Bien, buenas tardes. Hoy toca un poco reflexionar sobre el tema número 6
de la asignatura, que genéricamente es el tema de probabilidad
condicionada. Aquí aparece en pantalla exactamente los apartados que
corresponden al temario de la asignatura, pero nosotros donde vamos a
incidir más lógicamente es en los ejercicios y problemas con vista de
tener una buena preparación para el examen. El tema de probabilidad
condicionada yo diría que es un poco el más importante de todos los
vistos hasta ahora, porque hasta ahora se ha dado en el temario la
manipulación de la probabilidad, cómo calcular probabilidad, el espacio
de probabilidad condicionada y tal. Sin embargo, lo importante en toda la
teoría de la probabilidad, no solamente en esta asignatura es cómo
procesamos nosotros la información. Ese es el problema fundamental de la
estadística. El espacio de probabilidad inicial, sobre el cual habéis
estado trabajando estos días y resolviendo problemas, nos da la opinión o
la probabilidad, la incertidumbre que tenemos sobre un cierto suceso que lo
asignamos mediante una probabilidad que es la probabilidad del suceso A, P
de A. El problema consiste ahora en cómo formalizamos la idea de que
tenemos una información externa, interna, mediante un experimento, lo que
se llama información, que es la ocurrencia de un suceso B, que suponemos
lógicamente que tenga una probabilidad distinta de 0. Y cómo recogemos y
procesamos esta información y actualizamos con esta información el modelo
que inicialmente teníamos. Al fin y al cabo es un poco lo que nosotros
realizamos normalmente a lo largo de nuestra vida cotidiana, ¿vale?
Estamos procesando en todos los niveles de vida nuestra información con la
experiencia que vamos acumulando a lo largo del tiempo. Esta experiencia es
este suceso B, que es el que nos indica cómo tenemos que modificar la
opinión inicial o la probabilidad del suceso A. Por eso el concepto de
probabilidad condicionada está ligado a la posibilidad de obtener
información adicional sobre un experimento aleatorio que modifique nuestra
incertidumbre. Esta probabilidad condicionada es la que nos permite
modificar la opinión inicial o la posibilidad del suceso B. Por eso el
concepto de probabilidad condicionada nos indica cómo podemos, por lo
tanto, actualizar la probabilidad de un suceso con la información de que
disponemos. Bien, veamos un poco cómo se define, cómo se plantea el
problema. Pues como ya he dicho, supongamos que tenemos un suceso con una
probabilidad PDA y a continuación tenemos una nueva información que es
que ha ocurrido el suceso A. ¿Cómo incorporamos esta información a
nuestro espacio de probabilidad? Con el objeto de actualizar la opinión o
la probabilidad del suceso A. Es decir, siempre con la información de que
ha ocurrido el suceso A. Nuestro objetivo es cuál es la probabilidad del
suceso A, pero ahora la vamos a actualizar en base a que nos informan que
ha ocurrido el suceso B. Por lo tanto, lo primero que tenemos que ver es
qué grado de compatibilidad hay entre el suceso A y el suceso B. La
anotación que vamos a poner para calcular el nuevo, o la nueva
incertidumbre sobre el suceso A, la vamos a llamar probabilidad de A
condicionado a B. PDA. Esto es una anotación como otra cualquiera. De esta
manera, lo que nos viene a decir es que queremos calcular de nuevo la
probabilidad del suceso A, pero el condicionante, lo que hay una especie de
denominador abajo, nos va indicando y nos va recordando que nos han dado
una información nueva, que es que ha ocurrido el suceso B. Por lo tanto,
esta probabilidad, lo lógico es que esté relacionada con la intersección
de los dos sucesos. Que es el grado de compatibilidad que hay. Y, por lo
tanto, será proporcional a la probabilidad de la intersección. Tema que
ya habéis dado de la manipulación del suceso. Por lo tanto, si esta
constante de proporcionalidad, la llamo K, por lo tanto, la probabilidad de
A condicionada a B será una constante K por la probabilidad de la
intersección que, vuelvo a repetir, es el grado de compatibilidad. Como
esto es válido para cualquier A y B, si A es igual al suceso seguro,
entonces, como la probabilidad del suceso seguro condicionado a cualquier
otro suceso es 1, de ahí despejo por la intersección de omega y de B
suceso seguro obtenemos que la constante K es el inverso del suceso B. De
la probabilidad del suceso. Y sustituyendo aquí arriba obtenemos la
clásica definición que tenéis en el texto, la probabilidad de A
condicionada a B. Algunos autores, para resaltar que yo sigo calculando la
probabilidad de A, ponen un subíndice B para decir que B es la
información. Y, por lo tanto, la probabilidad condicionada de A
condicionada a B es la probabilidad de A condicionada a B. Es la
probabilidad de la intersección partido por la probabilidad del suceso B.
De igual manera podría haber definido la probabilidad de B condicionada a
A, sería de nuevo B intersección A, que es igual que A intersección B,
partido en este caso por la probabilidad del suceso B. Bien, continuamos.
Un ejemplo muy elemental es, yo tengo un dado legal, lo arrojo y gano si
sale el número 2. Por lo tanto, llamamos el suceso A, sale el 2. La
probabilidad del suceso A, ya lo habéis visto, es obvio, vale un sexto.
Sin embargo, supongamos que nos informan de alguna manera que ha salido un
número par. ¿Cómo cambio la incertidumbre o la probabilidad del suceso
A? La tengo que cambiar calculando la probabilidad de A condicionada a B.
Por lo tanto, será la probabilidad de la intersección 2 y par, que es 2
partido por la probabilidad de par. La probabilidad del número 2 es un
sexto y la probabilidad de par es tres sextos, que es 2, 4, 6. Por lo
tanto, esta nueva probabilidad con la información que os han dado aumenta,
pasa de un sexto a un tercio. Por lo tanto, observar cómo es distinto de
A. Por lo tanto, la probabilidad de A condicionada a B es distinta de la
probabilidad de A. Otro problema es cuándo la probabilidad de A
condicionada a B es igual a la probabilidad de A, que lo veréis en el tema
siguiente. En el fondo, aquí estamos hablando de la independencia del
suceso, que es otro de los temas importantes en la teoría de la
probabilidad. En consecuencia, lo primero que hay que tener en cuenta es no
confundir la probabilidad de A condicionada a B con la probabilidad de B
condicionada a A. Esto, en términos de gámbito judicial, se suele llamar
la falacia de Stuttgart y, en términos de la teoría de la probabilidad,
el error de la condicional traspuesta. Os dejo como ejercicio que
calculéis como aparece aquí abajo, en este párrafo, que lo he saltado
pero después lo podéis repasar, todo esto, calcular la probabilidad de A
condicionada a B que vale un tercio y la probabilidad de B condicionada a A
que vale uno. En consecuencia, obviamente las dos probabilidades son
distintas. Tenemos las dos formas distintas de calcular la probabilidad de
la intersección de dos sucesos. Si empiezo por A, es la probabilidad de A
y después la de B dado a A y si comienzo por B, la probabilidad de B
primero y después la probabilidad de A condicionada a A. Continuamos. Un
resultado importante del tema, que son dos, como aparecía en la reserva de
la sala, es el teorema de la probabilidad total y después veremos el
teorema anual. El teorema total es un resultado muy elemental pero
fundamental. Supongamos un suceso B y supongamos una partición del espacio
muestral. Esta partición A1, A2 o An se interpretan como causas o
circunstancias que influyen en la aparición del suceso B. Se suelen llamar
probabilidades a priori. Si es una partición significa que la suma de
todas las probabilidades A su I vale uno. Y supongamos que también
conocemos las probabilidades condicionadas B dado A su I, que en términos
de teoría de la probabilidad se llaman las verosimilitudes y se interpreta
como la probabilidad de que ocurra B habiendo aparecido la causa A su I.
Vendría a ser causa-efecto. Entonces el teorema de la probabilidad total,
que viene en el comentario de la demostración o en el libro, es igual a
una suma de las probabilidades a priori, que son la partición por las
probabilidades condicionadas, que las llamamos las verosimilitudes, y sobre
las cuales volveremos a insistir. Evidentemente, como la suma de estas
probabilidades vale uno, P tiene sentido como una media aritmética y por
lo tanto la probabilidad del suceso B estará comprendido entre el máximo
de la verosimilitud y el mínimo de la verosimilitud, como aparece aquí.
Un ejemplo lo podemos ver, típico del teorema de la probabilidad total, es
el que veis aquí. Supongamos un cierto colectivo, el 70% de las personas
son hombres y de ellos el 10% poseen un PC, mientras que el 20% de las
mujeres poseen un PC. ¿Qué porcentaje de personas de ese colectivo poseen
un PC? Observar cómo los datos son los siguientes. Tenemos la partición,
los hombres el 70%, la probabilidad 0.7, las mujeres lógicamente 0.3. Por
lo tanto, la probabilidad del teorema de la probabilidad total, en este
caso la partición, son solamente dos sucesos y hay dos verosimilitudes. La
primera verosimilitud es 0.5, y la segunda verosimilitud es 0.5. 0.1 que
corresponde a, de todos los hombres, el 10% poseen PC y la otra
verosimilitud es el 20% que corresponde al número de mujeres, el
porcentaje de mujeres que poseen PC. Calculando simplemente esta operación
nos tenemos el 0.13 que está comprendido entre las dos verosimilitudes,
entre 0.1 que corresponden a los hombres y 0.20 que corresponde a las
mujeres. Veamos un ejemplo un poco más... Complicado. Aquí ahora las a
priori, observar como en el ejemplo anterior, las a prioris eran datos.
Teníamos 0.7 y 0.3. En este caso, las a prioris para aplicar el teorema de
la probabilidad total no se conocen inicialmente. Supongamos que tenemos
cuatro monedas, dos monedas legales y dos monedas trucadas, cada una con
probabilidad P de salir cara. Seleccionamos al azar dos monedas y las
arrojamos. Y vamos a llamar X, si queréis, o el suceso que creáis, el
número de caras que se obtienen al lanzar las dos monedas. Tenemos que
calcular las distintas probabilidades asociadas al número de caras que se
obtienen. En este caso, ¿cuáles serían las a priori? La a priori es, en
este caso, la partición está formada por tres sucesos. Lo he llamado
suceso A, B y C. El suceso A serían las dos monedas son legales, que
simplemente por combinatorias que habéis visto en temas anteriores tenemos
que serían dos sobre dos, dos sobre cero y cuatro sobre catorce. El suceso
B, las dos monedas son trucadas y el suceso C, obtenemos una moneda de
caras. Observar cómo la suma vale uno. En este pequeño recuerdo estarán
las a priori. Vamos a calcular la probabilidad de que obtengamos al tirar
las dos monedas, pues hay o dos caras, o una cara, o cero caras. Yo comento
simplemente para dos caras, el resto se hace exactamente lo mismo y cuando
repaséis un poco el tema con la diapositiva, se va a ver que hay dos
caras, una cara y una positiva colgada, pues no hay mayor inconveniente.
¿Cuál serían las verosimilitudes? Por ejemplo, pues la verosimilitude,
dado el suceso A, es decir, elegido dos monedas legales, ¿cuál es la
probabilidad de obtener dos caras? Que es precisamente esta probabilidad.
Pues lógicamente un medio de cara por un medio de cara, un cuarto. Aquí
tenemos un sexto que sería la probabilidad real. Si yo estoy ahora en el
ámbito de la probabilidad real del suceso B, que son dos monedas trucadas,
¿cuál sería la verosimilitud? La probabilidad de dos caras, elegido dos
monedas trucadas. Como la probabilidad de cara es P, pues sería P por P, P
al cuadrado. Es justo lo que aparece aquí, por su probabilidad priori, que
es un sexto. Y por último, si tenemos una moneda de cada tipo, pues
tenemos un medio que es cara para la moneda legal y P para la moneda
trucada, pues P medio por su probabilidad priori, que es un sexto. Si
estamos haciendo operaciones, pues tenemos un medio que es obtenemos esta
probabilidad. ¿De acuerdo? El resto de los cálculos es exactamente lo
mismo para el caso de una probabilidad de que X valga 1 y la probabilidad
de que X valga 0. Es decir, dos caras, una cara y cero caras. En el tema 9,
que ya lo veremos más adelante, que yo también tendré el gusto de
comentarlo con vosotros, pues podemos calcular, por ejemplo, cuál es el
número esperado de cara o la media. Corresponde al tema 9, muy importante
la teoría de la probabilidad, que es la esperanza matemática. Si en
cualquier momento tenéis alguna duda, pues con mucho gusto me lo
comentáis. ¿De acuerdo? Bien. Aquí tenemos una famosa paradoja, que es
la paradoja de Bertrand, para ver cómo muchas veces el teorema de la
probabilidad total no se suele aplicar bien. Esto es típico de los
concursos de la televisión, de la radio, etcétera, etcétera. Es debido
al matemático francés Joseph Bertrand. Supongamos que tenemos tres cajas.
Una de ellas contiene dos monedas de oro. Hay otra caja con dos monedas de
plata y una tercera caja que tiene una moneda de oro y una moneda de plata.
Yo elijo al azar una caja, por lo tanto tendríamos un tercio de
probabilidad y de esa caja saco una moneda al azar también. Ya tengo la
caja. Y observamos que esa moneda de esa caja elegida al azar es de oro.
Tenemos que calcular la probabilidad de que la moneda de esa caja, que yo
he elegido al azar, sea también de oro. ¿Cuál es el razonamiento
erróneo? El razonamiento erróneo va por la idea de que al tener una
moneda de oro significa que tienen que ser dos alternativas. O la caja con
dos monedas de oro o la caja con una de oro y una de plata. En
consecuencia, el razonamiento erróneo es dos cajas que tienen esa
posibilidad nada más, pues la probabilidad es inmediata. Este razonamiento
no es un error. El razonamiento erróneo es que las dos cajas que tienen
esa posibilidad es verdad. ¿Cuál es el razonamiento verdadero? Aquel que
utiliza el teorema de la probabilidad total. Supongamos que llamamos oro 1
la primera moneda y oro 2 la moneda segunda, la no extraída, es también
de oro. Por lo tanto, lo que nosotros queremos calcular es la probabilidad
de que la segunda sea oro dado que la primera sea oro. Es importante a la
hora de que practiquéis, si hagáis problemas de exámenes anteriores o
del libro y en su momento también para cuando trabajéis en el examen,
tener una buena notación para trabajar con probabilidades condicionadas.
Notación que sea breve, sintética y que digamos sea intuitiva, como pasa
aquí en este caso que he puesto. Por lo tanto, tenemos que calcular la
probabilidad de la intersección de que la primera sea oro y la segunda sea
oro y la probabilidad de que la primera sea oro. ¿Cómo calculamos esto? A
través de el teorema de la probabilidad total. El denominador, que lo
tenemos aquí abajo, porque el numerador es obvio. La probabilidad de que
la primera y la segunda sean oro es elegir de las tres cajas la que tenga
las dos monedas de oro, que por lo tanto es 1 tercio, que es lo que aparece
aquí abajo. Mientras que el denominador es el teorema de la probabilidad
total. Puede salir un oro dado la caja 2, la caja 2 es la que tiene de oro
por la probabilidad de que el denominador es oro o oro dado la caja 2, que
es la caja que tenga un solo oro por la probabilidad de que elija la caja
que tenga una sola de oro y una de plata. O la probabilidad de elegir una
moneda de oro en la caja que no tiene ninguna de oro porque son las dos de
plata. Aplicando aquí la probabilidad de observar como aquí 1 tercio, 1
tercio y 1 tercio son las tres a priori. Mientras que 1 es la caja con las
dos monedas de oro, 1 medio es la caja de uno de cada tipo, 0 es la caja
con las dos monedas de oro. 1 medio con las dos monedas de plata es 0,
tenemos la probabilidad de 1 medio. Haciendo la operación obtenemos que
definitivamente la probabilidad pedida es 2 tercios. Eso es un poco lo que
yo comentaba al principio de la paradoja. Por lo tanto, las probabilidades
condicionadas son muy importantes tenerlas en cuenta y sobre todo muchas
veces el denominador hay que calcularlo no directamente sino a través del
teorema de la probabilidad total como he estado comentando hace. Aquí
tenéis otro problema para que lo penséis. Yo solamente os comento un poco
por encima. Este problema es simplemente ejercitarse en saber trabajar con
probabilidades condicionadas y los sucesos contrarios. En este caso, en los
datos del problema tenemos los sucesos A y B. En este caso estamos hablando
de evidencia en una inspección ocular de policía o en temas judiciales.
La evidencia A. Que aparece el 60% mientras que cuando se encuentra la
evidencia A, entonces el 80% de las veces también aparece la evidencia B.
Pero si no aparece la evidencia A, entonces la aparición de B se reduce a
la mitad. Hay que calcular porcentaje de apariciones de B, de que no
aparezca ninguna de las dos, etc. Lo importante es saber primero los datos
del problema. Por eso yo siempre tenéis un poco que trabajar. ¿Cuáles
son los datos? Pues la probabilidad de la evidencia A. La probabilidad de
que aparezca B dado A, 0.8. Son datos del problema. Y la probabilidad de
que aparezca B dado no A, que había dicho que era la mitad, es 0.4. Con
estos tres datos tenemos que contestar al resto. Por ejemplo, si nos piden
directamente la probabilidad de que aparezca en la evidencia B, sepa o no
sepa yo que haya ocurrido en la evidencia A, el suceso A, tenemos que
aplicar el teorema de la probabilidad total. Solamente que en este caso la
partición es A. Y no A, que son los datos del problema. Con lo cual
tenemos este resultado 0,64. El 64%. La probabilidad de que no aparezca
ninguna de las dos, ya podemos hacer uso de la probabilidad de la
intersección, que es la probabilidad de 1 con la probabilidad del segundo
dado el primero. Esta probabilidad de no B dado no A es 1 menos un dato del
problema, que era 0. Es decir, que es importante, he puesto este ejemplo
relativamente fácil para que trabajéis con soltura en probabilidades
condicionadas, probabilidad de intersección y cuando aparecen
probabilidades de sucesos complementarios en donde muchas veces se
confunden o no se tienen bien las ideas claras. Porque el contrario de B
dado A es no B dado A. Pero no B dado no A. Es decir, el condicionante es
algo que ya ha ocurrido, por lo tanto no le puedo cambiar la intersección,
perdón, la complementariedad. Porque como siempre estamos calculando este
suceso. Vuelvo a repetir, era la clave de la diapositiva 1 y 2 en donde
hablábamos que el condicionante es la información que yo tengo sobre la
cual tengo que alterar o modificar la probabilidad inicial. Bien, vamos a
seguir viendo algunas cosas interesantes que vienen a continuación. Este
es un pequeño, una pequeña variante y resumida de un examen de esta
asignatura de febrero de 2004. Supongamos que en una cierta ciudad de la
costa durante el invierno hay un 40% de días lluviosos y un 60%
lógicamente entonces de días secos. El Servicio Provincial de la Agencia
Estatal de Meteorología acierta con probabilidad 0.8% de los días
lluviosos cuando pronostica un día de día lluvioso y acierta con
probabilidad 0.7% cuando pronostica un día seco. Calcular la frecuencia
con que se pronostican días lluviosos y porcentaje de días lluviosos que
se pronostican correctamente. Vamos a poner claramente cuáles son los
sucesos y cuáles son los datos. Vamos a llamar A pronóstico que va a
llover y vamos a llamar L de lluvia el día lluvioso. Entonces los datos
del problema es P de L 0.4, P de no L 0.6, P de L dado A es decir la
probabilidad del día lluvioso dado que lo pronóstico es 0.8 y la
probabilidad de no L dado no A es 0.7. Lo que nos están pidiendo es la
probabilidad del suceso A que es la del pronóstico del día lluvioso. Pero
aplicando el teorema de la probabilidad total tenemos la probabilidad P de
L que vale 0.4 y puede estar condicionada a A que pronostica que llueve por
la probabilidad de que llueva. Y la probabilidad de que llueva o no A
pronostica que no llueve por la probabilidad de que no llueva. Sustituyendo
convenientemente e igualando a 0.4 en este caso el teorema de la
probabilidad total me dan la solución 0.4 pero yo uno de los elementos del
desarrollo del teorema de la probabilidad total tengo que calcularlo que es
el dato del problema que lo he llamado P. En consecuencia P pequeña vale
0.2. La segunda parte del problema consiste en calcular el porcentaje de
día lluvioso que se pronostican correctamente. Es decir, en este caso es
lo contrario a este dato del problema. Esto lo llamaremos posteriormente la
probabilidad condicionada o probabilidad inversa. Porque la probabilidad
asociada al teorema de Bayo es probabilidad inversa. Por lo tanto tenemos
que calcular la probabilidad de A condicionada a L. Aplicamos la
definición que sería A intersección L pero como la intersección de dos
sucesos que pueden poner maneras distintas lo ponemos L condicionado a por
P de A porque de esa manera tenemos dato del problema partido por P de L
que en el apartado A ya lo hemos calculado. En consecuencia obtenemos la
solución del ejercicio propuesto. Una tercera idea importante que después
la desarrollaremos ampliamente en el resto de las diapositivas es la
técnica de recurrencia utilizando la probabilidad. La idea de recurrencia
significa que yo puedo calcular el porcentaje de día lluvioso que se
pronostican correctamente en el ejercicio del día. Para esto tenemos que
calcular probabilidad a través de combinatoria como ha sucedido en los
temas anteriores pero hay un momento en donde se reitera y aparece de nuevo
la probabilidad pedida con lo cual tenemos una especie de ecuación en
diferencia finita. Pero la recurrencia como aparece en este ejemplo
clarísimo la vais a ver muy clara cuando yo le explique. Supongamos una
urna que contiene A bolas blancas y B bolas negras. Dos jugadores A y B
extraen sucesivamente y con reemplazamiento una bola de la A. El juego se
detiene cuando el jugador A extrae una bola blanca, siendo A entonces el
ganador. O cuando B extrae una bola negra, entonces el que gana es el
jugador B. Se supone que el primer jugador que extrae la bola es A y el
juego lo comienza el jugador A. Calcular la probabilidad de que el jugador
A gane la partida y también la probabilidad de que B gane la partida.
Mirad, esto es un problema de examen de febrero de 2008. Fijaros, vamos a
ver, idea muy clara. El jugador A juega en las jugadas impares, en la 1, en
la 3, en la 5, etc. Pero si en las dos primeras jugadas nadie ha ganado, en
la tercera jugada estamos como al principio porque las bolas son con
reemplazamiento, por lo tanto siempre hay el mismo número de bolas blanca
y negra en la urna. Si en la primera jugada A pierde. Es decir, saca una
bola negra. Y en la segunda jugada, que es cuando juega por primera vez,
pierde también porque sale bola blanca, no saque su bola negra que es la
que él ganaría. En la tercera jugada, cuando el jugador A va a comenzar,
está en las condiciones iniciales como si hubiese empezado el juego de
nuevo. Por lo tanto, si llamamos PDA la probabilidad de que el jugador A
gane, la situación es cuando gana. Cuando en la primera jugada, que es lo
que estoy aquí... subrayando con el lápiz, sale blanca o en la primera
jugada él saca negra, con lo cual pierde. Y el jugador B en la segunda
jugada sale blanca, con lo cual B tampoco, dado que en la primera ha salido
negra. Y por último, en la tercera, sale blanca, que es cuando gana el
jugador A, que sería en la tercera jugada porque he dicho que solamente
gana en las terceras. Dado probabilidad de negra en la primera y
probabilidad de blanca en la segunda. Aquí falta un signo más, ¿de
acuerdo? Repasando el otro día, aquí hay un signo más. Por favor,
ponedlo. Lo voy a poner aquí y no lo voy a borrar. En consecuencia,
tenemos esto. Y aquí tenemos también esto. Bien, entonces, bueno, no hace
falta ponerlo porque tenemos probabilidad de B1 o probabilidad... Negra en
la primera jugada, blanca en la segunda y por fin blanca en la tercera. Por
lo tanto, tenemos B de B1. ¿Cuál es la probabilidad de blanca? A partido
a más B. O, como son excluyentes, porque sale o blanca o sale negra, por
lo tanto sumamos. Probabilidad de negra en la primera, que es B partido a
más B. Que el segundo jugador saque blanca, por lo tanto B pierde, que es
A partido a más. Y por último, en la tercera jugada, por eso, la
probabilidad de la intersección de estos tres sucesos... Bien, se
descomponen en primera jugada, segunda jugada y tercera jugada. Pero como
estamos en el ámbito del tema de probabilidad condicionada, hay que
condicionar a lo que haya ido ocurriendo. Simplemente en este caso por
recordar. Porque siempre el número de bolas que aparecen es exactamente la
misma. Siempre están porque las extracciones son, como he dicho, con
reemplazamiento o con reposición. Por lo tanto, la tercera jugada sería A
partido a más B por la probabilidad. Bien. Consecuencia, despejando P de
A, obtenemos la solución correspondiente. Y la probabilidad de B sería 1
menos P de A. Una propuesta interesante que lo veremos en el tema número 9
es calcular la duración esperada de partida. Es decir, cuál es el número
esperado de partida para que uno de los dos jugadores... Eso ya lo veremos
con más detalle más adelante. Bien. El segundo concepto importante ligado
a la probabilidad condicionada y al teorema de la probabilidad total... La
fórmula de Bayer. La fórmula de Bayer es el paradigma frente a la
probabilidad clásica o estadística clásica y valenciana. ¿Cuál es la
metodología clásica? La metodología clásica es la siguiente. Lo pongo
porque en el ámbito en que nos movemos, hay igual probabilidad de que en
otro ámbito de física, en la vida real... Siempre estamos hablando de que
toda causa produce un efecto. Esta sería la metodología clásica. Yo
tengo un dado legal. La hipótesis, por lo tanto, del dado es perfecto. Lo
arrojo, por ejemplo... Dos veces, tres veces, y observo lo que sale. Se
calcula la probabilidad del resultado obtenido para confirmar que el dado
es perfecto. La información que yo tengo es que el dado es legal. Por lo
tanto, la probabilidad de dar vale un sexto y así sucesivamente. Si la
probabilidad es muy pequeña o, digamos, no está en consonancia con lo que
yo pensaba, se rechaza la hipótesis. Es decir... Y por lo tanto supongo
que el dado es total. Así es como funciona la inferencia clásica, que es
una de las asignaturas que tenéis en la tipología. La calculación del
grado de matemática. Toda causa produce un efecto. Mientras que la
metodología bayesiana va en sentido inverso. Observada el efecto, yo lo
que pretendo ver es cuál de las causas ha producido este efecto. Por lo
tanto, ahora la idea es... Yo no sé cómo es el dado. Ignoro cómo es, si
es un dado legal o un dado estructural. Entonces, lo que hago es... Este
dado que no sé cómo es, lo arrojo dos veces, tres veces y yo observo lo
que sale. El número de caras, por ejemplo. El número de ases, el número
de seis, etcétera. Se calcula la probabilidad de los posibles tipos de
dado. Que sería la hipótesis. Una vez conocido el resultado. Es decir,
una vez visto el efecto, veo las causas. Qué tipo de dado ha producido
este efecto. Y normalmente lo que se acepta como más verosímil, qué
causa es... Es aquella que tenga la mayor probabilidad de que haya ocurrido
este resultado. Pues bien, vamos a poner... Esto sería un poco la
filosofía de la fórmula de Bayes. Que va a aparecer un poco a lo largo de
todo... Este tema y temas siguientes. Como veremos con cierto detalle en
los otros dos temas que ya comentaremos. Y el resto de los temas de los
compañeros. ¿Cuál es la regla de Bayes? La fórmula de Bayes o el
teorema de Bayes. O también el teorema de la probabilidad inversa. Las
hipótesis son exactamente las mismas que el teorema de la probabilidad
total. La idea sería modificar las opiniones iniciales. Es decir, lo que
yo he llamado... Probabilidades a priori. Opiniones a priori, que son las
causas. En función de los resultados obtenidos, que son los efectos. Que
serían en este caso las probabilidades a priori. Para ello necesito el
grado de credibilidad. Este grado de credibilidad es lo que llamé antes
las verosimilitudes. Que son estas probabilidades condicionadas. ¿De
acuerdo? Pues bien, el teorema de Bayes lo que dice es... Visto el efecto,
cuáles son las posibles causas. Acordáis que formaban la partición. Las
probabilidades a priori. La probabilidad de cualquier asusca dado B. Sería
la intersección de B y de asusca. Que aplicando la probabilidad
condicionada de B dado asusca. Esta es la verosimilitud por la probabilidad
de la partición del suceso asusca. Que es la a priori. Partido por la
probabilidad de B. Que lo hemos visto antes, que es el teorema de la
probabilidad total. Y por lo tanto sea cual sea el valor de k. Aquí puedo
poner k, j y el denominador siempre es el mismo. Por lo tanto la
probabilidad a posteriori. Siempre es proporcional a la a priori. Por la
verosimilitud. Que es lo que aparece aquí. La suma de las a priori vale 1.
Y la suma de las a posteriori vale 1. Porque tener en cuenta que yo lo
único que estoy haciendo es... En este caso tengo esta nueva información.
Pero mi problema como siempre es la partición asusca. Que es la suma de
las probabilidades. ¿Vale? Atención. La suma de las verosimilitudes no
necesariamente tiene que valer 1. Bien, este es el fundamento teórico. El
resto de lo que vemos. Lo que vamos a hacer es dedicarle un poco a
profundizar en ello. Por ejemplo. Supongamos que tenemos 10 cajas. Con 6
bolas cada caja. De ellas 3 cajas poseen 2 bolas blancas y 4 negras. 5
cajas tienen 3 blancas y 3 negras. Y el resto de las cajas tienen 4 blancas
y 2 negras. Selecciona al azar una caja. Y a continuación se extrae de
ella una bola al azar. Que resulta que es blanca. Calcular la probabilidad
de que se haya extraído de cada una de las 2 cajas. Primera parte. La
segunda ahora después un poco la comentamos. ¿Cuáles son las
probabilidades de a priori? Como hay 3 tipos de cajas. Tenemos 3 cajas con
2 blancas y 4 negras. Por lo tanto esta probabilidad es 3 partido de 10.
Después tenemos 5 cajas con 3 blancas y 3 negras. Por lo tanto esta
probabilidad a priori es 5 partido de 10. Prefiero no simplificar para
después utilizarlo más fácilmente. Y el tercer tipo de caja que hay 2
cajas. Hay 4 blancas y 2 negras. Elijo una caja al azar. Por lo tanto
tenemos aquí la a priori. Y a continuación extrae una bola. Por lo tanto
¿cuáles son las verosimilitudes? Vamos a llamar V1. La primera bola
elegida es una bola blanca. Pero esta bola blanca. Puede venir de la
primera, de la segunda o de la tercera. Mi problema es. Dado que yo he
elegido una bola blanca. Fijaros en la anotación. ¿Cuál es la
probabilidad de que venga de la caja 1? Por la fórmula anterior del
teorema de Bayes. Esto será proporcional. No me interesa calcular
directamente las probabilidades. La puedo calcular después como aparece
aquí abajo. Pero es proporcional a la verosimilitud por la priori. La
priori es 3 décimos. Que es la primera caja. Y la verosimilitud. Que es la
probabilidad de elegir una bola blanca. De la primera caja. 2 partido 6. Lo
mismo para la segunda. 3 partido 6 y 4 partido 6. Con sus a priori. 3
décimos, 5 décimos y 2 décimos. Esto vale 6 partido 60, 15 partido 60 y
8 partido 60. No hay que hacer ninguna operación más. ¿Cuál es la
proporcionalidad mayor? Porque el denominador va a ser el mismo. Aunque
ahora si queréis lo calculamos. La segunda caja es la que vale más. 15
partido por 60. Por lo tanto esta segunda caja es la que tiene mayor
probabilidad de haber sido seleccionada. Como ahora veremos calcular a la
posteriori. Si nosotros calculamos la posteriori. Tenemos, ¿cuál es la
probabilidad de sacar blancas? Pues por el teorema de la probabilidad
total. Blanca dado la caja 1 por la caja 1. Más blanca dado la caja 2 por
la probabilidad de la caja 2. Y así sucesivamente. La partición son las 3
cajas. Obtenemos esto. Por lo tanto. Dividiendo 6 partido 60. Por 29
partido 60. 15 partido 60. 29 partido 60. Y así sucesivamente. Obtenemos
las 3 probabilidades a posteriori. La a priori eran 3 décimos. 5 décimos.
2 décimos. Y la a posteriori. Después de haber observado que es blanca.
Es 6 partido 29. 15 partido 29. Y 8 partido 29. Observar como la caja 2. Es
la que tiene mayor probabilidad de haber sido seleccionada. ¿De acuerdo?
Bien. Así es como se trabaja con probabilidades. A partir de la fórmula
de Bayer. Se puede calcular primero las proporcionalidades. Y después
calcular el denominador. Y este denominador. Como vimos en la primera
diapositiva. El inverso del denominador. El inverso del teorema de la
probabilidad total. Es precisamente la constante de proporcionalidad. La
segunda parte. Lo que nos piden. Veamos qué era lo que nos pedían. Si de
la caja donde se sacó la bola. Esta bola que es blanca. No se devuelve si
trae una segunda bola. ¿Qué probabilidad hay de que esta bola segunda sea
negra? Aquí ya el tema es un poco más delicado. ¿Por qué? Porque
tenemos de nuevo una probabilidad total. Pero es el teorema de la
probabilidad total condicionada. Ahora lo que me piden es. ¿Cuál es la
probabilidad de que la segunda bola. Que la llamo N2. Se ha negra dado que
la primera bola es blanca. Si esta primera bola blanca. Yo la retiro.
Entonces. Tenemos tres alternativas posibles. ¿Cuáles? Si fuese de la
primera caja. Entonces en lugar de dos blancas y cuatro negras. Quedaría
una blanca y cuatro negras. Si fuese de la segunda. Pues dos blancas, tres
negras. Si fuese de la tercera. Esto sería. No sé exactamente de qué
caja la he sacado. Lo único que he calculado en el apartado A. Es aquella
caja que es más verosímil de donde haya salido. Pero no necesariamente
tiene que ser esa caja. Por lo tanto. La probabilidad. Sería la
probabilidad. De que sea negro. Dada. Que he sacado blanca la primera. Y
que viene de la caja uno. Por la probabilidad de la caja uno. Dado. Que yo
he sacado blanca. En la primera extracción. Observar que esta. Juega el
papel de la a priori ahora. Y esta juega el papel de la verosimilitud. Por
eso se llama el teorema de la realidad condicionada. Si vosotros elimináis
el B1. El B1 y el B1. Observar que sale. El teorema clásico de la realidad
condicionada. De la probabilidad total. Por lo tanto. Significa que ahora
las a posteriori. De la primera jugada. Juegan el papel. De a priori en la
segunda extracción. De ahí. Lo que aparecía en la primera diapositiva
del dinamismo. Del teorema de la probabilidad total. Es decir. Que nosotros
aprendemos con la experiencia. Puedo ir procesando información. E
incorporándola poco a poco. Calculando de nuevo. Las a priori. Vuelvo a
repetir. Son las tres verosimilitudes. Perdón. Las tres a posteriori y a
anteriores. Estas son. Y estas son. Y las nuevas verosimilitudes. Que sacar
negras. Cuatro quintos. Tres quintos. Y dos quintos. Obtenemos el resultado
deseado. De acuerdo. Bien. Esto es importante que después. Lo repaséis.
Para que tengáis soltura a la hora de trabajar. Veamos otro ejemplo. Es
una continuación de la anterior diapositiva. Yo tengo las cuatro monedas.
Las dos legales. Y las dos trucadas. La probabilidad P de salir cara. Yo
elijo dos monedas al azar. Lo arrojo. Llamamos X. El número de caras que
se obtienen. Al lanzar las dos modelos. Sin el experimento. Supongamos que
han salido. Dos caras. De acuerdo. Tenemos que discutir. Para los diversos
valores de P. Que tipo de moneda. De las tres posibles. Dos legales. Al
colgar. Y dos trucadas. Y una de cada tipo. Empleando el criterio. De la
máxima. Probabilidad. A posteriori. Nos están diciendo. Que tenemos que
calcular. Las a posteriores. O por lo menos. La proporcionalidad.
Recordemos las tres. Probabilidades a priori. Y las tres a posteriores. Que
están en la diapositiva número 6. Página número 6. Estas tres eran. La
probabilidad. De que sea. Las dos monedas legales. Que sea. Las dos monedas
trucadas. Y sea una de cada tipo. Dado X igual a 2. Esto es una
probabilidad. A posteriori. Será proporcional. A esta verosimilitud. Por
esta a priori. De acuerdo. Un cuarto. Por un sexto. P cuadrado. Por un
sexto. De lo mismo antes. P medios. Por dos tercios. Esta proporcionalidad.
A su vez. Es un cuarto. P cuadrado. Y dos P. No hace falta calcular. La
fórmula de Bayes. Totalmente. Ya que. Nos están comentando. Aquella que
tiene. Máxima probabilidad. Posteriori. Que es lo que normalmente.
Nosotros. Sabemos. Hacer. Entonces. Lo único que tenemos que hacer. Es
representar. Para valores de P. Comprendido. Entre 0 y 1. Que debería ser.
Como la incógnita. Por llamarlo de alguna manera. Un cuarto. Entre 0 y 1.
P cuadrado. Entre 0 y 1. La parábola. Y la recta. Dos P. Entre 0 y 1.
Representando gráficamente. Obtenemos. Que si P. Es un simple ejercicio.
Muy fácil. De intersección. De tres. De dos rectas. Y una curva. Si P.
Vale menos que un octavo. Lo más probable. Es que se hayan utilizado. Las
dos monedas legales. Mientras que. Si P. Es mayor o igual. Que un octavo.
Lo más probable. Es que se hayan utilizado. Una moneda de cada tipo. Os
dejo. Para que lo comprobéis. Estas tres. Funciones. Continuamos. Este
ejercicio. Lo voy a. Un poco. Asaltar. Porque viene. En la página. Número
106. Del libro de texto. Es. Un poco. Lo que se suele hacer. Muchas veces.
Por ejemplo. A los alumnos. De matemática. De mayores de 25 años. En
donde. El examen. Son diez preguntas. Tipo. Test. Son diez ejercicios.
Básicos. De matemáticas generales. Y cada pregunta. Tiene. Tres
alternativas. En este caso. Tenemos. Que la proporción. P de pregunta. Que
sabe. Un estudiante. El test. Tiene. R respuestas. Posibles. Normalmente.
Lógicamente. R tiene que ser mayor. Igual que 2. Y tenemos. Que haya. La
probabilidad. De que el estudiante. Conteste. Correctamente. Una pregunta.
Y la probabilidad. De que conociese. La respuesta. A una pregunta. Que
antes contestara. Todo esto viene. Tiene. Tranquilamente. Lo podéis ver.
En el libro. Vuelvo a repetir. Incluso he puesto. La página. Yo lo único.
Que he hecho. Es. Representar gráficamente. La función. La probabilidad.
De saber. La respuesta. P de s. Igual a p. Que es. La bisectriz. La
probabilidad. Del teorema. De la. Probabilidad total. P de c. Que es.
Contestar. Bien. Correctamente. Para r. Igual a tres. Que es el ejemplo.
Que tenéis. Y la probabilidad. Posteriori. De que. Habiendo contestado.
Correctamente. La supiese. Aquí tenéis. Las tres. Rectas. Esta
probabilidad. A posteriori. Corresponde. A la. Curva. Esta. De acuerdo.
Simplemente. Un poco. Como aportación. Para que lo veáis. Tranquilamente.
En el libro. Y. Aquí aparece. Cuál sería. La calificación. Eh. Aquí
tenéis. Una. Calificación. Sobre diez puntos. De acuerdo. Esta es. El c.
Estrella. Sería la calificación. O la nota. Eh. Sería diez. Por p.
Estrella. Que sería la estimación. De lo que sabemos. En base. Al número
de acierto. El número de fallo. Y. La pregunta en blanco. Que no califica.
Fijaros. Lo importante. El signo negativo. Que significa. Que. Las
respuestas. De fallo. Eh. Restan puntos. Bien. Este ejemplo. También. Eh.
Yo simplemente. Os comento. Como lo haría. Después vosotros. De nuevo. Lo
leéis. Eh. Pero es. Simplemente. Trabajar con la intersección. De tres
rectas. Tenemos. Dos cajas. Con cinco bolas. Cada una. La caja uno. Posee
tres blancas. Y dos negras. Y la caja dos. Una blanca. Y cuatro negras.
Ahora. Una moneda. Con probabilidad p. De salir cara. Se lanza. Y si sale
cara. Se extraen dos bolas. De una vez. De la primera caja. Mientras que se
sale cruz. La extracción. De dos bolas. De una vez. Es decir. Sin
reemplazamiento. Se realiza en la segunda. De la segunda caja. Para qué
valores de p. Es más probable. Los tipos de bolas extraídas. Si al salir.
Dos bolas. De distinto color. Para qué valores de p. De qué caja. Es más
probable. Que se hayan extraído. Si de la caja. Donde se trajeron. Las dos
bolas. De color distinto. Estas no se devuelven. Y se saca una tercera
bola. Qué probabilidad hay. De que sea negra. Yo simplemente. Os comento
un poco. Vamos a llamar. De sus dos. Sacar dos bolas. Negras. En esos dos.
Perdón. Dos bolas blancas. En esos dos. Dos bolas negras. Y a sus dos.
Extraer una bola. De cada color. Es decir. Una blanca. Y una negra. Por lo
tanto. Lo que tenemos que hacer. Es de nuevo. Ver. Cuáles son las
probabilidades. A priori. En este caso. Cuáles son las a priori. La a
priori es. P. Si sale. Cara. Es P. Y me voy a la caja uno. Y uno menos P.
Que lo suelo llamar Q. Me voy a la caja dos. Por lo tanto. Teorema de la
probabilidad total. Aquí lo tenemos. Dos sumando simplemente. Y tenemos.
Tres. P. Partido. Por diez. Dos negras. Exactamente lo mismo. Y una de cada
color. Exactamente lo mismo. Como el denominador. Es lo mismo. Yo lo único
que voy a comparar. Entonces. En lugar. De tres perspectivas. Y lo que
tenemos que hacer. Es calcular las intersecciones. Para sacar las
preferencias. En base. A los valores de P. El método de máxima.
Probabilidad. Posteriores. Me calcula ahora. Para el apartado dos. Y
después. Lo volvéis. Un poco. A repasar. Las probabilidades. Posteriores.
Si han salido. Como decía. El apartado. B. Dos. Una bola. De cada. Color.
Que llamábamos. Suceso. A dos. La probabilidad. De la caja uno.
Probabilidad. A posteriori. Proporcional. A la priori. Por la
verosimilitud. Es tres quintos. De P. Y de la caja dos. Dos quintos. De Q.
La constante. K. Es esta. Y calculáis. De nuevo. Las probabilidades.
Posteriores. En la tercera. Es reiterar. De nuevo. El teorema. De la
probabilidad total. Condicionada. Que lo hemos visto. En ejercicios
anteriores. Repasarlo. Y comprobarlo. Bien. Vamos a ver. Una variante. Del
examen. De febrero. De la primera semana. Del año 2012. De acuerdo. Vamos
a ver. Un poco. La idea. Siempre es la misma. Pero hay que coger. Cierta
práctica. Supongamos. Que tenemos. Tres cajas. La caja uno. La caja dos. Y
la caja tres. Que contienen. Respectivamente. Tres blancas. Y una negra.
Una blanca. Y tres negras. Y dos blancas. Y dos negras. Se lanzan. Dos
monedas. Trucadas. Entonces. Y la caja tres. En el resto de los casos. Es
decir. Cuando sale. Una cara y una cruz. Después se hacen. Extracciones.
De la caja. Que se ha seleccionado. Después de ese experimento. De tirar.
Las dos monedas. Trucadas. De acuerdo. Pues bien. Si las extracciones. Se
hacen. Con. Reemplazamiento. Con reposición. Copio. Exactamente. Lo que
venía. En el iniciado del examen. Calcular. La probabilidad. De obtener.
Bola negra. En cada extracción. Que la segunda. También sea negra. Y se.
Si la probabilidad. De extracción. Es negra. A lanzar. De qué caja. Fue
más probable. La extracción. Vamos a ver. Cuáles son las prioris. La
priori es. Primera caja. Dos caras. P por p. P al cuadrado. Segunda caja.
Dos cruces. Q al cuadrado. Y tercera caja. Pues. Cara cruz. Cruz cara. Pues
dos. Por p y por q. En realidad. Es el desarrollo. Del binomio de Newton.
De p más q. De la probabilidad. Combinatoria. Vamos a llamar. N1. El
suceso. En la primera extracción. En negra. Por lo tanto. Aplicando el
teorema. De la probabilidad total. La extracción. De bola negra. En la
primera extracción. Es esta. He llamado variante. Porque. He puesto. Un p
cualquiera. Si la. Por ejemplo. Si. Las monedas. Fuesen legales. Pues
pondríamos. Monedas deslegales. Por lo tanto. P igual a un medio. Y q.
Igual a un medio. Y por lo tanto. No habría mayor. Veamos el apartado 2.
El apartado 2. Me están pidiendo. La probabilidad. De que la segunda. Sea
negra. Dado que la primera. Sea. También negra. ¿Cuál es la
probabilidad? Pues según la definición. En la intersección. Pero esta
intersección. De N1 y N2. Partido por la probabilidad de N1. El
denominador. Es el teorema. De la probabilidad total. Que ya está
contestado. En la primera. En el primer. Apartado. Pero. En el segundo.
Perdón. En el número. La intersección. De N1 y N2. Como estamos
hablando. Extracciones. Que se hacen. Con reposición. Siempre aparece.
Siempre tenemos. El mismo número. De. De bolas. Por lo tanto. La
probabilidad. De que. Sea. Una bola negra. En la segunda extracción.
Será. Un cuarto. De la primera extracción. Por un cuarto. De la. De la
segunda extracción. Por lo tanto. Es un cuarto al cuadrado. La
probabilidad. A priori. Si. Era bola negra. En la segunda caja. Eran tres
cuartos. Para que. Saque. Una segunda bola negra. En la segunda
extracción. Pues era. Tres cuartos. Por tres cuartos. Tres cuartos al
cuadrado. Y por lo tanto. Tenemos de nuevo. Esta probabilidad. Y
calculando. Este cociente. Obtenemos el resultado. Que si la moneda. Es una
moneda legal. Entonces. Esta probabilidad. Es nueve partido. Dieciséis. El
apartado. C. Es. Aplicar. Las probabilidades. A posteriori. Que es un poco.
Aportación mía. Para que calculeis. Si ha salido negra. La primera. O
puede venir. De la caja uno. O de la caja dos. O de la caja tres.
Aplicáis. Las probabilidades condicionadas. Y el. El denominador. Es el
apartado. A. Que es el teorema. De la probabilidad total. Y podemos
calcular. Directamente. Estos resultados. Como el denominador. Es el mismo.
Tres menos dos p. Y lo único. Que me piden. Es. Que. Lo más probable.
Pues entonces. Calculo de nuevo. La proporcionalidad. Entre p dos. Entre
tres. Q al cuadrado. Y cuatro p. Q. Representando gráficamente. Estas
tres. Parábolas. Estas tres. Polinomios. De segundo grado. Pues tenemos.
Estos tres resultados. Según los valores de p. Pues pueden ser. De la caja
dos. De la caja tres. O de la caja. Uno. Aplicando. El criterio. Vuelvo a
repetir. De máxima. Probabilidad. A posteriori. Que apareció. Que se
propuso. En la segunda semana. De. El examen de febrero. Del año. Dos mil
doce. Supongamos. Que tenemos una urna. Con cinco bolas blancas. Y cuatro
bolas negras. Un croupier extrae. Cuatro bolas. Simultáneamente. Y
denuncia. Cuántas bolas blancas. De esas cuatro. Se han obtenido. En una
segunda extracción. En idénticas condiciones. Un jugador. Puede apostar.
A qué número. De bolas blancas. Obtenidas. Será. Estrictamente mayor.
Que en la primera. O por el contrario. Gana. Si su pronóstico. Es
aceptado. Y pierde. En caso contrario. Incluido. Cuando el número. De
bolas blancas. Es el mismo. En la segunda extracción. Es decir. Yo. Cojo
cuatro bolas. Y. El croupier me dice. Han salido. Dos blancas. Entonces. Yo
tengo que. Intentar. Acertar. Diciendo. La segunda extracción. Va a haber.
Más bolas blancas. Por ejemplo. Tres o cuatro. Menos. Una o dos. Porque si
salen. Para realizar. Su apuesta. Y qué. Probabilidad. Tiene entonces. De
ganar. Supuesto que el jugador ha ganado. Hallar la probabilidad. De que en
la primera extracción. Apareciesen. Dos bolas. Blancas. De acuerdo. Bien.
El resto de los apartados. Del examen. Lo veremos. En temas sucesivos.
Porque ahora. Digamos. No es. Conveniente. Introducir conceptos. Que se
verán. Más adelante. Vamos a llamar. X1 y 2. Representa el número de
bolas blancas. En la primera extracción. Y el número de bolas blancas. En
la segunda extracción. Ambas variables. Es el tema siguiente. Son
independientes. Pero. Bueno. No. Digamos. No hace falta. En este caso.
Conocer. En profundidad. El tema de. Independencia. Porque. Inicialmente.
No nos va. Afectar. Simplemente. Que como en la segunda extracción. La
situación. Es la misma. Por lo tanto. El resultado. Y de la primera. Es
exactamente. La misma. Por lo tanto. Las probabilidades. Son exactamente.
La misma. Estamos ante un modelo. Hiper geométrico. Porque estamos
hablando. De extracciones. Sin reemplazamiento. Que es extracción. De una
vez. Por lo tanto. De las cinco bolas. Que hay. Blanca. Elijo. Y. De las
cuatro negras. Elijo. Cuatro menos. Y. De la total. De nueve bolas. Que
hay. Elijo. Cuatro. Con donde la y varía. Desde cero. Cero blanca. Hasta
cuatro blancas. Recalculando esto. Tenemos. Esta probabilidad. En donde el
denominador. Uno partido. Perdón. El denominador. 126. Lo dejamos
constante. Porque inicialmente. No nos va a afectar. El cálculo. Sucesivo.
Veamos. Cuál es. Un poco entonces. La estrategia. Veamos. Si. X1. Se.
Vuelvo a repetir. El número de bolas blancas. En la primera extracción.
Las probabilidades. Para cada uno. De los sucesos. Que es. Mayor. Menor. O
igual. Que la primera extracción. Vienen. En la siguiente tabla. Vamos a
ver. Si no ha sacado. Si no hay ninguna bola. Blanca. En la primera
extracción. En rojo aparece. Lo más probable. Porque en la siguiente
extracción. Hay. O que haya. Menos de cero. Que es imposible. O que haya.
En la segunda extracción. Igual. Que es. Cero blancas. También. Uno
partido. 126. O que haya más. Pues sería. Uno menos uno partido. 126.
125. Partido por seis. De. 126. De estas tres probabilidades. Esta es la
mayor. La estrategia es. Eh. Apostar. En la segunda jugada. Que van a
salir. Eh. Más bolas blancas. Que cero. Si salió. Una sola bola blanca.
Eh. La probabilidad. De que salgan. Más. Corresponde. A que salgan. O dos.
O tres. O cuatro. Sumando. Siempre. De que salga menor. Que sería. Cero.
Uno. 126. Y de que salga igual. Es. Veinte partido. 126. De estas tres
alternativas. La. Más. Que tiene mayor. Probabilidad. Es. X igual a uno.
Por lo tanto. Eh. Lo que. Perdón. X2. Mayor que. X1. Por lo tanto. Esta es
la estrategia. Y así sucesivamente. Aquí en rojo aparecen las
estrategias. Eh. Mayor. Menor. Y menor. ¿Cuál es la probabilidad de
ganar? Es una especie de teorema de la probabilidad total. Pero hay que
tener mucho cuidado. Eh. Aquí ahora. La verosimilitud es. Ganar dado. El
número de bolas blancas. Que haya salido. En la primera extracción. Que
sería. Esta estrategia. Y estas probabilidades. Que viene en rojo.
Mientras que la a priori. Es la probabilidad. De haber sacado. Cero
blancas. Una blanca. Dos blancas. Tres blancas. Y cuatro blancas. Por
ejemplo. Tendríamos. Si ha habido. Cero blancas. Esa probabilidad. Es uno
partido. Eh. Ciento veintiséis. Por la probabilidad de ganar. Dado que en
la primera extracción. Ha salido cero blanca. Que es. Lo que está en
rojo. En mi cuadro de decisión. Ciento veinticinco. Partido. Ciento
veintiséis. Y así. Inclusivamente. Obtenemos. Que la probabilidad de
ganar. Es más de un medio. Es aproximadamente. Del cero coma. Cinco cinco.
Dos cuatro. Es decir. Teóricamente. Como veremos. En temas sucesivos.
Interesa jugar. Interesa apostar. Porque. Uno va a tener. Más
probabilidad. De ganar. Que de perder. Comprendido. El. El segundo
apartado. Es. Si no han dicho. Eh. Que hemos ganado. Cual es la
probabilidad. De que. En la primera extracción. Hubiesen salido. Dos golas
blancas. Utilizando. La fórmula de Bayer. Tenemos que calcular. Esto.
Calculando entonces. La intersección. Y dándole la vuelta. Por las dos
formas. De calcular. La probabilidad. De la intersección. De dos sucesos.
Obtenemos. La probabilidad. Que está en el apartado. Ha calculado. Por
esta. A priori. Que es la probabilidad. De sacar dos blancas. Partido por.
Que lo acabamos de calcular. Que era ese cero coma. Cincuenta y cinco.
Aproximadamente. Que. En términos fraccionarios. Obtenemos. Que esta
probabilidad. Es cero coma. Da igual. Cero coma treinta. Setenta y cuatro.
De acuerdo. Bien. Aquí tenéis. Algunas propuestas. Para que reflexioneis.
Tranquilamente. Y saque vuestras. Conclusiones. Y para que. Digamos.
Hagáis. Más cosas. Bien. Vamos a ver. El examen último. De este curso
pasado. Que es el examen. Extraordinario. De septiembre de 2014. Solamente.
Como siempre. Pongo. La parte. Que nos interesa. Del tema. Me parece. Que
hay. Dos compañeros. Más. Que se han. Incorporado. No. Otra. Amigo. Y al.
Conmigo. Sí. Bueno. Hola. Qué tal. Bueno. Seguimos. Que no. Os había.
Bien. Vamos a ver. Cuál era el examen. Que. Posiblemente. Lo habréis
descargado. Yo. Un poco. Lo comento. Supongamos. Que tenemos. N monedas.
Idénticas. Aquí. Estoy. Hablando. Un poco. De. Independencia. En el
fondo. Que es. Un poco. Lo que veréis. Con. Un compañero. En el próximo.
Tema. Cada una. Con. Una. Probabilidad. P. De. Salir. Cara. Y. Cu. De.
Salir. Cruz. En. Un. Primer. Lanzamiento. Se arrojan. Las. N. Monedas. En.
El. Segundo. Lanzamiento. Se vuelven. A. Lanzar. Las. Monedas. Cuyo.
Resultado. Ha sido. Cruz. Sin. Tocar. Las. Monedas. Se. Dejan. Sobre. La.
Mesa. Que. Hayan. Resultado. Cada. Y. Así. Sucesivamente. Se. Van.
Tirando. Todo. El. Tiempo. Las. Monedas. Que. Quedan. De. Cruz. Y. Se. Van.
Dejando. Las. Que. Aparecen. Cara. Sobre. La. Mesa. Se. Repite.
Iterativamente. De. Tal. Manera. Que. En. El. Lanzamiento. K. Se. Lanzan.
Las. Monedas. Que. Hayan. Salido. Cruz. En. El. Lanzamiento. K. Menos. Uno.
Claro. Han. Salido. Cruz. Porque. Si. Hubiesen. Salido. Cara. No. La.
Vuelvo. A. Lanzar. En. Ninguna. De. Jugadas. Del. Momento. En. Que. Sale.
Cara. Sea. La. Primera. Según. Jugada. La. Segunda. Ya. Quedan. Inquietas.
Por. Lo. Tanto. Lanzo. Todas. Las. Cruces. De. La. Jugada. Anterior. Sin.
Tocar. Las. Monedas. Que. Hayan. Salido. Cara. Hay. Que. Pensar. Y.
Refleccionar. Un. Poco. Sobre. Esto. De. Bueno. Entonces. Vamos. A. Llamar.
X. La. Variable. Que. Indica. El. Número. De. Caras. Entre. Las. Monedas.
Tras. El. Lanzamiento. Caes. Es. La. Variable. Que. Dice. Cuántas. Caras.
Hay. Sobre. La. Mesa. Entre. Las. N. Monedas. Después. De. El. Caesimo.
Lanzamiento. Hay. Que. Probar. Que. X. Su. Ca. Siga. Una. Distribución.
Binomial. No. Es. Elemental. Es. Calcular. La. Distribución. De. X. Su.
Ca. Más. Uno. Condicionada. A. X. Su. Ca. Igual. A. J. Suponiendo. Que.
La. Jugada. Ca. Hay. J. Caras. Cuál. Es. La. Probabilidad. De. Que. En.
La. Siguiente. Jugada. Mía. Por. En. El. Examen. Solamente. Pedían. La.
Primera. Y. Después. Tenía. Otros. Datos. Que. No. Viene. Al. Cuento. En.
El. Tema. De. Hoy. De. Probabilidad. Pero. Que. Lo. Lo volveremos a ver en
temas sucesivos. Vamos a razonar un poco. Cada una de las N monedas es
lanzada sucesivamente hasta que salga cara. Por lo tanto, es como si yo
cogiese el lugar de la N moneda, tirarla de una vez, cojo una moneda y
empiezo a tirarla. Por la independencia, que era lo que yo comentaba, la
probabilidad de que en la caésima tirada salga cru, ¿cuál es? Es cru en
la primera, cru en la segunda, cru en la tercera, porque si sale cara en la
primera ya no la vuelvo a coger esa moneda, no la vuelvo a tirar. Por lo
tanto, para que salga cru en la caésima jugada es porque han salido cru en
todas las jugadas anteriores. Por lo tanto, es cru por cru, es decir, cru
por cru por cru, cru elevado a K. Ya que esto implica que todas las tiradas
anteriores, que era lo que yo había comentado, también han sido cru. Por
lo tanto, la probabilidad de que en algún momento haya salido cara es el
suceso complementario, 1 menos Q elevado a K. Pero como el lanzamiento de
la M de monedas son independientes, tenemos en definitiva que tenemos la
variable que sigue una distribución binomial N, que es el número de
experimentos de lanzamiento y la probabilidad de éxito para cada uno de
estos elementos que se tiran, en este caso cada una de estas monedas, es 1
menos Q elevado a K, con K igual a 1, 2, 3, 4... Por ejemplo, X1, ¿qué
significaría? X1 sería la probabilidad de cara después de una primera
extracción, que es N, y 1 menos Q, que es la probabilidad de éxito, que
es E. Para la distribución condicionada, supongamos que hemos obtenido J
caras en la K décima. Entonces, ¿qué significa? Que en el siguiente
lanzamiento, como tenemos J caras, lo que tenemos que lanzar es N menos J
monedas, que son todas las cruces que quedan. ¿De acuerdo? Bien. Con esto,
los posibles valores de X sub K más 1, es decir, en el siguiente
lanzamiento, serán otra vez desde J caras, ¿por qué? Porque todas han
salido cruz, es decir, no ha salido ninguna cara nueva hasta todas caras.
Es decir, las N menos J cruces que quedaron en la jugada K, las vuelvo a
tirar y salen todos. Por lo tanto, los posibles valores de la variable X
sub K más 1, estos valores R, serían J, J más 1, J más 2, hasta llegar
a N. Y esto es esta combinatoria. De las N menos J monedas que quedan por
tirar, salen R menos J caras, el resto salen cruces, es decir, N menos R,
por P elevado a R menos J caras, y por Q elevado a N menos R cruces. ¿En
dónde R va? En la variación, como he dicho, desde J hasta N. Es decir,
desde ninguna cara nueva hasta todas las que quedaban han salido caras. Y
ahora os dejo como ejercicio que calculeis la otra probabilidad
condicionada. Es simplemente una aplicación inmediata del teorema de Baye
y del teorema de la probabilidad total. Veamos un problema parecido al que
he dicho del examen del año 2008, me parece, o 2011, no me acuerdo, en
donde había un cuadro de decisiones, pero ahora utilizando, la fórmula de
Baye. Es un ejemplo aportado por mí, a ver qué os parece. Disponemos de
dos cajas, caja 1 y caja 2, que contienen respectivamente tres bolas
blancas y una negra, y dos blancas y dos negras, es decir, cuatro bolas
cada una. Se lanza una moneda con probabilidad P de salir cara, y se elige
la caja 1 cuando sale cara, y se elige la caja 2 cuando sale cruz. A
continuación se lanza la moneda y se extraen dos bolas sin
reemplazamiento. A partir del momento en que se lanza la moneda, el
resultado del experimento se desea tomar una decisión que sea coherente
con el criterio de máxima probabilidad a posteriori sobre el tipo de caja
seleccionada en el experimento. Construir una tabla de decisiones y
discutir la probabilidad de tomar una decisión correcta, es decir,
diríamos la probabilidad de ganar o la probabilidad de tomar una función
de acierto, porque en este caso la variable, todo va a depender del tipo de
moneda, de esta probabilidad P. Si P fuese igual a un medio, no habría
ninguna variable, por lo tanto la probabilidad sería directamente un valor
número. Observamos, ¿cuáles son las a priori? Aquí como siempre hay que
tener la clarividencia tal que sepamos distinguir cuáles son las a prioris
y las verosimilitudes. Bien, la a priori es elegir la caja 1 con
probabilidad P cuando sale cara, por lo tanto es P, es decir, identifico
cara con la caja 1, identifico cruz, 1 menos P o Q con la caja 2. Vamos a
llamar, B sub 2, N2, BN, como dije en otro ejemplo anterior, el suceso
obtener de una vez, vuelvo a repetir, es decir, sin reemplazamiento, dos
bolas blancas, dos bolas negras y una de cada color. Entonces, tenemos, si
han salido dos blancas, ¿cuáles son las a posteriori? Es decir, ¿cuál
es la probabilidad de que salga de la caja 1 y de la caja 2? Como siempre
hacemos, por la a priori, que es P, y la verosimilitud. La verosimilitud
sería, vuelvo a repetir, es un simple ejercicio de combinatoria, por
ejemplo, la caja 1, esta verosimilitud, ¿cuál sería? En una caja que
hay, o que posee tres bolas blancas y una negra, y elijo dos bolas de una
vez, calcular la probabilidad de obtener dos bolas blancas. Pues sería 3
sobre 2, por 1 sobre 0, partido por 5 sobre 2. Se calcula esa probabilidad,
y lo mismo para la segunda caja. Entonces, tenemos esta proporcionalidad,
que es lo único que nos interesa. Entonces, cuando la caja 1 es preferible
o más probable, que venga de la caja 2 cuando han salido dos blancas,
cuando P medio es mayor que Q sexto. Haciendo operaciones, cuando P es
mayor que un cuarto. ¿De acuerdo? Calculando, de nuevo, estas dos
probabilidades a posteriori, cuando las extracciones son dos negras,
perdón, cuando tenemos dos negras y esto es una errata, esto es N
también, N2, ¿eh? Que venga de la caja 1 y de la caja 2. Y, como la caja
1 solamente tiene una negra, este suceso es imposible. Por lo tanto,
cualquiera que sea el resultado siempre del valor de P, siempre la mayor
probabilidad corresponde a la caja 2. Y cuando es un color, o sea, una bola
de cada color, aquí tenemos las dos probabilidades a posteriori. La
proporcionalidad, como siempre, P de la priori y Q de la priori de la
segunda caja. Y, simplemente, tenéis que calcular las dos similitudes. Por
ejemplo, para la primera caja, una de cada tipo sería 3 sobre 1 por 1
sobre 1 partido por 5 sobre 2. No tiene mayor. Y aquí tenemos la
preferencia C1 a C2 cuando P es igual a 4 séptimos. Por lo tanto, P,
según la tabla de decisiones, varía entre 0 y un cuarto, entre un cuarto
y 4 séptimos, y entre 4 séptimos y 1. Por ejemplo, si salen dos blancas.
Aquí tenemos los posibles resultados del experimento. En vertical, la
columna. Y en fila, aquí tenemos los valores de P. Entonces, por ejemplo,
si salen dos blancas, y salen dos blancas, hemos dicho que la caja 1 es
más probable cuando P es mayor que un cuarto. Pues entonces, aquí sería
C1, aquí sería C1, y lo contrario de C1 sería C2, es cuando P es menor
que un cuarto. Y así intensivamente. Por lo tanto, esta tabla es la tabla
de decisiones correspondientes. Por ejemplo, si la moneda fuese legal,
aquí estaría la P igual a 1 medio, en esta segunda columna. ¿De acuerdo?
De toma de decisiones. Por lo tanto, si la moneda es legal, cogería la
caja 1 si son dos blancas, la caja 2 si son dos negras, y también la caja
2 si viene una bola de cada tipo. ¿De acuerdo? Bien. Con esta tabla de
decisiones, entonces ya estoy en condiciones de calcular la probabilidad de
tomar una decisión correcta, lo que yo he llamado la función de acierto,
o la probabilidad de ganar. ¿Cuál sería? Por ejemplo, si P es menor que
un cuarto, que lo tenemos aquí, si P es menor que un cuarto, sea cual sea
el resultado del experimento, dos blancas, dos negras, uno de cada color,
la decisión siempre es la misma, la caja 2. Pero, ¿cuál es la
probabilidad de la caja 2? La probabilidad de la caja 2 es Q. Por lo tanto,
la función de acierto sería Q, que es 1 menos P. La situación ya no es
tan clara cuando la probabilidad P, que es el dato del problema, está
comprendida entre un cuarto y cuatro séptimos, porque entonces las
decisiones son distintas dependiendo del resultado del experimento. Si
aplicamos como pasó antes con el ejemplo del cupié, la probabilidad
cuando P está comprendida entre un cuarto y cuatro séptimos sería la
probabilidad de coger la caja 1, dado que han salido dos blancas por la
obligación de dos blancas, la caja 2, dos negras, dado negra, y la caja 2,
dado una de cada color, la probabilidad de cada color. Lo único que estoy
haciendo es copiar exactamente lo que aparecía aquí, la caja 1, dado dos
blancas, dado que por la probabilidad de que sean dos blancas, la caja 2 y
así sucesivamente. Observar que aquí lo que aparece son probabilidades a
posteriori y denominadores del teorema de la probabilidad total. Por lo
tanto, sustituyendo P de C1 dado B2, ¿a qué es igual? Dándole la vuelta,
es decir, aplicando la fórmula de Bayes, sería B2 dado C1. P de C1
partido por la probabilidad de B2. Multiplicado por la P de B2, se
simplifica este y se simplifica esto. Lo mismo para los otros dos sumando.
¿Y qué tenemos? El producto de las a priori por las verosimilitudes. A
priori por las verosimilitudes. Por lo tanto, no hace falta calcular
exactamente la probabilidad a posteriori. El dato fundamental, que por eso
insistí mucho antes, es conociendo la información a priori, que es la
opinión, y las verosimilitudes, los resultados del experimento. Es decir,
¿cuál sería la probabilidad de los efectos dados cada una de las causas?
Podemos calcular cualquier situación ligada a la fórmula de Bayes.
Sustituyendo y operando, obtenemos el resultado. Operando de igual manera
en la tercera columna, es decir, cuando P varía entre 4 céntimos y 1,
obtenemos las probabilidades correspondientes. Por ejemplo, supongamos que
la moneda es equilibrada, que es una moneda legal. Entonces, la
probabilidad de que yo gane, o de tomar una decisión, o la probabilidad de
ganar, o de que la decisión que yo tome de cuál de las dos cajas sea
correcta, correspondería a la segunda rama de esta función. Sustituyendo
P igual a 1 medio, obtenemos que la probabilidad es 2 tercios.
¿Comprendido? Bien. Continuamos. Aquí tenemos otro examen de la primera
semana del curso pasado de febrero de 2014. Supongamos que yo tengo una
distinción de Poisson de parámetro lambda mayor que cero. Las
distribuciones, si no acordáis, las repasáis un poco en el texto.
Condicionada por el valor x igual a n, con n mayor o igual que cero, la
variable y tiene una distribución binomial. No hay que preocuparse de
variable y suceso porque el condicionante es exactamente lo mismo. En el
momento en que yo diga x igual a n, estoy hablando de un suceso a. Se le
puede llamar a su n, x u n, etc. Una distribución binomial de parámetros
n y p. Se supone que cuando x es igual a cero se entiende que y es igual a
cero. Determinar la probabilidad de la variable y es como si yo te pidiese
el teorema de la probabilidad total y la probabilidad condicionada de x
dado y. Por lo tanto, como siempre, lo he comentado, ¿cuáles son los
datos? Los datos son x u n, perdón, x sigue una distribución de Poisson.
La probabilidad de x igual a n es elevada a menos lambda, lambda elevada a
n, n factorial con los posibles valores de la variable. En este caso es
numerable. Y el segundo dato es la probabilidad de y dado x igual a n. Si x
es igual a n, entonces y, que en el dato del problema es una binomial,
será n sobre n por p elevado a m por q elevado a n menos n. Bien. ¿Qué
son los dos datos? En este caso n tiene que ser mayor o igual que n. Porque
el dato del problema es que siguen parámetros n y 1. Vuelvo a repetir que
la binomial que correspondería a esta expresión, la podéis ver en el
libro de texto si no os acordáis. Bien, perdón. Se sigue grabando, ¿no?
¿Me estáis oyendo? De acuerdo, vale. Bien, entonces. Teorema de la
probabilidad total. La probabilidad de y igual a n. Aplicando el teorema de
la probabilidad total. Esto es las a priori e y dado x serían las
verosimilitudes. ¿Comprendido? Que son los dos datos del problema. Luego
aquí lo único que hay que hacer es aplicar el teorema de la probabilidad
total y simplemente sumar un poco las fórmulas de combinatoria que lo
habéis dado tranquilamente en temas anteriores con compañeros tutores.
Por lo tanto, lo que hago es copiar simplemente los resultados de n sobre n
t elevado a n, q elevado a n menos n y elevado a menos lambda lambda
elevado a n y n factorial. Obtenemos sustituyendo n menos n igual a k en
lugar de sumar desde n igual a n que aparecía en el dato del problema
hasta infinito tengo haciendo n menos n igual a k la suma e desde k igual a
cero hasta infinito. Aparece de nuevo el desarrollo del número e y
obtenemos el resultado correspondiente que es una distribución de Poisson
al estilo del dato del problema pero ahora el parámetro no es lambda
estrictamente mayor que cero sino que el parámetro es lambda por p. Para
la otra distribución condicionada lo único que tenéis que hacer es
calcular como ya hemos visto en varios ejemplos la otra probabilidad
condicionada vía la fórmula de Bayes es decir, la probabilidad de x dado
y en este caso x igual a n dado y igual a n es la probabilidad de y igual a
m dado x igual a n por la probabilidad de x igual a n observar que siempre
en el numerador que es la filosofía de la fórmula de Bayes se le da la
vuelta al dato del problema esto es una posteriori del punto de vista del
teorema de Bayes esta es la verosimilitud esta es la a priori y el
denominador como siempre es el teorema de la probabilidad total obtenemos
este resultado es simplemente sustituir operar y hacer un buen uso del
combinatorio. Yo le he puesto este problema porque primero es del año
pasado, segundo utiliza distribuciones tercero aparece fórmula de Bayes y
aparece teorema de la probabilidad total y después utiliza técnicas de
combinatorio. Queda una idea un poco digamos por profundizar, lo había
dicho en la introducción del tema en la idea del método recurrente el
método recurrente en probabilidades después en su momento lo veremos en
el tema 9 para esperanzas matemáticas se utiliza normalmente el teorema de
la probabilidad total. Este teorema de la probabilidad total que aparece
reiterativamente en todos los ejercicios que hemos hecho nos da origen a
ecuaciones recurrentes. La idea es la siguiente si nosotros generalizamos
la probabilidad de la intersección de dos sucesos a 3, a 4, etc, etc la
fórmula general que en muchos libros de texto se suele llamar la fórmula
del producto es si llamamos el subíndice en orden cronológico de tiempo
pues esta probabilidad conjunta será la probabilidad del primero a 1,
probabilidad del segundo dado el primero la probabilidad del tercero dado
el primero y el segundo y así sucesivamente. Cuando la probabilidad de a
sub k que teóricamente depende desde a sub 1 hasta a sub k-1 depende
solamente, por ejemplo en el tiempo del suceso a sub k-1 o de la
extracción anterior entonces estamos hablando de una dependencia
Markoviana o de la condición Markoviana entonces bajo esas condiciones la
fórmula de la probabilidad del producto queda muy fácil porque la
probabilidad de la intersección de n sucesos quedaría el producto de n
probabilidades condicionadas menos la primera que sería a sub 1, la a sub
2 a sub 1, las estrellas de a sub 2, etc, etc Esta formulación que aparece
con cierta frecuencia en problemas de probabilidad en variables aleatorias,
etc, etc me da origen muchas veces o a través de la probabilidad de la
intersección o a través del teorema de la probabilidad total a métodos
recurrentes. Como pasó en el ejercicio que vimos en las primeras
diapositivas cuando el jugador A jugaba en la etapa impare y en la tercera
jugada si no había ganado ninguna de los dos estaba en la situación
inicial. Veamos algunos ejemplos. Ya con esto terminaríamos la sección Es
una variante que viene en el libro de texto en la página 108 y la
resolución que viene en la página 384 y 385. Siempre que cojo cosas del
texto os lo digo para que vayáis directamente. La idea es la siguiente se
tienen dos cajas A y B cada una tiene N mayúsculas bolas. La caja A tiene
una bola blanca y el resto negra mientras que la caja B son todas bolas
negras. Por lo tanto en realidad solamente estoy hablando de una sola bola
blanca. Se realizan extracciones intercambiando consistente en que en cada
una de ellas se selecciona una bola de cada caja y se introduce en la otra
intercambio de bolas. Calcular la probabilidad de que al cabo de
intercambio N pequeña la bola blanca sigue permaneciendo en la caja A.
Vamos a ver como lo planteamos Vuelvo a repetir, es importante tener una
notación clara, contundente y que sea fácil de manipular Vamos a llamar P
su N pequeña la probabilidad del suceso a su N, que después de las N
transiciones o intercambio de bolas, la bola blanca siga permaneciendo en
la caja A, que es lo que nos piden y que, vuelvo a repetir, inicialmente
estaba en la caja. Y P de V su N será de que esta bola blanca esté en la
caja B Es un tipo, por lo tanto, de dependencia Markoviana. ¿Por qué?
Porque lo que ocurra, por ejemplo en la jugada 14 cuando yo me planteo en
la jugada 14, ¿dónde está la bola blanca? ¿En la caja A o en la caja B?
Pues solamente depende de lo que haya ocurrido en la jugada 13, de que
esté en A o de que esté en B. No depende para nada ni de la etapa 1, ni
del intercambio 2 ni del intercambio 3, ni del intercambio 12. Solamente lo
que pase en la jugada 14 va a depender de 13. Por lo tanto es un tipo de
dependencia Markoviana que vamos a intentar reflejarlo ahora Y esta
probabilidad de transición solamente depende, por lo tanto, de la
anterior. Por lo tanto, lo único que tengo que hacer es aplicar una
versión del Teorema de la Probabilidad Total Como P0 vale 1, porque en la
jugada inicial la bola blanca está en la caja A es lo que nos están
pidiendo, tendremos que Pn, que es lo que nos piden la probabilidad de que
al cabo de n jugada pequeña esté en la caja A es la probabilidad de que
esté en la caja A en la jugada n dado que estuviese ahí. Por lo tanto no
sea movido por la probabilidad de que en la jugada anterior estuviese en la
caja A o de que la bola blanca estuviese en la jugada anterior en la caja B
pero que en la siguiente jugada pase a la caja A por la probabilidad de que
en esa jugada anterior estuviese en la caja B. Veamos esta probabilidad. P
pues será P según la anotación y esta probabilidad juega el papel de
verosimilitud ¿Cuál es la probabilidad? De que en la jugada n la bola
blanca esté en la caja A, dado que en la anterior estaba en la caja A para
que siga permaneciendo en la caja A en ese intercambio de cada jugada
significa que he tenido que coger una bola negra no blanca. Pero ¿cuántas
negras había en la caja A? n-1, por lo tanto sería caso favorable n-1
partido por el total. Mientras que si en la jugada anterior la bola blanca
está en la caja B para que pase a la caja A su probabilidad, cual debe de
ser caso favorable la bola blanca que había en la caja B, 1 partido por el
total de bolas que tiene la caja B, que es n por la probabilidad de que
estuviese en la jugada anterior que es 1-p sub n-1 porque p de B más p de
A vale 1 porque la bola blanca o está en la caja A o en la caja B. Fijaros
que esto juega el papel de partición p de A sub n-1 y p de B sub n-1 con
probabilidad p sub n-1 y 1-p sub n-1. Simplificando obtenemos una ecuación
recurrente que era lo que aparecía en la diapositiva anterior p sub n es
una ecuación en diferencia finita en términos de análisis matemático
que es igual a A pequeña por p sub n-1 más B en donde A es 1-2 partido n
mayúscula y B pequeña es 1 partido n mayúscula Esta ecuación
recurrente, por técnica recurrente hasta llegar a p sub 0 que hemos dicho
que vale 1, obtenemos la solución deseada, al fin y al cabo lo que tenemos
después es una progresión geométrica finita de razón A obtenemos la
solución pedida en términos de n pequeña el número de intercambio de
extorsiones y n mayúscula que es el dato del problema Esto es importante
porque muchas veces uno no se da cuenta de que el problema es mucho más
fácil de lo que uno esperaba hay que utilizar de manera recurrente,
siempre te sale una ecuación recurrente, más o menos complicada
utilizando el teorema de la probabilidad total Aquí tenéis tres variantes
para que vosotros lo reflexionéis La primera variante es un típico
problema que suele venir en muchos libros de texto Es un problema que en
lugar de hablar de cajas AIB hablo de semáforos regulados de tal manera
que cuando uno se encuentre un semáforo abierto, el siguiente lo encuentra
el 90% de las veces también abierto pero si se lo encuentra cerrado en el
80% de las veces también se lo encuentra cerrado. Si el primer semáforo
está abierto, calcular la probabilidad de que se encuentre abierto el
enésimo Observar que aquí también tenemos una dependencia como yo he
llamado de tipo Markoviano La idea, vuelvo a repetir, es aplicar el teorema
de la probabilidad total porque el mismo dato del problema te está
diciendo que lo que ocurra en un semáforo 14 por ejemplo solamente depende
de lo que haya ocurrido en un semáforo 13 que me lo encuentre abierto y
cerrado ¿De acuerdo? La segunda variante es un clásico problema de la
ruina aquí tenéis el dato me parece que al final está resuelto pero yo
lo pongo como variante para que lo reflexioneis y esta tercera variante es
la que yo os pongo para que aunque esté resuelto para que intentéis
hacerlo por vuestra cuenta es una variante que aparece en el libro de texto
también en la página 108 Cuando pongo variante significa que suelo
modificar un poco como aparece aquí en la diapositiva de la página 33
para que lo hagáis Bien, aquí hay otro problema de recurrencia que es un
examen de septiembre del año 2010 Yo solamente os digo la idea porque como
siempre la manipulación es exactamente la misma Los datos del problema son
probabilidades a priori, probabilidades condicionadas y después hay que
aplicar el teorema de la probabilidad total En este caso tenemos
recurrencia exactamente la misma Esta variante es al estilo del problema
que hemos desarrollado tranquilamente en el ejemplo anterior Es un poco
más complicado pero la idea es exactamente la misma Como está colgado
después en la plataforma pues no tenéis mayor problema para volverla a
visualizar Aquí tenéis el problema de la ruina que yo os he propuesto y
aquí tenéis también más alternativas una pequeña variante del
ejercicio 6-12 que viene en el libro de texto Esto ya es para que lo
trabajéis Este es otro que quiero un poco comentar con vosotros algunas
ideas y esto es de febrero de 2000 de la primera semana y esta es otra
variante para que lo hagáis Lo dejo en blanco para que vosotros intentéis
En cualquier momento con que me digáis qué diapositiva hay podéis
comunicarme a través del correo a través de la plataforma a través de la
tutoría por si tenéis alguna duda No quiero ser más pesado llevo casi
hora y media entonces si tenéis alguna duda me lo comentáis ¿Me
escucháis? Sí, vale Vamos a ver ¿Tenéis alguna duda? ¿Queréis hacer
algún comentario? Os ha resultado interesante difícil mucho contenido por
eso digamos las tres o cuatro últimas diapositivas no he querido seguir
incluyendo quiero que me lo digáis con tranquilidad y sin mayor problema
Interesante Gracias García Está claro, ¿no? Pues bien, con mucho gusto
Yo, digamos, siempre lo hago con ilusión suelo cambiar perdón suelo
cambiar todos los años aunque yo normalmente doy este tema pero voy
actualizando con los exámenes últimos que haya para darle mayor dinamismo
De modo que, nada, encantado y nos veremos ya a mitad de diciembre para
trabajar el tema 9 que es también muy interesante El 9 y el 10 son los que
yo daré Muchas gracias a vosotros y encantado Buenas noches