Muy bien, bueno, pues diagonalización como decía es un tema muy
importante que he chamado un poquito de todo lo que hemos visto de matrices
hasta ahora y lo primero que hay que entender son algunas definiciones que
están puestas aquí, que son similares pero diferentes, es fácil de
entender pero hay que tener cuidado para no equivocar una con otra,
entonces estamos comparando matrices del mismo rango y se dice que son
equivalentes las matrices B y A, si equivalentes, si existen dos matrices M
y N que relacionan ambas la B y la A de esta manera entonces puedo pasar de
A a B multiplicándola por esas matrices M y N, las que sean matrices
congruentes es algo similar, solo que esas matrices que pasan de A a B son,
en vez de ser dos diferentes, es una y su traspuesta ¿vale? que sería
esta definición, entonces se puede poner B en función de A o A en
función de B o como veis aquí depende a cuál de ellas le llame, aunque
esta sería un poquito la definición oficial, esto lo he puesto aquí a
propósito porque para que veáis que es similar, ¿no? esto lo he hecho
porque muchas veces igual consultáis otros libros y parece que la
definición es diferente, ¿no? y pues en mi definición la traspuesta
aparece a la derecha o aparece a la izquierda con la inversa que vais a ver
luego no tiene mayor importancia que cómo se definen cada una de las
matrices si MP es la traspuesta de M, lógicamente M es la traspuesta de T
entonces depende a cuál le demos el nombre especial, como si dijéramos en
traspuesta, pues quedaría con un aspecto u otro la relación sea la misma
el aspecto de la fórmula es uno u otro matrices semejantes es otro caso
especial del primero que hemos visto de matrices equivalentes en el cual
esa matriz que enlaza, que relaciona una con otra es la misma, una vez más
pero en vez de la traspuesta es la inversa es una matriz y su inversa
¿vale? y lo mismo así dependiendo a qué se le llame la matriz B pues la
inversa puede quedar de una forma u otra y no sólo eso, si en vez de B lo
que despojo es A en función de B pues las matrices inversas me quedarían
al revés la T primero y la T al al menos uno después entonces no es que
sean definiciones diferentes o equivalentes y hay que entenderlo muy bien y
esto remarco porque en realidad es algo que vais a ver ahora que se hace
con diagonalización relacionar una matriz con su matriz diagonal como se
puede esta es otra propiedad que tenéis que puede quedar en forma de
ejercicios que es... el producto de matrices y habíamos visto como por
hacer A al cubo, por ejemplo, cogemos y multiplicábamos A por A por A.
Bueno, pues esta es otra propiedad interesante sobre todo, ya vais a ver,
cuando tenemos una matriz diagonal si quiero hallar B al cubo y sé cuánto
es A al cubo y cuál es la matriz, esta matriz de paso de A a B,
simplemente se puede hacer pesado, multiplicando la misma relación que
guardan las dos matrices, las guardan B a la K y A a la K. Bueno, empezamos
directamente ya con diagonalización y lo primero que os he puesto aquí,
cuál es el objetivo, hacia dónde va a ser. Muchas veces empezamos a
explicar lo que hay que hacer y no os explicamos bien qué es lo que
queremos hacer. ¿Cuál es el objetivo? Bueno, pues el objetivo es buscar
una matriz que tenga, guarde ciertas características de A pero que sea una
matriz diagonal. ¿Qué características es esa que guarda? Pues que sean
semejantes, es lo que tengo aquí, o sea, es una matriz que está muy
relacionada con A, son semejantes, esto es lo que os decía antes de
ponerlo en un orden o en otro. ¿Veis cómo está aquí? P a la menos 1 o
el P a la menos 1 aquí aparece en la derecha, pero porque en uno tengo
puesta la matriz B a la izquierda de la igualdad y en el otro tengo puesta
la matriz A y lógicamente estas dos expresiones son equivalentes. Bueno,
pues como os decía lo que se hace es, en vez de utilizar la matriz A, pues
con ciertos objetivos, para ciertos propósitos ya que son normalmente
prácticos, en economía, en física, en cualquier asignatura en realidad,
pues a lo mejor necesito una matriz más manejable o que a simple vista me
dé la información de una manera más directa y para eso una matriz
diagonal es muy interesante porque si os acordáis tenemos la matriz de la
diagonal que no son ceros y el resto son todos ceros. Entonces es una forma
muy directa de ver la información y además facilita muchos cálculos si
luego hubiera que operar con ella, por ejemplo con la relación que hemos
visto antes de elevar a la matriz. Entonces, por cualquiera de estas
razones quiero encontrar una matriz diagonal, pero una matriz diagonal que
de alguna forma me esté representando lo mismo que me estaba representando
A, sea lo que sea beneficios, cualquier matriz que esté representando algo
de nuestra empresa en vuestro caso o de lo que sea, yo creo que esto sea
Bueno, entonces, estamos en que queremos encontrar una matriz más sencilla
que sea diagonal y que esté muy relacionada con mi matriz original, que
está relacionada al stacker. Claro, no es tan sencillo, no se puede
empezar a hacer pruebas hasta que encontremos una que nos convenga.
Entonces hay una serie de... digamos que hay un protocolo para encontrar
alto valores y valores propios. Te voy a explicar lo que es el de alto
valores y valores propios. vectores o vectores propios, entonces a partir
de ahí, de que entendáis bien cuál es el objetivo, el proceso es
bastante metálico pero hay que entender bien, son siempre practicando los
mismos pasos pero hay que entenderlos muy bien entonces os decía lo que
tenéis aquí, los autovalores o valores propios son los elementos de la
diagonal precisamente, estamos buscando una matriz diagonal que va a tener
aquí unos valores ADP o supuesto que puede ser cualquiera, a lo mejor es 0
o somos 3 iguales, en ese aspecto no hay restricción pueden ser reales o
complejos, lo que pasa es que en esta asignatura solamente salen
autovalores reales entonces van a ser, pues no sé, 5 menos 1 medio y 3,
esos son los elementos de nuestra diagonal, pero con eso no es suficiente,
no vale con que me digan mire, en vez de tu matriz A puedes utilizar otra
matriz que tenga en la diagonal pues eso, 1, 2, 0 no me vale con eso
necesito saber cuál es la forma de pasar de una matriz a otra entonces
necesitamos saber esta matriz P que os decía, luego ya le haríamos la
inversa pero necesitamos saber esa matriz P pues la matriz P de cambio de
base necesitamos una nueva base de ese espacio vectorial en el que estamos
trabajando en el caso que os estoy poniendo hoy aquí sería de R3 pues esa
base está constituida por los llamados autovectores o vectores propios las
dos formas de llamarlos se utilizan un montón entonces igual os decimos
tiene dos nombres pero se usa más tal pues en este caso la verdad es que
los dos vas a oír mucho autovalores y vais a oír muchos valores propios
vas a oír muchos autovectores y vectores propios indistintamente
cualquiera los tienes que sumar los dos bueno, entonces estábamos diciendo
los vectores propios son los vectores que nos van a permitir pasar de A a
esa matriz diagonal lo veremos tranquilamente cómo se van a calcular
repito que solo estamos viendo hacia dónde nos dirigimos encontrar una
matriz diagonal con unos valores propios o 8 valores y a encontrar la forma
de pasar de una a otra mediante esos autovectores que veremos el algoritmo
dijéramos para calcularlos y qué son esos vectores propios que tienen de
particular lo que tienen de particular es esta relación que tenéis aquí
aquí la x no se nota bien es una x como aquí una grita es un x vector no
es una x incógnita entonces si x es un vector propio asociado a un valor
propio lambda resulta que la matriz con la que estamos trabajando desde el
principio por ese vector da el mismo vector multiplicado por el valor
propio es decir, casi suena un poco raro si v tenemos una matriz A la que
sea de 3x3 con tres valores y decimos pues mira v es un autovector con un
valor propio lambda igual a 2 vale ¿qué es lo que significa ahora? que si
ya la cojo la matriz A y la multiplico por v me va a salir 2 por v otra vez
esta es la relación que no es ninguna tontería porque normalmente si os
acordáis de los temas de aplicaciones lineales el resultado de multiplicar
por la matriz por la matriz infinita no tiene por qué parecerse en
absoluto al vector que nos sale al final pues nos va a salir un múltiplo
de ese vector esos son los autovectores ¿qué múltiplo? pues precisamente
el autovalor o sea, esto en este caso ya sería uno de los elementos de la
diagonal ¿vale? pero lo mismo no podemos empezar a buscar vectores a ver
en cuál el resultado me sale otra vez el mismo vector multiplicado por un
escalar eso sería intratable no podemos andar haciendo pruebas entonces lo
que se hace los pasos que vamos a dar es lo que vamos a ver ahora pero
primero vamos a ver un ejemplo está un poco escondido ¿no? no está
escondido lo que está escondido es lo que se ha hecho para llenar aquí
este ejemplo que os he puesto resuelto precisamente porque quiero que
entendáis bien cuál es el objetivo qué es lo que vamos a hacer entonces
aquí se supone que este ejercicio estaba alguien lo ha realizado ya ha
hallado la matriz diagonal ¿vale? la matriz diagonal es esta repito que
vamos a ver cómo pero alguien ha por los métodos que vamos a ver luego
alguien ha calculado la matriz diagonal bien y ha calculado también los
autovectores que son estos de aquí uno, dos y uno menos uno esos vectores
van a formar la matriz de paso en este caso la he llamado L os he puesto P
en el libro también tenéis P pero ya sabéis que no tiene ninguna
relevancia la letra con la que llaméis a esa matriz de paso entonces ya
sabemos que de alguna manera podéis hacer la prueba ahora vosotros sin
saber diagonalizar sin saber cómo se ha llegado aquí si ahora
multiplicáis por A el vector uno, dos nos tiene que salir cuatro por uno,
dos otra vez porque es el primer autovector y es autovector con este
autovalor ¿vale? así que el producto de estas matrices nos tiene que
quedar cuatro sin hacerlo ¿vale? y lo mismo pasaría con el uno menos uno
uno menos uno es otro autovector con este autovalor con autovalor uno o sea
que se queda igual multiplicáis A por uno menos uno y nos queda otra vez
uno menos uno entonces lo que pone después pues como ya han calculado la M
dice bueno pues ahora calcularíamos la inversa y esto es una especie de
comprobación y se ve que efectivamente comprueban esta expresión de aquí
multiplicando la matriz de paso M por la matriz diagonal por la matriz
inversa y nos va a salir la edición ¿vale? pues he puesto aquí
autovalores cuatro, uno autovectores uno, dos este de aquí uno, dos uno,
dos es este uno menos uno que es este de aquí y los autovalores cuatro
porque sé que cuatro es un autovalor porque es el primer elemento de la
diagonal y uno porque es el segundo elemento de la diagonal el orden es
importante ya lo vamos a ver ahora si ya sabéis que en una base si se
cambia el orden de los vectores pasamos a otra base o sea son diferentes
¿no? el orden es muy importante acordaros a la hora de dar coordenadas
etc. ¿vale? entonces autovalor en la matriz de paso su autovector será el
primero si este es el segundo pues su autovector es el segundo también
¿vale? bueno seguimos poco a poco adelante y si no me decís aquí tengo
el chat abierto por si me queréis interrumpir bueno ecuación
característica es el el la primera operación prácticamente que hay que
hacer o sea lo primero que se hace es hallar esos valores propios o
autovalores el primer paso como se halla mediante una ecuación yo os
decía que es algo bastante metálico y os he puesto aquí si a es la
matriz de un endomorfismo la ecuación característica es la ecuación de
lambda resultante de y esta es la expresión a menos i n por lambda es
igual a cero parece más complicado en esta expresión de lo que realmente
es si os fijáis es la matriz a se le quita la matriz identidad que si os
acordáis era la matriz identidad y tres por ejemplo es en la diagonal unos
y el resto ceros el hecho de que aquí aparezca i n es porque como lo
estamos expresando de una manera general y no sé la matriz a de cuánto es
si es dos por dos o tres por tres pues si es una matriz de orden dos hay
que restar y tres entonces hay que ponerlo en general hay que ponerlo como
como i n pero en realidad es no es más que la matriz ya sabes diagonal uno
el resto cero multiplicada por lambda qué significa eso pues en vez de
tenerla uno cero cero voy a tener lambda cero lambda cero lambda esto es i
n por lambda Es más sencillo, entonces, a la matriz A, los elementos que
tenga, si aquí tiene un 1, por ejemplo, aquí le ponemos 1 menos lambda y
el resto de los elementos de A, los que sean, se dejan igual. Imaginaos que
aquí tenía un 2, pues 2 menos lambda y si aquí tenía un 3, pues 3 menos
lambda y el resto los que tuviera la matriz. O sea, en definitiva, esto te
parecía más complicado, lo único que tenemos que hacer es a la matriz A
restarle lambda en los elementos de la diagonal, esto es la matriz. Y el
resto de la matriz dejarla igual. Y, lo de coma matriz, ahora lo ponemos
como determinante, hallamos ese determinante y lo igualamos a 0. ¿Vale?
Creo que tenéis aquí. Se resta lambda a los elementos de la diagonal y se
calcula el determinante de la matriz a menos lambda resultante igualándolo
a 0. Tenéis aquí un par de ejemplos en los que se han calculado estos
valores propios. Con una matriz de 2 por 2 y con una matriz de 3 por 2.
Entonces, en esta primera matriz, ¿qué es lo que tenemos que hacer? Hemos
dicho, aquí y aquí restar lambda, que es esto, veis, 1 menos lambda, 1
menos lambda. Y hallar el determinante, que no es un determinante de 2 por
2, pues simplemente ya sabéis, multiplicar las dos diagonales y restarlas.
Aquí os va a quedar un polinomio, en este caso de 102, que tenéis que
factorizar. Factorizar, no sé si, como lo tenéis de olvidado, acordaos,
la ecuación, la fórmula para ecuaciones de segundo grado, la fórmula de
toda la bíblia, la de menos b, más, menos, raíz cuadrada de cuadrado,
menos 4, hace partido 2a. Eso por un lado. Y la mala noticia para algunos
es que hay que repasar Ruffini, ¿vale? Es algo igual que no tenía ni que
decir, pero por si acaso, prefiero deciros, os puede salir un polinomio de
grado 3 y lo vais a tener que factorizar. A veces basta con sacar factor
común y hallar una, y resolver la ecuación de segundo grado, pero otras
veces vais a tener que utilizar Ruffini, o lo que quede. O sea, el caso...
Es que vosotros os tenéis que encargar de factorizar ese polinomio que os
haya quedado. ¿Vale? Entonces, estamos con que hemos obtenido un polinomio
de segundo grado, se ha factorizado, por lo cual, pues la solución de esta
es lambda igual a menos 5, y la solución de esta de aquí es lambda igual
a 7, ¿verdad? Esos... Esos son mis dos valores propios. Hace una matriz de
orden 2, pues solo vamos a tener dos valores propios, ¿vale? Bueno,
veréis que aquí, además, os he puesto multiplicidad. Esto también es un
pequeño adelanto. La multiplicidad es sencillo, ¿eh? Lo único que nos
dice es la multiplicidad de una raíz, esto en realidad no es de
diagonalización, es algo del proceso de factorización y de resolución de
ecuaciones de grado n, ¿no? Entonces, cuando tenéis una ecuación, o
cuando tenéis un polinomio y lo factorizáis como queráis, aquí si os
fijáis, por ejemplo, lambda más 5 ha salido elevado a 1, y lambda menos 7
también. Pero hay ocasiones en las que eso tiene un exponente diferente de
1, ¿no? Se nos podría haber salido lambda más 5 al cuadrado solo como
solución. Entonces, en ese caso, la multiplicidad de esa solución sería
2. En este caso es 1, entonces este 1 tiene que ver con que esto está
elevado a 1. Y este 1 tiene que ver con que lambda menos 7 también está
elevado a 1. El segundo ejemplo es similar, pero tenemos una matriz de 3
filas y 3 columnas. Entonces, en principio se hace lo mismo, se resta solo
en la diagonal, se resta lambda, y se resuelve el determinante
correspondiente. Si os fijáis, este caso en concreto es especialmente
sencillo porque es una matriz, la matriz inicial es triangular, por lo cual
el determinante de una matriz triangular, si os acordáis y no hay que
aforzarlo simplemente, es multiplicar los elementos de la diagonal. O dicho
de otra manera, si multiplico los elementos de la diagonal, me van a volver
a salir estos de aquí. ¿Veis? Es lógico, le quitamos lambda, luego los
multiplicamos y decimos, ¿cuándo va a ser esto 0? Pues cuando me queden
estos 3 valores precisamente. No hace falta que lo aprendáis en memoria,
pero en el libro lo tenéis como una pequeña norma. Cuando la matriz es
triangular, los valores propios son precisamente los valores de la
diagonal. Si no os acordáis, no pasa nada, porque ya veis que al hacerlo
aquí, puede que alguien se dé cuenta y diga, ya está, mis valores
propios son 1, 1 y menos 2 porque es una matriz triangular. O puede que no,
pero en todo caso al hacerlo es especialmente sencillo y eso va a ser.
Entonces aquí tenemos de parte de este de aquí, el menos de afuera no
hace nada. De parte de este lambda más 2 nos ha salido el valor propio
lambda menos 2. Este lambda más 2 está elevado a 1, luego la
multiplicidad es 1. En cambio, ahora tenemos 1 menos lambda al cuadrado y
aquí nos sale pues igual a 1 menos lambda 0 y me salió el otro valor
lambda igual a 1 y como está elevado al cuadrado la multiplicidad es 2.
¿Vale? Seguimos entonces. Obtención de los autovectores. Esto es un
poquito más complicado, un poquito suave. Verlo en la forma general
todavía más, pero cuando veáis un ejemplo lo vais a entender bien. Si
lambda es un autovalor de multiplicidad m, como los que hemos visto en los
ejemplos anteriores, para hallar el... Y fijaos qué expresión. Me da un
poco de miedo pero no es tan fiero como tal. Subespacio vectorial es
sublambda asociado a lambda. Esto se refiere a que cada valor propio puede
tener no solo un vector propio sino muchísimos más infinitos. Entonces
esto al principio os he contado más o menos cuál era nuestro objetivo
pero no os he dado muchos detalles. Resulta que no se trata de autovectores
sino de todo un subespacio vectorial de autovectores. Cada valor propio a
cada lambda no le corresponde un único vector, pues no sé, 1, 0 o 1 por
ejemplo, sino que le corresponden infinitos vectores. Dependiendo de su
multiplicidad, pues si la multiplicidad es 1 y la matriz es diagonalizable
será todo el subespacio vectorial generado por este vector. 2, 3, 0, 3,
etc. Eso lo vamos a ver ahora con más detalle. Y si no, pues será un
poquito más complicado si su multiplicidad es 2 pues un espacio vectorial
de rango 2. Y ahora vamos a ver cómo hallarlo. Entonces ya os decía al
principio que es un poquito más complicado pero tenéis que entender cuál
es el objetivo como decíamos antes y cómo se resuelve. Entonces ese
subespacio, cada lambda no tiene asociado, como decíamos, no tiene
asociado un solo autovector sino que tiene asociado, diríamos, una familia
de autovectores. ¿Cómo hay esa familia de autovectores? Con esta
familiar. Que una vez más es más sencillo de lo que puede parecer con
esta expresión. Este tipo de expresiones me he sentado un poco miedo. Hay
que acostumbrarse a entenderlas pero luego en la práctica normalmente lo
entendéis mejor. Si os fijáis, pero vamos a descifrar un poco lo que pone
aquí. A menos lambda i esto es lo mismo que hemos usado para calcular la
ecuación característica. Sólo que ahora ya sabemos los lambda, ¿no? Si
yo tengo que lambda es igual a 2 por ejemplo, porque lo he hallado hallando
este determinante, etcétera vuelvo a esta expresión, a esta matriz y en
vez de lambda pongo 2 entonces va a ser en los elementos de la diagonal
restarle 2. Lo que tuviera antes menos 2, menos 2, menos 2 con lo cual
aquí me va a quedar una matriz con determinados números. Pero aquí no
hay incógnitas como antes porque lambda estoy aplicando directamente
lambda igual a 2. Autovector asociado con este autovalor en concreto, ¿eh?
Por eso os decía que no es tan complicado porque cuando pasamos allá al
autovectores estamos utilizando ya los autovalores que hemos calculado.
Entonces esta matriz la ponemos por una vez más x es un vector x y z o x1,
x2, x3 como queráis es igual a 0 que va a ser el vector ¿vale? Y nos
salen si os fijáis esto no suena a núcleo esto es muy parecido al núcleo
que a lo que hallábamos o lo que hacíamos perdón para hallar el núcleo
de una aplicación lineal. De hecho es algo en lo que vosotros tampoco os
incide mucho porque nos hace falta pero en realidad estos espacios
vectoriales son el núcleo de esta aplicación de a-2 lambda por ejemplo.
Entonces es repetimos quitar en la en la diagonal el alto valor que
habíamos calculado y igualar a 0,0 esta expresión y hallar aquí
lógicamente pues nos va a quedar una relación pues x es igual a 2y por
ejemplo y z es igual a 0 ¿vale? Nos va a quedar un espacio vectorial en
cual son importantes los temas verlos en orden en cual para hallar
ecuaciones o vectores tenemos que aplicar lo que veíamos en el primer tema
de espacios vectoriales podemos dar ecuaciones paramétricas no
paramétricas o simplemente dar una base de ese subespacio vectorial bueno
después de esto que ya os digo no os preocupéis que ahora lo vais a
entender mejor tenemos una expresión muy importante aquí que os la he
adelantado antes un poquito ¿vale? que nos dice la matriz A es
diagonalizable si y solo si la dimensión de ese espacio vectorial que
estamos diciendo ahora de ese subespacio que hemos hallado aquí que yo os
he dicho puede ser de rango 1 de rango 2 igual que la multiplicidad de
lambda es decir si lambda tiene multiplicidad 1 hago por este algoritmo
dijéramos hago hallo su subespacio vectorial obtengo una base pues esa
base solo puede tener un elemento porque el rango del subespacio vectorial
asociado a ese valor a ese alto valor perdón tiene que ser 1 si la
multiplicidad es 2 aquí no tiene que quedar un 2 si la multiplicidad es 3
que es lo que pasa en caso contrario pues que nos plantamos no es
diagonalizable si yo tengo que la multiplicidad de un alto valor me ha
quedado 2 por ejemplo y el rango solamente hacemos toda esta operación que
decíamos aquí y el rango me queda que solamente es 1 pues decimos vamos a
ver un ejemplo ahora esta matriz no es diagonalizable y nos paramos ahí no
todas las matrices son diagonalizables no todas las matrices se pueden
poner con esa expresión que decíamos al principio bueno seguimos entonces
estos ejemplos hay que verlos despacito con cuidado no tengo una pizarra de
verdad es un poco más complicado verlo así bueno pues entonces tenemos
empezamos con esta matriz es una matriz de solo 4 elementos 2 por 2 y hemos
dicho primer paso cálculo de alto valores con la ecuación característica
siempre primer paso es esto hallar esto e igualarlo a 0 aquí no está
puesto la igualada a 0 pero se sobreentiende si no lo igualamos a 0 no nos
salen las soluciones que estábamos diciendo bueno entonces se supone que
se ha hecho el polinomio de segundo grado se ha factorizado y quedan las
soluciones lambda igual a 4 y lambda igual a 1 vale y las dos con
multiplicidad 1 vale hay algunos tópicos que ahora os voy a decir a
propósito para saber cuando es diagonalizable pero prefiero que primero
entendáis la forma general bueno entonces decíamos los alto valores son 4
y 1 la multiplicidad es 1 pues pasamos hemos dicho este es el primer paso y
este es el segundo vale pues ahora cojo y voy a hallar el subespacio
asociado a este lambda igual a 4 y para eso hemos dicho cogemos este paso
bueno lo podéis escribir pero tampoco es importante es imprescindible
podéis empezar directamente esto de aquí cogemos la matriz inicial y en
la diagonal le restamos ese alto valor 2 menos 4 3 menos 4 1 menos y nos
queda este resultado vale nos queda esta matriz igualada a 0 entonces de
aquí nos queda un sistema si os fijáis pues como siempre multiplicando
menos 2 por x1 1 por x2 y lo mismo con la segunda fila y llegamos a este
sistema de aquí bueno ese sistema claro es lo que os decía hay que saber
manejarlo hay que saber simplificarlo y nos queda esta relación que no es
la única esto serían ya las ecuaciones paramétricas aquí os podría
haber salido directamente x2 es 2 por x1 esto tampoco tiene una forma
única de darle mientras lo entendáis bien lo hagáis bien lógicamente y
os sirva para sacar una base adecuada si por lo que se os dijera dar la
base o dar perdón la ecuación las ecuaciones paramétricas del subespacio
vectorial bueno no creo que se compliquen tanto pero vamos en ese caso pues
halláis las que os digan sino en principio son una herramienta para hallar
los autovectores si os fijáis aquí después de hacer así o así es decir
las ecuaciones paramétricas o no paramétricas de una manera u otra se
supone que aquí nosotros tenemos que dar cuenta que el rango de ese
subespacio vectorial asociado al autovalor lambda igual a 4 vale es lo que
hemos hecho hasta ahora ese rango es 1 porque nos ha quedado solo un
parámetro o si preferís porque teníamos dos incógnitas como si
dijéramos de una relación entre ellas pues 2-1 1 que es una de las cosas
que se suele hacer también se puede hacer a partir de este rango del rango
de esta matriz todo es equivalente bueno de una manera o de otra hemos
visto que el rango es 1 y como la multiplicidad también era 1 pues eso nos
quiere decir que vamos bien que de momento parece que sí que es
diagonalizado vale entonces una vez que tenemos esas expresiones además
hay que hallar un vector entonces le dais cualquier valor aquí tenéis en
particular si t es igual a 1 bueno os han dado el más sencillo t igual a 1
y en el segundo pues queda el valor 1-2 perdón el autodector 1-2 se
podría haber dado cualquier otro valor excepto 0 en este caso porque nos
quedaría 0 bueno cualquier valor excepto 0 entonces nos queda el
autodector 1-2 bueno pues ya sabemos si no miráis abajo ahora lo que se ha
hecho después simplemente con lo que hemos hecho hasta ahora que hemos
obtenido pues de ¿qué sabemos de momento? pues sabemos que la matriz
diagonal es 4 0 1 esto sí que lo sabemos desde el principio desde que
hemos salido aquí los autovalores ¿vale? y que a esa matriz diagonal le
corresponde una matriz de cambio de base que está formada por los
autovectores de los cuales sólo sé uno no dos me falta el otro que es el
que vamos a hallar ahora siempre que no nos dé problemas a lo mejor el
segundo nos da problemas y nos dice pues no no debe haber nadie ¿vale?
bueno entonces seguimos cuando landes 1 el orden en que empecéis a
analizar cada autovalor no importa se suele empezar pero yo os digo que no
es algo que sea obligatorio pero se suele empezar cuando hay alguno que
tiene multiplicidad más de 1 que es donde puede haber problemas se puede
empezar por ese porque si nos sale que no es diagonalizable pues lo hemos
visto lo más rápido posible ¿no? a lo mejor empecéis con la
multiplicidad 1 no da problemas luego pasáis al de multiplicidad 2 y
resulta que no era diagonalizable y habéis hecho en vano el trabajo del
principio pero yo os digo que no es algo obligatorio eso es una norma
práctica en mi cabeza en este caso como los dos tenían multiplicidad 1
pues está exactamente igual entonces tenemos si landes igual a 1 ¿qué es
lo que ha hecho aquí? pues aquí ha cogido voy a sacar un poquito esto
esto también ha cogido esta matriz la inicial la que estamos tratando de
diagonalizar vaya y le ha quitado 2-1 y 3-1 los elementos de la diagonal ha
quitado el autovalor ¿veis? se ha obtenido 1 y 2 los otros dos elementos
se dejan igual este 1 y este 2 y se toca después con esto queda un sistema
de ecuaciones que es lo que tenemos aquí simplemente esáis multiplicáis
cada fila 1 por x1 1 por x2 2 por x1 2 por x2 aquí mismo hay veces que
cuesta un poquito más de trabajo pero aquí si os fijáis están las dos
ecuaciones son iguales una es el doble de la otra o sea que aquí
directamente nos daríamos cuenta se quita 1 y nos queda que x1 es menos x2
o lo que tenéis aquí ecuaciones paramétricas ¿vale? queda sacado en
cuidado entonces los autovectores asociados a ese autovalor es esto de
aquí o sea aquí nos están dando nosotros tenemos costumbre de darlo por
filas aquí lo están dando todo por columnas ya sabéis que es equivalente
de hecho es más correcto darlo así en teoría cada vez que lo expresamos
los vectores como filas deberíamos poner una t de traspuesta pero la
verdad es que no se suele hacer porque todo el mundo se entiende sin
problemas y es más cómodo pero para que no penséis que es nada raro
cuando lo veáis y a lo mejor veis en el libro los doctores escritos como
filas y aquí están como columnas no tiene mayor importancia mientras lo
entendáis no tiene más importancia entonces como os decía esto de aquí
en realidad es todo el espacio vectorial subespacio asociado al alto valor
lambda igual a uno estas son sus ecuaciones paramétricas ya se ve que el
rango de ese subespacio que estamos diciendo de lambda igual a uno es uno
también solamente tiene un parámetro o como os decía antes dos
incógnitas una ecuación dos menos uno uno vale dos variables entonces
como el rango de ese subespacio vectorial lambda igual a uno es uno pues
vemos que efectivamente la matriz es diagonalizable como ya habíamos
adelantado no hay ningún problema y se puede expresar de esta manera de
aquí así o así siendo la matriz de paso la que está formada por los dos
altovectores este es el que habíamos puesto antes y este otro que nos
faltaba es el que acabamos de hallar dando valor uno uno menos uno es el
que ven aquí acordaos lo que os he dicho antes mucho cuidado con el orden
no importa es indistinto que yo haya empezado por el autovalor lambda
cuatro como os he dicho antes o por el valor lambda uno y en la diagonal
podría haber hecho un ejercicio este mismo ejercicio quiero decir y haber
puesto la diagonal uno cero cero cuatro vale y estaría perfectamente bien
pero ahora la matriz de paso en vez de ser esa que tenemos aquí sería al
revés uno menos uno uno dos porque el mismo orden como os he dicho en el
que está el autovalor es el mismo orden en el que tiene aquí su
autovector primero con el así este uno menos uno es el de uno el del
autovalor uno y el del autovalor cuatro es el otro vale entonces las dos
soluciones y esto también nos vale para cuando veáis los ejercicios los
resultados por el equipo docente y alguno que os colgare yo si vosotros lo
hacéis y ves que el orden es diferente no importa siempre os lo estoy
repitiendo mucho pero es que es muy importante siempre que el orden en que
pongáis en una matriz los autovalores es el mismo orden en que pongáis en
la otra matriz los autovectores ánimo esto es todo vamos a ver más
ejercicios pero ya no se va a complicar mucho más la base es lo que hemos
visto hasta ahora segundo ejemplo similar creo que es una matriz de tres
por tres por lo cual se suele alargar un poquito más salen más
autovalores cambian la multiplicidad normalmente etcétera el proceso es el
mismo tenemos esta matriz y le restamos en la diagonal esa lambda lambda 0
calcula el determinante no es una matriz triangular pero bueno como tiene
aquí dos ceros si os fijáis siempre intentad ir a lo fácil como tiene
dos ceros no haría falta empezar a pensarlo sino que se saca este elemento
de aquí se desarrolla por su filo y su polimbo ya sabéis y nos queda esta
otra matriz aquí que es más sencillo ya teníamos un 2 menos lambda
directamente y ahora este menos este no pasa nada como os digo siempre no
pasa nada si hacéis el método largo sarrus pero pues eso os va a quedar
mucho más largo así es más sencillo así que siempre ya veis que poco a
poco vamos mezclando todos los temas entonces poco a poco hay que aplicar
pues conceptos de espacios vectoriales de matrices de propiedades de
determinantes etc bueno en todo caso hemos llegado a este polinomio de
aquí por lo cual los alto valores son lambda igual a 3 de parte de esta
expresión y lambda igual a 2 de este pero este cuadrado que me dice que
lambda 2 tiene multiplicidad 2 vale porque porque 2 menos lambda que es ese
binomio del cual es obtenido el valor del cuadrado al cuadrado no tiene
nada que ver es casualidad que sea lambda 2 y su multiplicidad también 2
no tiene absolutamente nada que ver lambda es 3 y su multiplicidad es 1 lo
que importa es esto esto está elevado a 2 esto está elevado a 1 pero eso
es la multiplicidad de 1 y 2 y lo que es la multiplicidad de la
multiplicidad 0 yo os decía podría haber empezado directamente con el
subespacio asociado a lambda igual a 3 pero por si acaso os digo que no es
una norma es algo más práctico que otra cosa no pasa nada si no pero es
mejor empezar con este porque este es el que nos puede dar problemas y si
resulta que no es diagonalizable como va a pasar pues me he ahorrado el
cálculo de este autovector vale entonces decimos 2 menos lambda
multiplicidad 2 empiezo por este autovector este autovector hallar sub
espacio vectorial asociado sub espacio vectorial se sustituye en la
diagonal b de lambda 2 se multiplica por x y z se iguala 0 a 0 y se
obtienen unas ecuaciones por supuesto aquí falta el paso intermedio de la
primera por ejemplo ese que nos queda igual a 0 luego nos queda menos 3y
más z igual a 0 y de ahí se va obteniendo que y es 0 y z también en
cambio la x no aparece si os fijáis por culpa de estos ceros de aquí la x
no aparece o sea la x queda libre por eso vamos a escribir nosotros la
ecuación del sub espacio vectorial asociado a lambda igual a 2 que es
estas ecuaciones de aquí x igual a z igual a 0 o las ecuaciones
paramétricas una a corresponde a la coordenada x la componente x y el
resto son ceros la dimensión de este sub espacio vectorial es 1 todos los
elementos van a ser 0 2 0 aunque sea raíz de 3 pero 0 0 vale solo hay una
componente que no va a ser 0 por lo cual como la dimensión de este sub
espacio vectorial asociado a lambda igual a 2 que tenéis aquí es 1
mientras que la multiplicidad será 2 pues no es diagonalizable ya no se
sigue la matriz no es diagonalizable no hace falta ser se pueden hacer
otras cosas con este tipo de matrices pero no entra en vuestro programa
así que no las vamos a ver es un granularizar y hacer algunas otras
cositas es si os fijáis es un poco no voy a decir que es muy intuitivo
porque estos conceptos son un poco complicados pero tiene cierta lógica
porque si en realidad de parte de este auto de autovalor perdón voy a
necesitar dos vectores porque si ésta hubiera sido diagonalizable que no
lo es pero si lo hubiera sido la matriz diagonal al ser estos autovalores
habría sido 2 0 0 el 2 otra vez porque como tiene multiplicidad 8 es como
que cuenta doble de acá y este otra 0 0 3 hay matrices de este tipo
diagonales y no pasa nada pero claro a la hora de obtener los autovectores
este lambda 2 me tenía que haber generado dos autovectores vale la matriz
sólo me va a generar uno entonces no me puede generar dos vectores de una
base que evidentemente tienen que ser linealmente independientes dos
vectores de la base de r3 si solamente tiene dimensión 1 yo aquí no puedo
poner dos vectores 1 0 0 y 2 0 0 porque esto no es una base de r3 esto no
puede ser una matriz de cambio de base vale ese es el problema es como que
no dan lo suficiente de sí este autóvalor para generar un subespacio y
unos autovectores asociados vale bueno otro ejemplo este ejemplo el
asterisco os lo he puesto porque los otros los he hecho yo pero este no
entonces he puesto por aquí a quien le debo el ejercicio vale de la
universidad de alcalá bueno que son los ejercicios que podéis encontrar
en la web no tienen ningún problema de distribución ni nada para no
atribuir numéritos que no son buenos bueno entonces este ejemplo de
diagonalización de una matriz de 3x3 que tenéis aquí pues empieza igual
si os fijáis además he escogido este precisamente porque otra vez nos
sale el autóvalor lambda2 con multiplicidad 2 que tenéis aquí y el
lambda igual a menos 4 con multiplicidad simple que decir que es
multiplicidad 1 vale entonces empieza a hacerlo como hemos dicho por si
acaso con el de multiplicidad 2 a ver si nos va a dar problemas o no
sustituye 2 en la diagonal veis lo sustituye en la diagonal nos queda esta
matriz de aquí que fijaos que curioso que tiene una columna entera de
ceros y los demás fijaos 3,3 menos 3 2 3 2 1 2 3 2 3 2 entonces esta es x
igual a menos z es la única información que saco es lo que pone aquí en
ecuaciones parámetros x igual a t, z igual a menos t y puede ser cualquier
cosa por eso he metido un nuevo parámetro h también lo podríamos haber
puesto así ¿vale? entonces ya se ve que la dimensión es 2 cualquier
vector de este subespacio que cumpla estas características si me quiero
inventar como si dijéramos un vector si quiero poner un vector que cumpla
estas características aquí como decía tengo que dar dos valores, no me
vale con uno necesito dos si yo digo que z es 1 pues ya sé que el vector
es 1, perdón, menos 1 1 pero aún así me tienen que proporcionar la
coordenada ahí ¿vale? pues 0 entonces esa es la forma de darse cuenta de
que el rango es 2 ¿vale? de entender bien qué significa la dimensión,
perdón, que estoy diciendo rango es la dimensión del subespacio vectorial
es 2 el rango se suele aplicar a matrices y la dimensión a subespacios
vectoriales bueno, pues entonces como la dimensión es 2 necesito dos
vectores necesito y además quería dos vectores porque este autovalor es
doble ¿cuáles? los que queráis normalmente como siempre suele decir se
tienden a los más sencillos aquí os he puesto menos 1, 0, 1 esto es casi
igual con el signo cambiado 1, 0, menos 1 ahora al revés pues cojo la z y
la x, 0 y entonces el vector y le pongo 1, 0, 1 ¿vale? ya sabéis que
mientras no quede el vector 0, 0, 0 pues los valores que queráis que se
tiendan a lo más sencillo pensando sobre todo que luego tenéis que hallar
la matriz inversa entonces cuanto más sencillos sean los vectores que
cojáis más sencillos queda la matriz y más fácil será también
hallarla en filandres igual a menos 4 que tenía multiplicidad simple si os
acordáis multiplicidad 1 pues lo mismo esto se ha obtenido restando la
matriz inversa restando 1 a los elementos de la diagonal de la matriz
perdón, restando 1 no restando menos 4 que es nuestro tanto valor de ahora
restando menos 4 a la matriz inicial que es lo mismo que tenemos aquí a
menos sería a menos menos 4 restar menos 4 sumar 4 entonces se ha obtenido
esta matriz de aquí es igual a 0, 0, 0 también se plantea el sistema se
simplifica todo lo posible ya veis también esta ecuación es la primera y
la última que parecidas son entonces de ahí se saca cierta información
que es esta o como os estoy diciendo todo el rato las ecuaciones no
paramétricas la cuestión es que se ve que solo tenemos un parámetro p
menos t, p pues eso quiere decir que dándole cualquier valor excepto 0 en
este caso a t obtengo un vector anotado con lo más sencillo cuando t es
igual a 1 me queda x igual a 1 y igual a menos 1 z igual a 1 pues ese es el
tránsito de hacer vector entonces una vez hecho esto ya hemos hecho lo
más difícil hemos hecho todo prácticamente solo falta ordenar las cosas
entonces para ordenar toda la información primero reunimos la matriz
diagonal una vez más os repito los autovalores en el orden que queráis
pero en el mismo orden nos tenéis que introducir el vector entonces aquí
ha puesto 2, 2 menos 4 podríamos haber puesto o intercalar poner en la
matriz diagonal la matriz 2, menos 4, 2 no pasa nada pero en p también
tendríamos que poner un vector del autovalor 2 el de menos 4 y el otro del
autovalor 2 ¿vale? en este caso han optado por poner 2, 2 menos 4 que es
la matriz diagonal la matriz p se obtiene con los autovectores perdón, me
voy a pasar la página atrás pero por ejemplo si te veis aquí el tercero
que era el asociado a menos 4 que está en tercer lugar pues aquí también
en tercer lugar está el proyector es este y por último la inversa claro,
la inversa aquí han puesto directamente el resultado lógicamente esto
lleva un tiempo calcularlo ¿vale? ya vimos las formas diferentes de hallar
la matriz inversa y luego os dice puede comprobarse que p por d p a la
menos 1 puede comprobarse pero también lleva su tiempo en el examen no
creo que os digan que lo comprobéis al menos a lo mejor los prepara
matrices muy sencillas con muchos ceros y unos pero normalmente no se suele
comprobar como muchos se suele plantear lo que sí podéis hacer
dependiendo siempre ya sabéis leéis la pregunta despacio y hacéis solo
lo que os piden pero sí que se puede hacer pues ponerla de esta manera
está d o sea lo mismo que viene aquí 0, 2, 0 0, 0, menos 4 es igual y
escribimos bueno escrito de esta forma que también vale pero acordaos es d
es igual a p a la menos 1 por a por p se puede escribir así o así lo que
cambia es que en uno está despejada la a y en otro está despejada la d
cuando está despejada la e va primero la matriz p y cuando está despejada
la d va primero la matriz inversa entonces aquí pondríamos este 1 medio
por 1, 1, 1 que es la matriz inversa 0, 2, 0, menos 1, 1, 1 aquí pondría
la matriz a de la matriz inversa al principio y aquí pondría la matriz
escribiendo eso es yo creo que es lo máximo que os voy a pedir que al
menos que sean unas operaciones muy sencillas y que estén muy preparadas
hay bastantes cálculos que hay que hacer para llegar aquí como para
empezar a hacer proyectos de matrices y comprobar todo bueno seguimos al
siguiente resumen de pasos a dar para tener un poquito una vista general de
todo lo que hemos hecho lo primero que hay que hacer ecuación
característica y autovalores acordaros la ecuación característica es la
matriz a quitarle en la diagonal por eso se pone esta i lambda aquí se
suele poner n pues para indicar que es la matriz identidad correspondiente
al orden de la a que estamos considerando y este determinante es igual a 0
aquí es el 0 el número 0 claro esto es un determinante que un valor
numérico es la matriz y aquí sacamos los auto valores segundo una vez que
tenemos los auto valores hallamos este este paso cuando es el más largo en
su espacio vectorial asociado a cada auto valor consideramos los autos y
comprobando siempre que la multiplicidad del auto valor es lo mismo que la
dimensión de ese subescaposo este es el paso más largo de todos una vez
que hemos hecho estos dos pasos el ejercicio prácticamente está resuelto
esto ya es como se suele decir capricintura ya solamente ponerlo bonito
obtención de la matriz diagonal claro pues si ya he sacado los auto
valores la matriz diagonal no es más que coger y tenerlos en orden
¿verdad? con cuidado como decíamos a respetar el mismo orden en p p coger
los auto vectores y tenerlos también por columnas como estábamos diciendo
si nos piden que es probable hallar la matriz inversa para hallar p a la
menor cantidad de autos o p esta matriz de aquí halla su inversa por todo
aquel método que vimos con el adjunto la traspuesta etc hallamos esa p a
la menos uno y como mucho este planteamiento de aquí cualquiera de los dos
si no se especifican uno pues uno en concreto y si no pues cualquiera de
ellos ¿vale? bueno no queda mucho tiempo no os quiero liar mucho igual
esto lo vamos a dejar para para el siguiente día lo que nos queda porque
este ejercicio que lo practiquéis es lo que nos queda ahora son casos
particulares como os decía igual os avanzo un poquito para que veáis
diagonalización de matrices simétricas las matrices simétricas son
matrices que tienen los elementos bueno la definición cuando la vimos si
os acordáis es que hay j es igual a aj lo que quiero decir es que si lo
dobláramos por aquí por la diagonal coincidirían los elementos de un
lado y del otro o sea si aquí tenéis a aquí tenéis c eso es una matriz
diagonal entonces estas matrices diagonales que lógicamente a simple vista
se ven seguidas no es exactamente que se diagonalizan de otra manera al
revés tienen ventajas aunque parezca que es vaya ya nos van a embrollar
más con otro método no tiene ventajas siempre son diagonalizables con
autovalores reales ¿vale? entonces si os sale alguna historia de
multiplicidad que no coincida con su espacio pues tenéis que repasarlo que
os habéis confundido porque estas siempre son diagonalizables entonces la
forma de de hallar una matriz de paso es un poquito diferente se pueden
hacer una matriz simétrica si tenéis ejercicios podéis probar a hacerla
con el método que hemos hecho antes exactamente igual ¿eh? se puede hacer
así o buscar una matriz de paso un poquito especial que es esto que ya os
digo que lo veréis lo veremos la próxima vez ¿qué tiene de especial?
pues que la matriz inversa una vez que hayamos la P y hayamos los
autovectores igual que hemos hecho con las matrices hasta ahora a la hora
de hallar los autovectores le haremos una pequeñita operación que es esta
de aquí plantaremos un par de cositas y en vez de coger cualquier
autovector como os decía antes los elegiremos mejor ¿eh? esa es la
particularidad de la diagonalización de matrices simétricas elegiremos
mejor estos autovectores de forma que vamos a obtener una matriz que tiene
una ventaja estupenda porque la inversa es igual a la traspuesta una matriz
octogonal ¿vale? eso veremos la próxima vez cómo se hace como os voy a
colgar la presentación pues podéis ir mirando adelantando un poquito
¿vale? y veremos algún ejemplo y hablaremos de la traza finalmente y
luego haremos zapatillos y veremos depende de las dudas que me podáis
preguntar entre semana pues iremos adelantando más o no llevamos bien de
tiempo ¿vale?