Hola, retomamos el tema 8, la segunda parte de regresión lineal simple y
múltiple. Nos habíamos comentado cómo calcular la correlación entre un
conjunto de valores a partir de las puntuaciones directas, de las
puntuaciones diferenciales o de las puntuaciones tipificadas y nos hemos
quedado en el cálculo de esa correlación para este conjunto de datos.
Teníamos, recordemos, 16 sujetos para cada uno de los sujetos hemos
calculado o hemos medido dos puntuaciones que le hemos denominado X e Y.
Normalmente X va a representar en este caso la variable que vamos a
utilizar para predecir independientemente de que sea la puntuación en
vocabulario y cuando queremos simbolizarlo de forma simple para no poner
vocabulario o para no alargar demasiado el nombre de la variable ponemos
simplemente X indicando que es la variable predictora o independiente
mientras que Y va a ser la variable predicha, aquella que deseamos conocer
a partir de X. Una vez que tenemos este conjunto de puntuaciones son dos
puntuaciones para cada individuo, vemos que para cada sujeto tenemos dos
puntuaciones. De esas 16 puntuaciones, paren de puntuaciones calculamos un
índice de asociación que es el coeficiente de correlación entre X e Y Si
utilizamos las puntuaciones directas, lo más sencillo es en primer lugar
calcular los estadísticos descriptivos de X e Y. De esta forma primero
calculamos la suma por ejemplo de X, 102, dividimos por 16 y nos debe salir
6.375 que es la media de la variable X con una división típica de 2.7538
Hacemos lo mismo para Y, calculamos el sumatorio de todas las puntuaciones
de la variable predicha, 218, dividimos por 16 y nos tiene que dar 13.625 y
calculamos también su división típica que es 4.64 aproximadamente y
calculamos la media de la división típica de las dos variables vemos que
estamos utilizando simplemente estadística descriptiva Para aplicar la
fórmula del coeficiente de correlación, vemos que es muy conveniente
además de calcular los estadísticos descriptivos básicos de X e Y
calcular también en primer lugar el producto de X por Y porque lo tenemos
en la fórmula aquí Aquí vemos que vamos a tener que calcular el
sumatorio del producto de X por Y Es muy cómodo cogernos una nueva columna
y vamos calculando ese producto 3 por 9 es 27, 7 por 1 es 7, 7 por 12 es 84
y así calculamos el producto de X por Y y por último calculamos su
sumatorio, 1561 que va a ser el valor que tendremos que colocar aquí 16 es
el número sujeto y ya tenemos el sumatorio de X por Y Vemos que en la
fórmula luego tenemos que restar el producto de dos componentes Este y
este Estos componentes son el sumatorio de X y el sumatorio de Y Pero eso
ya lo tenemos Sumatorio de X hemos visto que era 102 Sumatorio de Y 218 Su
producto va a ser el componente que tenemos que restar al anterior Y por
último vemos que en el denominador Voy a quitar todo lo que he enseñado
anteriormente porque está complicando bastante la transparencia Vamos a
irnos ahora al denominador En el denominador, ¿qué tenemos? Tenemos N, ya
seamos cuantos es, 16 por el sumatorio de X al cuadrado No tenemos todavía
la columna del sumatorio de X al cuadrado Tenemos X, tenemos Y y tenemos X
por Y Calculamos X al cuadrado Entonces creamos una nueva columna Que sea
donde vamos a colocar los valores de X al cuadrado Observen que esto no es
X2 sino X al cuadrado Entonces 3 al cuadrado 9 1 al cuadrado 1, 7 por 7 es
49, 9 por 9 es 81 Vamos colocando el cuadrado de la columna X Y luego su
sumatorio que nos da 764 Este 764 es lo que tendremos que colocar aquí
Menos el sumatorio de X al cuadrado Observen la diferencia entre estas dos
expresiones En la primera es el sumatorio de una serie de cantidades
elevadas al cuadrado Es decir que primero se elevan esas cantidades al
cuadrado y luego se realiza la suma Sin embargo en la segunda es al
contrario Primero se hace la suma de esas cantidades y luego se eleva al
cuadrado En este caso tenemos el sumatorio de X que es 102 Y es ese 102 el
que se eleva al cuadrado Por tanto para calcular este valor no necesitamos
establecer ninguna nueva columna Sin embargo necesitamos establecerlo para
calcular esta segunda parte del denominador Que está multiplicándola a la
primera Observen que es similar a la primera excepto que en vez de X se
está calculando con respecto a Y Es decir, de nuevo tenemos 16 sujetos N
por el sumatorio de Y al cuadrado Y como no tenemos Y al cuadrado
necesitamos crear una columna Que nos dé los valores de Y al cuadrado 9 al
cuadrado es 81 7 al cuadrado es 49 12 al cuadrado es 144 Y así seguimos y
obtenemos la última columna Y al cuadrado Observen que de nuevo no es Y
por 2 Es Y al cuadrado Y su sumatorio lo vamos a necesitar Ya que es lo que
nos viene dado en esa parte de la expresión para calcular el coeficiente
de correlación Multiplicamos 16 por ese sumatorio de valores al cuadrado
De Y al cuadrado Y ese sumatorio es 3.294 Y a ello le restamos el sumatorio
de Y Que lo tenemos aquí, 218 al cuadrado Establecemos una vez que hemos
hecho todos estos cálculos Son pesados pero son sencillos Todo depende
también de la cantidad de datos que tengamos Este cociente nos da un
índice de asociación entre las variables X e Y Un índice de asociación
que en este caso vale 0.89 aproximadamente Es un valor muy alto en
términos de coeficiente de correlación Porque si tenemos en cuenta que el
máximo es 1 o menos 1 Indicando ese máximo que las dos variables están
completamente asociadas Un valor de 0.89 indica que están muy asociadas
Una variación en una de ellas lleva una variación similar en la otra No
idéntica, pero muy similar Este es un índice descritivo de asociación
entre variables Y hemos visto que haciendo esta tabla Calculando los
índices estadísticos de X e Y Y calculando los sumatorios de X por Y De X
al cuadrado y de Y al cuadrado Podemos pasar casi directamente Los
resultados estadísticos descritivos que tengamos en esta tabla A la
fórmula del coeficiente de correlación Lo mismo lo podríamos haber hecho
Utilizando las puntuaciones diferenciales En este caso la fórmula, la
pueden ver aquí abajo en pantalla Sería el sumatorio de X por Y Pero
observen que estas X y estas Y están en minúscula Mientras que las
anteriores estaban en mayúscula Cuando están en mayúscula normalmente
Estamos indicando que son las puntuaciones directas Sin ningún tipo de
transformación Sin embargo cuando están en minúscula X e Y estamos
indicando que son puntuaciones diferenciales Recuerden que una puntuación
diferencial es Esa puntuación, por ejemplo Si la simbolizamos por X Menos
La media de ese conjunto de puntuaciones Es diferencial porque estamos
haciendo una resta Una diferencia entre cada una de las puntuaciones Menos
la media de ese grupo Entonces en esta primera columna Se establecen Se han
puesto los cálculos para las puntuaciones diferenciales De X, observen,
minúscula Y en la segunda columna se han colocado Las puntuaciones
diferenciales de Y Es decir, de Y Para cada sujeto Menos la media De Y Una
vez que tenemos esas puntuaciones diferenciales Para X y para Y
Establecemos una nueva columna En donde multiplicamos ambas puntuaciones
diferenciales X por Y De tal forma que Menos 3.375 Por menos 4.625 Debe dar
15.6093 Depende de la precisión que queramos poner Menos 5.375 Por menos
6.625 35.60 Es decir, en esta Tercera columna ponemos El producto de Las
puntuaciones diferenciales X por Y Porque lo necesitamos para calcular El
sumatorio De esos productos Observemos que el sumatorio de esos productos
Es 171 por 25 El sumatorio de la tercera columna Es el numerador Del
cálculo de la correlación Mediante puntuaciones diferenciales Partido por
la raíz cuadrada Del producto Entre dos sumatorios Observamos que los
sumatorios son El sumatorio de X diferenciales Porque está en minúscula
Al cuadrado Por el sumatorio de las X diferenciales Al cuadrado Entonces
necesitamos, por consiguiente Elevar al cuadrado Las puntuaciones
diferenciales Las dos primeras columnas X E Y Menos 3.375 Debe dar 11.39
Menos 4.625 Debe dar 21.39 Excepto que se haya cometido algún error El
cálculo está muy claro Una vez que tenemos Las puntuaciones diferenciales
Al cuadrado Cada una con una respectiva Las sumamos Y obtenemos Estos dos
valores 113.75 Para el sumatorio De las X diferenciales Y 323.75 Para el
sumatorio De las X al cuadrado Estos valores Los introducimos En la
fórmula Simbólica Para calcular El coeficiente de correlación Será
171.25 Dividido Por la red cuadrada Del producto Entre 113.75 Por 323.75 Y
nos tiene que dar El mismo valor Que nos dio En el cálculo anterior Porque
son fórmulas Diferentes Pero para obtener exactamente lo mismo Desde mi
punto de vista Esta, aunque parece más complicada Las puntuaciones
directas Es más sencilla Porque cuanto más cálculos realicemos Más
fácil es equivocarnos Y aquí no estamos metiendo Por ejemplo en
puntuaciones Una vez que hemos visto El cálculo de la correlación Entre X
e Y Esto todavía no nos indica La relación lineal Porque la relación
lineal Nos indica una función lineal Y el coeficiente de correlación Es
simplemente un índice estadístico Un valor numérico Que nos indica si la
asociación Entre X e Y Es alta, baja, nula Inversa Pero no dice cuánto Ni
en qué sentido Pero es un solo valor numérico Necesitamos algo más
Necesitamos La ecuación de regresión Hemos calculado el coeficiente de
correlación Porque es muy importante Lo vamos a necesitar posteriormente
Para el cálculo De la función lineal Que mejor ajuste los datos Pero
necesitamos algo más Necesitamos calcular La función de regresión Una
función lineal En el caso de que los datos Obviamente parezca O En el caso
de que los datos Realmente se ajusten a esa función lineal Ya hemos visto
antes casos, ejemplos En donde Un conjunto de datos No se ajustaba a una
función lineal A veces a una función cuadrática A una función
exponencial Depende En este caso si verificamos los datos De forma muy
clara Los datos son lineales A la vista de los datos es fácil intuir Que
la relación entre ambas variables La podemos modelar De tal forma que la
variable dependiente Se represente como una función De la variable
independiente Es decir, que la puntuación En errores ortográficos Y sea
una función De las puntuaciones en vocabulario X Y obviamente si la
función parece lineal Tendremos que encontrar Aquellos valores de la
función lineal Que mejor ajusten estos datos En ese sentido es lo que se
dice Que vamos a modelar Estos datos mediante una función Lineal De la
variable independiente Para predecir la variable dependiente Visto el
diagrama Está claro que Ese modelo Ese modelo estadístico Va a ser Una
función Una línea recta Básicamente viene dada Por dos parámetros Que
son Aquí lo hemos denominado B y B0 Entonces Dados estos valores
numéricos B Al que le vamos a llamar pendiente Y vamos a ver
posteriormente Por qué se llama pendiente La pendiente es el valor Que
está multiplicando a la X Independiente que estoy utilizando En mi estudio
En este caso era Vocabulario La puntuación de vocabulario Multiplicada por
una constante B A la que vamos a llamar pendiente Más otra constante
Llamada B0 A la que le vamos a llamar Punto de corte con la ordenada Y
vamos a ver posteriormente por qué Este cálculo Para cada valor de X Una
vez que hayamos calculado Un valor de Y De la puntuación Pronosticada de
la variable dependiente Es decir, en este caso De los errores ortográficos
Pero como es una ecuación pronosticada A partir del modelo lineal Le hemos
puesto una prima Una coma En la parte superior derecha Esto lo denominamos
prima Indicando simplemente que La I No es la I Que estamos viendo en
pantalla No es la I que hemos medido Que tenemos en otros datos No son las
I que hemos visto En la tabla anterior Es la I Pronosticada, predicha Por
la recta de regresión Que vamos a construir a continuación Y estas
puntuaciones Y' Deben ser muy similares A las puntuaciones Y Realmente
observadas Pero no van a ser idénticas Porque obviamente Si vemos el
gráfico Hemos hecho En este caso Vamos a colocar una línea recta Aunque
ya está hecha Observen Si esta fuese La recta de regresión Que vayamos a
calcular Observen que Los valores Y predichos Van a quedar todos Sobre La
recta de regresión Los valores Y predichos Mientras que los valores
observados No Los valores observados Están unos más cerquita Otros más
lejos Uno por encima, otro por debajo De esa recta de regresión Entonces
los valores Y predichos Que están sobre la recta Son ligeramente
diferentes A los valores Y Observados Por eso hay que diferenciarlos
Entonces Si esta es la función Para cualquier Ecuación lineal Lo único
que tenemos que encontrar Es aquellos parámetros pendientes Y punto de
corte con la ordenada Es decir, B y B0 Que cuando se le aplique Este
cálculo Nos dé unas puntuaciones Y predichas Posibles a la Y empírica A
la Y realmente observada Vamos a poner unos cuantos ejemplos De funciones
lineales Para entender que son los parámetros Hemos visto anteriormente
Que esta era La fórmula general De cualquier función lineal Es el
parámetro pendiente B El parámetro punto de corte con la ordenada Y lo
único que hacemos es Que para cada valor de X Del eje de ordenadas Se
multiplica por la pendiente Se le suma B0 Y este nos da un valor Y En este
caso Y' Que sucede Que se encuentra justo En esta línea recta Si
graficamos Si damos valores En este caso arbitrarios A, B y B0 Estos
valores vivo que son arbitrarios De la función lineal Aunque muchos de
ustedes ya lo sabrán Pero nunca viene de más Un recuerdo Observen que he
graficado La función lineal Que vemos a mano izquierda La he graficado
dando Valores concretos A, B y B0 En concreto A, B la pendiente me he dado
5 Valor numérico Cualquiera Y a B0 el valor 8 Eso quiere decir Que el
valor de la ordenada vale 8 ¿Qué significa Ese 5 y ese 8? La pendiente
representa El grado de inclinación de esta recta Cuanto más inclinación
tenga La recta en este diálamo De coordenadas La pendiente es mayor Creo
que había hecho un gráfico Sobre... Lo vemos más adelante Aunque lo
vamos a repetir posteriormente Lo voy a indicar ya Lo que me indica Este
gráfico es que Lo que me indica la pendiente 5 Es que cuando yo me muevo
Una unidad En el eje de las fisas En el eje de las X Voy por ejemplo de 0 A
1 Me he movido una unidad En este gráfico ¿Cuanto subo En el eje Y? 5
unidades Eso es lo que indica la pendiente Por cada cambio de una unidad En
el eje X ¿Cuanto cambio en el eje de las Y? Vemos que para 0 El valor de
la función Estaría aquí Creo que serían Sería 8, efectivamente Pues
cuando X valga la unidad Y valdrá 5 unidades más 13 Es decir que un
cambio de una unidad En el eje X Me ha producido un cambio de 5 unidades En
el eje Y Eso es lo que representa B La pendiente Mientras que B sub 0 El
punto corto con la ordenada Está recta Al eje Y A la ordenada Aquí En 8
Cuando X vale 0 5 por 0 es 0 Más 8, 8 Entonces vemos que Dados esos dos
parámetros La pendiente y el punto corto con la ordenada Tenemos definida
cualquier función lineal Aquí tenemos otro ejemplo de función lineal Muy
importante En el contexto de la reversión Observen que aquí El punto
corto con la ordenada es 3 Cuando X vale 0 Y vale 3 Pero, ¿qué sucede con
la pendiente? La pendiente vale 0 Vemos que la función Es una función
Horizontal Cuando yo Me muevo una unidad En el eje de las X Paso, por
ejemplo De 0 a 1 ¿Cuánto me muevo en el eje de las Y? Nada La pendiente 0
Si nos encontráramos Con una recta de reversión De este tipo O no
significativamente diferente De una pendiente de 0 Significaría que La
variable X No me sirve para predecir Porque da igual El valor que tenga Y
hace siempre lo mismo Por consiguiente Veremos que cuando Queremos evaluar
Si una recta de reversión Es buena o mala Básicamente lo que queremos es
Ver si su pendiente Es distinta de 0 Porque si fuese estadísticamente No
pudiésemos rechazar la hipótesis De que vale 0 Significaría que nuestra
variable No sirve para predecir Por consiguiente La podemos eliminar La
recta de reversión No nos sirve para nada Por eso es tan importante Esta
función lineal Una función lineal también Se puede expresar En
puntuaciones diferenciales Observen de nuevo que X e Y Están en
minúsculas Lo cual quiere decir Que son puntuaciones diferenciales Esta X
Es la media De sus datos Mientras que esta Y Será Y' menos Su media Son
puntuaciones diferenciales Vemos que Esta B es la misma Que en el caso de
la De la función En puntuaciones directas No hemos dado ningún símbolo
distinto Es B mayúscula y punto Esto significa que la pendiente En
puntuaciones diferenciales Es la misma Que en puntuaciones Directas Es
exactamente lo mismo Voy a intentar Puntuaciones directas Y' igual a B Por
X directos Más B Sub cero La única diferencia que existe Entre estas dos
funciones Es que en puntuaciones diferenciales B Vale cero Por tanto no se
pone Y eso significa que En puntuaciones diferenciales La recta de
reacción Siempre pasa Por el punto 0,0 Por el punto donde se cortan Los
dos ejes de coordenadas Esto en puntuaciones diferenciales Y en
puntuaciones tipificadas Vemos una relación Un poquito diferente Mientras
que En los dos casos anteriores Al menos coincidía la pendiente En
puntuaciones tipificadas La pendiente es distinta Y justamente vale La
correlación entre X e Y En puntuaciones tipificadas La pendiente de la
recta de regresión Entre las puntuaciones tipificadas de X Y las
puntuaciones tipificadas de Y Esa pendiente que antes era B Ya no es B Es
un valor distinto Y ese valor es Coeficiente de correlación El que hemos
calculado previamente Son tres funciones listas Funciones lineales
Expresadas cada una de ellas En función de cómo hayamos Puesto las
puntuaciones En directas, diferenciales o típicas Lo importante es que
Aunque tengan distinta expresión Las tres son funciones lineales Son
rectas Y las tres expresan La misma relación entre X e Y Lo que pasa es
que cada una de ellas Es una escala distinta Pero expresan la misma
relación Entonces, muy importante Al ser una estimación Lo que hacemos
con la recta de regresión Es Calcular Veremos próximamente cómo Los
parámetros pendiente Y punto de corte con la ordenada Que mejor ajustan
los datos Y esto nos va a dar para cada X Una predicción Una Y' Y esa Y'
es una estimación No es el valor observado Esta estimación Y' Se
acercará más o menos Al verdadero valor de la variable dependiente Al
verdadero valor Es decir, al valor que hemos medido Este ajuste El ajuste
entre la Y' Y la Y observada Será mayor cuanto mayor sea la relación
Entre las variables Cuanto más estrecha sea esa relación Es decir, cuanto
mayor sea La correlación, más estrecha Será la relación entre Y' Y Y' E
Y Aún sabiendo que esa mejor relación Puede ser representada por una
función lineal Queda aún por determinar cuál De las muchas funciones
lineales Es decir, para cada parámetro B y B0 Vamos a tener una función
lineal Como B y B0 Son valores que pertenecen Al conjunto de números
reales Posibilidades para escoger B y B0 Tenemos infinitas rectas Para
ajustar nuestros datos Y la pregunta es ¿Cuál es el par de valores B y B0
Que mejor ajustan los datos Que mejor ajustan Los datos del diagrama Para
ello vamos a tener que calcular Esos valores Pero antes Indicar que si
deseamos predecir El comportamiento de la variable dependiente Utilizando
su relación Con la variable independiente Una vez hecha la predicción Una
vez que hayamos calculado Que todavía no lo hemos hecho Una vez que
hayamos obtenido La predicción, la Y' Vamos a ver que en muchos casos En
la mayor parte de los casos Difiere de la Y observada Esa diferencia entre
Y Y predicha Y observada Se le llama error Es el grado en que Mi función
lineal ¿En qué grado mi función lineal Ajusta los datos? Pues en el
grado en que Estén cercanos los valores predichos Con los valores
observados Y la diferencia entre esos valores El predicho y el observado Lo
vamos a llamar error Entonces Para recapitular Hemos dicho que la función
lineal Que queremos ajustar a nuestros datos Es esta V0 más V por X Siendo
V la pendiente V0 el punto de corte con la ordenada Son parámetros que
tenemos que estimar A partir de los datos YX es la variable predictora La
aplicación de estos valores Nos va a dar Una puntuación predicha Ahora
bien Para predecir Para que el modelo Se ajuste a los datos Como hay un
error Tenemos también que Introducir en la ecuación Un componente aditivo
Es decir, una suma De un error Que obviamente no lo conocemos Si lo
conociéramos Así Observadas Pero tenemos que introducirlo en la ecuación
Para hacer constancia De que hay algunos componentes Que hacen que la
relación No sea absolutamente lineal Entonces Ese error Para cada
puntuación observada Y Valdrá Tendrá un determinado Valor numérico
También los errores tienen Hay que indexarlos Con el subíndice Y Porque
hay un error distinto para cada sujeto Lo más importante es que El error
es la diferencia Entre la puntuación observada Menos la puntuación
predicha Por la ecuación de regresión Esa diferencia entre Lo observado y
lo predicho La vamos a llamar error Y tendremos un error Por cada uno de
los datos observados Si La Desarrollamos según la función lineal Pues
tendremos La expresión del error Completa Es decir Esta predicha es lo
mismo que esto Por lo consiguiente Tenemos la misma función Del error que
antes A este error también se le llama Muchas veces residuo Residuo porque
Es la parte De La predicción Que la línea Deja de predecir Por decirlo
así Hay una parte que predice Y una parte que no predice Y ahora lo más
importante Si queremos que nuestra predicción Que los valores Que vayamos
a calcular De B sub cero Y de B sean buenos ¿Qué tendremos que hacer?
¿Qué tenemos que conseguir Una vez que sabemos Que no queremos? Pues Lo
que tendremos que hacer es que La suma de esos residuos Porque habrá un
residuo Para cada uno de los datos Hacerlo lo más pequeño posible Es
decir, el objetivo es minimizar Esta suma de residuos Al cuadrado Al
cuadrado porque queremos castigar Más fuertemente errores grandes Que
errores pequeños Entonces al elevarlo al cuadrado Un valor, un residuo Un
valor numérico Elevado Se incrementa muchísimo más Que si el residuo
fuese pequeñito Es una de las razones por la que No simplemente
minimizamos La suma de los residuos Sino la suma de los residuos Al
cuadrado Estos son otros datos distintos A los anteriores Pero vamos a
explicar Lo que hemos visto anteriormente Era un gráfico Que tenía
preparado De otras transparencias Y lo he utilizado aquí Aquí tenemos,
por ejemplo Un caso en el que La variable independiente La variable
predictora Es el tamaño de una araña En centímetros Se les presentó a
una serie de sujetos Con ansiedad Hacia las arañas Y se medió la ansiedad
Que tenían Y Esto sería x La ansiedad que tenían A partir de la
constancia De la piel Vemos claramente Que la función Parece lineal y
positiva La pendiente parece positiva Pero, ¿qué función lineal sería
mejor? Esta No lo sabemos Pero ahora ya tenemos Un criterio Con el que
podemos establecer Cual de esas funciones es mejor La minimización De los
residuos Al cuadrado ¿Y qué es un residuo? Bueno, pues sea cual sea La
función lineal Que vayamos a escoger Aquí me he puesto uno en negro Lo
más importante es que Para cada valor observado La recta de regresión
Hará una predicción y prima Y el valor observado será otro Aquí, por
ejemplo Tenemos que para este dato Esta es la i Para un determinado sujeto
La recta de regresión No predice A este sujeto Se le presentó una araña
Que será aproximadamente De unos 11 centímetros Lo que la recta de
regresión Predice para este sujeto Es que La ansiedad medida en GSR Será
aproximadamente de unos 22 Este es el valor Predicho por la recta de
regresión Mientras que el verdadero valor Observado Para ese sujeto Es de
30 Vemos por consiguiente Que hay una diferencia Entre i E y predicha Esa
diferencia viene dada aquí Por esta línea Discontinua Ese es el error
Para ese sujeto Si el objetivo ahora Es minimizar Vemos los errores Para
cada puntuación Los estoy señalando Esos serían los errores La
diferencia entre el valor observado Y el valor predicho para cada sujeto
Este por ejemplo Vemos que casi no tiene error Estos son los errores Ahora
Lo que queremos es minimizar Estos errores al cuadrado Si lo vamos al
cuadrado ¿Dónde está? Aquí está Si lo vamos al cuadrado Y poniendo
como ejemplo otra vez Lo que estamos calculando No es ya Esta longitud Si
no es esta longitud Al cuadrado significa calcular El área de ese cuadrado
Para cada una De las puntuaciones Observemos como Errores pequeñitos Al
elevarse al cuadrado El área Que obtenemos es mucho menor Que con un error
grande Lo elevamos al cuadrado Esa es la razón de elevar al cuadrado Y lo
que hacemos entonces Es minimizar Es coger la recta Que me haga mínima
Esta suma de cuadrados Con lo cual A ver Es decir Elevamos al cuadrado La
distancia entre I Menos I predicha Y sumamos todos esos cuadrados Esa suma
Es el error Cuadrático Porque I menos I prima Es el error Al elevarlo al
cuadrado Es el error cuadrático Y lo que estamos haciendo es Un sumatorio
Ese error cuadrático Vamos a minimizarlo Y solamente hay una recta Que
haga mínimo Ese error Por esta razón, este método de ajuste De una recta
de regresión Se conoce como Ajuste por mínimos cuadrados Cuando dijimos
el último día Que era Queríamos encontrar la recta La mejor recta que
ajustara los datos Y eso de mejor Queda un poco en el aire Que es lo mejor
Aquí hemos encontrado un criterio Para establecer que es lo mejor Y este
criterio Hay otros Pero este criterio Es minimizar Al mínimo Esta suma de
errores cuadráticos Minimizar Escoge aquella recta Que cuando calcules
estos errores al cuadrado Con respecto a estos datos Haga mínimo Y eso se
consigue No vamos a demostrarlo Porque haría falta cálculo diferencial Se
consigue De la siguiente forma En primer lugar Para calcular La pendiente
de esa recta Que hace mínima La suma de cuadrados Esa B La pendiente Todo
lo que tenemos que hacer es Multiplicar el coeficiente de correlación Que
hemos calculado con los datos Directos Por el coeficiente entre La
deviación típica de Y Partido por la deviación típica de X Este
cálculo Nos va a proporcionar La pendiente de la recta Que mejor ajusta
esos datos Según el criterio De mínimos cuadrados Mediante las
puntuaciones directas Aquí se ven que hemos utilizado Una fórmula
relativamente sencilla Y que exige Disponer de la tabla anterior
Necesitamos las deviaciones Típicas de X y de Y Y su coeficiente de
correlación Lo podríamos calcular Y obtenemos el mismo valor Mediante
esta otra fórmula Que parece más complicada Pero se ve que es Podemos
calcular la anterior Y aplicar estos cálculos Tenemos un coeficiente entre
El numerador tenemos N, el número de datos Por el sumatorio de X por Y
Menos El producto del sumatorio de X Por el sumatorio de Y Observen que son
puntuaciones directas Porque X e Y están en mayúscula Partido por N Por
el sumatorio de X al cuadrado Menos El sumatorio de X al cuadrado Este
cálculo me da La pendiente Si queremos utilizar Las puntuaciones directas
También podemos utilizar Esta ecuación Vemos que Por ocasiones que nos
falte Podemos O debemos utilizar aquella ecuación Que Que nos sea más
cómoda en cada caso Si por ejemplo En un enunciado nos han dado La
correlación Y la varianza de las puntuaciones originales Pues parece
lógico Que esta ecuación es directa No tenemos que hacer más cálculos
Pero si nos han dado, sin más Los datos directos Y no nos han dado
estadísticos descritivos Esta podría ser la opción Más directa En este
caso Aplicado a A nuestros datos Aquí Me ha faltado el No se ve el
resultado Vale He hecho el cálculo Con las puntuaciones directas Es decir
He puesto Dieciséis Que es el número de datos N Por el sumatorio de X por
Y En la tabla anterior vimos Que el sumatorio de X por Y Varia 1561
Entonces El producto de estos dos factores Menos El sumatorio de X Este
factor Sumatorio de X Que es 102 Por el sumatorio de Y Que es 218 Este
segundo factor La diferencia entre esto y esto Nos dará el numerador
Partido por N, 16 16 sujetos Por el sumatorio de X al cuadrado Que vale 764
Menos El sumatorio de X Que es 102 Al cuadrado Y este cálculo nos tiene
que dar B La pendiente de la recta de regresión Que mejor ajusta Esos
datos Si hemos calculado B Calcular Recuerden, B la pendiente E integra el
grado de inclinación De esa pendiente Cuanto mayor sea B Significa que
más inclinada Está la pendiente Nos falta Encontrar B sub cero El punto
en el que esa Recta con esa inclinación Cruza El eje de las IS Voy a
intentar Hacer Supongamos que este es El eje de coordenadas El sistema de
ejes de coordenadas Con X e Y Si hubiéramos calculado Esta recta de
regresión Con una determinada pendiente Observen que corta Al eje De
Bueno, esa sería Una posibilidad Voy a intentar dibujar ahora Otra recta
de regresión Con la misma pendiente que esta Observen que sin Salvo
errores de De precisión Estas dos rectas tienen La misma pendiente Y esta
Tiene la misma pendiente Salvo errores de Pero cortan Las rectas de
regresión En puntos distintos Esta la corta aquí Esta aquí Y esta aquí
Por consiguiente, observen que Estas rectas tendrían todas El mismo valor
de B De la pendiente Pero aún así existirán infinitas Rectas con esa
pendiente Para identificar la recta Que necesitamos Necesitamos conocer B
sub cero Simplemente tenemos que Hacer uso De esta fórmula La media de I
en puntuaciones directas Menos la pendiente que hemos calculado En el paso
anterior Multiplicado por la media de X Este cálculo nos va a dar Un valor
concreto para B sub cero Y ya tendremos definida La recta que mejor ajusta
los datos En este caso De nuevo tengo aquí Los Los cálculos 13.625 es la
media De X Perdón, de I No, un momento De I 13.625 Menos el producto De la
pendiente que hemos calculado En el paso anterior Que era 1 punto Era 1.50
Por La media de X Que vale 6.375 Y esto nos va a dar un valor Para B sub
cero Por consiguiente ya tenemos B Que vale 1.50 aproximadamente Y B sub
cero Que vale 4.275 Por consiguiente ya tenemos B sub cero Y tenemos B Ya
tenemos la recta de reversión 1.50 más 4.27 Por X Ahora, para cada valor
De X Yo tendré un valor de I Predicho Por una función lineal En concreto
esta función lineal Que es la que mejor me ajusta Los datos según el
criterio De mínimos cuadrados Y tenemos entonces Ya hemos hecho el ajuste
Un ajuste según El criterio de mínimos cuadrados La recta Cruzará El eje
I En el punto 1.5 aproximadamente aquí Voy a intentar dibujarlo a mano
Aquí 1.5 Y tendrá una pendiente Aproximadamente de 4 Es decir, que por
cada unidad Que yo me desplace en el eje X Subirá en el eje I 4 unidades Y
esta recta me asegura Que los errores al cuadrado Entre la puntuación que
predice La recta Y la puntuación observada Esos errores Son mínimos Al
cuadrado Pero sabemos que estamos todavía No hemos hecho nada De
estadística inferencial Todo esto es descriptivo Luego veremos que Para
cada uno de los componentes Que estamos trabajando aquí Para B sub 0 Para
B Necesitamos establecer Sus contrates estadísticos En términos
inferenciales Porque esto lo hemos calculado Con esta muestra De 16 sujetos
Pero la estadística inferencial Quiere ir más allá Estos datos
Muestrales a la población En la que estemos interesados Y por consiguiente
Necesitaremos contrates estadísticos para B Para B sub 0 Para B Sus
intervalos de confianza Y luego Un contrate estadístico global Para Ver en
qué medida Esa recta de regresión Es buena o mala En conjunto Entonces
vemos que aquí Los contrates estadísticos Se disparan porque tenemos más
parámetros Tenemos B sub 0 Y necesitamos un contrate estadístico Para ver
si ese B sub 0 Es igual o no a 0 Para ver si la pendiente Es igual o no a 0
Sus intervalos de confianza Para cada uno de los parámetros Y luego Ver si
la recta de regreso En qué grado Porque de momento estamos Hablando
solamente en términos Decretivos Haber calculado Los valores B Y B sub 0
Los dos valores que me definen La recta de regresión Que mejor ajustan los
datos Según el criterio de mínimos cuadrados Me permite lo siguiente En
primer lugar Que el sumatorio Sumatorio para todos los sujetos Es decir, la
puntuación observada Menos la puntuación predicha Por la recta de
regresión Que hemos calculado Es decir, estos son los errores El sumatorio
de esos errores Será 0 Es una característica De este tipo de ajuste De
regresión por mínimos cuadrados El sumatorio de los errores Sin grabar el
cuadrado Es 0 Porque si vemos Este ejemplo Vemos que hay errores Que son
positivos Y otros que son negativos Hay casos en los que la puntuación
observada Está por encima de la recta Y otros en los que está Por debajo
de la recta Y por consiguiente Cuando la puntuación observada I Esté por
encima de la recta de regresión Y su I será mayor Que la I predicha El
error será positivo Y a la inversa Cuando la puntuación predicha Este
error será negativo Pero lo importante es que Según este criterio de los
mismos cuadrados Ese sumatorio De los errores Nos da 0 Mientras que Ese
sumatorio de los errores Al cuadrado Obtiene un valor mínimo No hay
ninguna otra Otra recta de regresión Que me permita obtener Un sumatorio
De errores al cuadrado Más pequeño que el que voy a obtener Con esta
recta de regresión Ninguna otra Por eso dice que es mínimo Cualquier otra
recta de regresión Que utiliza con valores distintos De B y B sub 0 Me va
a conseguir un sumatorio Superior a este sumatorio De errores al cuadrado
Estas son dos características Distintas De la recta de regresión Que se
consigue mediante este procedimiento Y Si tenemos Puntuaciones de error
Estos son los errores La puntuación I Observada menos la predicha Por la
recta de regresión que hemos calculado De estos errores podemos conseguir
también Una varianza Como un estadístico descritivo Porque ya hemos visto
que la media Bueno, la media no La media va a ser 0 La media de los errores
va a ser 0 Porque E La media será El sumatorio De los errores Partido por
N Pero el numerador es 0 Por consiguiente La media de los errores también
vale 0 Pero no así su varianza Su varianza Si la Calculamos mediante El
mejor estimador de la varianza poblacional De estos residuos Es el valor
que ven en pantalla Sumatorio de los errores al cuadrado Lo mismo que una
varianza Pero aplicado a los errores No, perdón, perdón Me estoy
equivocando No Esta varianza no es No estamos utilizando aquí La media de
los errores La puntuación pronosticada Esto es la varianza de los residuos
La puntuación de error En eso no hay ningún error Elevado al cuadrado Y
partido por N-2 Y eso nos indica claramente que Al número total de datos
Le hemos quitado Dos unidades Significa que estamos utilizando Una
estimación poblacional Insesgada De La varianza de error Poblacional Por
eso Vemos ahí el sombrero, el hat Varianza de los errores Insesgada
Poblacional por consciente De los errores viene dada Por esta fórmula Que
es simplemente El sumatorio de los errores Al cuadrado Partido por N-2 Y
este es el mejor estimador De la varianza de los residuos Cuando comience a
Cometer algún tipo de errores Que ya estoy cansado Así que no sé si
seguir Bueno, un poquito más y lo dejamos Una vez calculados los
parámetros B y B0 Podemos construir la reacción Que es lo que hemos hecho
anteriormente En donde vamos a tener La puntuación pronosticada Como el
sumatorio de El punto de acuerdo T con la ordenada Que hemos calculado Más
el producto De la pendiente Por los valores de X correspondientes Más un
error Que es el error de predicción Y este error de predicción Está
compuesto por las distancias Entre cada valor de Y Y el valor predicho Para
un valor determinado de X Para ese valor determinado Si lo aplicamos a
casos concretos X tendría que tener un subíndice Y correspondientemente
otro Así como el error Entonces, en el análisis Por recapitular En el
análisis de revisión simple Estamos utilizando una única Variable
independiente El coeficiente B se conoce Como pendiente de la recta Ya
hemos explicado por qué Y nos cuantifica el incremento Que se produce En
la estimación de la variable dependiente Y prima y predicha Cuando la
variable independiente aumenta En una unidad Es una forma de estandarizar
En este caso El significado de B La estimación de Y para un valor De X
igual a 4 Aplicamos los valores que hemos obtenido Para B y B sub 0 Con X
igual a 4 Nos daría una hiperdicha de 10.03 Y para una X de 5 Observamos
que entre esta X Y esta otra X Hay una unidad de diferencia Daría igual
que hubiéramos cogido X igual a 4 Y X1 igual a 4 Y X3 igual a 5 Que haber
cogido X igual a 0 Y X2 igual a 1 Siempre que haya una unidad De diferencia
Entre estos dos valores Vamos a poder ver El significado de B Aquí hemos
cogido simplemente El primer valor de X igual a 4 Por consiguiente el
segundo 5 Hemos calculado entonces Para X igual a 4 Cuanto vale la
hiperdicha 10.03 Y para X igual a 5 El valor de hiperdicha es 11.58 La
diferencia Entre los dos valores La diferencia entre 10.03 Y 11.58 Es lo
que representa el valor de B Al aumentar X en una unidad Cuando aumenta y
prima Ese es el valor de la pendiente En el caso del ejemplo La pendiente
nos dice que Los escolares Con cada punto más Que obtengan en la prueba de
vocabulario Van a detectar en promedio 1,5 errores más En la prueba de
lectura Aquí lo vemos gráficamente Para X igual a 2 Es un valor distinto
Que hemos obtenido anteriormente Aplicamos la recta de regresión anterior
Y obtenemos Que Y Para X igual a 2 6.92 Aquí está mal El gráfico está
mal Para X igual a 3 Ah, no, no, no está mal Este es el gráfico anterior
Para X igual a 2 Hemos visto antes que era 6 y pico Era 6.9 Y para X igual
a 3 Que es el gráfico que tenemos en pantalla El valor que predice Es 8.47
En el eje De las X Vemos que hay Una unidad de diferencia Por consiguiente
ahora buscamos Cuanto hay en el eje Y 8.4 Menos 6.9 1.5 Este valor es Lo
que nos indica La pendiente De la recta de regresión Que hemos calculado
Cuanto sube Cuando se incrementa Y Cuando la X Se incrementa Una unidad Da
igual en que lugar del eje X Calculemos la variación De Y Al ser una
línea recta Ese cambio es siempre el mismo Siempre que el cambio en X Sea
igual a la unidad Obviamente Ahora, si B Valores cercanos a 0 Lo que nos
está indicando Es que no existe Capacidad predictiva Bueno, si existe
regresión lineal Esto es falso Claro que existe regresión lineal Pero X
no nos sirve para predecir Y Da igual en que punto del eje X Nos
encontremos Y va a ser siempre el mismo Entonces cuando B Este cercano a 0
Indica que mi variable predictora No es buena variable predictora Bueno,
esto es lo mismo Que hemos visto anteriormente Lo que pasa es que el
gráfico Ya está completo Se ha agrandado La recta Esta pequeña parte De
la recta Este gráfico Se ha agrandado aquí Vemos aquí la recta de
regresión completa Calculada para X igual a 5 Nos daría 11.5 Y para X
igual a 4 Nos daría 10.049 Es decir Un cambio de una unidad De 4 a 5 Nos
produce un cambio de N Es decir Este Cambio vertical Es de 1.5.05 Es lo El
significado de De B Y el significado de B sub 0 Es Este En donde corta la
recta que hemos calculado Donde corta el eje de AFISAS Lo más importante
De esta recta de regresión Es B No siempre, hay que juzgarlo Con mucho
detenimiento En función de lo que estemos Investigando, pero normalmente
Lo que nos interesa es B ¿Por qué? Pues por lo que hemos dicho
anteriormente Si B está cercano a 0 Significa que Mi Variable predictora
no es buena Sin embargo, el punto en el que La recta corte El eje De la
AFIS Pocas veces es Interpretable o O interesante Todo depende del contexto
En el que nos encontremos Esto es lo general Por lo que B sub 0 es
importante Pero de forma general B sub 0 no es un concepto interpretable En
el mismo sentido en que lo es la pendiente De hecho, casi nunca es objeto
de interpretación Casi nunca Salvo cuando el valor 0 se encuentre Dentro
del rango de valores De la variable independiente Por ejemplo En el caso
Que han puesto Como ejemplo No había ningún caso En el que 0 En X Todos
tenían una puntuación Superior a 0 Incluso muchas veces Bastante superior
En este caso tiene poco sentido Decir que un sujeto tiene En vocabulario 0
Significa que no sabe nada Sobre su idioma Entonces ¿Qué interpretación
se le puede dar a eso? En ese sentido es poco interpretable Si encontramos
Valores de X Suficientes para 0 Pues en el caso Sustantivo En algún caso
sustantivo Podríamos tratar de interpretarlo Pero no es muy general
Entonces La constante de la recta de reacción B sub 0 Nos señala el punto
en el que esta Corta el eje de ordenadas Es decir El valor estimado de Y
Cuando X vale 0 Nada más Si Si no es el caso De que Los valores de X El
rango de valores de X Incluyan 0 Entonces la recta de reacción Solamente
se puede interpretar Dentro del rango de valores De la variable
independiente Pues es con esos valores Con los que se ha construido La
recta de estimación Fuera de ese rango No se sabe que sucede con la recta
Incluso si es una recta Y por tanto podría ser Que por debajo del menor
valor De la variable independiente O por encima del mayor valor De esa
variable independiente La función de estimación Cambiara su forma Dejara
de ser una recta Creo que fue un ejemplo Este es el ejemplo típico Vemos
que Si solamente tuviéramos valores Vamos a ponerlo en verde Si solamente
tuviéramos valores Entre 1960 y 2011 Para el incremento De la temperatura
global De nuestro planeta Si solamente tuviéramos Este conjunto de valores
Estoy desarrollando en rojo Una función lineal Sería una buena
estimación De estos datos ¿Estás de acuerdo conmigo? Ahora bien Irnos
Hacer inferencias Por encima De los valores que tenemos Por encima de 2011
O por debajo de 2011 Cuando no dispusieramos esos datos Sería arriesgado
No es incorrecto hacerlo Pero hay que tomar medidas Y ser conscientes Que
fuera de esa gama de valores La función puede no ser lineal De hecho en
estos casos Vemos que por debajo de 1960 La función no es lineal Sino que
yo diría claramente Que tiene una forma Tiene componentes sinusoidales
Pero a partir de 1960 El componente lineal está clarísimo Es a eso a lo
que se refiere Lo que se indicó En la preparación anterior La recta de
regresión Solamente se puede interpretar De forma absolutamente rigurosa Y
correspondiente Porque hemos construido La recta de regresión Con esos
valores Fuera de esos valores Estamos en territorio peligroso Ya a partir
de este momento Pasamos a las inferencias Todo lo que hemos visto hasta el
momento Son cálculos De la recta que mejor ajustan los datos Mediante el
criterio de mismos cuadrados Es estadística descriptiva A partir de este
momento Pasamos a la estadística inferencial Y por consciente siempre
tenemos El mismo sistema Supuestos Hipotesis 1 de hipotesis alternativa
Estadístico de contraste Valor crítico Rechazo de h sub 0 Y como esto es
ya Pasar de nivel Lo dejamos para el próximo día Nos quedamos en la
Transparencia 69 Por último comentarles El último día creo que les
hablé también De que los científicos Suelen tener En los medios de
comunicación A las películas por ejemplo Proporcionar cierta imagen De
los científicos El científico loco El científico que está en su mundo Y
no se entera de lo que sucede a su alrededor Vamos a ver Le voy a comentar
Una anécdota Que le sucedió a Einstein Explican ustedes Si cuadra O qué
característica Le darían ustedes al científico En este caso a Einstein
Con esta anécdota A principios del siglo XIX Einstein fue invitado Por el
inglés Haldane A una fiesta Una velada con diferentes personalidades Entre
estas había Un aristócrata muy interesado En los trabajos de Einstein
Tras haber estado Conversando con Einstein Un largo rato El aristócrata le
explicó Que había perdido recientemente Su mayordom Y que aún no había
encontrado Un sustituto Le dice, mire la raya de mi pantalón La he tenido
que hacer yo mismo Esta mañana Y el panchero me ha llevado Casi dos horas
A lo que Einstein comentó Me lo va a decir usted a mí Ve usted estas
rugas de mi pantalón Pues se tardaron casi cinco años En conseguirlas
¡Adiós!