Hola, bienvenidos. Seguimos con el tema 8, la tercera parte. Nos habíamos
quedado ayer en los supuestos para aplicar la regresión en lineal simple o
múltiple. Estos supuestos son casi como siempre en estadística
paramétrica. El primero de ellos es independencia de las observaciones.
Normalmente las observaciones suelen ser independientes. Siempre hay que
verificarlo. No obstante, en términos prácticos solamente se contrasta si
el proceso de selección de la muestra no ha sido aleatorio, que en
psicología suele ser. Entonces, los supuestos desde mi punto de vista
siempre habría que ponerlos a prueba, que evaluarlos. Independientemente
porque es lo que da firmeza a cualquier análisis estadístico. Siempre se
oyen las críticas a la estadística. Como que la estadística, no sé
quién decía, que estaban las mentiras, las grandes mentiras, y la
estadística. Es una forma, desde mi punto de vista, negativa de ver la
estadística. La estadística simplemente es una técnica de análisis
matemático. Lo que pasa es que trata con incertidumbre. Y eso es muy
difícil de capturar para la mente humana. Normalmente necesitamos
certidumbre. Cosa que la estadística no nos da. Siempre hablamos de
probabilidades. Y uno de los fundamentos de la estadística, como de
cualquier edificio, es que se cumplan los supuestos. Si se cumplen los
supuestos, la estadística nos da información valiosísima. Por eso los
supuestos hay que ponerlos a prueba desde mi punto de vista siempre. Porque
son los que te garantizan que los resultados del análisis estadístico,
aunque se pueda equivocar, ya lo sabemos, pero son válidos si los
supuestos se cumplen. No hay más. Entonces, para la relación simple,
independencia de las observaciones, homocelasticidad, lo mismo que sucedía
en el análisis de varianza. Su cumplimiento supone que las varianzas de
las distribuciones de los errores condicionadas a los diferentes valores de
la variable independiente de X deben ser iguales. Vamos a ver qué es esto.
No, no estaba aquí. Vamos a ver. Para cada valor de la variable
independiente, la recta de regresión nos permite predecir una puntuación
en la variable dependiente. Es I'. Es obvio que en situaciones reales, ya
hemos visto incluso en este ejemplo, en el ejemplo del que parte el texto,
que la puntuación predicha por la recta no coincide con la puntuación
observada. Se aproxima, pero no coincide. Esa diferencia es el error. Si
tenemos a varios sujetos que tengan la misma puntuación en la variable
independiente, por ejemplo, creo que en el texto la variable independiente
era vocabulario, si nos cogemos a varios sujetos, diez sujetos, veinte
sujetos, todos con la misma puntuación en vocabulario... Voy a ir un
momento a cerciorarme que era vocabulario la variable con la que estábamos
trabajando... Porque ya no lo recuerdo... Estaba al principio... A ver, eso
está más sencillo de ir a... Ah sí, efectivamente. Una prueba de
vocabulario X es vocabulario. Imaginemos que nos cogemos a veinte sujetos
que tengan la misma puntuación en vocabulario 10. Después de ajustar la
recta de regresión, vamos a obtener una determinada puntuación
pronosticada para esos veinte sujetos que tienen la misma puntuación en la
variable independiente. Pero la puntuación en la variable independiente no
va a ser la pronosticada, va a ser algunos un poquito superior, algunos un
poquito inferior a esa pronosticada. La diferencia para cada uno de los
veinte sujetos entre lo pronosticado y la puntuación real observada en Y
será el error. Ese error debe ser... La variante de esos errores debe ser
la misma para los diversos niveles de la variante. La variable
independiente. Si antes hemos dicho que nos habíamos cogido veinte sujetos
en vocabulario que puntuaban en 10, la variante de los errores en ese grupo
de sujetos debería ser la misma que la variante de otros veinte sujetos
que puntuaran en vocabulario 12 o 15 o 20. Eso es a lo que se refiere con
condicionada. Recordemos que en estadística, en análisis de datos sudo,
se vio el concepto de condición cuando se vio el tema de probabilidad y se
hablaba de probabilidad condicionada. ¿Cuál es la probabilidad de...
Perdón, el ejemplo puede ser un poco... no era apropiado para estas
fechas, pero es el que me viene a la mente ahora. ¿Cuál es la
probabilidad de una persona de 60 años muera? La condición es 60 años. Y
entonces de ese grupo de personas de 60 años evaluamos la tasa de
defunciones, por ejemplo. Esa probabilidad va a ser distinta si decimos
cuál es la probabilidad de que una persona fallezca a los 15 años.
Entonces la condición es 15 años. La tasa de fallecimiento para... o la
probabilidad de fallecimiento para el grupo de personas de 15 años
condicionada a ese valor de edad. Esa era la condición. Y lo poníamos
como así. Probabilidad de que se produzca algo, de que la variable
dependiente y valga algo, dado, y esto se representaba mediante una línea
inclinada, que x, la condición, vale tanto. La probabilidad de y
condicionada a x. Hemos determinado el valor de x. Aquí pasa lo mismo.
Para cada valor de x del vocabulario vamos a tener una distribución de
errores en y. Esa distribución de errores va a tener una varianza. Y lo
que planteamos es que la varianza de los errores sea la misma
independientemente del valor de y en el que estemos realizando el
pronóstico. Eso es lo que se llama homocelasticidad. En el contexto de la
realidad, en el caso de la regresión lineal. Otro supuesto es normalidad
de las distribuciones, de nuevo, condicionadas a los diferentes valores de
la variable independiente. Creo que hay un gráfico que lo explica todo muy
bien. Luego vuelvo a este... Aquí está el gráfico. Observen. Aquí
tenemos la recta de regresión dibujada en negro. La volveré a dibujar en
rojo para que... Son unos datos hipotéticos. Esa es la recta de
regresión. Entonces, observamos que para un determinado valor de x, para
ese valor de x, condicionada a ese valor de x, la recta de regresión
predice que la variable independiente valdrá y'. Como no hay valores
numéricos en y es... Vale eso. Ahora bien, todos sabemos que si cogemos a
sujetos que tengan esta puntuación de x, a varios sujetos que tengan esa
puntuación en x, no todos van a, ni mucho menos, a coincidir en esa
puntuación y'. Algunos van a estar aquí, otros van a estar aquí,
otros... Va a haber una dispersión de valores todos en la misma recta de
x, porque todos puntúan lo mismo en x, pero y va a ser distinta. Lo
importante es que los errores, la distancia entre el valor pronosticado y
el valor observado de todas estas puntuaciones, esos errores se distribuyen
normalmente, como se puede ver en la pantalla. Y además sean idénticas
esas varianzas independientemente del valor de x que escojamos. Esa
varianza debe ser la misma que la varianza para... Este x, estas
puntuaciones que se van a observar, que se van a medir aquí, van a tener
unos errores, es decir, una diferencia con respecto al valor pronosticado
por la recta de regresión, pero esas varianzas todas deben distribuirse
normalmente y las variantes no deben diferir en función del valor de x.
Esto es lo que se conoce como la... La condición. Y es lo que aquí se
refleja en y barra x. Lo que está detrás de la barra es la condición.
Entonces, lo que nos está indicando este supuesto es que la distribución
de los errores debe ser idéntica. Si no fuese idéntica, estas
distribuciones tendrían unas mayor variabilidad y otras menos
variabilidad. Unas serían más apuntadas, otras menos. La división
típica sería diferente. Pero vemos que no. Vemos que en este caso,
estamos asumiendo que se cumplen los supuestos, todas las distribuciones,
independientemente del valor de x a que lo estemos condicionando,
independientemente del valor de x a que lo estemos condicionando, las
distribuciones tienen la misma forma normal y además no difieren en
deviación típica. Esos son los dos supuestos que hemos visto
anteriormente. Es decir, homogedasticidad, todos los errores de ese
gráfico valían lo mismo independientemente de que x fuese mayor o menor y
dentro de una misma condición para un mismo valor de x la distribución
era normal. Las distribuciones condicionadas de los errores eran normales.
Un último supuesto es la independencia entre los valores estimados, las i'
estimados obviamente por la red de regresión i' y los errores de
estimación la diferencia entre el valor observado y el valor predicho.
Debe haber independencia estadística entre esos dos términos i' y el
error. Eso se expresa en términos de que el coeficiente de correlación el
coeficiente de correlación r que es como normalmente expresamos la
correlación y tenemos dos subíndices i' que nos expresa, nos indica las
puntuaciones predichas por la red de regresión y los errores. Entonces la
correlación entre esas dos variables debe ser cero. Ese es uno de los
supuestos es decir, el saber la puntuación pronosticada para un
determinado valor de x no puede indicar nada sobre la magnitud del error.
De tal forma que el error es el mismo independientemente de que x sea muy
grande, pequeño, mediano da igual. No hay información de i' con respecto
al error o al inverso. Esto es así debido a que los errores se
distribuyen, o deben distribuirse para que la regresión lineal la
aplicación de esta técnica nos proporcione resultados correctos los
errores deben distribuirse de manera aleatoria. Pero obviamente los
pronósticos no. Los pronósticos, las estimaciones que hacemos a partir de
la red de regresión estimada previamente son una función de la variable
independiente una función lineal no son aleatorios. Por consiguiente una
serie de puntuaciones i' que no son aleatorios no debe correlacionar con
una serie de puntuaciones de error que sí son aleatorias. Ese es el cuarto
supuesto. Y en esta gráfica se expresa claramente lo que se ha dicho
anteriormente no me deja borrar lo que he hecho anteriormente así que lo
dejamos. Es importante observar que se estima que la distribución de los
errores debe ser idéntico independientemente del x en el que nos situemos
deben ser normales que los errores no son esta gráfica que se muestra
aquí. Los errores son la distancia entre la puntuación predicha por la
red de regresión y el valor observado es esa distancia a la que se deben
distribuir normalmente y se dibujan se representa normalmente mediante esta
gráfica en la que todas las distribuciones normales están su media está
sobre la red de regresión porque lo que nos plantea el análisis de
regresión es que la media mu de la variable independiente i a un
determinado valor de x es alfa bueno alfa, nosotros alfa le hemos llamado
beta sub cero y a beta le hemos llamado b, b sub cero y b es simplemente
porque esta gráfica la he cogido de otro texto y simplemente los
parámetros les llamaba de forma diferente es una cuestión pura de
simbología no hay más en eso no hay no tiene ninguna importancia el caso
es que la media de cada una de estas distribuciones de i condicionada a un
valor de x es b sub cero más b por x lo que pasa es que obviamente eso si
no hubiera error como hay error los supuestos nos indican que el error debe
distribuirse normalmente con esa media mu la media de i condicionándote a
un valor de x y con una determinada variabilidad sigma al cuadrado de la
variable dependiente i condicionada a un determinado x y eso nos indica que
las medias las mu que estamos llamando aquí están centradas en la línea
de regresión este es un gráfico que el otro lo modifique y este no al
revés, el otro no lo modifica y este si, aquí vemos b sub cero b vale es
un gráfico similar al anterior pero en el anterior no teníamos tenemos
simplemente la recta de regresión y los supuestos que deberían cumplirse
en este tenemos un caso más claro donde tenemos todos los datos con los
que hemos tratado tenemos el intercepto b sub cero que es la distancia
entre cero y el punto en el que la recta corta al eje de abscisas esa
distancia b sub cero el error para este valor de x vemos que la recta de
regresión para ese valor de x predeciría esta puntuación de i sin
embargo la verdadera puntuación observada es esta vemos aquí el punto que
representa esa observación la distancia entre y' y es el error para esa
puntuación luego hemos también representado lo que es la slope la
pendiente nosotros le hemos llamado b en vez de beta beta normalmente
representará el parámetro en la población bien recordamos que cuando nos
movemos una unidad en el eje de las x ¿cuánto subimos en el eje de las y?
eso es beta y el modelo lineal postula que la media de la distribución de
valores de i para cada condicionada a un valor concreto de x es una
función lineal de b sub cero más b por x una vez que hemos visto todo
esto pasamos a la bondad de ajuste incluso en estadística tenemos bondades
como siempre la bondad en estadística se refiere a qué tal de bueno es el
ajuste nada más no es que sea un gandhi la recta de regresión y sea muy
bondadoso sino simplemente es una forma de llamar a si el ajuste es bueno o
malo mediocre y obviamente esto no en términos cualitativos de bueno, malo
o mediocre no, en términos cuantitativos tenemos que determinar algún
índice estadístico que nos indique la bondad de esa recta de regresión
es decir, la bondad de ajuste se refiere a en qué lado la recta de
regresión explica los datos sobre los que se ha ajustado al hacer un
ajuste utilizando el criterio de ajuste por mínimos cuadrados que es el
que estamos viendo en el temario hay otros ajustes, por ejemplo uno de los
que al menos debe sonarles aunque no lo van a estudiar es el ajuste de
máxima prosimilitud MLE en inglés si alguna vez ven estas siglas es un
ajuste mediante otro criterio distinto al de mínimos cuadrados ajuste por
máxima prosimilitud pero nada más que le suele nada más si hacemos un
ajuste por mínimos cuadrados conseguimos un conjunto de valores es decir,
un conjunto de i' valores predichos para cada valor de x que están
obviamente situados en la recta cuyos parámetros b y d' utilizando como
criterio para su cálculo el ajuste por mínimos cuadrados el promedio de
i' coincide con el promedio de la variable dependiente de los valores
observados es decir, el promedio de i' coincide con i y que minimiza la
suma de los errores al cuadrado eso ya lo hemos visto ahora, las
estimaciones i' van a diferir normalmente va a ser extraño el caso en que
i' coincida con i es decir, i' e i van a diferir de los valores de la
variable dependiente realmente observados en la muestra normalmente estamos
poniendo aquí el subíndice para indicar algún sujeto determinado va a
ser distinto a la puntuación pronosticada la magnitud de esa diferencia
entre lo que pronosticamos y lo que realmente observamos es el error de
estimación es el error que estamos cometiendo aun después de haber
ajustado la recta a los datos y es un indicativo que vamos a utilizar para
determinar si el ajuste es bueno o no cuanto mayor error haya el ajuste es
peor es el criterio básico no es el único pero es el criterio básico es
que el error sea lo mínimo posible que la diferencia entre estos valores
sea lo más baja posible es por eso por lo que nos indican que tomar la
magnitud de los errores sin más de forma aislada sin considerar otros
factores sin poner esta magnitud del error en relación con alguna otra
magnitud no resuelve totalmente el problema de determinar la bondad del
ajuste es decir, la bondad del ajuste está obviamente en función de los
errores pero no solamente en función de los errores aunque no viene en el
texto ningún ejemplo de por qué es así me he permitido la libertad de
traer un conjunto de datos que provienen de Anscombe de 1973 aquí tenemos
los datos originales de este señor son tres conjuntos de datos diferentes
que los representamos en estas cuatro gráficas y observen lo curioso
veamos, en el primer caso en el primer caso tenemos creo que eran 11 datos
1, 2, 3, 4, 5, 6 7, 8, 9, 10, 11 11 datos para cada conjunto de datos hay
cuatro conjuntos obviamente hay 11 puntos en cada uno de ellos se ha
ajustado la recta de regresión lo más interesante es que en los cuatro
conjuntos la recta de regresión tiene exactamente los mismos parámetros b
sub cero y b los parámetros cuando los ajustamos mediante la recta de
regresión son los mismos en los cuatro casos pero no sepan que hay algo
extraño la recta de regresión ajustada en los cuatro casos es el mismo
pero yo si me piden juzgar visualmente lo que estoy viendo solamente
admitiría esta recta de regresión para el primer caso el que he señalado
en rosa el resto me parecería incorrecto utilizar la recta de regresión
porque, observen aquí la recta de regresión no la aplicaría porque
parece que la regresión es curvilínea, no es lineal en el tercer conjunto
de datos vemos que casi todos los datos están sobre una recta excepto este
último que es un outlaw un valor atípico y observen como ese simple dato
me ha derivado la pendiente de forma inapropiada porque si todos los datos
los diez datos se ajustan a esa recta de regresión este valor atípico
probablemente sea un error de codificación de datos o algo pasa en ese
valor atípico la recta de regresión, en este caso yo eliminaría este
dato la recta de regresión sería la que he dibujado aquí en rosa, la voy
a dibujar en rojo yo en este tercer conjunto de datos utilizaría como esta
región la roja y eliminaría ese punto atípico con lo cual esta recta de
regresión la pendiente es incorrecta simplemente debido a un valor
anómalo ¿y qué decir de la situación cuarta? la situación cuarta el
problema es que tenemos todos los datos condicionados a un único valor de
x todos los casos excepto este todos los casos tienen el mismo valor de x,
no hay variabilidad en x bueno hay una pequeña variabilidad dividida que
vale 8 en 10 casos y otro caso vale pues 18 la variabilidad es mínima de x
vemos que hay variabilidad en y si hay variabilidad pero no en x entonces
vemos tres gráficas en donde el ajuste de la recta de regresión no
solamente depende de la magnitud de los errores aquí por ejemplo en la
tercera gráfica tendríamos muy pocos errores tendríamos solamente si
ajustamos con esa recta tendríamos todos estos errores pero si ajustamos
con la recta roja tendríamos solamente un error si solamente utilizamos
como criterio de la bondad de ajuste la magnitud del error en la tercera
gráfica es perfecta tiene muy poco error pero hay otros aspectos que
tenemos que considerar cuando establezcamos índices de bondad de ajuste yo
como esta mañana cuando estaba preparando las transparencias me lo estaba
todavía difícil de creer que el ajuste de la recta a estos cuatro
conjuntos de datos produjese los mismos de B0 y B lo he comprobado y
efectivamente lo produce estos son los cuatro resultados que me da el SPSS
que es el software de análisis estadístico por excelencia para las
ciencias sociales y vemos que me da un valor de 3 para B0 y un valor de 0.5
para B en la pendiente en el segundo conjunto de datos me da lo mismo en el
tercer conjunto de datos me da lo mismo excepto errores de redondeo y en el
cuarto conjunto de datos con lo cual efectivamente llegamos a la
conclusión que para el concepto de bondad de ajuste tenemos que tener en
cuenta la magnitud de los errores pero no solamente la magnitud vamos a
hablar más en este tema estableciendo que está compuesta la varianza de
la variable de pendiente de I tanto antes de ajustar la recta de regresión
como después de haber hecho el ajuste para ello veamos este gráfico en
este gráfico hemos representado una única puntuación de I vamos en
amarillo esta puntuación es la única que habrá más pero solamente se va
a trabajar con esa vemos la línea negra en amarillo realmente es una
línea pero es un único punto la media de I y se ha dibujado una recta de
regresión supuesta para un conjunto de datos que no aparecen aquí se han
dado por de forma implícita vemos entonces que entre la media de I y la
puntuación observada de I se encuentra la puntuación pronosticada de I y
por consiguiente podemos considerar que toda esta distancia la distancia
entre la media de I e I esa distancia viene explicada o viene dada por la
suma de dos distancias la distancia entre I más la distancia entre I y la
media que es lo que vienen a representar esta fórmula para esa puntuación
la distancia entre I y la media es decir, lo que hemos dibujado toda la
distancia general es la suma de dos distancias la distancia entre la
puntuación observada predicha y la distancia entre la I y la media esto
para esta observación pero es que esto se va a cumplir para todas las
observaciones por consiguiente en vez de tener simplemente una suma de tres
valores vamos a hacer sumatorios para todos los datos que tengamos y luego
dividimos por los grados de libertad n menos las restricciones y entonces
conseguiremos las varianzas la varianza de I la varianza total de I viene
dada por la distancia entre cada puntuación y su media esa varianza viene
dada por la suma de la varianza de las puntuaciones predichas más la
varianza del error vemos que cada uno de estos componentes pertenece a uno
de los componentes de la suma que hemos visto anteriormente vamos a ver
algunos casos en nuestro ejemplo en el ejemplo con el que se ha estado
trabajando en el texto tenemos el punto 1.7 X vale 1 e I vale 7 y ese es el
punto que representa esa observación para ese sujeto vemos que la recta de
regresión no coincide en la puntuación pronosticada con 7, sino que la
puntuación pronosticada para la recta de regresión es donde X es igual a
1 corta la recta de regresión nos vamos al eje de ascisas y resulta que
para un X igual a 1 la recta de regresión en azul nos predice un valor de
5.53 por consiguiente la distancia entre 7 y 5.53 es el error para esa
observación y vemos en el caso anterior solamente estamos viendo el error
5 es la I observada 5 es la I predicha para ese X y nos falta la media la
media del conjunto total de datos es 13 lo hemos dibujado aquí mediante la
línea verde entonces, para esa observación vemos que la distancia entre
I1 menos la media vamos a dibujarla en algún color distinto de lo que
estamos dibujando hasta el momento vale la distancia entre I1 7 y la media
se puede considerar como la suma de la distancia entre I1 menos la
puntuación pronosticada esa distancia más la distancia entre la I
pronosticada y la media observen que en este caso al estar la puntuación
por debajo no es exactamente lo mismo que hemos visto en el caso anterior
pero, observemos que los datos cuadran 7 es la puntuación observada menos
la media global de los datos 13.62 es igual a 7 menos 5 esa distancia más
5 menos 13.65 1.46 el primer valor más menos restamos en este caso menos
8.09 si esto lo hacemos para el segundo punto tendremos exactamente lo
mismo tendremos que en el segundo punto para x igual a 2 el valor observado
de I es 6 sin embargo, el valor pronosticado no es 6, sino que el valor
pronosticado por la recta de regresión es 7.04 si ahora hacemos los mismos
cálculos que hemos hecho anteriormente vemos que de nuevo los datos
cuadran la distancia entre I2 que en este caso es 6 está por debajo de la
recta de regresión 6 menos 13.65 es igual que la suma de la distancia
entre 6 y 7.04 es decir, la distancia entre 6 y su valor pronosticado más
la distancia entre el valor pronosticado y la media y así lo podríamos
hacer para todos los puntos del eje de todos los datos del diagrama de
dispersión hemos visto que esta ecuación se cumple para todos y cada uno
de los datos entonces lo que se hace es que sumaremos haremos esta
ecuación pero en términos de sumatorios para todos los datos luego
dividimos por su grado de libertad y nos contraeremos con que la varianza
de las puntuaciones observadas en este caso por este factor es la suma de
estas dos varianzas la varianza debida a el pronóstico que me ha mejorado
la estimación de la recta de regresión el pronóstico que me ha
introducido la recta de regresión más la varianza de aquello que sigue
todavía sin explicar la varianza de los errores no obstante vamos a seguir
indagando en esto ¿qué sucedería si solo dispusiéramos media y
varianza? si no ajustamos los datos a una recta de regresión ¿cuál
sería la mejor estimación que podríamos hacer para los valores de i?
pues si no tenemos recta de regresión la mejor estimación que podemos
hacer es la media si deseamos hacer una estimación para un sujeto concreto
sin utilizar la recta de regresión lo correcto sería otorgar a ese sujeto
la media del grupo si yo sé que los finlandeses tienen como altura 1,76 de
media y me piden que estime ¿qué altura crees que tendrá fulanito que va
a venir aquí de Erasmus a la UNED? como no lo tengo ni idea estimo que
tendrá la media de su grupo y sería correcto porque si hago esa
estimación de la media será la que minimiza el error de predicción
ningún otro valor distinto a la media va a hacer que los errores de
predicción utilizando la media sean más pequeños lo siguiente es una
elección más que correcta es juiciosa sin otra información la media de
los datos de i, de la variable dependiente sería la mejor predicción que
podemos realizar a cualquier elemento poblacional si no tenemos otra
información ahora bien y observamos que si utilizamos la media hacer una
estimación sin tener ninguna otra información sobre un sujeto concreto el
error que vamos a obtener va a ser la diferencia entre la puntuación real
de ese sujeto menos la media si nos piden hacer muchas estimaciones la suma
de estos errores será el valor mínimo será un valor mínimo pero para un
conjunto de errores por consiguiente si para un conjunto de sujetos
utilizamos la media como estimador podemos obtener el error en términos
del cuadrado es decir, en términos como siempre del cuadrado de esa
diferencia ese sumatorio de errores al cuadrado utilizando como único
estimador la media es el mínimo que podemos obtener ningún otro valor
distinto a la media me va a conseguir un error más pequeño con esta
expresión entonces este es el término de error global utilizando la media
y observen que se corresponde con el primer término de de esta suma y
subir menos la media por consiguiente podemos considerar que ese término
en términos de error al cuadrado representa la variabilidad total de los
errores utilizando como único estimador la media y ahora lo que vamos a
ver es y qué pasa si en vez de utilizar la media como estimador ajustamos
una recta de regresión es decir si disponemos de otra información
distinta a la media si disponemos de la información que me proporciona una
recta de regresión que he construido utilizando los conceptos que hemos
visto anteriormente de b sub cero y b el método de mínimos cuadrados
habré reducido el error en relación a si utilizar sólo la media ¿en
qué cantidad? ese es el segundo paso si disponemos de información sobre
la relación que hay entre la detección de errores es decir, i en nuestro
ejemplo y la prueba de vocabulario x en nuestro ejemplo y sabemos por
consiguiente cuál es la recta de ajuste entre ambas variables podemos
utilizar más información distinta a la media mejorar la predicción o
tratar de mejorar la predicción en relación a simplemente utilizar la
media y la pregunta es ¿esa nueva predicción que realizo utilizando la
ecuación de regresión ¿es mejor? ¿difíciles concretamente a si
solamente utilizo la media? normalmente va a ser que sí depende del caso
es lo que queremos juzgar para resolver si ahora deseamos hacer una
estimación de la puntuación de un sujeto una estimación para un primer
sujeto en la prueba de errores lo razonable es que aprovechemos la nueva
información de que disponemos es decir, esa recta de regresión y veamos
qué puntuación ha tenido el sujeto en x apliquemos la recta de regresión
b0 más b por x la x que ha tenido el sujeto en vocabulario y eso nos va a
dar un valor de i' para ese sujeto es decir, estamos haciendo una
estimación mediante la ecuación de la recta a esa puntuación, a esa
nueva estimación le vamos a llamar, como ya hemos dicho repetidamente i' y
ahora, la diferencia va a ser con respecto a la puntuación realmente
observada va a ser distinta normalmente esta estimación utilizando la
recta de regresión se va a aproximar más al valor original a la i
observada que lo que hacía la media no obstante, eso no está para que
aún te asista cierto error la distancia que va entre la i observada y la i
predicha sigue sin ser cero pero es menor que la que había entre la i
observada y la media es decir, en resumen el error original que cometíamos
originalmente utilizando como único estimador la media lo hemos reducido
en parte utilizando la recta de estimación porque ahora el error va a ser
distinto ahora, la estimación va a ser i' y lo vamos a comparar con la
media esto es la parte del error que hemos reducido y no obstante la
distancia entre la i observada y la i predicha es la parte de error en
nuestros datos entonces lo importante es comparar este error que
cometíamos anteriormente con este nuevo error que ha resultado de utilizar
la recta de Renshaw como estimador entonces la variable original expresada
en puntuaciones diferenciales con respecto a la media global es la suma de
estas dos puntuaciones diferenciales que son dos variables la i observada
que es la pronosticada por la recta de Renshaw menos la media y la i
observada menos la predicha además estas dos son independientes entre sí
su correlación entre ellas es cero de nuevo volvemos a la fórmula que
hemos visto anteriormente para una única puntuación para puntuación i
sea la que sea la reducción del error que hemos conseguido mediante la
línea mediante la regresión y esta es la parte de error que todavía
queda en los datos que la recta de Renshaw sigue sin explicar ahora, si a
este conjunto de datos lo elevamos al cuadrado como siempre para castigar
fuertemente las deviaciones elevadas castigarla mucho más fuerte que las
deviaciones pequeñas y sumamos para todos los datos es decir, en este caso
para todos los sujetos hacemos el sumatorio del primer sujeto hasta el
último he puesto como subíndice j y aquí he puesto i los subíndices
tienen que coincidir sucede en todos los aquí también sucede obviamente
si es un cruz sumatorio el subíndice tiene que coincidir con respecto a lo
que se ve en la parte interior del paréntesis en esta transparencia si a
los sumatorios de cuadrados es decir, a esta estos son los sumatorios de
cuadrados los dividimos por su grado de libertad n-1 es decir igual que
pasa en la ANOVA aquí siempre que se habla de varianzas van a ser
insergadas si dividimos por su grado de libertad lo que tenemos en cada
apartado es una varianza el primero es la varianza global de i el segundo
es la varianza debido a los pronósticos i' y el tercero la varianza debido
a los errores por consiguiente llegamos a la fórmula básica que la
varianza de las puntuaciones observadas es la suma de dos componentes la
varianza de las puntuaciones predichas por la recta de regresión que hemos
ajustado mediante más un componente de error una varianza de error que es
un componente que todavía queda sin explicar después de haber realizado
ese ajuste en resumen cuando hay una relación lineal entre dos variables y
eso significa que la pendiente b de la recta de regresión es distinta de
cero porque si fuese cero x no tiene valor predictivo la varianza de la
variable dependiente es decir, de i se puede descomponer en dos varianzas
la de los pronósticos que es una mejora con respecto al pronóstico que me
hacía la media sin más la de los pronósticos debido a la relación
lineal de la variable dependiente con la variable independiente y la de los
errores o residuos esta ecuación se va a cumplir tanto para la regresión
lineal simple como para aquí vemos un esquema global de los cálculos que
son obviamente si no se hacen con el coordenador son pesados pero tampoco
tienen gran dificultad tenemos en primer lugar x e i la variable predictora
x y la variable predicha i en la tercera columna tenemos la media de i como
la media de i es una única 13,62 es el mismo valor para todos los sujetos
es el valor que si no tuviera otra otra información sería que utilizaría
para predecir algún sujeto concreto de i el caso del sueldo que he dicho
que he comentado anteriormente ahora bien si he realizado el ajuste entre x
e i durante una regresión lineal creo que son los datos que teníamos
anteriormente para cada sujeto ahora tendré una puntuación pronosticada
según aquella recta de regresión que podemos ver en pantalla aquí abajo
no se ve muy bien porque siempre hay aquí un icono que me quita parte de
la información pero vemos que esto es i la puntuación i pronosticada es
igual a 4.027 más 1.50 por x para cada valor de x de la primera columna
aplicamos esta recta de regresión y obtenemos un nuevo valor de i para x
igual a 3 el valor de i que me da esta recta de regresión es 8.54 para x
igual a 1 el valor de i que me da esta recta de regresión es 5.53 para x
igual a 7 lo sustituyo en esta ecuación de aquí abajo y el valor
pronosticado es 14.56 y así sucesivamente son los valores pronosticados
para cada valor de i y vemos que para x igual a 3 la puntuación
pronosticada es 8.5 mientras que la puntuación observada es 9 hay una
diferencia por consiguiente ahora tenemos aquí tres nuevas columnas en la
primera columna calculo la desviación entre cada puntuación original y
menos la media y estas son las puntuaciones de desviación con respecto a
la media en la siguiente columna calculo las desviaciones de cada
puntuación pronosticada i' menos la media y en la tercera calculo la
puntuación desviación entre la i observada y la pronosticada observen que
estos tres componentes son los que veíamos anteriormente en la fórmula a
continuación estas tres últimas columnas elevamos cada uno de estos
valores al cuadrado y hago el sumatorio de cada uno el sumatorio es el
numerador de la varianza vemos entonces que si a estos sumatorios los
divido por 16 menos 1 16 es el número de datos menos una restricción nos
da la varianza debida la varianza total de i la varianza debida a la
regresión y la varianza de error y vemos que 21.58 es igual a 17.18 más
4.39 se cumple el teorema que hemos visto anteriormente y observamos que de
la varianza total que teníamos inicialmente 21.58 que era la varianza que
tendríamos si utilizamos la media como mejor estimador es una varianza de
error pasamos a una varianza de error de 4.39 y hemos reducido una cantidad
sustancial de varianza hemos reducido 17.18 en términos absolutos
utilizando la recta de regresión ahora, observamos también nos han puesto
la correlación entre x e y, ya se calculó en el primer tema y el cuadrado
de esa correlación r al cuadrado es el coeficiente de determinación
hablaremos de él más adelante también nos han indicado la correlación r
subíndice i' errores ¿qué es i' ? esta columna estoy intentando ponerle
otro color el amarillo la correlación entre este conjunto de datos i' y
los errores cometidos ajustando la recta de regresión que sería lo voy a
poner en que otro color no he utilizado todavía este, el rosa lo que se ve
sería la puntuación observada menos la predicha esta columna en rosa la
correlación entre la columna en rosa y la columna en amarillo vale 0 lo he
confirmado esta mañana también y efectivamente la correlación entre
estas dos variables vale 0 no hay relación entre los errores pronosticados
y los errores que cometemos que es una de las características que hemos
visto previamente en el tema una característica teórica y ahora vamos a
ver una serie de índices dependientes todos de esa composición de
varianzas son muy sencillos al principio pueden parecer sacados de la manga
pero no lo son, son muy sencillos la primera es nos informa de la
proporción recuerden, un porcentaje es una relación entre 0 y 100 una
proporción es esa relación entre 0 y 1 por consiguiente si la varianza
global es ese cuadrado de i este es el total de la proporción 1 que
proporción de esa de esa varianza me explica la recta de regresión s al
cuadrado de i' estableciendo la regla de 3 x es igual a la varianza de los
pronósticos por 1 partido por la varianza de i esto lo podemos eliminar
porque 1 por la varianza de los pronósticos es la varianza de los
pronósticos y nos quedamos con este simple cociente en el denominador
tenemos la varianza total debida a la regresión y ese valor es simplemente
nos indica en qué grado en qué proporción me está reduciendo la
varianza de error el introducir la recta de regresión es lo que hemos
puesto aquí esta es la ecuación que hemos visto anteriormente y el valor
esta es otra forma de obtenerla utilizando la tabla que hemos visto
anteriormente porque vemos que es un sumatorio en el numerador tenemos la
suma de cuadrados de la predicción y en el denominador tenemos la suma de
cuadrados total como en el partido por 1 era el mismo en ambas varianzas se
elimina es decir, que el numerador es la suma de cuadrados debido a la
regresión esta es otra forma de decir de exponer este el numerador de la
segunda expresión mientras que el denominador es la suma de cuadrados de y
y si hacemos este cociente observaremos que es el cuadrado del cociente de
correlación entre x e y el cociente de determinación la cualquiera de la
proporción en la que la recta de regresión me disminuye la varianza de
error en relación a utilizar solamente la media es el cuadrado del
cociente de correlación entre variable dependiente e independiente en la
ecuación anterior hemos puesto en relación estos dos componentes de
varianza la varianza total y la varianza pronosticada que me genera la
recta de regresión por consiguiente el resto de la proporción o lo que es
lo mismo la relación entre la varianza total y la parte de varianza que
queda sin explicar incluso después de haber introducido la recta de
regresión es 1 menos el cociente de determinación en este caso el
numerador es la suma de los cuadrados de los residuos es decir, del error
que queda incluso después de haber ajustado la recta de regresión partido
por la suma de cuadrados total y como la suma de este componente más la
varianza al cuadrado de i' partido por la varianza de i que es lo que hemos
visto anteriormente esa suma me tiene que dar la unidad porque estamos
hablando de proporciones y por consiguiente se deriva esta expresión de
ahí se deriva esta expresión en resumen el coeficiente de determinación
r al cuadrado cuando no haya confusión se va a poner r al cuadrado sin
subíndices que indiquen de qué variables estamos tratando nos indica la
proporción no porcentaje porcentaje va de 0 a 100 proporción de 0 a 1 la
proporción de la variabilidad de la variable dependiente de ese total es
decir de s al cuadrado de i de ese total que podemos imputar a la variable
independiente a la mejora de predicción que me produce x su complemento 1
menos r al cuadrado se llama coeficiente de alineación alineación es un
concepto que se utiliza mucho en sociología aquí simplemente se refiere a
aquella parte que no está asociada a x en sociología yo recuerdo cuando
estudiaba de esto y si recuerdo bien era la percepción subjetiva de una
persona en su trabajo eso lo utilizaban mucho los marxistas considerarse
que él era una cosa en su trabajo un obrero que está poniendo chapas todo
el día en su puesto de trabajo se considera una cosa él no se identifica
con su trabajo está alienado aquí no se refiere a eso aquí se refiere a
la parte de la variable independiente que no está asociada a la variable
independiente es la parte residual de la variabilidad de la variable
independiente por consiguiente atribuible a otros factores distintos a la
variable independiente además de esta interpretación de r al cuadrado hay
otra se puede interpretar de varias formas que tiene que ver con la
reducción del error en vez de la media para establecer la inferencia y en
este sentido r al cuadrado es la proporción en que reducimos el error
cuando empleamos la recta de regresión para estimar los valores de i en
relación a cuando sólo utilizamos la media de i podemos observar en el
ejemplo que el error cuadrático inicial era 21.58 era el error total aquí
estaba la reducción no me había equivocado cuando puse anteriormente no
se veía la i prima recuerdan anteriormente que puse aquí i prima era
porque tenía otro gráfico que me lo tapaba obviamente es i prima como
función de x igual a esa recta de regresión vimos aquí la varianza total
21.58 en vez de ajustar la recta y hacer la estimación de cada puntuación
mediante la misma nos queda un error cuadrático de 4.39 que es el que
veíamos en este diagrama por consiguiente 21 que era la varianza global
haciendo la estimación mediante la media menos el error me da la parte de
error en relación a ese total que me elimina la recta de regresión y en
términos de proporción dividimos lo que me elimina la recta de regresión
17.18 en relación a total 21.58 me da una proporción del 0.79 es bastante
alto y este es precisamente el valor r al cuadrado que aparece en la tabla
del consiguiente de determinación que se calculó previamente y que vemos
estas dos fórmulas son las que hemos visto anteriormente son las fórmulas
para el consiguiente de eliminación y el consiguiente de determinación y
por último tenemos aquí una fórmula, otra medida de variabilidad
distinta a las anteriores y que se va a utilizar mucho en psicometría se
trabaja poco en el texto pero en psicometría les aseguro que la van a
utilizar muchísimo es la división típica de los errores teníamos una
columna que eran los errores que persisten después de haber realizado la
recta de regresión multiplicando la división típica de i por la raíz
cuadrada de 1 menos el consiguiente de determinación este s sub e es la
división estándar o típica de los errores recuerden esta fórmula porque
la van a utilizar bastante por último una forma gráfica de representar la
varianza explicada la varianza explicada por mi variable independiente por
x que es en definitiva la recta de regresión varianza explicada o
compartida mediante un diálogo de vn en el cual la varianza de cada
variable se representa mediante círculos el área de ellos debería ser
igual a la unidad y para indicar para establecer una estandarización de la
misma y la intersección de ambos círculos representaría la proporción
de varianza compartida es decir el cuadrado en nuestro caso veríamos en
otro color la varianza de y sería esta la varianza de x sería esta y el
área que está subrayada en gris vendría a representar el coeficiente de
determinación r igual a 0.796 si vemos de y vamos a utilizar por ejemplo
el verde del total de variabilidad de y hay una parte que es la que está
en gris explicada por x y hay una parte que no viene explicada por x y como
el área de este círculo en verde es la unidad significa que 0.796 más lo
que queda en blanco tiene que dar la unidad esta magnitud es el coeficiente
de alineación 1 menos r al cuadrado 0.204 es una forma visual simplemente
de ver el ajuste que me introduce y por último un último indicador del
ajuste es lo que se conoce como el error típico, observen vamos a ir a una
anterior esta es la división estándar de los errores y esta expresión es
el error típico que es una estimación realizada sobre la población a
partir de la muestra ya esto es una estimación ya es inferencia viene dada
por la raíz cuadrada de la suma de cuadrados de los errores y menos la i
predicha son los errores por consiguiente su sumatoria al cuadrado partido
por los grados de libertad en este caso es n-p-1 n el número de sujetos p
en este caso es el número de variables independientes tenemos solamente
una y un grado de libertad porque hemos estimado la media por consiguiente
n-2 la raíz cuadrada de esto se conoce como el error típico y viene en
puntuaciones de la muestra griega porque se refiere a una estimación con
respecto al error típico en poblacional y ahora ya si nos meteríamos en
las inferencias pero esto ya lo tenemos que dejar para el último día
hemos quedado por la 121 vamos a ver si tengo algo preparado bueno cuentan
los amigos de Dirilach un matemático del siglo XIX que no era muy amigo de
escribir cartas a mí me lo pasa con el email y de una excepción cuando
nació su primer hijo Dirilach mandó un telegrama a su suegro con el
siguiente mensaje a buen entendedor