Bueno, una operación muy común en mecánica es la derivación de
vectores con dirección cambiante con el tiempo. Y es tan importante, y la
vamos a usar tanto en esta asignatura que no me importa reincidir en ella,
si bien ya está explicada en el módulo de cálculo vectorial. Así pues
vamos a ponernos a la faena. A ello vamos a dedicar entonces este mini
módulo, llamado módulo de V, derivación de vectores en ejes móviles.
Los vectores velocidad pueden variar con el tiempo, tanto en módulo como
en dirección. Y la suma vectorial de ambas variaciones da lugar al vector
aceleración resultante. En este módulo aprenderemos a determinar cada una
de estas variaciones o aceleraciones. Además, lo haremos con un ejemplo de
cinemática, materia en la que usaremos profusamente estos conceptos. Y
repartiremos a cada uno de los observadores del movimiento las tareas de
determinar cada una de las diferentes variaciones temporales o
aceleraciones antes citadas. Empecemos construyendo unos sistemas que nos
permitan determinar cada una de las variaciones de triedros de referencia,
a los cuales vamos a relacionar los movimientos del sólido en estudio. En
la figura que veis a la derecha de la transparencia podemos observar que un
disco circular D, de color azul, marcado con 2, este que veis ahí, marcado
con el número 2, está apoyado en el suelo. Es decir, en el plano OX1ISU1
que hace de cero, concretamente en el punto B. Y rueda sobre él sin
deslizar con una velocidad angular relativa omega 2,0, cuyo vector se ha
colocado ahí, de color rojo, en el punto O, origen de coordenadas.
Todavía no hemos dicho nada del triedro. En el punto. Y al mismo tiempo
este disco rota alrededor del eje, el eje OZ1, con una velocidad angular
omega 0,1 que también está dibujado ahí en rojo el vector que la
representa. Y esta rotación, segunda rotación, es debido a la ligadura de
la barra MO que está articulada en los puntos M y O. Es decir, al rotar el
disco sobre el suelo, obliga también la barra esta de que hablamos, MO, a
rotar el disco también alrededor. A rotar el disco alrededor del eje OZ1.
Para estudiar este movimiento, vamos a trazar dos triedros que están
también representados en la figura. Uno, el fijo, que vamos a llamar
absoluto, está solidario a tierra, solidario al suelo. Y es el OX1ISU1Z1
que está marcado con 1 ahí lo veis y está de color, los ejes dibujados
en color azul. Y otro triedro será el móvil que es un triedro relativo
que es solidario a la barra MO, por lo tanto se mueve con ella y que le
hemos llamado OXIZ lo hemos marcado con 0 y lo hemos pintado los ejes de
color verde. El módulo del vector OZ1ISU1Z1Z1, omega 2,0 de rotación del
disco cuando rueda sin deslizar sobre el suelo puede variar con el tiempo
haciendo que el disco ruede más o menos veloz es decir, ruede con una
velocidad angular mayor o menor dependiendo del tiempo. Y esto da lugar a
una aceleración angular que vamos a llamar modular porque se mueve con una
velocidad angular y se refiere al módulo del vector omega 2,0
exclusivamente. Es una variación del módulo del vector angular omega 2,0
y que calcularemos de la forma que vemos ahí en la transparencia vamos a
llamarle alfa m, alfa sub m por lo de modular es igual a la derivada del
módulo del vector omega 2,0 con respecto al módulo del vector omega 2,0
multiplicado por el versor u sub omega 2,0 el vector u sub omega 2,0 es un
versor, es decir, es un vector unitario que define la dirección del vector
omega 2,0 o sea, la dirección de la barra m,o que coincide con la del
vector omega 2,0 la dirección de alfa sub m,o de la aceleración angular
alfa que hemos llamado modular coincidirá con la dirección del vector
omega 2,0 aunque su sentido pueda coincidir con el de omega 2,0 o pueda no
coincidir con el de omega 2,0 lo que sí coincide es la velocidad la
dirección, perdón. Así que entonces la aceleración angular es una
aceleración debida, angular modular, perdón es una aceleración debida a
la variación del módulo del vector omega 2,0 con respecto al tiempo y
tiene la misma dirección que omega 2,0 pero al mismo tiempo el vector
omega 2,0 está obligado a rotar alrededor de el eje OZ1 tal y como hemos
dicho antes arrastrado por el movimiento omega 01 que también hemos citado
antes y por lo tanto varía su dirección u orientación con el tiempo
dando lugar a otra aceleración angular diferente de la anterior diferente
de la modular y que ahora le llamaremos aceleración angular direccional
porque se refiere a un cambio en la dirección del vector omega 2,0 aquí
ya no nos importa el cambio del módulo del vector omega 2,0 eso era la
aceleración modular ahora lo que nos importa es que el vector omega 2,0
cambia de dirección al ir rotando alrededor del eje OZ1 y eso trae consigo
otra aceleración que le llamamos aceleración direccional para
diferenciarla de la anterior aceleración modular para el cálculo de esta
nueva aceleración direccional debemos recordar del análisis vectorial
cómo se deriva temporalmente un vector en este caso el omega 2,0 que
cambia continuamente su dirección arrastrado por una rotación omega 01
esto es lo que en cálculo vectorial llamábamos fórmula de Poisson y que
la vamos a escribir aquí otra vez la aceleración direccional entonces
será igual a la derivada del vector omega 2,0 con respecto a t direccional
lo cual quiere decir que solamente estamos tomando en cuenta los cambios de
dirección de omega 2,0 cambios de dirección producidos por el vector
omega 01 que lo hace girar alrededor del eje OZ1 y esto es recordar que
según la fórmula de Poisson esta derivada se hacía múltiple muy
sencillamente no había más que multiplicar vectorialmente el vector que
arrastra al omega 2,0 y por lo tanto que le hace cambiar de dirección que
es el omega 01 multiplicado vectorialmente por el vector que queremos
derivar que en este caso es el omega 2,0 así que entonces la derivada del
vector omega 2,0 con respecto a t direccional es igual a omega 01 vector
multiplicado vectorialmente por omega 2,0 y esto lógicamente como
cualquier producto vectorial da otro vector que cuya dirección sigue las
reglas del producto vectorial y por lo tanto será un vector perpendicular
al plano formado por los vectores omega 01 y omega 2,0 pero finalmente lo
que se pretende es calcular la aceleración angular absoluta del movimiento
del disco es decir la vista por un observador ligado a los ejes uno a los
ejes fijos del sólido sin embargo a este observador al fijo al que ve el
disco moverse ya barra moverse situado él sobre el suelo a este observador
le resulta difícil tener simultáneamente los cambios del vector velocidad
angular absoluta omega 2,1 en módulo y en dirección por lo que interesa
separarlos vamos a separarlos entonces un observador ligado a los ejes cero
a los ejes móviles a los verdes ve los cambios del módulo del vector
omega 2,0 siempre y cuando existan claro está es decir ve sin poner
problema los cambios en la velocidad angular del disco omega 2,0 por lo que
está en una situación mejorable para calcular el mismo la aceleración
angular que llamamos modular alfa modular del vector debido a la rotación
omega 2,0 será igual a la derivada del módulo del vector velocidad
angular 2,0 al tiempo multiplicado por la dirección coincidente con la
dirección del vector omega 2,0 sin embargo este observador el móvil
situado en los ejes móviles en los ejes cero al moverse con los ejes cero
no detecta el movimiento de arrastre del vector omega 2,0 puesto que para
él está parado él solamente debe crecer y decrecer su módulo eso sí lo
observa y ya lo ha calculado con alfa su m omega 2,0 que hemos calculado
anteriormente le hemos llamado aceleración angular modular pero no ve
cambiar la dirección del vector omega 2,0 porque está situado sobre los
ejes cero que acompañan al movimiento de la barra por tanto él no ve
moverse girar el vector omega 2,0 alrededor del eje z por tanto tendremos
que asignarle este segundo cambio el de dirección de omega 2,0 a otro
observador esta vez ligado a los ejes fijos uno que éste sí que ve los
cambios en la dirección de omega 2,0 al girar alrededor del eje z como
omega 0,1 por lo que es este observador el que está en óptimas
condiciones para calcular la aceleración angular que hemos llamado
direccional y que hemos dicho que era alfa direccional igual a la derivada
del vector omega 2,0 con respecto a t direccional solamente por el cambio
de dirección que ya decíamos que era igual al vector que arrastra omega
2,0 multiplicado vectorialmente por el vector que estamos derivando de
omega 2,0 asimismo este último observador el fijo podrá detectar
fácilmente si el vector omega 0,1 que es con el que gira la barra m o
alrededor del eje o z 1 podrá detectar si este vector tiene variaciones
temporales de módulo que son las únicas que puede tener este vector
puesto que al estar este vector en los ejes fijos no hay variaciones de
dirección un observador fijo en los ejes 1 siempre ve al vector omega 0,1
siguiendo la dirección del eje o z 1 nunca cambia de dirección por lo
tanto aquí no hay en este caso para este vector para el omega 0,1 no
habría aceleración direccional solamente podría haber aceleración
modular es decir cambios en el módulo de omega 0,1 digo podría haber no
tendría por qué haberlos pero podría haberlos y en este caso si los
hubiera también sería este observador el 1 el adecuado para calcularlos
por lo tanto si los hubiera repito aparecería una nueva aceleración
angular del tipo modular ahora aplicada al vector omega 0,1 que sería la
llamaríamos alfa sub m es decir f finalmente entonces la aceleración
angular absoluta resultante del sólido 2 sería la suma de todas ellas por
lo tanto la aceleración angular del sólido 2 del disco con respecto a los
ejes 1 los ejes absolutos los ejes fijos será igual a la aceleración
modular del vector omega 2,0 más la aceleración direccional más la
aceleración modular si es que la hay del vector omega 0,1 es decir las
calculamos la modular del vector omega 2,0 es derivada de omega 2,0 con
respecto a t del módulo perdón de omega 2,0 con respecto a t multiplicado
por el vector el versor direccional de omega 2,0 perdón el versor que
define la dirección del vector más la aceleración direccional ya sabemos
es el vector que arrastra que es el omega 2,0 multiplicado vectorialmente
por el vector arrastrado que es el omega 2,0 más la aceleración modular
del vector omega 0,1 si la hubiera sería la derivada del módulo de omega
0,1 con respecto a t multiplicado por la dirección del vector omega 0 esa
sería la aceleración absoluta resultante del disco 2 los conceptos de
derivación de vectores en ejes móviles que hemos aplicado en las
transparencias anteriores a velocidades angulares lo podríamos haber
aplicado exactamente igual para velocidades lineales o para cualquier otra
función vectorial no hace falta que sea una velocidad puede ser una fuerza
o puede ser cualquier otra cosa por ejemplo en la figura de la derecha
vemos el mismo disco que veíamos anteriormente y si sobre él queremos
determinar la aceleración absoluta del punto f que hemos marcado ahí un
punto f en la periferia del disco a través de una derivación del vector
de la velocidad absoluta vf pues deberemos tener en cuenta que el vector vf
se verá arrastrado por el movimiento de omega 01 porque el punto f no
solamente está rotando alrededor del punto o eso lo ve perfectamente bien
en el observador situado en los ejes móviles 0 sino que también rota
alrededor de los ejes 1 de los ejes fijos con una velocidad omega 01 por
tanto el vector vf ahí se ven los dos el vf 21 es el de arrastre más el
vf perdón el relativo más el vf 01 el vector absoluto será la suma eh
vectorial de los dos o sea que la velocidad en el punto f sería la suma
vectorial de esos dos vectores que se ve ahí en la figura bueno pues ese
vector vf está girando al mismo tiempo alrededor del eje z1 con una
velocidad angular omega 01 por lo tanto a la hora de derivar el vector vf
con respecto al tiempo para calcular la aceleración absoluta del punto f
tenemos que tener en cuenta esto que hay un cambio de dirección en ese
vector vf por lo que existirá una aceleración direccional que es la
derivada del vector f absoluto en el punto f con respecto al tiempo y que
es igual como ya sabemos al vector que hace cambiar de dirección al vf que
es omega 01 multiplicado vectorialmente por el vector vf esta sería la
aceleración direccional la aceleración debida al cambio de dirección del
vector vf lógicamente habrá que sumarle después las aceleraciones
modulares correspondientes para obtener la aceleración resultante final
del punto f con esto lo que quiero decir es que esto que acabamos de decir
derivación de vectores da lo mismo lo que representen los vectores da
igual que sea una velocidad angular da igual que sea una velocidad lineal
da igual que sea una fuerza da igual que sea lo que sea cuando hay un
cambio de dirección en el vector existe una aceleración direccional que
hay que tenerla en cuenta aplicando las fórmulas de Poisson que por cierto
os recomiendo que reviséis en los módulos de cálculo vectorial y nada
más esto era todo hasta la próxima