Hola, muy buenas, bienvenidos a la nueva tutoría. Vamos a trabajar hoy el
problema 5.1. Bueno, me presento para que me conozcan, soy Pedro García
Sena, el tutor intercentro de la asignatura de Fundamentos de Robótica y
emito desde Barbastro, en Aragón. Bueno, como les decía, vamos a tratar
hoy el problema 5.1 que pertenece al capítulo de Control Cinemático. Como
verán, nos dan una serie de puntos, dos concretamente, posición,
velocidad e instante y nos van a pedir que calculemos unos interpoladores,
interpolador lineal y cúbico y que hagamos unas gráficas. Bueno, vamos a
comenzar. Bueno, aquí tenemos, como siempre, la tutoría va a quedar
grabada para que la puedan visualizar y congelar en cualquier instante para
poder seguir la explicación adecuadamente. Bueno, en este... En este
problema vamos a tratar estos apartadores de aquí, que es el interpolador
lineal, que tenemos en el apartado 6.5.1, el cúbico en el 6.5.2 y el
interpolador de tramos parabólicos en el 6.4. Bueno, vamos a comenzar con
el apartado A, donde nos preguntan que calculemos el interpolador lineal.
Bueno, las condiciones que nos dan de contorno son estas de aquí. Nos dan
en el instante I-1 y en el instante I-2. Y lo que tiene que valer la
posición y la velocidad. Bueno, en el instante I-1 la posición es 0, la
velocidad... o sea, la posición es 5 y la velocidad 0. Y en el instante 4
la posición tiene que ser 2 y la velocidad tiene que ser 4. Bueno, le
recuerdo que sería igual que denominaremos a los instantes I-1 e I o I e
I-1. Se hace indistintamente y en este apartado voy a seguir la
nomenclatura del enunciado que es I-1 e I. Bueno, nos piden el interpolador
lineal. Lo tenemos en la ecuación 6.4 de la página 288. ¿Qué responde a
esta ecuación? Bueno, esta ecuación simplemente es la ecuación de una
recta, como les he puesto aquí. El lineal es una recta, hacer pasar la
articulación siguiendo los puntos de una recta. Pues una recta, la
ecuación general es esta, igual a MX más N. Donde M era la pendiente y N
es lo que llamamos la ordenada en el origen. Bueno, pues esta ecuación de
aquí arriba, la 6.4, es simplemente la ecuación de esa recta. Esto sería
la pendiente y aquí tenemos esos valores. Bueno, vamos un poco a
representar los dos puntos, que son los que nos dan. Bueno, el primer punto
en el instante 0... Esperen que voy a limpiarse acá sobre la página.
Bueno, en el instante 0, que es este de aquí... Nos dicen que la posición
tiene que ser 5. Pues eso lo representamos aquí, en el instante 0, la
posición 5. Instante 0, posición 5. El otro punto que nos dan es este
otro de aquí. Y nos están diciendo que en el instante 4, en T4, la
posición tiene que ser 2. Pues en T4, la posición tiene que ser 2. Pues
ya tenemos este otro punto. Estos dos puntos los unimos con esta recta. Y
ya tenemos la ecuación, o sea, ya tenemos la gráfica del interpolador
lineal que tenemos que calcular. Bueno, vamos a calcular la ecuación de
esta recta. Lo podemos hacer sustituyendo directamente la ecuación del
libro o con la fórmula básica de una recta, que sería esta. Que vamos a
llegar exactamente al mismo resultado. Vamos a ver, aquí nos pone QI menos
QI menos 1. Pues sería... 2 menos 5. Esto es lo que equivale a la
pendiente. La pendiente de esta recta, pues sería la tangente, que sería
este tramo de aquí. Que sería 5 y 2, pues sería 3. Pero, como la recta
está bajando, sería una pendiente negativa. Aquí ya no sale directo,
sería 2 menos 5. O una pendiente de menos 3. Y aquí tenemos los
instantes. T, que es la variable. T menos 1, que es 0. En el instante I
menos 1. Y T, que T es lo que va, el tiempo que va en toda esta zona de
aquí. Es decir, 4 menos 0, pues 4. Eso sería este valor de aquí. Porque
la ecuación la vamos a definir en este intervalo. En el T menos 1. O sea,
TI a la I menos 1 y TI. Bueno, pues ya tenemos aquí la variabilidad. Aquí
plantea la ecuación de la recta. La simplificamos. Y nos va a quedar,
pues, menos 3 cuartos de T más 5. Siempre en el intervalo 0,4. Bueno, ya
tenemos la ecuación lineal, la ecuación de la recta lineal. La velocidad,
Q punto, sería la derivada. La derivada de Q. La variable es T. Y 3
cuartos sería una constante. Pues sería la derivada de una, de X, en este
caso es T, por la constante. Pues sería simplemente la constante, 3
cuartos. Y la derivada de 5 sería 0, por 0. Entonces, hacemos la derivada,
repetimos de esto. Y nos saldrá la expresión de la velocidad. Bueno, eso
sería lo que nos están pidiendo aquí. El interpolador lineal. La
ecuación de la recta. Que nos va a definir la relación entre Q y el
instante T. Vamos a representar. Nos piden en el último apartado la
gráfica. Yo lo voy a hacer aquí, en cada uno de los apartados. Para que
se vea más claro el apartado completo. Entonces, nos piden el perfil de
velocidad. Pues, perdón, el perfil de posición. Pues la posición ya la
hemos calculado hace un instante. Que es la ecuación de esta recta, Q sub
T. Pues representamos esa recta. Y ya tenemos aquí, el perfil de
posición. El perfil de velocidad. La ecuación de velocidad, hemos dicho
que era, se obtenía haciendo la derivada de Q. Que nos ha salido esta
expresión de aquí. Pues representamos esto. Como aquí no hay variable T.
Significa que esto va a ser constante. Pues aquí la tenemos representada.
Es menos 3 cuartos. O sea, para cualquier instante T. El valor de la
velocidad, Q, es siempre el mismo. Menos 3 cuartos. Luego es una línea
recta, tal y como está aquí representada. Y luego, lo que sería la
aceleración. La aceleración es la segunda derivada. La segunda derivada
de la posición. O volver a hacer la derivada de la velocidad. Aquí
tenemos la velocidad. Pues hacemos la derivada. Respecto al tiempo, de
menos 3 cuartos. Y eso nos saldría la aceleración. Entonces, ¿qué nos
va a salir? Bueno, nos van a salir unas aceleraciones infinitas. Que es lo
que representamos con estas rayas en este caso. En el instante 0, estamos
pasando de velocidad 0 a menos 3 cuartos. Como el tiempo de paso ha de ser
0, pues eso solo es posible con una aceleración menos infinita. Y en el
instante 4, estamos pasando de una velocidad menos 3 cuartos a una
velocidad 0. Pues eso solo se consigue con una aceleración más infinita.
Eso sería lo que llamamos el perfil de aceleración. Bueno, esto es lo que
nos preguntaran en el último apartado. Pero yo aquí lo hago ya para verlo
más claro. Entonces, recapitulando. Lo que hemos hecho ha sido simplemente
Nos estaban dando lo que llamaremos condiciones de contorno. Es decir, para
un instante y para otro instante el valor de posición y el valor de
velocidad. Interpolador lineal, pues calcular la ecuación que responde a
estos valores de contorno. De 5, 0 y de 2, 4. Y hemos hallado la ecuación
de posición haciendo la derivada a la ecuación de velocidad. Y luego ya
simplemente hemos representado gráficamente las tres. Seguimos avanzando.
En el apartado B nos piden que calculemos el interpolador cúbico. ¿De
acuerdo? Bueno, aquí les he hecho un pequeño cambio. El enunciado nos da
este intervalo ya lo hemos visto antes. El que va de t en el instante y-1
al instante y. Pero el libro, las ecuaciones que nos lo dan nos lo dan en
el intervalo y-1. Es absolutamente lo mismo. Son dos puntos y da lo mismo
decir que el intervalo es de y-1 a y que decir que el intervalo es de y a
y-1. Entonces, yo para que coincida con la ecuación que tienen en el libro
lo voy a plantear de esta manera como les he puesto aquí. No como está
hecho en las fotocopias. Pero el resultado evidentemente que llegará es el
mismo. Pero me parece más que van a poder seguir más fácil haciendo
correspondientes a la ecuación 6-5 de la página 290 con nuestros datos.
Bueno, el interpolador cúbico aquí lo tenemos representado en la
ecuación pues es simplemente un polinomio de grado 3. q sub t y aquí
tenemos el polinomio de grado 3. En el intervalo y hay más uno. Bueno, se
trata de hallar los coeficientes de este polinomio. Vamos a sustituir la
condición inicial ti. Si miramos la tabla tiene que valer la posición el
instante t0 sería el instante 0. Vamos a comenzar a medir tiempo en el
instante 0. O sea que ti lo vamos a convertir en t0. Bueno, pues entonces
decimos, sustituimos la condición inicial ti como t0 igual a 0 por lo que
tenemos aquí. Bueno, pues la ecuación que nos queda, el polinomio que nos
queda es este. En vez de ti ponemos 0 que es lo que vale repito t0 Bueno,
aquí tenemos la ecuación esto lo podemos simplificar pues t-0 es t y nos
queda esta ecuación de aquí que es la ecuación que nos da el polinomio
de la posición y ahora aquí tenemos unos valores que desconocemos, a, b,
c, d entonces vamos a sustituir o vamos a calcular la velocidad la hacemos
haciendo la derivada del polinomio de posición, la derivada respecto al
tiempo. Entonces la derivada de a como no tiene la variable t sería 0 la
derivada de b, t es una constante y t es la variable pues sería b la
derivada de c,t al cuadrado, se acuerdan sería el exponente que es 2 por
la constante que es c por t elevado a n-1 2 menos 1, 1 y aquí nos queda la
derivada de c,t al cuadrado y la derivada de dt al cubo, pues lo mismo
sería el exponente 3 por d, que es una constante t elevado a 3 menos 1 que
es 2, bueno pues ya tenemos aquí la ecuación de velocidad y haciendo la
derivada de la ecuación de velocidad la segunda derivada de la ecuación
de posición obtendríamos esta ecuación de aquí que es la aceleración
fíjense como representamos la velocidad con un punto en q y la
aceleración con dos puntos, yo lo he representado a la derecha en verde
encima pero lo pueden seguir igual hacemos la derivada de la velocidad que
también es muy fácil de hacer la derivada de b es una constante por cero,
la derivada de 2c,t la variable es t 2c es una constante, pues quedaría 2c
y la derivada de 3dt al cuadrado sería 3 y d que es una constante por el
exponente que es 2 3 por 2 es 6 y t elevado al cuadrado pues sería n-1,
pues sería 2 menos 1, 1 y t ya tenemos aquí las tres ecuaciones la de la
posición, la de la velocidad y la de la aceleración ahora lo que nos
falta es calcular estos coeficientes a, b, c, d qué valor tienen que tener
para que esos polinomios representen exactamente estas condiciones de
contorno es decir, que pase por los sitios que queremos que pasen, el
instante que tiene que pasar y con la velocidad que tiene que pasar bueno,
pues ese va a ser el siguiente paso para ello que vamos a hacer vamos a
sustituir las condiciones de contorno que hemos dicho, de posición y
velocidad para que cumpla la trayectoria la ecuación de posición era esta
que acabamos de obtener pues sustituimos el instante 0 en el instante 0 la
posición si miramos aquí ha de ser 5 por datos pues entonces en el
instante 0 ha de valer 5 y sustituimos t por 0 pues sería a más b por t,
que sería b por 0 más d por t cuadrado o sea, más c por t cuadrado,
sería este término de aquí que sería tercero cuadrado y d por 0 al cubo
sería d por 0 al cubo todo esto se nos va multiplicado por 0 y nos queda
que a es igual a 5 por lo tanto ya tenemos calculado el primer coeficiente
ahora sustituimos en la ecuación de velocidad el mismo instante si miramos
aquí la tabla condiciones de contorno, la velocidad en el instante inicial
ha de ser 0 pues entonces la velocidad en el instante inicial tiene que ser
0 y sustituimos t por 0 y nos queda esto de aquí todo esto se nos va a ir
porque está multiplicado por 0 y de aquí sacamos que b es igual a 0, ya
tenemos calculados dos coeficientes los hemos sacado de la primera
condición del instante inicial vamos a limpiar un poco vamos a sustituir
ahora el segundo instante el instante 4 si volvemos aquí a la tabla vemos
que en el instante i más 1, que es en el instante 4, nos dicen que la
posición tiene que ser 2 y la velocidad c, pues vamos a sustituir en la
ecuación en el polinomio de posición pues en el instante 4 la posición
hemos dicho que tiene que ser 2 pues ahora sustituimos esta ecuación, la a
ya la sabemos que es 5, la hemos calculado antes la b es 0 pues 0 por el
instante 4 la c no la sabemos por 4 al cuadrado y la d tampoco la sabemos,
por 4 al cubo bueno, operamos y nos queda esta ecuación verde de aquí
tenemos dos incógnitas la c y la d vamos ahora a hacer lo mismo en la
ecuación de velocidad que era esta de aquí sustituimos ese instante el
instante 4 la velocidad en el instante 4 hemos dicho que tiene que valer 0,
pues entonces sustituimos y ponemos 0 lo que tiene que valer y sustituimos
t ahora por 4 y nos queda esto de aquí, operamos simplificamos y nos queda
esta ecuación de aquí ¿y qué tenemos ahora? pues tenemos dos ecuaciones
con dos incógnitas que aplicando cualquier método del orden de
resolución llegaremos a calcular c y d, luego ya tendremos los
coeficientes del polinomio que nos definen los pasos tal y como nos han
impuesto aquí vamos a hallar bueno, vamos a representar la ecuación final
que es lo que les he puesto aquí la ecuación de posición queda esta a
más bt hemos calculado los coeficientes sustituimos esos coeficientes y ya
tenemos aquí la ecuación de tu en la ecuación de la velocidad pues
hacemos lo mismo, teníamos la ecuación que era esto sustituimos los
coeficientes que acabamos de calcular a, b, c y d y nos queda la velocidad
y en la de la aceleración que también la teníamos calculada sustituimos
y ya tendremos aquí las tres ecuaciones la que nos da la posición la que
nos da la velocidad y la que nos da la aceleración vamos a representarlo
gráficamente el perfil de posición la ecuación es esta de aquí podemos
hacerlo de una manera muy sencilla y es simplemente dar una serie de
valores y con ello ya podríamos tener una aproximación de la gráfica
como está entonces vamos a ver por ejemplo en el instante cero que ya nos
lo daban, en el instante cero la posición tenía que ser cinco y en el
instante cuatro dos, que son los extremos bueno pues para representar la
gráfica en la zona intermedia vamos a dar aquí por ejemplo varios puntos
q cero cinco pues para el instante cero cinco sustituimos en esta ecuación
de aquí arriba y nos saldrá cuatro con ocho ya tendremos este punto de
aquí representado en el instante uno bueno el cero cinco estaría en el
medio vale, estaríamos aquí en el instante uno cuatro con cinco pues lo
representamos calculamos en el instante dos en el tres y en el tres y medio
vamos dando una serie de puntos para que nos salga una gráfica lo más
aproximada posible y aquí la tenemos es representado en en verde la línea
recta que sería digamos la perfecta si fuéramos pasando exactamente por
todos los puntos siguiendo la trayectoria lineal estamos siguiendo una
trayectoria de un polinomio pues ya vemos aquí como nos desviamos
ligeramente pero las dos condiciones de los extremos se cumplen vale y
también se nos cumple el punto medio en un intervalo del cero al dos
estamos cometiendo un error digamos por exceso ligeramente y en este
intervalo por defecto pero las condiciones de contorno impuestas que son
estas las estamos cumpliendo el perfil de velocidad la ecuación de
velocidad la hemos obtenido que era esta pues hacemos lo mismo calculamos
bueno representamos los dos puntos iniciales que hemos dicho que era para
el instante inicial velocidad cero y para el instante final también
velocidad cero los instantes eran cero y cuatro y los valores intermedios
pues era un interpolador cúbico aquí vemos el polinomio y por donde pasa
pues damos una serie de puntos que he puesto yo aquí y con eso ya
podríamos ir marcando un poco los valores de la velocidad y nos saldría
un perfil pues como tenemos aquí representado que sigue cumpliendo las
condiciones de contorno impuestas y en relación a la aceleración la
ecuación de aceleración la teníamos aquí pues hacemos lo mismo damos
valores y nos saldrá aquí una línea recta porque esto si nos fijamos es
una línea recta la T no tiene un exponente o sea no es un polinomio como
este de aquí sino que este luego esto es una ecuación lineal es una recta
que es esta de aquí aquí la tenemos representada limpiamos bueno pues
esto sería las tres perfiles de posición velocidad y aceleración
seguimos avanzando en el apartado C nos piden que hagamos el interpolador
de tramos parabólicos definido de esta manera son dos tramos el intervalo
0,4 que teníamos lo vamos a descomponer en dos tramos uno que va del I-1
que sería el 0 a la mitad que sería el 2 y el otro que vaya desde el 2
hasta el otro extremo que sería el 4 lo que antes hemos hecho en un solo
intervalo 0,4 ahora lo hacemos en dos intervalos 0,2 y 2,4 y para cada uno
vamos a calcular un interpolador parabólico tenemos aquí la ecuación que
nos da es un polinomio de segundo grado para un tramo y para el otro pero
con coeficientes evidentemente distintos A1 B1 C1 primer tramo A2 B2 C2
segundo tramo vamos a sustituir T sería esto ya lo hemos dicho antes el
intervalo 0,4 es 4 entonces aquí tenemos la ecuación que nos dan que son
los dos polinomios T sub cero como pasaba antes era cero pues nos queda
esto de aquí para el intervalo 0,2 y para el intervalo 2,4 hacemos la
primera derivada de la ecuación roja esta que son las posiciones y
obtenemos las ecuaciones azules vale la derivada de A1 que es cero B1 por T
que sería B1 y así haciendo la derivada hacemos la segunda derivada y
obtenemos las ecuaciones verdes que son las de la aceleración para los dos
intervalos bueno el problema ahora cual es pues igual que antes tenemos que
hallar los coeficientes de estas ecuaciones que coeficientes tienen que
tener estos polinomios para que cumplan las condiciones impuestas bueno
pues vamos a ver para T igual a cero en la ecuación de de posición
sustituimos T igual a cero y nos queda esta ecuación de aquí de la
derecha como hemos visto antes cero la posición ha de ser 5 igual que
valía antes y todo esto es cero pues significa que puedo demostrar puedo
concluir que A1 es 5 ya tengo el término A1 lo mismo en la ecuación de
posición del segundo intervalo del 2,4 pero ahora con coeficientes
diferentes bueno no perdón aquí lo que hemos hecho ha sido velocidad vale
en la velocidad hemos sustituido en la ecuación de velocidad en el
instante cero T igual a cero y de aquí también como esto se me va porque
sale cero puedo demostrar, puedo obtener que B1 es cero tenemos dos
coeficientes el A1 y el B1 ahora en el instante T4 el instante T4 que es el
otro extremo vamos lo que tenemos es sustituimos ahora T por 4 que son
estos puntos de aquí en la posición y en la velocidad y para T igual a 2
que es el punto intermedio aquí lo que ponemos fíjense hemos puesto el
valor de la posición en el instante 2 para el primer tramo tiene que ser
igual al valor de la posición en el instante 2 para el segundo ¿por qué?
porque tiene que haber continuidad si no habría un salto aunque estamos
haciendo dos tramos en el punto intermedio la posición tiene que ser la
misma del primer intervalo a la del segundo eso nos permite igualar estas
dos ecuaciones la de la posición del tramo 1 con la del tramo 2 y aquí
tenemos esta ecuación lo mismo con la ecuación de velocidad para que
tengamos continuidad la velocidad en el punto 2 del primer tramo con la que
termina tiene que ser la misma velocidad con la que empieza el segundo
tramo tenemos la ecuación igualamos ¿y qué tenemos aquí? un sistema de
4 ecuaciones con 4 incógnitas aquí tenemos de incógnitas la A2, la B2 la
C2 bueno la A1 ya no es una incógnita porque la tenemos calculada aquí
arriba 4 ecuaciones con 4 incógnitas con un poco de elaboración
llegaríamos al final a calcular los coeficientes bueno pues entonces ya
hemos calculado que coeficientes tienen que tener esta ecuación de aquí
arriba que es lo que nos pedían un interpolador parabólico de dos tramos
y hemos calculado los coeficientes A1, B1, C1 y A2, B2, C2 bueno, limpio la
página seguimos avanzando ¿cómo quedan las ecuaciones? bueno, como ya
tenemos los valores pues para el primer tramo el 0,2 aquí teníamos las
ecuaciones de Q de posición, velocidad y aceleración pues se trata
simplemente de sustituir lo que habíamos obtenido antes y ya nos queda
aquí la ecuación de posición, velocidad y aceleración del primer tramo
el 0,2 hacemos lo mismo con el segundo tramo pero ahora sustituimos A2, B2
y C2 y nos queda aquí la ecuación de posición, velocidad y aceleración
para el segundo tramo con lo cual tendríamos resuelto ya el problema vamos
a representar los perfiles el perfil de posición bueno, el perfil de
posición las ecuaciones las tenemos ya calculadas aquí, son las rojas
fíjense que sigue una especie de nomenclatura de colores para que lo
puedan entender mejor en rojo todo lo que hace referencia a posición en
azul todo lo que hace referencia a velocidad y en verde lo que hace
referencia a aceleración aunque esta recta verde de aquí no es
aceleración simplemente una referencia bueno, lo que es la el perfil de
posición tenemos dos tramos, el 0,2 y el 2,4 pues simplemente sustituimos
valores en el 0,2 y nos saldrá esta gráfica de aquí para bueno aquí hay
un error aquí pone primer tramo este es el segundo tramo para el segundo
tramo hacemos lo mismo sustituimos algunos valores por ejemplo los que he
puesto hoy aquí y nos saldrá este otro perfil de aquí fíjense como
limpio un momento como la cosa nos sale bien en el instante 2 fíjense como
la posición del primer tramo es 3,5 y la del segundo también como tiene
que ser porque si no habría ahí una discontinuidad bueno eso sería el
perfil de posición vamos a hacer también los otros dos el de velocidad
bueno tenemos aquí las ecuaciones de velocidad para los dos tramos pues en
este caso como son rectas, porque tenemos la t elevada al exponente 1 es
más fácil de calcular, con dos puntos nos bastaría para representarla el
primer tramo lo representaba en rojo sería esta recta de aquí el segundo
tramo lo representaba en azul sería esta, y fíjense como seguimos
cumpliendo lo que hemos dicho antes en el instante 2 la velocidad es la
misma, si sustituyen el tiempo por dos nos tiene que salir el mismo valor
de velocidad que es menos uno con cinco y que en los extremos la velocidad
es cero está cumpliendo perfectamente con todas las condiciones impuestas
y la aceleración las ecuaciones serán estas pues en un instante es una
aceleración constante de menos tres cuartos y en el otro de tres cuartos
bueno eso sería el apartado b, del apartado c nos preguntan que dibujemos
los perfiles de posición, velocidad y aceleración para todos los casos
anteriores como yo lo iré haciendo ya en cada apartado pues ya es ya lo
tenemos hecho bueno pues esto sería un poco este primer problema de
trabajo un poco con con interpoladores ya ven que pues cuando hablamos de
problemas concretos ya no es tan complicado como cuando lo vemos un poco en
el libro bueno, recuerdo que esto va a quedar grabado