Bien, en los módulos que vamos a ver a continuación y que denominaremos
EH1 y EH2 hablaremos de la estática de hilos, es decir, aprenderemos a
determinar la curva de equilibrio que presenta un hilo, ya sea un cable,
bien sea una cadena, cualquiera de estas cosas le llamaremos hilo, cuerda
mismos, hilo suspendido o apoyado entre dos o más puntos y sometido a una
serie de fuerzas externas. También deberemos determinar las tensiones
internas a que está sometida dicho hilo o dicha cadena. Es evidente el
interés técnico que tienen estos módulos de cara a un ingeniero, pues
¿a poco que nos paremos a pensar en aplicaciones? Las prácticas
relacionadas con hilos nos saldrán algunas tan importantes como los cables
eléctricos de alta, media y baja tensión tendidos entre torres, como se
puede ver ahí en la figura de esta transparencia. Asimismo los cables de
los teleféricos de transporte de personas o bien de materiales, las
cadenas de transmisión de bicicletas, de motocicletas, etcétera,
etcétera. Los puentes colgantes. Y otros muchos más. Asimismo tiene gran
interés académico, pues es muy frecuente el que aparezcan en los
exámenes de esta asignatura problemas de esta materia. Por lo cual
animamos al alumno a que se tome con interés este tema. En este módulo
hablaremos de conceptos iniciales de hilos, de características principales
de los hilos a estudiar. De las características de los problemas
habituales con los que nos vamos a encontrar sobre esta materia de hilos.
Hablaremos de las ecuaciones diferenciales generales de equilibrios en
coordenadas cartesianas. Asimismo de las ecuaciones diferenciales de
equilibrio en coordenadas intrínsecas. Hablaremos de casos especiales,
como son las ecuaciones de equilibrio de un hilo sometido a un campo de
fuerzas paralelas y que luego ampliaremos más en el módulo anterior. Y
hablaremos también de otro caso especial, como son las ecuaciones de
equilibrio de un hilo sometido a un campo de fuerzas conservativa.
Comenzaremos aclarando algunos conceptos básicos sobre hilos que luego
usaremos con gran frecuencia. En la figura inferior izquierda de la
transparencia se ha dibujado una cadena de bici suspendida en dos puntos.
El de la derecha es un punto fijo de suspensión. Como se ve en la
transparencia. Y el de la izquierda es un piñón o polea sobre el cual
está engranada la cadena. Se observa que la cadena entre los apoyos forma
una curva. Esta curva, que vemos ahí que se parece mucho a una parábola,
aunque no lo es, vamos a verlo después. Esta curva le llamaremos curva de
equilibrio. De la cadena o del hilo en general, ya que la cadena es
asimilable a un hilo pesado. Para evitar que la cadena se descuelgue del
piñón y vaya al suelo, se ha de ejercer una fuerza en el extremo
izquierdo de la misma, es decir, donde está el piñón, tirando de ella. A
dicha fuerza la llamaremos tensión de la cadena o tensión del hilo en el
extremo izquierdo del mismo. Si cortamos la cadena, en un punto cualquiera
de la misma, no hace falta que sea en el extremo izquierdo, para que la
curva de equilibrio fuese la misma que antes de cortada, es decir, la curva
que aparece en la figura, hemos de ejercer una fuerza sobre cada lado
cortado del hilo. Esta fuerza será tangente a la curva de equilibrio. Y le
llamaremos asimismo tensión del hilo en el punto en el que hemos cortado
la cadena. En la figura de la derecha se ven las tensiones de los cables de
una línea eléctrica a escasa distancia de la torre. Son esas flechas que
aparecen ahí. Esta sería la tensión del cable superior, esta la tensión
del cable inferior izquierdo y esta es lo mismo en la parte derecha. Se ve
como hemos cortado el cable y a cambio todas las fuerzas que ejercía, y a
la parte cortada de la derecha del cable, la sustituimos por esa fuerza que
hemos pintado ahí en su rayado de color amarillo que se llama tensión del
cable. Ojo, no confundir las tensiones mecánicas que son las que acabamos
de decir con las eléctricas. Unas son fuerzas y se miden en newton y otras
son unidades eléctricas y se miden en voltios. Aquí estamos hablando de
las tensiones mecánicas. Para... El estudio que vamos a realizar de hilos
vamos a partir de una serie de supuestos o de características de los
mismos que coinciden con mucha, con gran aproximación con las
características de los hilos reales y que nos facilitarán mucho el
cálculo. Dichas características son las siguientes que aparecen ahí en
la transparencia. Los hilos a estudiar son hilos sólidos deformables con
dimensiones diferentes. Los hilos de sucesión despreciables comparadas con
las dimensiones de su longitud. Sólo transmiten fuerzas de tracción a
través de sucesiones, nunca de compresión ni momentos. Son flexibles, es
decir, no transmiten momentos flectores a través de sus secciones. Se
consideran inextensibles, pues su longitud prácticamente no varía con la
carga que transmiten. Y finalmente, las tensiones del hilo, como ya hemos
visto en la transparencia anterior, es decir, las fuerzas internas que
resiste el cable en sus secciones son siempre tangentes a la curva de
equilibrio que adopta el hilo. En cuanto a los problemas de cálculo de
hilos que nos vamos a encontrar, a menudo tienen las siguientes
características que aparecen también en la transparencia. Generalmente,
los datos que nos suelen pedir el problema son, la curva de equilibrio que
adopta el hilo cargado, la tensión a lo largo de dicha curva de
equilibrio, tensión del hilo en los diferentes puntos que nos pidan, y la
longitud del hilo entre dos apoyos dados. Estos generalmente son los datos
que suelen pedir los problemas. Y los datos usuales de partida, los datos
que nos da el enunciado del problema, generalmente suelen ser las fuerzas
externas al que se encuentra, que se encuentra sometido el hilo, que suelen
darse siempre referidas a la unidad de longitud del hilo, y lo más
habitual es que dependan de la posición del punto donde estén aplicadas
dentro del hilo, o sea, en el hilo. O bien, dependan de la longitud del
arco, es decir, nos darán una fuerza externa F aplicada sobre el hilo en
el punto X y Z del mismo, o nos darán la fuerza F aplicada en el hilo en
un punto que se encuentra a una distancia S de un origen del arco. La
distancia S es la longitud medida del arco a partir de ese origen, como ya
veremos un poco más adelante. Y también lo que nos suelen dar son las
condiciones de contorno, es decir, la longitud del hilo, los puntos de
amarre donde se encuentran, las pendientes o ángulos de la pendiente del
cable en diferentes puntos, etc. Generalmente estos son los datos. En todos
los problemas de hilos el cálculo se limita a plantear la ecuación de
equilibrio de las fuerzas aplicadas a un trozo diferencial de hilo. Trozo
diferencial de hilo, que ya sabemos que quiere decir un trozo muy pequeño
de hilo, tendiendo su longitud a cero. A este trozo diferencial de hilo le
vamos a llamar diferencial de S, es decir, tiene una longitud diferencial
de S. Y a partir de ello, del planteamiento de la ecuación de equilibrio
de todas las fuerzas aplicadas a este trozo diferencial de hilo de longitud
diferencial de S, a partir de esta ecuación, deduciremos los datos que nos
pide el problema. En la mayoría de los casos, salvo en aquellos casos
especiales que estudiaremos más adelante, se trata de ecuaciones
diferenciales. Es decir, esta ecuación general del hilo, esta ecuación de
equilibrio obtenida buscando el equilibrio de todas las fuerzas aplicadas a
ese trozo diferencial de hilo de longitud diferencial de S, nos va a dar
una ecuación diferencial. Obviamente. Puesto que estamos trabajando sobre
un trozo de hilo que es diferencial, de longitud diferencial de S. Luego,
como son ecuaciones diferenciales, habrá que integrarlas para llegar al
resultado final. Obviamente. En la figura que se ve ahí en la
transparencia se representa un trozo diferencial de hilo cuyos extremos son
M y M sub 1. Este trozo diferencial de hilo tiene una longitud diferencial
de S. Normalmente llamaremos S a la longitud del hilo entre dos puntos del
mismo. Por eso, la longitud entre M y M sub 1 es diferencial de S porque es
un trozo diferencial de longitud diferencial tendiendo a cero. Sobre este
trozo diferencial están aplicadas las fuerzas que se ven ahí en la
figura. Por un lado, una fuerza externa por unidad de longitud del hilo F
que aplicada al trozo M, M sub 1 que tiene una longitud diferencial de S y
dado que F es una fuerza por unidad de longitud la fuerza aplicada al trozo
diferencial de hilo en M sub 1 sería F por diferencial de S y está
pintada ahí en la figura. Y que tiene una dirección que será dato del
problema. Normalmente no será una sola fuerza aplicada en un punto del
hilo sino que será un campo de fuerzas aplicada cada una de ellas en cada
elemento diferencial del hilo. Además de esta fuerza externa F por
diferencial de S al cortar el hilo por las secciones M y M sub 1 como
aparece ahí en la figura pues aparecerán las tensiones T en el punto M
más próximo a O sub 1 el punto O sub 1 le hemos fijado como origen de
arcos la longitud del hilo se va a contar a partir de O sub 1 es el origen
de arcos, bueno pues aparecerá la tensión T en el punto M que es el más
próximo al origen de arcos O sub 1 que lo hemos tomado y le hemos llamado
T por T siendo vamos a ver en el punto M sub 1 aparece otra tensión que es
esta que figura aquí así pues, el vector tensión T tiene la dirección
de la tangente a la curva en el punto M por lo que si representamos el
versor T minúscula o vector unitario que define la dirección de la
tangente a la curva en el punto M el vector tensión en el punto M será
módulo de T como vemos ahí en la figura multiplicado por el versor T que
nos da la dirección de la tangente a la curva en el punto M y lo mismo
ocurre en el punto M sub 1 sólo que ahora en el punto M sub 1 existirá la
tensión misma que en M pero aumentada en diferencial de T por T tal y como
figura ahí en la transparencia el signo de las tensiones o sea el signo
del vector unitario T minúscula será positivo si se considera aplicada a
fuerza sobre el trozo, la tensión vamos sobre el trozo que contiene al
origen de arcos o sub 1 y negativo en caso contrario por ejemplo ahí en la
figura la tensión de la izquierda T por T vamos a subrayarla la tensión
de la izquierda es negativa puesto que está ejercida sobre el trozo M
sobre el trozo de cable que empieza en M y que va todo hacia la derecha
hasta el final hasta su extremo si cortamos el cable por la sección M y
dejamos solamente la parte de la derecha del cable de M hacia la derecha
para que la curva de equilibrio siga manteniéndose la misma hemos de tirar
del cable en el punto M con una tensión T por T este trozo de cable de M
hacia la derecha que origina la tensión T por T no contiene el punto sub 1
por eso es negativo sin embargo en el punto la sección M sub 1 la tensión
T por T más diferencial de T por T es una fuerza que tenemos que hacerle
al trozo de cable O sub 1 M una vez cortado por M por la sección M sub 1
para mantener la misma curva de equilibrio que existía anteriormente por
lo tanto la tensión T por T más diferencial de T por T corresponde a un
trozo de cable que contiene al origen de extremos O sub 1 bien a
continuación pasaremos a plantear la ecuación general de equilibrio del
trozo diferencial de hilo M M sub 1 de longitud diferencial de S en
coordenadas cartesianas es muy sencillo para que dicho trozo diferencial
que lo seguimos viendo en la transparencia en la figura superior trozo
diferencial M M sub 1 esté en equilibrio la suma vectorial de todas las
fuerzas aplicadas a ese trozo diferencial de hilo tanto internas como
externas ha de ser nula para que esté en equilibrio por lo tanto diremos
que la tensión T por T puede remarcar en amarillo y que es de signo
negativo porque no contiene al trozo de cable que pasa por O sub 1 más la
tensión interna o la fuerza interna de tensión T por T más diferencial
de T por T que va a la derecha aplicada en la sección M sub 1 del trozo
diferencial de hilo más la fuerza F por diferencial de S ha de ser igual a
0 si queremos que ese trozo de hilo esté en equilibrio T por T con signo
menos más T por T con signo más de la derecha se elimina por lo tanto la
ecuación que queda finalmente es diferencial de T más F por diferencial
de S es igual a 0 esta es la ecuación general de equilibrio del cable
ecuación diferencial general de equilibrio del cable siendo T mayúscula
la tensión en la sección M del hilo si la queremos poner como hemos
puesto antes con módulo y versor sería diferencial de módulo de T por el
versor T en la dirección de la tensión de la tangente perdón en el punto
M más F por diferencial de S es igual a 0 este es igual que la otra pero
puesta de otra forma esta es la ecuación diferencial general de equilibrio
de un hilo en el espacio en coordenadas cartesianas tengas en cuenta que en
la ecuación general de equilibrio del hilo que acabamos de ver los
diferentes sumandos son vectores representados en el espacio o bien
vectores representados en el plano si estamos representando el hilo en un
plano obsérvese una cosa importante las direcciones de los vectores que
representan a las tensiones del trozo diferencial de hilo MM1 es decir T
por versor T y T por T más diferencial de T por T no coinciden como vamos
a ver en la figura inferior no coinciden en dirección ni en dirección
pues aunque M1 está muy próximo a M tendiendo a confundirse con él
puesto que el trozo MM1 hemos dicho que es un trozo diferencial de hilo al
ser el elemento MM1 curvo las tangentes en los puntos M y M1 no coinciden
generalmente en dirección solamente en el caso de que el trozo de hilo MM1
fuera una línea recta dichas direcciones coincidirían pero entonces la
dirección de la fuerza F por diferencial de S también debería coincidir
en dirección con la de la recta MM1 para que hubiese equilibrio de todas
las fuerzas es decir, para que la suma de todas las fuerzas fuera cero esto
se ve perfectamente en la figura inferior donde se representa una figura de
equilibrio de un cable está... ojalá ahí siendo O1 el origen de arcos
hemos tomado origen de arcos y A el extremo y también se ve representado
en la figura un trozo diferencial del mismo el MM1 de longitud diferencial
de S es decir infinitesimal aunque no lo parezca en la figura la figura se
ha puesto a una distancia determinada para que se vea si lo pusiéramos
diferencial teniendo el MSU no tan cerca del M que tendiendo a cero la
distancia diferencial de S no veríamos nada por eso se ha dibujado así en
la figura se han dibujado así mismo la fuerza externa F por diferencial de
S que aparece ahí aplicada a dicho trozo de hilo y las tensiones del hilo
correspondientes a los extremos M y MSU es decir, T por T aplicada en M y T
por T más diferencial de T por T aplicada en MSU dado que la distancia que
media entre M y MSU1 tiende a cero la tensión en MSU1 será la misma que
en M pero incrementada en un diferencial diferencial de T por T las
direcciones de las tangentes a la curva del hilo en M y en MSU1 son
distintas pues el hilo está curvado la resultante de la suma vectorial de
los dos vectores de tensión en M y MSU1 con sus correspondientes signos es
diferencial de T por T puesto que la T por T positiva más la T por T
negativa se anulan, queda solamente diferencial de T por T esta diferencial
de T por T que es la suma de las dos tensiones en M y MSU1 la hemos
dibujado trasladada al punto C dentro del trozo M, MSU1 para que dicho
trozo M, MSU1 del hilo esté en equilibrio la suma de los dos vectores
diferencial de T por T y F por diferencial de S han de dar cero por lo
tanto han de coincidir los dos en módulo y dirección y en esto se basa la
ecuación general de equilibrio del hilo que acabamos de ver y que figura
en la parte superior de la transparencia para poder trabajar cómodamente
con los vectores de las fuerzas antecitadas, tendremos que expresarlos a
través de sus componentes en las direcciones OX OY y OZ es decir,
tendremos que expresar dichos vectores en forma vectorial y eso es lo que
vamos a hacer a continuación pero antes vamos a recordar algunos conceptos
básicos de cálculo vectorial que necesitaremos para poder continuar para
ello vamos a revisar el ejercicio EH33 de la cohesión de problemas de este
tutor por lo tanto vamos a ir al ejercicio EH37 el ejercicio EH37 deducir
la expresión geométrica que relaciona los cosenos directores del vector
tangente a una función en un punto de la misma así como la longitud del
arco en función de las derivadas de dicha función con respecto a la
variable independiente X comenzaremos planteando el problema en el plano es
decir, en dos dimensiones para que se vea con mayor claridad su traspaso
después de ver esto claro al espacio de tres dimensiones es muy simple
solamente añadir la tercera variable Z siguiendo los mismos criterios que
vamos a ver en el plano en la figura que aparece en la transparencia se
representa la gráfica de la función algebraica que es esta que hemos
pintado aquí entre los ejes de coordenadas X y Y tenemos dos puntos muy
próximos de dicha función es decir, el punto A y el punto B están muy
próximos, se está tendiendo la distancia entre ellos a cero, pero en la
figura lo hemos agrandado, lo hemos ampliado lo hemos hecho un zoom muy
grande para que se pueda ver el B el punto A y el B son tan muy próximos,
tendiendo la longitud entre ellos a cero por lo tanto, la distancia entre
el punto A al punto B de la función le vamos a llamar diferencial de S es
el arco diferencial de S tendiendo a cero formemos el triángulo que vemos
en la figura ABG en el que cuando la distancia entre A y B tiende a cero el
lado AG viene a ser diferencial de X que es el diferencial de la abscisa el
lado BG será a diferencial del orden A diferencial de Y y la cuerda AB
tiende a coincidir cuando B está muy cerca de A como es el caso, tiende a
coincidir en longitud con el arco diferencial de S en este triángulo vemos
claramente sin más que aplicar trigonometría de la más sencilla que
diferencial de X entre diferencial de Y cateto grande entre cateto pequeño
es igual al coseno del ángulo cita X a este coseno lo vamos a llamar
coseno director aplicando Pitágoras a ese triángulo la longitud del
elemento diferencial de S de la curva AB sería diferencial de S al
cuadrado o sea, distancia de la cuerda A al cuadrado igual a raíz cuadrada
de los catetos diferencial de X al cuadrado más diferencial de Y por lo
tanto, trayendo la raíz cuadrada nos quedaría que diferencial de S será
igual a la raíz cuadrada de diferencial de X al cuadrado más diferencial
de Y o bien, multiplicando y dividiendo por diferencial de X nos queda que
esto será igual a la raíz cuadrada de 1 más derivada de Y respecto de X
al cuadrado por lo que es lo mismo llamando Y' a la derivada de Y x,
resulta finalmente que diferencial de S, diferencial de la longitud de arco
entre, de la función entre A y B será igual a la raíz cuadrada de 1 más
y' al cuadrado y todo eso multiplicado por diferencial de X. En el límite,
cuando el punto B tiende a confundirse con el A, el segmento AB se
convierte en la tangente a la función Y igual a f de X en el punto A y
diferencial de X partido por diferencial de S es el coseno director de esta
tangente a la función en el punto A. Esto en el plano, yo creo que está
muy claro. Y estas expresiones que acabamos de decir y estos conceptos que
acabamos de remarcar o recordar, los vamos a utilizar muy a menudo en los
problemas de cables y en otro tipo de problemas. Por lo tanto es
conveniente recordarlos. Vamos a pasar ahora todo esto que hemos visto en
el plano al espacio de tres dimensiones. Volvemos a poner sobre unos ejes
de un triedro, tres ejes de coordenadas, puesto que estamos en el espacio,
o X o Y o Z dibujamos la función, la gráfica de la función que ahora
vendrá representada de forma implícita como f de X y Z igual a 0. Y
elegimos dos puntos muy próximos, igual que antes, el A y el B, que en la
figura no están tan próximos, pero es para que esté más claro.
Dibujamos el paralelipípedo que veis ahí en la figura, el ADCBFE ese
paralelipípedo, cuya diagonal es la cuerda AB, entre los puntos A y B de
la función. Están muy próximos. Bien. En ese paralelipípedo, el lado AD
coincidiendo con la dirección del eje OI será diferencial de Y. El lado
DC será igual a diferencial de X y el lado CB coincidiendo con la
dirección del eje OZ será diferencial de Z. Está muy bien. Bueno, los
ángulos que forman la diagonal AB con el eje de las X será ZZ, ángulo
que forma, repito, la cuerda AB con el eje de las X o con el lado AG, por
ejemplo, que es paralelo al eje de las X. El ángulo que forma la cuerda AB
con el eje de las Y le hemos llamado ZZ, y el ángulo que forma la cuerda
AB con el eje de las Z, le hemos llamado ZZ. Es muy fácil ver, ahí en
esos triángulos que se forman, por ejemplo, en el triángulo formado por
A, B, C, A, diferencial de X. Partido por diferencial de S, que es la
longitud AB, longitud de la cuerda B, que se confunde con la longitud del
arco diferencial de S, ya que A y B están muy próximos. Pues en ese
triángulo diferencial de X partido por diferencial de S es coseno de ZZ.
Lo mismo diferencial de Y partido por diferencial de S o cuerda AB es igual
a coseno del ángulo ZZ. Y diferencial de Z partido por diferencial de S es
igual a coseno de ZZ. Estos cosenos los vamos a llamar cosenos directores.
De la tangente a la función en el punto A, ya que la cuerda AB al
aproximarse B a A tanto que diferencial de S sea cero, esta cuerda AB se
convierte en la tangente a la curva en A. Y los ángulos ZZ, ZZ, y ZZ son
los ángulos formados entre la tangente y el eje de las X, el eje de las Y
y el eje de las Z. Y los cosenos de ZZ o X, ZZ se llaman cosenos directores
de la tangente en el punto A a la curva. La función F de X y Z igual a
cero. Y son estos que acabamos de decir. Diferencial de X partido por
diferencial de X es coseno de ZZ o X. Diferencial de Y entre diferencial de
S coseno de ZZ o Y y diferencial de Z partido por diferencial de S es igual
a coseno de ZZ. Aplicando así mismo Pitágoras con lo que hemos hecho en
el plano al triángulo ahora ABC la longitud del segmento de curva
diferencial de S sería la raíz cuadrada, la longitud de la cuerda AB
sería igual a la longitud de la cuerda AB al cuadrado seria igual a la
diferencial de X al cuadrado, mas diferencial de Y al cuadrado mas
diferencial de Z al cuadrado Por lo tanto sacando raíz cuadrada nos
quedaría que es diferencial de S es igual a raíz cuadrada de diferencial
de X al cuadrado, más diferencial de Y al cuadrado, más diferente.
Multiplicando y dividiendo por diferencial de S nos quedaría igual a raiz
cuadrada de 1 par derivada de y respecto de más b elevado a z al respecto
de x al cuadrado y todo esto por diferencial de x. O dividiendo por
diferencial de s nos queda diferencial de x partido por diferencial de s al
cuadrado más diferencial de y partido por diferencial de s al cuadrado
más diferencial de z partido por diferencial de s al cuadrado. Y una vez
más, tal y como ocurría en el plano en el límite, cuando b tiende a
confundirse con el a el segmento cuerda ab se convierte en la tangente a la
función en el punto a y las expresiones, como hemos dicho ya diferencial
de x partido por diferencial de s diferencial de y partido por diferencial
de s y diferencial de z partido por diferencial de s reciben el nombre de
cosenos directores de la tangente en el punto a. Bien. Esto es todo. Esto
es lo que quería recordar y que vamos a necesitar para lo que vamos a ver
a continuación y para multitud de problemas relacionados con los cables.
Así pues, si expresamos los vectores correspondientes a la ecuación
diferencial general de equilibrio del hilo que hemos visto anteriormente
para cada uno de sus componentes tendremos para las componentes de los
vectores fuerza en la dirección o x tendremos que diferencial de t por
coseno de zeta sub x que es lo mismo que diferencial de x partido por
diferencial de s como acabamos de ver esto diferencial de t por diferencial
de x partido por diferencial de s es lo mismo que decir diferencial de t
sub x pues lo que hemos hecho es la componente del vector t la hemos
proyectado sobre el eje de las x multiplicando por el coseno de zeta sub x
que era diferencial de x partido por diferencial de s más la componente de
la fuerza en la dirección x en la dirección de la fuerza en la dirección
de la fuerza multiplicando los ejes o x por diferencial de s es igual a
cero esta es la ecuación que hemos visto antes arriba pero esta ecuación
pero proyectada en los ejes x en este caso lo mismo podríamos haber hecho
con la dirección y nos saldría esta expresión y lo mismo podríamos
haber hecho con la dirección z proyectando todo la ecuación diferencial
en la dirección z y nos saldría esta expresión y nos saldría esta
tercera ecuación estas ecuaciones diferenciales nos permiten trabajar con
escalares es decir, con números en lugar de con vectores como era la
primera de arriba la subrayada en rojo estos eran vectores sin embargo
ahora estas tres la uno, dos y tres que acabamos de ver ya son números
podemos trabajar con números no ya con vectores lo cual evidentemente va a
facilitar la integración de esas ecuaciones en los problemas de hilos con
tramos libres es decir, con tramos colgando de dos extremos la curva
adoptada por el hilo en los citados tramos libres es una curva plana es
decir, se encuentra situada en un plano en dos dimensiones por lo que
podemos suponer que este plano sobre el cual está la curva es el plano o
xy por lo que la variable z valdrá cero y entonces la tercera ecuación de
equilibrio que acabamos de ver es decir, la número tres no procede por lo
que z es igual a cero ni se necesita por lo que siempre trabajaremos con
las ecuaciones uno y dos y además muchas veces necesitaremos una tercera
ecuación que será la que acabamos de ver en el ejemplo de h37 una
ecuación simplemente geométrica que era que derivada de respecto de x al
cuadrado más derivada de y respecto de x al cuadrado más derivada de z
respecto de x al cuadrado es igual a 1 es decir, la suma de los cuadrados
de los cosenos directores es igual a la unidad entre estas tres ecuaciones
perdón estas tres ecuaciones la uno, la dos y la cuatro serán normalmente
suficientes para abordar los problemas de la ecuación. de hilos como regla
general cuando nos dan un hilo y un campo de fuerzas externas aplicado al
hilo fuerzas externas que hemos llamado f si somos capaces de encontrar una
recta cualquiera cualquiera que sea la recta que sea perpendicular al campo
de fuerzas f la curva formada por el hilo será una curva plana y el
problema pasará de tres a dos dimensiones lo que nos facilitará
enormemente su resolución. Las ecuaciones uno, dos y cuatro que acabamos
de ver son ecuaciones diferenciales por lo que será necesario integrarlas
para llegar al resultado final. Como ya sabemos del cálculo diferencial la
solución de una ecuación diferencial trae añadidas una serie de
constantes tantas constantes como sea el orden de la ecuación diferencial.
Si es una ecuación diferencial de primer orden es decir, con una derivada
primera nada más pues saldrá una constante de integración si la
ecuación diferencial tiene derivadas de segundo orden es decir, derivadas
segundas saldrán dos constantes de integración, etc. Estas constantes de
integración habrá que determinarlas particularizando la solución para
las condiciones de contorno dadas en el enunciado del problema. ¿Cuáles
son estas condiciones de contorno que nos van a permitir determinar las
constantes de integración? Pues las más corrientes serán las siguientes.
Primero se nos dará un punto de paso por donde pasa el hilo es decir, por
ejemplo un extremo véase ahí la figura superior derecha este punto que
acabo de remarcar en el amarillo nos darán sus coordenadas sabemos que el
hilo va a pasar por ahí y además nos darán las pendientes del hilo en
dicho punto es decir, nos darán o bien los ángulos de la tangente al hilo
en ese punto o bien sus cosenos directores dicho punto que nos darán puede
ser el del extremo izquierdo L es igual a cero si cogemos como origen de
arcos el extremo izquierdo o L es igual a L es decir, el extremo derecho
por ejemplo o cualquier otro me da igual vamos a ver ejemplos de esto en
los ejemplos EH3 y H4 que figuran ahí en las transparencias es decir en
este primer caso que es además muy usual nos darán las coordenadas de uno
de los extremos del cable por ejemplo un apoyo del mismo o bien o incluso y
también las pendientes del cable en dicho punto el punto este puede ser
cualquiera del hilo no hace falta que sean los extremos estos datos se
llevarán a la expresión que nos da la solución de la ecuación
diferencial y a partir de ahí despejaremos el valor de las constantes de
integración lo vais a ver en esos ejemplos EH3 y 4 que figuran en la
transparencia segundo caso se nos pueden dar dos puntos por donde pasa el
hilo un extremo por ejemplo y el otro extremo las coordenadas de esos dos
puntos por donde pasa el hilo y además la longitud que media entre ellos
la longitud del cable entre esos dos puntos que una vez más decimos que
pueden ser los extremos del hilo o bien pueden ser dos puntos cualquiera
del hilo nos darán sus coordenadas y la longitud entre ellos es otra
opción bastante común en los ejemplos 7 y 18 de la colección de
problemas vais a ver ejemplos de esto tercer caso se nos pueden dar en es
igual a 0 es decir en el extremo izquierdo del hilo o en el extremo derecho
o en cualquier otro punto no mejor en este caso mmm no hay cualquier otro
punto puede ser en el extremo izquierdo de hilo o bien puede ser en el
extremo derecho del hilo la condición de que el extremo del hilo esté
sujeto a una superficie determinada y el hilo normal a ella lo vemos ahí
en la figura inferior tenemos una superficie se esta que acabo de subrayar
en amarillo y tenemos el extremo del hilo que permite moverse por toda la
superficie está dada y este el hilo en ese extremo es normal es decir
perpendicular a la superficie esto en la práctica equivale por ejemplo
para poner un ejemplo práctico a tener el extremo del hilo obligado a
deslizar por la superficie dada sin rozamiento en este caso la superficie
obviamente nos la darán a través de una ecuación generalmente en forma
implícita de esta forma f de x y z igual a cero entonces tenemos que hacer
uso de las siguientes ecuaciones para poder determinar las constantes de
integración una la ecuación de la misma superficie pues el extremo del
hilo ha de pasar por esa superficie por lo tanto ha de cumplir las
ecuaciones de esa superficie y otra otras dos es que el extremo del hilo ha
de ser ortogonado perpendicular a la superficie por lo tanto ha de cumplir
que parcial de f respecto de x entre el coseno director en la dirección x
derivada de x respecto de s ha de ser igual a parcial de la función de la
superficie respecto de y dividido entre derivado y respecto de s e igual a
parcial de f respecto de z entre diferencial de z partido por diferencial
de s esta ecuación es lo mismo que decir que el extremo del hilo es igual
estas dos ecuaciones al igual que antes estos varios valores dados por
estas ecuaciones hay que llevarlos en la ecuación solución de la
ecuación diferencial a partir de ahí despejar el valor de las constantes
de integración otro caso que se suele dar bastante a menudo en los
problemas es que el extremo del hilo, bien sea el izquierdo que es igual a
cero o el derecho que es igual a L o incluso los dos estén sujetos a una
curva dada, que puede ser una circunferencia una recta o una curva
cualquiera. Lo vemos ahí en la figura de la derecha el hilo es este tiene
en su extremo una argolla, que es esta y esa argolla se desliza por una
curva, que es esta puede ser cualquier curva es decir en este ejemplo, el
hilo lleva una anilla en un extremo y esta anilla se desliza sobre la curva
dada normalmente las citadas curvas si están en el espacio vienen dadas a
través de las ecuaciones de dos superficies cuya intersección forma dicha
curva esto es muy general es decir, nos darían dos superficies la f de x y
z igual a cero y la g de x y z igual a cero de tal forma que la
intersección de estas dos superficies mete la curva por la que desliza la
anilla del hilo entonces si esto es así ¿qué ecuaciones hemos de
utilizar para poder determinar las constantes de integración? pues
obviamente hemos de utilizar las dos ecuaciones de las dos superficies cuya
intersección nos da la curva puesto que el extremo del hilo pasa por la
curva y la curva tiene las ecuaciones de las dos superficies y finalmente
hemos de tener en cuenta que el hilo con la argolla es perpendicular a la
curva en el punto de contacto y esto expresado de forma algebraica es
gradiente de la función f que como sabemos es un vector multiplicado
vectorialmente por el gradiente de la función g y multiplicado
escalarmente por el vector tangente que es derivada de r respecto de s ha
de ser igual a cero la condición de ortogonalidad o de perpendicularidad
del hilo con la curva en el punto de contacto bien, finalmente bueno,
perdón como vemos aquí en el 13, 19 y 25 de la colección de problemas
vamos a ver ejemplos de esto que acabamos de decir de esta condición que
acabamos de decir finalmente decir que si la fuerza externa o el campo de
fuerzas aplicadas al hilo f no depende del arco es decir, no depende de la
longitud del arco entonces en la ecuación general de equilibrio que hemos
visto y que aparecía diferencial de s pues habrá que sustituir
diferencial de s por el valor que hemos visto en el ejemplo de h 37 que es
raíz cuadrada diferencial de x al cuadrado más diferencial de y al
cuadrado más diferencial de z al cuadrado en las ecuaciones 1, 2 y 3 que
hemos visto antes y entonces ya nos permitirá integrar la ecuación y de
esa integración resulta la función y de x la función z de x la función
tensión y la función de la asfixia x y en el que aparecerán sólo cinco
constantes arbitrarias de integración o que hay que resolver de acuerdo
con lo que ya hemos visto anteriormente un poco resumiendo todo lo que
acabamos de decir vamos a ver qué pautas existen generales para la
resolución de problemas de h en primer lugar plantearemos las ecuaciones
diferenciales 1, 2, 3 y 4 generalmente la 3 nos sobrará puesto que serán
curvas planas posiblemente el problema nos dará también como dato el
campo de fuerzas aplicadas al hilo el campo de fuerzas f y sustituiremos
este campo de fuerzas en dichas ecuaciones previamente lógicamente la
fuerza f la descompondremos en sus componentes de una dirección x y etc
como ya hemos visto una vez hecho esto integraremos las ecuaciones
diferenciales que han resultado del primer paso de las que saldrán varias
constantes arbitrarias que tenemos que calcular su valor y para ello
pasaremos al tercer paso que es de las condiciones de contorno dadas en el
enunciado del problema podremos determinar dichas constantes de acuerdo con
lo que hemos visto ya anteriormente en los problemas que aparecen las
diferentes transparencias todo esto se va a ver claro en ocasiones se nos
presentan casos en los que el hilo no está amarrado en sus extremos a
puntos fijos sino que está apoyado de muy diversas formas en la figura que
se ve ahí en esta transparencia se puede ver un ejemplo en este caso el
hilo A tiene un trozo AB de longitud V apoyado sobre un plano horizontal
que puede ser con o sin rozamiento el suelo por ejemplo y en el otro
extremo un trozo de hilo CD de longitud Z cuelga de una polea y en medio el
trozo BC de longitud S cuelga libre vamos a poner muchos otros ejemplos
diferentes apoyo sobre una circunferencia, etc. que se verán en los
ejercicios resueltos de la colección que figuran al final de esta
transparencia en estos casos conviene aislar siempre la curva del hilo
libre el trozo S que hemos visto ahí en la transparencia aislamos ese
trozo y determinamos las tensiones en los puntos extremos en el punto B y
en el punto C dibujando el diagrama de cuerpo libre BC correspondiente y
usando las ecuaciones que hemos visto en las transparencias anteriores una
vez hecho esto aislamos así mismo cada uno de los trozos de hilo extremo
el AB por ejemplo y el CD dibujando sus diagramas de cuerpo libre para cada
caso y determinando las tensiones en los puntos B y C y finalmente
igualamos estas tensiones en los puntos B y C con las calculadas
anteriormente para el tramo BC y ya está resuelto el problema varios
ejemplos figuran en los problemas que veis ahí al final de la
transparencia que son ejemplos todos muy importantes puesto que
generalmente son este tipo de casos especiales los problemas que salen en
los exámenes los problemas que veis ahí en la transparencia de la
colección de problemas son problemas de exámenes como siempre bien, tal y
como se va a ver en los ejercicios resueltos de la colección cuando los
veáis ejercicios que figuran como hemos dicho al final de las diferentes
transparencias en multitud de problemas la clave de la resolución de los
mismos está en elegir adecuadamente el tipo de coordenadas a usar hemos
desarrollado la ecuación general de equilibrio de un hilo en coordenadas
cartesianas pero en los ejercicios que figuran en esta transparencia nos
daremos cuenta de la gran ventaja que muchas veces trae consigo el uso de
coordenadas intrínsecas en lugar del de coordenadas cartesianas
facilitando de esta forma enormemente la labor de resolución del problema
como se aprecia en la figura superior derecha las coordenadas intrínsecas
conforman un triedro a derechas similar al de las coordenadas cartesianas
que hemos visto anteriormente pero ahora con los siguientes ejes en lugar
del eje OX se toma la tangente a la curva del hilo en el punto P de la
misma donde queramos realizar el estudio es decir vemos en la figura
superior derecha como está la curva de equilibrio del hilo esta que acabo
de remarcar en amarillo y entonces trazamos en lugar de eje X por el punto
P que es este punto del hilo donde queremos realizar el estudio trazamos la
tangente al hilo que es esta ese sería el equivalente al eje OX sin
coordenadas cartesianas lo llamaremos eje PT T por lo de tangente y a su
versor es decir al vector unitario que nos da la dirección de este eje le
llamaremos T tal y como figura de una transparencia en lugar de eje OI se
toma la normal principal a la curva así mismo en el punto P a dicho eje lo
llamaremos eje PN N de normal y N también le llamaremos a su versor
recordar que la normal principal a una curva es perpendicular a la tangente
a la curva y coincide en dirección con el radio de curvatura por convenio
asignaremos el sentido positivo al versor N cuando la dirección del mismo
vaya hacia la parte cóncava de la curva tal y como figura ahí en la
transparencia es decir cuando vaya hacia donde se encuentra el centro de
curvatura cuando N vaya dirigido hacia donde se encuentra el centro de
curvatura esa es la parte la dirección positiva del eje recordar así
mismo que los ejes T y N forman el plano llamado plano osculador y es en
este plano osculador donde se encuentra situada la curva de equilibrio del
hilo y finalmente en lugar del eje OZ se toma la binormal de la curva así
mismo en el punto P y a dicho eje lo llamaremos eje PB que es perpendicular
al plano osculador y por tanto es perpendicular a los ejes PT y PN y que
entre los tres se cumple la regla del sacacorchos a derecha es decir que el
vector T multiplicado vectorialmente por el vector N nos tiene que dar el
vector P en ese tipo de coordenadas la ecuación vectorial de equilibrio
será la que aparece aquí en la transparencia T por derivada del versor T
con respecto a S más versor T multiplicado por derivada del módulo de T
respecto de S que puede ser igual a cero y de aquí resultan las siguientes
ecuaciones intrínsecas que son las que vamos a usar en los problemas ya no
tienen carácter vectorial sino escalar, es decir son números derivada de
T respecto de S es igual a la componente de la fuerza externa F en la
dirección de la tangente con signo menos el módulo de la tensión partido
por el radio de curvatura de la curva en ese punto es igual a la componente
normal de la fuerza externa F con signo menos y la componente de la fuerza
F en la dirección de la binormal es nula esta última ecuación nos
muestra que la curva de equilibrio y la fuerza aplicada al hilo F están
contenidas en el plano osculador, por lo tanto podemos calcular hacer todos
los cálculos en el plano en lugar del espacio olvidándonos ya de la
binormal que como es cero la componente de la fuerza en sentido binormal
podemos obviar, por lo tanto nos quedaremos con las ecuaciones cinco y seis
además muchas veces no serán suficientes estas dos ecuaciones, tendremos
que echar mano de lo que ya sabemos que la diferencial de S es igual a
raíz cuadrada de uno más derivada de Y respecto de X al cuadrado por
diferencial de X y que el radio de curvatura de una curva es viene dado por
esa expresión uno más derivada de Y respecto de X al cuadrado elevado a
tres medios partido por derivada de Y respecto de X segunda de Y respecto
de X en los problemas que veis ahí al final de la transparencia vienen
ejemplos de estos, pero vamos a ahondar un poquito más en la figura
inferior de la derecha se trata de aclarar el uso de estas ecuaciones
intrínsecas de las cinco y de las seis que acabamos de ver en los
problemas se tiene una curva de equilibrio representada analíticamente por
las funciones Y igual a F de X cuando viene dada en coordenadas cartesianas
o bien ro igual a una función de fi cuando viene representada esta curva
la curva de equilibrio la curva que representa al cable en coordenadas
polares se ha representado en esta curva los ejes intrínsecos es decir el
eje PT tangente queremos estudiar la curva en este punto P por tanto en ese
punto dibujamos la tangente, el eje PT y el eje PN normal formando así el
plano osculador donde se encuentra la curva es el plano formado por PT y
por PN que contiene la curva así mismo se ha dibujado la fuerza externa F
por unidad de longitud del hilo aplicada en el punto P y la tensión T del
hilo en dicho punto se ha descompuesto el vector F en sus componentes
según los ejes PT y PN resultando las componentes de F en la dirección T
y en la dirección N la dirección del vector T coincide obviamente con la
del eje PT pues es tangente como ya sabemos la dirección de la tensión
del hilo en un punto P es tangente a la curva del hilo en el mismo punto P
y finalmente nos resta más que aplicar las ecuaciones intrínsecas 5 y 6 e
integrarlas teniendo en cuenta las expresiones que hemos visto ya antes de
la longitud del arco del hilo diferencial de S y el radio de curva con lo
dicho hasta aquí los ejemplos que figuran en la transparencia quedará
claro este interesante un caso particular muy interesante por ser muy usual
en la práctica es el de que el hilo esté sometido a un campo de fuerzas
por unidad de longitud F paralelas a una dirección dada, por ejemplo el
caso de un hilo sometido a su propio peso lo vemos ahí en la figura
superior derecha el hilo sometido a un campo de fuerzas F son en este caso
verticales y paralelas todas que bien podría ser el peso del hilo por
unidad de longitud por lo dicho hasta ahora ya podríamos deducir una
característica muy importante de este caso que es el que la figura de
equilibrio del hilo estará contenida en un plano paralelo a la dirección
de la fuerza F es decir, la figura de equilibrio vendrá contenida en este
plano que se ha dibujado aquí con estas tres líneas por lo que tomaremos
dicho plano como si fuera el plano OXI y pasaremos a estudiar el problema
en dos dimensiones de esta forma la fuerza externa F pasará a ser paralela
al eje OI en dirección negativa luego volviendo a las ecuaciones básicas
de equilibrio de un hilo es decir, a las que hemos llamado 1, 2 y 3 que
hemos visto en transparencias anteriores resulta que la componente de F en
la dirección X es cero la componente de F en la dirección Y es menos F y
la componente de F en la dirección Z es cero por lo tanto, sustituyendo
esto en las ecuaciones 1, 2 y 3 obtendríamos en la ecuación 1 diferencial
de T por diferencial de X respecto de S igual a cero lo cual quiere decir
que T por diferencial de X partido por diferencial de S es igual a una
constante A pero T por diferencial de X partido por diferencial de S es T
por coseno de cito X es decir, es la componente de la tensión T tal y como
se ve en la figura inferior en la dirección X por eso le hemos llamado
también T sub X queriendo decir que es la componente de la tensión T en
la dirección de las X y observamos que esta primera ecuación esta
ecuación 1 nos dice que la componente en la dirección X de la tensión
del hilo es constante la componente interesante resultado la componente de
la tensión en cualquier punto del hilo en la dirección X es constante de
la ecuación 2 nos dice que diferencial de T es igual a 0 es decir, la
componente de la tensión T en la dirección Y su diferencial más la
componente de F en la dirección Y por diferencial de S es igual a 0 en
este caso F sub Y es menos F la podemos transformar de esta forma en vez de
poner diferencial de Y partido por diferencial de S es igual a lo mismo
pero T por diferencial de X partido por diferencial de S ya lo veíamos
anteriormente que es igual a T sub X constante por tanto nos quedará
diferencial de T sub X por derivada de Y respecto de X más F sub Y por
diferencial de X igual a 0 y como sabemos que diferencial de S es raíz
cuadrada de 1 más Y' al cuadrado por diferencial de X sustituyendo la
anterior nos queda esta ecuación diferencial finalmente T sub X por
diferencial de Y' más F por raíz cuadrada de 1 más Y' al cuadrado por
diferencial de X es igual a 0 esta es la ecuación diferencial que
integrada nos da la curva de equilibrio mediante dos cuadraturas o dos
integraciones una en la que nos va a dar Y' y otra en la que nos va a dar Y
en función de X T sub X en esta ecuación 8 que acabamos de ver que es la
ecuación diferencial en el caso de que el hilo esté sometido a un campo
de fuerzas paralelas fuerzas de módulo constante todas F es constante en
todos los puntos módulo constante paralelas su ecuación diferencial es
esta, la número 8 T sub X y F pueden ser funciones de X o pueden ser
funciones de Y o pueden ser funciones de S longitud del arco o bien pueden
ser funciones de Y' que es la pendiente de la curva del hilo en un punto
determinado habrá que separar variables en esa ecuación diferencial 8 e
integrarla realizando dos cuadraturas o dos integrales resultará la
ecuación de la curva de equilibrio Y igual a F una vez más unos ejemplos
prácticos de esta transparencia se pueden ver esto clarísimamente
finalmente una propiedad interesante desde el punto de vista conceptual se
deduce cuando el campo de fuerzas externas aplicadas al hilo es
conservativo por ejemplo, es el caso que cuando por ejemplo, es el peso del
propio hilo por unidad de longitud del mismo en este caso dicha fuerza F es
una fuerza conservativa en este caso aplicando la ecuación general
vectorial de equilibrio con coordenadas cartesianas que sabemos que es
diferencial de T más F por diferencial de S igual a cero y sabiendo que F
es igual a gradiente de U puesto que es F conservativa las fuerzas
conservativas tienen la propiedad que vienen de una función U llamada
función de fuerza o función potencial de la cual deriva la fuerza F pues
sustituyendo en lugar de F gradiente de U tendríamos diferencial de T por
T más gradiente de U por diferencial de S igual a cero multiplicar
escalarmente por T nos daría multiplicando perdón escalarmente por T y
deduciendo la diferencial perdón, desarrollando la diferencial de T por T
es diferencial de T por T más T por diferencial de T pequeña multiplicado
por la T más gradiente de U diferencial de S multiplicado también por T
igual a cero pero claro, como diferencial de T es perpendicular al T
diferencial de un vector unitario es perpendicular al vector unitario
entonces será diferencial de T multiplicado escalarmente por T, como son
los dos perpendiculares será igual a cero luego nos quedará que
diferencial de T más gradiente de U que es derivada de U respecto de R
multiplicado por diferencial de S por diferencial de T es igual, sea igual
a cero pero diferencial de S por T sabemos que igual a diferencial de U es
derivada de R puesto que T es el vector tangente y un vector tangente
unitario es derivada de R, es decir, vector de posición con respecto a S
que es la longitud del arco sustituyendo lo anterior nos quedaría que
diferencial de T más diferencial de U igual a cero integrado a esta
ecuación nos quedaría que T más U igual a C que es una constante o bien
que T será igual a U función U más una constante este resultado nos
indica que el valor de la tensión en cualquier punto del hilo coincide con
el valor de la función de fuerzas U de la que proviene la fuerza externa F
más la constante de integración C o dicho de otra forma las tensiones del
hilo en dos puntos diferentes del mismo tal y como vemos ahí en la figura
de la derecha que tengan el mismo valor de la función U son iguales es
decir si F que vemos ahí en la figura coincide con el peso del hilo por
unidad de longitud del mismo la función U en este caso sería igual a M
por G por I siendo I el valor de la ordenada del punto del cable luego la
tensión del hilo en los puntos M y M1 que tengan igual ordenada es decir
igual altura igual I serán iguales es decir la tensión en los puntos M y
M1 serán iguales y lo mismo podríamos decir para cualquier otro valor de
I diferente al H que aparece en la figura esto es muy importante para los
problemas como ya os daréis cuenta cuando veáis los problemas de la
colección que figuran en las transparencias muy importante ya no desde el
punto de vista de cálculo sino desde el punto de vista conceptual el saber
que si la fuerza F es una fuerza conservativa a la misma dos puntos a la
misma altura del eje de X tienen las mismas tensiones es enormemente
interesante de cara a la resolución del problema bien y como esto damos
por finalizado el módulo EH1 en el módulo siguiente en el EH2 avanzaremos
en el estudio de casos particulares de estática de hilos comenzando ya en
este módulo AH nada más muchas gracias