El objetivo de este vídeo es ilustrar el proceso de cómo se puede hacer
una demostración en matemáticas para ello vamos a basarnos vamos a
centrarnos en el ejercicio 49 del libro de texto en este ejercicio se trata
de definir el ángulo de una rotación. Concretamente, lo que se nos pide
es que dada una rotación con un centro o un punto, punto C, veamos que
dado dos puntos cualquiera del plano, por ejemplo un punto P1 un punto P2
al girarlo por esta rotación el ángulo que se gira es el mismo expresando
esto de una manera más formal Tenemos que distinguir el caso en el que la
rotación no sea media vuelta, pero esto, tal y como se explica en el
texto, es simplemente por motivos de la definición. Bueno, pues en este
caso, el ángulo que se forma en el punto C, entre un punto y su imagen,
tenemos que comprobar que es congruente con el ángulo que se forma en el
punto C de otro punto cualquiera y su imagen. Es decir, que esos ángulos
son los mismos. Nosotros lo vamos a hacer basándonos en los triángulos
formados por el punto, el punto C, y la imagen del punto, y análogamente
con otro punto. Es el motivo por el que pidamos que no sea una media vuelta
la rotación para que se formen unos triángulos. Bien, pues cuando pasamos
a intentar resolver este ejercicio... Pues lo primero que nos enfrentamos
es, ¿cómo podemos hacer la demostración de que esto es verdad? Bueno,
pues el primer consejo que yo le diría sería siempre hacerse un dibujo de
la situación. Un dibujo como el que aparece aquí, más junto. Después de
analizarlo ya podemos pasar a pensar. ¿Cómo se puede hacer esta
demostración? Lo que sabemos es que para que dos ángulos sean congruentes
necesitamos una isometría que lleve un ángulo al otro. Eso es por
definición. Bien, mirando el dibujo... Podríamos pensar que bastaría con
hacer un giro que lleve el primer triángulo, el triángulo de 1, al
triángulo de 2. Claro que visto así nos enfrentamos a un triángulo de 2.
Con un problema, es que el triángulo T1 podría ser más grande, por
decirlo de alguna manera, que el triángulo T2. Pero claro, eso tampoco es
un problema muy grave, puesto que realmente nos bastaría con que, por
ejemplo, la recta... el segmento, la semirrecta de CP1 vaya encima del
segmento CP2 o de la semirrecta de CP2 y eso parece que ya nos debería
asegurar que la semirrecta o el segmento de C y la imagen de P1 va a caer
encima de la serie recta que une C y la imagen de P2. Y entonces eso es una
isometría que nos asegurará Que un triángulo es congruente con el otro.
Un ángulo es congruente con el otro. Bien, entonces buscamos esa
isometría. Parece que lo que queremos es una rotación. Claro, rotación,
nosotros la única que tenemos ahora mismo es el propio giro Rho. Pero si
analizamos cualquier ejemplo, el propio giro Rho no nos sirve para lo que
queremos. Entonces tenemos que definir un giro Rho. Claro, nos intentamos
dar problemas de cómo se puede definir este giro. Bueno, no disponemos de
muchas herramientas para definir los giros, ni con los datos que tenemos.
Lo que sí que podemos hacer entonces es recordar qué es un giro. Nosotros
sabemos que los giros son composiciones de dos simetrías. ¿Vale? Pues
entonces podemos pensar en intentar definir esas dos simetrías. Además,
por otra parte, en el enunciado nos sugieren utilizar esos triángulos T1 y
T2. Bueno, pues analicemos esos triángulos. El hecho de que ROS sea un
giro hace que los segmentos que unen el centro de giro con un punto y luego
el centro de giro con su imagen sean segmentos congruentes. iguales
entonces eso con eso tenemos que el triángulo T1 es un triángulo
isósceles T2 también, claro pero bueno ahora mismo nos va a estar con el
T1 Es isósceles. Bien, pues para los triángulos isósceles sabemos que
tenemos la simetría asociada a un triángulo isósceles. Que es
precisamente... La simetría respecto a la bisectil que forman esos dos
segmentos, que la voy a marcar aquí, es uno de los resultados que
conocemos de la teoría. Bueno, pues entonces ya tenemos una simetría.
Podríamos pensar... en utilizar esa simetría para terminar de hacer la
rotación que buscábamos. Bien, entonces nos faltaría otra simetría.
Pero analicemos lo que ocurre con esta primera simetría. Esta primera
simetría que hemos definido nos llevará del punto P1 a la imagen por la
rotación del punto P1. Lo que tenemos es una simetría. Ahora
necesitaríamos que la siguiente simetría coja la imagen del punto P1 y lo
llevase al punto P2. Claro, eso si lo pensamos es imposible. Entonces, si
lo pensamos un poco más realmente, es suficiente con que el punto este...
vaya a otro punto que esté en la semirrecta que pasa por C y P2 un punto
que está en esa zona para eso quizás sí sea posible ¿cómo podríamos
hacer para que el punto imagen de P1 vaya a la otra semirrecta. Bueno, pues
también tenemos una forma de conseguirlo. Si pensamos... Los resultados
que tenemos de teoría y además en lo que ya hemos hecho antes, realmente
bastaría con utilizar la bisectriz del ángulo formado por las rectas C y
la imagen de P1. Y C y P2, haciendo la simetría respecto a esa bisectriz,
ya conseguiremos caer en esa recta, en esa semirrecta, que es lo que
buscamos. Bueno, pues entonces ya tenemos la torsimetría. La composición
de esa torsimetría es posible que sea el giro que vamos buscando.
Entonces, ya con eso tenemos la idea de... La idea de cómo resolver el
ejercicio. Ahora tan solo basta hacer la demostración formal de todo esto.
Bueno, pues pasamos entonces a hacer la demostración. Volvemos a dar
enunciado. Y con todas las ideas en mente podemos hacer la definición.
Bien, pues, en primer lugar volvemos a caer en la cuenta de la observación
que dijimos antes, que el triángulo es isósceles, el triángulo T1 es
isósceles, porque lo que teníamos es un giro. Después, tomamos la
simetría respecto a la bisectriz del ángulo formado por el punto de su
imagen. Tenemos que justificar que existe esto por el ejemplo 4.9. Y ahora
ya definimos la rotación como la composición de la otra simetría que
hemos comentado. La simetría en el triángulo de Sáceres. Y la simetría
de la división estilí de la imagen del primer punto y la recta que une C
y el segundo punto. Esa es la rotación que tenemos. Por cierto, como esto
es una rotación con centro C, nosotros sabemos que la composición de
rotaciones con centro C conmuta. Esa es una cosa que tendremos que utilizar
en los detalles de la demostración. Bueno, pues entonces veamos qué
ocurre al hacer esta rotación, qué le ocurre al punto P1 y después a la
imagen por rod del punto P1. Veamos si ellos, al hacer esta nueva
rotación, caen en las semirrectas que deben caer, que son las que unen C
con el punto P2 y C y la imagen del punto P2. A ver si caen ahí, a hacer
la rotación. Pues entonces simplemente hacen los cálculos. Bueno,
aplicamos entonces la rotación R. Al punto P1, aplicando la definición,
tenemos que en la composición de las dos simetrías, ahora con la primera
simetría lleva al punto P1. a precisamente la imagen borró de P1, hay que
hacer la segunda simetría a la imagen borró del punto P1. Bien, pero eso,
tal y como hemos definido la segunda simetría, sabemos que es un punto de
la recta que la semeja está que 16 con pesos que lo que buscan la
siguiente parte es ver qué ocurre al hacer la rotación de la imagen por
row del punto P1. Tenemos que ver si caen las encuestas que une C y la
imagen por row del punto P2. Bueno, pues entonces... Lo primero es que si
queremos hacer esto, a lo mejor no tenemos muy claro cuál va a ser la
imagen por R del punto de la imagen por R de P1. Pero este cálculo ha
sido, podríamos simplificar, aplicando que la composición de R y Rho es
conmuta. Bien, en este caso, vamos a hacer calcularlo. Y sería la imagen.
Por rho de la rotación de P1. Entonces, la rotación de P1 por R,
aplicando la definición. Sería la expresión que tenemos aquí, la
composición de las dos simetrías. Bien, la imagen por la primera
simetría la tenemos definida, es 2dp1, y faltaría aplicar la segunda.
Bueno, pero entonces, la imagen por la segunda semirrecta sabemos que es un
punto que está en la semirrecta que une C con P2. Bien, pues entonces al
aplicar Rho será un punto que está en la semirrecta que une C con P2. con
la imagen por row de P2. Por tanto, está donde necesitábamos que
estuviese. Por ello, podemos afirmar que la isometría R que transforma el
ángulo formado por una simetría recta en el ángulo formado por la otra.
Con esto tenemos ya la simetría que transforma un ángulo en otro y los
ángulos son como los demás.