Buenas tardes. ¿Sí? Dígame. No, no es. No, no, no es. Estoy hablando en
una conferencia, por favor. Bien, perdón. Buenas tardes. Hoy vamos a
hablar del tema número 10. Sería como una continuación del tema número
9 que vimos el año pasado, el año a todos, de la esperanza matemática.
¿Os acordáis? Bueno, pues hoy lo que hacemos es cómo analizar las
distribuciones de probabilidad mediante unas ciertas características
numéricas. Esas características numéricas, voy a hacer el título del
tema, que es el análisis descriptivo. Lo importante de este tema es ver
cómo pequeñas informaciones numéricas nos van a resumir un poco. La
distribución sobre la cual estamos trabajando. O la distribución sobre la
cual nosotros, a la hora de trabajar en un problema, aparecen sus
probabilidades. Pues una cosa es la distribución de probabilidad y otra
cosa es sintetizar la información en tres o cuatro características
numéricas. Aquí, como siempre, aparecen los ítems correspondientes a
cada uno de los apartados del tema. La función generatriz, como bien
sabéis, no se lleva. Os lo recomiendo, como siempre que lo leáis. Pero yo
no la voy a tratar. Bien. Como siempre, comentamos un poco el esquema
teórico para poder hacer frente al resto del tema. Partimos de una
variable X con una cierta distribución discreta conocida. Y lo que se
pretende en este tema es resumir la información que posee esta
distribución mediante algunas características numéricas. En todo lo que
sigue vamos a suponer que la serie sobre la cual vamos a trabajar existe,
es decir, que la serie es convergente. Nosotros ya hemos visto, como he
dicho antes, un concepto importante, es el más popular, pero no es el
único, que es el concepto de esperanza matemática. La generalización
viene dada por el concepto de los momentos. Hay dos grupos de momentos, los
momentos ordinarios, que corresponden a la variable X. La variable elevado
a K, el momento de orden K, sería el sumatorio, los valores que toman por
las probabilidades con que los toman. Pero la variable está elevada a K.
Cuando K es igual a 1, os acordáis, entonces aparece el concepto de
esperanza matemática. Por lo tanto, lo que hacemos es generalizarlo. El
momento ordinario de orden K. El momento de orden 0 vale 1 porque X sub n
elevado a 0 es 1 y la suma de las probabilidades vale 1. Por lo tanto, no
tiene ninguna información. Es decir, ¿cuál es el momento? El momento
ordinario más pequeño que da alguna información, el momento de orden 1,
que es la esperanza matemática. En la página 192 del libro de texto
aparece un resultado bastante interesante. Y es que si existe el momento de
orden K, entonces existen todos los momentos de orden inferior a K. Es
decir, si existe el momento de tercer orden, entonces existe el momento de
orden 2 y el momento de orden 1. Los momentos centrales, como su propio
nombre dice, es calcular una esperanza de la variable respecto de alguna
constante. En este caso la constante es la esperanza matemática siempre y
cuando exista, lógicamente. Por lo tanto es la esperanza de la variable
menos la constante que es mu o la esperanza de x, todo elevado a k. Por lo
tanto el sumatorio de x sub n menos la media, todo elevado a k por las
probabilidades correspondientes. El momento central de orden cero vale uno,
por lo tanto no da información. Uno significa que estoy repartiendo la
masa unidad, es decir, la distribución de probabilidades sobre los puntos
discretos. El momento mu sub uno que vale cero y el momento de segundo
orden central, el mu sub dos, es precisamente el concepto de varianza. Por
lo tanto es el primer momento que posee algún tipo de información. El
momento más pequeño, central, que da alguna información. La información
es la varianza. Por lo tanto los dos momentos más populares es la
esperanza matemática, n sub uno y la varianza mu sub dos. Son los dos
momentos más, digamos, más importantes. ¿Por qué? Porque en realidad a
la hora de analizar las características numéricas tendríamos como dos
grandes grupos. Que son las medidas de centralización, que es resumir toda
la información en un solo grupo. Punto, por llamarlo algún solo valor,
por ejemplo la esperanza matemática, hay más como ahora veremos, y los
momentos de dispersión. La idea de dispersión es como una especie de
distancia que hay respecto de cada uno de los datos observados o de la
distribución o de los valores de la variable respecto de un valor central,
que por ejemplo puede ser la esperanza matemática. Podemos calcular esa
dispersión respecto de otra medida de centralización. Esta dispersión es
muy importante porque puede suceder que tengamos distribuciones que poseen
la misma media y sin embargo la dispersión, por ejemplo la varianza, y la
raíz cuadrada de la varianza es la desviación típica, siempre con signo
positivo, lo que nos mide es en media cuál es la distancia o dispersión,
como su propio nombre dice, de los valores de la variable o los datos
observados respecto de esta medida que la representa. Continuamos. Bien,
hay una relación fácil, no voy a profundizar en ella, es que los momentos
centrales se pueden observar. Los podemos obtener en función de los
momentos ordinarios, de orden k, es decir, mu sub k es una función de m1,
m2, mk. Si existe mk, existen todos los momentos de orden inferior a k y
por lo tanto mu sub k, es decir, que hay una relación inversa. Para K
igual a 2 es fácil observar cómo la forma más fácil de calcular la
varianza de una variable es calcular el momento ordinario de segundo orden
y restarle la esperanza o la media al cuadrado. De ahí que la varianza sea
la esperanza del cuadrado menos el cuadrado de la esperanza. Por lo tanto,
la varianza es siempre mayor o igual que cero porque tener en cuenta que la
varianza ser un momento de segundo orden entonces estamos elevando al
cuadrado las distancias. Por lo tanto, siempre es algo no negativo. Esto es
importante tenerlo para saber que la varianza a la hora de hacer un
ejercicio siempre tiene que ser no negativa. El que la varianza sea igual a
cero, que es posible, significa que todos los valores observados coinciden
en un solo punto que es precisamente la media. Eso es lo que se llama una
distribución degenerada al casual. Hay otras medidas también, que
aparecen en el libro, por lo tanto no voy a insistir mucho. El coeficiente
de variación. La variación es otra medida de dispersión, pero no posee
unidades. Es el cociente entre la desviación típica, vuelvo a repetir, la
raíz cuadrada de la varianza, partido por la media en valor absoluto, el
signo no aparece. Este coeficiente de variación es el variante por
homotexias, es decir, multiplicar la variable por un cierto valor, por
ejemplo. La variable x y la variable a por x poseen el mismo coeficiente de
variación. La desigualdad o el teorema de Conning lo que viene a decir es
que si yo calculo la dispersión de una variable respecto a la variación,
respecto de una cierta constante a y la lego al cuadrado, el mínimo de la
función q de a se alcanza cuando este valor a se toma respecto de la
media. Por eso precisamente cuando a es la esperanza matemática, la
función q de a toma el valor mínimo y es precisamente la varianza como he
dicho antes. Es decir, que tiene su sentido la variante. Y la desigualdad
de Chebiché que aparece en la página 195-96 del texto, hay que saberla
interpretar. Es decir, todas las características numéricas se supone que
yo las voy a saber calcular porque conozco la distribución de
probabilidades. Es decir, conociendo la distribución de probabilidad,
conozco las características numéricas. Pero muchas veces no conozco la
distribución de probabilidad, pero conozco algunas características
numéricas. Entonces, por ejemplo, supongamos que yo conozco la media, mu,
y la, es decir, la esperanza matemática, y la desviación típica, sigma.
Entonces, eso no significa que yo pueda calcular la distribución de
probabilidad, por lo tanto, calcular probabilidades de suceso. De que la
variable x esté comprendida entre 3 y 8, o que la variable x sea mayor que
5,4, etcétera, etcétera, etcétera. Pero sí puedo dar una cota para
calcular la probabilidad de un suceso. Esta cota es una cota inferior.
Posterior, que viene dada en esta expresión, que viene en el libro. La
probabilidad de x menos la media en valor absoluto es estrictamente mayor
que k veces la desviación típica. Esto tiene una cota superior, que es el
inverso de k al cuadrado. k, lógicamente, tiene que ser un número mayor
que 0. Evidentemente, para k igual a 1 no tiene sentido, porque lo que te
dice es que esta probabilidad es menor o igual que 1, o con una obviedad,
toda probabilidad de cualquier suceso es un número comprendido entre 0 y
1. Continuando. La demostración del teorema de Codini se basa en este
teorema de acotación general, que también aparece en el libro y que no
voy a incidir. Después aparecen una serie de medidas de simetría y de
apuntamiento. La idea de simetría y de apuntamiento, como viene también
en el libro de texto, es si la distribución es más o menos asimétrica.
Por ejemplo, una distribución simétrica, como veréis en el tema número
11, en la famosa campana de Gauss o distribución normal. Pues bien, puede
ser asimétrica a la derecha, asimétrica a la izquierda, etcétera,
etcétera. Pero viene dada en función del momento central de orden 3 que
te permite que sea valores positivo o negativo. Acordaros que el momento de
orden 2, al ser la variable elevada al cuadrado, solamente toma valores no
negativos. Partido por sigma elevado al cubo, simplemente la idea es que
gamma de 3 no posea unidades. Y el coeficiente de apuntamiento lo que te
dice es que la distribución sea más o menos aplastada. Es decir, una
campana más puntiaguda o más esbelta o menos alta. Y el coeficiente de
apuntamiento viene dado en términos de los momentos centrales de orden 4.
Vuelvo a repetir, en este caso se divide por sigma elevado a la cuarta para
que este cociente no posea unidades. Y se le resta 3 porque el coeficiente
de apuntamiento de la distribución normal vale 3. Con lo cual, el
paradigma de comparación es gamma 4 igual a 0 para la distribución
normal. Según sea positivo o negativo, es más o menos apuntada que la
normal. Esa es un poco la génesis y la idea. No tiene mayor importancia.
No tiene mayor importancia y en cualquier manual aparece. Bien, un segundo
punto importante. Hemos visto ya las distribuciones unidimensionales, pero
también aparecen las distribuciones discretas bidimensionales. Por lo
tanto, de igual manera aparecen los momentos de una distribución conjunta.
Una distribución conjunta puede ser una distribución de dimensión n, es
decir, un vector discreto x1, x2, xn. En este caso, lo normal que se
trabaja inicialmente, además es pedagógico trabajar de esta manera, es
con una distribución bidimensional x1, x2 o un vector xy. El momento
ordinario mixto se llama de orden rs y la esperanza de x elevado a r por,
no he puesto el punto obviamente para no complicar la anotación, por y
elevado a s. Y r y s varían entre 0, 1, 2, etc. Cuando s vale 0 tenemos
los momentos de la variable x, los momentos ordinarios como hemos visto
antes. Y cuando r vale 0 tenemos los momentos para la variable y, por lo
tanto es fácil calcular 1, 2, 3. De igual manera tenemos el momento
central mixto, en lugar de mu sub k como antes es mu rs. De tal manera que
el 1, 0 y el 1, 0 son los momentos de la variable x. El 0, 1 que
corresponden a variables unidimensionales vale 0. El 2, 0 son la varianza
de x y el 0, 2 la varianza de x. Pero el momento mixto central más
importante de todo es cuando r vale 1 y s vale 1. Que es el concepto de
covarianza, que es la esperanza de la variable menos su media por la
variable y menos su media. Evidentemente, como aquí estamos hablando de
dispersión pero no está elevado al cuadrado, la covarianza puede tener...
La covarianza puede tomar valores positivos o incluso valores negativos.
Cualquier valor real puede tomar la covarianza. Haciendo operaciones es muy
fácil ver cómo esta definición a efectos prácticos, la covarianza es la
esperanza del producto, es decir, m1, 1 menos el producto de las
esperanzas, es decir, la esperanza de x con la esperanza de x. La
covarianza, el significado importante, lo digo porque a la hora de
calcularlo hay que saber qué es lo que estamos calculando y evitar
aprender cosas de memoria. La covarianza lo que me da es una idea numérica
de la variación conjunta, de ahí el concepto de covarianza, variación
conjunta de las variables. ¿Cómo varía? Por eso la covarianza es
negativa cuando una variable va en una dirección, por ejemplo, aumenta, la
otra variable disminuye. Mientras que la covarianza es positiva cuando las
dos variables van en la misma dirección, es decir, cuando una de las
variables X, por ejemplo, aumenta, la variable Y aumenta y viceversa. La
variable X disminuye, entonces la variable Y disminuye. Un caso importante
es cuando la covarianza vale cero. Entonces decimos que las variables...
Las variables X e Y son variables incorreladas. Pero la covarianza tiene un
problema y es que se ve afectada bastante por las transformaciones
lineales. Y nosotros lo que queremos es tener unas medidas que me expliquen
la relación o la mayor o menor dependencia, esa covariación conjunta, que
existe entre las variables X e Y. Y que no posea unidades y que esté
acotada para, digamos, poderlo comparar. Ese es el concepto. El coeficiente
de correlación. Rho de X y Y es el cociente de la covarianza partido por
el producto de las desviaciones típicas de las dos variables. De hecho, si
podéis calcular, os invito a que lo demostréis, es como calcular de nuevo
la covarianza pero de las variables tipificadas. Por lo tanto, si las
variables están incorreladas, la covarianza vale cero y por lo tanto, rho,
el coeficiente de correlación, vale cero. Si las variables son
independientes, como habéis visto en el tema número 8, entonces la
covarianza vale cero porque ya sabéis que si la independencia implica
entonces que la esperanza del producto es el producto de la esperanza, con
lo cual la covarianza al sustituir valdría cero. Pero no necesariamente al
contrario, es decir, la independencia de variable implica que las variables
sean incorreladas, pero el hecho de que las variables sean incorreladas no
necesariamente implica que las variables sean independientes. ¿De acuerdo?
Bien, ¿qué le pasa al coeficiente de correlación? Primero, no posee
unidades, cosa que ya hemos logrado y es interesante para poderlo comparar.
Segundo, este coeficiente de correlación es un número, por lo tanto,
abstracto, sin unidades, comprendido entre menos uno y uno. El hecho de
negativo, es decir, tan menos 0,9 y 0,9 significan exactamente lo mismo. Lo
único que ocurre es que te dice si esa covarianza es positiva o negativa,
porque la covarianza y el coeficiente de correlación poseen el mismo
signo. Lo único que hemos hecho es dividir por el producto de las
desviaciones típicas con el objeto de normalizar y que el valor de error
de esa dependencia lineal que hay entre las variables esté acotado en el
intervalo menos uno, uno. ¿De acuerdo? Cuanto más cerca esté de menos
uno o de menos uno, la dependencia es más fuerte. Cuanto más próximo
esté a cero, tenemos que tiende a la incorrelación. Bien, veamos un par
de ejemplos. Observar. Vamos a ver cómo la incorrelación no implica
independencia. veamos, supongamos una variable x que toma solamente tres
valores el valor menos uno, el valor cero y el valor uno con esas
probabilidades p1 menos 2p y p respectivamente y supongamos que defino la
variable y igual valor absoluto de x entonces cálculos elementales os
sirve como ejercicio yo os doy ya la solución la esperanza de x es cero la
varianza de x es 2p y ahora la variable y al ser igual al valor absoluto de
x pues solamente toma dos valores el valor uno que es para x igual a menos
uno y x igual a uno es decir 2p y el valor y igual a cero la esperanza de y
vale 2p, la varianza de y ahí lo tenemos ¿y cuál es la bidimensional?
pues la variable xy, el vector xy toma el valor menos uno uno el valor cero
cero y el valor uno uno que ahí lo tenemos si calculamos la esperanza de x
por y es muy fácil calcularla aquí sería la esperanza de x por y menos
uno por uno por su probabilidad que es p más cero por cero que no hay que
hacerle caso más uno por uno por probabilidad de p eso obtenemos cero por
lo tanto la covarianza vale cero y por lo tanto el coeficiente de
correlación vale cero es decir, las variables son incorreladas pero la
tentación es decir que son independientes cuando es todo lo contrario
existe una relación funcional total entre las variables x y y ya que y es
una función determinística de x es el valor absoluto solamente hay un
caso en donde la independencia y la incorrelación se verifica y es el caso
de que las variables x y y sean dicotómicas es decir, dicotómica es una
distribución rectangular que solamente toma o uniforme discreta que
solamente toma dos valores supongamos que x toma el valor x1 y x2 estoy en
el ejemplo 2 y la variable y toma el valor y sub 1 y sub 2. Lo que aparece
dentro de este cuadro son las probabilidades conjuntas, es decir, la
probabilidad de la variable x1 y sub 1 es a, la probabilidad de la variable
x1 y sub 2 es p sub 1 menos a, y así sucesivamente. Al sumar por fila
obtenemos que la variable x1 toma el valor, perdón, la variable x toma el
valor x1 con probabilidad p sub 1 y el valor x sub 2 con probabilidad p sub
1, p sub 1 más p sub 1 es igual a 1. Una vez calculado y descrito el
cuadro de doble entrada, pues como siempre calculamos la esperanza de x, la
esperanza de y, la esperanza de x por y, que sería por ejemplo x sub 1 por
y sub 1 por a, más x sub 1 por y sub 2 por p sub 1 menos a, y así
sucesivamente, y decimos cuando la covarianza es 0, si y solo si, la
esperanza del producto es el producto de la esperanza, como tenemos la
esperanza del producto, despejando tenemos cuando a es igual a p sub 1 por
p sub 2, sustituyendo a por p sub 1 por p sub 2, entonces obtenemos la
condición que viste ahí de independencia en el tema anterior. Cualquiera
que sea el valor x sub 1 y x sub 2, y sub 1 y sub 2, la probabilidad
conjunta podéis observar se factoriza en la probabilidad de x sub i por la
probabilidad de y sub j con y sub j variando de 1 a 2. Es un caso muy
extremo en donde si se verifica, se verifica la relación entre
independencia e incorrelación. Pero vuelvo a repetir que en general no se
verifica. Para terminar un poco el esquema teórico, introducimos,
apareció en uno de los exámenes me parece del año pasado, la matriz de
varianza y covarianza. Es una matriz semidefinida positiva y simétrica, la
podéis ver en la página 202 de la demostración, en donde en la diagonal
principal aparecen las varianzas y en la otra diagonal aparece la
covarianza. La covarianza de xy o la covarianza de yx, exactamente la misma
xy, de ahí que sea una matriz simétrica. Además al decir que el
coeficiente de correlación es más uno o el coeficiente de correlación es
menos uno, es equivalente a decir que cada una de las variables es función
de la otra. Es decir, si por ejemplo ro vale exactamente igual a uno, lo
que estoy diciendo es que y es una función lineal de la variable x. Si es
menos uno, es una función lineal con la pendiente negativa. ¿Y cuál es
una recta de regresión? Porque la idea del tema es, si estamos trabajando
con dos variables y hemos calculado un valor numérico, que es en realidad
el título del tema, en donde me alude y me calcula la mayor o menor
dependencia de las variables entre x e y, un problema muy interesante, que
al fin y al cabo es uno de los más importantes en estadística, es
estimar. O relacionar estadísticamente hablando, no estamos hablando de
análisis matemático, que es una relación determinística, aquí estamos
hablando de una relación estadística. Estimar una variable y en función
de la otra. Hay dos métodos. O exigir la relación entre y y x, entre x e
y, son dos rectas. la recta de y sobre x y la recta de x sobre y mediante
una recta, mediante el método de mínimos cuadrados. Es calcular la
esperanza de y menos la recta que vamos a llamar a más bx todo elevado al
cuadrado y hacer que esto sea mínimo. Para ello hay que estimar, no
calcular vuelvo a repetir, estamos en estadística a y b. Mediante el
método de mínimos cuadrados calculando los mínimos, la estimación de b
es la covarianza partido por la varianza de x que es precisamente la
pendiente de la recta y a, la estimación de a que aparece con a gorrito
viene dado por ahí. De esa manera sustituyendo a y b obtenemos la recta de
regresión que es muy fácil de memorizar, entre comillas. La variable y
menos su media es igual a la covarianza partido por la varianza la variable
x menos su media. Por eso la pendiente es la covarianza partido por la
varianza. La varianza residual sería el error que yo cometo como la
varianza del error. El error viene a ser la distancia que hay entre el
valor y su estimación que viene dado por la recta. Es decir, la diferencia
entre y y a más bx ese es el error o el residuo como el pozo que queda al
hacer un café. Esto es una variable aleatoria y la media vale cero. La
esperanza de e podéis contrastarlo y podéis calcularlo. La esperanza de e
en el error o el residuo, esta esperanza vale cero, por lo tanto la
varianza es el momento de segundo orden cuando la media vale cero que por
eso se calcula. Es igual a la varianza por uno menos rho al cuadrado. ¿De
acuerdo? Por eso, si ρ vale 0, la varianza residual es máxima, que es la
varianza de Y. Y si ρ vale 1, es decir, tenemos una dependencia
estadística perfecta, entonces la varianza residual, observar que vale 0.
Coincide perfectamente el sentido común con lo que nos va dando un poco la
normativa del tema. De igual manera, intercambiando el papel de X e Y,
obtenemos la recta de regresión de X en función de Y. No vale darle la
vuelta a la recta de Y sobre X, son dos rectas distintas. Podéis también
comprobar que estas dos rectas se cruzan en un centro de gravedad, es
decir, en la media de X y en la media de Y. Y después tenemos lo que
serían las curvas de regresión. ¿Qué es una curva de regresión? Pues
no exigirle que la relación entre X e Y sea una recta. No imponerla, sino
ver cuál es la óptima relación que hay entre X e Y. A lo mejor la
óptima no es la ecuación de una recta, a lo mejor es una parada. O la
función de tercer grado, un polinomio, una función racional, la que sea.
Estas curvas generales de regresión, de nuevo hay dos, Y sobre X y X sobre
Y. Son las esperanzas condicionadas, cosa que vimos, si os acordáis, en el
tema número 9, incluso que yo planteé algunos problemas. Y incluso ya
adelantaba el nombre de curva de X sobre Y y la curva de Y sobre X. Para
calcular, por lo tanto, las curvas de regresión tenemos que calcular las
distinciones condicionadas. ¿Ves? Continuamos. Para terminar este esquema
teórico, ¿cuáles son otras medidas de centralización, posición y
dispersión? Pues tenemos la moda, que es aquel valor de la variable, aquel
valor observado, para el cual su probabilidad es máxima. Es decir, en un
diagrama de barra, el valor de la variable cuya barra sea máxima. La
mediana es una medida de posición, es aquel valor de la variable, es
decir, observado. ¿O acordáis que la media no necesariamente era uno de
los valores observados? En donde la probabilidad de X menor o igual que la
mediana es mayor o igual que un medio, y la probabilidad de X mayor o igual
que la mediana es mayor o igual que un medio. ¿De acuerdo? Es decir,
vendría a ser como aquel valor de la variable que deja a la izquierda y a
la derecha el 50% de los datos. Pero siempre para calcular la mediana hay
que trabajar con los valores de la variable de forma creciente, de menor a
mayor. La caracterización de la mediana ya es distinta al teorema de Kony.
La caracterización de la mediana es que si en lugar de calcular X menos A
elevado al cuadrado, calculo X menos A el valor absoluto, el valor A que
hace mínimo esta dispersión, de ahí pongo el nombre de función D, es
precisamente la mediana. Y el valor de X menos M mayúscula se llama la
desviación mediana. Viene en el libro también. ¿Y si yo en lugar de
calcular... Si yo en lugar de calcular la esperanza a la variable X menos
la mediana le vuelvo a calcular la mediana, obtenemos otra medida de
dispersión muy popular y muy importante que se llama la mera o desviación
probable. Una generalización de la mediana es el cuantil. El cuantil es
aquel valor de la variable... Esto está... Esto... ¿Está mal? Lo que he
hecho es cortar y pegar. Es P, lógicamente. El cuartil de orden P es aquel
valor en donde por la izquierda es menos igual que P y por la derecha es
mayor o igual que P. Cuando P vale un medio, este cuartil de orden un medio
es precisamente la mediana. Lo más popular es cuando P vale un cuarto, que
se llama el cuartil inferior, o cuando P vale tres cuartos, que se llama el
cuartil superior. Una medida de dispersión es el recorrido
intercuartílico, es decir, la distancia que hay desde el cuartil inferior
al cuartil superior, cuya probabilidad es un medio porque, digamos, deja a
un lado desde el valor inferior un cuarto, que es el 25%, y desde el valor
superior tres cuartos, que es el 75%, hasta el 100%. Bien, continuamos.
Veamos un pequeño ejemplo de estos datos que hemos visto. Cojo dos dados y
observamos su resultado X1 y X2. Tenemos que calcular la desviación
mediana y la media de la variable rango. ¿Qué es el rango? El rango es el
máximo menos el mínimo. Por lo tanto, si X es el máximo menos el
mínimo, y podéis comprobar lo que es la diferencia en valor absoluto, de
los 36 casos posibles, tenemos que la variable X toma los 50%. ¿Cuáles
son los siguientes valores? O 0, o 1, o 2. Por ejemplo, ¿cuándo toma el
valor 1? Cuando sale 4 o 5, o 5 o 4. Da igual porque, aunque sea negativo,
es en valor absoluto. El máximo menos el mínimo. Aquí tenéis la
distribución de probabilidad ya calculada, o aconsejo como ejercicio que
vosotros rehagáis, y vamos a calcular la mediana. Por ejemplo, observar
que para X menor o igual que 1 es 16, 6 más 10 es menor o igual que un
medio, pero para X menor o igual que 2 ya suma 24 partido de 36, que es
mayor o igual que un medio. Por lo tanto, la mediana es 2. En el cálculo
de la mediana tenemos esto. La media, trivialmente, en la esperanza
matemática, es 35 partido por 18 que es un poquito más pequeña que la
mediana. Vamos a ver cómo calculamos la desviación mediana. Tenemos que
calcular la distribución de probabilidad de una nueva variable y que es x
menos la mediana de x. En este caso, como la mediana de x es 2, pues
tenemos que calcular la ley de probabilidad de una variable que es x menos
2, el valor absoluto. ¿De acuerdo? Por ejemplo, ¿qué significa que la
variable y toma el valor 0? Pues cuando la variable x toma el valor 2. Por
lo tanto, igual a 0 con probabilidad 8 partido de 36 que coincide con un 2.
¿Cuándo la variable y toma el valor 1? La variable y toma el valor 1
cuando x toma el valor 3. Aquí lo tenemos, 6. O cuando x toma el valor 1,
que es 10. 1 menos 2, que es menos 1, el valor absoluto 1. Y 3 menos 2. 1.
Sumando estas dos probabilidades tenemos 16 partido de 36. De igual manera,
el resto. Por lo tanto, ya tenemos aquí la distribución de la variable x,
que como siempre, os aconsejo que comprobéis que la suma vale 1. Veamos,
como para y menor o igual que 0 es 8 partido de 36, que es menor o igual
que 1 medio. Y para y menor o igual que 1, tengo que sumar 8 partido de 36
y 16 partido de 36, es 24, que ya es mayor o igual que 1 medio. Entonces,
la mediana de la variable y es 1. Con lo cual, la medida de la variable x
es 1. Por lo tanto, tenemos ya la medida de dispersión de la variable x,
que es la medida que vale 1. ¿De acuerdo? Y la desviación... La mediana
es simplemente calcular la media de la variable y, la esperanza de la
variable y, la esperanza de x menos 2 en valor absoluto. Es 7 partido por
6. ¿De acuerdo? Tenemos aquí entonces un ejercicio donde utilizamos para
calcular. Hay que construir la distribución, típicos problemas de
exámenes, hay que calcular la mediana, hay que calcular la desviación
mediana, hay que calcular la media y todo eso implica ir construyendo
distribuciones de probabilidad a partir del dato original. Bien, os
propongo como ejercicio considerar la distribución geométrica de
parámetro p. Se viene en el libro, es fácil. ¿De acuerdo? p por q
elevado a n menos 1, p más q vale 1. Y demostrar que la desviación media
vale esto y la desviación mediana vale esto. Y en general la desviación
para un cierto valor de t, aquí la t vale mu, que es la esperanza
matemática, y aquí la t vale la mediana que es el mu. Este corchete
significa la parte entera y mu la esperanza matemática. Os lo dejo como
recto. Y ejercicio para que os sirva un poco de práctica. Bien, y
terminamos. A la hora de calcular las curvas generales de regresión, el
probar, o lo mejor también la demostración viene aquí, por lo tanto no
voy a insistir, cómo es posible calcular la esperanza del producto.
Acordáis que es un momento ordinario mixto, el m1,1. Es posible calcularlo
a través de la esperanza de x por la esperanza de y dado x. Muchas veces
es mucho más fácil calcular la esperanza del producto a través de esta
expresión, aunque haya que calcular la curva general de regresión, la
esperanza de y dado x, que calcular la esperanza de x por y de manera
directa. Esto se refleja en que la covarianza también se puede calcular
directamente calculando la covarianza de x y en lugar de y, la esperanza de
y dado x. La demostración viene aquí abajo, por lo tanto no voy a
insistir más sobre ella. Es bastante trivial. Bien, pues entonces ahora ya
vamos a profundizar un poco más viendo algunos ejercicios. Como siempre,
en los que había ejercido toda la webconferencia, en amarillo aparece el
enunciado y después aparece un poco la resolución y el comentario.
Perdón. Se lanza en el veces una moneda con probabilidad p de salir cara.
Yo normalmente lo que hago es generalizar. Y según el número de caras
sostenidas, se lanza igual número de veces la misma moneda. Si es el
número de caras sostenidas en este segundo experimento, se pide obtener la
distribución conjunta, probar que y sigue una binomial, cosa que ya vimos
en un tema anterior, me parece que era el tema número 6, calcular el
número esperado de caras en el segundo experimento y ya las novedades.
Obtener la curva general de regresión de y sobre x, el coeficiente de
correlación y la distribución de x dado y. Y su curva. Bastante amplio,
pero es para que tengáis siempre material para ir trabajando. Bien, el
dato del problema es que yo tengo una distribución binomial n, p. Lanzo en
el veces la moneda. Y la distribución condicionada es de nuevo una
binomial, pero el número de veces que lanzo la moneda por segunda vez
depende del número X de cara que haya salido en la primera. Por lo tanto,
es una binomial XP. Por lo tanto, la Y como máximo tomará el valor X. Es
decir, la Y es 0, 1, 2, X. Con X variando, lógicamente, desde 0 hasta Y.
Por lo tanto, la conjunta, os acordáis, es el producto de la condicionada
por la marginal. Y, por lo tanto, es el producto de estas dos binomiales
que haciendo operaciones obtenemos esto. Con la Y variando desde 0 hasta X
y la X variando, lógicamente, desde 0 hasta Y. Vimos en el tema anterior
que la distribución marginal de la variable Y, lo único que tenemos que
hacer es sumar aquí un X. Fue un trabajo que hicimos en el tema anterior.
Es una distribución también binomial, pero no de parámetro NP, sino de
parámetro N por P al cuadrado. Por lo tanto, la esperanza de la variable
Y... Y es la media de la binomial NP al cuadrado. Por lo tanto, es el
producto de los dos parámetros N por P al cuadrado. Pero que también es
la esperanza de Y dado X. Como Y dado X es una binomial, la esperanza de Y
dado X es producto de las dos. Es decir, X por P. Y si a X por P, X por P,
le calculo de nuevo la esperanza matemática. Como P es una constante, me
queda P por la esperanza de X, que es N por P. Y de ahí que obtengamos...
La esperanza de Y, que es N por P al cuadrado. Pero aquí ya es importante,
porque la esperanza de Y dado X... que es x por p, es la curva general de
regresión de y sobre x, tal como hemos visto cuando vimos anteriormente
las rectas de regresión y las curvas de regresión. Continuamos. Como la
curva en este caso es una recta, como acabo de decir, para calcular el
coeficiente de correlación lineal observamos lo siguiente. ¿Cuál es la
pendiente de la recta de regresión? P. Por lo tanto, en la pendiente, os
acordáis que era b gorrito, la covarianza partido por la varianza es p, de
donde la covarianza es p por la varianza. Pero la varianza de una binomial
es muy fácil, es p por q y por n, es decir, p por 1 menos p y por n. Por
lo tanto, la covarianza es p cuadrado por q y por n. La varianza de y, como
y es una variable también binomial, pues p cuadrado por 1 menos p cuadrado
que actúa de q por n. Por lo tanto, el coeficiente de correlación,
sustituyendo y simplificando convenientemente, obtenemos el valor de la
variante. Este es el valor que aparece, que es la raíz cuadrada de p
partido por 1 menos p. Observar cómo la covarianza es positiva y, por lo
tanto, el coeficiente de correlación es positivo. También podríamos
haber utilizado lo que he dicho antes en la diapositiva número 11 de la
esperanza de x por y, la esperanza de x por la esperanza de y dado x, que
la tenemos aquí, que es p por x, que es muy fácil. Aquí tenéis de nuevo
la otra distribución, no la de y dado x, sino la de x dado y. Y obtenemos
que esta es una binomial. Por lo tanto, la esperanza de X dado Y en la
media de la binomial, que es el producto de los dos parámetros, obtenemos
de nuevo la otra curva general de regresión, la esperanza de X dado Y, que
solamente depende de Y y por lo tanto es también una recta. Es decir, en
este problema la curva y la recta coinciden, tanto la de Y dado X como la
de X dado Y. Bien, vamos a ver otro problema. Se lanzan dos dados de manera
independiente, sea X el máximo valor obtenido e Y la mínima puntuación
obtenida. Obtener la distribución conjunta y las marginales. Calcular las
medias y las varianzas de X e Y y obtener las dos curvas generales de
regresión y así como el coeficiente de correlación. Lo primero a
observar es que tanto X como Y no son independientes. Las variantes de X y
Y son independientes. Las marginales se pueden obtener directamente o bien
a través de la conjunta. Directamente me parece que las calculamos en su
momento en el tema número 9 para calcular esperanza matemática. Sea X1,
X2 el resultado del primer lanzamiento y del segundo. Entonces la función
de distribución conjunta es máximo menor o igual que X, mínimo menor o
igual que Y. Esto haciendo operaciones como el mínimo menor o igual que Y,
lo mejor es que si yo pongo el mínimo mayor que Y, es que los dos son
mayores que Y. Por lo tanto, aplicando un teorema elemental de
probabilidades, la probabilidad de A intersección. B complementario, ¿de
acuerdo? Es igual a P de A menos P de A intersección B. Pero el
complementario de B complementario que es Y menor o igual que Y es Y mayor
que Y. ¿De acuerdo? Bien, esa es la idea clave siempre para calcular las
conjuntas. Pues bien, entonces, esto es X1 menor o igual que X por X2 menor
o igual que X. Como son el mismo dado y si son variables independientes
igualmente distribuidas, el producto de las probabilidades es al cuadrado.
Y aquí obtenemos, por un lado, Y menor que XY para ir variando entre 1 y
2, menor o igual que X. Si X es más pequeño que Y, esto es el suceso
imposible, por lo tanto, esto vale 0. Y por lo tanto, como la función de
distribución de la variable XY, cualquiera de ellas, se refiere al dado 1
o al dado 2, es menor o igual, es un sexto, para acá variando desde 1
hasta X. Entonces, X partido por 6. Por lo tanto, esto es X partido por 6
al cuadrado de X cuadrado partido 36. Y aquí sería X cuadrado partido 36
menos X menos Y. ¿Acordáis cómo se calcula la función de distribución?
Cuando la variable X está comprendida entre A y B, B cerrado y A abierto,
es F de B menos F de A. Pues, X menos Y al cuadrado partido por 36. Es
decir, X menos Y partido 6 por X menos Y partido 6. Para X mayor. Menor o
igual que Y. En este caso, lógicamente, el mínimo Y tiene que ser menor o
igual que X. Y la X varía entre 1 y 6, que es el resultado del dado.
¿Cuál es la función de probabilidad conjunta? Es decir, la p de xy. Pues
la probabilidad en el punto es la función de distribución en xy menos la
función de distribución en x por la izquierda y en este caso x-1 menos la
función de distribución en y por la izquierda, es decir, xy-1 más la
función de distribución en x por la izquierda y por la izquierda.
Haciendo operaciones es trivial observar que la probabilidad conjunta o la
distribución conjunta de x e y viene dada de esta manera cualquiera que
sea el valor de x entre 1 y 6. Bien, ya tenemos la conjunta. Las marginales
se pueden calcular marginalizando la conjunta, es decir, sumando en y la
función de probabilidad conjunta p de xy y a esto hay que añadirle la xx.
¿Qué es lo que se puede hacer? Que aparecía en la diapositiva anterior
cuando y es igual a x. Obtenemos justo 2x-1 partido de 36 que fue lo que
obtuvimos en el tema anterior. De igual manera, la función de probabilidad
de la variable y, es decir, el mínimo, pues lo tenemos aquí. Observar
como para x variando desde 1 hasta 6 la suma esta vale 1 y la suma esta
desde igual 1 hasta 6 también vale 1. ¿De acuerdo? Bien. Por ejemplo,
para que veáis cómo se podría calcular directamente sin hacer la
calculación. A través de la conjunta, pues el máximo es x1 menor que x y
x2 menor que x. O, excluyente suceso, x2 igual a x y x1 menor que x. O
también, tercera alternativa, que x1 como el valor x y x2 como el valor x.
Y aplicando la factorización por la independencia de las variables
obtenemos exactamente el mismo resultado. ¿De acuerdo? Bien. A partir de
aquí ya es trivial calcular la esperanza de X, la varianza que utilizamos
la esperanza de X2 menos el momento menos la media al cuadrado, la
esperanza de Y y la varianza de Y sin mayor problema. ¿Cómo calculamos
las curvas generales de regresión? Tenemos que calcular entonces, si os
acordáis, la curva general es una esperanza condicionada. Por lo tanto
tenemos que calcular las distribuciones condicionadas. Tenemos que calcular
dos distribuciones. La de Y dado X y la de X dado Y. La definición es
esta, la conjunta partido por la marginal o la unidimensional X, la otra
conjunta partido por la otra unidimensional. Hay que diferenciar el caso de
igual a X o Y menos X. ¿De acuerdo? Sin mayor problema. Es una cosa muy
elemental. A partir de aquí calculamos las dos curvas, la esperanza de Y
dado X, esto es Y mayúscula, ¿de acuerdo? Y mayúscula. Estamos
calculando la esperanza de la variable Y. Por lo tanto, Y mayúscula.
Obtenemos X2 partido de 2X-1 y de igual manera la esperanza de X, variable,
hay una errata, dado Y, es una función que depende de Y. Claro que lo que
estamos haciendo es predecir el valor de Y en función de X, es decir,
predecir el mínimo conocido al máximo y predecir el máximo conocido al
mínimo. Observar cómo estas funciones no son funciones lineales, por lo
tanto las curvas no son rectas. ¿Cómo calcular la esperanza condicionada?
Perdón, el coeficiente de correlación. Pues calculamos la esperanza de X
por Y y aplicamos la esperanza de X por la esperanza de Y dado X. Como la
esperanza de Y dado X ya la tenemos aquí calculada, la sustituimos aquí y
hacemos operaciones. Es simplemente calcular esto, que no tiene mayor
problema porque sería la suma del cubo, que eso viene en cualquier manual
y obtenemos 49 cuartos. Por lo tanto, la covarianza haciendo operaciones es
esta de esto y el coeficiente de correlación calculando la varianza de X y
la varianza de Y y extrayendo la raíz cuadrada, que está en la
diapositiva anterior, obtenemos definitivamente el coeficiente de
correlación, que es bastante débil, de 0,47. Positivo, porque la
covarianza o el déficit es positivo. Yo propongo ahora que calculeis las
dos rectas de regresión y concederéis el mismo problema, pero en lugar de
dos dados, con N dados. Es un poco más complicado, pero la metodología ya
la tenéis. Yo aconsejo siempre... ...que abordéis un problema por ver
primero, que lo hagáis para un caso elemental, porque lo importante e
intuitivo, lo importante es entender la técnica. Y esa técnica ya
después, aunque con un poquito más de dificultad, se puede generalizar en
situaciones más complicadas. Bien, continuamos. Vamos a analizar un modelo
bidimensional. Supongamos que el vector discreto ahora, en lugar de
construir... ...la distribución bidimensional, me dan la distribución
bidimensional. Es simplemente un ejercicio práctico. Aunque normalmente en
los exámenes lo que tendréis que hacer es, a partir del enunciado,
construirse uno la distribución bidimensional y a partir de ahí ir
contestando a las preguntas y a los apartados de cada uno de los problemas
del examen. Aquí tenéis la distribución conjunta K. que es una constante
a calcular por Q elevado a X menos 1, Q es igual a 1 menos P, como siempre
el tema de Q vale 1, con X mayor o igual que Y y X e Y variando en conjunto
numerable 1, 2, 3, etc. Pero X siempre es mayor o igual que Y. Hay que
calcular las marginales y sus medias, las condicionadas, las curvas
generales de regresión, la covarialza, etc. Prácticamente lo pongo
siempre íntegro todo para que se hagan todos los ejercicios y todas las
prácticas de todos los conceptos que aparecen en este tema como novedad
del tema número 10. Bien, la marginal de Y, como la Y es menor o igual que
X, tendremos entonces que sumar para todos los valores de X y para calcular
la marginal de Y la conjunta, por lo tanto será X mayor o igual que Y para
X igual a Y hasta el infinito. De aquí obtenemos esto, como la suma de las
probabilidades de Y tiene que ser 1, la constante K es igual a P. Y la
constante K es igual a P al cuadrado. Sustituyendo aquí K igual a P al
cuadrado, obtenemos que la variable Y sigue una distribución geométrica.
Para la variable X lo que hacemos es sumar en Y, pero como la Y es menor o
igual que X habrá que sumar desde Y igual 1 hasta X. Sustituyendo la
constante K por P al cuadrado, obtenemos la distribución de la variable X,
que es esta, pero que está relacionada con la distribución de la variable
Y. Es X por P por la distribución de la variable Y en X. Lo pongo
simplemente como relación funcional. La esperanza de Y, como es una
geométrica que es inversa del parámetro, la esperanza de X haciendo
operaciones, obtenemos esto. problemas, es cuestión de hacer operaciones
pero eso es algo bastante trivial. ¿Cuáles son las condicionadas y las
curvas? Las condicionadas la de X dado Y es la conjunta partido por Y y la
de Y dado Y es la conjunta partido por la distribución de probabilidad X.
Aquí tenemos las dos distribuciones condicionadas y su esperanza
condicionada que son las curvas generales de regresión la de X dado Y es
una recta, es el cociente Q partido por P, es decir 1 menos P partido por P
más Y, por lo tanto es una recta la predicción de X en función de Y es
lineal y la predicción de Y en función de X también es lineal. Observar
lo curioso que la Y dado X no depende de P la X dado Y sí depende de P La
covarianza de nuevo como el cociente de vamos a ver aquí, como la
pendiente aquí de Y dado X es un medio o la pendiente de X dado Y es 1,
pues entonces ahora fijaros por eso yo divido entre varianza de Y no entre
varianza de X, lo podríamos hacer también a través de la Y dado X pero
es más fácil por la cosa de la unidad la covarianza de X sí es la
varianza de Y, por lo tanto y la otra es un medio, la otra pendiente la
varianza de X es dos veces la covarianza que tenemos esto y por lo tanto
simplemente haciendo operaciones en la definición del coeficiente de
correlación obtenemos que ρ vale 0,5. Las rectas como las curvas son
rectas pues no hay que hacer nada más. Bien, vamos a ver un problema
interesante. y en donde ahora ya hay una pequeña variante lanzamos decir
sucesivamente una moneda con probabilidad de salir cara sea x el número
del lanzamiento en que aparece por ver primero a la cara y el número del
lanzamiento en que aparece por ver primero a la cruz calcular la
distribución conjunta las marginales los momentos de interés obtener la
cobranza el consciente correlación las dos rectas de regresión las curvas
de la dirección etcétera etcétera como he puesto a lo largo de esta
tarde en todos los problemas que yo planteo vamos a ver lo que está claro
es que si lo que me están pidiendo es el número del lanzamiento en que
aparece por primera vez algo estamos hablando en que tanto la variable x
como la variable y son distribuciones geométricas pero a mí lo que me
están pidiendo es en la conjunta veamos un poco el razonamiento vamos a
ver si en la primera tirada sale cara entonces x vale 1 y por lo tanto la y
vale mayor o igual que 2 mientras que si en la primera tirada lo que sale
es cruz entonces la cara saldrá en la segunda o en la tercera por lo tanto
aquí solamente hay dos alternativas para la conjunta si sale cara porque
en la primera tirada o sale cara equivale a uno o sale cruz y sale cara en
la primera jugada y entonces cuando saldrá cruz en la jugada m pues cuando
hayan salido m menos una cara la primera y el resto y él por fin en la
jugada m sale cruz que es con probabilidad 1 menos p que es 1. De igual
manera ocurre cuando en la primera tirada lo que sale es cruz. Entonces,
cuando salga la cara en la jugada enésima significa que las n-1 a primera
tirada han salido siempre cruces. 1 menos p que es igual a q elevado a n-1
y por último en la jugada n ha salido la cara con probabilidad. Solamente
existen estas dos formas de la conjunta y además n y m varían para 2, 3,
4, no n igual a 1 porque en la primera tirada o sale ya cara o sale otra.
Evidentemente marginalizando tenemos que la x es una geométrica clásica y
la y es otra geométrica con el parámetro intercambiado, es decir, se
intercambian los papeles de p y q. Por lo tanto, la media y la varianza de
x e y la tenéis aquí y nos ofrece mayor dificultad. Vamos a calcular la
covarianza. Ahora lo vamos a hacer de manera directa para que veáis que
también se puede hacer. Por lo tanto, la definición de... La esperanza de
x por y, es decir, el m, 1, 1, 1, hay un momento mixto, será la suma de n
y m, en este caso mayor o igual que 2, de n por m por la conjunta x igual a
n y igual a m. Como aquí hay una diferenciación porque en la primera
tirada o sale cruz o en la primera tirada sale cara, entonces sustituimos
estos valores y sustituimos esta conjunta, sumamos en n y sumamos en m y
obtenemos la esperanza del producto. Que viene dado de esta manera,
después de hacer operaciones que no tiene mayor dificultad. Como la media
de x e y la conocemos, que es 1 partido p y 1 partido q, obtenemos en
definitiva que la covarianza vale menos 1. Cosa muy curiosa, pero que tiene
bastante sentido. ¿Qué significa negativa la covarianza? Pues significa
que al aumentar una variable la otra disminuye. Es decir, cuanto más
tiempo tarde en salir la cara por vez primera, menos tiempo tarda en salir
a cruz. Claro, lógicamente, porque es que si no ha salido cara es porque
ha salido cruz. ¿De acuerdo? Por lo tanto, era un poco lo que yo decía.
El sentido común te da la intuición de qué resultado, por lo menos no el
valor numérico, porque está muy próximo a cero. Pero sí el signo de la
covarianza. Sin mayor problema, calculando el coeficiente de correlación,
obtenemos menos, porque el signo de la covarianza es negativo, raíz
cuadrada de P. Las rectas de regresión las tenéis aquí. Simplemente os
dejo como ejercicio la solución para que las tengáis. ¿De acuerdo? Es
simplemente aplicar la definición que aquí la tenéis. Y menos la media,
etc. ¿Cuáles son las condicionadas? Las condicionadas es la de y dado x y
la de x dado y. ¿De acuerdo? La de y dado x la tenéis aquí. Aquí
tenemos la esperanza condicionada. Obtenemos esto. Y por lo tanto, la
esperanza de y dado x es si n vale 1, es esto. Y si n es mayor o igual que
2, os acordáis que había que diferenciar, tendríamos esto. De igual
manera calculamos la distribución de x dado y. La esperanza de x dado y,
según sea, x dado y igual a 1. ¿De acuerdo? Y la esperanza de x dado y
igual a y. Para cualquier valor de y. De nuevo obtenemos algo simétrico.
En lugar de 1 más 1 partido q es 1 más 1 partido x. ¿Por qué no? Son
las curvas generales de reducción. Simplemente si queréis hacer P igual a
un medio y obtenemos que lo que os recurriría con la moneda con la que
estoy trabajando es una moneda legal. Seguimos. Veamos otro problema con
otra pequeña variante. Tengo una urna con dos bolas blancas y tres bolas
negras. Se extraen de una en una y sin reemplazamiento, sin reposición,
hasta que se obtiene una bola blanca. O sea, según el número X de la
extracción en que haya aparecido la blanca por vez primera, se lanza una
moneda legal tantas veces como el número de dicha extracción. Y se
observa el número de caras. Calcular, como siempre, las marginales, la
conjunta, el coeficiente de correlación, la resta, etc. El apartado B es
el teorema de Bayes que lo vimos en el tema número 6, si os acordáis. Si
ha salido cara una sola vez, ¿cuál es la probabilidad de que se hubiese
necesitado un intento para extraer la bola blanca? Veamos. Como es sin
reemplazamiento, la probabilidad de que la bola blanca salga la primera vez
es 2 partido 5. Para que salga en la segunda vez ha tenido que salir la
primera tresquinto negra, etc. Por lo tanto, aquí tengo la distribución
de probabilidad. 1, X toma el valor 2, X toma el valor 3, X toma el valor
4, la suma vale 1. Pero claro, yo no sé en qué momento va a salir la bola
blanca por vez primera. Por lo tanto, la distribución de Y. 2X, como la
moneda es legal, la probabilidad P de la binomial es un medio. Pero el
número de veces que yo voy a tirar depende de X de cuando haya salido la
bola blanca por vez primera. Es como la distribución geométrica, pero en
este caso estamos hablando... de extracciones sin reemplazamiento. Por lo
tanto, la esperanza de x, que es 1 por 2 quinto, 2 más 2 por 3 décimo,
etc., vale 2, la varianza vale 1, son cálculos elementales, y la esperanza
de y dado x, ya tenemos una curva general de reacción, es la media de la
binomial, que es p por n, que en este caso es x por 1. Por lo tanto, la
esperanza de y es la esperanza de la esperanza condicionada y por lo tanto
vale 1. La esperanza de x vale 2 y la esperanza de y vale 1. No hace falta
calcular la distribución de y para calcular la esperanza de y, ¿de
acuerdo? Porque aquí la distribución de y habría que calcular la suma
para todos los valores de x de la condicionada y dado x por la marginal de
x, ¿de acuerdo? O la unidimensional. Para la conjunta se calcula así.
¿Cómo calculamos la conjunta? Bueno, la conjunta la calculamos a partir
del producto de la condicionada por la unidimensional o marginal. Marginal
interesa en este caso y dado x por la probabilidad de x, porque la
distribución de x es la conocida que es la construida y es la fácil. De
esta manera tenemos aquí este resultado, que no tiene mayor problema, y
así calculamos el resto de las distribuciones conjuntas. Aquí tenéis. El
cuadro de doble entrada. Pero en negro es la conjunta x, 1 y 0. Aquí, por
ejemplo, x, 2 y 1, 3 partido 20, etc. Y en rojo aparece la marginal de x
que la hemos calculado antes y en horizontal en rojo la marginal de y. Por
lo tanto, la esperanza de X por Y, lo que hacemos es aplicar directamente,
¿qué os parece la definición? Es decir, 1 por 0 por un quinto, más 1
por 1 por un quinto, más 2 por 0 por 3 partido por 40, más 2 por 1. Esto
es fácil porque los ceros se obvian, en fin, no tiene más. Los
denominadores prácticamente son iguales o son unos múltiplos de otros y
obtenemos aquí el resultado, 2,5, la varianza de X, la varianza de Y, y la
covarianza, y definitivamente obtenemos el coeficiente de correlación, que
es raíz de 3 partido por 3, como siempre en este caso positivo, ya que la
covarianza es un medio y es positivo. La recta de Y sobre X es X medio,
como hemos visto antes, y yo os propongo que calculeis la recta de X dado
hoy, demostrar, por eso lo he puesto aquí, que vale este valor. La segunda
pregunta es aplicar el teorema de Bayes, que no tiene mayor problema, y la
segunda pregunta es aplicar el teorema de Bayes, y no insisto porque eso,
digamos, ya lo trabajamos. Además, siempre que os dejo un poco algo sin
demostrar o que pase un poco rápido sobre él, es simplemente invitaros a
que vosotros seáis capaces de calcularlo, que no lo dudo. Bien. Problema
un poco subgeneri para que simplemente insistáis en otra variante. Vamos a
elegir un número al azar entre 1 y 10, por lo tanto estamos hablando de
elegir al azar, siempre es una distribución uniforme discreta. Yo la suelo
llamar también rectangular. Si X es igual a X entre 1 y 10, elegimos un
número Y al azar entre X menos 1 y X menos 1 de los 10 posibles números.
Por ejemplo, si yo elijo X igual a 2, pues entonces la Y va a tomar el
valor 1, 2 y 3. ¿De acuerdo? Si elijo x igual a 9, elijo el valor 8, 9 y
10. Pero si elijo x igual a 10, solamente elijo el valor 9, que es el x
menos 1, el 10 y se acabó. Nada más. No puedo elegir el 11 porque
solamente tengo 2. ¿De acuerdo? Eso es un poco quizá la dificultad del
problema. Calcular la condicionada, la esperanza, la covarianza, etcétera,
etcétera. ¿De acuerdo? La distribución de x es 1 partido 10. Es una
distribución uniforme, discreta. Ahora, la de y dado x es un tercio porque
siempre elijo 3 valores posibles al azar también. Pero cuando la x varía
desde 2 hasta 9 y cuando tengo que elegir solamente 2 valores, es cuando la
x varía o el valor 1 o el valor 10, porque si tomo el valor 1, los
posibles valores serían el 0, el 1 y el 2. El 0 no existe, lo hago
solamente el y por 2. Con probabilidad un medio, aquí tengo. Por lo tanto,
la conjunta... Para el producto de las condicionadas por la marginal o la
unidimensional, tengo esto, 1 partido 10. Esto está equivocado. En lugar
de n tengo que poner 10. ¿De acuerdo? Es decir, 1 partido 10, por lo tanto
sería 30. Vamos a ver. Y aquí sería 20. ¿De acuerdo? Bien. Sería un
medio por 1 partido 10. Aquí tenéis, por lo tanto, la distribución ahora
marginal, que es sumando para los valores posibles de x. ¿De acuerdo? La y
varía desde entre 1 y 10, perdón, 1 para i igual a 1, para i igual a 10,
para i igual a 2, para i igual a 9, para i igual a 3, 4, hasta 8. Podéis
observar cómo la suma vale 1. La esperanza de x vale 11 medios. Es fácil,
es una distribución uniforme y discreta. La esperanza de y también vale
lo mismo, 11 medios. La esperanza de x al cuadrado hacemos uso de la suma
de los cuadrados. Y la varianza de x también hacemos uso de la
distribución que toma valor entre 1 y n. Para n igual a 10, perdón, la
varianza vale 33 cuartos. La esperanza de y al cuadrado vale esto y la
varianza vale esto. Por lo tanto tenemos la esperanza y la varianza de x y
n. Para calcular la covarianza razonamos de esta manera. Como la media de
la uniforme es trivial, acordáis cuál es la media de una distribución
uniforme y discreta. Es la semisuma entre 1 y n, 1, 2, 3, 4, n. La media es
1 más n partido por 2. Pues entonces la esperanza de y dado x es igual a
x. Si la x es 2, 3, 4 hasta 9, x más un medio es igual a 1. Y x menos un
medio es igual a 10. Podéis sustituir si queréis x igual a 1. Serían 3
medios, ¿de acuerdo? Y 20 medios menos un medio, 19 medios. ¿De acuerdo?
Por lo tanto la covarianza haciendo operaciones vale 7,8. Simplemente
cuestión de sustituir y no tiene mayor mérito, mayor problema. Y por lo
tanto la covarianza, perdón, el consciente de correlación es bastante
alto. 0,96,1. Aquí el adrede. Tenéis el problema, el consciente de
correlación, cuando en lugar de considerar 10 números del 1 al 10,
consideramos n números del 1 al n. Para cualquier valor de n obtenemos
esta curva que me da dando según los valores de n, yo he tomado para n
igual a 10, que estaría por aquí. ¿De acuerdo? El consciente de
correlación. De hecho, con el programa matemático. Bien, aquí tenéis
que hay algunos compañeros que me lo han preguntado. El profesor Ricardo
Vélez le contestó, yo también le contesté, a la hora de sumar y de
calcular el momento ordinario de segundo orden de una distribución
geométrica. Ahí aparece una serie aritmético-geométrica, era la
dificultad. Yo lo que he hecho es generalizarlo. Bueno, supongamos que
tenemos una moneda con probabilidad P de salir cara y tengo una urna con A
bolas blancas y B bolas negras. Lanzo la moneda hasta que aparece la cara,
siendo T el número del lanzamiento necesario para que aparezca la cara.
Después se extrae con reemplazamiento, ¿de acuerdo? T bolas de la urna,
siendo N el número de bolas blancas extraídas. Calcular la esperanza de T
y T al cuadrado para cada T mayor o igual que 1 calcular la esperanza de N
dado T, esto es una curva general de regresión y calcular la esperanza de
N y la covarianza. Copio textualmente lo que venía en el examen de 2012 y
determinar la función de probabilidad de N si se supiere utilizar esta
identidad que aparece en el libro de texto. ¿De acuerdo? Aquí se supone
que es para X comprendido entre 0 y 1. En el examen lo que teníamos era
una urna, me parece, con unas cuantas bolas, roja y unas cuantas bolas
negras, me parece, pero da igual. La idea es cuál es. La variable T sigue
una distinción geométrica, como siempre, de parámetro P, el tiempo
necesario para que ocurra algo por vez primera. Esto es lo que se llaman
los modelos de espera o las distinciones de espera. Por lo tanto, es P por
1 menos P, como siempre le llamo Q, elevado a T menos 1, la esperanza de T
al inverso y la esperanza de T al cuadrado. Hay que sumar esta serie, pero
es una serie aritmético-geométrica. Hay que calcular por dos veces la
suma y multiplicarlo por Q y volver a sumar y restar miembro a miembro.
Obtenemos este resultado. Como para T igual a T, la variable N sigue una
distribución binomial de parámetro T, el tiempo que yo haya tardado en
que aparezca la bola blanca. Y P1 es la probabilidad de sacar blanca en una
binomial, que es A partido A más B. En un examen era 3 quintos, me parece,
pero da igual. Entonces, la condicionada es esta distribución binomial, en
donde P1 tenemos aquí los valores, P1 más Q1 vale 1, etc. Entonces, como
siempre, la esperanza de N dado T, que era una de las cosas que aparecía
en el enunciado, es la media de esta distribución condicionada, que es una
binomial, el producto de los dos parámetros P1 por T. Donde P1 es, vuelvo
a insistir, A partido A más B. Y la esperanza de N es la esperanza de la
esperanza condicional, es por lo tanto P1, que es una constante, por la
esperanza de T, que es 1 partido P. Por lo tanto, es P1 partido P1, siempre
lo dejo atrás. A partido A más 2, que es un valor numérico 3 quintos, 2
cuartos, etc. Se sustituye sin mayor problema. Para calcular la esperanza
de T por N dado T igual a T, como T igual a T, la T sale fuera aquí, y me
queda T por la esperanza de N dado T en la curva anterior, y obtenemos este
resultado. Por lo tanto, la esperanza de t por n es, ¿os acordáis que lo
estuvimos viendo en los ejercicios teóricos? Es la esperanza de t por la
esperanza de n al cuadrado de t. Y aquí es donde utilizamos la esperanza
de t al cuadrado que era en el apartado A del examen que se pedía. Para
calcular la esperanza de t por n. Por lo tanto, la covarianza es la
esperanza del producto menos el producto de la esperanza. Y haciendo
operaciones obtenemos este resultado. Por lo tanto, vuelvo a insistir en
que p sub 1 es A partido A más B. Y p es el dato del problema, que si la
moneda es legal vale un medio. Y como nos parece, apareció en el examen
que era 2 tercios o algo por ahí. Lo que he hecho es generalizar. La
marginal de n puede ser n igual a 0 o un n mayor o igual que 1. Y n vale 0
y hay que tener cuidado porque entonces esto sale de manera directa.
¿Vale? Estamos sumando el t. Esto es una serie geométrica que no tiene
mayor problema. Aquí ya he puesto incluso la solución sustituyendo p sub
1 por A partido A más. Y en el caso de que n sea mayor o igual que 1,
haciendo operaciones. Y la obvio porque ya hemos hecho varios ejercicios de
este tipo. Y el salto de aquí a aquí. Donde c es todo esto. Es utilizar
la fórmula que en el enunciado del problema se aconseja utilizar. Pues
obtenemos esta distribución, que es, suena bastante si os fijáis a una
distribución geométrica. ¿De acuerdo? Bien. Vuelvo a repetir. No tiene
mayor dificultad. Siempre hay que seguir un cierto orden y hacer las cosas
pausadamente. este problema es muy parecido por lo tanto lo voy a aviar a
los que hemos visto hasta ahora, por lo tanto yo simplemente os lo dejo
para que lo hagáis aquí ahora la marginal es decir, el dato del problema
por llamarlo de alguna manera, es una definición geométrica ¿de acuerdo?
y la condicionada y dado el dato x es una binomial lo único que hay que
hacer es trabajar con la binomial y con la geométrica ¿de acuerdo? este
problema viene muy parecido en el libro de texto la probabilidad de que una
familia tenga x hijos viene dada por un modelo geométrico de parámetro p1
mientras que la probabilidad del nacimiento de un niño es p2, calcular la
probabilidad de una familia posea niños, etc. ¿de acuerdo? os lo dejo un
poco para que lo hagáis por vuestra cuenta y que lo veáis porque es
exactamente lo mismo por ejemplo aquí la conjunta, ¿cómo se calcula? la
marginal que es geométrica por la condicionada que es una distribución
binomial es cuestión de hacer operaciones si ahora sumo para todos los
valores de x obtengo la distribución de es sumar la conjunta, ya sabéis
que la interpretación es una proyección dada la conjunta en r2 en el
plano la proyección de los puntos porque estamos hablando de variables
discretas sobre cada uno de los ejes me da origen a las distribuciones
marginales que le estoy llamando que en realidad son las unidimensionales
bien, aquí utilizamos de nuevo esta expresión que viene en el libro de
texto y aquí obtenemos por fin el coeficiente de correlación Es muy
parecido a todo lo que hemos visto y por lo tanto, perdón, no voy a
insistir. Veamos el examen de febrero del año pasado precisamente, una
variante de la segunda semana. Una urna contiene tres bolas rojas y cinco
blancas. Se realiza una primera extracción de dos bolas de una vez. Se
observa su color y se devuelven a la urna esas dos bolas y se introducen
dos bolas más que coincidan con la del color extraído en la primera
extracción. Observad, si habéis bajado el examen, que es parecido pero
aquí hay una cierta variación. A continuación se realiza una segunda
extracción de otras dos bolas, sea X el número de bolas rojas. En la
primera extracción, Y el número de bolas rojas. En la segunda, calcular
la conjunta, las distinciones marginales, las medias y las varianzas y
probar que la esperanza de Y dado X, es decir, la recta de regresión,
perdón, la curva general de regresión, es un quinto de 3 más X. Y
deducir a partir de ahí el coeficiente de correctos. Muy parecido. Aquí
lo importante es que en la primera extracción yo trabajo con 8 bolas, pero
en la segunda extracción, como no solamente devuelvo sino que meto dos
bolas más del mismo color de las que haya extraído, en la segunda
extracción trabajo con 10 bolas. Por lo tanto, tenemos, cuando en la
primera extracción, con el resto lo mismo, no voy a insistir, vamos a
calcular la probabilidad de que en la primera extracción no salgan rojas y
en la segunda tampoco. Sería la probabilidad de que no salga ninguna roja
en la primera extracción. Pues sería 3 sobre 0, por la 5 blanca sobre 2,
por la 8 bolas saco 12. Ahora, si no ha salido ninguna bola roja, significa
que han salido dos blancas, por lo tanto meto dos blancas más. Por la
segunda extracción habrá 7 blancas, de las cuales elijo 2, 2, porque
tampoco va a haber blanca, roja que diga, 3 sobre 0 y 10 sobre 2. ¿De
acuerdo? Esta es la marginal, x igual a 0, y esta es, ya hay dos bolas
más, 10 y sobre x. Pero y igual a 0 dado que es igual a 0. Haciendo
operaciones, obtenemos esto. Podéis comprobar que coincide con la conjunta
x0 y igual a 1. De igual manera es calculable. Y calcula ahí el resto de
las conjuntas, 0, 2, 2, 0, 2, 2, 1, 0, etc. Aquí lo he resumido, pero son
cosas bastante elementales en donde se utiliza todo el tiempo la
distribución hipergeométrica. Bien, supongamos que ya tenemos entonces
todas las conjuntas. Un poquito de paciencia, pero no tiene mayor
dificultad. ¿Cuáles son las marginales? Pues sumo para todos los valores
de y, para x igual a 0. Entonces x igual a 0 para todos los valores. Y para
los valores de y, x igual a 1 hago exactamente lo mismo. Sería la suma de
x igual a 1, y igual a y. Y así decididamente. Observar cómo la suma vale
1, la esperanza de x y la varianza. Sin mayor problema. Hago exactamente la
marginal de y, y igual a 0, y igual a 1, y igual a 2, calculo su esperanza
y calculo su varianza. ¿Cuáles son las condicionadas? Las condicionadas
las tenía de antes, pero x, perdón, y0 dado x0, y1 dado x0, es decir,
dado x igual a 0, la variable y puede tomar el valor 0, el valor 1 o el
valor 2. Aquí tenéis las probabilidades, por lo tanto, para x igual a 0,
la esperanza de y será, observar, 0 por 7 quintos, más 1 por 7 quinceado,
más 2 por 1 partido por 15, haciendo operaciones vale 3 quintos. De igual
manera, si x vale 1, la esperanza de y vale 4 quintos, y si x vale 2, la
esperanza de y vale 1. Observar cómo es 3 quintos cuando x vale 0, un
quinto más, es decir, 4 quintos cuando x vale 1, y otro quinto más, 5
quintos cuando x vale 2. Por lo tanto, la esperanza de y dado x es 1 menos
2 menos x partido por 5, intuitivo. Observar cómo para x igual a 0 es 1
menos 2 quintos, que son 3 quintos, para x igual a 1 es 1 menos 1 quinto,
que son 4 quintos, y para x igual a 2 es 0, haciendo operaciones al x más
3 partido por 5. Como la curva de y dado x es una recta, la pendiente vale
un quinto, que aparece aquí. Por lo tanto, un quinto es la covarianza
partido por la varianza de x, de donde la covarianza obtengo esto, y por lo
tanto, el coeficiente de correlación, haciendo operaciones, y como ya
hemos calculado antes la varianza de x y la varianza de y, obtenemos que el
coeficiente de correlación positivo, porque la covarianza es positiva, es
0,34 aproximadamente. Yo siempre os propongo... Ya no sea que sea un
número decimal exacto, que pongáis la fracción. Vaya, no tiene mayor
importancia. Bien, otra variante más. Yo lo que, si observáis, estoy
intentando, digamos, mostrar todas las posibilidades dentro del tema. Yo
tengo una urna con n bolas numeradas del 1 a n. Les traigo una de las bolas
al azar. Si la bola seleccionada tiene el número x, se aparta de la urna
todas las bolas numeradas mayor que x. Y se vuelve a seleccionar una
segunda bola al azar, con las que queda. Calcular la covarianza entre la
primera extracción, que si queréis la llamamos x, y la segunda
extracción la llamamos y. Entonces, la primera extracción es una
distribución uniforme discreta. Yo le tengo que poner r de rectangular. 1
n. La función de probabilidad de x es 1 partido por n, cualquier valor.
Sin embargo, la segunda. La segunda también es rectangular. Pero si yo
quito todas las bolas mayores que x, entonces tendré una distribución
uniforme discreta o rectangular entre 1 y x. Ya que lo que quito son todas
las valores mayor que x. Por lo tanto, esta distribución condicionada es
uniforme discreta. La probabilidad es 1 partido x, que son los x posibles
valores que quedan, bolas. De tal manera que esta x siempre es mayor o
igual que y. Y la y es menor o igual. Porque x es la segunda extracción. Y
la x varía entre 1 y n, que es el dato inicial del 2. La esperanza de esta
distribución uniforme discreta la conocemos todos, n más 1 partido por 2.
La esperanza condicionada de 1x ya sabéis que es el primero más el
último, es decir, 1 más x partido por 2, o si no lo calculáis
directamente. Y la esperanza de y es la esperanza de la esperanza
condicionada, es decir, es calcularle la esperanza a x más 1 partido por 2
y como tenemos el dato de la esperanza de x, que vale n más 1 partido por
2 haciendo operaciones, obtenemos n más 3 partido por 4. Tenemos ya
entonces la media de la variable x y de la variable y. La conjunta, como
siempre sabemos, es la marginal, es decir, la unidimensional, la ley de x
por la ley de y dado x. Por lo tanto, la conjunta, perdón, la esperanza
del producto, pues en este caso vamos a utilizar la definición x por y por
la distribución de probabilidad conjunta, que es 1 partido en x, y
operando convenientemente, teniendo en cuenta que la y y la x están
relacionadas de esta manera, la x es mayor o igual que y, por eso sumo
desde x igual a y hasta n, y dado. Entonces obtenemos simplemente esto y
obtenemos este resultado que no tiene mayor dificultad en calcularlo. A
partir de ahí, la covarianza aplicando la definición, la esperanza del
producto menos el producto de la esperanza, obtenemos que es n cuadrado
menos 1 partido por 24, como n. N, lógicamente, es estrictamente mayor que
1, significa que la covarianza es positiva. Bien. En la diapositiva 35, 36
y 37 son unos ejercicios teóricos que yo os propongo que lo intentéis.
Este ejercicio de la diapositiva 35 alude a las desigualdades que hemos
visto anteriormente. ¿De acuerdo? Cuando yo decía que se podía acotar la
probabilidad de un suceso conociendo algunos datos de las características
numéricas. En este caso era la acotación de Chebiché. Bien, esto sería
como una especie de variante de la acotación de Chebiché. Intentar
demostrarlo, la demostración viene aquí. No tiene mayor dificultad. Y el
último dato es también acostumbrarse a trabajar con covarianzas y
varianzas. Consideremos n variables aleatorias tales que el vector
bidimensional, es decir, x1, x2, x1, x3, x2. x3, etcétera, etcétera,
poseen todos el mismo coeficiente de correlación rho. Todo. Demostrar que
bajo estas condiciones es posible mejorar la cota del coeficiente de
correlación de esta manera. Es decir, rho es mayor o igual que menos 1
partido n menos 1. Con n lógicamente mayor o igual que 2. ¿De acuerdo?
Aquí tenéis la demostración. El truco consiste en considerar la variable
z como suma de n variables aleatorias. Que ya sabemos que entonces... La
varianza de z es la varianza de una suma. Pero la varianza de una suma de
variables no es la suma de las varianzas, solamente en el caso de que las
variables sean independientes. Pero aquí ya te está diciendo que hay una
cierta dependencia porque tenemos una cierta correlación entre todas las
variables. Por eso, como aparece en el libro de texto, la varianza de una
suma es la suma de las varianzas más todas las posibilidades de covarianza
entre xy y xj con yj distintas. ¿Por qué? Si no, no lo he dicho antes,
pero la idea de covarianza, el nombre de variación conjunta, es porque la
covarianza de x1 con x1 es la varianza de x1. Mientras que la covarianza de
x1 y x2 es la variación conjunta de x1 y de x2. ¿De acuerdo? A partir de
esta covarianza yo lo sustituyo por la definición del coeficiente de
correlación, hago operaciones y obtenemos el resultado deseado. Sin mayor
dificultad y sin mayor problema. Bien. Bien, pues con esto he terminado. Si
queréis hacer algún comentario, pues yo con mucho gusto os lo aclaro. Y
si no, pues nada, me parece muy bien. Y os deseo lo mejor para los
exámenes. Sin duda. Bueno, pues muy amable. No sé si es que me he
explicado bien. Gracias, Loreto, Clavero. ¿Todo bien? Bueno, pues muy
amable por todo. Os deseo lo mejor. Gracias, Loreto. Otro compañero dará
el último tema, que es el tema 11, y yo, pues la verdad que ha sido un
gustazo estar con vosotros, por lo menos de manera virtual. ¿De acuerdo?
Pues buenas tardes y muchas gracias.