Espero que no se haya machacado con el nombre de la otra grabación.
Bueno, bien, pues vamos a seguir. Bueno, pues eso, me escucháis todos,
todo bien, ¿no? Todo el mundo me escucha, se visualiza bien todo. Antes de
empezar, otra vez. Vale, muy bien. Pues regresamos a las oscilaciones y
vamos a hacer un problema que está en el French que dice usar la notación
fasorial para obtener la amplitud de la suma y la fase de la suma de dos
más dados. O sea, nos dan x de t más x de t formado por 10 centímetros
coseno de la frecuencia por el tiempo más 17 centímetros por el seno de
la frecuencia por el tiempo. Y queremos obtener la amplitud y la fase de la
suma de estos dos elementos. ¿Qué habría que hacer? Pues lo más
sencillo sería intentar colocar la expresión del seno ¿Qué haría el
coseno para poder hacer esa suma? Pues vamos a intentar trabajar desde esa
perspectiva. Entonces, por un lado tenemos 10 coseno más 17 en vez de seno
por el coseno de omega t menos pi medios. Esta es la señal que está en R.
Pues vamos a escribir la señal en términos de fasores. Los fasores
serían z igual a z1 más z2. Z1 sería la primera parte con la fase tecta
1. Y tecta 2 sería la segunda parte de la suma. De manera que me caería
z1 por la par factorizada en la parte del tiempo más z2. factorizado en la
parte del tiempo, pues dejo la parte del tiempo omega t, factor común, y
esto será parte del fasono y la parte del tiempo, de forma que z me queda
z1 más z2 por e elevado a menos pi medio unidad imagitaria, factor la
exponencial. Una vez que sé eso, pues ¿cuánto valdrá el módulo de z? Z
raíz cuadrada de z1 más z2, que es 10 al cuadrado más 17 al cuadrado,
19,72 centímetros, y si represento este z, el fasor, si la parte
imaginaria me da este vector, donde el ángulo fi será z2, que está
aquí, la tangente será z2, módulo de z2 partido módulo de z1. Luego fi
en grados, nos dan radianes, lo pasamos a grados, sería 59,6 grados.
¿Alguna pregunta? ¿Se entiende? ¿Se entiende? Era resolver esa
sustancia. Y la suma en función y en términos de fasores. ¿De acuerdo?
Muy bien. Pues seguimos. Pues el siguiente ejercicio, que es el ejercicio
1-12 del French, problema 1-8 de la tutoría, nos dice que un punto se
mueve en una circunferencia con una aceleridad constante de 50 centímetros
por segundo. El periodo de una vuelta completa es de 6 segundos. Para t
igual a 0, la recta que va del punto al centro de la circunferencia forma
un ángulo de 30 grados con la horizontal. Obtener la cisa en cualquier
punto de la circunferencia, b, la velocidad de la cisa y c, la
aceleración. Particularizar en t igual a 2 segundos, pues esto va a ser un
problema de más. Movimiento armónico simple y obtener la primera derivada
para la velocidad, la segunda derivada para la aceleración. La partícula
está dando vueltas, tiene una velocidad lineal igual a la velocidad
angular por el radio. Tomamos la proyección en el eje de las x. que eso es
el más, x de t, r coseno de omega t más delta, perdón, en este caso más
delta, de pasaje, el de pasaje del problema es pi sector, la frecuencia es
2pi partido del periodo, pi tercios radianes por segundo, la r la puedo
sacar de la cinemática, la r será la velocidad partido de la frecuencia,
por lo tanto la r me va a quedar 15 partido 10pi metros. De forma que
entonces el más es la x de t, que es la r, que he visto que es 15 partido
10pi, por el coseno de pi tercios más pi sectos. Obtengo la primera
derivada, el coseno se convierte en el seno, y obtengo la siguiente
derivada de la velocidad para darme la aceleración, posición, velocidad y
aceleración del más obtenido por obtener la proyección en el movimiento
circular en el eje x. ¿Alguna pregunta? Será el problema 12 del French.
¿Seguimos? ¿Alguna pregunta? Muy bien. Pues ahora vamos, digamos, a la
parte 2, a la lección 2 del French. Lo que vamos a hacer es trabajar con
la superposición de vibraciones. La idea, vamos a ver cómo me sale ahora
usar el lápiz, la idea es que nosotros vamos a considerar tener una imagen
mental de lo que es una vibración que haga un más. Entonces la idea es
que hemos visto que un más, es una función, a ver dónde puedo escribir,
x de t igual a coseno de omega t más delta. Pues voy a intentar
representar en términos de vectores giratorios, ¿Veis? Pues como un
vector, todo vector tiene un punto de aplicación y una cabeza, pero
imaginaos las vibraciones que tienen dos cabezas, porque lo que está
haciendo la vibración es esto. ¿Se entiende lo que quiero decir? Entonces
si representamos esto, esto será A con una frecuencia de un delta, a ver
si lo voy a escribir bien porque es que esto es un problema, el problema es
al sacar el boli que se me arrastra, vale. Vale, entonces la imagen que
tenemos de una vibración es como un vector con dos cabezas porque está
haciendo esto y si esa vibración es un más tiene una amplitud, una
frecuencia y un delta y si la dirección es horizontal pues la pintaré con
dos cabezas en el eje de las X. ¿Cómo la pintaré vibrando en el eje de
las Y? Pues la pintaré así, A, W y delta. ¿Se entiende la imagen que
quiero trasladar? Entonces ¿a qué llamaremos superposición de
vibraciones? Nos haremos la siguiente. La siguiente pregunta, si sumo dos
movimientos armónicos simples paralelos, ¿esto es igual a otra vibración
más? Si sumo vibraciones perpendiculares, ¿esto es igual a otra
vibración paralela o perpendicular? Bueno, pues el mismo boli se me ha
ido. La idea es tener en mente las vibraciones, pues como un vector con dos
cabezas que te indica que eso se mueve en dos sentidos y si la suma de
vibraciones va a ser o no una vibración. Pues vamos allá. Digamos que
esto es la lección 2 del French. Pues este es mi problema, si tengo un
más, una A, una frecuencia y un delta ¿qué es lo que hago? Si esto es 1,
pues estos índices serán 1. Si sumo dos movimientos armónicos simples
será un más. Si sumo una vibración horizontal y una vibración vertical
será un más. Esas son las respuestas que queremos contestar. Podemos
empezar de lo más sencillo a lo más complicado. Vamos a considerar la
superposición de vibraciones paralelas, 2 en el eje X, de igual
frecuencia. Por lo tanto, mi primer más será una amplitud a sub 1 con una
frecuencia W y un desfasaje phi sub 1. Y otro más a sub 2, una amplitud
diferente, pero la misma frecuencia y desfasaje diferente. La pregunta es,
al sumar estos dos más, ¿obtengo un más? Y la contestación, el
desarrollo lo podéis seguir, es, ¿tendrás un más si eres capaz de
construir a partir de la suma una función suma X de T con una función
suma X de Y? En este caso, la amplitud constante, eso definamos más con la
plantilla coseno de la misma frecuencia. La frecuencia no varía, pero me
debe de ser capaz de darme un desfasaje de la suma. Pues eso se puede
hacer, usáis por ejemplo, los fasores aquí vienen muy bien, con su
representación de Fresnel. La parte dependencia en el tiempo más phi sub
1 significa que si hay un desfasaje inicial respecto al eje X tendrá un
ángulo phi sub 1, pues esta es la señal. El fasor de a sub 1, esta es la
del fasor de a sub 2 y este es el fasor suma de la regla del paralelogramo.
Pues resulta que esta suma va a ser un más, porque soy capaz de
identificar el desfasaje de la suma por trigonometría como phi será omega
T más phi 1 más beta, donde beta es phi menos phi 1 y delta, el
desfasaje, es phi 2 menos phi 1. Y la amplitud que aparece en la suma... es
tal que la amplitud al cuadrado es el cuadrado del primero más el cuadrado
del segundo más dos veces el primero por el segundo por el coseno de la
diferencia de fases de la información que tengo. La información que tengo
es este más y este más. Esta es la primera ecuación que saco de la
trigonometría y la segunda es que A por el seno del ángulo que quiero
buscar menos phi sub 1 es A2 por el seno de delta. Con esta información yo
siempre puedo reconstruir el más suma de dos vibraciones que son paralelas
con la misma frecuencia y amplitud diferente. Bien, pues ahora vamos a
hacerlo un poquito más sencillo y para obtener una fórmula más general
voy a considerar que además de la misma frecuencia tienen la misma
amplitud. En vez de A1 tengo A y en vez de A2 tengo A. En las fórmulas
anteriores pongo que A1 es igual a A2 igual a A y lo que se obtiene es esta
expresión. La vibración suma X de T la vibración suma sí que es un más
porque la amplitud seguir esta flecha la amplitud es dos veces A por el
coseno de phi2 menos phi1 donde conozco phi2 menos phi1 que son los
desfasajes del más 1 y del más 2 que conozco esto será una amplitud que
no depende del tiempo si phi1 y phi2 y A son constantes este término es
constante por el coseno de omega T la dependencia en el tiempo o la misma
frecuencia más un desfasaje inicial de la suma que es la suma partido por
2 la semisuma de los desfasajes iniciales de forma que se tienen dos
situaciones bien claras cuando el desfasaje es un número entero de 2 pi el
coseno de n igual a 0, 1, 2, 3 esta amplitud perdón esta amplitud es
máxima Y se dice que las dos vibraciones están en fase, suman lo máximo
posible, porque la amplitud es máxima. Pero podrías tener el caso de 2n
más 1pi donde la amplitud es mínima y ese mínimo puede ser un cero. Por
ejemplo, sabemos que en ondas luz más luz podría dar oscuridad. A eso se
le llama estar en oposición de fases. Y en cualquier situación
intermedia, entre las dos, tenéis la superposición obtenida como un más
cuando tenéis la misma amplitud y la misma frecuencia. ¿Preguntas?
Estamos aprendiendo a sumar vibraciones paralelas. Hemos tenido una
fórmula general con la misma frecuencia y amplitud diferentes y vemos esa
fórmula general de la transparencia anterior en qué queda cuando tenemos
la misma amplitud. ¿Alguna pregunta? ¿Seguimos? ¿Preguntas? ¿Seguimos?
Bien. Pues conviene mucho, como os decía en la primera parte de la
tutoría, que si tenéis una herramienta de cálculo simbólico, la uséis
en el ordenador para representar lo que estáis estudiando. Si yo quiera
representar este código en matemática, intentaría escribir las cosas
como las escribo con lápiz y papel. En lápiz y papel esto sería x1 y
esto sería x2. Pues en matemática o en máxima yo definiría x suma 1.
Abro corchetes, variable amplitud, tiempo, frecuencia, desfasaje de la
señal 1, desfasaje de la señal 2 y aquí pongo la fórmula que he
obtenido teóricamente en la transparencia anterior. 2a por el coseno de la
diferencia de los desfasajes iniciales partido por 2 multiplicado por el
coseno de omega t más phi2 más phi1 partido por 2. Metes esto en memoria
y representas y haces un plot. Y veis que el plot de la suma de dos
señales donde la amplitud es 1. El tiempo es la variable, la frecuencia es
3pi cuartos. El desfasaje 1 es 0 y el desfasaje 2 es 2pi entre 0 y 10
segundos, esa señal es un movimiento armónico simple. En este caso la
suma de vibraciones es un movimiento armónico simple. ¿Se entiende esto y
más o menos el código de programar en máxima matemática? ¿Alguna
pregunta? Y se pasa de una manera muy transparente de las ecuaciones de la
teoría, por ejemplo del French, a la herramienta del ordenador con el que
estáis usando. ¿Seguimos? ¿Seguimos? Bien, bueno pues si ahora tenéis
matemática, a partir de la versión 7, matemática tiene una función
maravillosa que no tienen los demás programas que es Manipulate.
Manipulate te permite crear objetos dinámicos como el Pomer Plot. Si os
habéis visto la documentación, os he puesto historias anteriores, un CDF
que te explica cómo usar Manipulate en matemática. Entonces yo aquí en
concreto con la función suma que he definido antes, con este código
Manipulate, abres corchete, cierras corchete del plot anterior, convierto
cada plot en una función dinámica, donde puedo variar la amplitud con
este mismo código, el resultado de ejecutar este código en matemática es
esta interfaz. Puedo variar la frecuencia, empiezo con la frecuencia si
veis un valor inicial de la frecuencia 3 pi cuartos, pero lo puedo variar
entre 0 y 100, aquí tenéis la variación entre 0 y 100, si se entiende de
forma que ahora puedo seleccionar cualquiera de estos parámetros y ver
cómo funcionaría la superposición, en fase, en contrafase y en cualquier
situación anterior. J.R. la pregunta si matemáticas de software libre,
no, el equivalente de matemática en software libre sería máxima, pero
máxima nos lleva a la función Manipulate. Ahora bien, en la información
que os di, el CDF, el fichero CDF que creé con matemática, permite
ejecutar el Manipulate de manera gratuita a través de una aplicación que
es el CD Player de matemática, que si alguien, en este caso yo, o las
demostraciones que tenéis, os bajáis las demostraciones y las podéis
ejecutar. Maple, en Maple que yo conozca, tampoco conozco las últimas
versiones de Maple, pero creo que en Maple la función manipulate no
existe. Por lo menos hasta en Maple 15 creo que es el que yo llegué a
usar. Ahora Maple va por el 17, no sabría decir. Si alguien usa Maple no
lo podría decir. Estoy seguro que no está en máxima y hasta donde yo sé
del tema, el único problema de cálculo simbólico que tiene una función
como la manipulate que convierte objetos simbólicos en objetos dinámicos,
pues de este símbolo te lo convierte en esta interfaz de programación,
mirad que código más sencillito, sería matemática. ¿Vale? Algunos de
estos ejemplos básicamente los podéis construir si tenéis matemática a
partir del código que os di en el ejemplo que podéis leer en el CDF.
¿Seguimos? Bien, pues ahora vamos a hacer superposiciones de vibraciones
paralelas de diferente amplitud e igual W. Aquí tenemos, una amplitud A1
con un desfasaje Φ1, otro movimiento armónico simple A2 con un desfasaje
Φ2 y yo diré que esta suma de dos movimientos armónicos simples
paralelos, veis que son paralelos en el eje de las X, vibran en los dos
sentidos, con la misma frecuencia pero diferente amplitud, será aún más
si soy capaz de construir una amplitud de la suma, como en el caso
anterior, y un desfasaje de la suma. Pues eso, en principio lo puedo hacer
porque la X suma ahora es la raíz cuadrada de esta parte que controla la
amplitud por el coseno de ωt más Φ. Me falta decir quién es Φ. Pues
bien, Φ es la arcotangente, el ángulo Φ es la arcotangente de este
mogollón. ¿De acuerdo? Luego, Vuelves a hacer con lápiz y papel o
vuelves a introducir esto en un programa como Matemática en Maple o
Máxima y ya tienes, o MATLAB, y ya tienes la parte de la superposición
suma cuando la amplitud de cada señal es diferente. Y aquí vuelves a
tener tres situaciones muy importantes. Ahora te contesto ese García. Si
delta está en fase, si delta está en oposición de fase y si delta está
en cuadratura. Cuadratura significa que la diferencia de fase sea pi medios
en fases cero como antes y pi. Pregunta ese García si hay que saberse de
memoria las fórmulas para el examen. Pues yo casi diría que sí. Y de
hecho no solo las fórmulas sino recuerdo que una de las preguntas que tuvo
que ver en el examen del año pasado. De esta parte, los profesores de la
sede central como sabéis es su responsabilidad, era identificar una
superposición a partir de las curvas. Por eso vendría bien a vosotros
hacer estos ejercicios, empezar con estos ejercicios que tengo hechos,
programándolos con alguna herramienta. Lo que sí te garantizo ese García
es que si coges Máxima y te programas estas cosas como te estoy
enseñando, las fórmulas se te quedan. Las fórmulas en física se quedan
en memoria usándolas. Ese García decía, Sara no entiendo qué es. Sara,
ese García. Digo, ese García decía Sara. Bueno, no sé. Ah, correcto,
Sara. Pues mi recomendación es que sí. Pero una forma de que se te queden
en memoria es usándolas, programándolas. Y además pues hasta te
diviertes. ¿Se entiende la situación fase cuadratura y oposición de
fase? Seguimos. Pues hasta ahora bajo estas condiciones la suma de dos más
es otro más. Bien, aquí tenéis el código. Esto lo podrías hacer
transparente. Y si alguno tiene matemática y quiere este código, estos
ficheros os los podría subir. Me mandáis en el foro, el que quiera
practicar. Pero ya os digo que lo único que tenéis que hacer es a partir
de la versión 7 de matemática, el manipuléis solo está a partir de la
7, introducir este código tal cual lo veis aquí. Lo que os genera este
código son estos objetos. Aquí lo que he hecho, se ven pequeñito, ha
sido la superposición con esta amplitud y esta que veis que son
diferentes, con la misma frecuencia de 4 radianes partido segundo pues para
un v1, 0 y para un v2, pues por aquí está, parece que es pi. Este sería
el más superposición y aquí con otros valores diferentes otro más. Si
observa que la suma, la suma de este más la suma de este, perdón lo estoy
diciendo mal, voy a limpiar un segundo, un segundo que limpie la pantalla.
Son dos ejemplos diferentes. Lo que estaba diciendo es que la suma de este
y de este me da esto, dos vibraciones paralelas y en este caso la suma de
este y este con estas frecuencias iguales me da esto. En el ejemplo en el
que estamos de vibraciones paralelas de diferente amplitud e igual
frecuencia. ¿De acuerdo? ¿Se entienden los ejemplos? El paradigma es que
si lo entiendes en física lo sabes programar si la herramienta es
transparente. Pues no tienes que estar ni con el C, ni con el FORTRAN, ni
con el BASIC, ni con nada de todo eso para intentar entender estos
conceptos de modo gráfico. ¿Preguntas? ¿Seguimos? Bien. Para el que no
se lo quiera programar, tenéis una visión programada en Java de lo mismo.
A lo mejor lo conocéis en el muy buen curso del profesor Ángel Franco
García, que se llama Curso de Física con Ordenador, donde aquí tenéis
el URL y aquí tenéis las programaciones con vectores giratorios de la
superposición. Eso está programado en Java del lado del cliente. Se
ejecuta en vuestro ordenador la aplicación. Bien, vamos a hacer el
problema 1.9 de la tutoría, que es, os dice que una vibración que depende
del tiempo, básicamente un campo eléctrico EDT, está formado por la
superposición de tres vibraciones armónicas de la misma frecuencia y
diferente amplitud. El campo total es la suma de esta vibración más esta
vibración. Encontrar una expresión de la señal superpuesta como un más.
Ahora estamos sumando tres vibraciones. ¿Cómo son las vibraciones? Tienen
igual frecuencia, esta y esta la misma amplitud, pero esta tiene una
amplitud diferente. Pues vamos a ver, en principio la suma debe de ser un
más por lo que hemos visto en la teoría, pues vamos a ver cómo obtenemos
ese más. Una forma de hacerlo sería... Aquí cogemos la dependencia en el
plano complejo con la señal, donde cada una de las tres señales tiene
dependencia en el tiempo, y me voy al plano de los fasores, como hacíamos
en el ejemplo de trifásica. Le quitamos la dependencia en el tiempo y sumo
un fasor más otro más otro. Y E123 será la superposición del fasor suma
y la dependencia en el tiempo sé que es IWT. ¿Se entiende lo que estamos
haciendo? Si recordáis el ejemplo de trifásica, pues lo mismo. Una forma
fácil de sumar es quitarnos la dependencia en el tiempo. cuando la
frecuencia es constante, ¿de acuerdo? Pregunta, observación antes de
seguir, pues seguimos. Bien, pues entonces lo que me queda por determinar
es esto, pues será el fasor 1 más el fasor 2 más el fasor 3, el fasor 1
más el fasor 2 más el fasor 3, pues eso será E0 coseno de delta menos
seno de delta más 2E0, E0, el que está en el eje de las X, 1, 0, más E0
coseno de delta, seno de delta. Digamos que este que he puesto aquí es
este, este que he puesto aquí es este, y este que he puesto aquí se ve
que es este. Pues hacemos la suma, y la suma me queda 2 veces E0, 1 más
coseno de delta, vector 1, 0, multiplicado, si ahora quiero en el tiempo,
por la dependencia en la frecuencia, multiplicado. Bien, podríamos hacerlo
también pasando al, bueno, ¿cómo lo hemos hecho? Pues ahora de los
vectores que tenemos en el plano complejo tomamos la parte real,
tomaríamos la parte real de eso, y lo que me queda es la señal ya en la
parte real con la dependencia en el tiempo, que no es la exponencial, sino
que sería la parte real, es el coseno de W por T. ¿Se entiende? En el
siguiente ejercicio lo tenéis hecho en vez de fasores con vectores
complejos, pero el resultado es el mismo, bueno, en esta transparencia no
es la siguiente, aquí he vuelto a usar matemática, ya no es opuesto al
código, sino el resultado para ver cómo sería la solución del más
obtenido dando números. ¿Qué números he dado? He dado la frecuencia pi
cuartos a la amplitud de sub cero que está factor común, en todo 4 y a
delta 30 grados, pues aquí tendríamos el más obtenido. Decía que en la
siguiente transparencia creo que tenéis hecho los mismos cálculos pero
como directamente con complejos sin usar fasores y el resultado es el
mismo. Lo que pasa es que aquí me di cuenta que la expresión se podía
poner un poquito más apañada, uno más coseno de delta por coseno de
omega t se puede poner como coseno cuadrado del ángulo mitad del desfasaje
por coseno de omega t, pero es lo mismo. Esto lo podría haber puesto
también en la transparencia anterior. Pues le echáis un vistazo y os digo
esto no usa fasores sino directamente la representación compleja. ¿Se
entiende? El mismo resultado. ¿De acuerdo? Para ir haciendo mano. Muy
bien, pues seguimos. Pues vamos al caso de superposición de vibraciones
paralelas. Un caso muy interesante que tiene diferente amplitud pero
además diferenciado. Diferente frecuencia. Pues bien, resulta que si yo
tengo dos vibraciones paralelas, movimientos armónicos simples con
frecuencias diferentes, aquí debería haber puesto, hay una rata, debería
haber puesto prima W y W' A1 y A2 pues la suma de vibraciones, de dos
vibraciones más ya no es un más. Y la situación puede ser en cierto
sentido dramática. Veremos que si la frecuencia el cociente de frecuencias
de la vibración, aquí debería haber puesto 2 con 2 aquí un 2 en vez de
prima un 2 y la frecuencia 1 si el cociente de frecuencias de las dos
vibraciones paralelas que se superponen diferentes pertenece a los
racionales por lo menos el movimiento que vamos a obtener no es un más
pero será periódico. Pero en el caso más general que el cociente de
frecuencias no sea un racional, sino que sea un irracional, la suma, esta
suma no es un más y tampoco es un movimiento periódico. En general es un
movimiento no periódico. O sea que sumamos dos movimientos armónicos
simples paralelos con frecuencias diferentes y si el cociente de
frecuencias no es conmensurable, conmensurable significa que su cociente
sea un número racional, el movimiento, la señal obtenida por
superposición, ni tan siquiera es periódica. Bastante importante, ¿de
acuerdo? Vamos a verlo. Pues bien, aquí lo que he hecho ha sido, digamos,
una especie de experimento numérico para darnos cuenta. Defino en
matemática un movimiento armónico simple, que es más o menos así, y
defino una función simbólica para otro movimiento armónico simple. ¿Se
entiende lo que he hecho? Tengo el movimiento x1 y el movimiento x2. Y
defino a lo bruto la suma paralela directa, le llamo así suma de señales
paralelas de forma directa. Porque como la suma de dos más no me da una
fórmula teórica, pues los tengo que sumar punto a punto. Entonces la suma
paralela directa dependerá de la amplitud 1, de la amplitud 2, de la
frecuencia 1 y la frecuencia 2, que las voy a tomar diferentes, del
desfasado, del desfasaje 1, del desfasaje 2 y del tiempo. Y la suma es
directa o a lo bruto. Es el x1 más x2. ¿Se me entiende hasta aquí? Y
ahora uso el manipulate para la función suma directa. ¿Y qué obtengo?
Obtengo dos casos. Cuando el caso w1 partido w2, cuando el cociente de las
dos frecuencias que sumo es irracional, la señal no es un más, observar
que esto no es un movimiento armónico simple, y no es un movimiento
armónico. No es periódica. En cambio, cuando la suma es tal que las
frecuencias son conmensurables, W1 partido de W2 es un racional, esto no es
un más, no es un más, pero es periódico. ¿De acuerdo? Es una vibración
no armónica, pero periódica. ¿Se entiende el resultado? Luego, para la
superposición de vibraciones paralelas de diferentes frecuencias, no hay
una expresión analítica que te dé que la suma de esas vibraciones sea un
movimiento armónico simple. ¿Se entiende? ¿Preguntas? Pues seguimos.
Entonces, es muy importante, diréis, entonces, ¿para qué sirve sumar dos
movimientos armónicos simples con diferentes frecuencias? Pues es
fundamental, por ejemplo, en toda la tecnología, porque sumando dos
vibraciones paralelas de igual amplitud y diferentes frecuencias, pero muy
próximas, W1 y W2, la frecuencia 1 y la frecuencia 2, tienen que ser
diferentes, pero próximas, y las amplitudes iguales, construimos un
elemento fundamental en la teoría de la información, que es una
pulsación, un batido, o un paquete de ondas cuando veáis ondas. La suma
de X1 más X2, cuando las amplitudes son iguales y las frecuencias
diferentes, pero muy próximas, sí que tiene una expresión analítica, y
miradla, es esta. La X de T suma es todo esto que es la amplitud, en
morado, veis que depende, pero es una amplitud, ojo, es una amplitud que
depende del tiempo. Se dice que es una amplitud que modula una señal. Y
aquí, la otra dependencia en el tiempo es el coseno que vibra. Digamos que
la señal que está en verde es la que está aquí vibrando en rojo, ¿la
veis? Y la amplitud más o menos es esta envolvente. La envolvente en azul
con menos, la envolvente con más. Y eso se construye lo que es una
pulsación o batido o bit en inglés. Entonces, se llama periodo de la
amplitud moduladora al periodo de lo que modula, que es la señal, digamos,
en lila. Ese periodo, si os lleváis aquí, ¿cuánto vale? 2 pi partido
omega 1 menos omega 2 partido por 2, que es 4 pi omega 1 menos omega 2. Y
el periodo de la perturbación modulada, que es el de aquí. Que vale 4 pi
por la semisuma. Pero lo que es muy importante es el periodo del bit, en
inglés, o el periodo de la pulsación o batido. Que es el periodo de la
amplitud moduladora, este, dividido por 2. Y os queda 2 pi por omega 1
menos omega 2. Esto es bastante importante, porque la construcción de
pulsaciones o batidos es algo elemental y en la base de muchas aplicaciones
en física. Que tratan con las vibraciones. ¿Se entiende? ¿Preguntas?
Luego, una pulsación o batido es la suma de dos movimientos armónicos
simples de igual amplitud, frecuencia angular diferente, pero muy
próximos. Y dan origen a la construcción de un elemento donde se puede
transmitir la información, que es la pulsación o batido. Y es importante
controlar el periodo de la amplitud moduladora, el periodo de la
perturbación modulada, y el periodo del batido preguntas seguimos bien
pues aquí tenéis lo que sería el periodo del batido que hemos calculado
cuando cogemos señal 1 y señal 2 en este caso daros cuenta que la
pregunta es la suma de los movimientos armónicos simples si ahora es un
movimiento armónico simple la contestación es que no porque esto no es un
movimiento armónico simple es otra cosa que se llama un batido o una
pulsación muy importante pero no es un movimiento armónico simple no
puede ser un movimiento armónico simple porque la amplitud depende del
tiempo mirar cómo depende del tiempo aquí he hecho un ejemplo más
sencillo que la simulación anterior porque he tomado los desfasajes de 1 y
de 2 a 0 por eso no aparecen aquí más información sobre esto y esta
gráfica prácticamente las que veis french página 29 si no os lo gusta
programar con matemática máxima volvéis al curso del profesor ángel
franco y tenéis las aplicaciones programadas en java del lado del cliente
de los batidos preguntas bien pues seguimos french lección 2 problema 3
dos vibraciones sobre la misma recta vienen descritas por las ecuaciones y
su 1 igual a coseno de 10 pt e y sub 2 a 10 a 10 por coseno de 2 pt obtener
el periodo del batido dibujar la perturbación resultante de un periodo de
la pulsación luego que tenemos aquí tenemos dos vibraciones la primera
habitación tiene amplitud a y frecuencia cuánto 10 pi radianes por
segundo desfasaje 0 la segunda pulsación y tiene amplitud a frecuencia 12
pi radianes por segundo las dos vibraciones como son paralelas porque las
dos pues esto es la suma de dos vibraciones paralelas con frecuencias
diferentes Ahora, ¿son las frecuencias próximas? Sí. Esta es 10pi y esta
es 12pi. La diferencia es 2pi. Pues puedo considerar que eso está próximo
dentro de la aproximación en que tuviera sentido dentro del modelo físico
que representara esto. Pues obtener dentro de esta aproximación el periodo
del batido. Pues vamos a trabajar con las fórmulas que hemos visto.
Entonces, esta es mi vibración 1 más mi vibración 2. El batido será
esto. Para este problema, phi1 y phi2 es 0. Luego, ¿qué me queda?
Frecuencia 1 he renunciado. Lo que he dicho antes, 10pi. Frecuencia 2,
12pi. La frecuencia 1 tiene que ser una frecuencia menos un incremento. Una
frecuencia central. Más un incremento. Pues aquí tiene sentido que la
frecuencia central sea 11pi. ¿Cuánto vale el incremento de la frecuencia?
Valdrá pi para este problema. ¿Cuánto valen los desfasajes iniciales? 0.
De forma que la suma te da esta expresión. ¿Es esto un más? No. Esto es
un batido. ¿Cuánto vale el periodo de la amplitud moduladora? 4pi por la
diferencia de frecuencias. ¿Cuánto vale el periodo de la perturbación
modulada? 4pi por la suma de frecuencias. Pues esto te queda 4pi partido la
diferencia de frecuencias. Esto nos va a quedar 2pi partido por pi, que es
2 segundos. El periodo de la moduladora me va a quedar 4pi partido la
semisuma. Sacas un dos factor común, te queda 2pi partido 11pi, 2 onceavos
segundos. Y el periodo del batido te queda el periodo de la amplitud
moduladora, que es 2pi partido... ...por 2. 2 partido por 2, 1 segundo.
¿Preguntas? El detallito este de poner la frecuencia 2... La más grande
de la suma, la frecuencia 1, la frecuencia 2 y el intervalo. Hay que
centrar la frecuencia e intervalo para sacar la diferencia. ¿Se entiende?
¿Seguimos? Muy bien. Pues si ahora usamos matemática para hacer nuestra
representación, ¿cómo haríais esto con un programa? Pensad por ejemplo
en máxima, sin la función manipulate. Esta es la función batido que
hemos obtenido con lápiz y papel. Pues programamos y le llamamos xbit, yo
le he llamado xbit. Bet, mejor. Variable amplitud, w1, w2, tiempo, c1 y c2.
Pues lo escribiría así en lenguaje matemática e intentar hacerlo en
máxima. Los de física computación al 1. Y ahora la amplitud aquí tiene,
pensar que es la envolvente, que es esto con signo más y esto con signo
menos. Pues defino la envolvente 1, que es la amplitud con signo positivo y
la envolvente 2, que es la amplitud con signo positivo. Y la envolvente 2,
que es la amplitud con signo negativo. ¿Y qué tengo que ser capaz de
programar en un mismo gráfico? Esta función, el plot, este plot y este
plot. La idea usando por ejemplo máxima o matemática sería hacer un plot
de las tres funciones, ¿me entendéis? Con lo cual aparecería el más 2 y
el menos 2 y os aparece la envolvente. Pues haciendo eso obtenéis, este es
el plot de obtener las tres. Tenéis que hacer con una herramienta que os
permita representar cualquiera de estas que hemos hablado, máxima,
matemática, MATLAB, MAPLE. Derive os permitirá hacer el gráfico de estas
tres funciones. La función IDT que hemos programado y los dos, uno y el
otro en violeta, las envolventes. ¿Preguntas? Y aquí es interesante que
os hagáis este ejercicio en casa y veáis que este resultado analítico
¿Veis el resultado analítico que estoy subrayando? Comprobarlo
midiéndolo en la escala, pues que la amplitud moduladora de verdad es 2
segundos mirando aquí. Que la aperturación modulada es 2.11 partido de
segundo mirando aquí. Habría que hacer la escala más grande, lo podéis
hacer en casa. Y que el periodo del bit es 1 segundo. ¿Se entiende?
¿Preguntas? Ejercicio importante, ¿eh? Mirad que este tipo de ejercicios
tienen dos visiones. Primero, la parte analítica a partir del enunciado o
la parte gráfica. Yo te podría dar o podría inventarme una cuestión, un
problema donde te doy la parte gráfica en vez de darte datos numéricos y
te pido que obtengas esto. ¿Se entiende? Las señales de las que te estoy
dando la suma de batido, pues que me dé su composición. ¿Alguna
observación? ¿Seguimos? Muy bien. Pues lo siguiente en el programa es la
superposición de n vibraciones de igual frecuencia. Pues siguiendo a
Alfred nos he hecho la demostración. Pero ponemos un origen de desfasajes.
Aquí tenéis el origen de desfasajes en la representación de Fresnel. La
primera señal es x1 en el eje de las x. La segunda es x2 que tiene la
misma amplitud, la misma frecuencia pero está desfasado delta. La
siguiente señal x3, la misma amplitud, la misma frecuencia, 2 delta. Cada
vez que añado una señal a la suma le añado un delta de desfasaje. En
general la xn que sumo tendrá n-1 delta. n es el número de señales que
sumo. ¿Se entiende esto? Bien, pues usando la representación de Fresnel,
que es usar la regla del paralelogramo 2 a 2, se demuestra que la x total
es esta amplitud. por este coseno, luego esto sí que va a ser un
movimiento armónico simple, de alguna manera el x de t es una amplitud que
no depende del tiempo, depende del número de señales que sumas y del
desfasaje relativo constante entre ellas, y en el ángulo del tiempo la
frecuencia y el desfasaje inicial. Bien, esta fórmula es muy importante,
por ejemplo cuando llegues a la parte de ondas de difracción, tanto en
óptica ondulatoria como por ejemplo en difracción, en mecánica
cuántica, en difracción de partículas, esta fórmula es la fórmula
básica que controla la superposición en el fenómeno ondulatorio de la
difracción, y en la correspondiente parte de las tutorías y del libro os
tendréis que enfrentar con ese fenómeno cuya base es esta ecuación.
Bien, pues aquí tenéis como programaría con matemática y luego usaría
la función manipulate para calcular la suma de esas n vibraciones. Todas
ellas con la misma amplitud y frecuencia paralelas pero dexadas en un
término delta aditivo. Aquí tenéis una representación para unos valores
y aquí tenéis otra representación para otros valores. Veis que este es
un patrón asociado típicamente al fenómeno de la difracción que os
comentaba. ¿Preguntas? Pues seguimos. Bien, el problema 11, que no está
en el French, es considerar la superposición den osciladores armónicos de
la misma frecuencia paralelos, cuya diferencia de fase entre cada dos
difieren una cantidad constante delta. Determinar la amplitud de la
superposición cuando el desfasaje es cero o muy pequeño. ¿Y cuál es el
valor más pequeño del desfasaje que hace que la amplitud de
superposición sea nula? Bien, pues en este ejercicio partimos del
resultado teórico en el apartado A. El resultado teórico es que esa
superposición de n vibraciones paralelas desfasadas en delta cada una de
ellas, de las n, sigue esa expresión. Pues lo que voy a hacer es tomar el
límite cuando delta tiende a 0 de esa expresión, que es esta. Pues eso
será A por el límite cuando delta tiende a 0. Pero básicamente lo que
interviene aquí es la amplitud, el seno de n medios por delta por el seno
de delta partido por 2 cuando delta tiende a 0. Eso os va a dar una
indeterminación. ¿Cómo resolvemos la indeterminación? Con la regla del
orbital ese límite será la derivada del primero respecto delta dividido
por la derivada del denominador respecto delta y luego toma el límite.
Así resuelvo la indeterminación. Y me queda A por el límite cuando delta
tiende a 0. Al resolver este numerador y este denominador me da esto.
Calculo ese límite y me da n por A. Luego el límite que ando buscando, la
amplitud de la superposición para delta muy pequeño, delta tendiendo a 0
es n, el número de osciladores que están sumándose por la amplitud de
cada uno de ellos que es constante. Como podríamos haber supuesto a
priori. La segunda es la amplitud de los osciladores. La segunda pregunta
es si esta cantidad, si la amplitud de la superposición que vale eso es 0,
¿cuánto vale delta? Pues esto es bien fácil. Esa igualdad de 0 implica
que el numerador sea 0 y el denominador no sea 0. Eso implica que delta es
2pi partido por n. Luego delta es m, un entero, por 2pi partido n
mayúscula donde n mayúscula es el número de osciladores que sumo. Aquí
debería haber puesto punto y coma. Y m es un natural que va de 1 hasta
n-1. ¿Preguntas? ¿Seguimos? Muy bien. Pues ahora pasamos a la suma de
vibraciones perpendiculares. Si tengo una oscilación en el eje de las x y
una oscilación en el eje de las y, en principio en el eje de las x con
amplitud a1, frecuencia w, y para que sea más fácil voy a tomar que el
desfasaje en 1 es 0, y en el eje de las x tengo vibrando una señal
armónica de amplitud 2, frecuencia w, la misma, pero desfasaje delta, ¿la
suma de esas dos vibraciones perpendiculares va a ser un más? Pues vamos a
ver que la contestación a esta pregunta tiene dos posibilidades. La
primera, la superposición de vibraciones perpendiculares de igual
frecuencia y diferente amplitud es una vibración elíptica. Y la
superposición de vibraciones perpendiculares de diferente frecuencia y
diferente amplitud, diferente frecuencia quiere igual, son las figuras del
isallauzo. Y en general ninguna de las dos será un más. La contestación
aquí es que en general, solo en casos particulares, en general esto no
será un más. Solo será el más. En los casos particulares que vamos a
ver. ¿Preguntas? Pues seguimos. Representaremos la x por este más, la y
por este más, y ya digo para que el tratamiento matemático sin pérdida
de generalidad se puede tomar un origen de fases donde esto sea 0. Y
entonces a phi2 le llamo delta. Delta es el desfasaje relativo entre la
señal en el eje de las X y la señal en el eje de las Y. Pues ahora el
problema es bastante fácil. Si la frecuencia es la misma, voy a visualizar
que X e Y, pues como si fueran las ecuaciones de la parábola, son las
ecuaciones paramétricas o ecuaciones horarias de una curva en el plano.
¿Qué tengo que hacer para encontrar la ecuación de la curva? Despejar T
en la primera ecuación y sustituirla en la segunda. ¿Se entiende? Pues
haciendo eso, sustituimos en la segunda y lo que obtenemos son Y1, es una
ecuación de segundo grado, y Y2. Las ecuaciones de Y en función de X,
esto sería, o Y2 en función de X, las dos soluciones. Esto sería la
representación de estas curvas, serían las ecuaciones continuas de la
curva en el plano. Eso es la vibración elíptica. Entonces, si cogemos y
representamos, esto está hecho con matemática, todas las situaciones
posibles de la curva Y1, con los dos signos voy a tomar la positiva, pues
si observamos esta curva, esta es una función de X que depende
extraordinariamente del desfasaje de delta. Pues al hacer eso, lo que
podemos obtener oscilando son, por ejemplo, una recta, este en este caso
sí que sería un más, en todos los demás no. Cuando delta, el desfasaje,
es cero, la superposición sería un más. En este caso son, o
circunferencias, o en el caso más general, elipses. A esto se le llama,
sólo tenemos el más, en el caso que el desfasaje sea más menos pi o
cero, entre cero y dos pi. En los demás casos, o son circunferencias o son
elipses, Y a eso se le llama vibración elíptica. Resultado de sumar dos
vibraciones perpendiculares de igual frecuencia y diferente fase.
¿Preguntas? ¿Se entiende? Pues ahora el último caso es cuando tenemos la
superposición de vibraciones perpendiculares pero frecuencia diferente. W1
y A1, W2 y A2, el desfasaje entre ellos delta. Bien, en este caso la
superposición de dos vibraciones nunca es un más. Y distinguimos dos
casos bien interesantes. Ya sabemos que la suma no es un más, pero cuando
W1 y W2 son conmensurables, cuando su cociente es un racional, la ecuación
continua de la curva que sostiene en el plano SXI es una curva cerrada.
Pero si W1 y W2 son... Irracionales, la curva ni tan siquiera es cerrada,
es abierta. Esas curvas que te dan esta suma, que a veces pueden ser curvas
abiertas o curvas cerradas en el plano, son las figuras del Isayau. Pues
siguiendo al Tipler, aquí tenéis una especie de captura del Tipler donde
tenemos el cociente de frecuencias W2 partido W1, desfasaje 0, pi cuartos,
pi medios, 3 pi cuartos, pi, en el plano XI. Y cuando la relación de
frecuencias es 1,1, pues tendríamos una recta, una elipse, esta sería de
estrógira, una circunferencia, una elipse de levógira, esto giraría en
este sentido, esto giraría en este sentido... ... Si esto gira así, ya no
me acuerdo bien, pues esto gira hacia acá. Pero daros cuenta que cuando
las frecuencias van siendo diferentes, vamos obteniendo diferentes curvas.
Cuando ese cociente de frecuencia sea un irracional, las curvas ni tan
siquiera están cerradas. Y en la siguiente transparencia os presento unas
simulaciones hechas por mí con matemática. Bueno, aquí tenéis las
simulaciones del profesor Franco, si no queréis hacer las vuestras para
estudiar esto. Y aquí tendríais el programado en matemática Lisa Yaus,
depende de ASU1, A2, V1, V2, Delta, aquí tenéis el código. Como estamos
sacando la ecuación continua, habría que usar en matemática y su
equivalente que existe en máxima, el paramétric plot, que te permite el
eje de las X y de las Y. Bueno, pues el resultado, si hicieras un plot con
matemática, obtendrías esto, y si usas el paramétric plot, directamente
el código que os doy os da esto. Donde puedes variar a 1, a 2, omega 1,
omega 2, y te van apareciendo distintas curvas. Y puedes ver el caso cuando
unas te aparecen abiertas y otras te parecen cerradas. Ejemplo problema.
Problema 2-5 del French, que sería el problema 1-12 de la tutoría. Dos
vibraciones perpendiculares vienen descritas por las ecuaciones sobre la
misma recta. X de T, 10 coseno de 5 pi T, y una perpendicular, 10 por
coseno de pi T más pi tercios. Construir la figura de Lisa Yaus del
movimiento combinado. El movimiento subconsciente. Combinado es sumar X
más Y. ¿Qué estamos sumando? Amplitudes iguales. La frecuencia del
primero, 5 pi radianes partido segundo. La frecuencia del segundo, 10 pi
radianes partido segundo. Y de pasaje pi tercios. Luego esto no es una
vibración, digamos, de polarización, sino es una figura de Lisa Yaus el
resultado. Por eso te dice calcular la figura de Lisa Yaus y representarla.
Pues vamos a ver, sería para la x de t, la frecuencia 5pi radianes por
segundo, para la señal en el eje de las is, frecuencia 10pi radianes por
segundo, el cociente de frecuencias es 2, que es un racional, por lo tanto
la curva será cerrada, y el de fasajes pi tercios. Pues bien, o buscáis
estos datos en la página del FREC donde tenéis dibujadas las curvas de
Lisa y Aus, o usáis vuestro programa donde os habéis programado el
código, y el resultado que me sale a mí es esta figura de Lisa y Aus, que
es cerrada de acuerdo con que el cociente de frecuencias es un racional.
¿Se entiende? ¿Preguntas? La idea de la figura de Lisa y Aus es que
tenéis una curva en el plano que se obtiene conociendo las ecuaciones
paramétricas x de t y de t. Al combinarlas como suma de movimiento
armónico simple, la vibración resultante no es un más, y puede ser una
curva que ni tan siquiera suponga, es cerrada, cuando el cociente de
frecuencias es un racional. ¿Preguntas? ¿Seguimos? Estamos ya casi
acabando. Bien, creo que este es el último problema de la tutoría.
Problema 13 de la tutoría, problema 2.4 del FENCH. Obtener la frecuencia
del movimiento combinado en cada uno de los siguientes casos. El primer
caso quiere que sumemos esto, el siguiente caso B que sumemos eso, y el
siguiente caso que sumemos es el C. ¿Qué tendremos que hacer? Ir mirando
la patita de lo que queremos sumar y ponerlo como vibración es más. Para
nosotros la vibración es más, la plantilla siempre es A coseno de
frecuencia por tiempo más de pasaje. Podemos aplicar esa forma de pensar.
Entonces, a mí me daban coseno de 2pi t más seno de 2pi t menos raíz de
2pi. ¿Qué tengo que hacer aquí? Poner en vez de seno, coseno. Pues ya
sé que paso de seno a coseno con pi medios. Yo identifico, tengo la suma
de dos vibraciones, las dos tienen amplitud igual. ¿La amplitud cuánto
vale? Uno. Las dos tienen la misma frecuencia, 2pi radianes por segundo.
¿En qué se diferencian? En el desfasaje, luego el resultado será un
más, aquí lo tenéis programado. Este es el más suma. Pues cojo la
fórmula de sumar dos vibraciones paralelas de igual amplitud e igual
frecuencia. Frecuencia, la suma valía eso, para este problema sustituyo
las ecuaciones y me da eso. La frecuencia resultante es un hercio.
¿Preguntas? En el caso B haremos lo mismo, la idea es siempre poner la
suma como dos cosenos y ver en cada uno de los casos ABC del problema
propuesto en el French a qué tipo de superposición se refiere. ¿Este
caso está claro? ¿Sí o no? ¿Seguimos? Vale. El caso B. Pues me dan un
seno y un coseno. Pues ahora cojo el primer seno y lo convierto en un
coseno. Y ya sigo teniendo un coseno. La amplitud vale uno. Misma amplitud.
Frecuencia, 12pi. Radiones por segundo es frecuencia, 13pi. ¿Es la
frecuencia la misma? No. ¿Pero qué observo? Que la primera frecuencia es
12pi y la segunda frecuencia es 13pi. Pues esto, su suma, ¿qué va a ser?
¿Va a ser un movimiento armónico simple? No. Va a ser un batido. El
resultado tiene solución analítica pero no es un más. Es una pulsación
o batido. La expresión de la pulsación o batido teórica con la que hemos
trabajado es esta. Pues ahora identifico mi caso particular con el caso
general. Esa identificación es que la amplitud vale uno, la frecuencia
uno, 13pi, la frecuencia dos, 12pi. El desfasaje uno menos pi cuartos, el
desfasaje dos menos pi medios sustituimos en la expresión general. y
obtenemos que este es mi batido, aquí tenéis la representación con el
mismo código que trabajé antes que os enseñé Manipulate variando los
parámetros, poniendo aquí los parámetros que te permiten manipular los
valores, esa es mi X de T, aquí la tenéis en rojo, con la envolvente en
violeta, la envolvente en violeta y la frecuencia en hercios obtenida para
la pulsación a batido es 6,25 hercios. ¿Alguna pregunta? Frecuencia del
batido, porque es lo que te pedía el Frenz, te pide la frecuencia en
hercios, no el angular. ¿Preguntas? ¿Veis que la idea es cada caso que te
den sumándolo, intentar ponerlo como un más y ver la suma lo que te da?
Pues el último caso, que es seno de 3pi menos coseno de pi T, el primer
seno lo pongo como un coseno y ¿qué me queda? Amplitud 1, amplitud 1.
Frecuencia W1, pi. Frecuencia W2, 3. Bueno, pues como mucho, lo que podría
hacer aquí sería 3, he puesto pi, coseno, a ver un momento, seno de 3T,
esto es coseno de pi T más, sí, más coseno de 3T menos pi medio,
correcto. Luego tendría W1, pi y W2, 3. Serían frecuencias diferentes.
Ahora, pi es 3,1416 y la segunda frecuencia que sumo es 3. Luego, ¿son dos
frecuencias próximas? Sí. Pues eso volvería a ser otra pulsación,
¿estáis de acuerdo? ¿Veis todos que el resultado es una pulsación?
Porque pi y 3 son próximos en radianes partido por segundo. Un ejercicio
entonces como el caso anterior, donde esta sería la pulsación suma y la
frecuencia del bit sería del batido 0,49 Hz. ¿Pregunta o observación?
Muy bien, pues yo creo que casi estamos al final. Vale, lo mismo que os
dije en el correo que os mandé, en esta dirección, y dentro de las
próximas horas os subiré un formato PDF de la primera tutoría, con la
teoría de los problemas resueltos, los ficheros que os di para trabajar y
los que hace la comunidad de personas que usan matemática para hacer
ficheros CDF, en la dirección que os di, pues podéis visualizar los
ficheros CDF con el programa CDF Player, que es gratuito, aunque no te
permite ejecutar, sino ejecutar lo que otros han programado. ¿Alguna
pregunta? ¿Alguna observación? Bueno, dentro, os quería comentar que
ahora cuando acabe la tutoría, seguirá el aula abierta una media hora. Si
pincháis donde pone la maleta, veis todo el icono de maleta, ahí tenéis
un fichero en Word, para el que le guste la canción que va a ser sintonía
del curso, que es una música y una canción compuesta en 2010, la que
cantaba el coro del CER, pues la letra y la música, la música de la
partitura de la canción del físico de partículas, pincháis en el
fichero de Word y os lo lleváis. Y subiré al foro de la tutoría 1 un PDF
con la teoría de los problemas resueltos que hemos visto hoy. Al mismo
tiempo, espero que las dos grabaciones estén, si no se me ha machacado la
primera, que tengo ahora graves dudas, pues os las subiré en los enlaces.
a el foro de la tutoría pues muchas gracias muchas gracias por vuestra
atención y si tenéis alguna pregunta me lo decís con esto acaba la
tutoría alguna pregunta en el chat la próxima tutoría volverá a ser os
lo confirmaré el lunes que viene dios mediante de acuerdo a la misma hora
las cuatro y media pues buenas tardes y muchas gracias por vuestra
atención ¡Gracias!