Bien, este es el módulo S1F titulado Movimiento esférico, ángulos y
rotaciones de Euler, tal y como aparece en la transparencia. Y en él vamos
a analizar las rotaciones esféricas siguiendo los ángulos de Euler. Como
se sabe bien, a medida que aumenta el número de dimensiones de un objeto
se dificulta su representación. Es decir, que es más fácil representar
un objeto en una dimensión que en dos y todavía en tres es más difícil.
En este módulo vamos a tratar de representar la posición de un punto de
un sólido con un movimiento especial. Y lo vamos a hacer de una forma
sencilla debido a Euler. Y al mismo tiempo aprovecharemos para analizar de
manera somera, de forma básica, dicho movimiento. Lo que queremos analizar
aquí es el movimiento. El movimiento espacial de un sólido con rotaciones
esféricas. Es decir... rotaciones alrededor de un eje que se mueve
permaneciendo fijo siempre uno de sus puntos. Para poder comprender mejor
este apartado nos vamos a apoyar en un artilugio que realiza dicho
movimiento espacial, que es ni más ni menos que el giroscopio. Giroscopio
Seguramente habréis oído hablar de él, porque es un aparato que se
utiliza mucho en navegación aérea, en navegación marítima y tiene
muchas otras aplicaciones en el mundo real. Un giroscopio consiste
básicamente en un rotor que puede girar libremente alrededor de su eje
geométrico. Giroscopio Está montado en una suspensión, este rotor está
montado en una suspensión cardan y por lo tanto puede adoptar cualquier
orientación permaneciendo su centro de masas fijo en el espacio. Lo vemos
ahí en la figura superior derecha. Y como se ve en esa figura que se ha
representado ahí a la derecha, figura superior, el giroscopio dispone de
un aro exterior, que se ha pintado de color verde, que puede girar
alrededor del eje AA', a través de unos cojinetes, que son los marcados
como A y A', respectivamente. Un segundo aro, pintado este de color rojo,
puede girar alrededor del eje BB', por medio, asimismo, de los cojinetes
marcados en la figura como B y B'. Estos cojinetes están solidarios al aro
exterior, al aro verde. Finalmente, un disco macizo o rotor, que ahí se ha
pintado en la figura de color azul oscuro, puede girar alrededor del eje C,
C', a través de los cojinetes marcados como C. y C' y que son solidarios
al aro interior de color rojo. Tomaremos para estudiar el movimiento de
este artilugio, de este giroscopio, un sistema de referencia fijo que hemos
designado en la figura como el O, origen de coordenadas, X1, Y1 y Z1, los
ejes respectivos. A este sistema de referencia fijo le llamaremos sistema 1
o sistema fijo con el origen O, tal y como acabamos de decir, de este
sistema fijo en el centro de masas del giroscopio y el eje Z1, tal y como
se ve en la figura, está dirigido según la recta que une los cojinetes
AA' del aro de suspensión exterior. Todo esto se puede ver en la figura
superior. Fátil. Como posición inicial o como posición de referencia,
vamos a tomar la que se presenta en la figura que aparece ahí. En la que
dos aros de suspensión, los dos aros de suspensión, el rojo y el fijo, el
interior y el exterior respectivamente, y un cierto diámetro de D' del
rotor, se encuentran en el plano fijo XZ, o X1Z1. Esa es la posición
original. Los discos están en el plano XZ, tanto el exterior como el
exterior. Desde esa posición de referencia, el giroscopio puede llevarse a
cualquier otra a través de los siguientes pasos. Para esto ya nos vamos a
fijar en la figura inferior. En la figura inferior ya se ha movido el
giroscopio y aparece en una posición determinada. Vamos a analizarla. Se
han dado para... Para mover, para poner el giroscopio en esta posición que
se ve en la figura inferior, se han dado los siguientes pasos. Primer paso,
rotación de ángulo G, de un ángulo G que está representado en la
figura, del aro exterior, de color verde, alrededor del eje AA'. Segundo
paso, hemos hecho rotar una angulocita, el aro interior, de color rojo,
alrededor del eje BB'. Y tercer paso, hemos hecho rotar el rotor, de color
azul, un ángulo Φ, alrededor del eje CC'. El resultado de estos tres
pasos es que el giroscopio adopta la posición que se ve en la figura
inferior. Estos ángulos, los ángulos G, Z y Φ, son los llamados ángulos
de Euler. Y definen por completo la posición del giroscopio en cualquier
instante. Las derivadas con respecto al tiempo de los ángulos de Euler que
acabamos de ver, es decir, la derivada del ángulo ji con respecto a t, la
derivada del ángulo zita del aro interior con respecto a t y la derivada
del ángulo fi del rotor con respecto a t, definen respectivamente, como ya
sabemos, las velocidades angulares que les vamos a llamar de precesión en
el caso del ángulo ji, es decir, el ángulo girado por el aro exterior, la
derivada respecto al tiempo de este ángulo es la velocidad angular que le
vamos a llamar de precesión. Por lo tanto, también nos vamos a referir al
ángulo ji como ángulo de precesión. La velocidad resultado de derivar el
ángulo, zita, girado por el aro interior rojo con respecto al tiempo, le
vamos a llamar velocidad angular de nutación y, por lo tanto, al ángulo
zita le vamos a llamar ángulo de Euler de nutación. Y finalmente, la
derivada del ángulo de rotación del rotor, el ángulo phi, con respecto
al tiempo, le vamos a llamar velocidad angular de rotación. O sea que hay
tres velocidades, precesión, mutación y rotación, correspondiente a las
derivadas temporales de los ángulos phi, cita y phi, y correspondientes al
v, a su vez, al aro exterior, al aro interior y al rotor respectivamente.
Para calcular la velocidad angular del giroscopio, añadiremos unos ejes
móviles en rotación, que son los que aparecen ahí en la figura inferior,
como con centro en O, x sub cero, y sub cero, z sub cero. Y que están
pintados de color magenta. A estos... Ejes que ahora ya son móviles, a
diferencia de los anteriores que permanecían fijos en todo instante, estos
son móviles, le vamos a llamar ejes cero. Y son unos ejes que están
solidarios al aro interior, al aro rojo. Es decir, están como si
estuvieran soldados al aro rojo. Y el eje OXU0 de estos ejes móviles
coincide con el eje BB' del giroscopio. Se ve claramente en la figura.
Ahora, sólo nos queda determinar las velocidades angulares del giroscopio,
que ya sabemos cómo se llaman, de nutación, de precesión, de rotación,
etc. Esas son individuales. De los aros fijo, interior, exterior, roto,
etc., Pero nos queda determinar la velocidad angular resultante de estas
tres, de la suma de estos tres, la suma vectorial de estas tres velocidades
angulares del giroscopio. De momento nos quedaremos en este módulo con el
cálculo solamente de las velocidades angulares. Más adelante ya
determinaremos las aceleraciones también, que las vamos a necesitar. Pero
en este módulo nos vamos a quedar con el estudio de las velocidades
angulares de este artilugio, de este giroscopio. Pero antes de calcular las
velocidades angulares del giroscopio, proyectaremos los versores fijos, de
los versores que definen la dirección de los ejes fijos, los proyectaremos
sobre los ejes móviles. Con el fin de encontrar una expresión que nos
permita realizar el cambio de base de ejes móviles a ejes fijos. Y para
ello... Vamos a realizar los movimientos de los aros fijo y móvil que
vimos anteriormente en dos tiempos, en dos pasos. En el paso o en el tiempo
1 rotaremos los ejes móviles que hemos llamado ejes 0 alrededor del eje Z1
un ángulo G que era el ángulo de precesión. Para esto vamos a fijarnos
en la figura izquierda que corresponde, o sea, como hemos dicho al
movimiento de precesión. El ángulo G corresponde al movimiento de
precesión del giroscopio. Pasando de esta forma los ejes X1 e Y1 tal y
como se ve en la figura a ocupar las posiciones X0 e Y0' todas ellas, todos
estos cuatro ejes están en el plano de la figura. El plano X1 es 1, no nos
hemos salido de ese plano. Por lo tanto, el primer paso será rotar los
ejes. X1, Y1 alrededor del eje Z1, un ángulo Y que es el ángulo de
precesión. Y en el segundo paso, rotaremos los ejes móviles 0 alrededor
del eje X0, un ángulo Z que es el ángulo de nutación, partiendo de la
posición en que habían quedado después del movimiento primero, con lo
cual los ejes Y0' y Z0 rotarán asimismo un ángulo Z alrededor del eje X0,
tal y como se ve en la figura de la derecha. De tal forma que los ejes
O1Z0, O1Z1 y O1Y0 quedan en el mismo plano, los tres. Y a este plano, que
forman esos ejes, le vamos a llamar plano pi, que lo hemos representado
ahí en la figura. La traza o intersección de este plano pi con el plano
OXU1 y SU1 es precisamente el eje OSU1 y SU1' que aparece en la figura.
Proyectaremos a continuación, en cada uno de los movimientos que hemos
descrito en la transparencia anterior, los ejes fijos 1 sobre los ejes
móviles 0 a través de los versores que definen o que fijan la dirección
de dichos ejes. En el primer movimiento proyectaremos los versores ISU1 y
JSU1 en las direcciones ISU0 y JSU0', tal y como se puede ver en la figura
izquierda. Pero para mayor claridad, para que se vea mejor y se entienda
mejor, se ha representado en la figura de la derecha una vista en planta
del plano O su 1, X su 1, Y su 1 con los ejes móviles y fijos. Así como
las proyecciones de los versores fijos I su 1 y J su 1 sobre los ejes
móviles X su 0 e Y su 0. Ahí en la fila de la derecha veis que solamente,
ya no vemos el eje Z su 1 o Z su 0. Vemos solamente los ejes X su 1 e Y su
1 porque estamos viéndolo en planta. Estamos viendo el plano O, X su 1 y Y
su 1 desde el eje Z. Y observamos como vemos los versores Y su 1 en su
verdadera dimensión y el J su 1 en su verdadera dimensión que son los
vectores rojos que aparecen en la figura de la derecha. También vemos los
ejes móviles que son el X su 0 y el Y su 1. Y su 0, girados un ángulo J
tal y como hemos dicho que correspondía al primer movimiento. Y a
continuación lo que vamos a hacer es... para proyectar los versores I1 y
J1 sobre los ejes móviles X0 y J0, que son esas proyecciones que veis ahí
de cada uno de los efectos. Como resultado de dichas proyecciones podemos
obtener lo siguiente, eso que veis ahí en la transparencia. El versor I0
está figura pintado en verde y que nos define la dirección del eje X0, el
vector I0 que define la dirección del eje X0 será igual a la suma de las
proyecciones del vector I1 y del J1 sobre el X0, que son ni más ni menos
que O1A más O1B. Pero O1A en el triángulo O1A, o sea, I1 será igual a I1
por coseno de J. Y O1B en el triángulo... O sub 1 J sub 1 B será igual a
J sub 1, que es la hipotenusa, por el seno del ángulo comprendido, que es
el seno del eje. Lo mismo el J sub 0', que es la proyección de los
vectores I sub 1 y J sub 1 sobre el eje móvil I sub 0'. Será igual a la
proyección O sub 1 C menos la proyección O sub 1 D, menos porque O sub 1
D va en sentido negativo de los valores negativos del eje I sub 0. Por
tanto, aplicando trigonometría sencilla también, será igual a menos I
sub 1 seno de J más J sub 1 coseno de J. Estas dos que acabamos de ver son
las ecuaciones que representan el cambio de coordenadas de los ejes fijos X
sub 1 y I sub 1 a los ejes móviles X sub 0 e I sub 0 B. De esta forma ya
tenemos proyectados todos los versores, los ejes fijos del plano fijo O sub
1, X sub 1 y I sub 1. Sobre los ejes móviles os1, x0 y su0 nos faltan
solamente las proyecciones correspondientes al eje vertical que nos hemos
olvidado de él, al eje os1, z0, al tercer eje, que las vamos a ver. Para
esto era el segundo movimiento. En el segundo movimiento del que hablamos
antes, proyectaremos los versores i su1, j su1 y k su1 contenidos en el
plano pi, que hablamos de él y que figura ahí en las figuras de abajo,
sobre el versor k su0, que era la dirección que nos faltaba, o sea, sobre
el eje z su0, tal como aparece en la figura de aquí. Una vez más, para
facilitar el estudio, en la figura de la derecha representamos al plano pi
formado por los ejes i su1'. y perdón, y sub cero prima, y sub cero, z sub
cero y z sub uno, visto desde el eje x sub cero. Es decir, olvidándonos
del eje x sub cero. Y así mismo se ven todas las proyecciones de los
versores j sub cero prima y k sub uno, los ejes fijos que queremos
proyectar en los ejes móviles y sub cero y z sub cero. O mejor dicho,
sobre el z sub cero, que era lo único que nos faltaba. La dirección z sub
cero del eje móvil era la única que nos faltaba. Bien, obsérvese que el
vector j sub cero prima, que aparece en la figura de la derecha, ya
contiene las proyecciones de i sub uno y de j sub uno sobre él mismo. Solo
queda proyectarlo sobre k sub cero. Pero, conjuntamente con el vector k sub
uno, que a ese sí que no lo habíamos tocado. Antes, en el anterior
movimiento, en el movimiento primero, lo habíamos obviado al k sub uno.
Por tanto, ahora también hay que proyectarlo. Por lo tanto... Resulta, de
ahí la figura se saca fácilmente las proyecciones sobre el eje Z sub 0,
que será K sub 0, será igual a la proyección O sub 1A, correspondiente
al vector K sub 1, menos la proyección O sub 1C, correspondiente al vector
J sub 0', negativa porque, como se ve, está en el lado negativo del eje Z
sub 0. Por lo tanto, aplicando la trigonometría a esos triángulos que
vemos ahí, es muy fácil deducir que esto es igual a K sub 1 por coseno de
zeta menos J sub 0' por seno de zeta. Y sustituyendo el valor de J sub 0'
determinado en la anterior transparencia, resulta... que la expresión
final será esta. K sub 0 igual a seno de J por seno de zeta por I sub 1...
menos coseno de j por seno de cita por j sub 1, más coseno de cita por k
sub 1. Esta ecuación representa el cambio de coordenadas de los ejes fijos
x1, y1, z1, al eje móvil z sub 0, que era el que nos faltaba. Y que
conjuntamente con las vistas en la transparencia anterior, constituyen el
cambio completo de coordenadas de ejes fijos 1 a ejes móviles 0. Pero
también nos va a interesar, nos va a ser interesante, expresar el versor k
sub 1 en función de los versores j sub 0 y k sub 0 correspondientes a los
ejes móviles 0, es decir, el paso contrario al que acabamos de dar. Antes
hemos determinado en los versores Móviles en función de los fijos. Ahora
vamos a representar el versor fijo K1, que nos define la dirección del eje
Z1, en función de los móviles K0 y J0. Es muy fácil. Tal y como se ve en
la transparencia, K1 será igual a la proyección del vector K0 sobre K1
más la proyección del vector J0 sobre el K1 también. Es decir, que será
igual a O1E más O1F. Y teniendo en cuenta los triángulos rectángulos que
figuran ahí en la transparencia, es muy fácil deducir que esto es igual a
K0 por coseno de cita más J0 por seno de cita. Ya tenemos representado el
vector fijo K1 en función de los versores móviles K0 y J0. Que lo vamos a
necesitar más adelante como... Ya he dicho. Bien, una vez realizados los
cambios de coordenadas de ejes móviles a ejes fijos y viceversa, que es lo
que acabamos de hacer, ya estamos en disposición de determinar las
velocidades angulares de los diferentes elementos que componen el
giroscopio, así como la velocidad angular resultante total del giroscopio.
Bien, comencemos determinando la velocidad angular omega minúscula
absoluta, es decir, la velocidad angular del giroscopio, la velocidad
angular resultante absoluta del giroscopio, con relación al sistema de
referencia fijo, a lo x1 y su 1 z1, es decir, al sistema de referencia
llamado, que llamábamos 1. Pero, pero, pero, expresada esta referencia,
esta velocidad angular, en los ejes móviles cero. A ver si me explico.
Vamos a determinar la velocidad angular, que ha de ser obviamente un vector
absoluta, es decir, medida por un observador que está fijo a los ejes
fijos x1, que está descansando en los ejes fijos o x1, x1, z1. Pero este
vector, en lugar de expresarlos en coordenadas, en las coordenadas de estos
ejes fijos, x1, y1, z1, lo vamos a representar en las coordenadas de los
ejes móviles, del x0 y su 0 y z0. ¿Por qué? Pues porque va a ser mucho
más fácil como vamos a ver a continuación. Esto nos servirá más
adelante además, cuando analicemos dinámicamente el movimiento del
giroscopio. Nos va a ser de mucha utilidad esto que vamos a hacer ahora.
Obsérvese antes de nada que en la figura que vemos ahí en la
transparencia hemos representado... ... las derivadas temporales, es decir,
las derivadas de los ángulos con respecto al tiempo por una comilla. En
realidad no se representan así. Se representan por un punto encima de la
letra que representa el ángulo. Pero como aquí en AutoCAD no sé colocar
el punto encima, pues me vais a perdonar, lo he sustituido el punto por una
comilla. Es decir, cuando aparezca fi' por ejemplo, como veis aquí en la
figura, fi' significa que es derivada de fi con respecto al tiempo. Es
decir, una velocidad angular. Bien, la velocidad angular resultante del
giroscopio ha de ser obviamente la suma vectorial de las tres velocidades
angulares de los tres elementos de que consta el giroscopio. Es decir, de
la velocidad angular del aro exterior, más la velocidad angular del aro
interior rojo, más la velocidad angular del rotor azul. Sumadas
vectorialmente, claro está. Entonces, hagámoslo. Vamos a ver. Es lo que
hemos hecho aquí. Velocidad angular resultante. será igual a, derivada de
cita respecto de t, que es el ángulo de precesión, perdón, de nutación,
perdón, la velocidad, no el ángulo. Derivada del ángulo de nutación con
respecto al tiempo es la velocidad de nutación, multiplicado por la
dirección de este vector, y sub cero. Y sub cero, claro, puesto que el
movimiento de nutación se realiza alrededor del eje BB', que coincide con
el eje x sub cero, con el eje móvil x sub cero, por lo tanto, con el
versor y sub cero. Por eso se puso y sub cero ahí. Más la velocidad, esta
era la velocidad del disco exterior, más la velocidad del rotor, derivada
de fi con respecto al tiempo, que es la velocidad de rotación,
multiplicado por la dirección que tiene, que está aquí. K sub cero, ese
vector que es K sub cero. ¿Por qué es K sub cero? Pues porque el
movimiento de rotación se realiza alrededor del eje CC', que coincide con
el eje z sub cero, con el eje móvil z sub cero, y por lo tanto tiene
como... versor representativo el caso cero y nos queda solamente la
velocidad del aro interior, del rojo que es la velocidad de precesión
derivada de g con respecto al tiempo multiplicado por caso uno, ¿por qué
por caso uno? pues una vez más, es que el movimiento de precesión se
realiza alrededor del eje A' que coincide con el eje z1, esta vez un eje
fijo por lo tanto el versor que define la dirección de ese eje es el caso
uno claro, fijaros que estamos mezclando chorizos con manzanas estamos
mezclando los versores iso cero y caso cero que definen ejes móviles y
luego el vector caso uno que define un eje fijo decíamos arriba que
queríamos expresar estas velocidades en los ejes móviles El caso 1 no es
un eje móvil, que es un eje fijo. Por lo tanto, hay que sacarlo de ahí.
¿Cómo lo sacamos de ahí? Pues muy fácil, sustituyendo las expresiones
antes calculadas para el vector caso 1 en función de los ejes móviles,
que lo hemos visto en las transparencias anteriores. Si hacemos esto,
obtendremos esta relación de aquí abajo, que es la misma que arriba, pero
sustituyendo caso 1 por sus componentes de los ejes móviles. Y esta
expresión es la velocidad angular absoluta resultante del giroscopio, pero
expresada en los ejes móviles. Una expresión sencilla, como ya veis.
Fácil, como ya veis. Fácil y sencilla porque hemos utilizado los ejes
móviles para expresar esa velocidad angular, que aun siendo una velocidad
angular absoluta, repito, Por lo tanto, con relación a los ejes fijos, el
dicho vector omega lo hemos representado en los ejes móviles. Puedo
hacerlo, no tengo ningún problema de hacer eso. Bien, pero asimismo puede
interesarnos en algún momento determinar la velocidad angular absoluta del
aro interior. Es decir, la velocidad angular referenciada a los ejes fijos
1, pero asimismo expresada en los ejes móviles 0, tal como hemos hecho
anteriormente. Vamos a hacerlo. Esto también nos va a valer de mucho
cuando lleguemos a dinámica y estudiamos la dinámica de este giroscopio.
Ahora vamos a llamarle a la velocidad del aro interior. El aro rojo lo
vamos a llamar omega mayúscula. Y el aro rojo, lógicamente, tiene dos
velocidades. Una que es la velocidad de denotación. que es el movimiento
de la angulocita que veis en la figura, multiplicado por y sub cero, puesto
que tiene la dirección del eje x sub cero, más el movimiento de
precesión, que es alrededor del eje a a prima. Por lo tanto, tiene la
dirección de k sub 1, del eje z sub 1, del eje fijo. Así de sencillo. Por
lo tanto, el área interior no tiene ningún movimiento más, ninguna
rotación más. Solamente tiene estas dos. Porque la otra que falta, que es
la rotación del rotor, derivada de fi respecto de t, no la tiene el área
interior, solamente la tiene el rotor. Por lo tanto, no pertenece al área
interior. El área interior solamente tiene estas dos. Mutación y
precesión. Ahora, lo que tenemos que hacer es poner k sub 1 en función de
los ejes móviles. Volvemos otra vez a lo que hemos dicho antes.
Anteriormente, en una transparencia anterior, teníamos... El versor K1 en
función de los versores de los ejes móviles. Pues sustituyámoslo ahí.
Si lo sustituimos obtenemos esta expresión que vemos ahí. Derivada de
zita respecto a T por I sub cero. Más derivada de giro respecto a T por
seno de zita por J sub cero. Más derivada de giro respecto a T por coseno
de zita por K sub cero. Que es la velocidad angular absoluta, con respecto
a los ejes fijos, del aro interior, marcado con rojo. Pero expresada en los
ejes móviles. Las velocidades angulares absolutas así expresadas, tal y
como las acabamos de expresar en los ejes móviles cero, no serán de gran
utilidad en dinámica. Sin embargo, a veces interesa a sí mismo
representarla en los ejes fijos, en los ejes uno. Lo cual vamos a hacer a
continuación. Y veremos cómo se dificulta... el cálculo. La velocidad
angular absoluta del giroscopio, volvemos a lo de antes, será, ya le hemos
dicho antes esta expresión, será igual a la velocidad de nutación por su
dirección, más el vector velocidad de rotación por su dirección, más
la velocidad de precesión por su dirección. Aparecen ahí dos direcciones
de los ejes móviles y sub cero y caso cero y una dirección del eje fijo,
caso. Haciendo uso de las expresiones antes calculadas para isu cero y caso
cero, es decir, realizando el cambio de coordenadas de ejes móviles a ejes
fijos, resulta, sin más que sustituir en la expresión que acabamos de
remarcar en amarillo, los valores de isu cero y caso cero que se han
calculado antes en la transparencia anterior en función de los ejes fijos
de isu cero y caso uno y j suro, bueno, sustituyéndolos. En esa fórmula
que acabamos de ver, la marcada como estrella 1 arriba, pues nos va a salir
otra fórmula, otra expresión, que es esta que veis aquí abajo. Que es
desde luego más larga y más complicada. Esta es una expresión que nos da
la velocidad angular absoluta resultante del giroscopio, pero expresada en
los ejes fijos. No en los ejes móviles como hemos hecho anteriormente.
Como se ve, es una expresión más compleja que la misma velocidad, pero
expresada en los ejes móviles que hemos visto anteriormente. Sin embargo,
es como aparece expresada en el libro básico de la asignatura. Por lo
tanto, debemos tenerla en cuenta. Nada más. Muchas gracias y hasta el
siguiente.