En esta grabación vamos a hacer algunas consideraciones sobre la
definición de la suma de ángulos. En la definición 4.25 se define la
suma mediante la concatenación de los lados, de dos ángulos. Para ello se
pide que la semirrecta que se utiliza en común en los ángulos esté en el
interior del ángulo suma. Es la definición que conocemos. Si nos fijamos
en esto, nuestra definición de suma siempre dará como resultado un
ángulo mayor de lo que conocemos como ángulo de 180 grados. Es normal
porque esa es la definición que tenemos de ángulo. Entonces, al hacer la
suma de dos ángulos tendremos que ver que estas condiciones se cumplan
para ver si existe realmente esa suma. O sea, no siempre podemos sumar
ángulos. Por ejemplo, con ángulos agudos es fácil ver. Aquí no habría
problema en sumarlo. Pero puede ocurrir que al intentar sumar un ángulo
tuyo con algún otro ya no estemos en las condiciones de la definición.
Como ocurriría en la figura que hemos recuadrado. ¿Por qué? Porque al
intentar hacer el interior del ángulo formado por los dos lados que
corresponden, ese interior ya no caiga a ese lado común. Eso es lo que nos
puede ocurrir. Entonces podemos pensar que es lo que ocurre o que debe
ocurrir. ¿Qué debe pasar para que esta suma sirva bien de la misma?
Bueno, pues si lo pensamos, intuitivamente podríamos decir que es que la
suma no debe ser más de pi radianes. Porque esta es la definición que
tenemos de ángulo. Lo de pi radianes es 180 grados. Bueno, ¿eso en qué
se traduce? Pues nosotros conocemos ya lo que tiene que ocurrir. Y
simplemente que al sumar el segundo ángulo tiene que ser menor que el
suplementario primero. Eso es lo que tiene que ocurrir. ¿Qué es lo que
pasa? Es lo que significa que entre los dos. Nos sumen más de esos 180
grados que tenemos. Bien, pero es que nosotros no hemos definido
suplementario en el libro. ¿Qué ocurre? Que la definición del
suplementario tampoco es muy difícil. Simplemente que no excedemos de lo
que sería la línea recta. Entonces, dando un ángulo AB, pues el ángulo
suplementario sería el formado por el A'B, donde ese A' es la otra parte
de la recta. De la recta que define a la semirrecta que tengamos. Esa
sería la definición. Bueno, pues ya una vez definido esto, podemos
intentar probar que la suma de dos ángulos está bien definida, está
definida. Si sólo sí, el segundo es menor que el suplementario primero.
Lo que hemos dicho. Bueno, para demostrar la equivalencia lo que hay que
hacer es las dos implicaciones. Primero, que si la suma está bien
definida, entonces... ...el ángulo es menor que el suplementario primero.
O que si el ángulo es menor que el suplementario, o que si el ángulo es
menor que el suplementario, entonces la suma está bien definida. Veamos
estas dos cosas. Por ejemplo, podemos comenzar suponiendo que efectivamente
el ángulo que queremos sumar es menor que el suplementario y que
entonces... ...pues realmente la suma sí está bien definida. ¿Qué es
eso de que está bien definida? Pues lo que hace falta es que ese lado que
va a haber en común, el B, la barra, en las enderezas de barra, esté en
el interior del ángulo AC. La barra C. Bueno, pues en nuestro texto, la
herramienta que tenemos para comprobar que algo está en el interior del
ángulo es el teorema de la barra transversal. Así que utilizaremos el
teorema de la barra transversal. Para eso, ¿qué tenemos que hacer? Pues
tenemos que tomar dos puntos, un punto en C y otro punto en A, en la
semirrecta, exactamente, en la semirrecta... ...y ver si el segmento que
los une corta a la semirrecta. Bueno, pues tal y como los hemos elegido,
estos puntos P y Q están en distintos semiplanos de los que determinan la
recta B. Bueno, pues ahora, de aquí, ¿qué podemos concluir? Están en
distintos semiplanos por la desigualdad que teníamos al principio del
ángulo de los ángulos. Bueno, pues ¿qué podemos concluir? Pues que este
segmento que los une, por la suma de separación, el segmento que los une
debe cortar a la recta B. Lo que no sabemos es si corta a la semirrecta B
barra. Sabemos que toda recta tiene dos partes, la semirrecta B barra y
tendría también la de la otra semirrecta, con la que conforma la recta
completa. Entonces, podría ser en esa otra parte. Eso es lo que nos
tenemos que centrar en demostrar, que está en la parte de la recta B
barra. Si nosotros denotamos con H al semiplano en el cual está B barra,
el semiplano definido por la recta A... ...el que contiene la recta A que
está formada. Por la prima y por la barra. Si A es el semiplano, lo que
tenemos que ver es que la intersección esa está en el semiplano H. Sería
eso. Bueno, pues entonces, ¿cómo comprobar esa última parte? Bueno, pues
nosotros ya sabemos que el ángulo formado por B por C es menor que el
formado por A' y B. Eso es lo que nos da. Bueno, pues ¿qué podemos
concluir de ahí? Por definición, entonces, la... ...la semirrecta C barra
tiene que estar en el interior de este ángulo. Y, por tanto, tiene que
estar en H. En particular, tiene que estar en H. Si consultamos la
definición de interior y ángulo. Bueno, pues entonces, tanto el punto P
como el punto Q están en H. El punto Q está en la barra. En particular,
está en ese semiplano. Está en el borde de ese semiplano. Y el punto P
puede estar en la semirrecta C barra. Bueno, pues así va la separación
P4. Nos dice que el segmento que los une también está en H. Y con lo cual
ya hemos terminado. El segmento este que los une está en H. Con lo cual,
el punto S de intersección con la recta B está en H. Y tiene que ser,
entonces, un punto de B barra. Y con esto concluimos que B barra está en
el interior del ángulo formado por A barra. Bueno, pues pasamos, entonces,
a ver la otra implicación. Si la suma de los dos ángulos está bien
definida... ...lo que tenemos que ver es que... ...ocurre que el ángulo
formado por B barra y C barra... ...es menor que el suplementario del
ángulo formado por A barra y B barra. Eso de que sea menor significa, por
definición, que C barra esté en el interior del ángulo formado por A
barra y B barra. Bien. Recordemos que el suplementario de A barra y B barra
es el formado por el que hemos llamado A prima barra y B barra. Bueno.
Pues, denotando H, el mismo semiplano que antes, pasamos a hacer la
mutación. Bueno. El hecho de que B barra esté en el interior de A barra y
C barra... ...el hecho de que eso ocurra, nos dice que como ese interior es
la intersección del semiplano definido por A contiene C barra... ...y el
semiplano definido por C contiene A barra. Esa es la definición interior.
A partir de ahí, obtenemos que el primero de esos semiplanos tiene que ser
H. Porque hemos dicho que está en esa intersección. Bueno. Entonces, en
particular, H tiene que contener tanto C barra como A B barra. Bueno. Pero
es que entonces, C barra está en el semiplano definido por B y contiene A
barra prima. Porque es que si estuviera en el otro semiplano... ...y
contiene A barra, resultaría que por definición C barra estaría en el
interior del ángulo formado por A y por B. Pero esto es imposible si
resulta que B barra está en el interior del ángulo formado. Bien. Por
tanto, concluimos que esta serie recta C está en el interior del ángulo
formado por A prima y B barra, o sea, suplementario. Que es lo que
queríamos comprobar. Bueno. Pues entonces, ya sabemos... ...ya hemos
comprobado... ...que efectivamente se cumple que la suma está bien
definida cuando el segundo ángulo es menor que el suplementario. Y de
aquí podemos obtener algunas sencillas conclusiones. Por ejemplo,
considerando que... ...y es fácil ver, el suplementario de un ángulo
agudo es obtuso y el suplementario de un ángulo obtuso es agudo. Y además
que todo ángulo agudo siempre es menor que un obtuso, también sentido
comprobado. Pues tenemos la consecuencia de que la suma de dos ángulos que
sean agudos o bien rectos... ...esa siempre estaría... ...está bien
definida. Siempre está definida. Y además, la suma de dos ángulos
obtusos, esa no está definida. No la vamos a poder sumar. En particular,
una conclusión sencilla también sería que el doble de un ángulo está
definido únicamente cuando es un ángulo agudo o cuando es recto. Esa
sería la conclusión sencilla de obtener aquí. Bueno. Pues... ...luego
aparte de estas consideraciones sobre la suma... ...quería proponer
algunos ejercicios. El primero... ...bueno, el ejercicio sobre la
comparación de ángulos. El primero es que si un ángulo es menor que otro
y este segundo es menor que un tercero, entonces el primero es menor que el
tercero. La propiedad transitoria. Una consecuencia que se puede obtener de
aquí es que si la suma de dos ángulos es menor que un tercer ángulo,
entonces cada uno de ellos es menor que el tercer ángulo. Una consecuencia
directa. Luego también... ...sobre la definición interior del ángulo es
que si... ...dos semirrectas están en el interior de un ángulo, entonces
el ángulo que forman estas dos semirrectas es menor que ese ángulo. Una
consecuencia intuitivamente sencilla pero hay que ser capaz de demostrarla.
Y por último... ...que cuando sumamos dos ángulos y esos dos ángulos son
menores a su vez que otros dos ángulos... ...pues resulta que la suma de
los ángulos que son más pequeños es menor que la suma de los ángulos
que son más grandes. Parece también obvio, pero hay que saber
demostrarlo. Bueno, pues voy a pasar a dar la demostración porque yo
aconsejaría intentar primero demostrarlo sin ver cuál es la solución. En
cualquier demostración lo primero que uno debería intentar hacer es un
dibujo de la situación para aclararse con lo que está ocurriendo. No hay
que dejarse llevar por los dibujos, pero sí es bueno para aclarar las
ideas. Bueno, pues lo primero que podemos escribir... ...vamos a mostrar la
propiedad transitiva. El primer ángulo como el formado por una semirrecta
A y otra semirrecta, por ejemplo, la prima. El segundo formado por la
semirrecta A y otra semirrecta B barra. Y el tercero formado por la
semirrecta A barra y otra semirrecta C barra. Entonces, para que se den las
desigualdades de que el ángulo A sea menor que B y B menor que C...
...pues tenemos que tener que A barra prima esté en el interior del
ángulo formado por A barra y B barra... ...y B barra en el interior del
ángulo formado por A barra y C barra. Algo similar a lo que se muestra en
el dibujo. Bueno, lo que tenemos que probar es que el ángulo A es menor
que C... ...que eso equivale a que en la semirrecta A barra prima está en
el interior del ángulo formado por A barra y C barra. Como siempre, cuando
queremos demostrar que una semirrecta está en el interior de un ángulo...
...usamos el teorema de la barra transversal. Para ello, tendremos que
tomar puntos en las rectas que definen el ángulo, o sea, en C barra y en A
barra... ...tenemos puntos P y Q... ...y tenemos que comprobar que el
segmento que los une corta a la semirrecta correspondiente. Bueno, lo que
sí que nos hace el teorema de la barra transversal es que el segmento P y
Q... ...corta a la semirrecta de barra en algún punto, en un punto R.
Bueno, en ese caso podemos volver... ...bueno, eso ha sido porque la
desigualdad que tenemos es que el ángulo A es menor que B. Pero es que
entonces, ahora podemos volver a aplicar el teorema de la barra
transversal... ...y el segmento que une P y R corta a A' en algún punto.
Bueno, pues como consecuencia, esto es porque el ángulo A es menor que B.
El anterior era porque B era menor que C, y esto es porque A es menor que
B. Bueno, pues como consecuencia, el segmento P y Q corta a A', y por tanto
a barra prima, que está en el interior de este ángulo. ¿Por qué lo
corta? Bueno, pues porque el segmento P y Q contiene al segmento B y R. Y
con eso, ya hemos hecho la demostración. La segunda parte no es más que
una consecuencia de que un ángulo siempre es menor... ...que la suma de
ese ángulo con algún otro, y es sencillo comprobarlo. Pasemos a hacer la
demostración del segundo punto. Que si dos semirrectas están en el
interior de un ángulo, entonces el ángulo formado por ambas también es
menor que ese ángulo. Bueno, pues igual que antes, podemos hacer un dibujo
para ver la comprobación. Introducimos una notación, que el ángulo C,
este que contiene a las dos semirrectas, pues se ha formado por dos
semirrectas C y D. Y, como siempre que queremos ver algo respecto al
interior del ángulo, podemos utilizar el teorema de la barra transversal.
En este caso, si utilizamos el teorema de la barra transversal, como
tenemos estas dos rectas en el interior del ángulo... ...pues si elegimos
dos puntos en el ángulo formado por C barra y D barra, los puntos P y Q...
...entonces tiene que cortar a la semirrecta A barra y D barra en dos
puntos. Cambiamosle S y R. Pues entonces, lo que queremos ver es que
tenemos una situación similar a la que aparece en la figura. Nosotros
sabemos que el reglamento P y Q lo podemos escribir como... ...la unión
del segmento P a R de R a Q. Entonces, debe ocurrir que el otro punto...
...nos hemos estado fijando en R, que el otro punto, el punto S, esté en
la primera parte del segmento o en la segunda. Como haríamos el mismo
razonamiento con cualquiera de los dos casos, nada más que vamos a ver el
segundo. Por ejemplo, que esté el... ...que se quede esta en el dibujo...
...que el punto S esté en la segunda parte del segmento. Entonces, podemos
volver a aplicar el teorema de la barra transversal... ...y como el punto S
que estaba en la semirrecta de barra es un punto de corte de la semirrecta
que une... ...que une el punto elegido en los otros dos, en C y D...
...tenemos que el ángulo formado por A por D es menor que el ángulo
formado por C barra y D barra. Porque hemos visto que el ángulo A...
...que queda semirrecta está en el interior de C, del ángulo formado por
C por D. Ahora ya... ...utilizando la propiedad transitiva podemos
determinar... ...por qué el ángulo A formado por A barra y B barra es
menor que el ángulo formado por A por D. La clave de esta demostración ha
sido simplemente irse a un ángulo más pequeño y utilizar la propiedad
transitiva. Bueno, para la suma... ...de ángulos pequeños... ...que sigue
siendo menor que la suma de unos ángulos más grandes... ...procederíamos
de una manera similar. En primer lugar sería bueno hacerse un dibujo. Por
cierto que esta demostración quedaría más sencilla si... ...solamente
uno de los ángulos que se suman fuera menor y el otro fuera exactamente el
mismo. Después se podría utilizar la propiedad transitiva para terminar
la demostración. Pero en este caso vamos a hacerla directamente. Lo digo
por si alguien quisiera ampliar esta demostración a la suma de varios
ángulos, solamente dos. Bueno, pues entonces escribimos... ...el primero
de los ángulos que se van a hacer mayores... ...como el ángulo formado
por dos semirrectas A barra y D barra. El segundo de los ángulos será el
formado... ...por D barra y otra semirrecta C barra. Estos son la suma de
los ángulos, estos que son mayores. Ahora vamos a imponer las condiciones
de que los nuevos ángulos... ...los formados en lo que son más
pequeños... ...son menores que el primero B1 y B2. Para esto tiene que
ocurrir que las... ...los podemos escribir, podemos escribir el primero de
los ángulos... ...el que es menor que B1, pues claro, como un ángulo que
está dentro de B1. O sea, un ángulo que está dentro del formado para
barra y D barra. Por ejemplo, un ángulo formado por una semirrecta D barra
y D barra. Tal y como parece en el dibujo. Una semirrecta D barra. El otro
como el formado... ...por una semirrecta E barra y D barra. Bueno, de
manera que ya sabemos, como he dicho... ...que B barra para que el ángulo
correspondiente sea menor... ...tiene que estar en el interior del formado
A barra y D barra... ...y la otra semirrecta tiene que estar en el interior
del ángulo formado por D barra y C barra. Bueno, lo que ocurre es que en
particular estas semirrectas B barra y E barra... ...están en el interior
del ángulo formado por A barra y C barra. Y, por tanto, tenemos que el
ángulo que forman las dos... ...que es la suma de estos ángulos menores,
de los ángulos A1 y A2, es menor que B. Que es el ángulo formado por A
barra y C barra. Esto ocurre por el apartado 2. Y la primera parte que
hemos dicho ocurría por la partida trasera. Y con esto termina la
demostración de los ejercicios.