subiré una versión porque cuando os pasé el boletín
de problemas si lo habéis mirado no estaba el 1-2, es que al pasar al pdf
pues se me olvidó seleccionarlo. En el pdf que os mandé pasáis el 1-3.
Bien, en el siguiente problema nos dan un más. Pero resulta que yo puedo
expresar el más. De muchas formas diferentes. Vamos a ver que si en vez de
darme el coseno de omega0t más delta me dan el coseno de w0t menos phi,
esto también es un más. Y si en vez de darme el coseno me dan el seno,
esto también es un más. Y si en vez de darme el coseno me dan b por el
coseno y c por el seno, o sea una combinación lineal de coseno y seno,
también tengo el mismo más. Lo que vamos a hacer aquí es usar las
propiedades de las funciones trigonométricas para justificarlo. Para
justificar lo que dice el problema. Que cualquiera de las opciones 1, 2 y 3
son también un movimiento armónico simple. ¿Cuál va a ser nuestra forma
de razonar? Si este es el dato de entrada vamos a usar las relaciones
trigonométricas para obtener esa salida que es nuestra plantilla de más
si nos dan este dato de entrada a ver que esto lo puedo convertir en este
más y si me dan este dato de entrada convertirlo en esta plantilla de
manera que en cualquier otro libro texto que uséis o cualquier boletín de
problemas que estéis observando sobre cinemática dinámica del mar
siempre y es muy posible que nos den el más de esta manera pues del más
imaginaros que lo hagan así pues tú coges y pasas al más de la plantilla
de estas tutorías se puedes comparar los resultados numéricos entre una
versión del más y otra pues vamos allá el primer caso es muy sencillo si
me dan me dan esta función del tiempo y quiero probar que es un más y yo
llamado más a esta plantilla pues se trata identificar está claro que sí
para que esto sea un más de tiene que coincidir con quien con a y que debe
ocurrir que delta sea igual a menos y luego cuando en vez de poner el
coseno con signo más tengo el coseno con signo menos las amplitudes tienen
que ser iguales y los desfasajes tienen que ser opuestos esa es la
condición para que la expresión con de coseno con signo menos sea la de
la plantilla inicial de mi más se entiende esta red primera resolución
alguna pregunta a ver si algo dices que no lo entiendes a ver dime en qué
te puedo ayudar parece que no entendéis a ver voy a intentar repetirlo yo
tengo una expresión de coseno de omega 0 t menos y quiero que esto sea
igual a esto vale vale muy bien decís que lo entendéis que no tenéis
pregunta de acuerdo vale muy bien vale para todos comunicarnos con el chat
es un poco complicado para mí también perfecto seguimos no estar bien
sencilla todo lo entendéis muy bien en fin seguimos la siguiente será un
pelín un poquito más difícil la resolución nos dan esto entonces si
quiero que la expresión que me dan efe por el seno de la diferencia
coincida con mi plantilla del mar pues es bastante evidente que lo primero
que tengo que hacer es convertir el seno en que convertir el seno en coseno
para eso recuerdo las propiedades de trigonométricas el coseno de un
ángulo es el seno de ambas primeros pues entonces para que lo que me dan
sea igual a mi plantilla de más De nuevo, la amplitud tiene que ser igual
y el coseno de frecuencia natural por tiempo más delta tendrá que ser
igual al seno de frecuencia por tiempo más delta más pi medios. Luego,
delta más pi medios, que lo tenéis aquí, a esto le llamo si. ¿Y qué
tendrá que ocurrir? Primero, que A sea igual a F y que el delta del
desfasaje de la plantilla sea menos si más pi medios. Si se cumplen esas
dos condiciones, los dos más son el mismo más físico. ¿Ok? ¿Correcto?
¿Seguimos? Muy bien. El ok nos funciona mejor, ¿verdad? Vale. Pues ahora
quizás el caso más complicado. Aquí prestad un poquito de atención
porque, claro, hay que ver que si me dan una superposición de coseno-seno,
esto coincide con esto. Entonces, para demostrarlo voy a hacerlo en dos
pasos. Nosotros ya sabemos que el A coseno... ...es lo mismo que el D
coseno de frecuencia natural por tiempo menos fi. Pues voy a ver que estos
dos son iguales. Si demuestro que estos dos son iguales, como ya hemos
demostrado que este es igual a este, pues habré demostrado la relación.
Para demostrar que estas dos expresiones son iguales, necesito que el
coseno de la diferencia... ...esta propiedad es el coseno de A por el
coseno de B más seno de A por seno de B... ...y le aplicamos la
definición del más... ...para esa versión. Es decir, D coseno de
frecuencia natural por tiempo menos fi, donde esto es A y esto es B. El A y
el B de la propiedad general. Entonces esto me va a quedar D factor común
coseno de A por coseno de B más seno de A por seno de B. Y ahora exigimos
que se cumpla la igualdad. Ahora exigimos que esta expresión... ...sea
igual a qué? A esto de aquí. A esa expresión. De forma que el desarrollo
del coseno de la diferencia sea igual a lo que yo quiero que sea igual. Y
vamos a ver qué condiciones tienen que cumplir B y C... Esperad un
momentito. A eso. ¿Qué condiciones tienen que cumplir B y C? Un segundo,
por favor. ¿Qué condiciones tienen que cumplir B y C para que esta
igualdad se nos cumpla? Bien. Pues, para hacer eso, si quiero que esta
expresión sea igual a esta, voy a pasar toda esta expresión hacia la
izquierda y factorizar en coseno de omega cero d y seno de frecuencia
natural por tiempo. Luego esa suma tiene que ser igual a cero. Ahora bien,
si esta igualdad es igual a cero, lo será cierta en todo instante de
tiempo. Y voy a buscarme dos instantes de tiempo que me interesen. t igual
a cero y t igual a pi partido de dos veces la frecuencia natural. Si t es
igual a cero, coseno de omega cero por t es coseno de cero, que es uno, y
el seno es cero. Pero si el seno es cero, esta cantidad que tenemos aquí
multiplica a cero. Y si el coseno es uno, en ese instante de tiempo, en t
igual a cero, esta cantidad multiplica a uno. Con lo cual me queda b menos
d coseno de fi igual a qué? b menos d coseno de fi por uno más cualquier
cosa por cero, esta parte es cero. Y me queda b menos d coseno de fi por
uno igual a cero, de lo que deduces que b es d por coseno de fi. Y para el
segundo instante de tiempo, hacemos lo mismo. Entonces la parte que nos va
a quedar igual a cero es c menos d seno de fi igual a cero, con lo cual c
es igual a d seno de fi. Es decir, de esta ecuación y de esta, donde hemos
obtenido para estos dos instantes la resolución de esta ecuación, nos
queda que el d que yo ando buscando tiene que ser la raíz cuadrada de b
cuadrado más c cuadrado. Y que el b partido coseno de fi es igual a c seno
de fi, por lo tanto la tangente de fi es c partido por b. Estas son las dos
igualdades que te permiten poner la combinación. De coseno seno como un
solo coseno. Recopilando la información que hemos obtenido. Bueno, antes
de avanzar, en este caso hay que aclarar algo. ¿Se entienden los dos
instantes que se cogen y por qué? ¿Alguna pregunta? Vale, muy bien, pues
entonces seguimos. Vale, pues entonces resulta que esto que me han dado es
igual a esto cuando se cumplen estas dos condiciones. Y sabemos que esto es
igual a esto. Cuando delta es a, por lo tanto a valdrá el delta que he
obtenido antes. Y cuando menos fi es delta. Luego delta es igual a menos fi
a menos la arcotangente de c partido por b. Y de esta forma pasamos. de el
más como una combinación de b por c, a el más que vamos a utilizar como
definición en esta serie de tutorías. ¿Alguna pregunta? Muy bien, pues
seguimos. Bien, ahí os he puesto, tenéis un enlace guay a la Wikipedia,
hoy en día muchas veces estás trabajando con el ordenador, no tienes un
libro delante y entidades trigonométricas, pues nada, pinchas en Wikipedia
y llegas a las entidades trigonométricas. Y os he puesto esta
transparencia, luego lo subiré al curso en formato PDF, toda la lección
de la tutoría, os he puesto, pues está en cualquier libro una serie de
relaciones trigonométricas que os pueden venir muy bien. Parece que hay un
nuevo alumno, aterriza, pues saludos, hola, ya te veo. Pues eso, lo que os
decía, que simplemente esta transparencia es un conjunto de propiedades
trigonométricas que las podéis encontrar en cualquier libro, pero dentro
de la lección igual, pero vienen bien para preparar los problemas. Pues
seguimos con la cinemática del Más y vamos a explorar que hemos definido
la posición, la velocidad y la aceleración. Os invito a que hagáis,
aquí se ve un poquito mal, tanto en matemática como en MATLAB o como en
Máxima o cualquier otra herramienta que uséis, pero intentar utilizar
una, un gráfico donde os represente al mismo tiempo, aquí está en rojo
la posición, en azul la velocidad y la aceleración en verde. De ese
gráfico se deduce que las funciones posicionadas, en velocidad y
aceleración, que conforman la cinemática del Más, sus amplitudes están
relacionadas como 1, W0 y W0 cuadrado. ¿Por qué? Ok, ¿por qué viene muy
bien tener estas gráficas? Porque al representarlas las tres, te das
cuenta que cada vez que derivas la posición, te aparece multiplicando una
frecuencia natural y cuando vuelves a derivar la velocidad para obtener la
aceleración, te aparece la frecuencia al cuadrado. Luego, las relaciones
de amplitud son 1, frecuencia natural, frecuencia natural al cuadrado para
posición, velocidad y aceleración y los en términos de desfasaje, x,
posición, velocidad y aceleración, están desfasadas en pi medios. Daros
cuenta que aquí la posición está en delta, la velocidad en delta más pi
medios y la aceleración en delta más pi. ¿Se entiende la relación
velocidad, posición y aceleración, tanto en amplitud como en desfasaje? Y
un buen ejercicio es que intentéis hacer esto con cualquier herramienta,
que os permita graficar funciones que previamente vosotros habéis
definido. Matemática máxima más LAP. Seguimos. Bien, pues va a ser
bastante importante en esta primera tutoría de las lecciones 1 y 2 en el
French la analogía que hay entre la cinemática del movimiento armónico
simple y del movimiento circular uniforme. En el movimiento circular
uniforme imaginaos una partícula de masa m que está haciendo vueltas,
está dando con velocidad en módulo constante una trayectoria circular de
radio r. Nuestro sistema de referencia tiene eje x y eje y. Entonces
imaginaos que cogemos la proyección de m o bien sobre el eje x o si
quisiéramos la que he pintado aquí, la proyección de m sobre el eje y.
Vamos a considerar la proyección de m sobre el eje x. La proyección será
x de t igual a om, donde la proyección de m va a poner aquí el m, m sobre
el eje x. Y eso será r por el coseno del ángulo, tecta de t, el ángulo
que forma el eje x con el vector posición. Si en t igual a 0 tienes un
desfasaje, ¿cuál es la cinemática de este ángulo? Tecta de t es la
frecuencia por el tiempo más el desfasaje inicial. Y recordar que la
cinemática elemental, velocidad lineal igual a velocidad angular por el
radio. Es decir, este tecta de t es frecuencia por tiempo más desfasaje.
Luego x de t, que es la proyección de m, es exactamente un más, un
movimiento armónico simple. ¿Estáis de acuerdo? Y lo mismo podríamos
hacer con i, pero al colocar la i, ¿qué me quedaría? En vez del coseno
me quedaría i. Esto sé escribir bastante mal con el lápiz de la
aplicación, ni yo ni cualquiera. Pero sería algo así. I sería r por el
seno de tecta de t. A ver que tengo aquí otro lápiz porque casi no se
entiende nada. De manera, a ver si lo puedo escribir aquí. I de t, pues
tampoco el lápiz de t da mucho. Es decir, i de t igual a r por el seno de
tecta de t que será igual a r por el seno y el ángulo hemos dicho que es
omega cero por t más delta. Bueno, esto no me funciona muy bien la
herramienta, dejar que voy a borrar un poquito porque esto lo... Pero creo
que me entendéis lo que quiero decir. Pero el lápiz este electrónico me
ha costado un dinero y no me funciona muy bien. Voy a ver si me barre.
Limpiar documento, limpiamos documento. Limpiamos página, acabamos antes.
Vale, ya he limpiado la página y podemos seguir. Entonces, ¿qué estamos
viendo? Que o bien la proyección de M sobre el eje X o la proyección de M
sobre el eje Y, los dos son movimientos armónicos simples. Esta es la
analogía entre el movimiento circular uniforme y el más. En esta
dirección, y en general, llegar hasta aquí y a partir de aquí en
concreto, tenéis muchísimas demostraciones en muchos campos de la física
y de la ingeniería hechas con matemática en ficheros CDF como el que yo
os he mandado. La que os he mandado está hecha por mí, pues aquí hay un
montón. En particular, esta aplicación está interesante para esta
primera lectura porque os podéis bajar tanto el notebook de matemática
para el que tiene matemática, como el fichero CDF, del estudio del
movimiento armónico simple de una partícula en una circunferencia
asociado con un muelle vertical y de un pistón en un fluido asociado, en
la analogía, con el movimiento circular. Y esto nos va a introducir en la
segunda parte de la tutoría que es el trabajar con los vectores
giratorios. Esto simplemente es para que os bajéis este documento y los
que no conozcáis veáis las demostraciones que... Este tipo de
demostración no es que estén hechas... ...por la empresa de Wolfram, sino
están hechas por diversos profesores del mundo que les gusta usar
matemática y hacen pues simulaciones o representaciones con matemática de
diversos problemas físicos, en particular, más si vectores giratorios.
Bien, pues vamos a la representación de Fresnel y de Fasorez. En esta
representación... ...en esta representación... ...¿qué es lo que vamos
a hacer? Pues hemos visto la relación que hay entre movimiento armónico
simple y el más. Pues vamos a definir los vectores de Fresnel o vectores
giratorios. Donde la idea es coger... ...definir un vector giratorio donde
la parte del tiempo que está asociada a la frecuencia, como es constante,
no la vamos a tener en cuenta. Y a eso le vamos a llamar un Fasor. Por un
lado tenemos el movimiento... ...circular, uniforme. Nuestra
representación x, y... ...y el ángulo tecta en función del tiempo como
la frecuencia. Por el tiempo más un desfasaje, que aquí le he llamado
épsilon. Pues era lo que antes había llamado delta. ...el desfasaje
inicial. El vector giratorio hemos visto que es coger las coordenadas x de
t e y de t, por ejemplo, de cualquier punto de la circunferencia... ...y
observar que tanto la componente x como la componente y obedecen aún más.
Construir un Fasor es construir. del movimiento armónico simple quedarnos
con la amplitud y el desfasaje. Sólo la amplitud y el desfasaje, porque la
dependencia en el tiempo, como es constante, la voy a factorizar. ¿Cómo
se hace eso? ¿Cómo se convierte un más en un fasor por multiplicar una
exponencial compleja de la dependencia en la frecuencia que pertenece a los
complejos? Pues esta igualdad se puede hacer en palabras de Feynman, y me
imagino que suena a Feynman, ¿no? Cualquier estudiante que estudie física
le sonará posiblemente uno de los tres físicos más notables del siglo
XX. Yo diría por el lado americano Feynman y digamos su equivalente ruso
quizá menos famoso, menos mediático, Landau. Mal logrado, mal logrado.
Mal logrado muy joven. Os suenan tanto los nombres como de Landau y
Feynman, ¿no? Descubrirnos del sombrero de los físicos ante Feynman y
Landau. Pues Feynman, de la expresión que permite convertir el más en un
fasor por la exponencial compleja, dijo que esa fórmula es la fórmula
más notable o más importante en matemáticas. ¿Alguien me podría decir,
en palabras de Feynman o en la referencia, cuál es la fórmula a la que se
refiere Feynman? La fórmula más importante en matemáticas. La fórmula
de Euler, correcto, la heredo, la fórmula de Euler. Si tenéis suerte,
suerte no, perdón, tiempo, podríais consultar las lecciones de Feynman
sobre física, el tomo 1, en particular el capítulo 22. De mi época de
estudiante recuerdo que este libro no te ayuda mucho a aprobar la
asignatura. Es un libro que quizás hay que leerlo una vez que has
aprendido. Para aprobar la asignatura es demasiado extenso. No sé si lo
habéis usado en la bibliografía de primero, pero es verdad que los
profesores damos la bibliografía en física de este libro en primero y la
verdad es que para aprobar la asignatura es un libro duro. Pero no deja de
ser curioso que si vais al capítulo 22 del tomo 1, el capítulo 22 de un
libro de física se llame Álgebra. Comprobarlo. Y se llama Álgebra por el
especial hincapié que hace Feynman en la relación de Euler. En palabras
de Feynman, en el capítulo 22 dicen, en nuestro estudio de los sistemas
oscilantes tendremos ocasiones de usar una de las más importantes y casi
encantadoras fórmulas de todas las matemáticas. Desde un punto de vista
físico nosotros podríamos simplemente cepillarnos esta fórmula en dos
minutos Y pasar a otra cosa. Pero la ciencia, esto es importante, es
palabra de Feynman, pero la ciencia es tanto para el divertimento
intelectual como para propósitos prácticos. A mis estudiantes de
ingeniería es imposible que la segunda parte se lo pueda hacer comprender.
Así que en vez de pasarnos unos pocos minutos, dos o tres minutos, me
imagino en la mente de Feynman, analizando la fórmula de Euler, escribir
solo, vamos a intentar deducirla. Y mete un capítulo entero de álgebra
donde habla de lo que él llama el álgebra elemental para deducir la
relación de Euler. La relación de Euler os dice que la exponencial
compleja de elevado a i, un número, es el coseno de ese número más la
unidad imaginaria y tal que igual. Y el cuadrado es menos uno por el seno
de tecta. Esa es la fórmula que considera Feynman una de las más
importantes de todas las matemáticas. Bien, pues esa, ¿por qué
estábamos hablando de esa fórmula? Porque esa fórmula, bueno aquí hay
una representación de Euler, aquí tenéis lo que vamos a llamar un fasor,
con tecta igual a cero. Si el ángulo es pi cuartos, si giro pi cuartos
tengo el fasor aquí, si giro pi medios tengo aquí el fasor aquí y así
sucesivamente elevado a pi, elevado a i2. Esa relación o fórmula de Euler
es la que nos permite escribir un más como un fasor por una exponencial
donde has factorizado la dependencia en el tiempo. Entonces, en concreto,
tenemos el vector giratorio, el ángulo depende del tiempo en las dos
componentes, hasta ahora tenemos vector giratorio, sabemos que tanto la x
de t como la i de t, por ejemplo la x de t, son más, es nuestra
definición de más. Y ahora, ¿qué le vamos a llamar fasor? Fasor, nos
quedamos simplemente con la amplitud, el coseno del desfasaje y el seno del
desfasaje. Y no tenemos en cuenta dentro del fasor la dependencia en el
tiempo. Para eso usamos la relación de Euler. Donde, si yo paso a la parte
compleja, el vector giratorio lo puedo escribir como un módulo por elevado
a la unidad imaginaria de un ángulo, donde el ángulo es omega t más el
desfasaje. Que será el módulo. Por factorizo, elevado a i omega t más
desfasaje, por elevado a i omega t, por elevado a j de e. Y esta cantidad
es el fasor. Un elemento matemático ubico en física, os aparece en
muchísimos campos de la física, mecánica, óptica, electricidad,
cuántica, el concepto de fasor. De forma que tú puedes escribir tu vector
giratorio como la exponencial con la dependencia en el tiempo, y la parte
que no depende del tiempo, que es el fasor. Y operar con fasores... Y luego
volver a reconstruir fuera del plano complejo la dependencia real con la
parte constante en el tiempo. ¿Se entiende la idea de Fasor? ¿Alguna
pregunta? Todos tenéis una imagen de cómo pasar vector giratorio más
Fasor. Y en esa última parte es la fórmula de Euler. ¿Alguna
observación? Muy bien, pues seguimos. Bien, pues aquí algunos ejemplos.
En el campo real este sería el más. Más, usamos la relación de Euler.
Me paso entonces a una función compleja donde esta sería la parte del
Fasor. Esta sería la parte imaginaria. Y entonces si quiero trabajar en la
parte compleja, ¿cómo recupero x de t? Como la real, la parte real del
número complejo. Esa es la idea. Tanto para las derivadas, puedo derivar
en el campo real para obtener la velocidad del más o derivar en el campo
real para obtener la velocidad del más. Y luego voy a pasar al campo
complejo y pasar luego a la parte real. Pero ¿qué es lo que obtengo? Que
cada vez que derive respecto al tiempo, debido a la relación de Euler, en
la parte temporal, recordar que en la parte temporal está la exponencial
de la frecuencia, es como multiplicar por la unidad imaginaria W0. Y cuando
derive respecto a la aceleración será el I cuadrado por W0. Eso nos
lleva... Bueno, una observación recordar que la unidad imaginaria I es E
elevado a I pi medio. En estas cuentas. Pues eso me ha permitido hacer la
siguiente transparencia donde más y fasores desde el punto de vista
algebraico que hay que saber pues cómo se suman y restan fasores cómo se
multiplican y se dividen fasores. Yo creo que esto a lo mejor de otra
asignatura lo tenéis claro, ¿no? No hace falta que miremos esta
transparencia con detalle. ¿Con la transparencia os vale? ¿O creéis que
hay que comentarla? Por pensar, por ejemplo, que si tienes un número de
fases, un número con una función, ¿vale, no? Repasamos muy bien.
Imaginaros que tenemos un fasor como función del tiempo. Un fasor, no,
perdón, una función compleja. Z1 de T será el módulo del número
complejo de la función Z1 por elevado a I elevado a la fase la
multiplicación de estos dos sería el fasor por la parte que depende del
tiempo. Y para otra función compleja tendríamos el fasor por la parte que
depende del tiempo. ¿Cómo se suman y restan? Pues pondrías el primero...
...más o menos el segundo. Y haces factor común a la parte que depende
del tiempo porque esa parte que depende del tiempo es constante. Las dos
partículas están haciendo un movimiento armónico simple... Con la misma
frecuencia natural, la única diferencia está en que en una tienes una
fase y en otra otra, de pasaje inicial, y un módulo y un módulo
diferente. ¿Se entiende? Pues entonces al hacer Z1 más Z2, para pasar
luego a la parte real, ¿qué tendrías que hacer? Tomar real de la suma en
T igual a 0 más la unidad imaginaria por la parte imaginaria en T igual a
0. 0, todo factorizado con la dependencia en el tiempo. Esa sería la suma
o la recta de funciones complejas y el resultado al final siempre lo
tendrás que pasar a la parte real. O si fuera la proyección del vector
giratorio en el eje de las is a la parte imaginaria. La multiplicación,
pues al multiplicar las dos funciones complejas, sigue siendo factorizado
en el tiempo, pero usan la propiedad de la exponencial que al multiplicar
esta cantidad por esta, es como sumar. Es como sumar con la exponencial de
Euler. Y al dividir, pues en vez de sumar te aparece ¿qué? Un signo
menos. Pues estas propiedades elementales de sumar, rectar, multiplicar, y
esto realmente no sería dividir una función por otra, sino multiplicar la
función Z1 por la inversa de Z2. ¿De acuerdo? El signo menos. Esta es la
parte del fasor y esta es la parte de la dependencia temporal. ¿Dudas?
¿Preguntas? ¿Por qué se hace esto en el contexto de las vibraciones?
¿Por qué es más fácil trabajar con suma de exponenciales que se
corresponden, por ejemplo, a multiplicar, o resta de exponenciales que a
dividir, que no trabajar directamente con las señales x de t en el plano
real? Que sería coger a por coseno seno de omega cero t más delta, más
los dos pasajes. Al hacer esas operaciones algebraicas es más fácil
trabajar con la exponencial. ¿Se entiende que es más fácil? Muy bien,
pues seguimos. Y a esto le he llamado más y fasores cálculo. Simplemente
es la regla que si tienes la función compleja del tiempo, esta parte es el
fasor, esta es la dependencia temporal, cada vez que derives respecto del
tiempo esta cantidad, te aparece el fasor, que es esto, multiplicado,
perdón, al derivar respecto al tiempo el fasor por la parte temporal, te
vuelve a aparecer el fasor por la parte temporal, y la operación derivada
es equivalente a multiplicar i por la frecuencia natural. Y cada vez que
integres respecto al tiempo el fasor por la dependencia temporal, es lo
mismo que tener el fasor por la dependencia temporal, y multiplicar por 1
partido y W0. Esto va a ser muy importante en muchos campos porque permite
obviar que estás trabajando con funciones del tiempo y sus derivadas, que
son sistemas de ecuaciones diferenciales, y convertirlo en reglas
algebraicas. Un lugar común donde se hace esto es al resolver los
problemas de alterna, donde evitas trabajar con las ecuaciones
diferenciales, por ejemplo, en un circuito LRC, y trabajas con, si habéis
visto la asignatura de electricidad, porque no sé muy bien el programa, si
la habéis tenido ya en primero, me imagino que en física primero sí que
habéis visto algo de corriente alterna, pues trabajáis con las
operaciones equivalentes a derivar e integrar. Lo habéis visto esto en
otro contexto, me imagino, ¿no? Pues igual que en otro contexto, en
electricidad se usan en el mundo de vibraciones. ¿Ok? Pues seguimos. Bien,
voy a poner un ejemplo bastante de la ingeniería de la física aplicada
que es el ejemplo de la corriente en trifásica. Un sistema trifásico es
el sistema de producción real y distribución de consumo de energía donde
realmente tenemos tres corrientes monofásicas, por eso se llama corriente
trifásica. De alguna manera sobre el metro del circuito tienes tres
generadores, el equivalente a tres generadores es V1, V2 y V3, por aquí
sale la corriente I1, por aquí la I2 y por aquí la I3, ¿para qué? Para
que todo sea más sencillo en la visualización que quiero daros, he puesto
R1, R2 y R3, tres resistencias. No merece la pena que gaste el tiempo en
hablar de impedancias, pero en el mundo real imaginaos que ahí tenéis
impedancias y que lo que chupa energía pues son motores, ¿no? O la luz de
vuestra casa o los aparatos del horno, elementos de potencia. Bien, las
tres corrientes llegan aquí y por aquí llegaría una corriente de
retorno. ¿Cómo se diseña la corriente trifásica esencialmente? Pues la
primera fuente de tensión es V coseno, de frecuencia por tiempo. El
segundo generador es la misma amplitud pero dos pi tercios de desfasaje con
el primero y el tercer voltaje cuatro pi tercios, es decir, que los
voltajes están desfasados 120 grados entre sí. Si escribo los fasores,
que es quitando la dependencia en el tiempo, tendré el primer fasor 1 que
se corresponde al fasor del voltaje 1, 2 y 3, ¿se entiende? Y la pregunta
es, ¿por qué los ingenieros eléctricos diseñan la corriente trifásica
de esa manera? Pues si cogemos el caso particular donde R1, R2 y R3 valen
R, observaremos que la corriente de retorno es nula. Es decir, la corriente
llega hasta el consumidor y no se devuelve. Con lo cual tienes menos
problemas, menos costos y optimizas el procedimiento de distribuir energía
eléctrica con consumo de potencia. La siguiente transparencia creo que
tengo las cuentas finales hechas. Entonces nos ponemos en el caso
particular, la I1 sería V1 por R, la I2 la ideón, V2 partido de R2, la I3
V3 partido de R3. Las tres resistencias son iguales, con lo cual la
intensidad de uno valdría esto, como complejo la dos y la tres. Y si
hacemos la suma de las tres intensidades, ¿qué nos da? Pero, hemos
optimizado para que no haya corriente de retorno, o sea, para que no vuelva
a la estación generadora, no vuelva a corriente de la que nos dan. En el
mundo real algo siempre llega, ¿no? Pero esa es la idea y el por qué se
tiene corriente trifásica. ¿Se entiende alguna pregunta? Y uso de los
fasores, claro. Daros cuenta que esto está motivado porque esto es la suma
al final de tres fasores. La dependencia en el tiempo a la frecuencia de 50
Hz donde va la red eléctrica española no interviene en que esa suma sea
igual a cero. Ahí las vibraciones son de tipo eléctrico. ¿Alguna
pregunta? Muy bien. Pues seguimos. Y vamos a hacer el problema 3, que
sería el problema 1-1 del French. Problema de tipo algebraico. Vamos a
considerar un vector cero. Z, en el plano complejo, definido por la
ecuación z igual a z1 por z2. Siendo en coordenadas cartesianas z1 igual a
coma b y z2 c coma d. Apartado a. Demostrar que la longitud de z es igual
al producto de la longitud de z1 y z2. B. Demostrar que el ángulo
comprendido entre los ejes z y x es la suma de los ángulos que forman por
separado z1 y z2 con x. Pues vamos allá. Es un ejercicio de álgebra.
Bien, pues nuestra definición del primer vector, el z1, es a, b. Sus
componentes cartesianas x es a, la y es b, y este es el vector z1. Este
será el vector z2. ¿Qué vale z1 por z2? Pues z1 por z2 es el primero por
el segundo. Pues haciendo el álgebra de los complejos nos queda esto por
esto. En términos geométricos, ¿qué será? El vector z1 por z2. El
vector z1 por z2 será un vector con un nuevo módulo y una dirección.
¿Cuánto vale la componente x del producto? Ac por menos bd, perdón, ac
menos cd, esta cantidad. ¿Cuánto vale la componente y cartesiana? cd más
ad. ¿Cuánto valdrá este módulo? La raíz cuadrada de la componente x
más la componente y al cuadrado, pues ahí vamos, el módulo de z1 por z2
será la raíz cuadrada de la suma de las componentes, lo que tengo es que
desarrollar esto, desarrollando eso encuentro estos términos y haciendo un
poquito de álgebra encuentro esta igualdad que es igual a z1 por z2 como
queríamos demostrar. Hemos demostrado que el módulo del producto es el
producto de los módulos, pregunta, alguna observación, seguimos,
demostrar que el ángulo comprendido entre los ejes z y x es la suma de los
ángulos que forman por separado z1 y z2 con x, ahora viene la parte
geométrica, este es el vector z1, este es el vector z2, z1 es el ángulo
que forma el eje x con el vector, z2 es el ángulo que forma el eje x con
el vector, y mi objetivo es encontrar cuánto vale z3 que es el ángulo que
forma el vector producto con el eje x, pues usamos la fórmula de Euler, z
es igual a z1 por z2 que será el módulo de z1 por la exponencial del
primer ángulo multiplicado por el módulo de z2 por la exponencial del
segundo ángulo, el producto de las exponenciales es la suma de los
módulos, los ángulos, luego z1 más z2 es z3, que es lo que yo andaba
buscando, el ángulo que forma el eje de las x con el vector producto es la
suma de los ángulos, alguna pregunta, se entiende, seguimos, muy bien,
pues bien, problema 1.4 que es el problema 1.6 del French, a partir de la
relación de Euler obtener la representación, la representación
geométrica, estamos todavía en la lección 1, obtener la representación
geométrica de elevado a menos y tecta, seno de tecta y coseno de tecta,
pues vamos allá, bien, pues tenemos como herramienta para trabajar la
fórmula más notable de las matemáticas en apreciación de Feynman, de
Mr. Feynman, pues que es la relación de Euler, y no se nos olvide nuestra
interpretación geométrica, como esto es módulo 1, pues este 1 por
elevado y tecta sería módulo 1, módulo 1 con un ángulo tecta, bien,
¿qué es elevado a menos y tecta? coseno de menos tecta más y seno de
menos tecta, los cosenos son iguales, me queda coseno de tecta menos y seno
de tecta y lo dibujo. ¿Estáis de acuerdo que esto es e elevado a y tecta
y esto es e elevado a menos y tecta? Ahora el coseno va en sentido hacia
abajo negativo. ¿Hasta ahora todo claro? Bien, pues ahora vamos a combinar
e elevado a y tecta con e elevado a menos y tecta. Bien, entonces e elevado
a y tecta y e elevado a menos y tecta, si lo sumo, ¿qué obtengo? Coseno
de tecta igual a un medio de la suma de las exponenciales con signo
diferente. Por lo tanto, lo que he obtenido es que al sumar e elevado a y
tecta con e elevado a menos y tecta, obtengo un número real, coseno de
tecta. Y si en vez de tomar la suma, si en vez de tomar aquí la suma, tomo
la recta, pues obtengo que el seno de tecta es 1 partido de 2i por e
elevado a y tecta menos e elevado a y tecta. Geométricamente, tengo e
elevado a y tecta, e elevado a menos y tecta, por lo tanto, lo que tengo
aquí es sumar menos e elevado a menos y tecta, que es el opuesto de este
vector. El opuesto de este vector es este. Entonces, al sumar este vector
con este, lo que me queda es un vector, una componente sola en el eje
imaginario. Que es seno de tecta. ¿De acuerdo? ¿Alguna duda? ¿Alguna
pregunta? Seguimos. Muy bien. Pues, problema 1.8 del French. Problema 1.5
de la tutoría. Utilizando las representaciones vectoriales de seno de
tecta y coseno de tecta, comprobar las siguientes identidades
trigonométricas. Seno cuadrado más coseno cuadrado igual a 1. Coseno
cuadrado menos seno cuadrado igual a coseno del ángulo doble. Y 2 seno
coseno, el seno del ángulo doble. Bien, pues la primera. Seno cuadrado
más coseno cuadrado es lo mismo que seno de tecta más y coseno por seno
de tecta menos y coseno. En términos de las exponenciales, todo esto ya
hemos visto que es elevado a y tecta. Y todo esto es elevado a menos y
tecta. Elevado a y tecta por elevado a menos y tecta es elevado a y tecta
menos tecta, que es elevado a 0, que me da 1. ¿De acuerdo con la primera?
Bien, la segunda. Coseno cuadrado de tecta menos seno cuadrado de tecta
igual a coseno de 2 tecta. Pues aquí es importante acordarnos que elevado
y tecta al cuadrado es lo mismo que 2 y tecta en la exponencial. De forma
que cojo coseno de tecta más y seno de tecta al cuadrado, y eso será lo
mismo que coseno de 2 tecta más y seno de 2 tecta. Pero si resolvemos este
cuadrado me queda coseno cuadrado menos seno cuadrado más el doble del
primero por el segundo, que es igual a coseno de 2 tecta más y seno de 2
tecta. Con lo cual nos queda coseno de la diferencia igual a coseno de 2
tecta en la parte real. Esto es igualar la parte real de esta ecuación y
si igualamos la parte imaginaria, coseno de tecta, seno de tecta igual al
seno de 2 tecta, que es lo que queríamos demostrar. Por inducción se
puede demostrar a partir de esta expresión, esta expresión que es
importante, que elevado a i veces un número entero de tecta elevado al
cuadrado, es elevado a 2 tecta por n veces la unidad imaginaria. ¿Alguna
pregunta? Muy bien. Bien, pues vamos a hacer el problema 1-6 de la
tutoría, que es el problema 1-9. Ah, J. Herrera dices que tienes un
problema, vuelvo hacia atrás, a ver. J. Herrera, ¿cuál es el problema?
J. Herrera dice no, no, ¿y qué quiere decir? ¿Que no hay problema o que
sí hay problema? ¿Qué quiere decir? Vamos para adelante, ponme OK. Y si
tienes un problema de comprensión intenta ponérmelo en el chat. Ah, pues
seguimos, muy bien. En el problema 1-6 del French, perdón, en el problema
1-9 del French, es el 1-6 de la tutoría modificado, me voy a dar pie para
hacer algunos comentarios, quizá un poquito fuera de la tutoría, pero que
yo creo que tienen que ver con vibraciones, y ya nos decía Feynman que la
física está para el gozo intelectual y no solo para la resolución de
problemas prácticos. El problema del French dice, ¿estaría usted
dispuesto a pagar 200 euros por un objeto que ha sido valorado por un
matemático con un valor de i elevado a i euros? Pues ¿de qué se trata
este problema? De ver el coste que ha calculado el extraño matemático
como i elevado a i euros, ser capaz de visualizar ese i elevado a i euros
en una cantidad de euros que yo entienda, en un número real, ¿no? Pues
vamos allá. i elevado a i es i elevado a e elevado a i pi medios, Pero la
base y es e elevado a y pi medios, que está elevado a e elevado a y pi
medios. Eso es e elevado a y pi medios por e elevado a y pi medios. De
manera que lo que nos queda es y, el exponente, nos queda y por pi medios
por e elevado a y pi medios, que es menos pi medios. Por lo tanto, y
elevado a e elevado a y pi medios es e elevado a menos pi medios, que es
aproximadamente 0,29, pongamos 0,21 euros. Bueno, la pregunta es, luego se
trata de pagar 200 euros por un objeto cuyo valor es de 0,21 euros. Claro,
en la contestación del frame imagino que es para que digamos que no, que
no. Que como vale 200 euros y lo que el valorador matemático es 0,21, que
no merece la pena. Pero los tiempos están cambiando y hoy la física a lo
mejor puede contestar a este tipo de preguntas de otra manera. Porque en
fondo, si la contestación es, ¿pagaría usted 200 euros por algo que vale
0,21? En el mundo real, la contestación depende de quién sea usted. Por
ejemplo, si es usted un liberal, no me refiero a que leas el penthouse,
sino que seas un liberal en el sentido económico del término, la
respuesta debería ser que no. Usted no pagaría, si es un liberal en el
sentido económico, nunca pagaría... 0,21 euros, o sea, 200 euros por algo
que vale 0,21. Ahora lo he dicho bien. En cambio, si es usted un defensor
de la economía socialista en el sentido económico del término, pues
depende, ¿no? Si el objeto está subvencionado y si usted es socialista,
es un fan de los objetos subvencionados, pensar, por ejemplo, en las
energías llamadas verdes, pues tal vez sí, pagaría usted por algo que
vale 0,21 euros, 200 euros. Y, por ejemplo, si usted es un planificador y
la economía la planifica desde el punto de vista comunista, usted no
piensa. O sea, lo que diga el jefe y hacia adelante. Esto, más que nada,
es un aroma y un divertimento para intentar visualizar. Hoy en día hay
alguna rama de la física que intente contestar este tipo de preguntas.
¿Cuál es el tipo de preguntas? El comportamiento colectivo de las
sociedades y de los seres humanos. La contestación es que sí. Y si alguno
habéis leído la maravillosa obra de ciencia ficción, la psicohistoria de
Asimov, pues estáis empezando a empezar y a desarrollar... Si de alguna
manera esa psicohistoria se está construyendo. Mi punto de vista es que
sí. En los últimos 15 años se han desarrollado en física dos áreas
nuevas de la física que se llaman sociofísica y econofísica. ¿Qué es
la sociofísica? Aquí tenéis, por ejemplo, el cartel de uno de los
primeros congresos celebrados de sociofísica en Italia entre el 26 y el 29
de mayo de 2008. Socio-física trata de la modelización mediante física
estadística de fenómenos sociales de larga escala que implican muchos
humanos, como aquella psicohistoria de Asimov, y trata de predecir el
comportamiento de la formación de opiniones, la diseminación cultural, el
origen y la evolución del lenguaje, los comportamientos de pánico, el
contagio social, por ejemplo. Pues eso sería en cuanto a la socio-física.
Modelizar la socio-física, he trabajado un poquito en este campo, la
socio-física a la predicción y modelización del comportamiento de
células terroristas. Digamos, en el comportamiento social hay dos escuelas
en física que yo conozca. Una es la socio-física, que es a partir de
fenómenos físicos que vienen de la mecánica estadística, modelizar sin
justificar algún fenómeno social con ecuaciones que vienen de la física.
Y un punto de vista... Y un punto de vista algo más teórico, que se
llamaría sociodinámica, y que tiene que ver con la escuela alemana de
física teórica, con cierta escuela alemana de física teórica, y este es
el libro de referencia, Sociodynamics, pues que ahí en vez de modelizar
fenómenos físicos con fenomenología física, intenta tener una ecuación
de estado y un modelo de un espacio donde ocurren esos sucesos sociales
desde un punto de vista más teórico, no simplemente buscar un fenómeno
con un fenómeno. Ah, bueno, correcto, que no tiene problema. Bien, pues
digamos que veréis que los tiempos están cambiando, como decía la
canción. Dice, y ahí lo de los experimentos físicos son fácilmente
reproducibles. Realmente aquí hay poco experimento que yo conozca. Aquí
lo que se hacen son predicciones e intentas analizar con datos del mundo
social, pensar en la economía, por ejemplo, frustraciones de bolsa, que
ahora veremos, intentas ver si tus modelos físicos de la econofisis o la
sociodinámica... Tus modelos, por ejemplo, si tienes un modelo de
inmigración, si las predicciones de ese modelo se comportan con los datos.
No se trata tanto de hacer experimentos, sino, pues igual que sería en
astrofísica, tienes modelos y observaciones. Te he contestado ya, Edo, que
se trata de predecir con modelos o con fenomenología y ver si los datos
del mundo económico o del mundo social... se comportan como han predicho
tus modelos. En general, en estos últimos 10 años, asociado a esta forma
de pensar en física, ha aparecido las redes complejas, ¿os suena ese
término a los que estáis en el chat? Redes complejas en física. Las
redes complejas, digamos que ha sido el paradigma en física y en ciencia
más innovador desde el punto de vista en los últimos 15 años, principios
del siglo XXI, y se basan en el trabajo de este profesor que viene de la
matemática aplicada, tiene un libro de texto bastante conocido en
Dinámica, Anonimidad y Caos, y de este autor al que él le dirigió la
tesis, Duncan Bax, si podéis leeros este libro, que es un libro de
divulgación de Duncan Bax, Six Degree, ahí está toda la física y toda
la matemática de las redes sociales. ¿Veis? Pues Duncan Bax, que acabó
un grado de física, le dirigió la tesis Strogatz, la tesis sobre el
paradigma de redes complejas, y hoy en día creo que el profesor Bax es
profesor de sociología, es físico y profesor de sociología. Y creo que
estaba también trabajando en el grupo de interacción humana de Yahoo de
redes sociales. Como el resultado de la tesis está publicado, se llama
Small World, de Bax, y está en la editorial Princeton University. Es la
versión del volumen que se sacó de su tesis. ¿Por qué son importantes
las redes complejas con esta nueva ciencia que se está creando en torno a
la física y a la matemática, de resolver, intentar resolver problemas
humanos y las redes complejas además ubicua en biología en casi todas las
ciencias? Pues una idea lo tenéis que el artículo de Natcha, de Bax y
Strogatz, de 1998, donde aparece ese artículo fuente sobre... ...redes
complejas, ese artículo fue el artículo más citado con la palabra redes
entre 1998 y 2008, y el sexto más citado en todas las áreas de la
física, según esta indexación. ¿Qué es la ciencia? Pues lo que hacen
los científicos. Y lo que hacen los científicos es lo que se publica.
Algo de notable tiene que tener redes complejas cuando el artículo más
citado con la palabra redes y el sexto más citado en todas las áreas de
la física, digamos, en el primer decenio del siglo XXI. Pero es verdad que
los tiempos están cambiando y vosotros que sois jóvenes os llamo la
atención y os invito a que os compréis este libro o lo leáis. Acaba de
salir la traducción en español. La versión anglosajona se llama La
física de Wall Street. La física de Wall Street, una breve historia de la
predicción de lo impredecible. Este es el autor y aquí tenéis una foto
del autor. La versión en español, desgraciadamente, tiene un título que
a mí me gusta poco. Cuando los físicos se asaltaron los mercados. El
autor tiene un doctorado en física, otro en matemática y otro en
filosofía. Creo que hoy en día es profesor de filosofía. Y es un libro
profundamente delicioso porque te descubre las personas y la relación y la
interacción entre las personas de la física y las matemáticas y los
modelos usados en la segunda mitad del siglo XX en el mundo de las
finanzas. Todos provenientes de la física. Y de cómo esos modelos que
vienen de la física usados por los economistas, sin ningún control de lo
que es el concepto de modelo en física, nos ha llevado a las dos grandes
hecatombes económicas. La de 1980 y la de principios del siglo XXI.
Interesante, ¿verdad? En ese libro aprenderéis, por ejemplo, que existe
este señor del cual yo no tenía ni idea. Jim Simmons. Aquí podéis
encontrar lo que dice él Wikipedia, que es básicamente lo que dice en el
libro. Del que os he citado, de la física de Wall Street. Este profesor
fue profesor del Instituto Tecnológico de Massachusetts de matemáticas y
en 2008 montó una empresa para cotizar en bolsa cartera de acciones, que
es la única empresa que no ha perdido nunca. Ni en 1980 ni después de la
crisis de la subprime. El fondo que creo se llama Fondo Merillón en 1988.
De 1988 a 1998 su redentor. Su rentabilidad fue del 2.478,6% y algo tiene
que ver las oscilaciones con la volatilidad en bolsa. Desde entonces hasta
ahora en su histórico tiene un 40% anual de beneficios. Este señor
jugando en bolsa parece ser que según la revista Forbes, este matemático,
ha hecho una fortuna de 10.600 millones de dólares. Y su empresa que se
llama Renacimiento tiene más de 200 empleados. Un tercio de ellos doctores
en física y matemáticas. Según el libro que os he citado, esa empresa no
contrata doctorados en economía ni en general en finanzas. Y comentan sus
creadores que el éxito de esta empresa es mantenerse alejado en su empresa
de expertos financieros. En palabras del profesor del Instituto
Tecnológico de Massachusetts, de su departamento de matemáticas, este
autor. La empresa de este señor... Renacimiento es el mejor departamento
de física y matemáticas del mundo. Pues los tiempos están cambiando,
¿no? Yo creo que esto hay que comentarlo porque quizás un campo
fundamental e importante en el siglo XXI para físicos y matemáticos va a
ser el campo de la economía. Yo diría más, yo diría que la economía es
suficientemente importante para que deje de estar en manos de los
economistas, pero desde ese punto de vista no hay por qué compartirlo y ni
los profesores de la asignatura de la Sede Central ni la UNED se hacen
responsables de la afirmación, solo es mía. Pero si resulta que el mejor
fondo de inversiones del mundo, el que no pierde, no tiene economistas sino
física y matemáticas, nos daría pie a lo mejor es que es necesario
replantearnos el papel de las facultades económicas en el mundo. Desde mi
punto de vista yo la cerraría, pero ya digo que ni la UNED ni los
profesores de la asignatura tienen que compartir mi punto de vista. Un
libro sugerente, muy bien escrito, con muchísimas notas de los físicos y
matemáticos que en la segunda mitad del siglo XX aportaron su conocimiento
y cómo ese conocimiento fue un gran beneficio para la economía. Y cómo
fue mal usado por los economistas en Wall Street. ¿Alguna pregunta o
observación? Bien, pues si os parece, vamos a hacer, antes de regresar a
las oscilaciones, vamos a hacer un pequeño descanso de cinco minutitos,
ponemos la sintonía y seguimos. ¿Os parece bien cinco minutos de
descanso? Ok, pues vamos a hacer el descanso. Muy bien.