¡Gracias! Buenas tardes y bienvenidos a la segunda tutoría de la
asignatura Vibraciones y Ondas Parece ser que el sonido de los que estéis
ahora mismo conectados en directo escucháis bien, no hay ningún problema
¿no? Ningún problema de cacharrería podemos seguir ¿verdad? Muy bien
Pues en esta segunda tutoría vamos a abordar la lección de oscilaciones
libres Lo que vamos a ver en esta tutoría es el estudio de la dinámica
del movimiento armónico simple aquellos sistemas modelizables mediante el
movimiento armónico simple desde el punto de vista dinámico y la
resolución de algunos problemas Básicamente la bibliografía para esta
lección es el capítulo 3 del French luego otra buena bibliografía es el
capítulo 21 de Riehlich Ingeniería mecánica volumen 2 aparte de
oscilaciones de las cuales acabo veremos algunos o bastantes de los
problemas de la clase de hoy propuestos en este capítulo del Riehlich y un
libro con más sentido físico sería el Rañada de Dinámica Clásica
Rañada de Dinámica Clásica capítulo 6 Bien, algunos de los objetivos de
la tutoría de hoy es a partir de la resolución de la dinámica de un
sistema físico con un grado de libertad deducir la ecuación diferencial
de un oscilador libre y ver que cumple la ecuación del movimiento
armónico simple saber usar la resolución del oscilador libre en función
de las condiciones iniciales resolver problemas de oscilaciones donde
intervengan muelles horizontales y verticales resolver problemas de
oscilaciones con arreglos de muelles y ligaduras de movimiento determinar
la constante de un resorte equivalente a un conjunto de resortes bien en
serie y bien en paralelo analizar bajo qué condiciones un péndulo simple
se puede modelizar mediante un movimiento armónico simple saber
identificar la dinámica de un sistema físico con un grado de libertad a
partir de la ecuación diferencial del movimiento saber obtener la
ecuación diferencial del movimiento en un sistema físico con un grado de
libertad a partir de la segunda ley de Newton saber obtener la ecuación
diferencial del movimiento en un sistema físico con un grado de libertad a
partir de la conservación de la energía mecánica saber identificar la
frecuencia natural en la dinámica de un sistema físico con un grado de
libertad susceptible de oscilar como un más saber identificar la
posición, velocidad y aceleración de un sistema físico a partir de la
determinación de la ecuación diferencial del movimiento del mismo bien
pues algunos de los objetivos en general el mundo de las vibraciones en
toda la ciencia y en particular en la física es muy muy ubicuo pero
podríamos clasificar las vibraciones en dos grandes subconjuntos aquellas
vibraciones que son positivas y cuyo control nos permite diversas
actividades humanas como podría ser la música podría ser las medidas del
tiempo o podría ser la construcción de microscopios de fuerza atómica y
con ellos explorar la tecnología a la escala del nanómetro podríamos
usar las vibraciones para la tecnología de ultrasonidos y también en
medicina frente a estas vibraciones positivas podríamos hablar de las
vibraciones indeseables cuando el no control de las vibraciones produce
accidentes un ejemplo típico es el puente de Tacoma en 1940 tenéis el
puente de Tacoma aquí una foto de como se parte casi recién inaugurado
unos meses después aparte de que la información la podéis encontrar en
internet os subiré con el material de esta clase un fichero en pdf donde
está incrustado el vídeo más ejemplos de vibraciones indeseables por
supuesto los terremotos aquí tenéis varias catástrofes generadas por
terremotos 1995 Japón 2008 China y desde el punto de vista de la física y
de la ingeniería hay todo un amplio campo que tiene que ver con el control
y aislamiento de vibraciones por ejemplo control de vibraciones en un disco
duro control de las vibraciones en un vehículo o control de las
vibraciones en diversos arreglos y montajes experimentales esto por ejemplo
sería una foto de un laboratorio preparado para aislar vibraciones del
contacto de la sala donde se están haciendo los experimentos con el suelo
bien se escucha bien no hay ningún problema hasta ahora vale cuál es el
marco en el que tenemos que pensar cuando nos centramos en la dinámica del
movimiento armónico simple vamos a partir de un sistema físico con un
grado de libertad y ahora dado ese sistema físico con un grado de libertad
debemos de obtener la ecuación diferencial del movimiento de ese grado de
libertad y conocemos dos formas de obtener esa ecuación diferencial o bien
directamente por la segunda ley de Newton suma de fuerzas igual a la
ecuación o bien estableciendo el principio de la conservación de la
energía mecánica la energía mecánica del sistema su variación es cero
la energía mecánica se mantiene constante bajo ciertas hipótesis y eso
implica la suma de la energía potencial y de la energía cinética en esa
suma nos aparecerá la primera derivada del grado de libertad respecto al
tiempo pues una forma equivalente de obtener la segunda ley de Newton es
coger la ecuación de la conservación de la energía y derivarla respecto
al tiempo de las dos formas de los dos caminos obtendremos una ecuación
diferencial de segundo orden identificar esa ecuación diferencial de
segundo orden lo que se hace es comprobar si esa ecuación diferencial de
segundo-orden corresponde o no a la ecuación del movimiento armónico
simple si esa ecuación diferencial de segundo-orden se corresponde con la
ecuación de un movimiento armónico simple diremos que la dinámica de ese
sistema con un grado de libertad terminada por la dinámica del más, o
movimiento armónico simple. ¿Se entiende el esquema? ¿Alguna pregunta?
Durante la tutoría de hoy haremos ejercicios para obtener la ecuación
diferencial del movimiento por los dos caminos, bien aplicando directamente
la segunda ley de Newton o bien aplicando la conservación de la energía.
¿Alguna pregunta? Seguimos. Bien, ¿llamaremos a un sistema físico con un
grado de libertad? Ah, pues diremos que si el sistema físico sigue la
dinámica de un movimiento armónico simple si se cumple para la ecuación
diferencial del movimiento que la aceleración más una constante, la
frecuencia natural al cuadrado del sistema por la posición en todo
instante de tiempo es igual a cero. Cualquier sistema físico con un grado
de libertad cuya ecuación diferencial sea equivalente a esta será un
sistema físico regido por una dinámica controlada por un movimiento
armónico simple. Y una vez que encontramos la ecuación diferencial la
solución ya la estudiamos, la estudiamos en la tutoría anterior. La
solución será una amplitud constante que sólo depende de la posición y
de la velocidad inicial, eso le llamamos las condiciones iniciales por el
coseno de la frecuencia natural del sistema por el tiempo más un desfasaje
que depende de la posición y la velocidad inicial mediante estas dos
expresiones. Con las que trabajamos en la tutoría anterior. Por lo tanto
desde este punto de vista cualquier problema de oscilaciones libres ¿Cómo
se enfoca? Pues encontrando la ecuación diferencial del movimiento y
comparando si la ecuación diferencial del movimiento para el grado de
libertad cumple esta plantilla. Si cumple esta plantilla ser capaces de
identificar la frecuencia natural al cuadrado y a partir de ahí
inmediatamente la cinemática se va a identificar. Y esta es la lógica que
resolvimos en la lección anterior nos da la solución x de t, mi grado de
libertad, en cualquier instante. ¿Alguna pregunta? ¿Seguimos? ¿Alguna
pregunta? Muy bien. Pues vamos a empezar por el caso más sencillo. Aquí
tenéis una masa M sujeta a un muelle de constante k y cuya longitud
natural cuando no está deformado es L sub cero. Supondremos que el muelle
sigue la aproximación lineal o ley de Hooke donde la fuerza elástica es
menos la constante del muelle por la variación de la posición.
Distinguiremos de la situación no deformada dos situaciones cuando el
muelle está comprimido y cuando el muelle está extendido. En la
situación comprimido comprimes el muelle inicialmente a una longitud x, la
longitud que te queda en x, el muelle es L cero menos x y a partir de los
cero menos x lo dejas oscilar. Es importante no confundir la condición
inicial con la condición de oscilación. La condición inicial es que el
muelle inicialmente está comprimido y la longitud del muelle es L cero
menos x y la condición dinámica es que el muelle está oscilando a partir
de la posición de equilibrio. Cuando el muelle está extendido pues la
longitud inicial es L cero más x lo dejas oscilar con el tiempo,
situación dinámica. ¿Cómo aplicamos las leyes de Newton a este
problema? Pues consideremos un instante inicial cuando la masa m sujeta al
muelle se ha desplazado una cantidad x en el tiempo t. Pues la masa m se ha
desplazado en ese instante de tiempo x de t y aplicamos la segunda ley de
Newton suma de fuerzas igual a masa por aceleración. Las fuerzas
verticales son la normal menos el peso igual a cero en el eje de las is,
este es el sistema de referencia que estoy tomando en el eje vertical no
hay aceleración en el eje horizontal estamos considerando que no hay
fuerza de rozamiento con el plano por lo tanto la única fuerza que están
son la recuperadora de la ley de Hooke menos kx igual a masa por
aceleración. La aceleración se puede escribir como la derivada segunda
del grado de libertad x de t la ecuación nos queda m por aceleración más
kx igual a cero dividiendo por la masa nos queda x dos puntos aceleración
más k por m por x igual a cero que es justo una ecuación que sigue la
plantilla aceleración más constante por posición igual a cero por lo
tanto la dinámica de este movimiento viene regida por un más. Es decir,
la plantilla que tenemos es aceleración más frecuencia natural al
cuadrado igual a cero y en este problema hemos obtenido aceleración más k
partido m por x igual a cero luego la frecuencia natural de mi sistema al
cuadrado será omega cero cuadrado igual a k partido por m. Una vez que
hemos identificado para el problema quién es la frecuencia natural al
cuadrado la frecuencia natural es k partido por m raíz cuadrada y el
periodo es dos pi partido omega cero como vimos en la lección anterior.
Una vez que tenemos el periodo usando los resultados de la tutoria anterior
la x vendría fijada por las condiciones iniciales y en este problema no la
diera. ¿Alguna pregunta? Y en casi cualquier otro problema vamos a razonar
de la misma manera. ¿Preguntas hasta ahora? ¿Todo bien? Vale, pues
seguimos. El siguiente sistema con el que vamos a trabajar es el péndulo
ideal. El péndulo ideal lo vamos a considerar como una pequeña bolita de
masa m voy a considerar toda la masa como una masa puntual aquí tenemos la
masa puntual la masa está cogida por un hilo ideal inextensible donde la
longitud siempre va a ser constante. Inicialmente se separa un ángulo
tecta de su posición de equilibrio y se deja el péndulo oscilar. Estamos
bajo la acción de la gravedad. Bien. ¿Cómo aplicamos la segunda línea
de Newton a este problema? Suma de fuerzas igual a masa por aceleración.
Las fuerzas que actúan sobre la masa m como sobre cualquier partícula son
las de campo en este caso solamente existe el campo gravitatorio vertical y
hacia abajo, Mg estamos despreciando cualquier componente de la gravedad
que no sea la componente radial y la otra tipo de fuerza si no son de campo
son de contacto pues aquí lo que tenemos es un hilo en contacto con la
masa m la fuerza que aparece de contacto es la tensión luego solo hay dos
fuerzas que actúan sobre la masa m tensión y peso pues aquí tenemos la
tensión y aquí tenemos el peso. Pues ahora para escribir suma de fuerzas
igual a masa por aceleración escogemos un sistema de referencia el plano
de la oscilación en el plano xy perpendicular al plano de la transparencia
z y tomamos el origen en x igual a cero. Aquí tenemos x igual a cero y nos
hemos desplazado un ángulo tecta esta es la cantidad x y esta será la
cantidad y las coordenadas xy de la masa m Pues bien, en este sistema de
referencia el peso ya es una componente vertical la tensión la
descomponemos en la componente t seno y la componente t coseno En este
sistema de referencia con esta geometría descomponemos las fuerzas y
escribimos suma de fuerzas igual a masa por aceleración El resultado lo
tenéis aquí Resultante total del sistema tensión más peso vectorial en
el eje de las x nos queda masa por aceleración igual a menos t seno de
tecta masa por aceleración en el eje de las x T coseno de tecta menos mg
¿Todo el mundo ve estas ecuaciones? ¿Algún problema en las componentes
cartesianas de la dinámica? ¿Algún problema? Muy bien Pues ahora vamos a
usar la aproximación lineal del problema Vamos a considerar que tenemos
ángulos pequeños En esa aproximación el seno del ángulo es tecta y el
coseno del ángulo es 1 Sería decirlo de otra manera en el desarrollo de
Taylor del seno y coseno a primer orden el seno es el ángulo y el coseno
es 1 Con lo cual estas ecuaciones se transforman en tecta para el seno de
tecta y 1 para el coseno de tecta Pues ahora sobre la dinámica que nos han
quedado estas ecuaciones vamos a considerar que lo que tenemos es un
sistema con un grado de libertad Daros cuenta que la partícula de masa m
tiene 2 coordenadas pero los grados de libertad son 1 Recordar que el grado
de libertad de un problema en física es el número de coordenadas menos el
número de ligaduras 2 coordenadas menos 1 y la ligadura que es la longitud
constante del péndulo 2 menos 1 es 1 resulta que este sistema tiene un
solo grado de libertad que puede ser la coordenada x o la tecta En
términos de geometría el seno nos queda x partido por L, coseno nos queda
y partido por L por lo tanto L es x es L seno de tecta y es L coseno de
tecta pero seno de tecta se aproxima a tecta y coseno de tecta se aproxima
a 1 con lo cual nos aparece la ligadura la que he dicho antes L constante
Pues bien introduciendo que el seno de tecta es tecta y que coseno de tecta
es 1 las ecuaciones que me quedan son masa por componente x de la
aceleración igual a menos mg por tecta pero tecta es x partido por L y de
la componente y la tensión es el peso aproximadamente el peso con lo cual
combinando estas dos ecuaciones lo que me queda es que la aceleración más
g partido por L por x es igual a 0 si quisiera usar en vez de la
separación x quisiera usar el grado de libertad tecta pues la relación
entre ellos es clara simplemente cambiando x por tecta aceleración
entonces sería aceleración angular más g partido por L por ángulo igual
a 0 en ambos casos tanto en x como en tecta las ecuaciones diferenciales
encontradas se ajustan a la plantilla del movimiento armónico simple donde
la frecuencia natural al cuadrado es g partido por L la frecuencia natural
es raíz de g partido por L el periodo es 2pi por la raíz de L partido por
G esta sería la posición en cualquier instante de tiempo y estas las
condiciones iniciales si en este problema no las hubieran dado ¿alguna
pregunta? ¿preguntas? ¿todo bien hasta ahora? ¿seguimos? muy bien vamos
a ver un ejemplo pregunta J Herrera si el ángulo es mayor si no puedes
aproximar el seno por el ángulo no es un más la conclusión es que no
sería un movimiento armónico simple el sistema no oscilaría como un más
¿de acuerdo J Herrera? muy bien en la pregunta que ha hecho J Herrera es
interesante hay tres grandes paradigmas en la física del siglo XX recordar
que uno es la relatividad tanto la especial como la general la relatividad
de Einstein el segundo paradigma es la mecánica cuántica y el tercer
paradigma redescubierto a finales del siglo XX en los años 70 es los
sistemas físicos o la dinámica de los sistemas no lineales resulta que
muchísima física y muy rica aparece justo cuando no linealizas el sistema
en particular hay toda una dinámica caótica asociada a los péndulos
cuando los péndulos no se linealizan ¿hasta qué ángulo se puede
considerar un más? la pregunta aterriza dependería en el mundo real
dependería de tu grado de precisión en un experimento dado la pregunta no
se puede contestar que yo conozca de una manera teórica sino depende del
ámbito experimental en el que vas a trabajar más o menos pues a lo mejor
pongamos matemáticamente que el seno de tecta sea tecta pues ponte del
orden de radianes pongamos 10 radianes eso matemáticamente, luego en la
práctica pues depende del grado de precisión siempre puedes decir que el
seno de tecta es tecta y calcular el error que cometes al hacer eso en tu
experimento concreto ¿seguimos? bien es importante que en la lección 3
del FRENCH veáis una serie de ejemplos voy a trabajar con 2 o 3 de los del
FRENCH donde sistemas físicos muy diferentes son modelizables mediante un
movimiento armónico simple uno del ejemplo son las oscilaciones elásticas
imaginaros que aquí tenemos una barra sólida podría ser un alambre algo
con una dimensión muy grande y las otras dos dimensiones pequeñas
supongamos que tiene simetría cilíndrica por lo tanto la sección A de
esa barra es constante y que tiene una longitud L constante ahora tiras con
un peso hacia abajo mediante una fuerza F y la barra que tenía una
longitud L pasa a tener una longitud L más X en términos de elasticidad
lo que se dice es que has generado una tensión partido una deformación
constante en ese límite de la ley de Hooke para cuerpos elásticos la
tensión que vale la fuerza partido la superficie es decir la presión
partido la deformación que es X lo que has estirado frente a lo que
tenías sin estirar esa tensión partido deformación en el límite lineal
se llama módulo de Young se suele representar por la letra Y mayúscula de
manera que la fuerza elástica que estás aplicando será menos una fuerza
restauradora como la fuerza de Hooke la sección partido la longitud por lo
que has estirado multiplicado por el coeficiente que es el módulo de Young
entonces en qué consiste consiste en que veas toda la barra vamos a
ponerla finita como un cuerpo elástico que se puede deformar mediante una
ley parecida a la ley de Hooke donde F la fuerza restauradora viene dada
por esta expresión si ahora colocamos una masa M deformamos y hacemos
oscilar igual que hacíamos con un muelle vertical pregunta y leo el área
es constante es la dimensión longitudinal correcto muy buena preguntaba si
el área varía no, el área es constante solo varía la longitud seguimos
bien entonces cómo abordar este tipo de oscilaciones aunque veáis toda la
transparencia llena lamento que los efectos la diapositiva del powerpoint
se podría pasar a flash veríais los eventos uno por uno digo eventos van
apareciendo las ecuaciones o la pantalla en blanco pero la aplicación de
la UNED no permite ejecutar flash entonces hay que verlo todo en estático
porque si no se hace muy grande la transparencia bien, pues en equilibrio
pensar que no he escrito nada voy a considerar el problema en el equilibrio
tengo la barra elástica la masa M y todo quieto parado las ecuaciones son
F-Mg igual a 0 donde la fuerza elástica es igual a M por G y la fuerza
elástica valdrá A por I por L XE que es la longitud que se ha deformado
en equilibrio se entiende tenemos la barra quieta le pones la masa M se
estira un poquito o muy poquito ese poquito que se estira es XE de acuerdo
de forma que se cumple esta relación eso sería resolver el problema
estático y ahora pasamos al problema dinámico sobre la cantidad
imagínate que has medido que esto es XE comienza a oscilar que ocurre
ahora que tiene la segunda ley de Newton la fuerza restauradora menos Mg es
la masa por la aceleración escribimos la aceleración como X dos puntos
pensar que aunque le llamo X quizá hubiera sido mejor llamarle I estoy
llamando X a esta variable a subir y a bajar respecto a la posición de
equilibrio quizá hubiera sido mejor llamarle I bueno, pero ahora veréis
ahora dicen que no se me escucha antes me decían que no había problema
¿me escucháis los demás? ¿me escucháis? hola debe ser un problema de
tu micrófono porque todos los demás me escuchan seguimos bien, pues
entonces decía que tenemos la segunda ley de Newton donde pone
aceleración ponemos X dos puntos la fuerza vale esta cantidad a partir de
su definición más G igual a cero mirad esta ecuación voy a borrar un
momentito para resaltarla a ver si la podemos poner aquí encuadrada un
segundito ¿es esta la ecuación de un más? os pregunto ¿cómo hay que
leer esa ecuación? aceleración más constante por posición en todo
instante de tiempo más G igual a cero ¿es la ecuación de un más? la
contestación... ¿qué significa un más amortiguado? en principio no la
ecuación de un más sería aceleración más constante por X igual a cero
es la plantilla que tenemos porque aquí tenemos un término que hace que
en principio no sea amortiguado nuestra plantilla por definición es
aceleración más constante por X igual a cero la cuestión es que en
principio si obtenemos una ecuación que no es el más como es en este caso
nos tenemos que hacer la pregunta bueno, ¿puedo convertirla en un más? a
veces será sí, a veces no la contestación aquí es que sí si hacemos el
cambio de variable que tenéis aquí X X igual a la variable Y menos X es
decir X igual a Y menos la X que saco del equilibrio podéis comprobar que
al sustituir este cambio de variable en esta ecuación sí que se obtiene
un más ok, de acuerdo y esta sí que es la ecuación de un más en la
variable Y aceleración más constante por Y igual a cero ¿estáis de
acuerdo? ¿alguna pregunta? ¿se entiende? siempre que obtengamos por
dinámica la ecuación diferencial del movimiento como es este caso la
pregunta que nos tenemos que hacer es un más y ser un más significa que
la plantilla de la ecuación diferencial sea que la aceleración del grado
de libertad más la constante por la posición en cada instante de tiempo
sea cero aquí no lo es siguiente pregunta ¿puedo convertirla en un más?
pues aquí reescalando con la posición de equilibrio obtenemos un más
¿de acuerdo? ¿se entiende? pues bien resulta que si despejamos o sea, si
trabajamos aquí con A por Y A por Y por L por M con la condición que
teníamos en el equilibrio podéis simplificar el más a esta ecuación
más sencillita la dinámica para las oscilaciones elásticas son del tipo
aceleración en la variable Y más G por partido la posición de equilibrio
donde la posición de equilibrio viene dada aquí por Y igual a cero luego
la frecuencia natural al cuadrado de este sistema será esta cantidad ¿de
acuerdo? ¿alguna pregunta? bien mirad aquí que os lo he puesto ¿cuándo
la tensión partido de la deformación se puede considerar constante? pues
cuando la deformación la aproximación lineal sea menor que un 0,1% de la
longitud cuando la deformación la X sea menor que un 0,1% de la longitud
bueno la deformación era X partido por L cuando X partido por L sea menor
que un 0,1% de la longitud total seguimos bien, pues entonces hemos
identificado que mi ecuación diferencial de movimiento es esta al
sustituir aquí la X de equilibrio la puedo escribir de una forma más
sencilla donde la frecuencia natural al cuadrado vale esto, esta es la
frecuencia y este es el periodo pues ya lo tengo todo la solución del más
sería la de la cinemática con las condiciones iniciales y me la dieran en
el problema ¿alguna pregunta? muy bien pues seguimos bien, en el problema
el primer problema sería este problema 2.1 se cuelga una masa de 3 kilos
de un alambre de cobre y se deja oscilar libremente en la dirección
vertical ¿cuál es la frecuencia en hercios aproximada de oscilación? la
longitud del alambre es 36 cm y su superficie es un área de 2 su sección
2 por 10 a la menos 7 metros al cuadrado bien, pues tenemos oscilaciones
elásticas como las que acabamos de estudiar y hemos visto que este sistema
físico es equivalente a éste, es equivalente a un más donde la masa M es
la misma que cuelgo y donde la constante del muelle equivalente sería la
sección por el módulo de Young del cobre que tendré que ir a unas tablas
a buscarlo dividido por la longitud por lo tanto éste es ésta es mi
ecuación diferencial del movimiento y antes hemos visto que éste es el
periodo pues es sustituir la masa 3 kilos la longitud 36 cm en metros la
sección 2 por 10 a la menos 7 metros al cuadrado y el módulo de Young 11
por 10 elevado a 10 Newton partido metro al cuadrado esto me da un periodo
si no me he equivocado de 0,044 segundos y la nu en hercios es directamente
la inversa del periodo recordar que hay que diferenciar entre la frecuencia
en hercios y la frecuencia angular que es en radianes partido segundo
¿alguna pregunta? aplicación directa de la teoría que acabamos de ver
antes ¿alguna pregunta? muy bien pues seguimos el problema 2 tiene que ver
con otro sistema físico diferente a un sistema mecánico o a un sistema
mecánico elástico como acabamos de ver que es un problema de oscilaciones
en fluidos el problema dice sea un tubo en U aquí tenéis un tubo en U
aquí tenemos presión atmosférica y aquí hay un fluido un líquido con
una cierta densidad un tubo en U abierto por ambos extremos en contacto con
la atmósfera está lleno de un fluido incompresible de densidad Rho se lo
va a mantener siempre constante el área de la sección transversal del
tubo es A constante la longitud total de la columna de líquido aquí la
tenéis es L ahora inicialmente se utiliza un pistón para presionar la
altura de la columna del fluido en una longitud X0 esa sería la condición
inicial inicialmente metes un pistón y desplazas X0 a continuación
eliminas el pistón y en este lado por encima del nivel tendrás
oscilaciones la pregunta es cuál es la frecuencia del movimiento
resultante comprobar si son o no esas oscilaciones un movimiento armónico
simple se supone que no hay rozamiento no hay rozamiento en las paredes del
tubo y el flujo es laminar lejos de cualquier fenómeno con turbulencia
bien pues esto es antes antes de meter el pistón y después de meter el
pistón voy a hacer una foto justo cuando esta columna ha subido una
cantidad X respecto a la posición de equilibrio bien pues ¿cómo voy a
obtener la ecuación del movimiento? si recordáis cómo empezó la
tutoría dije que algunas veces obtendríamos la ecuación diferencial del
movimiento a partir de las leyes de Newton y en algunos otros casos es
conveniente plantear la conservación de la energía mecánica y derivar
para obtener la ecuación del movimiento pues en este caso vamos a hacerlo
a partir de la conservación de la energía mecánica derivando voy a
considerar que en este problema la energía mecánica es constante
¿cuánto valdrá la energía mecánica? la energía mecánica valdrá la
energía cinética más la energía potencial del fluido tomaremos este
nivel de energía potencial cero por lo tanto en el instante en que la
columna que tenéis puesto aquí en rojo aquí en rojo en el instante en
que esa columna ha subido una cantidad x esta x habrá una masa desplazada
de fluido en esa columna incremento de m pues bien la energía potencial
será el incremento de m por g por la cantidad x que ha ascendido ese
incremento de masa será ro por la sección por x pensar que el volumen es
a por x el incremento de masa es ro por a por g por x luego nos queda que
la energía potencial es ro por a por g por x al cuadrado todo el mundo de
acuerdo en el cómputo de la energía potencial y ahora la energía
cinética la energía cinética es la velocidad del fluido pero se mueve
todo el fluido que está en longitud l por lo tanto la energía cinética
será un medio de la masa que es ro por el volumen que es a por l por todo
el l por la velocidad al cuadrado del fluido la velocidad la voy a asociar
a la velocidad de la columna x esa velocidad es v sub x que será la
derivada de x respecto de t por lo tanto esta v realmente es v sub x pues
bien esta es la ecuación de conservación de la energía mecánica lo que
hacemos ahora es derivarla derivamos respecto al tiempo si la energía
mecánica es constante por la izquierda me aparece el 0 derivada de la
energía mecánica respecto al tiempo es 0 y a la derecha me quedará ro
por a por l por v por la derivada de v respecto de t ya digo que esta v es
lo mismo que poner v sub x más dos veces ro por a la derivada de la
energía potencial que es x por diferencial de x pensar que aquí hay un 2
nos aparece x por diferencial de x pues agrupamos el valor común si esta
ecuación es 0 es porque esta cantidad es 0 si esta cantidad es 0 es porque
esta ecuación se satisface dividiendo por l lo que nos queda es que x dos
puntos más 2l más 2g partido l por x es 0 pregunta es esta ecuación
diferencial para el movimiento del fluido del incremento de m de fluido una
ecuación diferencial que siga el patrón del más contestación si es de
la forma aceleración más una constante que será v doble cero al cuadrado
por x igual a 0 donde para este problema la frecuencia natural del sistema
es la raíz de 2g partido por l todo el mundo de acuerdo preguntas muy bien
pues seguimos por lo tanto parece que aquí se me ha saltado una
transparencia bueno pues no lo he puesto pero el periodo que sería dos pi
por partido v doble cero al cuadrado que sería la raíz de l partido 2 por
g estáis de acuerdo preguntas seguimos no muy bien bien el siguiente
ejemplo en el que vamos a centrar nuestra atención es en las oscilaciones
de un péndulo físico en la aproximación lineal si recordáis la física
de primero un péndulo físico es cualquier sólido aquí tenéis un
sólido aquí hay volúmenes esto es un sólido donde en algún punto del
sólido tenemos un pivote de forma que el sólido puede girar respecto a un
eje perpendicular a este corte que he puesto del sólido que pase por el
pivote la oscilación viene medida por un ángulo aquí llamado tecta y el
sólido tendrá un centro de masas al que llamo g y una distancia b
longitud del centro de masas al pivote en el centro de masas del sólido se
aplica el peso muy bien pues como se obtiene la ecuación diferencial de la
dinámica de este sólido bajo esta oscilación se calcula el momento de la
fuerza aquí ha sido una desgracia de nomenclatura respecto al punto p
pivote esta p significa punto del espacio pivote y esta p minúscula vector
significa peso ese momento es el vector que empieza en p acaba en g
multiplicado vectorialmente por p tomando el módulo del producto vectorial
aquí os queda si este ángulo es tecta os queda menos seno b m por g en la
dirección k donde el sistema de referencia que estoy tomando plano de
oscilación x y perpendicular z todo el mundo entiende esta expresión hay
algún problema de saber la ecuación de la dinámica momento del peso
igual me falta poner al momento de inercia por la aceleración angular
nadie tiene problemas en el cálculo consistirá en que el momento
calculado del peso será igual al momento de inercia respecto de un eje
paralelo a z y que pase por p multiplicado por la aceleración angular del
sistema la aceleración angular del sistema es la derivada segunda respecto
al tiempo del ángulo lo que me queda por hacer es considerar el caso
lineal donde seno de tecta es aproximadamente tecta y la aceleración
angular la puedo representar por un vector axial que es la segunda derivada
del ángulo respecto al tiempo la derivada segunda del ángulo tecta
respecto al tiempo al cuadrado con lo cual nos queda menos tecta el menos
significa momento recuperador menos tecta bmg igual a momento de inercia
por aceleración angular ¿es esto un más? contestación si porque me
queda una constante que tendré que identificar en cada problema por tecta
igual a cero esto es un más porque sigue esta plantilla por lo tanto la
frecuencia natural es lo que multiplica la posición la frecuencia natural
al cuadrado bmg partido del momento de inercia esta será la frecuencia
natural como la raíz cuadrada y este el periodo ¿alguna pregunta? y ahora
lo que vamos a hacer es algunos problemas donde calcular el momento y
periodo periodo y frecuencia natural de diversos péndulos físicos
¿alguna pregunta? J. Herrera me pregunta si el módulo es esto pero he
puesto también el vector menos k ok J. Herrera he usado la expresión del
módulo del producto vectorial y luego calculo la dirección del producto
vectorio resultante ¿ok? ¿se entiende alguna pregunta? bien pues ahora
vamos a hacer un problema el problema 3 que dice calcular el tipo de
oscilación y el periodo de oscilación en su caso de los siguientes
péndulos físicos en el caso A tenemos una regla este es el caso A tenemos
una regla de masa m y longitud l la regla es homogénea está toda hecha de
madera, de cobre de lo que sea, homogénea ahora tenemos un anillo en el
caso B un anillo de masa m y radio r el anillo también es homogéneo y
ahora un disco sólido de masa m y radio r también homogéneo y la
pregunta es calcular el tipo de oscilación y el periodo de oscilación de
los siguientes tres péndulos físicos pues bien la regla está acogida el
pivote está aquí y en los casos del anillo y del disco el punto B indica
la sujeción del pivote respecto a la cual va a oscilar o candidata a
oscilar el anillo y el disco bien pues como tenemos una ecuación para
todos los casos que es esta esta es la ecuación que acabamos de deducir
para cualquier péndulo físico en este sistema de referencia pues ya puedo
decir que en los tres casos en la aproximación lineal seno de tecta igual
a tecta los tres sólidos barra anillo y disco van a oscilar como un
movimiento armónico simple en la aproximación lineal porque cumplen esta
ecuación y ahora tendré que identificar en cada uno de los casos quién
es B y quién es el momento de inercia ¿estáis de acuerdo en esta forma
de abordar el problema? de forma que cualquiera de estos tres casos es un
caso del caso general de un péndulo físico ¿se entiende? la regla
¿quién es B? B va a ser siempre la distancia entre el centro de masas y
el pivote si la regla tiene longitud L mayúscula la B de este problema es
L medios ¿y quién es el momento de inercia? el momento de inercia para
este problema es el momento de inercia de una varilla de longitud L y masa
conocida que pasa por el centro de masas más pasa por la distancia al
cuadrado entre ejes la distancia entre B y P es justo B que es L medios al
cuadrado ¿alguna pregunta? ¿todos veis aquí el teorema de Steiner? ok,
pues nos quedará 1 doceavo de ML cuadrado momento de inercia de varilla
respecto al centro de masas más M por L mayúscula al cuadrado partido por
4 nos queda aquí 1 tercio de ML cuadrado pues ¿qué es lo que hay que
hacer? donde tenemos la B sustituir L medios donde tenemos el momento de
inercia 1 tercio de ML cuadrado eso me da a mi aceleración angular más 3
medios de GL por tecta igual a 0 por lo tanto esta es la frecuencia natural
del mas al cuadrado, esta es la frecuencia quitando el cuadrado raíz de 3G
partido 2L y este es el periodo para el sólido siendo una barra
¿seguimos? muy bien pues vamos a ver para el anillo para el anillo está
claro que B coincide con R ¿cuál es el momento de inercia del anillo
respecto a un eje paralelo a Z y que pase por el punto P? por este punto
pues será el momento otra vez el teorema de Steiner momento de inercia
respecto a un eje que pase por el centro de masas que es G más la masa por
la distancia al cuadrado que ahora es R cuadrado el momento de inercia de
un anillo es MR cuadrado más M por la distancia al cuadrado es MR cuadrado
me queda 2MR cuadrado luego en este problema el momento de inercia es 2MR
cuadrado y B es R sustituyes y obtienes esta ecuación que es la ecuación
del movimiento armónico simple para las oscilaciones de un anillo
homogéneo la frecuencia natural al cuadrado viene dada por esta expresión
que podéis deducir claro de la ecuación directamente y la frecuencia
natural es la raíz cuadrada de la frecuencia al cuadrado y este es el
periodo ¿alguna pregunta se entiende? ¿todos veis Steiner? muy bien pues
seguimos ahora para el disco para el disco tenemos que la distancia entre
el centro de masas y el pivote por el que pasa el eje es B que coincide con
el radio del disco B va a ser igual a R igual que en el anillo y el momento
de inercia respecto de un eje del disco que pase por P y se paralela al eje
Z es el momento de inercia respecto al centro de masas más M por la
distancia al cuadrado que es MR cuadrado pero ahora el momento de inercia
de un disco sólido es un medio de MR cuadrado respecto al centro de masas
más MR cuadrado tres medios de MR cuadrado procedemos de igual manera y el
periodo de la oscilación de un disco respecto a un punto P cualquiera de
su periferia será 3R partido de 2G raíz cuadrada multiplicado por 2C
¿alguna pregunta? ¿preguntas? muy bien seguimos aquí una transparencia
donde podemos comparar lo que hemos obtenido que es el caso de la regla el
caso del anillo y el caso del disco a partir de la ecuación de un mas
linealizada seno de tecta aproximadamente igual a tecta péndulo físico
para cualquier sólido que haga oscilaciones en un plano respecto a un
pivote podemos comparar la regla, el anillo y el disco digo con el péndulo
simple el periodo del péndulo era esto pues aquí tenéis se podría sacar
los cocientes el periodo de la regla el periodo del anillo y el periodo del
disco ¿de acuerdo? los periodos que son periodos de oscilación en
sólidos con la dinámica del periodo de oscilación de un mas en la
aproximación lineal para un péndulo ideal donde lo que tenemos es una
partícula de masa m no un sólido ¿alguna pregunta? seguimos en el
siguiente problema problema 4 vamos a obtener la ecuación del movimiento
para la masa m que es una masa m suspendida por un muelle vertical de
constante k conocida debería ponerlo aquí en el enunciado la constante k
es conocida igual que la masa obtener la ecuación del movimiento para la
masa m la pregunta es ¿oscila? b en su caso obtener la frecuencia y el
periodo y c dice aterrizar lo curioso es que sale igual si es curioso,
aterriza es cierto el anillo que el péndulo vamos a ponerlo hacia atrás
aquí tenéis el anillo el péndulo es l partido por g y el anillo es 2r
partido por g la l del péndulo es el 2r del anillo seguimos bien pues
aquí tenemos un muelle vertical y se trata de contestar a estas preguntas
primero obtener la ecuación del movimiento luego preguntarnos ¿oscila? y
si oscila ¿cómo? y en su caso obtener frecuencia y periodo si es común
más y determinar la posición en todo instante del tiempo bueno pues aquí
imaginaros que la transparencia la tenéis en blanco aunque sé que es
difícil imaginárselo pero imaginarlo e ir trabajando primero la
condición de equilibrio y luego la dinámica esto requiere una
explicación propongo como un método para resolver los problemas de
oscilaciones para cualquier sistema físico primero trabajar la condición
de equilibrio veréis que siempre la condición de equilibrio nos introduce
lo que llamaré una ligadura estática luego resolvemos la dinámica y
dentro de la dinámica nos vuelve a aparecer la ligadura estática del caso
estático que hace que un término de la ecuación de la dinámica sea cero
y nos deja transparente si es un más o no vamos a ver lo que quiero decir
si empiezo a trabajar con el equilibrio ¿qué es lo que tengo? tengo el
muelle le coloco la masa M entonces el muelle se habrá estirado y se queda
quieto una cantidad la que llamaré delta DE observar que intento no usar
ni X ni Y para guardar las letras X e Y como variables dinámicas y las
deltas como deformaciones X e Y siempre se harán en los apuntes si no me
he equivocado la X o la Y serán las posiciones de las masas y las deltas
las deformaciones de los muelles delta SUE es lo que se deforma el muelle
cuando coloco una masa M se queda en equilibrio luego si está en
equilibrio ¿qué te dice la segunda ley de Newton? que la fuerza elástica
menos Mg es igual a cero pero ¿cuánto vale la fuerza elástica? la ley de
Hooke K por la deformación en equilibrio luego la ecuación que te queda
estática es K por delta E menos Mg igual a cero a eso le llamo L.E
ligadura estática del problema una vez que he descubierto la ligadura
estática del problema planteo el problema de la dinámica ¿cómo es el
problema de la dinámica? respecto a la condición de equilibrio aquí
estoy haciendo una línea horizontal perturbo el sistema y el sistema
comenzará a oscilar y ahora me quedo y hago una foto justo cuando la masa
está a una cantidad Y de T la letra Y significa posición de la partícula
que podría estar por abajo o por arriba el resultado del problema no
depende de cuando hagas la foto yo voy a hacer la foto por abajo repetir
este problema cuando la masa M está por arriba por lo tanto en el instante
T de la foto la masa M está en la posición Y de T por debajo de la
posición de equilibrio pero ahora el muelle que antes estaba estirado
delta E ahora estará estirado en una longitud más grande esa longitud
más grande le llamo delta de T delta de T es la longitud que se ha
estirado el muelle en el instante T bien, ¿cómo es la dinámica? la
dinámica es haces un diagrama de sólido libre y la aceleración va hacia
abajo la Y va hacia abajo y dos puntos por lo tanto tu segunda ley de
Newton es F menos Mg igual a menos masa por aceleración porque en ese
instante de la foto la aceleración va para abajo ¿cuánto vale F ? F vale
la constante K por lo que estaba deformado el muelle en ese instante
¿cuánto está deformado el muelle en ese instante? lo que estaba en
equilibrio más lo que se ha estirado pero lo que se ha estirado coincide
con lo que ha variado la partícula por lo tanto será delta de E más Y de
T por K menos Mg igual a menos masa por aceleración reagrupa el factor
común y te queda masa por aceleración más K delta de E menos Mg pero
date cuenta ¿cuánto vale K por E menos Mg? esta es la ligadura del
equilibrio que siempre se cuela y como decía antes en la ecuación de la
dinámica de forma que este término es cero y lo que os queda es
aceleración más K por M por Y igual a cero el método que vamos a emplear
siempre primero resolveremos el equilibrio nos queda una ligadura estática
que aparece en la dinámica y borra algún término de la ecuación de la
dinámica ¿preguntas? ¿seguimos? muy bien pues lo que hemos obtenido es
que este sistema la pregunta era oscila el sistema contestación sí, el
sistema oscila ¿por qué oscila el sistema? porque su ecuación
diferencial del movimiento en la variable Y es un movimiento armónico
simple cuya frecuencia natural al cuadrado vale esto por lo tanto oscila y
además oscila como un movimiento armónico simple por supuesto
despreciando el rozamiento con el aire y la posición en todo instante de
tiempo vendría dada por la cinemática del masa con estas condiciones
iniciales si no las diera en el problema ¿alguna pregunta? seguimos vamos
a ver ahora que en general si tenemos dos resortes dos muelles conectados
en paralelo a una masa y en general N resortes N resortes dos resortes o N
resortes en paralelo son equivalentes a un solo muelle de constante
equivalente la suma de todos los muelles eso es lo que vamos a intentar
demostrar bien, pues esto es ecuaciones de la dinámica consideramos que
tenemos una masa M y dos muelles deformamos los muelles de forma que en un
instante dado la masa estará oscilando hacia la izquierda o hacia la
derecha hacia la derecha, en otro instante hacia la izquierda hacemos una
foto justo en el instante donde se ha desplazado X desde hacia la derecha
las fuerzas que actúan sobre la masa M las tenemos aquí hacemos el
diagrama de sólido libre y lo que me queda es la masa M fuerza vertical la
normal fuerza vertical hacia abajo el peso estoy considerando que la masa M
no pierde energía, no tiene rozamiento con el plano inclinado y las
fuerzas de contacto son las fuerzas que hacen los dos muelles F y F sobre
la masa M aquí estoy aplicando la tercera de Newton ley de acción y
reacción por lo tanto las ecuaciones que me quedan son para este diagrama
de sólido libre me queda menos K1X menos K2X igual a masa por aceleración
luego reagrupas esto y te queda aceleración más K1 más K2 partido por M
por X igual a cero pero si yo renombro a K1 más K2 lo renombro
idénticamente igual a K por E pues lo que tengo es K por E pues he
demostrado para dos lo que quería para hacerlo formalmente bien se
debería hacer por inducción os lo dejo a vosotros demostrar que se cumple
para N-1 suponer que se cumple para N-1 y demostrar que se cumple para N-1
¿alguna pregunta? seguimos luego si tienes una serie de muelles en
paralelo pues tu lo sustituirás por un solo muelle equivalente a la suma
de todos el efecto es el mismo si los muelles están si eso lo veremos
entiendo J Soto que te refieres a algún problema que haremos un sistema
con pared fija, muelle a la izquierda masa muelle a la derecha y pared fija
te refieres a ese sistema J Soto si, ahora lo veremos y con una
disposición un poquito geométrica un poquito más complicada el siguiente
caso es muelles en serie dos muelles en serie en general problema 6 pues se
trata de demostrar que los muelles en serie van como 1 partido una
constante equivalente igual a la suma de 1 partido por k sub i si los
muelles en paralelo y en serie se comportan como estamos diciendo con que
elemento de la electroestática se asocia un muelle en un circuito
electroestático por así decirlo quien hace el papel de un muelle
mecánico Fernando dice las resistencias, no las resistencias en serie se
suman no va como 1 partido el equivalente que elemento electroestático
exactamente Casanova, el condensador de hecho la analogía va mucho más
allá que en esta equivalencia serie paralelo en términos energéticos es
lo mismo un muelle es un condensador mecánico o un condensador es un
muelle mecánico quiero decir que el papel que hace el condensador en
electroestática es el equivalente que hace en mecánica un muelle, que es
almacenar la energía, el inductor no el inductor de la reducción ya he
leído el papel que hace es el de la masa un inductor una bobina hace el
papel de la masa en un circuito RLC si quieres obtener su equivalente
mecánico seguimos pero en términos de condensador y muelle el condensador
almacena energía electroestática igual que el muelle almacena energía
mecánica y lo puede devolver al circuito mecánico entre comillas bien,
pues vamos a intentar demostrar esta equivalencia tenemos dos muelles en
serie y ahora en un cierto instante dado de tiempo se ha separado la masa M
de su posición de equilibrio y la masa M comenzará a oscilar hago una
foto cuando estoy a la derecha justo cuando estoy en x de t a la derecha de
la posición de equilibrio hago la foto de la dinámica ¿qué fuerzas
actúan? pues voy a hacer los diagramas de sólido libre voy a hacer el
diagrama de sólido libre del primer muelle el diagrama de sólido libre
del segundo muelle y el diagrama de sólido libre de la masa ¿qué es lo
que sé? yo sé que x de t que es la posición de la masa M en el instante
de t tendrá que ser necesariamente por geometría lo que se ha deformado
el muelle 1 en ese instante más lo que se ha deformado el muelle 2 en ese
instante en este problema hay una ligadura entre la posición de la masa y
las deformaciones de los muelles es muy importante que en cada problema
diferenciéis la posición de la masa o masas del sistema con las
deformaciones en ese instante de los muelles ¿estáis de acuerdo que x es
delta 1 más delta 2? en el eje vertical para este diagrama de sólido
libre la normal menos el peso 0 y en el eje de las x ¿qué te queda? la
fuerza k2 en sentido hacia la izquierda fk2 igual a masa por aceleración
esta es toda la información que hemos sacado para la masa M y ahora me voy
al diagrama de sólido libre del muelle 2 ¿y qué obtengo? que por la
derecha esta fuerza F2 es la misma que por ésta y por la izquierda esta
fuerza F1 es la misma que ésta ¿qué me quedará al aplicar la segunda
ley de Newton al muelle 2? pues me quedará fk2 menos fk1 es 0 ¿alguien me
puede decir por qué? para el muelle 2 la ecuación porque es fk2 menos fk1
igual a 0 ¿de dónde viene esta ecuación? fdk2 menos fdk1 igual a 0 pues
viene de la segunda ley de Newton sería suma de fuerzas F2 menos fk1 igual
a masa por aceleración pero estamos considerando masa sin muelle por lo
tanto si el muelle no tiene masa aparece el 0 de la derecha ¿ok? luego la
ecuación en la aproximación de muelle sin masa me dice que fk2 es igual a
fk1 igual a F esto es una consecuencia de la dinámica de los muelles, en
particular del muelle 2 del muelle intermedio suponiendo que son de masa
despreciable y ahora por la ley de Hooke fdk1 será k1 por delta 1 en T fk2
será k2 por delta 2 en T pues introduciendo esta ligadura geométrica x es
delta1 que es f partido k1 y delta2 que es f partido k2 luego despejo f
factor común de x 1 partido k1 más 1 partido k2 luego me queda esta
reducción luego ahora voy a considerar esta ecuación y la de la dinámica
pues al final me queda esta reducción y ya lo que antes era fdk2 le llamo
f porque he visto que fdk2 es lo mismo que fdk1 igual a f luego esta es la
ecuación luego me queda si menos f es masa por aceleración sustituyo
aquí la f, me queda esta ecuación y esta ecuación supone haber tomado
una constante equivalente tal que su inversa es 1 partido k1 más 1 partido
k2 lo hemos demostrado para 2 suponemos que se cumple para n-1 podría
demostrar que se cumple para n ¿alguna pregunta? observar lo importante
que es la aproximación de muelles sin masa eso es lo que hace que las
fuerzas a la izquierda y a la derecha del muelle intermedio fdk1 y fdk2
sean iguales ¿alguna pregunta? ok seguimos bien pues con muelles con masa
sería, a Martín dice con muelles con masa sería muy distinto de hecho
eso no oscilaría como un más el muelle de acoplo pero su inercia vendría
corregida en el capítulo del FES en el capítulo 3 leeros, creo que al
final antes de empezar con oscilaciones amortiguadas viene un parrafito muy
interesante sobre cómo varían las oscilaciones de un muelle con masa de
uno solo ¿de acuerdo? el efecto creo recordar que era si el muelle tiene
masa m0 aparece un m0 partido por 3 página 69 correcto dentro de la
lección 3 ahí tenéis una observación de cómo tratar un un muelle con
masa cómo se modifican las oscilaciones muy bien pues el problema 2.7 de
la tutoría de hoy os dice un bloque de masa m es libre de oscilar unido a
un resorte aquí tenemos un muelle y una masa conocidas en el instante t
igual a 0 el bloque es lanzado desde su posición en reposo x igual a 0 que
le imprime una velocidad v0 igual a 40 cm daros cuenta que esto ya es un
problema de dinámica en este apartado del enunciado donde nos está dando
las condiciones iniciales nos dice que x en 0 es 0 pero v en 0 ya no es 0
es 40 cm por segundo y vamos a considerar positivos hacia la derecha luego
en el instante inicial la masa está quieta aquí está quieta x de 0 es 0
pero le das en el instante inicial una velocidad con un martillo golpeas la
masa hacia la derecha luego en t igual a 0 tendrás una cierta velocidad y
esto posiblemente comenzará a oscilar bien el bloque a continuación
ejecuta un movimiento armónico simple con un recorrido máximo de 10 cm
alrededor de su posición de equilibrio desprecia rozamiento en masa de
apoyo horizontal el suelo no presenta rozamiento apartado a encontrar la
frecuencia angular de oscilación el periodo y la constante del muelle en
este problema no nos dan el muelle b obtener la velocidad en t igual a pi
cuartos c obtener la energía cinética potencial y energía mecánica del
bloque y representarla gráficamente e considerar un sistema bloque en
muelle que se hace oscilar con condiciones iniciales diferentes considera
la misma masa y el mismo muelle pero ahora las condiciones son que la
posición es 10 cm en t igual a 0 a la derecha pero la velocidad inicial es
0 y nos piden obtener la posición de la masa en todo instante de tiempo en
este caso donde hemos cambiado las condiciones iniciales y el apartado f es
la diferencia de fases entre las dos masas las del apartado e y las del
apartado anterior vamos allá bien, aquí tenemos que encontrar la
ecuación diferencial del movimiento como ya hemos visto en teoría esto es
un muelle de constante k que no conozco para este problema la masa m no
tiene rozamiento por lo tanto la x sabemos que sigue el mas la posición
será esta de la tutoría anterior y estas son las condiciones iniciales en
la normalización que nosotros establecimos que es que x de t es a coseno
de omega cero t más delta en la tutoría anterior vimos si tienes una
normalización diferente como pasar de esta normalización a casi cualquier
otra bien, pues si usamos matemática y el que no le guste porque usa una
calculadora para este problema sería resolver que la frecuencia natural
del sistema es la raíz de k partido por m que la amplitud es igual a esto
que el periodo es 2pi partido de la frecuencia natural y que la frecuencia
nu es el periodo y las variables son frecuencia natural constante k,
periodo y frecuencia de inercios donde sustituimos, reemplazamos la masa
por cero cinco kilos la x cero es cero la v cero es cuarenta partido cien
metros por segundo y mirar que aquí hay un mas porque significa que se
desplaza hacia la derecha si la condición inicial fuera a la izquierda
debería llevar un signo menos y la amplitud es diez partido por cien en
metros el resultado son dos un conjunto de dos soluciones donde solo va a
ser solución física la segunda donde la frecuencia natural del sistema es
una variable que sabemos físicamente definida positiva luego este sistema
tiene una constante k de ocho newton partido por metro una frecuencia en
hercios de dos pi hercios un periodo de pi medios segundos y una frecuencia
natural de cuatro radianes partido segundo ¿alguna pregunta sobre el
apartado A? ¿alguna pregunta? seguimos velocidad en t igual a cuatro ¿que
habría que hacer? coger la velocidad y obtenerla como la derivada del mas
respecto del tiempo introducir al signo menos a v doble cero y pasamos del
coseno al seno bien pues si estas usando una herramienta de calculo
simbólico os he adjuntado en el material de esta segunda tutoría un
fichero cf de matemática donde se puede representar casi cualquier mas
tenéis la definición de la posición obtenemos la velocidad como la
derivada respecto al tiempo no me puede salir otra cosa que menos un
décimo del seno de cuatro t y sustituyendo para los valores v doble cero
cuatro radianes por segundo la amplitud diez partido cien metros y el
desfasaje pi medios eso os queda la velocidad menos dos quintos de cuatro t
que es lo que nos pedían el apartado c obtener la energía cinética la
energía potencial y la energía mecánica del bloque bien la energía
cinética será un medio de la masa por la velocidad al cuadrado y la
velocidad al cuadrado sea la derivada del mas el resultado que te queda es
un medio de la constante k por a cuadrado por el seno cuadrado de la fase
la energía potencial será un medio de kx al cuadrado la energía
potencial de un muelle un medio de k por x al cuadrado que será la
amplitud al cuadrado por el coseno al cuadrado de la fase y observar que si
sumo la energía cinética más la potencial esto es una constante que no
depende del tiempo si el oscilador sigue un movimiento armónico simple no
tiene pérdidas de energía por ningún tipo de fricción es un sistema
idealizado y la energía mecánica se mantiene constante este resultado es
importante bien pues podrías con un sistema de cálculo simbólico te
defines la energía cinética te defines la energía potencial te defines
la energía mecánica y aquí la representas en rojo tenéis la energía
cinética en verde la energía potencial y en azul aquí la recta la
energía mecánica constante las variaciones aumentos y disminuciones
relativos de energía cinética energía potencial en cada punto de la
trayectoria se compensan de forma que la energía mecánica se mantiene
constante aquí tendríais el código para representar en matemática el
gráfico adjunto aquí alguna pregunta luego para este problema nos sale
que la energía mecánica es 1 partido 25 julios porque era proporcional a
la amplitud seguimos bien ahora nos dice considerar el mismo sistema la
misma masa el mismo muelle que ya hemos calculado pero donde las
condiciones cambian esta es la posición inicial y esta es la velocidad
inicial 0 pues bien si obtenemos ahora el x de t si obtenemos el x de t
para estas condiciones iniciales la posición nos da un décimo del coseno
de 4 por t luego llamaré x2 a la posición en este apartado cuando x0 es
10 y v0 es 0 y x1 a la posición en el primer apartado que iba con el seno
de 4t si quiero comparar este y este pues me tengo que coger uno de ellos
por ejemplo el primero que iba en seno y convertirlo en coseno luego x1 de
t es un décimo de coseno de 4t y aparece un desfasaje de pi medios que es
lo que me pedían luego al cambiar las condiciones en el apartado 2 la
diferencia de fase entre la posición 2x2 de t y x1 de t del primer
apartado es pi medios ¿alguna pregunta? ¿y cuál es la diferencia de
energía mecánica entre ambas masas? os podéis imaginar que ninguna como
en el movimiento armónico simple la energía mecánica solo depende de la
amplitud pues la amplitud esa nos va a dar para las condiciones iniciales
me va a dar el 1 partido 25 julios ¿por qué? porque la derivada respecto
al tiempo de la energía mecánica que sería esta derivada es 0 la
energía mecánica se mantiene constante ¿de acuerdo? la amplitud para
esas dos condiciones iniciales nos da la misma cantidad ¿alguna pregunta?
muy bien, pues seguimos bien, el problema 28 dice el periodo de oscilación
del sistema mostrado en la figura es t mayúsculas segundos ¿qué nos
muestra la figura? la figura nos muestra un ascensor que desciende con una
cierta aceleración a su s y dentro del ascensor hay un muelle de constante
k una masa a cogida al muelle y una masa b suspendida por un hilo ideal a
entonces cuando lo que tenemos es un muelle la masa a y la masa b nos dicen
que conocemos el periodo t mayúsculas segundos y de la masa b conocemos la
masa b pero ojo que no conocemos la masa a la masa a no se conoce si
después de quitar el bloque b ahora dentro del ascensor quitamos el bloque
b osea cortamos por aquí el hilo si después de quitar el bloque b el
periodo es t asterisco segundos con periodo t mayor que t asterisco y la
aceleración del ascensor a su s decaida es g tercios calcular la masa del
bloque a la constante elástica del muelle b y la longitud de deformación
del muelle en equilibrio en la situación inicial es decir cuando tenias la
masa a y la masa b colgando del muelle alguna idea de como plantear el
problema alguna idea vale vamos a intentar ver como plantear el problema
bien en principio tenéis que recordar del curso de mecánica que un
sistema acelerado es equivalente a un campo gravitatorio que principio
fundamental de la física nos dice que en cierto sentido los sistemas
acelerados son equivalentes a campos gravitatorios el principio de
equivalencia recordáis el principio de equivalencia en este caso dentro
del ascensor todo ocurre como si hubiera una gravedad a la que he llamado
gravedad defectiva que es la que mide un observador dentro del ascensor al
que llamo o' que seria la gravedad real la que mide el observador fuera del
sistema acelerado menos porque va hacia abajo la aceleración del ascensor
por lo tanto dentro del ascensor hay una gravedad defectiva una gravedad
una gravedad efectiva que es g menos a su s donde a su s es la aceleración
del ascensor muy bien pues para este problema la g efectiva es g menos a su
s g menos g tercios 2 tercios de g luego el observador oprima si hace
experimentos para medir la gravedad dentro del ascensor con la aceleración
constante verá que su gravedad es 2 tercios de g pues vamos a ver como
aplica el observador oprima dentro del ascensor las leyes de newton a este
problema para el sistema con masa a y masa b haces el diagrama de sólido
libre de a y el diagrama de b para el diagrama de a te queda que la fuerza
de hug menos la tensión menos el peso que aqui sera la masa por la
gravedad efectiva es cero considerando el caso en que no oscilas el
observador oprima esta viendo a la masa a y a la masa b en reposo por lo
tanto escribe esta ecuación para la masa a y escribe esta ecuación para
la masa b al hacer el diagrama de sólido libre menos peso que sera m sub b
por la gravedad efectiva igual a cero y la ley de hug que aplica el
observador oprima es la constante del muelle por la delta de equilibrio
estamos en reposo bien pues estas dos ecuaciones te permiten obtener delta
de equilibrio como 2 tercios de g por la masa de a mas la masa de b partido
por k y recordar que no conocemos la masa de a ni la constante k pero me
guardo esta ecuación que es la ecuación de lo que ocurre dentro del
ascensor medido por el observador oprima cuando estas en equilibrio se
entiende hasta aquí alguna pregunta amartin16 pregunta si delta es la
elongación del muelle correcto delta sub e es lo que esta estirado el
muelle cuando por debajo del muelle esta a y el cable que sostiene a b
correcto vale esta delta de e seria lo que el muelle esta deformado en
equilibrio correcto es lo que da este lapicero muy bien pues ahora vamos a
ver la dinamica dentro del ascensor vista por el observador oprima ahora el
observador oprima vera oscilar este sistema y luego corta el hilo y ve
oscilar solamente a la masa a se entienden los dos experimentos el
observador oprima va a ver oscilar el sistema con la masa a y la masa b y
luego cortara el hilo solo oscilará la masa a bien pues entonces el
movimiento es un movimiento armonico simple en el primer caso el periodo
que me dan del sistema vale el periodo de un movimiento armonico con dos
masas y una constante y en el segundo caso el periodo t estrella para la
masa b sera el periodo que corresponde a una sola masa si aqui esta bien
dicho que corresponde a una sola masa que masa la masa a porque he quitado
la b se entiende luego tenemos esta ecuacion la dinamica con las dos masas
periodo esta ecuacion la dinamica con una sola masa y la ecuacion de delta
su e esto es un sistema que te permite determinar estas dos ecuaciones te
permiten determinar m su a que vale esto k que vale eso m su a que es lo
que te pedia el problema delta de e pues vale m su a mas m su b partido por
k k lo sustituyes en su valor y m su a sustituyes el valor y obtendrias
delta de e dados cuenta lo importante que ha sido el uso del principio de
equivalencia para hacer el problema de una forma relativamente facil
sustituyendo la gravedad por una gravedad defectiva dentro del sistema
acelerado que en este caso es el ascensor alguna pregunta seguimos muy bien
pues problema 2.9 se perfora un agujero con lados lisos y rectos a traves
del centro de la tierra uniendo un extremo de la superficie de la tierra
con su opuesto nos imaginamos que tenemos suficiente ingenieria para
extraer del tubo formado de ese cilindro toda la materia de forma que quede
un tubo vacio y ahora por ese tubo vacio se puede meter un objeto de masa m
imaginaros que fuera una cabina de transporte con personas o cargas un
objeto de masa m se deja caer por un extremo del tubo y alcanza el extremo
opuesto en primera aproximación se puede suponer que la tierra es de
densidad de masa uniforme despreciando la cantidad de masa perforada y la
rotación de la tierra nos imaginamos una tierra que no gira determinar la
dinámica de la partícula de masa m cuando se encuentra a una distancia r
medida desde el centro de la tierra r es la distancia radial de la
partícula medida desde el centro de la tierra y tiempo que tarda la masa m
en alcanzar el punto opuesto de la superficie c determinar la posición de
la masa m en cualquier instante antes de que el objeto pase por el centro
de la tierra un problema un tanto curioso para tener una imagen mental del
problema nos imaginamos que hemos perforado este tubo aquí colocamos la
masa m que dejamos caer y suponer aquí está mi origen de coordenadas y
suponer la masa m cuando dista una distancia r medida desde el centro
llamaré r total otra cosa que no puede ser el radio de la tierra
necesitamos para este problema recordar el teorema de gauss para el campo
gravitatorio el teorema de gauss te dice que el flujo de gravedad la
integral de superficie cerrada de g diferencial de s es menos 4 pi g por la
masa contenida en ese radio o sea este flujo te lo calculas y te queda
menos g por la integral de diferencial de s claro al hacer esta igualdad
estoy considerando que la g es toda radial estoy despreciando el efecto de
la variación de la g con la rotación de la tierra y la variación de g
con la altura la g es toda radial entonces la g sale fuera de la integral
en esta aproximación y la integral de superficie te queda 4 pi r cuadrado
pues eso es igual a menos 4 pi por la constante de la gravitación por la
fuente de campo gravitatorio que es m sub r el teorema de gauss para campo
gravitatorio pensar en términos del teorema de gauss para campo eléctrico
aquí la constante es g y la fuente es la masa que queda campo gravitatorio
de forma que de esta igualdad puedes expresar obtener la siguiente
relación la g a una distancia r del origen es la g gravitatoria por la
masa contenida en este radio partido r cuadrado muy bien que relación hay
entre toda la masa contenida en este radio y toda la masa total como la
densidad es uniforme la masa contenida en un cierto radio r será r partido
de r sub t al cubo partido de la masa total de donde viene esta expresión
pues viene de la hipótesis que la densidad es constante la densidad es la
masa total partido del volumen total igual a la masa contenida en r partido
el volumen de radio r igual a una constante en la aproximación del
problema y de esta ecuación lo que voy a despejar es la g entonces yo
puedo particularizar que g la constante de la gravitación universal será
el radio total de la tierra partido de la masa de la tierra multiplicado
por la g la 9,81 metros por segundo al cuadrado en la superficie de la
tierra de forma que la g sub r que vale g por m sub r partido de r cuadrado
me va a quedar igual teniendo en cuenta esto esta expresión y teniendo en
cuenta esta expresión me va a quedar igual a la g en la superficie que es
9,81 metros por segundo al cuadrado por la distancia r partido de la r
total que es la r de la superficie entonces cual es la dinámica visto así
es muy fácil que fuerza actúa sobre esta partícula su peso hacia abajo
pero su peso que vale la masa de la partícula por la gravedad de esa
distancia r y eso sería igual a la masa por la aceleración cuanto vale g
sub r g partido de r partido de r total las m se van luego cual es la
ecuación diferencial del movimiento para este problema esta a ver repasar
todo el mundo sabe llegar aquí preguntas y que comprobamos que esa es la
plantilla de un movimiento armónico simple donde la frecuencia natural al
cuadrado es la g en la superficie 9,81 metros partido de segundo partido
del radio de la tierra por lo tanto esta ecuación diferencial del
movimiento para la bolita de masa m que cae por el tubo es igual a un más
daros cuenta lo que nos está diciendo esto si este experimento fuera
realizable la masa m oscila baja sube y porque siempre baja y sube porque
estamos desperdiciando todas las personas por fricción se entiende esta
sería la frecuencia natural al cuadrado esta es la frecuencia quitando el
cuadrado y este sería el periodo si a martín tiene razón el periodo es
el mismo si coges un arco que no pase por el centro de la tierra de hecho a
martin si buscáis recordáis la película minori report si ahora haremos
el cálculo la película de ciencia ficción minori report creo que era el
título así sólo quedan digamos en el planeta los que estaban en
australia y en inglaterra y se comunicaban por un sistema así como
curiosidad yo no sé hasta qué punto es verdad pero hay una página web
donde una empresa china dice que está desarrollando un mecanismo de
transporte para unir pekín nueva york mediante un sistema parecido claro
no pasando por el centro de la tierra sino como dice a martín en un
segmento que no pase por el núcleo de la tierra perforar un bujero y usar
el campo gravitatorio en este vaivén para unir relativamente en términos
de horas pekín con nueva york la página está abierta pero no la recuerdo
la podéis buscar no sé hasta qué punto el proyecto es ficticio o
ingeniería de verdad bueno lo del petróleo no lo sé y aedo yo la página
que consulté el paso estoy hablando de memoria era un mecanismo de
transporte pekín nueva york esencialmente el que había en minority report
muy bien pues seguimos si encuentro para la próxima tutoría que por
cierto será el jueves que viene ahora lo comentaré pero es que no sé
dónde guardé el enlace seguimos bien pues entonces lo que nos preguntaba
es qué tiempo tarda la masa en alcanzar el punto puesto de la tierra si la
masa se lanza desde aquí qué tiempo tarda en alcanzar este punto luego
volvería pues cogemos la frecuencia natural al cuadrado a partir de ella
calculamos el periodo y este periodo me sale a mí para un radio de la
tierra claro el tiempo que será la mitad del periodo estáis de acuerdo no
el periodo sería ir y volver el tiempo en alcanzar un extremo sería la
mitad del periodo que sería pi o sea 2pi partido por 2 me queda pi por la
raíz del radio de la tierra partido por g la g en la superficie este es el
radio de la tierra en metros si no me he equivocado esta es la g en metros
partido segundo a mí me queda 0,7 horas tiempo tiempo idealizado si fuera
los 42 minutos pekin pekin nueva york del orden de la hora si alguna vez
alguien es capaz de hacer esto en el mundo real bien y ahora nos pide la
posición de la masa jeje si en el sentido del universo la posición de la
masa m en cualquier instante antes de que el objeto pase por el centro de
la tierra bien pues cual es la condición inicial de este mas en r igual a
0 estoy en el radio de la tierra y me dejo caer te suelto luego tu
velocidad inicial es 0 si recordáis mini reporte os lo diréis muy bien si
recordáis la película situaban el vagón con los pasajeros y lo soltaban
velocidad inicial 0 recordáis la película lo soltaban en el bujero y
caían con velocidad inicial 0 bien pues el radio de la tierra es la
amplitud que para esta velocidad inicial 0 os da el radio de la tierra r de
t quiero decir es el radio de la tierra por el coseno de g partido de rt
por t sustituir los números y ese sería el movimiento armónico simple
dice la tarifa que crees que no es mini reporte no me acuerdo la verdad que
es muy malo para los títulos pero yo recuerdo de la película y además la
película es una versión de una película ya antigua de los años 80 creo
solo hay supervivientes en inglaterra y en australia que su juez dren no a
mi juez dren no me suena que llevara eso no obstante ahora después de la
tutorial lo buscamos yo me suena a mini reporte total recal bueno por las
mejores ideas yo la recuerdo mal pero el juez dren no la recuerdo yo que
fuera muy bien alguna duda sobre sobre el resultado del problema vale pues
si quereis son las 6 hacemos un descanso de 5 minutitos y acabamos los
problemas hay hasta el 15 o quereis seguir hacemos 5 minutos de descanso
tienen que hacer el baño un café cualquier cosa 5 minutitos cortos os
parece bien un descanso muy bien pues una pausa de 5 minutos de acuerdo
pues pausa ponemos la sintonía de la pausa con ustedes la canción del
físico de partículas y