En esta grabación vamos a ilustrar el proceso de cómo hacer una
demostración. Es decir, cuando lo he anunciado queremos ver cuál es la
secuencia de pasos, cómo dar con la secuencia de pasos que nos lleva a
demostrar ese enunciado. Para ello vamos a basarnos en el ejercicio 4.10
del libro de texto. En este ejercicio se estudian las rotaciones. En una
rotación nosotros sabemos qué es composición de la simetría respecto a
dos rectas que se cortan en el centro de rotación. Queremos relacionar el
ángulo que forman esas dos rectas con el ángulo de rotación que ya se ha
definido en todos los ejercicios. Por comodidad se distinguen dos casos. El
caso en que las rectas A y B no son ortogonales y el que sí lo son. El
caso en que son ortogonales realmente no es más cápita en las
definiciones, cuando uno intenta hacer la demostración se ve. Y el caso en
que no son ortogonales, bueno pues hay que estudiarlo un poco más. Para
ello, el caso en este en el que no son ortogonales queremos probar que el
ángulo de rotación es el doble del ángulo que forman estas rectas. Así.
Para ello, para hablar del ángulo doble, en primer lugar necesitamos que
ese ángulo doble esté definido. Nosotros, si lo pensamos un poco, y
además ya se ha visto en otro material que está disponible, la
mitodización, para hablar del ángulo doble realmente hace falta que el
ángulo sea agudo. Porque pensemos que en un ángulo de los que hemos
definido son todos menores del llano. Entonces claro, si vamos a calcular
el ángulo doble de algo y ese ángulo es el ángulo que forman las rectas,
y ese ángulo es obtuso, el doble no podría ser el llano. Ese es un
número que conozcamos. Entonces, sin embargo, con ángulos agudos siempre
habrá un ángulo doble. Ah, pero esto también se corresponde con lo que
ocurre en las rectas. Si nosotros tenemos dos rectas, sí, claro, las dos
rectas forman un ángulo, por supuesto. Eso todo el mundo lo ve. Pero no
solo forman un ángulo. Realmente forman dos ángulos. Porque también hay
un ángulo obtuso, hay un agudo y otro obtuso. Bueno, entonces enunciado lo
que hacemos en primer lugar del ejercicio es cogerse el ángulo, por
ejemplo, el ángulo agudo. ¿Cómo se hace esto? Pues para ello se hace
eso, que quizás resulta un poco raro al leer el enunciado, que es tomar la
perpendicular a una de las rectas y ahora considerar las dos semirrectas
que quedan definidas que estén en el mismo lado del mismo semiplano de la
que define esta perpendicular. Y ahora sí. Entonces ahora ya se mide el
ángulo entre las dos semirrectas, que es el agudo, porque sale menor que
el ángulo recto, y el ángulo de rotación tenemos que ver que es
congruente con el doble de ese ángulo. Entonces el hecho de haber tomado
la perpendicular no influirá mucho en la demostración, sino simplemente
por el hecho de que si no lo hacíamos podríamos hablar de ese doble del
ángulo. Bueno, entonces pasemos a ver cómo podemos hacer para demostrar
este enunciado. Vámonos al caso primero. Por definición de ángulo de
rotación, pues bastará con tomar un punto cualquiera del plano y ahora
ver el ángulo que forma la semirrecta que une el centro de rotación con
ese punto y la semirrecta que une el centro de rotación con la imagen de
ese punto. Ese es el ángulo de rotación y no depende del punto. Eso ya se
demuestra en el ejercicio que se define el ángulo de rotación. Tenemos
que ver que es el doble formado por la semirrecta A y B. Bueno, A barra y B
barra. Bueno, pues como se puede elegir cualquier punto suyo para hacer la
demostración sería buscar el punto para el que sea más sencillo hacer
esta demostración. Bueno, si nos hemos hecho un dibujo para ver qué es lo
que ocurre, pues un dibujo con un punto cualquiera a lo mejor no nos aclara
mucho, no se ve excesivamente claro cuál... ...que el ángulo ese sea el
doble. Si nos hacemos varios también podríamos pensar en la posibilidad
de coger algún punto encima de la semirrecta. Si hemos tenido la suerte de
pensar en esa posibilidad se ve claramente en el dibujo, pero podríamos no
haber tenido la suerte. Entonces, en ese caso nosotros estamos pensando en
algún punto para el que sea sencillo. Como tenemos que aplicar la
rotación Rho y B que ocurre, esa rotación es la composición de las dos
simetrías, pues por lo menos que al aplicar la primera simetría sea
sencillo calcular la imagen, pero es que entonces evidentemente cogeremos
un punto que esté en la primera de las simetrías. Porque ya sabemos que
sobre esos puntos, la simetría y la identidad son puntos fijos. Y entonces
para hacer la demostración tomaremos un punto que esté en la primera de
las simetrías. Tomaremos un punto ahí. El segundo caso, si lo pensamos,
no es más que aplicar la definición de cada cosa. Ahora lo comentaré por
encima, pero no es más que aplicar la definición. Bueno, pues vamos
entonces a ver cómo se terminaría ya haciendo la demostración de esto,
una vez con las cosas que hemos pensado. Bueno, pues entonces tomemos un
punto en la semirrecta A. No podemos tomar el punto C porque es la
definición del centro de rotación, obviamente. Bueno y calculemos su
imagen. Por su imagen consideradlo que es un punto fijo para A. Pues
entonces es simplemente la simetría utilizando la recta B. Bueno, pero el
hecho de que sea simetría, la recta B será la bisectriz del ángulo
formado por la semirrecta que une al centro y el punto y el centro is y la
imagen del punto, que es el ejemplo 4-9. Aunque también es evidente, sobre
todo si se mira el dibujo correspondiente a este caso, que es el que
mostré antes. Pero bueno, eso lo voy a estar también demostrando. Bueno,
pues ahora simplemente es considerar la definición de suma de ángulo para
concluir que el ángulo formado es entonces el doble que el formado por la
semirrecta A. Bueno, una cosa es que para aplicar la definición de ángulo
de rotación, hay que comprobar que no tenemos una media vuelta. Eso está
en la demostración que se da en el ejercicio correspondiente. Bueno, pues
se puede comprobar para este mismo punto P que hemos elegido, en la
semirrecta A. Bueno, pues si lo fuese, es sencillo concluir que el ángulo
tiene que ser llano y por tanto las semirrectas serían, o las rectas
serían a y b, serían ortogonales y nos traemos en el caso 1. Traemos en
el caso 2, que es el que vamos a comprobar ahora. Bueno, en este caso,
considerando el ejemplo 3-12, al hacer la composición, de estas, de la
simetría recto-extra-recta que son ortogonales entre sí, se obtiene la
media vuelta. Vale, entonces, por definición, por definición el ángulo
de rotación es llano, que es lo que queríamos comprobar. Este caso no
era, no había que pensar mucho en uno u otro. Pero quiero recalcar que
aquí la clave de la demostración ha sido elegir un punto en la semirrecta
A y por qué se ha elegido así, pues pensando simplemente que un punto
fijo era el siguiente. Y con eso se acaba la demostración. Bueno,
podríamos así pensar, bueno, ¿y cómo se ha dado con el enunciado de
este ejercicio? Pues lo que sí que sabíamos es que toda rotación es la
composición de simetría recto-extra-recta que se corta en el centro de
rotación. Además, las rotaciones evidentemente no hay direcciones
privilegiadas, entonces no debería importar qué rectas se toman. Pero,
¿qué entonces importará de esas dos rectas? Porque no son dos rectas
cualquiera. Pues lo único que podrá importar es el ángulo entre ellas.
Lo único es el ángulo entre ellas. Por eso pensamos en estudiar cuál
debe ser la relación entre el ángulo entre las rectas y el ángulo de
rotación. Para ello, para intentar visualizar cuál debe ser, lo suyo
sería hacer ejemplos dibujados. En este caso se ve fácilmente cuál es la
relación. Y si no se viese bien, pues también intentar proceder de una
manera análoga a cómo se ha hecho en la demostración. Tomar puntos para
los que sea muy sencillo verlos. En este caso, punto fijo para la primera
de las simetrías y un punto que esté en la primera de las rectas. Bueno,
otra duda que nos podrías hacer, es si realmente este ángulo no depende
de las rectas en sí. El ángulo de rotación, sino tan sólo de ángulos
que forman las dos. Pues ya lo sabemos, porque lo hemos demostrado. Pero
podríamos traducir esta pregunta que nos hacíamos en ¿seguiríamos
teniendo la misma rotación ρ si previamente giramos las rectas mediante
una rotación cualquiera o si las giramos después? Bueno, vamos a hacer la
composición. Por supuesto, la rotación de la que estamos al lado tiene
que tener un número de rotación, si no, eso no serviría. Bueno, pues por
hipótesis, la rotación en la composición de dos simetrías vemos que
ocurre al componer con una rotación. Se puede componer por la izquierda o
por la derecha y los argumentos serían exactamente los mismos y resulta lo
mismo. Es que ocurre al componer las simetrías respecto a estas rectas,
pero cuando se giran después de haber hecho la simetría. También se
podría haber hecho el giro antes. Bueno, pues recordad que realmente girar
antes o girar después cuando se hace una simetría es casi lo mismo. Eso
se ha visto ya en uno de los ejercicios. Efectivamente también se ve.
Ejercicio 3.2, el apartado B que resulta, nos dice que ocurre al componer
con una rotación una simetría. Siempre que el punto de centro de
rotación esté en la propia recta de la que se hace simetría. La
expresión es la que tengo remarcada. Bueno, pues ahí se obtiene
fácilmente simplemente basta con componer por la propia simetría Se
obtiene que componer por la izquierda es lo mismo que componer por la
derecha solo que en el primer caso, por la izquierda con la rotación por
la derecha que componer con la rotación en el otro sentido, o sea, con la
inversa de la rotación. Es simplemente eso. Bueno, pues utilizando esto ya
es sencillo comprobar que se obtiene la misma rotación al componer las dos
simetrías. Componemos las dos cuando sean rotados después con una
rotación por el tiraje Aplicamos este resultado para que la composición
por la izquierda sea similar a la composición por la derecha solo que
cambiando el sentido del giro Entonces al hacer esta composición
simplificamos la expresión volvemos a obtener la composición de las dos
simetrías originales y por tanto tenemos la misma rotación. Hemos
comprobado que efectivamente no depende de las rectas, sino únicamente del
ángulo que se ve. Que es lo que queremos ver. Bueno, con esto acaba la
grabación en la que queremos ilustrar el procedimiento de cómo dar con
una rotación. Hemos visto cómo se puede llegar a pensar en una