Hola, bienvenidos. Soy Pedro García Sena, el tutor intercampus de la
asignatura de Fundamentos de Robótica y les voy a explicar los conceptos
básicos del tema 3, denominado Herramientas Matemáticas. Es un tema
bastante complejo por el hecho de tener que conocer unas herramientas en
matemáticas que normalmente no se trabajan en lo que es la matemática
normal, pero que cuando lo apliquemos luego a problemas verán que pierde
un poco su dificultad. En principio es un tema que asusta bastante cuando
lo vemos a nivel teórico, pero luego, repito, cuando lo trabajamos a nivel
de ejercicio la cosa se simplifica bastante. Voy a ir un poco rápido
porque el tema es muy extenso y luego esto va a quedar grabado, entonces
cualquiera luego puede volver a verlo y hacer las pausas que consiga
necesitar. En primer lugar vamos a ver la necesidad del conocimiento de
herramientas matemáticas. El robot realiza un movimiento espacial, tanto
cuando coge una pieza como la pinza, entonces necesitamos herramientas
matemáticas que especifiquen dos cosas. Por un lado, lo que es la
posición del objeto o de la pinza y por otro lado la orientación. Este es
un concepto nuevo que a muchos le gusta. La posición de un objeto es lo
que se estudia en cualquier asignatura matemática, en vectornos o
coordenadas, pero la orientación quizás sea un poco nueva. Lo vamos a ver
con la siguiente transparencia para entenderlo. Aquí tenemos un objeto
representado, entonces la posición de este objeto, sería este punto rojo
respecto al sistema de coordenadas, es exactamente la misma que la de este
otro de aquí. Pero es evidente que este objeto de la izquierda no es el
mismo que el de la izquierda. El objeto de la izquierda tiene lo que
llamamos una orientación distinta que este objeto de la derecha. A pesar
de tener la misma posición, tiene una orientación distinta. Esto en
robótica es fundamental, porque no basta con que la pinza de un robot
esté en la posición determinada, sino que tiene que estar en la
orientación adecuada para poder coger la pieza. Entonces el tema se va a
trabajar desde todos los puntos de vista, definición de lo que es la
posición, en este caso de una pinza por ejemplo, y la orientación. A eso
se llama localización espacial, a la especificación de la posición
conjunta de la posición y orientación de un sólido respecto a un sistema
de referencia fijo S, que sería este de aquí. Si al sólido rígido, que
sería este de aquí, que puede ser el objeto o la pinza del robot, se le
asocia a un sistema de coordenadas S', pues entonces la posición y la
orientación del sólido, con respecto al sistema S, quedará totalmente
determinada por la del sistema S', la del sólido, con respecto a S, la de
referencia. De tal manera que necesitamos, repito, determinar dos cosas, la
posición y la orientación. En primer lugar estudiaremos la posición, que
es una parte muy sencilla y conocida, y luego nos adentraremos en la
orientación, que es la parte más compleja y quizás novedosa para muchos.
La representación de la posición. La tenemos tratada en el apartado 3.1,
página 65, y todas estas páginas hacen referencia siempre a la edición 2
del libro. Pues el vector de posición lo podemos definir en distintas
coordenadas, por ejemplo, coordenadas cartesianas, cilíndricas,
esféricas... Esto es un apartado conocido por todos seguramente. Este
punto S de aquí queda definido, en este caso, por sus dos coordenadas x y
en el plano, o si habláramos del espacio, pues exactamente lo mismo.
Concierto. Y con eso definimos ya el vector P, con sus tres coordenadas,
que unan el origen de O con O'. Esto representa la posición de ese
sólido, pero como hemos dicho no nos dice nada en relación a su
orientación. Podemos tener la pinza del robot en esta posición, pero en
muy distintas orientaciones. Un punto, como decimos, queda definido
mediante su posición. Y un salto. Un sólido rígido necesita, además, su
orientación con respecto a un sistema de referencia. Es habitual asignar
solidariamente al objeto un nuevo sistema y después estudiar la relación
entre los dos sistemas. El sistema fijo, en este caso el XI, y el sistema
móvil, el UU. Este sistema móvil, como vemos aquí, sufre una rotación
de un ángulo alfa y queda perfectamente definido conociendo este ángulo
alfa. Y ya tendríamos la definición de este nuevo sistema de coordenadas
UV en relación al XI. Vamos a ver lo que se denomina matrices de
rotación. Lo tenemos en el apartado 321 de la página 68. Matriz de
rotación. Vamos a empezar viendo 2D, dos dimensiones. Una matriz de
rotación es un método que nos permite describir orientaciones. Es un
punto P, como por ejemplo este de aquí. Queda definido, por ejemplo, en
relación al sistema XI mediante sus coordenadas XI. En relación de los
rectores unitarios. Pero también podríamos definir el mismo punto en
relación al sistema UV. Y entonces aquí estaríamos hablando de las
coordenadas U y V. Es evidente que podemos relacionar, el punto es el mismo
en los dos casos, en estos dos casos es el mismo punto. En relación a las
coordenadas de ese punto en relación al sistema fijo OX, que tenemos
aquí. Con las coordenadas en relación al sistema UV que tendríamos
aquí. Bueno, pues esa relación es precisamente la matriz de rotación. Es
decir, las coordenadas en el punto, en el sistema XI es igual a las del UV
a través de una matriz de rotación. Aquí despejamos esta matriz de
rotación. Y nos quedará esta ecuación. Es la ecuación 3.4 del libro.
Estos son los rectores directores, rectores unitarios y X y U. Vamos a ver
un poco esto que estamos diciendo. Hemos dicho que ese punto lo podemos
definir en coordenadas XI. Lo podemos definir en coordenadas UV. Y la
relación es la matriz de rotación. Hemos dicho que es esto. Bueno. La
matriz que operativamente vamos a trabajar, que nos da en la ecuación 3.5
es esta de aquí. Bueno, entonces la cuestión es cómo transformamos,
cómo pasamos de aquí a aquí. Obtener esta matriz es directo. Despejamos
de esta relación. Pero, ¿cómo pasamos aquí? Vamos a verlo. Fíjense
aquí el ángulo alfa que nos aparece aquí en esta ecuación que vamos un
poco a demostrar ahora. Es precisamente este. El ángulo que ha rotado el
sistema AMOL. El UUV en relación al XI. Ha rotado un ángulo alfa y aquí
nos ponen que la matriz de rotación es esta. Bueno, vamos a justificar un
poco estos términos. Cómo pasamos de aquí a aquí. Les he puesto un
simple caso, que es el primer término por ejemplo. El primer término nos
pone IX por IU. IX y U son los vectores unitarios. IX del eje X. Y U del
eje U. Entonces esto es un producto escalar y sería el producto de los dos
módulos, que sería uno por uno, por el coseno del ángulo que forman.
Pues uno por uno por el coseno del ángulo que forman es precisamente este
primer término. Exactamente igual podríamos construir todos los
términos. En este caso este de aquí. Simplemente haciendo el producto de
estos vectores unitarios viendo qué ángulo hay. Sabemos este ángulo
alfa. Sabemos este ángulo alfa de aquí. Por lo tanto esto otro será el
complementario. En fin, se pueden calcular todos los ángulos en función
de alfa y poner esta matriz de rotación de una forma ya que nos va a
resultar operativa. Porque el ángulo girado es un dato que más o menos es
fácil de conocer o nos vendrá como enunciado de un problema o... Eso es
lo que se hace. Vamos a hablar lo mismo pero en el caso de otro ángulo. El
3D. La matriz de rotación en el caso 3D. La tenemos tratada en el apartado
3, 2, 1, página 70. Bueno, el concepto es el mismo. Un punto cualquiera yo
lo puedo definir en relación al sistema X y Z o lo puedo definir en
relación al sistema UVW y la relación entre uno y otro es diferente a la
matriz de rotación. Aquí tendríamos... Vemos en la parte de la derecha
el sistema UVW rotado en ángulo alfa. Y el sistema azul. Bueno, pues
haciendo lo mismo. Lo que hemos visto antes. Esta matriz de rotación nos
va a definir la reorientación del sistema UVW con respecto al OX y Z.
Aquí podéis echar un vistazo a la ecuación 3.8 de la página 70. Bueno.
Si despejamos de aquí. La matriz de rotación. Pues nos va a salir esta
matriz de aquí que es equivalente a la que hemos visto en 2D con los dos
electores unitarios de cada uno de los ejes. Y esto lo vamos a transformar
para que nos aparezca el ángulo exactamente igual como hemos hecho antes.
Bueno, es muy útil, especialmente útil establecer estas matrices de
rotación pero correspondientes a sistemas girados únicamente sobre uno de
los ejes del sistema de referencia. Esto nos va a resultar útil para
componer luego rotaciones. Por ejemplo. Rotar el sistema UVW. Que es este
que he representado aquí. Bueno, a la izquierda. Un ángulo alfa sobre el
eje X. Que significa que estamos rotando. Vale. En relación a esta flecha.
Por lo tanto este rota. El U seguirá en el mismo sitio. En cambio el V y
el W se nos desplazan. Precisamente. El ángulo alfa. Es decir, estamos
haciendo una rotación en este caso respecto solo al eje X. Bueno, vamos a
obtener esa matriz de rotación. Pues tenemos aquí los términos que hemos
obtenido al despejar de la relación primera. Y voy a ver por ejemplo este
caso de aquí. Que es el más sencillo. Por ejemplo. Aquí obteníamos Ix
por Iu. Bueno, Ix por Iu sería. El módulo del vector unitario en el eje X
que es 1. Este uno de aquí. El módulo del vector unitario en el eje U que
también es 1. Y el coseno del ángulo que forman. Que evidentemente estos
dos vectores forman un ángulo de 0. Pues coseno de 0 es 1. 1 por 1 por
coseno de 0 nos sale aquí el primer término. Bueno, exactamente igual.
Podemos ir calculando todos los términos. Vale. Todos estos productos. En
función del ángulo que haya girado. Uno u otro. Y nos van a ir saliendo
aquí estos términos. Y esto es la matriz de rotación que denominamos de
girar un ángulo alfa. Del eje X. Es una matriz que nos va a resultar ya
muy útil. Para luego componer rotaciones. Bueno, de la misma forma.
Tendríamos ya las matrices de rotación. De. Sobre el eje Y. De un ángulo
Y. Sería esta de aquí. Y sobre el eje Z. De un ángulo Z. Esta es la
matriz que hemos obtenido antes. Y estas se obtendrían de forma
equivalente. Habiendo. Las rotaciones, pero en este caso siempre. En
relación a un simple A. Esto es lo que tenemos tanto en las figuras 3, 5 y
3, 6. Como en nuestras ecuaciones de la página 71. Que pueden consultar.
Bueno, vamos a ver el apartado de concatenación de rotaciones. Cuando
unimos varias rotaciones. Hacemos varias rotaciones. Lo tenemos tratado en
la página 71. Bueno, pues va a ser muy sencillo. Va a ser simplemente. La
multiplicación de matrices. Bueno, aquí hay que distinguir. Si esas
rotaciones se especifican. Con respecto a ejes fijos. Haremos lo que se
llama premultiplicar. Que ahora lo comentaba. Por ejemplo, aquí tenemos un
caso. Rotación sobre el eje X. Rotación sobre el eje Y. Y sobre el eje Z.
Como se realizan en relación a ejes fijos. No sobre los ejes previamente
agitados. Hacemos lo que se llama premultiplicación. Es decir, primero. La
primera rotación. Premultiplicamos. Luego pre, que sería antes. La
segunda rotación. Y luego premultiplicamos, o sea, antes. La última
rotación. Luego esto lo veremos mejor en otra experiencia. Sustituimos
estas rotaciones. Sobre el eje Z. El Y y el X. En sus matrices, que las
tenemos aquí. Ya las hemos calculado antes. Hacemos este producto. Estas
tres matrices. Y obtendremos la ecuación 3-12. Es una ecuación que nos da
ya. La rotación global. De hacer estas tres rotaciones de aquí. Sobre los
ejes. Vamos a ver la interpretación geométrica. De esta parte. Si
representamos de esta forma de aquí. La rotación del sistema. W. En
relación al X y Z. Por ejemplo. De esta forma de aquí. El punto P. En X y
Z. Será igual a un punto en el W. Relacionado por la matriz de rotación.
Bueno, pues entonces. Precisamente. Las columnas de esta matriz. De
rotación. Son las coordenadas. De los vectores. W en la base de X. Voy a
explicar un caso para que se entienda ya. Aquí tenemos por ejemplo. A la
izquierda el dibujo de la rotación. En relación al eje X. Y un ángulo
alfa. Bueno, esta matriz de rotación. De un ángulo alfa. En relación al
eje X. Hemos obtenido antes que tenga esta forma. Esta expresión. Como
efectivamente. Son las coordenadas en este caso. Si explico el caso del
medio. Las coordenadas del vector W. Tenemos cero. Coseno de alfa, seno de
alfa. Con las coordenadas del vector W. WXWYZ. Vamos a analizar. Como el
vector W. Ha sido simplemente. Levantado un ángulo alfa. En relación del
eje Y. No tiene componente alguna. Por lo tanto aquí tendríamos el cero.
En el eje Y. Este vector W de aquí. Tiene. Esta componente de aquí abajo.
Que sería el módulo, que es uno. Por coseno de alfa. Pues aquí nos
aparece coseno de alfa. Que es precisamente WI. Y este vector W. Otra vez
lo mismo. Su componente en el eje Z. Es precisamente. Uno. Por. El seno de
alfa. Que es este de aquí. Luego eso es WZ. De la misma forma podríamos
comprobar. Tanto. U como W. Es decir, repito. Que las columnas de la matriz
de rotación. Son las coordenadas. De los vectores. W. Que hemos obtenido
tras la rotación. En la base X y Z. Que usos tiene. La matriz de
rotación. Bueno nos permite hacer. Varias cosas. Por ejemplo representar
la orientación. Del sistema móvil S'. Con respecto al S. Podemos
representar que orientación tiene. Ese sistema nuevo. Que hemos rotado. En
relación al sistema fijo S. Podríamos obtener las coordenadas. De un
punto en el sistema S. Conocidas las coordenadas. En el sistema S. También
nos permite. Obtener en que punto B. Se convierte un punto A. Si se rota.
Esto va a ser muy útil para el tema de problemas. En el problema 3.1 y 2.
Vamos a hacer esto. Calcular. Donde están los puntos después de haber
hecho. Unas rotaciones. Características del uso de matrices. Para
representar una bondad. Para su composición. Se realiza mediante. Que
tiene la característica. De que es conocido. Y fácil de utilizar. Precisa
9 elementos. Que son los 9 elementos de la matriz. Eso nos implica una
redundancia. Y. Existe el riesgo de inconsistencia. Tras varias
operaciones. Por el tema de redondeos. Esas operaciones que tenemos que
hacer. Cuando operamos matrices. El tema de redondeos. Puede ocasionar a
veces inconsistencia. Son adecuadas. Para la formulación. Y el cálculo
manual. Pero son inadecuadas. Para el cálculo computacional. Las
características. De las matrices. Para representar orientaciones. Hay otra
forma. De representar orientaciones. Que son los llamados ángulos de
Euler. Tenemos en la página 72. Están tratados en el apartado 3.2.2.
Consiste en lo siguiente. El sistema OUW. Solidario al cuerpo. Cuya
orientación se quiere describir. Se puede definir. Con respecto al sistema
X y Z. Girando sucesivamente cada eje. De este sistema. Los ángulos fi.
Los ángulos z. Obteniendo así el sistema. OUW. Que representa la
orientación del sólido. Es decir partimos. Del sistema inicial. Y
haciendo los giros. De cada uno de los ejes. Podemos llegar al sistema
final. Que nos está representando la orientación del objeto. Entonces que
tenemos. Tenemos que definir los ángulos girados. Y sobre qué eje se
gira. Por lo tanto tenemos. Muchas combinaciones posibles. Las más usuales
son estas de aquí. Que son las que vamos a. A trabajar ahora. El sistema
WUW. En la página 72. Se realizan los giros. Sobre los ejes previamente
girados. No sobre el sistema FICO. Sino sobre el eje previamente girado.
Partimos del sistema OX y Z. Y el OUW. Inicialmente coincidentes. Y se
puede colocar. El sistema OUW. En cualquier orientación. Siguiendo este
proceso de aquí. Primero giramos el sistema W. Un ángulo fi. Respecto al
eje Z. Por eso. Que denominamos W. Porque es el equivalente al eje Z.
Después giramos el sistema previamente girado. Por eso aquí tenemos.
Prima, prima. Porque ya es sobre el girado. Un ángulo Z en relación al
eje. En este caso U prima. Ya aquí surge la U. Y tercero giramos el
sistema. Ya otra vez girado anteriormente. Pero ahora. Un ángulo SI.
Respecto al eje U de segunda. Cuidado. Que se mueve la otra vez. Eso es lo
que nos han representado aquí. En esta figura. Hay que tener un poco de
imaginación visual. Para ir viendo como se van moviendo los ejes. Y si se
mueven en este orden. Pues tendremos el. Sistema WUW. Que consiste como
hemos dicho. Girar el eje Z inicial. Llevar el U prima. Y el W. Otro
sistema es el. VW. Consiste en lo mismo. Simplemente que giramos en otro
orden. Primero giramos sobre el eje Z. Por lo tanto correspondería al W.
Por eso aquí tenemos la W. Un ángulo. Después giramos sobre. El eje V
prima. Que es el que ya hemos obtenido. Tras el giro anterior. Por eso lo
llamamos V. Y después giramos otro ángulo. Sobre el eje V segunda. Y
entonces ya tendremos. Esta otra denominación. Y al final ocurre lo mismo.
Haciendo estos tres giros sobre los tres ejes. Podemos situar. El sistema.
Que representa el sólido. En cualquier posición. Y finalmente tenemos.
Otra posibilidad que son los ángulos. De Euler X y Z. Ahora los giros se
realizan. Sobre los ejes fijos X y Z. Un poco la diferencia. Entre zona de
la anterior. Alineada al CEO o al ADO. O su equivalente en inglés. Lo
primero que hacemos es girar. El eje. El sistema. UWW. Sobre el eje X.
Después giramos. Sobre el eje Y. En este caso un ángulo SI. Aquí un
ángulo Z. Y tercero giramos sobre el eje Z. Un ángulo Z. Por eso el
sistema. Se llama. X. Y Z. Bueno ya tenemos lo mismo. Hacemos las tres
transformaciones. Los tres giros. Y estos son los ángulos de Euler. X y Z.
Características que tienen los ángulos de Euler. Para representar
orientación. De donde estamos. Tienen varios problemas. No existe un
álgebra. Para concatenar o componer rotaciones. Igual que hemos visto con
las matrices. Que hay un álgebra matricial que nos permite concatenar
rotaciones. Aquí no existe ese álgebra. Precisan tres elementos. Y son
poco intuitivos. Y la conclusión sería. Que son. Inadecuados para la
formulación y el cálculo manual. Y también inadecuados. Para el cálculo
computacional. Por lo tanto. Vamos a ver. Un álgebra que ya es bastante
más importante. Que es el par de rotación. Lo tenemos en el apartado
3.2.3. Página 75. Se trata simplemente de otra forma. De representar la
orientación. De donde estamos. Como podemos representar la orientación.
De ese objeto, de ese sólido. En ese extremo del robot. Con el sistema X y
Z. Se puede convertir en el VW. Definiendo un vector K. Y un ángulo Z. Tal
que. El sistema X y Z. Un ángulo Z. Sobre el eje K. Se convierta en el VW.
Bueno, dicho así parece un poco confuso. Pero es más sencillo. Yo aquí
tengo el sistema. X y Z. Entonces nos dice. Que si tenemos un vector K.
Podemos hallar un vector K. Girando un ángulo fin. Este sistema X y Z. Se
convierta en el. VW. Necesitamos conocer. Exactamente el vector K. Y el
ángulo que gira. Bueno, esto es lo que se llama. Par de rotación. Tiene
cuatro parámetros. Que son las coordenadas. X y Z del vector K. Y el
ángulo. Sobre el que giramos. La rotación. Un ángulo Z. Sobre el vector
K. Bueno. Esto va a ser muy útil. Sobre todo cuando lo juntemos con otra
cosa que vendrá después. Que son precisamente los cuaternos. Los
cuaternos. Es un concepto que seguramente. No se habrá estudiado en cursos
de matemáticas anteriores. Inicialmente parecen confusos. Pero luego su
manejo es más. Más asequible. Lo tenemos tratado en la página 75. En la
página 94. Y sigue siendo lo mismo. En una forma. De representar la
orientación. Un cuaterno. Que lo representamos con la letra Q. Está
constituido por cuatro componentes. Que representan las coordenadas. De ese
cuaterno. En una base determinada. Por lo tanto el cuaterno Q. Lo podemos
representar de esta manera. Con sus cuatro componentes. De esta forma
abreviada. El vector. Para representar la orientación. Y aquí es donde
viene lo importante. Se asocia. El giro de un ángulo Z. Sobre el vector K.
Es decir, el par de rotación. Al cuaterno Q. Vamos a asociar. La rotación
de un vector K. Un ángulo Z. La rotación que hemos visto antes. A un
cuaterno definido de esta manera. Con esta asociación. De par de rotación
con cuaternos. Podremos realizar giros. Y cambios de dirección. De una
manera muy cómoda. Una vez que nos hayamos metido un poco. Y hemos visto
ejercicios concretos con números. Aquí en la teoría. Se siente un poco
más confuso. Vamos a trabajar un poco esta parte de cuaternos. Que es
importante. Y partimos de aquí. No nos olvidemos de que una rotación. Es
equivalente a este cuaterno. El resumen. De orientación. Las matrices. Hay
redundancia. La algebra de matrices. Es sencilla y cómoda. Los ángulos de
Euler. Tienen poca información. Necesitan menos información. Pero no
tiene algebra asociada. El par de rotación. Tiene cuatro elementos. Y es
el paso intermedio hacia los cuaternos. Que también tiene cuatro
elementos. Hay una algebra de cuaternos. Que es computacionalmente muy
eficiente. Se puede resolver muy fácilmente. A nivel de computación. A
nivel de cálculo manual también. El tema este de cuaternos. Les
recomiendo que vean las gradaciones. Correspondientes al problema 3-2.
Donde se va a ver. Que es muchísimo más fácil. De lo que aquí vamos a
presentar. Vamos a ver. Como podemos representar. De forma conjunta. La
rotación. Y la orientación. Hay varias formas. La posición. En sus
coordenadas x y z. La orientación con matrices de rotación. O con
cuaternos. Tendremos los problemas mucho mejor. Y tendremos ya los
problemas de localización. Es decir, la representación conjunta. De
posición y orientación. Bien mediante matrices de transformación
homogénea. Que es lo que veremos después. O bien mediante el espacio.
Vamos a ver. Vamos a trabajar esta primera parte. De representación
conjunta. Mediante matrices de transformación homogénea. Primero vamos a
definir. Que se llaman coordenadas homogéneas. Apartado 3-3-1. Sirven para
representar conjuntamente. La posición y la orientación. Ya no
representamos posición por un lado. Y orientación por otro. Si nos van a
permitir representar conjuntamente las dos partes. Luego llegamos a nuestro
fin. Un elemento en un espacio. De n dimensiones. Mediante coordenadas
homogéneas. Se representa por n más 1 dimensiones. Bueno, dicho así
parece un total. Vamos a ver. Por ejemplo el vector p, x y z. En
coordenadas homogéneas debería entrar representado. Con estas cuatro
coordenadas. W por x, w por y. W por z y w. Donde w es simplemente un
factor de escala. De ahí surge la cuarta. Coordinada. Por ejemplo. El
vector 2i3j4k. En coordenadas homogéneas. Sería 4, 6, 8. Si tenemos un
factor de escala de 2. 2 por 2, 4. 2 por 3, 6. O también lo podríamos
representar de esta otra manera. Con un factor de escala menos 3. Pues
sería 2 por menos 3, menos 6. 2. O sea. Menos 3 por 3, menos 9. Y menos 3
por 4, menos 10. De las dos formas. Representando el mismo punto. Pero
ahora ya con coordenadas homogéneas. Vector nulo, por ejemplo. Sería
este. Sus coordenadas 0. Y el factor de escala. Cualquiera. En adelante.
Vamos a emplear coordenadas homogéneas. Pero con un factor de escala
unidad. Por lo tanto. Todos los vectores tendrán cuatro componentes. Con
el W1. Bueno, matrices de transformación homogénea. La matriz de
transformación homogénea. Es una matriz 4x4. Que representa. La
transformación de un vector. De coordenadas homogéneas. De un sistema de
coordenadas a otro. Nuestro problema es siempre el mismo. Cómo transformar
un vector. En un sistema de coordenadas. En relación a otro sistema de
coordenadas. Es una matriz 4x4. Que está compuesta de varias matrices.
Aquí tenemos. Una submatriz 3x3. Que es la que nos va a representar la
orientación. Lo llamamos submatriz. De rotación. Una submatriz. 3x1. Que
nos va a representar la traslación. Y luego tenemos. Una matriz. De
perspectiva. En el caso de robótica. Es cero. No se utiliza. Escalado 1x1.
En el caso de robótica. Lo vamos a coger. Como 1. Entonces esta matriz.
Compuesta de estas 4 submatrices. La rotación que es lo importante. Y la
traslación. Nos dan. Lo que denominamos matriz. De transformación
homogénea. Una matriz 4x4 compuesta por 2 submatrices. Rotación y
traslación. Aunque ahora esto lo vean un poco confuso. No se preocupen.
Cuando aterrizamos en los problemas. La cosa se simplifica bastante. Vamos
a ver la aplicación. De las matrices de transformación. Comento un poco
brevemente. Lo que hace referencia a la página 78. De la figura 311.
Podemos representar una rotación. Y traslación realizada. Sobre un
sistema de referencia. Aquí tenemos un sistema de referencia. Y podemos
representar el sistema de referencia. Trasladado. A otro punto. Y además
rotado. Esta sería la matriz. De transformación. Con una rotación
determinada. Y una traslación determinada. La perspectiva 0. Eso sería
una posible aplicación. Pero tenemos más. Podemos ver las coordenadas. De
un vector r. En el sistema de referencia x y z. A partir de las
coordenadas. Conocidas en el sistema www. Es decir. Las coordenadas. En el
sistema x y z. Son iguales. A las conocidas w. A través de esa matriz de
transformación. También nos sirven. Para rotar y trasladar un vector r.
Respecto a un sistema de referencia fijo. Para transformarlo en una recta.
Hemos rotado. Y hemos trasladado. Y al final llegamos al r'. La ecuación
sería esta. Las coordenadas r'. Que son estas de aquí. A la izquierda.
Son las coordenadas iniciales. A través de la matriz de transformación.
Vamos a ver ahora la traslación. Lo que hemos visto antes era. Un poco la
introducción. La traslación. Hemos dicho que la matriz de transformación
homogénea. Está compuesta de dos submatrices. La primera. En este caso
como sólo estamos tratando. Una traslación. Que sería la unidad 1. Y
aquí representamos la traslación. Traslación es coger un vector. Y
trasladar ese sistema. En relación a un vector. Un vector son sus tres
coordenadas. La x, la y y la z. Y el escalado que ya hemos citado 1. Esto
es lo que se llama la matriz básica de traslación. La operación 322.
Traslación. No estamos hablando de rotación. El cambio de sistema de
coordenadas. Un vector. Ruvw. Tendrá de componentes en x y z. Pues esta
ecuación aquí. Es decir. Conocemos el vector. Sus componentes. Vw. Lo
hemos. Trasladado. Px, pi, pz. No hemos rotado nada. Y entonces. Las
coordenadas en el x y z. Se obtienen. Aplicando a las coordenadas
iniciales. La matriz de traslación. Y aquí nos saldría esta ecuación.
La ecuación 323. Y lo mismo pero al revés. Un vector. En el sistema x y
z. Desplazado según t. Pues obtuvimos aquí. Sus nuevas coordenadas. Vamos
a ver el ejemplo 3-1. La ecuación 329. Es un cambio de base. Trasladado a
un sistema. Esta es la figura de la izquierda. La que nos da el ejemplo.
Entonces en una figura vemos. Que el sistema uvw. Este sistema de aquí. Ha
sido trasladado. Este vector. 6-3, 8. Tendríamos el sistema inicialmente
aquí. Y lo hemos trasladado aquí. Según el vector t. Vale. Y nos piden
calcular. Las coordenadas del vector. Rx, r y rz. Es decir nos están
pidiendo las coordenadas. En el sistema xy. Es decir las coordenadas en
relación al x y z. Sabiendo que las coordenadas. En el uvw son. Menos 2. 7
menos 3. Es decir el vector verde. Resumiendo. Tenemos el sistema
trasladado. Según el vector p. A esta posición. Y un vector r. Que en
relación al sistema uvw. Tenga estas coordenadas. Menos 2, 7 menos 3. La
pregunta es que coordenadas tiene. En relación al sistema x y z. Bueno se
trata de un cambio. De sistemas de coordenadas. Aplicamos la ecuación
3-23. Que hemos visto antes. Las coordenadas x y z. Son las coordenadas
uvw. Por la reformación. Vamos a hablar de números. Es más fácil de
entender. El vector que nos dan. El uvw. Tiene coordenadas. Menos 2, 7
menos 3. Es el vector verde. Aquí lo tenemos representado. Lo que hemos.
Trasladado el sistema. Es el vector. 6 menos 3, 8. Que es el vector negro.
De aquí. Esto es esta parte. Lo que hemos trasladado. Esta operatoria. Nos
da como resultado. Esto de aquí. Y entonces ya sabemos. Las coordenadas
rx. Que será 4. ri4. Y rz11. Que son las que les he marcado aquí. Que son
las coordenadas del vector verde. Pero en relación al sistema x y z. El
ejemplo 3-2. Lo que hacemos es trasladar un vector. Nos están diciendo.
Que calculemos las coordenadas del vector rojo. Del r prima. En relación a
x y z. Receptante de trasladar el vector verde. 4, 4, 11. ¿Y cuánto lo
trasladamos? Pues con esta transformación. La de un vector. En este caso
el azul. 6 menos 3, menos 8. Cuando me están preguntando. Yo tengo el
vector verde. Le aplico una traslación. El vector azul. Y me están
preguntando cuáles son las coordenadas. De este vector verde. Una vez que
hemos hecho esta traslación. Esta transformación. Que sería el vector
rojo. Lo que me están preguntando. Aplicamos la ecuación de
desplazamiento de un vector. Vamos a la idea de números. En concreto. El
vector rx. Las coordenadas del vector inicial. Eran 4, 4, 11. El px, pi,
pc. Que es lo que nos hemos trasladado. Son 6 menos 3, 8. En esta parte de
aquí. Y esto operado. Nos da ya como resultado. Las coordenadas 10, 1, 19.
Que son estas que he marcado aquí. Que corresponden a las del vector rojo.
Que es el vector verde. Trasladado según el vector azul. Rotación.
Matrices básicas de rotación. Página 8080. Para las matrices básicas de
rotación. La rotación. Un ángulo. Fi. En relación al eje x. Que será
esto que habíamos obtenido antes. Y como solo tenemos rotación. Pues la
traslación en este caso es 1. 0, 0, 0, 1. Este 1 acuérdense que es el
factor de escala. Las coordenadas son. 0, 0, 0. Bueno pues la rotación. De
un ángulo z. Pues será lo mismo la matriz que ya hemos visto
anteriormente. Por una traslación que no exista. Y en relación al eje z.
Exactamente lo mismo. Esto se llama matrices homogéneas. De rotación. Que
nos van a ser muy útiles. Bueno aquí tenemos el ejemplo 3,3. De la
página 81. Que es rotar un sistema. Bueno según. La figura. El sistema
verde. Se me ha desplazado un poco respecto al negro. El UVW. Se encuentra
con respecto al sistema X y Z. Que es el negro. Girado menos 90 grados.
Alrededor del eje z. Alrededor del eje z hemos girado menos 90 grados. Y
nos hemos quedado. Con el sistema verde. El UVW. Evidentemente el UVW. Se
sigue correspondiendo con el eje z. Porque es en relación donde hemos
hecho el giro. Y lo que hemos hecho ha sido desplazar los otros dos. Bueno
nos preguntan. Las coordenadas. Del vector rojo del X y Z. Sabiendo. Que el
vector verde. En relación a. Al sistema UVW son. 4,8,12. Bueno pues
hacemos lo mismo de antes. Aplicamos la rotación. En este caso alrededor
del eje z. De un ángulo. Si. Distribuimos. El 4,8,12. Que es las
coordenadas del vector. En el sistema ya rotado. UVW. Bueno. Y aquí lo que
hacemos. Es sustituir. El ángulo. En este caso menos 90. Es calcular
coseno de menos 90. Menos seno de menos 90. 1. Y así calculamos todos los
términos de esta matriz. Y multiplicamos. Y obtenemos ya el resultado. 8,
menos 4. 12. Que son los que tenemos aquí representados. Que son las
coordenadas del vector R. ¿Vale? Pero en relación al sistema X y Z.
Fíjense como aquí me sale este negativo. Fíjense también por ejemplo.
El eje z, 12. Que sigue valiendo lo mismo. ¿Por qué? Porque la rotación
la hemos hecho en relación al eje z. Por lo tanto el eje z. Y el UVW no se
han movido. Pues sigue teniendo la misma coordenada. 12. Bueno. Traslación
junto con rotación. Podemos combinar rotaciones básicas. Multiplicando
las matrices correspondientes. Dato importante y cuidado. El producto de
matrices no es conmutativo. Por lo tanto no es lo mismo. Rotar y trasladar.
Que trasladar y después rotar. Voy a ir un poco más rápido ya. Bueno.
Aplicación. 8283. Rotación seguida de traslación. Expresada en silencio.
Sistema fijo. Lo tenemos aquí como sistema de referencia fijo. Hacemos.
Primero ponemos aquí la rotación. Sobre el eje x. Del ángulo y. Después
ponemos. La traslación. Es lo que tenemos aquí representado. La matriz de
rotación. Respecto al eje x. Del ángulo z. Que ya lo hemos obtenido
antes. Y la matriz de traslación. Que sería la verde. Y tendríamos
aquí. Esta composición. Exactamente lo mismo pero si. Rotamos el eje y. O
si rotamos el eje z. La traslación. Seguida de rotación. Es decir, lo que
entre de la anterior. Pues fíjense aquí como está. Si primero hacemos la
traslación. Eso viene aquí. Y como es una premultiplicación. Por ser el
sistema fijo. Después ponemos. La rotación. Y como ha sido lo último.
Viene la primera. Aquí les he marcado las dos transformaciones. Y aquí
tenemos estas situaciones. Que hay que verlas con un poco más de detalle.
Pero no tiene nada más importancia. Aquí tenemos un ejemplo. El 3-4. De
combinación de rotación y traslación. En este caso sobre un sistema
fijo. Nos dice que aquí tenemos el sistema. Uw. Que ha sido girado 90
grados. Alrededor del eje x. O x. Y que después ha sido trasladado. Según
este vector. El vector p que tenemos aquí. Primero lo hemos girado. Y
después lo hemos trasladado. Vector 8-4-2. Lo que nos preguntan es que
calculemos las coordenadas. De un vector que en la base uw. Tenga estas
coordenadas. Que coordenadas tendrá con el x y z. Bueno pues aplicamos la
ecuación que hemos visto antes. Rotar un ángulo. Del eje x. Y.
Trasladarlo. Aquí tendremos la ecuación fundamental. La matriz
fundamental. Pues ahora simplemente se trata de sustituir. El ángulo que
hemos girado. Y el que hemos trasladado. Y eso nos va a dar ya esto. Que
nos da las coordenadas. 5, 7, 16. Que son estas que he marcado aquí. Que
son las coordenadas de. Que estábamos buscando. De ese vector. Una vez que
hemos hecho esa transformación. El ejemplo 3, 5. Es una composición de
rotación y traslación. Bueno ahora ya todo es similar. Simplemente
cambian un poco. Bueno pues aquí primero hacemos una traslación. 8-4, 12.
Lo que es representado en verde. Lo trasladamos aquí. Y después hacemos
un giro de 90 grados. Y ya se nos convierte en esto. Y nos preguntan las
coordenadas. En el sistema x y z. De un vector que en el sistema. Nos puede
haberle hecho eso. Tenga de coordenadas. 3,-3,4,-11. Bueno pues aplicamos
en este caso. Una. Una traslación del vector p. Y una rotación alrededor
del eje x. Aplicamos la fórmula de la matriz. Calculamos. Pueden ver con
un poco más de tiempo. Del que lo estoy estudiando yo. Las reglas de
composición. Bueno el sistema. U'W. Se obtiene mediante transformaciones.
Definidas respecto a. Tenemos dos posibilidades. Podemos obtener este
sistema girado. Y rotado. En relación al sistema x y fijo. O al sistema.
Movil. Bueno si es. Respecto al sistema fijo. Las matrices se tienen que
pre multiplicar. Y si es respecto al sistema movil. Se tienen que post
multiplicar. En que orden ponemos las matrices. Cuando las multiplicamos.
En función de en que orden se han realizado. Los giros o las traslaciones.
Aquí tenemos un ejemplo. El ejemplo de la 3-6. Nos dice primero
realizamos. Un giro de menos pi alrededor del eje x. Una traslación de p.
Y un giro de pi alrededor del eje z. Como nos dice que se hace respecto al
sistema fijo. O x y z. Es decir todas las traslaciones son siempre. En
relación al sistema fijo. Al sistema inicial. Pues lo que hacemos es pre
multiplicar. Y entonces. Digamos que las ponemos en orden inverso. Como se
hacen. La primera operación. Que es el giro será la última matriz. La
segunda operación será la intermedia. Y la última. Transformación que
hacemos es la primera. Eso es pre multiplicar. Hacemos esta operación. Con
los números multiplicamos. Lo multiplicaré. Con el algebra de matrices
habitual. Y nos saldrá este resultado. Que es ya la matriz. Que representa
la composición. De estas tres transformaciones. En este caso. Respecto al
sistema fijo. Lo mismo pero. Respecto al sistema móvil. Es decir que
estamos. En este caso hacemos una traslación. En relación a este vector.
Luego hacemos un giro. No lo hacemos sobre el sistema x y z. Sino sobre el
nuevo sistema. Sobre el sistema ya trasladado. Y sobre el que hacemos el
giro. Lo que se llama sistema móvil. Y después hacemos un giro. Pero
también sobre el sistema ya girado. Entonces lo que tenemos que hacer es.
Pos multiplicar. Cuando hacemos las transformaciones. Sobre el sistema
móvil. Significa que las ponemos en este caso. En este orden. La primera
transformación que hacemos. Que es esta. La segunda es la segunda. Y la
última es la última. Que es justo lo contrario de lo que hemos hecho
antes. Llamado premultiplicación. Porque era sobre el sistema fijo. Bueno
que significado geométrico. Tienen estas matrices. Esta matriz de
transformación que hemos obtenido. Es una matriz 4x4. Bueno tiene aquí
unas coordenadas. Bueno esta parte de aquí. Estas tres. Es px, py, z.
Representa precisamente la posición del origen. Del sistema w. Con
respecto al sistema xy. Es decir representa. Ese sistema que hemos
trasladado o girado. Pues la posición el punto. El origen. Y las otras
coordenadas. Esta columna, esta columna y esta columna. Representa. La
primera columna llamada n. Representa las coordenadas del eje. O' u. Del
nuevo sistema. Con respecto al sistema x y z. Es decir las coordenadas de
ese eje. Del eje u. En relación al sistema x y z. Es lo que nos
representa. Estas tres. Lo que llamamos o. Es esta columna intermedia.
Representa las coordenadas del eje v. Respecto al x y z otra vez. Y el
vector ax, a y az. Las coordenadas ax, a y az. Representa las coordenadas.
Del vector del eje w. Respecto al x y z. Es decir. Que la columna de la
derecha. Representa el origen. De ese sistema ya trasladado. Y las otras
nos representan. Las coordenadas de los tres ejes. De ese sistema
trasladado. Eso lo podemos representar abrigadamente así. Como a, m, o, q.
Y debajo el cero, cero, cero. Que era la perspectiva que el robotista nos
emplea. Y. Factor de escalado que es uno. ¿Qué significado geométrico
tiene esto? Aplicándolo a un robot. Es lo que tenemos en la figura 319 del
texto. Tenemos dicho. Que las matrices de transformación homogénea. Nos
permite describir la posición y orientación. Del extremo del. En este
caso del robot con respecto a la base. La localización del extremo del
robot. Respecto a la base queda definida. Asociando a la base del robot. Un
sistema de referencia fijo. El R. Vamos a asociar a la base. Un sistema de
referencia fijo. Y asociamos al extremo del robot. Este. El sistema de
referencia que se mueva con el H. Dibujado como rojo. Entonces podemos
expresar. Este sistema R. ¿Vale? Expresando en la base R. El nuevo sistema
H. Hemos dicho ya. Que esa matriz de rotación nos definía. El punto P.
Que sería el origen de este nuevo sistema. Y los vectores NOA. Nos
representan los ejes. Y se eligen de la siguiente manera. El A es un
vector. Este de aquí. Elegido en la dirección de aproximación. Del
extremo del robot al destino. El O que es este de aquí. Es un vector
perpendicular. En el plano que define la pinza del robot. Y el N es el
tercer vector. Que tiene que formar terna ortogona. ¿Vale? Con la
aplicación del caso del robot. De lo que hemos visto antes. De la matriz
de transformación. Que es este componente. Que nos representa el origen. Y
los tres ejes. Vamos a hablar ya de la otra parte. De la localización. Lo
que hemos visto hasta ahora ha sido esto. Matriz de transformación
homogénea. La localización. Es decir, posición y orientación. Y ahora
lo mismo pero con un sistema de cuata. Los cuaternios ya los hemos
comentado. Un poco antes. Era cuatro componentes. Y también hemos
explicado. Esta relación que es fundamental. Que nos relacionaba un
cuaternio. Con una rotación. Con el par de rotación. La solución era
que. Rotar un vector K. Un ángulo Z. Es lo mismo que el cuaternio. Que sea
coseno de 10 y medio. Como primera coordenada. Y las otras tres
coordenadas. Son K por el seno de 10 y medio. K es el vector. Por lo tanto.
Y JK. Por el seno de 10 y medio. Entonces nos salen las tres coordenadas.
Que son estas. Esta asociación. Entre par de rotación y cuaternios. Va a
ser fundamental. Aquí les recomiendo que vean el problema 3-2. Que dejaré
también grabado. Donde lo vamos a concretar ya con números. Mucho más
fácil de seguir. Aquí tenemos un poco la jela de cuaternios. Esta
fórmula es importante. ¿Cómo se multiplican cuaternios? Pues esta
fórmula que tenemos aquí. En el problema 3-2. Se verá con números muy
fácilmente. El escarabajo de la cabeza. Más operatoria. Subiendo al
producto. No tiene más importancia. Rotaciones. Composición de
rotaciones. Con cuaternios. Ya hemos explicado que era un cuaternio. El
cuaternio que representa. Un giro Z sobre el eje K. Lo vamos a representar.
Con el amor de clase. Vamos a tener un poco de tiempo. En caso de acciones.
Es lo que hemos comentado antes. Transformamos K en sus componentes. Y ZK.
Y en el eje y medios. Ya tenemos las cuatro componentes del cuaternio.
Importante. La aplicación de la rotación expresada. Por el cuaternio Q.
Yo quiero expresar una rotación. La aplicación de la rotación expresada.
Por el cuaternio Q. En vector R. Viene definida por esta ecuación. La 364.
En vez del problema 3-2. Es un producto de. Este producto de. Donde Q
asterisco es. El cuaternio conjugado. Que tenemos en la página 93. Que es
muy sencillo. Y conjugado simplemente hacemos esto. Mantenemos la primera
coordenada igual. Y ponemos encima las siguientes. Hay que hacer. Esta
operación de aquí. Y con eso ya tendremos. Tratado. Que ocurre cuando ese
vector R. Lo hemos girado. Y para la composición de rotaciones.
Simplemente. Multiplicamos los cuaternios correspondientes. A cada una de
las rotaciones. Tenemos un cuaternio equivalente. Como composición.
Nuevamente le remito al problema 3-2. Una rotación. En la página 95. Pues
aquí tenemos. Todas las combinaciones posibles. Esto no tiene más
importancia. Mirándolo un poco. Lo importante yo creo que es lo anterior.
Y un poco. La comparación entre los métodos. De localización espacial.
Matices de transformación homogéneas. Sus ventajas e inconvenientes. Los
ángulos de Euler. El par de rotación y los cuaternios. Pueden un poco
analizar. Un poco rápido. Y lo último. Que nos trata el tema. Es la
relación entre los métodos. De localización espacial. Cómo cambiamos de
ángulos de Euler. A matices de transformación homogénea. Aplicando estas
fórmulas. Según sea el sistema u otro. Matices de transformación
homogénea. Ángulos de Euler. El proceso un poco que tenemos que seguir.
Aunque ya hemos dicho que los ángulos de Euler. Tienen problemas que hacen
que sean. Un poco aplicados. Par de rotación. Matices de transformación
homogénea. Esto ya empieza a ser más útil. Lo pueden también analizar
un poco. Y un poco a la parte que sea más importante. Matices de
rotación. Par de rotación. También tiene su importancia. Par de
rotación cuaternios. Esto es muy importante. Nos permite calcular los
cuaternios. Las cuatro coordenadas de los cuaternios. Sabiendo el par de
rotación. Y sabiendo el ángulo que giro. Y la exponente del vector sobre
el que giro. Sabiendo k. Y sabiendo fi. Podemos calcular q cero, q uno, q
dos, q tres. A nivel de problemas. Es una ecuación que nos recitará. Una
traslación que nos recitará. Muchas veces necesaria. Cuaternios par de
rotación. Exactamente lo mismo. Sabiendo los cuaternios. Q cero, las
coordenadas. Calculamos el ángulo. Y calculamos las coordenadas. Los
cuaternios en matriz de transformación homogénea. Si yo sé los
cuaternios. Si sé q cero, q uno, q dos. Si quiero saber los términos de
la matriz. De transformación. Aquí lo tenemos. Y esto también es muy
importante. Y es la última. Cómo transformamos la matriz de
transformación homogénea. En cuaternios. Sabiendo los vectores NOA. M, O,
A. Cómo podemos obtener. Las coordenadas del cuaterno. Q cero, q uno, q
dos, q tres. Es una cosa muy sencilla. Aquí se puso una nota. En el libro
no queda claro. Pero además de hallar estos valores. Para las Q tenemos
que hallar los signos. Y los signos se hallan mediante la expresión 381.
De la página 101. Y aquí faltaría. Para qué signo tendrá cada uno.
También le remito. A dos ejemplos. Que aunque están muy adelante en el
libro. Pueden verlos un poco. Que es en la página 397 y 304. Donde se
calcula precisamente. Esta transformación. Y se calculan los signos.
Espero no haberles cansado mucho. En una hora. Pero como esto va a quedar
grabado. Y pueden parar en cualquier momento. Porque pueden un poco
reflexionar. Y revisar la página o la fórmula que yo cito. Y sobre todo.
Que se empiece ya un poco a perder el nudo. A este tema 3. Que es la
primera vez que se ve. Bueno lo recuerdo que queda grabado. Y muchas
gracias.