Bien, en este ejercicio, en este ejemplo, vamos a considerar un ejemplo de
aplicación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita. En
particular vamos a considerar una aplicación entre espacios PSU2, que es
el espacio de polinomios de grado igual o Bueno, sabemos que con las
operaciones usuales producto por un escalar y suma de polinomios pues dicho
espacio es un espacio vectorial. Es claro, pensando un poco en lo que hemos
visto en el capítulo 1, que son operaciones realmente sobre el conjunto de
los polinomios de grado 2. Por ejemplo, si pensamos en el producto por
escalar, tenemos que si multiplicamos un escalar alfa por un polinomio
genérico p, nos vuelve a dar un elemento del conjunto de polinomios de
grado igual a 2 o menor. De igual forma, si sumamos dos polinomios de grado
2, nos vuelve a dar un polinomio de grado 2. Por tanto, son dos operaciones
y que estas operaciones verifican las propiedades de la estructura de
espacio vectorial y, por tanto, podemos considerar que PSU2 es un espacio
vectorial. Es fácil ver que es un espacio de dimensión finita, de hecho
si consideramos la base estándar que es la base dada por el polinomio
constante igual a 1 más el polinomio x más el polinomio x al cuadrado
vemos que un polinomio genérico Asu2x2 más Asu1x más Asu0 se puede
expresar de una manera natural en combinación lineal o en términos de una
suma de dichos elementos de la base que evidentemente los elementos de la
base del sistema generador son linealmente independientes y por tanto
constituyen una base y si lo relacionamos un poco con el vídeo que vimos
en el capítulo anterior podemos identificar los coeficientes del
desarrollo natural de un polinomio con una terna de R3. y, por tanto, el
espacio de polinomios peso 2 es un espacio que tiene dimensión 3. En el
ejercicio 9 de las pruebas de autoavalación del capítulo 4 y 5 tenemos un
ejemplo de aplicación lineal para este tipo de espacio. Vemos que tenemos
allí definida una aplicación F, tal que para un polinomio genérico P le
hace corresponder otro polinomio de P2 que viene a ser la imagen del
polinomio. Cabe preguntarse si esta aplicación, que evidentemente está
bien definida, es una aplicación lineal y sabemos que una aplicación
lineal verifica dos propiedades que las definen. Que sería la propiedad i
que nos dice que la imagen por f del polinomio producto por un escalar alfa
por p es igual al producto de alfa por la imagen de p. y la propiedad 2i
que nos dice que la imagen de la suma de dos polinomios es igual a la suma
de las imágenes respectivas. Hemos visto en el capítulo 4 que la
motivación de esta definición es que las aplicaciones lineales nos
transforman que se forman vectores de un espacio vectorial en vectores de
un espacio vectorial, es decir, las imágenes de los vectores son vectores
asimismo de un espacio vectorial en el espacio imagen y, por tanto, podemos
decir que la imagen, si f es un polinomio, si f es una aplicación lineal,
la imagen de fp2, si f es aplicación lineal, vuelva a ser un espacio
vectorial. Cabe preguntarse si realmente esta función f, tal como está
definida, verifica la propiedad. Lo podemos hacer directamente comprobando
la definición de las propiedades. Y tenemos aquí en azul el caso de la
propiedad i. Aquí tenemos que la imagen, considerando P un polinomio
genérico, la imagen de f del polinomio alfa P, aplicando la definición de
f que dice que el término independiente vuelve el término independiente,
aparece en esta expresión, sería esto, que el término de x aparece
aquí, que sería esta expresión, y que el término cuadrático x cuadrado
nos aparece como término independiente de la imagen. Bueno, aquí estamos
aplicando directamente la definición de f para este caso particular y por
tanto nos sale este polinomio donde sacando factor común vemos que esta
expresión no es más que la imagen del polinomio P y que por tanto todo
esto es igual a alfa por la imagen de F por P y por tanto se verifica la
propiedad I. Se podría hacer lo mismo de manera análoga para verificar la
propiedad o sí y veríamos que por definición No es un ejercicio muy
difícil. Por definición también tendríamos la propiedad 2i y, por
tanto, la aplicación efectivamente es una aplicación lineal. Uno de los
contenidos fundamentales del capítulo 4 es que todas las aplicaciones
lineales entre espacios de dimensión finita están caracterizadas por una
matriz asociada. Dicha matriz asociada lo que hace es transformar las
coordenadas de un vector genérico del espacio dominio en las coordenadas
que tendría la imagen de dicho vector respecto de la base de la imagen. Y
sabemos que las columnas de dicha matriz asociada que podemos llamar A no
son más que las coordenadas de las imágenes de la base del espacio
dominio respecto de la base del espacio imagen. En este caso estamos
considerando la misma base A, la base canónica que vimos antes, tanto en
el espacio dominio como en el espacio imagen. Por tanto, la primera columna
no es más, y vemos aquí el desarrollo en azul, que la primera columna de
la matriz asociada no es más que las coordenadas del vector imagen del
primer vector de la base con respecto de la base del espacio imagen que en
este caso es la misma, la base P0, P1, P2. Por tanto, en el ejercicio 9 nos
preguntan la expresión de dicha matriz asociada si consideramos la base A
Y lo único que tenemos que hacer es calcular las imágenes de los
elementos de la base y ver cuáles son sus coordenadas con respecto de la
misma base porque estamos considerando la misma base en el espacio imagen.
Aquí tenemos, por ejemplo, el ejemplo del primer vector de la base.
Recordemos que P0 es la imagen de F1. Aplicando la definición de la
aplicación F1, pues el 1 nos pasa aquí. Entonces es 1 multiplicado por el
factor x-1 al cuadrado. Si lo expandimos obtenemos fácilmente la
expresión de dicho polinomio en términos de los elementos de la base. El
primer componente sería 1, el segundo sería menos 2 y el tercero sería
1. Estas coordenadas son las coordenadas que aparecen en la primera
columna. Como estamos ordenando la base como p0, p1 y p2, la imagen de f de
p0 hemos visto que es p2-2, p1 más 1, p0. Esto en términos de la terna
que vimos anteriormente son las coordenadas 1,-2,1, considerando este
orden. y este vector de coordenadas pasa a ser la primera fila de la matriz
asociada. De igual forma lo hacemos para el segundo vector de la base. f de
p sub 1 es la imagen de f de x. Aplicando directamente la aplicación
tenemos que es el polinomio x menos 1 y x menos 1 no es más que el vector
del polinomio p sub 1 menos p sub 0. Por tanto, tiene como coordenadas,
considerando el orden P0, P1, P2, menos 1, 1 y 0 para el coeficiente de P2
porque no aparece. Entonces esto vuelve a ser el segundo vector columna de
la matriz asociada. Y finalmente, para el último vector de la base, es el
vector PSU2 que es el polinomio x cuadrado, aplicando la definición f de x
cuadrado no es más que 1 y entonces tiene una expresión muy sencilla
respecto de la base, es el vector PSU0. El vector de coordenadas asociado
es 1, 0, 0 que pasa a ser el tercer vector columna de la matriz asociada.
Pues realmente ya tenemos calculado lo que nos pide el ejercicio que es la
matriz asociada a la aplicación lineal respecto de la base P0, P1, P2.
Finalmente veamos un ejemplo. Consideremos un vector particular, el vector
3-2 más 5X cuadrado. En términos de coordenadas respecto de la base, en
el orden que le hemos dado, el vector sería de coordenadas 3-2,5. Si
aplicamos directamente la imagen de f tenemos que el polinomio imagen viene
dado por esto. Para hallar la expresión respecto de la base canónica lo
que tenemos es que expandir el polinomio y ver que tenemos estos tres
coeficientes. Considerando el orden que le estamos dando, sería el vector
de coordenadas 10, menos 8, 3 y podemos comprobar que tal como hemos
calculado la matriz asociada, el producto de la matriz asociada por la
aplicación lineal, por las coordenadas del vector P En este caso 3-2x más
5x cuadrado nos da un vector de coordenadas que sería el vector de
coordenadas de la imagen de FP. Y realmente, como hemos visto, pues este
vector de coordenadas coincide con el vector de coordenadas que hemos
calculado explícitamente.