Bien, en el módulo EH1 hemos aprendido a obtener las ecuaciones
diferenciales que surgían del equilibrado de un hilo sometido a un campo
de fuerzas externo que vamos a llamar F y apoyado en sus extremos de una
forma determinada. Y dichas ecuaciones diferenciales, por haber resueltas o
integradas, resultaban la función de la curva de equilibrio del hilo y sus
tensiones. Si se analizan bien los ejemplos resueltos de la colección de
problemas y propuestos en las diferentes transparencias, se llegará a las
siguientes conclusiones. Primero, la resolución de algunas de estas
ecuaciones diferenciales no siempre es sencilla, salvo, claro, está
aquellas que se nos pongan en los exámenes, Van a ser siempre simples,
sencillas. Pero no siempre son sencillas. Segundo, es cierto que para
llegar a la función que representa la curva de equilibrio del hilo casi
siempre es necesario plantear y resolver la ecuación diferencial
correspondiente. Sobre todo si el campo de fuerzas externas aplicadas al
hilo no es constante en módulo y o no se corresponde con un campo de
fuerza externa. El campo de fuerzas paralelas o radiales. Tercera
conclusión a la que llegamos es, sin embargo y a pesar de lo que ya hemos
dicho antes, existen en la práctica casos muy interesantes que por poseer
el campo de fuerzas F unas condiciones determinadas, el cálculo de las
principales variables técnicas necesarias para el diseño como son
tensiones del hilo, longitud, lojitudes del hilo, etc., se facilita
enormemente. Supuesta conocida, claro está a priori, la curva de
equilibrio. y sin necesidad de plantear las ecuaciones diferenciales, lo
cual es muy importante, muy interesante. Dichos casos son los siguientes.
Hilos sometidos a un campo de fuerzas externo F de módulo constante
paralelas y proporcionales a la longitud del hilo. Un ejemplo de esto
podría ser un hilo sometido a su propio peso. Otro caso serían los hilos
sometidos a un campo de fuerzas externo F de módulo constante asimismo y
asimismo paralelas y proporcionales a la proyección horizontal de la
longitud del hilo. Y el ejemplo típico de esto es el ejemplo de los
puentes colgantes que veremos a continuación. Otro caso sencillo y que
pueda aplicarse todo estas ideas que estamos hablando ahora son los hilos
sometidos a un campo de fuerzas externo F y otros hilos sometidos a un
campo de fuerzas F de módulo constante asimismo pero perpendiculares al
hilo en todos sus puntos. A todos estos ejemplos vamos a dedicar parte por
lo menos de este módulo EH2. Y así hablaremos de todo eso que aparece en
el índice, es decir, del hilo sometido a un campo de fuerzas F de módulo
constante paralelas y proporcionales a la longitud del hilo, más conocido
como catenaria. Y en este caso concreto vamos a hablar de cuál es su
ecuación, de cómo se calcula la longitud del hilo y las pendientes del
hilo de cada punto y de cómo se calculan las tensiones. Asimismo
hablaremos de otro caso que es el hilo sometido a un campo de fuerzas
externo F de módulo constante paralela. pero proporcionales a la
proyección horizontal de la longitud del hilo. Vamos a conocerlo como el
hilo cuya curva de equilibrio es una parábola. Vamos a hablar en este caso
también de cuál es su ecuación, que es la ecuación de una parábola, de
cómo se calcula la longitud del hilo y las pendientes y de cómo se
calculan las tensiones. A continuación hablaremos del hilo sometido a un
campo de fuerzas externo F de módulo asimismo constante, paralelas, pero
proporcionales a la proyección horizontal... Perdón, eso ya lo hemos
dicho. Hablaremos también de un hilo sometido a un campo de fuerzas F
externo de módulo constante, pero perpendiculares al hilo en todos sus
puntos. Los conoceremos como circunferencia, puesto que, como ya veremos
más adelante, la curva... La curva de equilibrio es una circunferencia.
Entonces, determinaremos la ecuación de la curva de equilibrio,
determinaremos también la longitud del hilo y las pendientes, etc.
Finalmente, hablaremos de hilo sometido a un campo de fuerzas F centrales y
hablaremos de sus propiedades, de su ecuación, de la curva de equilibrio y
hablaremos en el caso concreto este de... ... ...de aquel caso que F
dependa exclusivamente de R. De todo esto vamos a hablar largo y tendido.
Comenzaremos con el caso de que el hilo esté sometido a un campo de
fuerzas externo F de módulo constante, que estas fuerzas sean paralelas y
que sean verticales. Y además, el módulo de ellas que sea proporcional a
la longitud del hilo. ... En la figura superior derecha se ve el hilo
formando su curva de equilibrio y las fuerzas F, que vamos a escoger ahora,
se ha pintado solamente una. ... fuerza F externa aplicada al hilo por
unidad de longitud, la fuerza F es siempre medida por unidad de longitud,
como ya decíamos en el módulo EH1, estas fuerzas conforman el campo
vectorial antecitado. Solo se ha dibujado una fuerza del campo, pero todo
el hilo estaría completo de dichas fuerzas. En caso de que F coincidiese
con el peso del hilo por unidad de longitud, estaríamos ante el caso de un
hilo pesado sujeto en sus extremos A y B y sin más fuerzas externas
actuando sobre el hilo, nada más que su propio peso. Bien, aplicadas las
ecuaciones diferenciales de equilibrio vistas en el módulo EH1, poniendo F
su X, es decir, la componente de F en la dirección de X como cero, puesto
que como vemos en la figura F es vertical, por lo tanto el F en la
dirección de X, que es igual a cero, la componente de F en la dirección
de Y es menos F, menos porque va en el sentido de las Y negativas como
vemos en la figura. Bueno, pues sustituyendo estos valores en las
ecuaciones vistas en el módulo, la ecuación diferencial vista en el
módulo EH1 e integrada dicha ecuación diferencial resultante,
llegaríamos a una función que define la curva de equilibrio del hilo en
estas condiciones que acabamos de decir. Esto sí. Si lo queréis ver
desarrollado, lo veréis en el ejercicio EH38 de la colección. La
ecuación a la que llegamos después de resolver esta ecuación
diferencial, tal y como hemos dicho, es esa que aparece en la
transparencia. Sería Y igual a T0 partido por F multiplicado por coseno
hiperbólico de X partido por T0 entre F, en la que T0 es el valor mínimo
de la tensión, y T0 es la tensión del hilo, que se corresponde con el
valor de la tensión en el punto C, tal y como aparece en la figura. El
punto C, que es el punto inferior de la curva de equilibrio, Este punto que
tiene una tangente a él nula, perdón, una tangente horizontal, el valor
de la tangente sería cero. Bien, pues en el punto C el hilo tendrá una
tensión que llamamos T0 y ese T0 es el que aparece en la fórmula de la
curva de equilibrio que acabamos de subrayar en amarillo ahí en la
izquierda. Una característica importante a resaltar en este caso es que la
componente horizontal de la tensión en cualquier punto del hilo es
constante y coincide con la tensión del hilo en el punto C, que hemos
llamado T0, tal como se representa la figura. Es decir, ahí podéis ver,
por ejemplo, en el punto P, este punto de aquí, tiene una tensión T. Como
siempre será tangente a la curva de equilibrio del hilo en ese punto P,
pero si descomponemos esta tensión T en sus componentes horizontal y
vertical, observamos que la componente horizontal Tx tiene de módulo T0 lo
mismo que la tensión en el punto C. Y en cualquier otro punto ocurriría
esto exactamente igual. Por ejemplo, en el punto B, en el extremo B, la
tensión sería Tb. Asimismo, tangente a la curva de equilibrio en ese
punto. Su componente horizontal, es decir, su proyección según el eje X,
volvería a tener de módulo T0 igual que la componente horizontal en el
punto P e igual que la componente horizontal en el punto C. Esto es una
característica muy importante a resaltar de este caso concreto. Si
llamamos A a la relación, la relación entre T0 y F, para un poco
simplificar la fórmula que vemos ahí, en la transparencia, nos quedaría
I igual a A por coseno hiperbólico de X partido por A. Esta es la
ecuación de la curva de equilibrio y se corresponde con una catenaria. De
ahí que llamemos a esta curva concreta catenaria o este caso concreto de
hilos sometidos a un campo de fuerzas F de módulo constante paralelas
verticales y proporcionales a la longitud del hilo, le llamemos catenarias
a secas. Para facilitar la representación gráfica de esta curva de la
catenaria y que esta ecuación, perdón, de que la catenaria coincida, la
catenaria representada gráficamente coincida con la ecuación anterior que
acabamos de ver, colocaremos los ejes OX y OY de referencia de la siguiente
forma. El eje OX, tal y como se ve ahí en la figura superior, se ha
desplazado una distancia A hacia abajo del punto C o punto mínimo de la
catenaria. Una distancia A que como ya sabemos A es igual a T0 partido por
F. Es decir, la tensión en el punto C dividido entre la fuerza F está
aplicada por unidad de longitud del hilo. El eje Y simplemente pasa por el
punto C, que es el mínimo de la catenaria, como vemos. Esta será la
colocación de los ejes para que la ecuación de la catenaria representada
ahí en la figura superior sea la que acabamos de ver, igual a A por coseno
hipergólico de X partido. Conocidos dos puntos de la catenaria, por
ejemplo, el A, que figura ahí en la figura superior, y el C, que es la
parte, es decir, el mínimo de la ecuación de la catenaria, el valor cuya
ordenada es más baja y cuya, perdón, el punto C es el punto cuya
pendiente a la curva de la catenaria, en este caso, es horizontal.
Conociendo esos dos puntos, la situación desde el punto y de las
coordenadas de esos dos puntos, concretamente las coordenadas del punto A
serían el XA y A, y las coordenadas del punto C serían cero para la X y A
para la Y, podemos obtener la posición de cualquier otro punto de la
catenaria. Por ejemplo, la posición del punto A, las coordenadas del punto
A, o de cualquier otro punto de la catenaria. Simplemente planteando las
ecuaciones que vemos aquí. YB menos... YC es igual a A por coseno
hiperbólico de XB menos XC partido por A. Simplemente aplicar la ecuación
de la catenaria que hemos visto antes. A los puntos B y C y restar esos
valores. El X, la asciisa del punto C, obviamente es cero, como ya hemos
dicho. La ordenada del punto C es A, coincide con T0 partido por F. Por lo
tanto, la ordenada del punto A menos la ordenada del punto... C es igual a
A, aplicando otra vez la ecuación de la catenaria, A de los dos puntos A y
C, y restándolos, sería A menos IC igual a A por coseno hiperbólico de
XA menos XC partido por A. En esta ecuación conoceríamos I sub C,
conoceríamos el valor de A, conoceríamos el valor de XC y nos
faltaría... Bueno, y conoceríamos el valor de XA, nos faltaría despejar
el valor de IC, con lo cual obtendríamos las coordenadas del punto A. Y
así para cualquier otro punto de la catenaria. Uno de los datos que nos
suelen pedir habitualmente en los problemas es la longitud del hilo entre
dos puntos y las pendientes del hilo en los extremos de éste o en
cualquier otro punto del hilo. El cálculo de la longitud del hilo entre
dos puntos tiene un pequeño truco. Debe de hacerse siempre partiendo del
punto C como origen, es decir, del punto de la catenaria que tiene
pendiente cero, del punto de mínima ordenada, del punto, dicho de otra
forma, de ordenada A. Por ejemplo, si queremos determinar las longitudes
del hilo entre los puntos A y B ahí de la figura, determinaríamos En
primer lugar, la distancia S es 1, o distancia entre el punto C y el punto
B, parte derecha de la gráfica, de la catenaria que vemos ahí en la
figura, que sería igual a la integral entre XC igual a cero y XB de la
integral, perdón, la integral entre esos dos puntos X0 y XB de raíz
cuadrada de 1, más derivada de Y respecto de X al cuadrado por diferencial
de X. Esto ya lo conocemos de módulo H1. Si sustituimos Y' por su valor,
como Y era igual a A por coseno hiperbólico de X partido por A, entonces
la raíz cuadrada de 1 más seno hiperbólico al cuadrado de X partido por
A, que es la derivada del A por coseno, que es la derivada del A por seno
hiperbólico de X partido por A, nos saldría, bueno, y el cálculo de la
integral de esto, saldría A por seno hiperbólico de XB partido por A. Una
vez hecho esto, calcularíamos la distancia desde el punto C hasta el punto
A. Y sería igual a la integral entre 0 y xA de raíz cuadrada de 1 más y'
al cuadrado por la diferencia de x. Sustituyendo y' por el valor de la
derivada de la ecuación de la catenaria, que es igual a A por coseno
hiperbólico al cuadrado, y haciendo la suma 1 más y' al cuadrado, que es
ir trayendo la raíz cuadrada y sacando la integral, el resultado sería A
por seno hiperbólico de xA partido por A. Finalmente, una vez calculado S1
y S2, la distancia total del hilo entre los puntos A y B sería la suma de
ambos. Fijémonos en una cosa. Dado que la ecuación de la... ...catenaria
es igual a A por coseno hiperbólico de xA partido por A, y dado que S,
distancia desde el punto C a otro punto determinado de la catenaria, es A
por seno hiperbólico de xP, siendo el punto P partido por A, como hemos
visto hace un momento, y dado que coseno hiperbólico al cuadrado menos
seno hiperbólico al cuadrado es igual a 1, como ya sabemos, pues ocurrirá
que I al cuadrado, que es A al cuadrado, coseno hiperbólico al cuadrado de
x partido por A, menos S al cuadrado, que es A al cuadrado por seno
hiperbólico al cuadrado de x partido por A, coseno hiperbólico al
cuadrado menos seno hiperbólico al cuadrado igual a 1, pues tanto es igual
a I al cuadrado. Es decir, el valor de la... Esto es enormemente importante
para el cálculo... de la longitud del hilo o para el cálculo del
parámetro A. de la curva catenaria en multitud de problemas y lo que nos
viene a decir es que para un punto determinado, por ejemplo este que
estamos viendo aquí que voy a marcar en amarillo un punto arbitrario
cualquiera de la catenaria, en ese punto la longitud perdón, el valor de
la ordenada I en ese punto elevado al cuadrado, menos el valor de la
longitud del hilo CP elevado al cuadrado es igual a A parámetro A al
cuadrado es una expresión muy práctica en multitud de problemas para el
cálculo de la longitud del hilo o para el cálculo del parámetro A dado a
la longitud del hilo, en un punto determinado y dado el valor de la
ordenada en ese punto vais a ver en los problemas como esto se esta
fórmula que vamos a ver es enormemente práctica la pendiente de la curva
catenaria en este caso en un punto determinado de la misma es muy sencillo
se trata simplemente dado que la pendiente de la curva coincide con la
tangente del ángulo forma la tangente a la curva en ese punto concreto y
esto es lo mismo que la derivada de I respecto de X en ese punto concreto
dado que la ecuación de la parábola es A por coseno hiperbólico de X
partido por A derivando con respecto a X para un punto determinado me da la
pendiente en ese punto determinado que coincide con la tangente del ángulo
forma la línea tangente en ese punto con el eje de las X y esto sabemos
que es igual no hay más que derivar I igual a coseno hiperbólico de X
partido por A y esto me dará seno hiperbólico de X partido por A en la
figura de la derecha se han representado todos estos conceptos que acabamos
de citar se ha representado el valor del parámetro A acabo de remarcar en
amarillo que es la distancia del vértice de la catenaria a la base de la
catenaria, se han representado las coordenadas de un punto de la catenaria
que vemos aquí, este punto que no lo hemos bautizado con ningún nombre,
pues tendrá una auscisa que es X, que está representada ahí, y una
ordenada que sí, que coincide con A por coseno hipergólico de X partido
por A. Se ha representado también M, que es la pendiente de la catenaria
en un punto, en ese punto de la misma, recordar que la pendiente, como
acabamos de decir hace un momento, es la tangente del ángulo que forma la
línea tangente en ese punto de la curva con el eje de las X, y que
coincide con la derivada de la función Y con respecto a X, como acabamos
de ver. Ya hemos visto que su valor era el seno hipergólico de X partido
por A, y también se han representado en la figura los extremos del hilo
por donde se cuelga este, el A, y el B. Todo esto evidentemente, tú tocas
valores, estos parámetros que acabamos de decir, debemos tenerlos súper
claros a la hora de resolver los problemas, tal y como vais a ver en los
problemas de la cohesión. En cuanto a las tensiones, ninguna catenaria. En
cuanto a las tensiones, ninguna catenaria, que es otro de los datos
requeridos en los problemas de hilos, lo primero que deducimos de la
ecuación diferencial de equilibrio es que al ser F sub X igual a cero, es
decir, la componente de la fuerza externa aplicada al hilo F, componente
según la dirección de X es cero, puesto que F es vertical. Entonces
sustituyendo F sub X por cero en la ecuación uno del módulo de H1, una
ecuación diferencial del cálculo de hilos, nos saldría que T por
derivada de X respecto de X es que no es ni más ni menos que la componente
en la dirección X de la tensión, es igual a T sub cero. Y es constante en
toda la longitud del hilo, como acabamos de decir. Aquí la vemos, en el
punto C, la tensión es T sub cero. En el punto P, la componente según X
es T sub cero. En el punto B, la componente según X es T sub cero. En el
punto A, la componente según X es T sub cero. Pero en todos los puntos de
una curva, la componente horizontal de la tensión coincide con la tensión
en el punto C, que es la tensión mínima de la catenaria, y es igual en
todos los puntos. Además, en el vértice C de la catenaria, donde la
pendiente es nula, es decir, la tangente es horizontal, tal y como vemos en
la figura, la tensión es la tensión mínima del hilo. Y es asimismo
horizontal. Y por lo tanto, su valor es T sub X igual a T sub cero, como
acabamos. El cálculo de la tensión en cualquier otro punto del hilo de la
catenaria se realiza a través de la expresión también extraída de la
ecuación diferencial que es igual a T sub cero por derivada de S respecto
de X. Y haciendo las oportunas sustituciones, por ejemplo, la diferencial
de S, y sabemos que es igual a raíz cuadrada de uno más I cuadrado, I
prima al cuadrado, perdón, por la diferencial de X, entonces nos quedaría
que T, en cualquier punto del hilo, la tensión, que es un vector tangente
en ese punto a la catenaria, su módulo vendría dado por esta expresión.
T sub cero, que es el valor de la tensión mínima, la tensión en C,
multiplicado por la raíz cuadrada de uno más, va a dar respecto de X al
cuadrado. Pero claro, siendo I prima la pendiente. Acabamos de decir en la
transparencia anterior que esto es igual a seno hiperbólico de x partido
por a. Sustituido en esta expresión y prima por seno hiperbólico de x
partido por a y haciendo operaciones nos daría que 1 más seno
hiperbólico al cuadrado sería coseno hiperbólico al cuadrado, como es
raíz cuadrada de esto sería sería coseno hiperbólico de x partido por
a. Que si multiplicamos y dividimos por el valor de f aquí, perdonad, pero
hay un error, se ha llamado f en la figura a la fuerza externa aplicada en
cada elemento diferencial del hilo y aquí se ha llamado q. Esto en
realidad debería ser, una vez le llamo f y otra le llamo q. q se asemeja
más al peso por unidad de longitud del hilo. Cuando hablo f da una fuerza
en general, no tiene por qué ser el peso, ahí se ha puesto q. Claro, si
multiplico t sub cero, perdón, esta expresión t sub cero por q y divido
por q nos saldría que esto es igual a q por a, es decir, t sería igual a
y este resultado es enormemente interesante, ya que nos dice que el módulo
de la tensión t en un punto cualquiera p del hilo como ese que estamos
viendo en una figura superior el módulo de la tensión t en el punto p del
hilo coincide con el peso de un trozo del mismo hilo que estamos
estudiando, que cuelgue desde el punto p considerado hasta la base de la
catenaria, es decir, la tensión del punto p sería igual a q por i sub p.
Por ejemplo, en la figura inferior el módulo del vector tensión tb en el
punto p perdón, en el punto b Tensión T sub B en el punto B tiene un
módulo que es igual al peso del hilo que cuelga desde el punto B hasta la
base de la catenaria, es decir, I sub E. Por lo tanto, T sub E sería igual
a Q por I sub E y Q por I sub E es el peso del hilo porque Q es el peso del
hilo por unidad de longitud. Longitud, Q por I sub E sería el peso del
trozo de hilo que va desde el punto B hasta la base de la catenaria que es
el eje de los X. Y lo mismo podríamos decir para cualquier otro punto de
la catenaria. Por ejemplo, en el punto P, que figura ahí en la figura
inferior, la tensión T sub P es un vector, como siempre, tangente a la
curva catenaria. En el punto P tiene de módulo el peso del hilo que
tendría un trozo de hilo que va desde el punto P hasta la base, es decir,
cuya longitud sea I sub E. T sub E módulo sería entonces igual a Q, peso
del hilo por unidad de longitud, multiplicado por I sub E. Esto, acabo de
decir, siempre y cuando la fuerza F aplicada... La fuerza externa aplicada
por unidad de longitud, aplicada al hilo, coincida con Q que es el peso del
hilo por unidad de longitud. Bien. La dirección de la tensión será, como
acabamos de ver, como aparece en la figura, la de la tangente en el punto
considerado. Además, la expresión T igual a Q por I, que acabamos de
deducir o de hablar de ella, también nos indica que la máxima tensión
del hilo estará en uno de sus extremos, o bien el A o bien el B, el que se
encuentra a mayor distancia de la base. Así es que ya conocemos los puntos
del hilo con mayor tensión, que puede ser el A o el B, el que esté más
arriba, el que esté más separado de la base de la catenaria, es decir,
del eje OX. Y también conocemos el punto del hilo con menor tensión, que
será el punto C, porque es el que está más cerca de la base, del eje OX.
También conocemos la componente horizontal de la tensión tensión T0, TX
igual a T0 en cualquier punto del hilo, que coincidirá con el valor de la
tensión mínima del hilo, que es la tensión en el punto C. Solamente nos
falta por conocer la componente vertical de la tensión TI, por ejemplo, en
el punto B sería éste, que acabo de remarcar en amarillo, o en el punto P
sería éste, la tensión vertical, la componente vertical de la tensión
del hilo en un punto. Una vez conocidas los módulos de la tensión T y de
la componente según la dirección de X, TX, y aplicando Pitágoras, se
puede ver fácilmente, ahí por ejemplo en el punto P, como hay un
triángulo rectángulo, cuya hipotenusa es la tensión T en el punto P. Su
componente es... según X es un cateto, TX, y su componente en la
dirección Y es un cateto, TY. Así es que TY, aplicando Pitágoras, sería
igual a la raíz cuadrada de T al cuadrado menos TX al cuadrado. Pero como
T era igual a Q por Y, siendo Y la ordenada del punto P, y TX era igual a Q
por A, pues introduciendo esto en la fórmula que acabamos... que acabamos
de decir, es esta que veis aquí abajo, raíz cuadrada de T al cuadrado
menos TX al cuadrado es igual a raíz cuadrada de Q al cuadrado y cuadrado
menos Q al cuadrado al cuadrado, sacamos Q, factor común para afuera y nos
queda raíz cuadrada Q por raíz cuadrada de I cuadrado menos A cuadrado
pero I cuadrado menos A cuadrado ya hemos dicho en la transparencia
anterior que era igual a S cuadrado, por lo tanto el resultado es que T sub
i es igual a Q por S, o sea, la componente vertical de la tensión en
cualquier punto P del hilo en el caso de una catenaria, que es el que
estamos estudiando coincide con el peso del trozo del hilo que va desde el
punto C al punto B en la figura inferior observamos que la componente
vertical de la tensión en el punto P coincide con el peso del hilo por
unidad de longitud multiplicada por la longitud del hilo, el tramo del hilo
que va desde C a P, es decir, SP, y así para cualquier otro punto repito
esto es así cuando la fuerza F por unidad de longitud externa aplicada al
hilo coincide con el peso del hilo en los ejemplos bueno, estos resultados
que acabamos de ver facilitan enormemente el cálculo de las tensiones en
las catenarias en los ejemplos que figuran en la transparencia y al final
se verá todo esto aplicado a casos prácticos que aclararán los conceptos
con todas seguridad en algunos problemas de hilos con curva catenaria se
nos dan como datos las posiciones de los apoyos y el parámetro base A con
lo cual el cálculo del resto de variables, tensiones, longitudes,
etcétera que nos va a pedir el problema se puede realizar planteando
directamente las ecuaciones de equilibrio de la estática, es decir
resultante de fuerzas externas e internas en cualquier punto del cable al
ser nula y lo mismo los momentos con respecto a cualquier punto del cable
Para ello es muy aconsejable comenzar dibujando el diagrama de cuerpo libre
del trozo de cable que pretendemos estudiar, teniendo éste como extremos,
por un lado, aquel cuyas fuerzas conozcamos de antemano y por el otro,
aquel cuya tensión sea desconocida y por tanto una de las incógnitas del
problema. Para aclararlo vamos a ver un ejemplo. En la figura superior de
la derecha se representa un hilo pesado, es decir, la fuerza de fe aplicada
al hilo externa es el peso propio del hilo por medida de longitud, colgado
de los extremos A y B, tal como figura E en la trasera. Localizados estos
extremos a través de las gotas representadas, es decir, gota D, gota E,
gota A, gota B. Está perfecto. Están perfectamente representados y
localizados los extremos A y B con esas gotas. Se conoce a sí mismo el
parámetro de base A, bien porque nos lo da directamente el problema o bien
a través de la tensión conocida en el punto C. Tal y como vimos en la
transparencia anterior, Tc, en el punto C, era igual a Q por A, donde
podemos reducir el valor de A. Se nos piden... ...las tensiones del hilo en
cualquier punto del mismo. Por ejemplo, en el apoyo B. Observamos en la
figura inferior que se ha representado el diagrama de cuerpo libre
correspondiente al tramo o trozo de hilo C-B, pues en el extremo C se
conoce la tensión, que este es su cero, que nos vendrá dada por el
problema, es igual a Q por A. Y con dirección... ...dirección horizontal,
obviamente, porque la dirección coincide con la tangente a la curva en ese
punto. Y la tensión Tb del extremo B es el dato pedido... del problema. En
el diagrama se ha representado la fuerza externa Q por S1, que es la
resultante del peso del trozo de hilo CB, cuya longitud es S1 como está
ahí representada. Ahora bien, desconocemos dónde está aplicada esta
resultante, pues desconocemos dónde se encuentra el centro de gravedad o
centro de masas de dicho trozo de hilo, por lo que las distancias G y H que
aparecen en la figura son desconocidas. Plantemos las ecuaciones estáticas
de equilibrio a dicho trozo de hilo. Así nos saldrá que, tal y como
aparece en la transparencia, suma de fuerzas en la dirección X igual a
cero, por lo tanto, menos T sub cero, puesto que va en sentido negativo. de
las X, más T sub B por coseno de cita B, igual a cero. Lo mismo podemos
hacer con la suma de fuerzas en la dirección Y, verticales, menos Q por
S1, puesto que va en la dirección de las Y negativas, más TB por seno de
cita B, igual a cero. También podemos aplicar momentos, por ejemplo, con
respecto al punto C, daría igual el punto, cualquiera que fuera, pero
vamos a aplicarlo con respecto al punto C. Porque lo que no conocemos es T
sub E. Suma de momentos de todas las fuerzas respecto al punto C igual a
cero, así que nos quedaría menos Q por S1 por G, menos TB por coseno de
cita B por E, más TB por seno de cita B por B, igual a cero. También
vamos a tener presente de que la suma de G más H igual a D, tal y como
aparece ahí. En la figura inferior, de que T sub cero, como sabemos, es
igual a Q por A, de que T sub E, como ya sabemos, es igual a Q por I sub E,
que I sub E en este caso es E más A, y de que la tangente theta B, que es
la pendiente de la curva en el extremo B, es igual a la derivada de respeto
de X en el punto B, o lo que es lo mismo, igual a ser el hiperbólico de
XB, que es D, partido cuadrado. Estas ecuaciones deberían ser suficientes
para el cálculo de las variables desconocidas de la curva de equilibrio,
incluidas las tensiones. Entonces, debemos observar que uno de los
inconvenientes de este tipo de problemas, en este caso concreto, es que se
desconoce la posición de la resultante Q por S1. No sabemos dónde está,
no sabemos cuáles son las longitudes G y H, en principio, de las fuerzas
aplicadas al trozo dígito. De ahí que generalmente serían necesarias
todas las ecuaciones antes citadas. De haberse conocido la posición de Q
por S1, no sobrarían ecuaciones. Pero como no se conoce en este caso,
todas las ecuaciones son necesarias. Los ejemplos que aquí figuran son
suficientes para aclarar este desconocimiento. El siguiente caso especial a
analizar es el de un hilo sometido a un campo de fuerzas Q1 de módulo
constante. Hemos llamado ahora aquí sí, Q1 y A, no F. Ahora le hemos
llamado Q de módulo constante, vuelvo a repetir. Son paralelas, son
verticales. Pero ahora, dichas fuerzas son proporcionales no a la longitud
del hilo diferencial de S, como ocurría en el caso de la catenaria antes
estudiado, sino a la proyección horizontal de la longitud del hilo
diferencial de X. Este es el caso de los puentes colgantes, en el que el
peso de los cables es pequeño comparado con el peso del tablero. En la
figura de la derecha vemos un puente colgante, y como ya sabemos, sobre
todo los pescadores, seguro que habéis pasado cantidad de veces por ellos,
pues es un cable. colgado entre A y B, y luego una serie de cables
verticales que sostienen el tablero horizontal, que es por donde pasamos
nosotros, por donde pasa el pescador o quien sea. En este caso, la fuerza
externa por unidad de longitud de la proyección del hilo sobre el eje OX
será Q1 como aparece en la figura de la izquierda. Ahora, esta fuerza Q1
la podemos asimilar a una fuerza Q por unidad de longitud del hilo, tal y
como vemos aquí, en la parte superior de la figura izquierda, simplemente
igualando ambas fuerzas para una longitud de hilo diferencial de S. De tal
forma que Q por diferencial de S, que es la fuerza aplicada, sobre la
longitud de diferencial del hilo, sea igual a Q1 por diferencial de X, que
es la fuerza aplicada sobre la dirección horizontal X. Esto es lo que
vemos aquí. De aquí, despejando Q1, nos saldrá Q1 igual a Q por derivada
de X respecto de S. Y como diferencial de S sabemos que es igual a raíz
cuadrada de 1 más I' al cuadrado, pues nos saldrá igual a Q partido por
raíz cuadrada de 1 más I'. Sustituyendo Q1, perdón, si introducimos el
valor de Q relativo a la longitud del hilo, en las fórmulas de la
catenaria vistas en las transparencias anteriores, obtendríamos como
resultado final I igual a Q por X cuadrado partido por 2T sub Z, que es la
ecuación definitiva. De la curva de equilibrio que figura en las figuras
de abajo. La curva de equilibrio de los hilos cargados de esta forma.
Suponiendo que el eje X o X coincide con el punto C y que corresponde esta
ecuación, la 14, a la ecuación de una parábola. Por eso llamamos a este
tipo de hilos, hilos parábola. Así pues, observamos las dos grandes
diferencias entre los hilos estudiados anteriormente, escatenarias,
escatenarias con este, que son, aparte del peso, que es proporcional a la
longitud del hilo en el caso de la catenaria y que es proporcional a la
proyección del hilo sobre la horizontal, en este caso de la parábola, las
dos grandes diferencias serían las siguientes. La curva de equilibrio, que
en el caso de la catenaria es una catenaria, y en el caso de la parábola,
que es esta, es una parábola. Y la localización del eje OX. En el caso de
la catenaria, el eje OX estaba a una distancia A por debajo del punto C. Y
en el caso de la parábola, que es este que estamos viendo, el eje X está,
coincide con el mismo punto C, tal y como se ve. Bien, en cuanto a la
longitud del hilo y la pendiente de este tipo de hilos parábola, de
puentes colgantes, para calcularlo... longitud del hilo entre dos puntos A
y B de la curva de equilibrio, al igual que ya ocurría en el caso de las
catenarias, debemos partir siempre del punto C como origen. Y calcularemos
tal y como se ve ahí en la figura de la derecha, en primer lugar la
distancia S es 1, que es la distancia entre C y B. ¿Cuál es la integral
entre 0 y XB de raíz cuadrada de 1 más y 1 al cuadrado? Por diferencial
de X. Ahora Y, obviamente es la ecuación de la parábola que hemos visto
anteriormente. Es decir, sería igual a I igual a Q sub 1 por X cuadrado
partido por 2 T sub 0. Siendo T sub 0 como siempre, la tensión mínimo, la
tensión en el punto C. La tensión horizontal. Y una vez hecho esto,
calcularíamos de la misma forma la distancia S sub 2 entre el punto C y el
punto A. Y igual a, como siempre, raíz cuadrada de 1 más I' cuadrado por
diferencial de X. Y finalmente sumaríamos las dos para determinar la
longitud total de Y. Exactamente igual que habíamos hecho con las
catenarias. Y lo mismo la pendiente. La pendiente aquí es igual que en las
catenarias. Siempre es en un punto determinado pues coincide con la
derivada de la función. Respecto de X en ese punto, que es lo mismo que la
pendiente en ese punto del hilo. Coincide con la tangente del ángulo
formado por la línea tangente en ese punto a la curva con el eje de las X.
Igual exactamente que en las catenarias. Tensiones. En este caso de puentes
colgantes. Aplicando las ecuaciones generales de equilibrio vistas en el
módulo. H1, tal y como ya habíamos hecho en las catenarias. Y poniendo
las fuerzas externas correspondientes al hilo parabólico. Concretamente
las componentes según la dirección X y la dirección Y. O tendríamos lo
siguiente. Dado que Q sub X igual a cero, como ocurría con las catenarias.
Es decir, la componente de Q sub 1 es vertical. Como ya vemos, por lo
tanto, la componente horizontal no existe. Es cero. sustituyéndolo en la
ecuación 1, ecuación diferencial 1 de la ecuación de equilibrio visto en
el módulo de H1, nos quedaría T por derivada de que el aspecto de X que
es igual a T sub X igual a T sub 0, es constante, es decir, lo mismo que
ocurría. En las catenarias, la componente horizontal de las tensiones, T
sub X igual a T sub 0, en cualquier punto del hilo, vuelve a ser constante.
Y asimismo, T sub 0 es igual a T sub X, se corresponde con la tensión en
el punto más bajo de la parábola, en el punto C, tal y como parece en la
figura. La tensión en el punto C es T sub 0. Coincide con la componente
horizontal de la tensión en cualquier otro punto del hilo. Esto ya lo
conocemos. De la... De las catenarias, y aquí continúa siendo lo mismo.
El cálculo de la tensión T en cualquier otro punto P del hilo, pues
sustituyendo en la ecuación 2 del módulo de H1, tendríamos esto. T igual
a T sub 0 por derivada de ese respecto de X, que es igual a T sub 0 por
raíz cuadrada de 1 más derivada de X, respecto de X. Pero, a diferencia
de la catenaria, de lo que ocurría con la catenaria, aquí ya no coincide
el valor de la tensión, del módulo de la tensión en cualquier punto de
la catenaria, ya no coincide con Q por Y. Es decir, ya no coincide con el
peso de un trozo de hilo que caiga desde el punto P hasta la base o hasta
el eje X de la parábola. Aquí ya esto no se... La componente...
...vertical de la tensión... Será T sub i, lo mismo que hemos hecho en la
parábola, igual a raíz cuadrada aplicando pitágoras al triángulo
rectángulo. Veas ahí la figura de la derecha. El punto B, por ejemplo, la
tensión del punto B con su componente horizontal y su vertical forman un
triángulo rectángulo. Por lo tanto, conocida T sub cero, conocida T sub
e, podemos sacar T sub i sin ningún problema aplicando pitágoras. Es
igual a raíz cuadrada de T cuadrado menos T sub x al cuadrado. Esto, al
igual que ocurría en las catenarias, es igual a Q por S. Es decir, sería
igual al peso Q sub 1 por unidad de longitud de el eje X multiplicado por
la distancia S que media entre el punto C y el punto S que estamos
considerando y que queremos calcular, en el cual queremos calcular la
tensión. Esto es igual que ocurría en la catenaria. Es decir, el valor de
la componente vertical de la tensión en un punto P arbitrario de la
parábola coincide con el peso del trozo de hilo que va desde el punto C al
punto B. Y al igual que ocurría en el caso de hilo con curva catenaria, en
este caso se puede sí mismo aplicar las ecuaciones de la estática para
determinar las tensiones y demás variables de la curva de equilibrio. La
curva de la parábola, el hilo. Con la particularidad de que en este caso,
la resultante de las fuerzas externas aplicadas al hilo Q sub 1 por S sub
1, que la vemos aquí en la derecha, sí coincide o está aplicada en el
punto central del tramo del hilo analizado, partiendo del punto C hasta el
punto donde queramos determinar la tensión. Obsérvese ahí en la figura
de la derecha como se ha puesto. El trozo de hilo que queremos estudiar, es
decir, el diagrama de sólido libre o de cuerpo libre del trozo de hilo que
queremos estudiar, partiendo del punto C, que es donde conocemos T0,
terminando en el punto B, que es donde desconocemos Tb y donde se nos pide
el valor de Tb, pues hemos puesto el peso del hilo, la resultante, vamos,
de las fuerzas verticales aplicadas al hilo, que es Q por S1, siendo S1 la
longitud de ese trozo de hilo, y esta resultante ahora sí está aplicada
en el punto medio de la distancia horizontal entre C y B, D medios, siendo
de la distancia horizontal entre C y B. Y esto enorme facilita...
Obviamente, enormemente el cálculo. Habría que aplicarle las ecuaciones
de equilibrio exactamente igual que hemos hecho en el caso de la catenaria,
es decir, suma de fuerzas horizontales 0 en la dirección X0, suma de
fuerzas en la dirección de Y0, suma de un momento respecto a C igual a 0,
y la tangente en el punto determinado, sabemos que coincide con la
pendiente del punto, y que es igual a... la derivada de respecto de X en
ese punto. Con estas ecuaciones son suficientes para el cálculo de
variables desconocidas de la curva de equilibrio incluidas las tensiones. Y
son menos ecuaciones que en el caso de la catenaria, precisamente por darse
la casualidad de que conocemos el punto de aplicación de la resultante de
las fuerzas verticales exteriores aplicadas al hilo, que está en el punto
central, repito, del tramo horizontal formado por el punto C y el punto B.
Bien, no puedo decir más de lo que ya se dijo. En el caso de las curvas de
hilos con catenaria, pues tú que se lees lo mismo en los ejemplos que se
han marcado. Ahí aparece al final de la transparencia y se verá claro
todo esto. Otro caso especial de interés es aquel en el campo de fuerzas
externas, Q, es siempre perpendicular al hilo en todos sus puntos. Para la
resolución de este tipo de problemas es muy práctico utilizar las
coordenadas intrínsecas, puesto que la dirección de la fuerza Q coincide
con la dirección de la coordenada normal, tal y como vemos ahí en la
figura. Y la dirección de la tensión del hilo T coincide con la
coordenada tangencial T. Como se ve en la figura, sobre un hilo AB y en el
punto arbitrario 1, cualquier punto, como ese por ejemplo, el 1, se han
situado... Se han representado los ejes 1N, que es normal, el eje normal a
la curva del hilo, y el 1T, que es tangencial a la curva del hilo, ambos
conforman los ejes coordenados intrínsecos, cuyos versores se han
representado por U sub N, que los vemos, y U sub T. Son los versores,
vectores unitarios que identifican la dirección de ambos ejes. Asimismo,
se han representado los ejes 1N, que son los ejes 1N, el radio de curvatura
ρ de la curva en el punto 1 que hemos elegido para estudiar. La fuerza
externa por unidad de longitud del hilo, que hemos llamado Q, tiene
dirección normal al hilo, que era una condición del enunciado del
problema. Por lo tanto, es coincidente con la dirección del eje UN. Por lo
tanto, la componente Q sub T de Q es 0. Asimismo, la dirección de la
tensión del hilo en el punto 1, es decir, T, es tangente a la curva del
hilo y por lo tanto es normal a Q. Luego coincide con el eje 1T, tal y como
aparece en la figura. Por lo tanto, la componente según la dirección
tangencial de la tensión T es T y la componente en la dirección normal de
T es 0. Llevando estos valores a las ecuaciones generales de equilibrio de
un hilo en coordenadas intrínsecas marcadas como 5 y 6 en el módulo EH1,
obtenemos lo siguiente. T de la primera ecuación, de la 15, obtenemos que
T es igual a T0 y es igual a constante. Es decir, la tensión del hilo es
constante en cualquier punto del mismo. Primera conclusión de este tipo de
hilos. Y segundo, de la ecuación 16, aplicándola, nos saldrá que Rho es
igual a T0 partido por Q. Pero como T0 era constante y Q es constante, pues
esto, Rho, repito, es el radio de curvatura. Lo hemos visto antes, lo vemos
ahí en la figura inferior. El Rho es el radio de curvatura de la curva en
el punto que estamos estudiando, en el punto 1. Por lo tanto, Rho igual a
T0 partido por Q igual a constante es la ecuación... de una circunferencia
radio igual a constante. Es la ecuación de una circunferencia expresada en
coordenadas polares. Así pues, un hilo sometido a un campo de fuerzas Q
constante que es normal al hilo en cada punto forma una curva de equilibrio
que es una circunferencia de radio Rho igual a T0 partido por Q. Y la
tensión del hilo es... igual a constante en cada punto del hilo. Longitud
de hilo y pendiente. En este caso, el cálculo de la longitud de un tramo
de hilo AB es muy sencillo. Pues, al tratarse de una circunferencia, la
curva de equilibrio es una circunferencia, por lo tanto, dicha longitud
coincide con la de un arco de circunferencia AB. Es decir que la distancia
del arco entre los puntos A y B de la figura será igual a ρ, que es t sub
cero partido por q, multiplicado por la diferencia de ángulos cita B menos
cita A, tomando el ángulo cita con origen en el eje vertical o y tal y
como aparece en la figura. La pendiente de la curva es como siempre en
casos anteriores, siempre lo mismo, es la derivada de la función y con
respecto a x. En ese punto concreto. En cuanto al cálculo estático del
hilo, aprovechando las ecuaciones de la estática, aplicaremos todo lo
dicho en los casos de catenaria y parábola, por lo tanto, no hace falta
repetirlo. Los ejemplos que aparecen ahí se verán claro. Un caso bastante
común, y en el que podría quedar incluido el caso anteriormente visto de
hilo con curva de circunferencia, el campo de fuerzas externas F, aplicadas
al hilo, es central. Es decir, que la fuerza F pasa siempre por un punto
fijo O, como aparece ahí en la figura. Vemos que el hilo, curva del hilo
está, que estoy remarcando en amarillo, Está sometido en un punto
determinado a una fuerza F que siempre pasa por el punto O. Sea cual sea el
punto elegido de la curva del hilo, la fuerza F externa aplicada al hilo
siempre pasa por el punto O. Se dice en este caso que es un campo de
fuerzas centrales. Las características de este tipo de casos son las
siguientes. Y todo esto no está demostrado aquí en la transparencia, pero
no está en el ejercicio EH35 de la colección de problemas. Por lo tanto,
si lo queréis ver demostrado, tenéis que acudir a este ejercicio.
Características. En primer lugar, una característica que ya hemos
encontrado en los casos anteriores. Tal es la de que la curva de equilibrio
se encuentra representada en un plano. O dicho de otra forma, la curva de
equilibrio es plana. En la figura que se ve a la derecha, se observa un
hilo representado en el plano. El plano dibujado en la figura, que contiene
la curva de equilibrio, la fuerza F y la tensión del hilo T. Todo esto
está incluido en este plano que aparece dibujado en la figura. La curva de
equilibrio, la fuerza F externa, que siempre pasa por el punto O. Por lo
tanto, el plano también contiene al punto O, obviamente. Y la tensión del
hilo T. Todos ellos están incluidos. Sobre dicho hilo se ejerce una fuerza
F, dirigida, como ya hemos dicho siempre, hacia el punto O, fuerza central.
El momento de la tensión T en cualquier punto del hilo con respecto al
punto O es constante. Y forma, como se ve en la figura, un vector C, este
de aquí, que es perpendicular al plano, donde se encuentra situada la
curva de equilibrio. Lo cual constituye la tensión del hilo T. Lo cual
constituye la segunda característica particular de este caso concreto.
Estas dos características nos van a servir para facilitar el cálculo de
dichos hilos. Para la resolución de los problemas de este caso particular,
conviene trabajar en coordenadas polares, es lo primero que tenemos que
tener claro. Las ecuaciones que vamos a utilizar son las siguientes, y
está demostrado en el ejercicio EH36. Son las siguientes. En primer lugar,
la ley de Arias, que es esto que veis aquí. Al tratarse de un campo de
fuerzas centrales, se cumplirá la ley de Arias. Y, para esto, para saber
lo que es esto, debemos acudir al módulo C1 de cinemática del punto,
donde se explicaba perfectamente qué era la ley de Arias. En este caso, la
ley de Arias se traduce a esa fórmula algebraica que veis ahí. R cuadrado
por P. T por derivada de cita respecto de S, es igual a constante.
Constante que llamaremos C. En la figura superior derecha se ve lo que
significa cada uno de los términos contenidos en la anterior expresión de
la ley de Arias. En ella se ve la curva de equilibrio de un cable. Está
dibujada, ahí quiero marcarla en amarillo, parte de ella. Un punto O, que
es el punto de referente, o polo de coordenadas polares. El radio polar R,
que identifica siempre la posición del punto del hilo en que se encuentra
el móvil en un momento determinado. O sea, el móvil, perdón, el punto
del hilo que queremos estudiar. Donde está en un momento determinado. Es
identificado por el radio polar R y por el ángulo cita conforma con la
base polar, que es el eje de las equis. Segunda ecuación. que vamos a
utilizar para resolver este tipo de problemas es la ecuación de equilibrio
del hilo, que es una ecuación escalar no vectorial, lo que nos va a
facilitar enormemente su resolución. Dicha ecuación es esta que veis
aquí, la diferencial del módulo de la tensión T más el módulo de la
fuerza F multiplicado por la diferencial de R igual a cero. La tercera
ecuación que vamos a utilizar es la relación geométrica conocida que nos
da la longitud del hilo en función de las variables R y cita en
coordenadas polares. Como ya sabemos es diferencial de S al cuadrado es
igual a diferencial de R al cuadrado más R al cuadrado por diferencial de
cita al cuadrado y cuya deducción se intuye con total facilidad de la
figura que vemos en la derecha, la figura inferior. Entre estas tres
ecuaciones podremos, después de la pertinente integración, determinar la
curva de equilibrio y la tensión del hilo, tal y como se verá en los
ejemplos que figuran en la próxima transparencia. La resolución de este
tipo de problemas, de acuerdo con lo visto en la transparencia anterior, se
facilita enormemente cuando la fuerza externa F, o mejor dicho, el campo de
fuerzas externas F, pasa al hilo, depende exclusivamente de la distancia R
del centro O de fuerzas. Pues ello nos facilita enormemente la integración
de la ecuación diferencial 18 vista anteriormente. Pues despejando T de
esta ecuación diferencial 18 e integrando resultaría esto. T igual a
integral de F de R por diferencial de R que será una función de R que le
llamamos fi de R. Una vez calculado fi de R, aplicando ahora la ecuación
17 de la anterior transparencia, es decir, la ecuación de la ley de Arias,
que era esta, y la relación geométrica 19, que era la que nos daba el
diferencial de S en función de R y Z, y teniendo en cuenta que el
diferencial de S es igual a raíz cuadrada de 1 más I' al cuadrado, que se
traduce en eso que veis ahí, perdón, de la ecuación 19. Y 9, despejamos
el diferencial de S, que es igual a raíz cuadrada derivada de R respecto
de Z al cuadrado más R al cuadrado, por el diferencial de Z. Luego
sustituyendo en la anterior ecuación, después de elevar al cuadrado, la
ecuación de la ley de Arias, obtendríamos esto, y despejando el
diferencial de R repartido por el diferencial de Z nos saldrá esto, lo
cual es ya perfectamente... integrable. Integrando esta ecuación, nos
dará Z menos Z sub 0 igual a integral entre R sub 0 y R de Z por el
diferencial de R repartido por R raíz cuadrada de R al cuadrado por I' al
cuadrado de R, que es la sacada, la ecuación de R extraída de la primera
integración, menos Z al cuadrado. Resolviendo esta integral, tendremos una
función que será Z igual a una función de R. E invirtiendo esta
función, sacaremos R igual a función de Z, que es la ecuación de
equilibrio pedida en el problema. En los ejemplos que figuran en la
transparencia se aclararán todos estos conceptos desde un punto de vista
práctico y se entenderá perfectamente lo que se dice, lo que acabamos de
decir en la teoría. Nada más. Finalizado este módulo. Muchas gracias.