Bien, pues empezamos ya, entonces. Seguimos con Cinemática del Punto.
Estamos dando una serie de conceptos que me parece que no vienen
suficientemente claros o profundizados, no profundiza demasiado la
bibliografía básica recomendada de la asignatura. Entonces, pues estamos
haciendo, pues así, dando algunos conceptos que a mí me parecen
interesantes. Seguramente ya habéis visto el módulo grabado de
Cinemática, el que llamábamos C.1-A, que aconsejábamos en la anterior
tutoría, y también casi con seguridad ya habéis estudiado, mirado por lo
menos el tema 1 correspondiente a Cinemática del Punto y de los sistemas.
Por tanto, me parece interesante dedicarme un poco de tiempo, a los
métodos de resolución de problemas relacionados con este tema, y a ello,
precisamente, vamos a dedicar la tutoría de hoy. Es algo que, bueno, pues
propongáis otra cosa, los que estáis asistiendo directo a la tutoría,
que ya he preguntado antes y me he dicho. Bien, entonces empezamos con lo
que traía yo preparado. Vamos a hablar de método de resolución de
problemas en el plano, trabajando, en coordenadas polares, perdón, en
coordenadas cartesianas. Por lo tanto, repito, son métodos, los que vamos
a ver hoy, para resolver problemas de móviles puntuales, en el plano, es
decir, en dos dimensiones. Si bien haremos una llamada al final de la
exposición, tal como aparece ahí en la transparencia, para relacionar
todo lo dicho en el plano con los movimientos de la partícula en el
espacio, es decir, en tres dimensiones. Bien, en el módulo grabado que os
aconsejaba que miráis en la tutoría anterior, que es el C1a, hablábamos
de que podíamos resolver los problemas de cinemática del punto basados en
dos casos. Podíamos englobar todos los problemas en dos casos. En el
primero, nos daban las ecuaciones horarias o los datos geométricos
necesarios para determinarla y nos piden calcularlas. Calcular velocidad,
aceleración, etcétera, etcétera. Este era el caso primero, que ya se ha
visto en el módulo C1a. Y luego había otro caso segundo, que ya era un
poquito más complejo, que era este que veis ahí en la transparencia, que
también figura en el módulo grabado C1a recomendado. De haberlo visto ya.
Bien. ¿Qué era? Era el caso en que nos piden las ecuaciones horarias del
movimiento, de la trayectoria concretamente, no solamente las horarias,
sino también la cartesiana, también la ley de horaria, etcétera, y que
nos dan ciertas condiciones que han de cumplir. La velocidad, la
aceleración, la tangencia, la aceleración normal, la curvatura,
etcétera. Que decíamos que era típico de los movimientos planos de dos
dimensiones. Y poníamos un método en esta transparencia. Se ve, está
grabado, repito, en el módulo C1a y dábamos una serie de problemas para
completar estas ideas teóricas. Bueno, este es el método general. Lo que
pasa es que habitualmente los alumnos de este centro social, al menos,
tienen dificultades en resolver este método, los problemas que se pueden
englobar en este segundo caso. Y esta dificultad... Se centra, más que
nada, en la falta de experiencia del alumno en trabajar con conceptos
elementales de cálculo infinitesimal. Por ejemplo, son las derivadas, las
diferenciales, las integrales, las ecuaciones diferenciales, etcétera.
Conceptos estos que vamos a necesitar para resolver este tipo de problemas,
lógicamente. Que, dicho sea de paso, son bastante comunes en los exámenes
y en las pruebas de evaluación de listado. Aquí hay pruebas de
auto-evaluación. Y, además, son básicos para trabajar el resto de temas
de la asignatura. Es muy difícil diseñar un método general de
resolución de este tipo de problemas. Pues, permiten una gran variedad de
combinaciones de datos. Algunas de estas combinaciones las veremos un
poquito más adelante. Sin embargo, presentaremos aquellas combinaciones
más importantes, combinaciones de datos... más importantes, dejando para
el alumno el desarrollo de los restantes casos, las restantes combinaciones
que deberá poder realizar sin esfuerzo alguno una vez comprendidas y
trabajadas las que vamos a ver hoy. Comenzaremos exponiendo las variables
que usaremos para resolver los problemas propuestos. Que serán algo así,
por hacer un símil, los ladrillos con los que construiremos el edificio
final, que al final, este edificio no será otro que la resolución del
problema dado con los resultados que nos piden, evidentemente. Las
variables aparecen en esta transparencia que veis aquí. Serán R, que es
el vector de posición del móvil, ahí la figura de la derecha. Podemos
ver la gráfica esta, podemos ver los dos ejes de referencia, X, Y, ejes
cartesianos en el plano, podéis ver la trayectoria, que es una línea
pintada en azul grueso, cuya representación algebraica vendrá a una de
veces como igual a f , generalmente esta es la más común. Bien, entonces
habrá un móvil que en un momento determinado, partiendo del punto A0, con
las coordenadas X0 y 0, pues en un momento determinado, estará en el punto
A de coordenadas X, siguiendo la trayectoria, la línea trayectoria que es
la marcada en azul. Bien, entonces R, el vector de posición del móvil, es
un vector que tiene como origen el origen de coordenadas O, que se ha
pintado aquí en negro, y como extremo, el punto A en el que se encuentra
el móvil en un instante determinado. Este vector, como llamamos, R es el
vector de posición del móvil, y puede ser y será una de las variables
del problema. Otras variables del problema serán las coordenadas X, Y y Z
del punto A en el que se encuentre el móvil en cada momento. Si estamos
hablando de plano, solamente habrá las coordenadas X e Y, evidentemente.
Si estamos hablando de espacios, si esa trayectoria fuera una curva en el
espacio, estaríamos hablando de tres coordenadas, X, Y y Z. Otra variable
que también puede aparecer y que aparecerá con suma frecuencia,
obviamente, es el tiempo T. El tiempo, por ejemplo, que tarda el móvil en
ir desde el punto inicial a su cero hasta el punto A, el punto determinado.
Otra variable será el espacio S. Hemos representado como S, que es el
espacio recorrido por el móvil al ir desde el punto de inicio a su cero,
ahí parcado en la rama de la derecha, hasta el punto A, que se encuentra
en un momento determinado. Es decir, será el espacio recorrido sobre la
trayectoria, o el arco recorrido sobre la trayectoria por el móvil, S.
Otra variable será el ángulo phi, que es el ángulo que forma la línea
tangente a la trayectoria en el punto A, que es esta línea que está
dibujada ahí de color negro y a trazos, que acabo de subrayar en amarillo.
Línea tangente a la trayectoria en el punto A. Bueno, pues phi es el
ángulo que forma esa línea con el eje de los X. Lo veis ahí representado
como phi. La tangente de ese ángulo phi será la pendiente de la recta
tangente que acabo de marcar en amarillo. Coincide, por lo tanto, con el
valor de... Perdón, la tangente de ese ángulo phi es la pendiente de la
recta tangente a la trayectoria en el punto A, y coincide, la tangente de
phi, con la derivada de la ordenada Y con respecto a las cisa X. Es decir
que, derivada de Y respecto de X en el punto A es igual a la tangente de la
recta tangente de X. del ángulo fi, este que acabamos y lo vamos a usar,
ya veréis con gran frecuencia otra variable será v, la velocidad vector
velocidad de dirección coincidente con la de la línea tangente que hemos
visto anteriormente es decir que, ahí lo hemos representado en la curva
con un vector rojo partiendo del punto A y le hemos llamado v, veis que ese
vector tiene la misma dirección que la recta tangente en el punto A que
hemos definido anteriormente por lo tanto, el ángulo que forma la
velocidad con el eje de las x será asimismo fi el mismo que formaba la
recta tangente en A con el eje de las x las componentes de esta velocidad
vx y vi serán las proyecciones de v sobre los ejes o x y o y
respectivamente, también están ahí dibujadas no se han dibujado los
vectores pero si se ha dibujado la componente x su x que será igual a la
derivada de x con respecto a t y la componente y es la proyección de v
sobre el eje y que es esta vertical que es igual a la derivada de y
respecto a t otra variable va a ser la aceleración que la vamos a llamar
gamma y también está ahí pintada en verde esta vez en la figura de la
derecha gamma entonces es el vector aceleración que en general no tiene la
misma dirección que la tangente en A es decir, no tiene la misma
dirección que la velocidad en general puede tenerla en algunos problemas
concretos pero en general no tendrá la misma dirección el vector gamma o
aceleración el vector velocidad muy bien y por lo tanto también puede
descomponerse igual que la velocidad esta vez de dos formas diferentes
primero según la dirección de la tangente y de la normal a la trayectoria
en el punto A que es esa descomposición que vemos en la figura el vector
gamma lo descomponemos en la dirección de la tangente número A gamma sub
t que es esa este vector si tiene la misma dirección que la velocidad y en
otro vector perpendicular al anterior es gamma sub n que va en la misma
dirección de la normal al punto A recordar que la recta normal del punto A
a una curva que es la trayectoria en este caso será aquella recta que sea
perpendicular a la tangente en el punto A a la trayectoria bueno pues gamma
vector gamma vector aceleración se puede descomponer en una aceleración
tangencial gamma t y una aceleración normal que son las que acabamos de
decir pero también se puede descomponer en las direcciones según el eje o
x y según el eje o y igual que hemos habíamos hecho antes con el vector
velocidad y entonces nos dará no está dibujado ahí en la figura pero
sería proyectar el vector gamma sobre el eje o x y eso nos daría gamma su
x y proyectar gamma el vector gamma sobre el eje y y eso nos daría la
componente vertical o la componente en la dirección del eje o y de la
aceleración son dos formas diferentes de descomponer el vector
aceleración y vamos a usar las dos y finalmente otra variable que vamos a
usar mucho será el radio de curvatura de la trayectoria en el punto a de
la misma lo veis dibujado ahí también el radio de curvatura como ya
sabéis es el radio del círculo de un círculo que hacen haciendo centro
en c y teniendo radio de c a ese círculo la curvatura de ese círculo
coincida con la curvatura de la trayectoria precisamente el radio de
curvatura de la trayectoria es un radio que tiene dirección normal a la
trayectoria en el punto a que estemos considerando y cuya longitud es
precisamente el radio del círculo esto está muy bien explicado en un
módulo con más detenimiento y con más profundidad en un módulo grabado
por mí que es de geometría diferencial si no me equivoco a lo cual
podéis recurrir si tenéis problemas en ver estos conceptos radio de
curvatura curvatura etc que vamos a utilizar mucho en este tipo bien
entonces ya una vez que tenemos los ladrillos para construir el edificio
vamos al siguiente paso relación entre variables eh buscaremos relaciones
entre las variables que acabamos de ver en la transparencia anterior y que
usaremos para la resolución de los diferentes problemas es decir antes las
variables las llamábamos ladrillos ahora estas relaciones que vamos a ver
en esta transparencia son algo así como los prefabricados es decir trozos
de pared que en lugar de colocar ladrillo a ladrillo para hacer el edificio
vamos a colocar estos prefabricados que hemos fabricado antes en el taller
con los ladrillos trozos de pared que vamos a colocar ahora en el edificio
para hacer el edificio de una forma más rápida vale pues esos
prefabricados van a ser estas relaciones entre variables que vamos a ver
ahora eh derivada de y respecto de t está mal puesta ahí perdón hay un
error de la línea y del ángulo FI esto ya lo hemos visto antes la
pendiente de la recta tangente en el punto a la trayectoria esa recta que
antes hemos visto color negro trazos pintada tiene forma un ángulo de ese
ángulo, la tangente de fi, era igual a la derivada de i respecto de x. Por
lo tanto eso está mal, ya hay un error. Bueno, pues vamos a usar este
prefabricado, digamos, de alguna forma, muy frecuentemente, como decíamos
antes. Otra cosa que vamos a usar mucho es el coseno del ángulo, ese fi.
El coseno de un ángulo ya sabemos que es igual a 1 partido por raíz
cuadrada de 1 más tangente al cuadrado del ángulo. Pero como la tangente
es igual a la derivada de i respecto de x, pues podemos sustituirlo. En vez
de poner tangente, ponemos derivada de i respecto de x, que la vamos a
llamar siempre i prima. Cuando tenga una prima en una letra, quiere decir
derivada respecto de la fisa. Bien, entonces el coseno de fi es igual a 1
partido por raíz cuadrada de 1 más i prima al cuadrado. Por la misma
razón, el seno de fi, que será igual a la tangente por el coseno. Se da
igual a i prima partido por raíz cuadrada de 1 más i prima al cuadrado.
Otro prefabricado más que vamos a utilizar. Siguiente. El vector de
posición, el radiovector de posición r, que ya lo hemos visto antes, que
indica en cada momento en donde se encuentra el móvil, pues también tiene
sus componentes horizontal y vertical. La componente de r horizontal es la
r sub x, que podemos decir representada. La componente vertical será r sub
i, proyección de r sobre el eje y. Por lo tanto, r sub x será igual a r
por coseno de fi, que coincide justamente con la abscisa del punto A, x. Lo
mismo r sub i será igual a r por seno de fi, que es el triángulo,
perdón, otro error hay aquí. No es fi, sino que es zita. El ángulo zita
es el ángulo recto. ¿Qué forma? El vector de posición r con el eje x,
que no coincide con el ángulo fi, que es el que forma la tangente en A a
la trayectoria con el eje x. Son diferentes. Por lo tanto, ahí hay otro. r
por coseno de zita es r sub x y r por seno de zita es r sub i, que coincide
absolutamente con la ordenada del punto A. Velocidad. Bueno, pues la
velocidad según el eje x será la componente de la velocidad, o del vector
velocidad, sobre el eje x. Es decir, será la proyección de v sobre el eje
x. Ya lo hemos definido anteriormente. Vuelvo a aparecer aquí. El suje x,
componente de la vector velocidad según el eje x, es igual a la derivada
de v respecto de t. Y la componente vertical, v sub i, es la derivada de i
respecto de t. También la veíamos en la transparencia anterior y también
aparece en esta. La velocidad, a su vez, será igual a la derivada del
espacio recorrido con respecto al tiempo. El espacio recorrido ya lo veis
ahí también representado en la figura. Será el arco que hay de
trayectoria que va desde el punto de inicio, donde inició el movimiento,
el punto A sub cero, hasta el punto A, que se encuentra en un momento
determinado. Ese arco es S. Por tanto, la velocidad será igual a la
derivada de S respecto del tiempo. Que a su vez será igual a la, aplicando
pitágoras al triángulo formado, el triángulo rectángulo formado por el
vector v más las componentes v sub x y v sub i, pues será igual a v, es
igual a raíz cuadrada de v sub x al cuadrado más v sub i al cuadrado.
Claro, estamos hablando de v como modo, es decir, como la longitud del
vector v. La componente de la velocidad según el eje x, pues es v por un
seno de phi. La geometría simple y la velocidad, la componente vertical de
la velocidad será igual a v por seno de phi. Si queremos calcular la
diferencial del espacio recorrido, la diferencial de S será igual a raíz
cuadrada de la diferencial de x al cuadrado más la diferencial de i al
cuadrado. Esto ya sabéis bien. Si habéis visto el módulo, la grabación
del módulo c1a. Parece que lo tenemos aquí. Lo vamos a aplicar muy a
menudo esto, ¿eh? Aquí tenéis en la figura esta, inferior, tenéis una
trayectoria que es la pintada en azul, los ejes de coordenadas x e y,
tenemos una tangente a la trayectoria en un punto de ella, este punto de
aquí, que forma un ángulo phi con el eje x que está ahí representado, y
tenemos un punto a y un punto b. Entre el punto a y el punto b hay una
longitud, una cuerda, que es diferencial de S. Cuando p está muy cerca de
a, esa cuerda, esa línea recta que une, un segmento de línea recta que
une puntos a y b, se confunde con el segmento curvo de la trayectoria que
va desde a hasta b. Y eso es diferencial de S, diferencial del espacio
recorrido. Diferencial porque es un infinitesimo. b está muy próximo a,
teniendo a cero la longitud de S, diferencial de S. Por eso se le ha
llamado diferencial de S. Diferencial de x es la proyección horizontal de
ese diferencial de S que acabamos de ver. Y diferencial de y es la
proyección vertical de ese diferencial de S. Entonces, en este triángulo
rectángulo que veis ahí representado, el cateto se iguala a la
hipotenusa, es decir, diferencial de x igual a la hipotenusa, y el cateto
se iguala a diferencial de S por coseno de phi. Y diferencial de y se
iguala a diferencial de S, que es la hipotenusa, por el seno de phi. De
ahí es donde viene esto que estábamos diciendo. Que en ese triángulo que
acabamos de ver, el estángulo, indicando pitágoras, diferencial de S
será igual a raíz cuadrada de los cuadrados de los catetos. Diferencial
de x al cuadrado más la diferencial de y al cuadrado. Si dividimos entre
diferenciales, el segundo miembro, entre diferencial de t y diferencial de
tiempo, y multiplicamos al mismo tiempo por diferencial de tiempo, no
cambia el signo igual. Pero sin embargo aparece esta expresión.
Diferencial de S también es igual a la componente horizontal de la
velocidad elevada al cuadrado más la componente vertical de la velocidad
elevada al cuadrado multiplicado por diferencial. O también es igual a
raíz cuadrada de uno más derivada de y respecto de x al cuadrado. Que
coincide, si recordáis, con la tangente del ángulo phi. Y prima es igual
a la tangente del ángulo phi al cuadrado por diferencial de x. Esto no es
ni más ni menos que la primera expresión de la izquierda, dividir por
diferencial de x todo y multiplicar luego por diferencial de x. Queda lo
mismo, pero se transforma en esto que acabamos de ver. Raíz cuadrada de
uno más y prima al cuadrado por diferencial de x. El diferencial de x
fuera, lógicamente, de la raíz. Bueno, son diferentes expresiones del
arco recorrido que vamos a utilizar mucho en los problemas. Diferencial de
x en el triángulo S que acabamos de ver hace un momento es igual a
diferencial de S por coseno de phi, hipotenusa por coseno de phi. Y
diferencial de y, condición vertical de diferencial de S, es diferencial
de S por seno de phi. La aceleración, la componente de la aceleración
gamma según la dirección ox, es decir, la componente horizontal, será
igual a derivada segunda de x respecto de diodos veces. Y la componente
vertical de la aceleración, ya decíamos antes que la aceleración tenía
dos formas de descomponerse, ahora estamos hablando de la segunda, es
decir, descomponer el vector gamma en su componente horizontal según el
eje x. Y vertical según el eje y, bueno pues, la vertical gamma más y
sería derivada segunda de y respecto de diodos veces. Y la vector
aceleración resultante será igual, de acuerdo con Pitágoras, y teniendo
en cuenta esa descomposición ya según la dirección tangencial y según
la dirección normal gamma sub t y gamma sub n, gamma será igual a raíz
cuadrada de gamma sub x al cuadrado más gamma sub u. En cualquiera de los
dos casos, los triángulos son rectángulos, por tanto se puede aplicar
Pitágoras. Otro prefabricado que vamos a utilizar muy ameno será el radio
de curvatura, cuya forma de cálculo es esta que veis aquí. Radio de
curvatura será igual a raíz cuadrada de gamma sub t al cuadrado más
gamma sub u. A la 1 más de i respecto de x elevado al cuadrado. Y todo
esto elevado a 3. Dividido entre derivada segunda de i respecto de x doce
veces. es la fórmula habitual de calcular, aunque hay otras pero esta es
la más habitual de calcular el radio de curvatura de una curva, en este
caso de la trayectoria en un punto determinado en este caso del punto y
esto, si queréis ver el desarrollo como se ha llegado hasta ahí la
demostración de esto, pues tendréis que iros, repito a los módulos que
he grabado yo de geometría diferencial si no os acordáis. Otro
prefabricado que vamos a utilizar muy a menudo es diferencial de S,
diferencial de espacio recorrido que sea igual a rho radio de curvatura por
diferencial de phi otro es la aceleración tangencial es igual a la
derivada del vector del módulo de la velocidad con respecto al pie y la
aceleración normal es el módulo de la velocidad elevado al cuadrado
dividido entre el radio de curvatura que a su vez, teniendo en cuenta las
expresiones de velocidad y de radio de curvatura pues puede tener todas
estas expresiones que veis aquí y utilizamos muy a menudo la última que
es v por derivada de phi respecto de t es decir que aceleración normal se
puede calcular de dos formas y vamos a utilizar las dos muy a menudo la
primera módulo de la velocidad al cuadrado en ese punto partido por el
radio de curvatura de la trayectoria en ese punto la segunda que vamos a
utilizar muy a menudo es igual al módulo de la velocidad en un punto
multiplicado por la derivada del ángulo phi que ya sabemos lo que es con
respecto al pie bien estos son los prefabricados más importantes que vamos
a utilizar con más asiduidad en la resolución de los problemas en los
problemas que se nos van a presentar en este tema pueden aparecer datos
relacionados con el vector de posición del móvil en cada instante lo veis
ahí en la derecha nos pueden venir los datos relacionados con el espacio
recorrido por el móvil o nos pueden venir datos relacionados con la
velocidad y con la aceleración o bien con una combinación entre espacios
que acaban luego clasificaremos los diferentes tipos de problemas que se
nos puedan presentar en relación con los datos de partida de acuerdo a la
siguiente tabla que veis ahí en la transparencia A datos de posiciones del
móvil a través del vector de posición R B datos de posición del móvil
a través del arco recorrido S esto que quiere decir que si el problema
algunas veces nos dará datos como hemos dicho hace un momento relacionados
con el vector de posición indicándonos que el móvil está en una
posición determinada y esa posición nos la dará a través del vector de
posición R otras veces esa posición nos la marcarán con el arco
recorrido S otras veces la posición nos la marcará el problema dándonos
las velocidades del móvil o algunas características de velocidad y otras
veces nos la darán con datos de aceleración y finalmente habrá problemas
que nos den una combinación de cada uno de estos datos con lo cual dentro
de estas líneas de cada una de estas líneas como pone ahí se pueden
hacer combinaciones con las variables dadas como datos del problema dando
lugar a un buen número de problemas diferentes la única condición que
han de cumplir estos datos que nos den el problema es que con ellos se
pueda construir la trayectoria pedida es decir tenemos que pensar si con
los datos que nos da el problema seríamos capaces de dibujar la
trayectoria seguida por el móvil en un papel milimetrado por ejemplo si
así fuese el problema estaría bien planteado en caso contrario nos
faltaría o nos sobraría algún dato ¿eh? pero fijaros la cantidad de
problemas que se nos pueden presentar porque dentro del grupo A nos pueden
dar bien R en forma de vector nos pueden dar R la componente horizontal de
R dependiendo de X de la variable X nos pueden dar la componente vertical R
sub i dependiendo de la variable X o de la variable Y o nos pueden dar una
de ellas la R sub X por ejemplo y nos pueden dar y datos sobre el arco
recorrido S o bien nos pueden dar una velocidad y algo que nos marque el
vector de posicionar en fin se pueden dar un montón enorme de
combinaciones presentaremos a continuación de estas combinaciones las más
significativas y vamos a desarrollar las soluciones de alguna de ellas
otras las vamos a presentar con sus propuestas finales a aplicar dejando el
desarrollo su desarrollo es decir cómo hemos llegado hasta ellas como
ejercicio para el alumno incorporando el mismo en forma de ejercicio
resuelto a la colección de problemas por si acaso el alumno se dieran
dificultades para poder llegar a esas fórmulas también debemos aclarar
que no todas las combinaciones posibles figuran en la relación que se va a
presentar a continuación quedando la resolución de las que faltan como
ejercicio sencillo para que el alumno visto estas transparencias que vamos
a ver ahora pueda resolverlo con comodidad y si no es así para eso estamos
aquí para que pregunte bien las combinaciones de datos que conforman los
diferentes tipos de problemas que vamos a ver aquí son las siguientes las
que aparecen en esa transparencia es decir dentro del grupo A del grupo de
datos de posiciones de móvil a través del vector de posición R se va a
presentar pues el primer caso que vamos a ver es que nos den las
componentes del vector de posición horizontal y vertical más una
condición inicial que es el arco recorrido en su posición cuando parte de
cero cuando empieza el móvil a caminar otro que vamos a ver es que nos den
ah bueno y que las componentes en el caso A1 es que las componentes del
vector R horizontal Rx y vertical Ri dependan del tiempo nos han dado como
una variable del tiempo en el A2 igual nos dan las componentes del vector R
que es el que define en cada momento la posición del móvil pero esta vez
en función de la abscisa X y además nos van a dar una velocidad en este
caso se da la velocidad en la dirección del eje X derivada de X respecto
de T también dependiendo del tiempo y además nos van a dar las
condiciones iniciales es decir el punto donde se encuentra donde parte y el
arco recorrido en ese punto la A3 serán las componentes de sí mismo en
función de la variable X y la velocidad el módulo de la velocidad del
móvil pero dado la función de la abscisa X y así mismo las condiciones
iniciales finalmente en el caso de por ejemplo del móvil a través del
arco recorrido hablaremos del B1 que nos den el arco recorrido en función
del tiempo la tangente del ángulo phi en función del tiempo es decir la
tangente del ángulo que forma la tangente en el punto A respecto al eje X
y las condiciones iniciales el B2 nos dará el arco recorrido en función
de tiempo y la tangente del ángulo pero esta vez en función de X no en
función del tiempo como era el caso B1 y los datos iniciales en cuanto a
datos de velocidad del móvil el C1 será que nos den la velocidad en
función del tiempo la tangente del ángulo phi en función del tiempo y
los datos iniciales en el caso C2 la velocidad en función de la abscisa de
X la tangente del ángulo phi en función de X y las condiciones iniciales
en el caso 3 la velocidad la componente horizontal de la velocidad en
función del tiempo la componente vertical de la velocidad en función del
tiempo y las condiciones iniciales el C4 las componentes de la velocidad
según el eje X y según el eje Y pero en función de X en lugar de en
función del tiempo las condiciones iniciales y en cuanto al grupo final de
datos en función de la aceleración del móvil pues tenemos el dato D1 que
son los componentes horizontal y vertical de la aceleración en función
del tiempo más los datos iniciales ahora habrá que decirle la velocidad
con que parte del punto a su cero en el caso D2 también los componentes
horizontal y vertical de la aceleración pero ahora funciones de X con los
datos iniciales el T3 nos dan la aceleración tangencial o la velocidad en
función del tiempo y la normal en función del tiempo con los datos
iniciales el 4 nos dará la tangencial en función de X y el ángulo que
forma la tangente del ángulo fi con respecto a X el D5 nos dará la
aceleración normal en función de X y la tangente de fi en función de X y
en el 6 la tangente normal en función del espacio recorrido y la tangente
perdón la tangente la aceleración normal en función del espacio
recorrido S la aceleración total en función del espacio recorrido S
también y los datos iniciales bien todos todos estos problemas típicos
que vamos a ver son problemas de dos dimensiones X y Y es decir en el plano
y trabajaremos con coordenadas cartesianas X e Y dejando para ocasiones
posteriores el mismo ejercicio que vamos a hacer aquí pero en, en
coordenadas polares en coordenadas cilíndricas y en coordenadas esféricas
eso no lo he preparado eh por tanto durante este curso no vamos a tener
ocasión de verlo prepararemos para otros cursos académicos porque esto
lleva un tiempo bastante bastante importante he tratado de que aparezcan
aquellos casos más representativos son todos estos que estáis viendo en
la transparencia de tal forma que si se presenta alguna combinación que no
figure entre estas será sencillo para el alumno como hemos dicho antes
deducir las expresiones finales a partir de las presentadas aquí
comencemos con la primera esto está nos va a venir bien para tener incluso
en forma de consulta en un momento determinado que tengáis un problema de
este tipo y nos digan oye joder ¿qué datos me da el problema? ¿me da
velocidad tangencial o una aceleración tangencial en función del tiempo?
¿nos da la tangente de phi en función de x? vamos a ver me voy a coger la
ficha a ver cuál va a ser cómo voy a desarrollar el problema cómo lo voy
a resolver y las cosas ¿ok? primer caso algo los datos que nos da el
problema son la componente horizontal del vector de posición en función
del tiempo y la componente vertical de la posición en función del tiempo
el vector de posición ¿cómo se resuelve? primero ecuaciones horarias
serán hombre si me dan la componente x del vector de posición esa ya
será x y como ya me lo da en función del tiempo pues tengo x en función
del tiempo esa es una de la ecuación horaria la otra es y como función
del tiempo pero como me dan r su y y r su y coincide con y pues ya tengo y
en función del tiempo es decir las en este caso concreto las ecuaciones
horarias ya venían vendrían dadas como datos del problema ¿cómo
calcularíamos la ecuación cartesiana también llamada explícita o
canónica? pues muy sencillo eliminando simplemente el parámetro t entre
esas dos ecuaciones que hemos visto hace un momento es decir entre las
ecuaciones horarias ¿cómo eliminamos t? bueno pues despejamos t de una
por ejemplo de la primera y lo sustituimos en la segunda y nos saldrá una
ecuación ya sin t será i igual a f de x que no es ni más ni menos que la
ecuación cartesiana ¿cómo se calcula la ley horaria? bueno ya sabemos
que uno de los prefabricados que veíamos en la transparencia anterior era
v sub x igual a derivada de x respecto a t por lo tanto como ya tenemos x
en función de t que es una ecuación horaria podemos realizar esta
derivación sin ningún problema ya tenemos v sub x lo mismo podemos hacer
con v sub i derivamos la segunda ecuación horaria respecto al tiempo y esa
es v sub i para calcular s ya sabemos que diferencial de s igual a raíz
cuadrada de v sub x al cuadrado más v sub i al cuadrado por diferencial de
t este era otro de los prefabricados que veíamos no hay más que integrar
esto integramos eso y nos sale en función del tiempo es esto es igual a
integral de raíz cuadrada de v sub x al cuadrado más v sub i al cuadrado
por diferencial de t más c sub 1 ya sabéis que al integrar una ecuación
diferencial de primer orden o de primer grado como sería esta de primer
orden de grado podría ser el que fuera nos va a salir una o sea tenemos
que contar con una constante que va a salir como resultado de esa
integración para buscar el ángulo de curvas que serían solución la
solución a esa ecuación diferencial bueno ¿y cómo calculamos esa
constante c sub? pues a través de las condiciones iniciales que nos habrá
pedido cada vez el problema nos ha dado como condiciones iniciales que
parte con un espacio recorrido de tan la mayor parte de las veces se la
hace eso quiere decir que para cuando t sea 0 s será igual a s sub 0 que
es el dato del problema lo metemos ahí en la ecuación que haya resultado
de la integración y despejaremos eso y tendremos calculado s igual a s con
función de t que es la ley horaria lo vais a tener claro en estos
ejercicios que aparecen fijémonos en una cosa dado que nos dan los datos
en función del tiempo de resuelto sin función del tiempo y de resolución
en función del tiempo no necesitamos conocer como dato ningún valor de la
velocidad son suficientes esos datos una vez determinadas las ecuaciones de
la trayectoria ya sea en forma horaria en forma cartesiana o en forma de
ley horaria es inmediato y muy sencillo el cálculo de la velocidad por
ejemplo la velocidad es igual a la derivada del espacio con respecto al
tiempo y así ya conocemos la expresión de la ley horaria que es s con
función de t por lo tanto podemos realizar esta derivación sin problema
lo mismo si nos piden calcular la aceleración ya sabemos que es la
derivada de la velocidad con respecto al tiempo y la velocidad la conocemos
con relación al tiempo también por lo tanto lo difícil es calcular las
trayectorias por eso es lo que presentamos aquí en estas tres paredes el
resto una vez calculadas trayectorias el resto de problemas de datos
perdón de resultados que nos puede pedir el problema como velocidad
aceleración etc es coser y cantar en los problemas que figuran en la
transparencia esos problemas que se figuran ahí abajo 17, 18 y 21 se
aclaran desde el punto de vista práctico los conceptos teóricos como ya
hemos dicho antes citados y por tanto es enormemente importante darlos como
siempre los que están pintados en rojo son los que figuran en la
colección de problemas de la tutoría por lo tanto son de acceso directo y
libre para los alumnos matriculados en el centro asociado bien, vamos a ver
el segundo caso el segundo caso nos da las componentes según horizontal y
vertical del vector de posición nuevamente pero esta vez no en función
del tiempo sino en función de la abscisa x por lo tanto vamos a necesitar
como dato también una velocidad en este caso nos da la componente de la
velocidad según la velocidad el eje x es decir v sub x que es derivada de
x con respecto al tiempo y nos da esta velocidad también como una
expresión en función del tiempo y también lógicamente los datos del
inicio donde parte han de ser dados para poder realizar el problema en este
caso la ecuación cartesiana explícita dado que uno de los datos es y es
r,y en función de x y r,y que es la componente vertical de la posición r
coincide con y precisamente con la ordenada del punto a entonces de aquí
sacamos la ecuación cartesiana igual a f de x así simplemente era ya un
dato muy bueno ¿cómo calculamos las ecuaciones orales? bueno pues la
derivada de la diferencial de x será igual a la diferencial de x partido
por x partido por diferencial de t multiplicado por diferencial de t es
obvio ¿no? diferencial de t que multiplica diferencial de t que divide se
da diferencial de x igual a diferencial de x pero derivada de x respecto de
t era un dato del problema por tanto de aquí integramos y resulta x igual
a la integral de derivada de x de t con respecto a t más la constante que
será c sub 1 y que resolvemos diciendo que para t igual a 0 x igual a x
sub 0 que es un dato del problema esto nos da la variable c sub 1 por tanto
tenemos ya determinada la primera ecuación horaria x con función del
tiempo fijaros que ¿no? las fórmulas aplicar fórmulas finales se ponen
siempre en b para destacarla de lo que es desarrollo hasta llegar a esa
zona bien ya tenemos x como función del tiempo una ecuación horaria nos
falta la de y función del tiempo para completar las ecuaciones horarias
pero es muy sencillo ya sustituyendo la ecuación 2 contenida anteriormente
en la ecuación 1 que es de la cartesiana la neocanónica nos da y función
del tiempo por lo tanto están ya las ecuaciones horarias definidas leo
partimos de la expresión que está antes uno de los que ya habíamos
prefabricados el diferencial de x igual a raíz cuadrada de 1 más derivada
de respecto de x al cuadrado que es lo que es un tangente de c al cuadrado
¿no? multiplicado por diferencial de x de aquí integrando nos sale es
igual a integral de raíz cuadrada de 1 más derivada de respecto de x al
cuadrado por diferencial de x más c sub la derivada de respecto de x se
puede sacar ya tenemos la ecuación cartesiana la ecuación 1 ya tanto se
puede derivar con respecto a x sin ningún problema para determinar la
constante c sub 1 pues sabemos que es igual a s sub 0 e i perdón y x es
igual a x sub 0 cuando t es igual problema 8 se ve esto claro bueno aquí
atrás que se me habla observemos observamos como aquí si que necesitamos
un dato de velocidad puesto que r radio vector viene expresado en función
de x no en función del tiempo por lo que para determinar aquellas
relaciones que vienen expresadas en función del tiempo t como son por
ejemplo las ecuaciones horarias la ley horaria en la que aparece el tiempo
necesitaremos relacionar x con t o bien y con t era igual y para esto
necesitaremos conocer una velocidad que en este caso es derivada de x
respecto de t que es la que nos ha dado y también hay que fijarse aquí de
que en este problema nos da el radio vector r como dato en función de las
cisa x es decir r sub x de x y r sub i de x también no lo podrían haber
dado en función de la ordenada y en lugar de las cisa x y nos pondrían
dar r sub x como función de y o r sub i como función de y en lugar de x
en cuyo caso el desarrollo del problema es similar y aconsejamos al alumno
que lo haga él por si suelto también le vendrá el tercer caso es nos da
asimismo r sub x y r sub i es decir las componentes horizontales vertical
del del vector de posición r pero ahora nos dan en lugar de la componente
horizontal de la velocidad nos da la velocidad el núcleo de la velocidad
en función de x también de la cisa y obviamente también nos el estado
inicial vamos a ver dónde parten los bien ecuación cartesiana lo mismo
que antes ya nos daban r sub i de x como dato pero es que r sub i de x
coincide con i por tanto esta ya es la ecuación cartesiana para calcular
las horarias aquí tenéis la fórmula t es igual a integral de la derivada
de r sub x de t con respecto a x multiplicado por perdón dividido por la
velocidad univ en función de x por diferencial de x más ceso y luego con
los datos originales del del problema podemos calcular ceso y tenemos ya la
primera ecuación horaria aquí hay una cosa mala también estoy dando
cuenta yo creo de que hay no aquí no es r sub x en función de t sino que
es r sub x en función de x es uno de los datos del problema fijaros que el
problema nos da r sub x en función de x no en función de t eh porque es
que si no no se podía derivar si nos dieran r sub x como una una
expresión en función del tiempo no podemos derivar una expresión en
función del tiempo con respecto a x son dos variables diferentes no se
podría haber hecho esa derivada eh bien ¿cómo calculamos entonces la
otra ecuación horaria? la y en función de t hombre sustituyendo la
expresión dos que hemos visto anteriormente en la expresión uno que es la
ecuación canónica y ya nos da directamente y en función de t que es la
segunda ecuación horaria ¿y la ley horaria? pues s igual a raíz cuadrada
de uno más derivada respecto de x que sigue por ahí arriba porque ya
tenemos una función una ecuación cartesiana por cuadrado por diferencial
de x más de sub y nos daría s en función de x pero esto no es lo que
necesitamos s en función del tiempo ah pero es que eh sustituyendo la
expresión dos que era x en función del tiempo en la expresión cuatro de
s en función de x ya tenemos s en función del tiempo así de sencillo eh
esta es uno de los casos en que problema ahora si lo queréis ver eh
desarrollado totalmente como se han llegado esas fórmulas debéis verlo en
el ejercicio resuelto c p c e este caso es que nos dan datos del problema
el espacio recorrido en función del tiempo la tangente de la angología en
función del tiempo y los datos originales datos de los ramos de donde
parte eh de que punto parte el móvil y que espacio recorrido tenia en el
momento ecuaciones horarias bueno la velocidad es muy sencilla simplemente
hay que derivar el espacio que ya viene en función del tiempo con respecto
al tiempo y ya tenemos la velocidad la tangente del ángulo phi ya está eh
la diferencial de el espacio recorrido que vendrá por función del tiempo
sea igual a velocidad en función del tiempo por diferencial de t espacio
es igual a velocidad por tiempo pero es que esto es lo mismo que raíz
cuadrada de 1 más derivada de respecto de x en cuadrado multiplicado por
diferencial a la raíz cuadrada de vt partido por raíz cuadrada 1 más
tangente al cuadrado de phi de t que hay que determinar la constante esta
otra vez con los datos del iniciales del problema ¿de dónde sacamos la
primera ecuación de horaria x función del tiempo la segunda pues con esta
expresión similar a la anterior sacamos la segunda y es la de tiempo y
finalmente pues no pero finalmente no esta era las ecuaciones horarias
observáis que muchas veces empezamos calculando la ecuación cartesiana
luego nos vamos a las horarias y finalmente a la hora sin embargo en otros
problemas como este invertimos los términos conviene empezar en este caso
calculando las ecuaciones horarias luego la ecuación cartesiana cálculo
vamos a utilizar ya datos de las ecuaciones horarias que ya están
calculadas y finalmente la leona es decir no en todos los problemas tienen
el mismo orden la ecuación cartesiana una vez determinada las horarias es
simplemente eliminar el parámetro t entre las dos ecuaciones horarias y
nos sale la i igual a f de x, como se elimina el parámetro t ya lo hemos
dicho antes despejando t de una de las ecuaciones por ejemplo de la 2 y
sustituyéndola en la 3 nos dará i igual a f de x la ley horaria es muy
sencilla en este caso porque es la integral de la velocidad que viene dada
en función del tiempo por diferencial de t el problema siempre existe en
eso en este caso nos da el espacio recorriendo en función del tiempo pero
la tangente de la angulo phi en función de x bueno la velocidad en la
ecuación cartesiana es muy sencilla porque la velocidad es muy fácil de
calcular a ese aspecto del tiempo con y el aspecto de x y de aquí
despejando y diferencial de y e integrando nos queda y igual a integral
derivada del aspecto de x por diferencial de x más la constante c es
fácil de calcular con sustituyendo las condiciones iniciales del tiempo y
nos da y igual a y de x que es la ecuación cartesiana las ecuaciones
horarias diferencial aparte del de diferencial de x extraemos integrando
esta fórmula que nos da directamente el espacio en función de x si
queremos ponerlo con dt que es la verdadera ecuación horaria perdón
estamos con las ecuaciones horarias no con la idea horaria bien ya tenemos
determinado el espacio recorrido en función de la abscisa x ahora
igualando esta expresión 3 que acabamos de obtener con el dato del
problema nos da el espacio en función del tiempo despejando x nos saldrá
una expresión que es x función del tiempo que es una ecuación horaria y
sustituyendo esta expresión que es la 4 en la 2 que era la ecuación
cartesiana obtendremos la otra ecuación aquí en este caso no hace falta
calcularla puesto que ya era un dato del problema el espacio recorrido en
función del tiempo ya nos volaba el problema por tanto ya está calcular
el problema cp 37 ejemplo de este caso otro en este caso nos da la
velocidad en función del tiempo y la tangente del ángulo en función del
tiempo bueno como sabemos que la tangente de phi es derivada de respecto de
x y como sabemos que diferencial de s es un tipo de diferencial de t
sustituyendo la velocidad bueno perdón diferencial de s ya sabemos
también que es la raíz cuadrada de 1 más derivada de respecto de x es
tangente por diferencial de x t era uno menos prefabricados que veíamos
antes pues aquí despejamos x e integramos despejamos diferencial de x e
integramos nos saldrá esto que es la fórmula para calcular x en función
del tiempo hacemos una cosa similar con la y nos saldrá esta fórmula que
nos dará directamente la segunda ecuación de función horaria y función
del tiempo la cartesiana es lo mismo que hemos hecho en anteriores
ocasiones una vez que tengamos las dos ecuaciones horarias será eliminar
el parámetro t entre las dos ecuaciones horarias va directamente la
ecuación cartesiana o explícita y que hay otro error esto se ha hecho tan
rápido que ha cargado de la el t es x y función de x que es la ecuación
cartesiana finalmente la ley horaria pues es igual a integral de vt por
diferencial t y estos problemas que aparecen aquí son ejemplos de lo que
acabamos de ver en este caso nos dan la velocidad como función de la
abscissa x nos dan la tangente del ángulo phi también función de x y nos
dan como condiciones iniciales espacio inicial recorrido y el a la
posición de ese punto la ecuación cartesiana dado que la tangente de phi
de x tangente de phi es derivada de y respecto de x dejamos diferencial de
y e integramos esto directamente fácil de calcular la ecuación cartesiana
las ecuaciones horarias e partir de esta fórmula que veis ahí t igual a
raíz cuadrada de uno más tangente al cuadrado de phi partido por
velocidad multiplicado por diferencial de x nos daría x función del
tiempo que es una ecuación para conseguir la otra sustituir la expresión
dos en la uno que es la ecuación cartesiana y nos saldrá directamente y
función del tiempo que es la ecuación segunda horaria este es otro tipo
otro típico caso donde no hemos desarrollado el desarrollo se ha hecho en
el ejemplo resuelto cp cuarenta y cinco siete treinta y veinte finalmente
la ley horaria es igual a raíz cuadrada de uno más tangente al cuadrado
multiplicado por diferencial de x es lo habitual que ha utilizado más
veces y nos saldrá s como función de x como queremos calcular s función
de t pues sustituyendo la expresión cuatro en la expresión no la
expresión dos en la expresión cuatro una de las ecuaciones horarias va a
resultar s función de t que es la ley horaria tal y como vais ver
prácticamente los ejemplos resueltos treinta y cuatro bueno yo creo que
esto es un rollo enorme el que yo ando explicando esto creo que es mucho
más fácil que vosotros lo veáis a partir de esas transparencias las
cojáis y no veáis con detenimiento porque al final lo que yo diga en
palabras no va aportar demasiado más que lo que aporta la transparencia
por ejemplo en este caso nos da la componente de la velocidad según la
dirección x e y en función del tiempo exclusivamente en este caso
empezaremos calculando las horarias poniendo que diferencial de x es igual
a v su x de t por diferencial de t por tanto la integral nos queda x igual
a integral de v su x de t por diferencial lo mismo con la y la integral de
v su y de t por diferencial de t más de x y el desarrollo está antes en
negrita la cartesiana una vez tenidas una vez habidas calculadas las
ecuaciones paramétricas perdón las horarias paramétricas si dicho bien
con parámetro tiempo t se llaman horarias una vez calculadas las horarias
es simplemente despejarte de uno sustituir uno a otra directamente y la ley
horaria pues es aplicar otra vez más el prefabricado aquel que vimos es
igual a la red cuadrada de uno más derivada de respecto de x al cuadrado
que repito es igual a tangente de phi multiplicado por diferencial de x y
nos dará s como función de x para pasar a s en función de t que es la
ley horaria pues sustituyendo una de las ecuaciones horarias primero a uno
en la anterior cuatro para resultar s función de t que es lo que llamamos
ley horaria treinta y cinco tenéis origen ejemplo treinta este en este
caso nos dará la componente según x de la velocidad pero esta vez en
función de x la vez anterior era si no me equivoco en función del tiempo
ahora nos vendrán expresadas en función de la velocidad x bueno pues el
cálculo de la ecuación cartesiana lo tenéis ahí explicado integral de v
su y partido por v su x por diferencial de x nos saldrá igual a y de x que
es la ecuación las horarias primero calcularemos el tiempo integral de
diferencial de x partido por v su x and v y bueno nos saldrá el tiempo en
función de x quedándole la vuelta será x en función de t que es una
ecuación horaria la otra es sustituyendo esto que acabamos de sacar ahora
en la ecuación uno cartesiana hora y función del tiempo directamente la
ley horaria una vez más empezaremos calculando esa función de x a través
de esta expresión esa función de x y luego para poner la función de t
sustituir como siempre la ecuación horaria x de t en la anterior y nos
resultará esa función del tiempo que es la ley si queréis ver la
demostración de esto en el ejercicio resuelto cp cuarenta y seis y los
problemas cinco y seis son ejemplos prácticos de esto otro caso este ya
nos pasamos a las aceleraciones nos darán las componentes de la
aceleración según los ejes x y el componente horizontal y vertical de la
aceleración pero en función del tiempo con sus datos iniciales ahora nos
tendrán que dar qué velocidad llevaba el móvil cuando partió del origen
cuando partió del punto a cero y cuál era el punto a cero del partido y
cuál era el espacio recorrido que había caminado antes de llegar al punto
a cero esos son datos iniciales que nos vamos a necesitar como ya sabemos
para calcular las constantes de integración ecuaciones orales la velocidad
según la dirección x y la igual a la integral de gamma su x por la
diferencial de t la velocidad según y la integral de gamma su y por
diferencial de t y tenemos las velocidades componentes de la velocidad
según los ejes x y en función del tiempo que no son ni más ni menos que
precisamente las ecuaciones de la odógrafa bien pero lo que nos pide son
las ecuaciones orales por lo tanto ese es un paso intermedio claro que the
problem seguramente habrán pedido también el cálculo de la odógrafa
bien para calcular las horarias a partir de ya conocida la velocidad los
componentes de la velocidad según x y pues es muy sencillo x es igual a
integral de v su x por diferencial de t e igual a integral de v su y por
diferencial de t tenemos calculadas x en función del tiempo y en función
del tiempo que son las ecuaciones horarias la cartesiana eliminar el
parámetro t entre estas dos como hemos hecho en otras ocasiones ¿verdad?
directamente la cartesiana y la horaria habida cuenta que la tangente de fi
es derivada de i con respecto a x que es lo mismo que decir que v su y
partido por v su x puesto que el ángulo fi es el ángulo formado también
por la velocidad de g x entonces la velocidad según x la componente de la
velocidad según x será igual al módulo de la velocidad resultante de
respecto de t multiplicado por el coseno de fi pero claro el coseno de fi
era veíamos un prefabricado de aquellos que decíamos que era igual a uno
partido por raíz cuadrada de uno más tangente al cuadrado de fi
sustituyéndolo y separando variables e integrando nos dará esta fórmula
que vemos aquí es igual a integrar de la componente de la velocidad según
el eje x multiplicado por la raíz cuadrada y uno más tangente al cuadrado
de fi todo multiplicado por la diferencial de t nos dará directamente la
ley horaria que es s función de t y tal como podéis ver en el ejercicio
de c de cuarenta otro caso de aceleraciones van las componentes también s
y pero ahora en función de x no en función del tiempo bueno pues aquí
tenéis todas estas fórmulas para calcular velocidades tiempo x en
función de t e y en función de t son las ecuaciones horarias para
calcular la cartesiana lo mismo que hemos hecho multitud de veces antes
eliminar el tiempo parámetro tiempo entre las ecuaciones horarias
directamente la cartesiana y si queremos la ley horaria pues a través de
esta fórmula integral nos da directamente el espacio de fórmula función
de x para pasar la función de t una vez más sustituir la ecuación
horaria de x 2 en la ecuación anterior 7 o bien también se puede hacer en
esta segunda forma anterior para ver cómo se ha llegado a estas fórmulas
su desarrollo está hecho en el ejercicio resuelto cp 47 y nuestros dos
ejercicios de aquí son los ejercicios de la ecuación horaria en el
espacio general también podemos hacer un aceleración normal o bien la
aceleración total porque conociendo la aceleración total y conociendo la
tangencial sé calcular la normal por pitadas aceleración normal es igual
a la red de aceleración total al cuadrado menos aceleración tangencial al
cuadrado por tanto da igual que me den uno u otro dato en algunos problemas
me darán un dato y en otros problemas otro pero la resolución es
exactamente igual ley horaria la velocidad igual a la integral de gamma t
por diferencial de t y aquí nos saldrá el espacio puesto en función del
tiempo ecuaciones horarias primero tendremos necesidad de calcular el
ángulo phi que todavía no lo conocemos y que es necesario vamos a
necesitar ángulo phi en función del tiempo a través de esta expresión
integral de gamma normal de phi en función del tiempo una vez conocido el
ángulo phi en función del tiempo pues ya la x podemos esto resolver con
esa integral de v de t por coseno de phi de t por diferencial de t y la i
con esta otra que ves aquí va integral de v de t por seno de phi de t por
diferencial la cartesiana una vez conocida en las horarias pues es eliminar
el parámetro t entre las dos pero adecuadamente la cartesiana d4 nos da la
aceleración tangencial en función de x y la tangente de phi en función
de x obsérvese una cosa siempre ponemos tangente de phi pero los problemas
en lugar de tangente de phi nos puede venir dada como derivada de i
respecto de x que ya sabemos que es lo mismo o sea que no vayamos a meter
la pata hay que tener siempre presente que cuando hablamos de tangente de
phi hablamos de derivada de i respecto de x en ese punto bueno la ecuación
cartesiana en este caso es tangente de phi por derivada de respecto de x
por diferencial de x integral en el caso horario se calcula así primero
calculando s a través de esta integral raíz cuadrada de uno más tangente
al cuadrado de phi por diferencial de x nos va a resultar una ecuación s
en función de x a continuación calculamos la expresión de velocidad al
cuadrado partido por dos como la integral de la aceleración tangencial de
x multiplicado por la raíz cuadrada de uno más tangente al cuadrado de x
y por diferencial y de aquí nos saldrá la expresión que es la velocidad
en función de x a continuación calcularemos el tiempo en función de x
con esta expresión integral de derivada de s de x respecto de x partido
por v de x y todo por diferencial de x de las horarias y sustituyendo la
expresión esta que acabamos de sacar ahora en la expresión uno que es la
ecuación cartesiana obtendríamos la segunda ecuación horaria y función
del tiempo la ley horaria es sustituir la expresión cuatro que es x
función del tiempo si queréis ver como hemos llegado a estas fórmulas
finales ver el ejercicio resuelto cp cuarenta y ocho y el ejercicio cp
cuarenta y cuatro es un ejemplo práctico de este problema la d cinco la d
cinco es el caso que nos den la aceleración normal con función de x y la
tangente de fi con función de x bueno pues ahí lo habéis desarrollado
como se calcula y en función de x a través de esa integral de la tangente
de fi hay que recordar que la derivada de la función de x tenemos de esta
forma sencilla calculada en la ecuación en función de x a través de esta
integral terminaremos la velocidad en función de x y finalmente bueno
perdón calcularemos sí calcularemos el tiempo en función de x a través
de esta integral que es lo mismo decir que x es función del tiempo que es
una ecuación horaria y finalmente sustituyendo esta ecuación horaria
resultará y función del tiempo de la siguiente ecuación horaria la ley
horaria es utilizar uno de aquellos prefabricados que veíamos en la
segunda o tercera transparencia directamente con esta integral que veis
ahí sale s función de x al igual que ya ocurrió en muchas transparencias
anteriores y finalmente sustituyendo la expresión de x 3 en la 5 es
función de x nos sale directamente esa función de t que es la integral
finalmente este último ejemplo es el que nos da aceleración normal
dependiendo del espacio recorrido ahora ya no de x y de t sino del espacio
recorrido la aceleración total en función asimismo del espacio recorrido
las ecuaciones para resolver este problema son primero calculamos la
velocidad en función del espacio recorrido a través de esta integral
integral de gamma sub t de s en función de s por el especial de s nos sale
v cuadrado partido por 2 y nos saldrá v en función del espacio recorrido
una vez obtenido este resultado calculamos t en función del espacio
recorrido a través de esta integral a de s partido por v de s y otra vez
resuelta esa integral tendremos un espacio en función del tiempo que es la
ecuación la ley horaria está mal aquí también hay otro error esta no es
la ecuación cartesiana sino que es la ecuación horaria la ley horaria
perdón vamos de ahí ley horaria bien una vez determinada la ley horaria
las ecuaciones horarias se calculan pues tal y como veis ahí sustituyendo
la expresión dos en uno nos sale la velocidad en función del tiempo
sustituyendo la expresión que nos veía dada como dato de la aceleración
normal en función del espacio recorrido sustituyendo en la expresión dos
resultará aceleración normal en función del tiempo a continuación
calcularemos la aceleración normal convertida por velocidad nos dará el
ángulo recorrido en función del tiempo ya con estos datos tenemos
directamente las ecuaciones horarias con estas integrales x igual a
integral de v de t por coseno del fin del tiempo nos dará x función del
tiempo e i integral de v de t por seno del fin de t por diferencial de t
nos dará i función del tiempo que son las dos ecuaciones horarias
finalmente la cartesiana la echemos aquí igual que antes sería cartesiana
c e la obtenemos eliminando el parámetro t entre las ecuaciones horarias
nos saldrá la ecuación y nos saldrá la ecuación de la ecuación
ejercicio resuelto c o e 15 y 20 son ejemplos prácticos bien hasta aquí
hemos presentado de forma la forma de acometer la resolución de problemas
de movimientos Todo lo dicho nos sirve para el espacio de tres dimensiones,
aunque fue, lo hemos relegado digamos la transparencia de las dos
dimensiones al plano, nos va a servir todo lo que hemos dicho para resolver
estos mismos problemas en el espacio de tres dimensiones, teniendo en
cuenta las particularidades que se comentan a continuación y para ello nos
vamos a servir de esta transparencia. Cuando se está estudiando un
movimiento de un punto a lo largo de una trayectoria espacial C, aquí
tenéis en la figura inferior izquierda los tres Gs coordenados, el X, el Y
y el Z, y luego tenemos una línea que es una trayectoria pintada azul de
trazo grueso, esta es la trayectoria, hemos llamado trayectoria C, es por
donde se mueve el móvil, el móvil es el punto P, exactamente. Entonces
decíamos, vamos a mover esto un poquito para abajo, no me deja leer ahí,
decíamos, cuando se está estudiando el movimiento de un punto P, que es
el que se ve ahí en la transparencia que acabo de remarcar en amarillo, a
lo largo de la trayectoria espacial C, que es la línea de color azul, a
veces resulta muy conveniente tener en cuenta que dicho movimiento es
similar al del punto P1, está también dibujado ahí, voy a marcar en
amarillo, al punto P1. de la trayectoria C1, que es la que está pintada en
rojo abajo, que tanto el punto P1 como la trayectoria en rojo C1 son las
proyecciones del punto P y de la trayectoria C en el plano X o Y, ¿me
explico o no me explico? Vamos a ver, tengo un móvil que hemos llamado P,
que se está moviendo a lo largo de una trayectoria espacial, dimensiones,
como estáis viendo ahí, que es la azul, la línea de color azul, y digo,
el movimiento de este móvil es similar al movimiento de otro móvil que le
voy a llamar P1 y que se está moviendo en lugar de en el espacio, en el
plano X o Y, y que es proyección del punto P sobre el plano P1, y al mismo
tiempo se está moviendo el punto P1. En una trayectoria que es, a su vez,
la proyección de la trayectoria C sobre el plano X o Y, que es la
trayectoria pintada en rojo. Claro está, digo que los dos movimientos son
similares, pero claro está, el punto P1 no se mueve con la velocidad Vp,
que tenía el punto P en el espacio, sino que se moverá con la velocidad
Vp1, que es la proyección de la velocidad Vp sobre el plano P1. En el
plano X o Y, y la aceleración del punto P1 tampoco será la aceleración
gamma sub t, que está pintada ahí de color marrón, con un vector de
color marrón, sino que se moverá con una aceleración tangencial, que es
la proyección de gamma sub t sobre el plano X o Y, exactamente igual a la
velocidad. Y la aceleración normal del punto P, proyectada... Sobre el
plano X o Y, se da la aceleración normal gamma n1, que será la que tenga
el móvil P1, moviéndose sobre la trayectoria C1, proyección de la C
sobre el plano X. Por lo tanto, muchas veces se nos complica un problema a
la hora de verlo espacialmente. Móvil P, moviéndose especialmente, a
veces se nos complica. Bueno, bueno, se preocupa usted. Vamos a ver si...
Cuando proyectamos sobre el plano X o Y, proyectemos las velocidades del
punto P, las aceleraciones, etc., a sí mismos, sobre el plano P o Y, vamos
a ver si es más fácil estudiar el movimiento del punto P1 en el plano X o
Y que el del punto P en el espacio. Porque al final, los dos movimientos
van a ser iguales. Todos van a llegar al mismo punto en el mismo instante.
¿De acuerdo? Además, hay que tener en cuenta una cosa. Entonces, tengamos
en cuenta que, y eso lo vemos bien en la figura de la derecha, tenemos en
cuenta que en esa figura de la derecha, que es la misma que la de la
izquierda, pero se ha representado un trozo de espacio recorrido, el
espacio, es decir, del punto A hasta el punto B, es el espacio recorrido
por el móvil en un espacio infinitesimal de tiempo, que hemos llamado
diferencial de S. Y que, como... B está tan cerca de A, es un
infinitésimo. Podemos suponer que la cuerda AB es lo mismo, tiene la misma
longitud que el arco AB. Entonces se formaría el triángulo rectángulo
ABC, rectángulo en C. Y la hipotenusa AB forma con el cateto AC el
ángulo, el ángulo Z, que vemos aquí. ¿Vale? Bueno, pues en ese
triángulo es muy fácil deducir que el seno de ese ángulo, es igual a
diferencial de Z, que es el cateto vertical, es decir, CB, es diferencial
de Z, partido por la hipotenusa de ese triángulo, que es diferencial de S.
¿Vale? Así que, entonces, si queremos proyectar, volvemos a la figura de
la izquierda, la velocidad del punto P sobre el plano X o Y, es decir,
queremos hallar VP1, está muy fácil, está VP1. VP1 es igual a VP por
coseno de zeta. Tendocita el ángulo que forma la tangente a la trayectoria
C, punto P, con la proyección de esa tangente T sobre el plano X o Y, que
es la T. Pero claro, coseno de zeta ya sabemos que es igual a raíz
cuadrada de 1 menos tangente al cuadrado de zeta. Perdón, raíz cuadrada
de 1 menos seno al cuadrado de zeta. Y seno de zeta era diferencial de Z
partido por diferencial de S. Por lo tanto, VP1 será igual a VP por raíz
cuadrada de 1 menos derivada de Z respecto de S al cuadrado. Y lo mismo con
la aceleración. La aceleración del punto P1 será igual a la aceleración
del punto P por el coseno del ángulo Z. Pero es que el coseno del ángulo
Z es raíz cuadrada de 1 menos diferencial de Z. Diferencial de Z partido
por diferencial de S al cuadrado. Por lo tanto, la expresión será esa. Es
decir, es una forma de facilitar en algunos casos, en muchos problemas, el
estudio del movimiento de un móvil en el espacio simplemente proyectando
sobre el plano ese móvil. En el problema CP12 se ve muy clarísimo. Es un
problema muy interesante y se ve muy clarísimamente todo esto que acabo de
decir. Lo vais a entender a la perfección. Y nada más. Esto es lo que
quería. Yo creo que ya he hablado más de la cuenta. Se me ha ido el
tiempo mucho. Pero bueno, valía la pena decir todo esto. Aunque repito que
más que escuchar mis palabras es interesante que saquéis, imprimáis
todas esas transparencias. Gracias. Que hemos visto anteriormente y que las
trabajéis un poco y que veáis los problemas y veáis cómo se solucionan
este tipo de problemas que tanto miedo da generalmente a los alumnos y que
con tanta frecuencia caen o no se saben. Nada más. Simplemente decir que
os propongo que durante esta semana, desde aquí hasta la próxima
tutoría, que vayáis viendo otra grabación mía, que es la del módulo
C.1-B, asimismo de cinemática. Y en la próxima tutoría quizás hagamos
algún problema relacionados con estos módulos que hemos visto hasta
aquí. Nada más. Si no tenéis alguna duda, nos despedimos aquí. Por lo
menos corto la grabación porque ya se ha terminado. Nada más. Se me ha
disparado. Hasta luego.