Esta grabación corresponde a la resolución del ejercicio 1 del capítulo
2, titulado Espacios con producto interno, de la materia Introducción a
los espacios de Hilbert, del tercer curso de la titulación del grado de
Matemáticas. Más concretamente, este ejercicio lo podemos encontrar en la
página 45 del libro de texto. Bien, el enunciado del problema es,
demuestre que en un espacio para Hilbertiano H se tiene que X es ortogonal
a Y, si y solo si la norma de X menos alfa por Y es igual a la norma de X
más alfa por Y, para todo alfa perteneciente a K, donde K puede notar el
conjunto de los números reales o el conjunto de los números complejos.
Pues bien, para resolver este problema vamos a tener en cuenta las
siguientes observaciones. La observación 1. Dado que H es un espacio para
Hilbertiano, el producto interno induce una norma definida mediante que la
norma de X es igual a raíz cuadrada del producto interno de X por X, con
la propiedad de que la norma siempre es mayor o igual que cero. La
siguiente observación, denotada por observación 2, nos dice que si X e Y
son ortogonales, si y solo si su producto interno es igual a cero. Y es
así. Y entonces, para todo alfa perteneciente a K, tenemos que el conjunto
de alfa por el producto interno de X por Y siempre es igual al producto
interno de X por alfa por Y, que es igual a cero y que además alfa, el
producto interno de alfa por Y por X es igual al alfa por el producto
interno de Y por X. Y la observación 3, que se deduce, o que se obtiene
teniendo en cuenta la observación 1 y las propiedades del producto
interno, que nos dice que... Que la norma de X más alfa por Y al cuadrado
no es más que esta expresión y que la norma al cuadrado de X menos alfa
por Y no es más que esta otra expresión. Pues bien, teniendo en cuenta
estas tres observaciones, desarrollamos la solución de este problema
como... X es ortogonal a Y si y solo si se obtiene por la observación 2
esta igualdad. Y, a partir de ella, simplemente... Pasando al segundo
miembro de la igualdad un término de cada sumando, se obtiene esta
expresión de aquí. Y a partir de ella, simplemente sumando y restando los
términos de la norma de X al cuadrado más la norma de alfa por Y al
cuadrado, se obtiene esta expresión. Que, teniendo en cuenta la
observación 3, deducimos que la norma al cuadrado de X más alfa por Y es
igual a la norma al cuadrado de X menos alfa por Y. Donde, de esta última
igualdad, se deduce que la norma de X más alfa por Y es igual a la norma
de X menos alfa por Y, teniendo en cuenta la observación 1.