Buenas tardes, vamos a comenzar las tutorías de esta asignatura,
mecánica 2. Son 13 tutorías en las que desarrollamos los temas de la
asignatura y dos tutorías al final que van a ser de repaso de lo visto
hasta entonces. Las dos primeras corresponden al tema de geometría de
masas. La tutoría de hoy la vamos a dedicar a la geometría del centro de
masas, momentos de primer orden. Los temas de Papus o Curundin, nunca es
que la tutoría de la semana que viene, la siguiente, dedicaremos a
momentos de segundo orden, inercia, aplicaciones, problemas, los problemas
de examen. Lo que tienen aquí cargado en la primera tutoría es los
apuntes básicos con definiciones, algunas fórmulas y algunos ejemplos
propuestos. Por supuesto tienen que seguir la asignatura con el libro de
texto de la asignatura. Entonces empezamos. Empezamos la tutoría de hoy,
los momentos de primer orden. Se refiere al momento, al producto de la masa
o la distancia respecto a un sistema de referencia elegido, a un punto
concreto de un sistema de referencia elegido. Eso es lo que se llama
momentos de primer orden. ¿Por qué se denominan estáticos? Porque están
relacionados con la estática de un cuerpo. Comparando, serían los
momentos de segundo orden, sería el producto de la masa por las
coordenadas. Las coordenadas al cuadrado, una coordenada al cuadrado o una
coordenada X por una coordenada Y. Esos momentos de segundo orden están
relacionados con la inercia del sistema frente a giros, frente a
rotaciones. Los teoremas de Papus-Gundin nos ayudan a determinar el centro
de masa de un cuerpo dado. Y el teorema de Steiner nos ayuda a determinar
el momento de inercia conocido, el momento de inercia respecto al centro de
masas. Bueno, la siguiente página. Empezamos con las definiciones, con los
conceptos. Los momentos de primer orden, como hemos dicho, el producto de
masa por distancia, pueden estar definidos respecto a un punto. En el caso
que estamos considerando entonces la distancia de la masa a un punto dado
del espacio, puede ser respecto a una recta en la que nosotros estamos
considerando entonces el producto de la masa por la distancia de ese punto
a una recta dada. Y el momento respecto a un plano sería el mismo, el
producto de la masa por la distancia de la masa a un plano dado. En el
caso, nosotros podemos trabajar tanto con masas puntuales como con masas
con un cuerpo que tiene una cierta extensión y es un cuerpo continuo. En
el caso de que estamos trabajando con masas puntuales, nosotros tendríamos
aquí las coordenadas R-Suite, que serían las coordenadas de cada masa
tomadas como referencia respecto al sistema de referencia. Aquí siendo
M-Suite, pues sería la masa que está localizada en ese punto. Entonces,
el momento de primer orden respecto a un punto O, pues sería el producto
de las masas M-Suite por las distancias que le separan al punto O y sumado
todas las masas posibles. En el caso de que las masas no fueran puntuales
sino que fueran una masa continua, entonces tendríamos el producto de
diferencial de M, que es el elemento de masa, por el vector R, que es el
vector que une ese elemento de masa diferencial de M con el origen O. En el
caso de que la masa tuviera un volumen, este diferencial de M lo podemos
poner como el producto de la intensidad Rho por diferencial de V. Y ese
diferencial de V, pues lo tendrá expresado en función de las coordenadas
que nosotros hayamos elegido, que pueden ser coordenadas cartesianas,
cilíndricas, esféricas. Se demuestra en el libro texto, en el texto de
asignatura, que si nosotros cogemos un punto diferente O' respecto al punto
O, es decir, cogemos dos puntos diferentes y medimos el momento de primer
orden de una cierta distribución, encontramos con que el momento de primer
orden respecto al punto O' es igual al momento respecto al punto O más el
producto de la masa total del sistema, la suma de todas las masas del
sistema, multiplicado por el vector que une los dos, que son los dos puntos
de referencia O y O'. En el caso de que nosotros tengamos una recta, esa
recta siempre va a estar definida por un vector unitario, que nosotros en
este caso estamos hablando de que vamos a determinar el vector unitario U.
En este caso la expresión del momento de primer orden respecto a la recta
tiene esta expresión, el producto vectorial de U por O por M sub 1 por el
momento de primer orden respecto al punto O, punto arbitrario de la recta,
ese producto vectorial otra vez vectorialmente por el vector unitario D. Si
nosotros desarrollamos, como está aquí indicado, a qué corresponde ese
producto triple, pues vemos que realmente lo que nosotros estamos
determinando como momento respecto a la recta es la proyección
perpendicular del momento respecto a un punto de la recta. ¿Qué ocurre
entonces? Pues que al tener esta estructura de perpendicularidad se
demuestra fácilmente que... que cualquier punto de referencia que tomamos
en la recta, es decir, cualquier punto O que tomemos sobre la recta,
podemos ver que el momento respecto a la recta M mayúscula va a ser el
mismo. Sin embargo, si nosotros tomamos dos rectas paralelas, lógicamente
van a tener el mismo vector unitario las dos, encontramos que el momento
respecto a una de ellas va a ser igual al momento respecto a la otra más
el producto imparitivo al caso anterior de la masa total por la distancia,
el vector de distancia entre las rectas. Lógicamente si las rectas son
paralelas, cualquier punto que tomemos de referencia, el vector de
distancia entre las rectas va a ser la misma. Y por último, en los
momentos de primer orden, hablaríamos de lo que corresponde el momento
respecto a un plano. Ese plano se va a identificar con un vector normal U,
que también denominaremos U, y entonces escogemos un punto O del plano
arbitrariamente y vemos que el momento se define como el producto escalar
del momento... de primer orden respecto al punto de referencia O,
escalarmente por el vector unitario del plano. Es decir, que sería la
proyección perpendicular del momento respecto al punto O del plano. De
nuevo, al ser una proyección perpendicular, nos determina que el momento
respecto al plano no depende del punto de referencia que estemos tomando
sobre él para definirlo. Destacar que este momento es escalar frente al
momento respecto a un punto que era un vector, y el momento respecto a una
recta que también era un vector. Y de nuevo, ahora como es un escalar,
pues el momento respecto a dos planos paralelos que lógicamente tendrán
el mismo U, pues el momento M' será igual al momento N más la masa total,
y ahora, como es un escalar, la distancia del vector, o no uno del vector,
distancia entre los dos planos. Esos son los tres tipos de momento de
primer orden que podemos definir. En el caso del centro de masas, tenemos
una particularidad muy importante. El centro de masas se define como aquel
punto respecto al cual el momento de primer orden del sistema es igual a
cero. Es decir, que para masas puntuales, el sumatorio en I de M sub i por
R sub i, vector, eso tiene que ser igual a cero. Si se cumple eso, el punto
de referencia del denominado G es el centro de masas. Como consecuencia, si
el momento respecto a G es cero, el momento respecto a la recta que pasa
por G también será cero, y el momento respecto a cualquier plano que
contenga G también será cero. Es importante, a la hora de determinar este
producto, lo podemos calcular analíticamente, multiplicando las masas por
las distancias, etc., pero podemos simplificar bastante el cálculo si
nosotros nos ayudamos de la simetría. ¿Y qué nos dice la simetría
respecto al centro de masas? Vemos anteriormente que el centro de masas es
aquel en el que el sumatorio tiene que ser igual a cero. Es decir, de forma
coloquial, respecto al centro de masas tienen que estar igualmente
repartidas las masas a un lado y a otro. Digamos que el centro de masas es
el que equilibra las masas en una región. Eso quiere decir, por ejemplo,
que si nosotros tenemos un centro de simetría, el centro de simetría
será también centro de masas. Aquí, ¿qué hemos dibujado? Hemos
dibujado dos masas iguales, dos cuerpos iguales, separados a una distancia
2D. ¿Cuál sería el centro de simetría? Pues el centro de simetría
sería el punto medio que está separado en la distancia D de cada una de
ellas. Pues como ese punto es un centro de simetría, también va a ser un
centro de masas. Y podemos comprobar que la masa se distribuye
homogéneamente a ambos lados. La masa M por la distancia D, a la
izquierda, equilibra a la masa M por la distancia D hacia la derecha. Un
segundo caso, por ejemplo, si tuviéramos un eje de simetría, como por
ejemplo en este triángulo plano, pues el centro de masas también tendría
que estar en dicho eje. ¿Cuál es la explicación más completa de este
hecho? Si no estuviera en este eje de simetría, si el centro de masas no
estuviera localizado aquí, si nosotros girásemos el triángulo en torno a
ese eje, veríamos que el centro de masas se ha movido. Supuestamente si
estuviera aquí, pues a lo mejor ocurre que pasa a estar aquí. El
triángulo no ha variado, el triángulo es el mismo, entonces ¿cómo es
posible que para un mismo triángulo el centro de masas esté aquí o esté
aquí? Por eso, llegando a esta contradicción, se demuestra visualmente
que necesariamente tiene que estar sobre el eje, porque es el eje al que no
cambia con las rotaciones del centro. En el caso de un plano sería
exactamente igual, si nosotros tenemos un plano y queremos determinar cuál
es su centro de masas, lógicamente no podrá estar el punto del centro de
masas por encima, porque si nosotros volteamos el plano, le damos la
vuelta, el plano... es el mismo, pero el centro de masas estaría aquí
abajo. De nuevo llegamos a la contradicción, un mismo plano tiene dos
centros de masa que parece que están en distintas posiciones. La
resolución es que no, el sistema del centro de masas siempre va a estar en
posiciones del plano, es la que no varía cuando nosotros, por ejemplo,
volteamos el plano. En esta diapositiva lo que pueden ver es el cálculo de
las coordenadas del centro de masas con esa suposición, recordamos, que el
producto de masas por distancias tiene que ser igual a la sumatoria y tiene
que ser igual a cero, pues la posición del centro de masas está dada por
esta, por la integral del vector r con la diferencial m partido por la
diferencial c. Básicamente aquí abajo lo que tenemos es la masa total. Es
decir, las distancias ponderadas por la masa partido por la masa total. Esa
es la posición del centro de masas y en el caso, aquí tenemos distintos
casos, en el caso que nosotros tengamos un cuerpo en volumen, una integral
triple, un cuerpo en superficie, una integral doble o un cuerpo en
longitud, una integral simple. ¿Cómo se define la densidad? Pues en este
caso, puede ser delta o puede ser la que hemos explicado antes, que es rho.
La densidad de masa por unidad de volumen, sigma sería la densidad de masa
por unidad de área y lambda sería la densidad de masa por unidad de
longitud. Repetimos la fórmula, la ponemos aquí y podemos poner un
ejemplo. Ahí no vamos a desarrollar aquí pero sería el ejemplo típico.
Cálculo de la posición del centro de masas de una figura homogénea de
revolución que podría ser un paraboloide, una esfera, etc. ¿Por qué
vemos aquí un disco? Porque nosotros lo que vamos a hacer es ayudarnos de
la simetría del cuerpo ir dibujando discos a distintas alturas como
sabemos por simetría, el centro de masas necesariamente tiene que estar
localizado sobre el eje de semilla. Lo que vamos a determinar es la
contribución de cada uno de los discos y hacer un promedio en las
distancias de los discos que están seccionando el paraboloide. Por
ejemplo, otro caso que este si lo desarrollamos en detalle sería cuál es
la posición del centro de masas de un semicírculo homogéneo de densidad
superficial constante. Es decir, todo este cuerpo tiene masa. Lo que vamos
a hacer es calcular su posición del centro de masas teniendo en cuenta
esta fórmula general que nos da el vector de posición del centro de
masas. En este caso tenemos un sólido plano en el plano xy luego entonces
tendríamos que determinar cuál es la posición del centro de masas de la
x y cuál es la posición del centro de masas de la y. Si esto es un
vector, la posición del centro de masas a escalar tendría dada... Bueno,
este es otro ejemplo en una catenaria que dice la posición del centro de
masas tendría dada por estas dos fórmulas. La posición x del centro de
masas sería el promedio de las x sobre los elementos de masa partido por
la masa total. Recordamos que aquí abajo va la masa total. La posición y
del centro de masas sería lo mismo el promedio de la distancia y sobre
cada una de las masas. ¿Cómo elegimos nosotros cuál es el elemento de
masa? Pues aquí digamos que tenemos que tener libertad para elegir cuál
es el elemento de masa. Aquí en el dibujo podemos ver distintos elementos
digamos, sí, sería elementos elementales. ¿Cuál es el diferencial de
masa elemental? Pues puede ser un cuadrado del lado diferencial de x y
diferencial de y puede ser una cinta del lado diferencial de x y altura y
puede ser una cinta horizontal de altura y diferencial de y y anchura x. O
puede ser una sección del círculo de radio r y amplitud angular y
diferencial de eta. O puede ser también una sección de semicírculo de
anchura y diferencial de r y radio r. ¿Cuál es la que podremos elegir?
Pues aquella que sea la fórmula, las formas aquella que nos determine una
forma de interacción mucho más sencilla. En este caso vamos a comenzar
con la posición x del centro de masas y vamos a ver lo siguiente. Nosotros
tenemos que integrar los elementos diferencial de masa con las distancias
x. Luego entonces nos va a simplificar mucho el cálculo cuando nosotros
cojamos o agrupemos los diferenciales de masa que tienen la misma posición
x todas ellas. En este semicírculo, ¿cuál es la posición diferencial de
masa que tiene la misma posición x? Pues toda esta masa que hay dentro de
esta cinta tiene la misma posición x. Aquí nosotros tenemos el sistema de
coordenadas pues en este caso la posición x sería esta. Esto sería x.
Este caso sería negativo. Pero lo importante es que toda esta cinta tiene
el mismo valor de x. Entonces esta x es común a todos los elementos de
masa. ¿Cuál sería entonces ese diferencial de masa para esa cinta? Ese
diferencial de masa va a ser igual a ρ por el diferencial del área y el
diferencial del área pues será la altura y de la cinta por el espesor de
la cinta que es el diferencial de masa. Aquí tenemos el diferencial de
área y el diferencial de x. ¿Y cuánto vale y? Pues lo que tenemos que
ver es cuánto vale la altura cuando la distancia horizontal es x. ¿Cuál
es la ecuación de esta curva? La ecuación de la curva que nos determina
este punto pues es la del radio perdón, el círculo de radio r que es x al
cuadrado más y al cuadrado es r al cuadrado. Luego entonces, ¿cuánto
vale y? Siendo positiva porque va hacia arriba pues esa y va a ser la raíz
cuadrada de r al cuadrado menos x al cuadrado. Esa es la distancia y la
altura y de la cinta cuando la posición de la cinta está localizada en x.
Pues ya tenemos la forma de integrar arriba que sería x diferencial de a x
por lo que era el diferencial de a que era esta expresión la raíz de r al
cuadrado menos x al cuadrado todo ello por el diferencial de x que es el
espesor de la cinta y entre qué valores tenemos que integrar x. Pues
tenemos que integrar x desde la cinta que está localizada en r igual a
menos a x igual a menos r hasta la cinta que está localizada en x igual a
r. Esta sería la expresión la integral podemos ver que es una función
impar el integrando es una función impar si cambiamos x por menos x cambia
de signo lo que determina bueno, que no tengamos este resultado determina
que la integral entre menos r y más r de una función impar pues es cero.
El momento del centro de masas en la posición x es cero es decir, que
está localizado como ya sabíamos por simetría en el eje de simetría
está localizado en una posición tal que x es igual a cero. Pasamos a
determinar la posición y el centro de masas que va a ser igual o mismo y
por el elemento de área partido por la masa total. Utilizamos de nuevo el
mismo argumento ¿Cuál es la masa que está agrupada con la misma
distancia y? Pues la misma distancia y es la misma altura y toda la masa
que está a la misma altura y es toda esta cinta Si nosotros definimos la
distancia x como la distancia hacia la derecha el punto de corte con la
circunferencia pues tenemos una distancia x hacia la derecha y una
distancia también x hacia la izquierda Luego la longitud de la cinta que
tiene la misma coordenada y la longitud de esa cinta va a ser igual a dos
veces x Luego ya tenemos entonces el elemento de área que será igual a la
longitud o la anchura diferencial de y es la anchura de la cinta de nuevo
tenemos que el punto x está dado por x al cuadrado más y al cuadrado
igual a r al cuadrado es decir que si nosotros fijamos la altura y de la
cinta la cantidad x ya está dada ¿Y cuál es esa cantidad x? Pues la
raíz cuadrada de r al cuadrado menos y al cuadrado Tenemos la misma
expresión que en el caso anterior Tenemos y diferencial de a pues será
igual a y multiplicado por la longitud que es dos veces la raíz cuadrada
de r al cuadrado menos y al cuadrado y todo ello por diferencial ¿Entre
qué límites tenemos que integrar? Pues en este caso es desde la cinta que
está en la base del círculo hasta la cinta que está en el punto más
alto del círculo Es decir desde i igual a 0 hasta i igual a r Tenemos
desde 0 hasta r en este resultado directo y evaluamos entre 0 y r nos sale
este resultado dos tercios de r al cubo Este es el valor que figura en la
parte superior del cociente En la parte interior tenemos la masa La masa
pues será directamente Es fácil La masa es igual a la densidad que es ρ
multiplicado por el área La densidad es homogénea es igual a ρ por el
área que se mantiene y el área pues es el área de un círculo es
unicírculo r cuadrado partido por 2 Bueno esto es lo que tenemos aquí
Aquí habría un sigma que sería en los dos lados que está aquí puesto
pero bueno este se va con este que nos da este resultado Que la posición
del centro de masas está sobre el eje de simetría y está a una distancia
cuatro tercios cuatro partido por tres pi de r más o menos esto sería
igual a cuatro pongamos que esto podría ser sobre diez más o menos cuatro
décimos de r o sea que sería dos quintos de r El centro de masas pues
sería este Tened en cuenta que la masa está mucho más localizada en la
parte inferior que en la parte superior luego el centro de masas está
mucho más cerca de la base que en las zonas ¿Qué podemos utilizar o qué
más podemos hallar sabiendo esto? Sabiendo esto si aquí está el centro
de masas del plano ¿Qué más podemos determinar? Pues por ejemplo podemos
determinar cuál sería el centro de masas de una semiesfera ¿Cómo
hacemos eso? ¿Cómo pasamos de una imagen plana a una imagen
tridimensional? Pues si nosotros rotamos respecto al eje i el semicírculo
lo que estamos generando es un volumen que es el volumen de la semiesfera
¿Y qué ocurre? Pues que al rotar el semicírculo el centro de masas de
todos los semicírculos se mantiene en este punto Todos tienen el mismo
centro de masas Luego el cuerpo que está formado por todos ellos también
tendrá el mismo centro de masas a la misma distancia Otro punto Si
nosotros rotamos el semicírculo en torno al eje x lo que estamos generando
es una esfera no la semiesfera anterior sino una esfera completa y para
determinar dónde está su centro de masas pues vemos que si nosotros
rotamos el semicírculo en torno al eje x pues siempre tendremos una parte
superior y una parte inferior para cada plano El centro de masas de la
parte superior está por encima del eje El centro de masas de la parte
interior está a la misma distancia pero por debajo del eje Luego el centro
de masas de estas dos este cuerpo conjunto formado por los dos
semicírculos está en el origen de coordenadas Como la esfera está
formada por todos los planos formados por los semicírculos pues todos los
planos tienen el centro de masas en el origen de coordenadas Luego la
esfera también tendrá el centro de masas en el origen de coordenadas Es
un resultado que es obvio aquí teniendo en cuenta la simetría del sistema
pero que nosotros hemos deducido a partir de un resultado para un sólido
claro Continuamos En esta diapositiva lo que queremos mostrar es que los
centros de masas se pueden resolver o digamos que para determinar el centro
de masas el sólido se puede resolver en un conjunto de sólidos más
elementales Como he dicho con el paraboloide pues teníamos una serie de
secciones circulares Luego la iría una etc El centro de masas de todo el
paraboloide sería igual al centro de masas del conjunto de discos que
componen el paraboloide Por simetría el conjunto de discos de cada disco
tiene su centro de masas en el origen de coordenadas y entonces lo que
nosotros vamos a hacer es sustituir el paraboloide por un conjunto de masas
puntuales cada una de ellas localizadas Vamos a poner que esto sea m1 que
sería m2 etc Sustituimos el paraboloide por un conjunto de masas puntuales
siendo m1 la masa del primer disco m2 la masa del segundo tendríamos
infinidad de discos elementales cada uno de ellos con una cierta masa
¿Cuál sería el espesor del disco? Pues lógicamente sería diferencial
de m aquí lo que tendríamos realmente sería la integral de z del
elemento de masa diferencial de m que está situado en la posición z
partido por la masa total que es la integral de todos los elementos de masa
es decir la integral de diferencial de m que está situada z y en el centro
de masa de un paraboloide sobre el eje de simetría en el caso por ejemplo
de un sólido compuesto por un cono un cilindro y la semiesfera pues el
centro de masas se puede dividir primero el centro de masas del cono el
centro de masas del cilindro y el centro de masas de la semiesfera
eliminamos entonces las figuras y sustituimos aquí vendría la masa del
cono aquí vendría la masa del cilindro y aquí vendría la masa de la
semiesfera estamos sustituyendo todo el sistema con un conjunto de masas
puntuales cada una de ellas con la masa correspondiente al sólido que
hemos sustituido el cilindro que nos de cero es la masa de cero detrás del
cilindro de la semiesfera masa que masa puntual situada en el centro de
masas correspondiente. Si nosotros tenemos una barra de longitud L con masa
M, pues su centro de masas lógicamente estará en el centro de simetría,
tendrá una masa M y estará localizada a una distancia L medios del
origen. Lo mismo sucederá con la barra perpendicular, la barra vertical.
Tendrá su centro de masas una masa M y estará localizada a una distancia
L medios del eje X. Este sistema de dos barras es igual respecto al centro
de masas, equivalente al sistema de dos masas puntuales. Como hemos visto
antes, para dos masas puntuales el centro de masas está en su centro de
simetría, es decir, en el punto medio de la recta que lo suele. Si no
queremos calcularlo utilizando esto del punto medio... Pues directamente lo
hacemos como el sumatorio de las masas. La posición X sería el sumatorio
de M sub i por la distancia X sub i partido por el sumatorio de M sub i.
Esta es la expresión y concretamente tendríamos el sumatorio de M sub i,
pues es la primera masa. La masa de la barra horizontal es N y la distancia
X de la barra horizontal es L medios más la masa M2 que sería la masa L.
La masa de la barra vertical sería L por la distancia X de la masa
vertical. Como he dicho que está situada en esta línea, pues es una
distancia L, que es la X. A partir del sumatorio de masas que es M más M,
dos masas, que son M, tenemos entonces que es 3L cuartos. Haciendo la misma
operación con el centro de masas para la Y, pues la posición del centro
de masas sería L cuartos. ¿Cuál es esa posición? Pues lógicamente es
3L cuartos, que es L medios más L cuartos, que es 3L cuartos, que es L
medios más L cuartos, más L cuartos acá. Nos queda justo al punto medio
de la recta que una de las dos masas puntuales. Explicamos ahora lo que es
el teorema de Papus-Goulding. En realidad no lo explicamos sino vemos cómo
se aplica. El teorema de Papus-Goulding básicamente nos dice que nosotros
podemos calcular el centro de masas de una longitud, calcular el centro de
masas de una curva si conocemos su longitud y el límite de una curva si
conocemos su longitud. Y este vídeo es gratuito, está área que genera
esa curva cuando nosotros estamos rotando la curva respecto a un eje de
silencio. Respecto al volumen, eso sería para una curva, para el momento
dentro de masas de una curva. Si nosotros queremos hacer lo mismo para un
cuerpo de dos dimensiones, es decir, para una placa nosotros podemos
determinar dónde está el centro de masas de la placa si conocemos cuál
es el área de la placa y cuál es el volumen que se engendra cuando
nosotros rotamos la placa respecto a un eje de silencio. Digamos que con el
teorema de Papus-Bundil podemos utilizar construcciones geométricas para
calcular centros de masas. Cuando lo que hemos hecho hasta ahora ha sido
hacer resultados analíticos, esto es una construcción geométrica.
Hacemos dos casos, por ejemplo cuál sería el centro de masas de un
alambre semicircular de radioverde. Está aquí dibujado. Esa es una curva
un alambre en forma de semicírculo de radioverde. Entonces, el teorema de
Papus-Bundil dice que nosotros podemos calcular el centro de masas de
semicírculo si conocemos su longitud, que la conocemos, y si conocemos el
área del plano del cuerpo que se genera cuando nosotros rotamos ese
alambre. ¿Cuál es el cuerpo que se genera cuando nosotros rotamos este
alambre? Si nosotros rotamos este alambre respecto al eje de giro o al eje
de simetría lo que estamos es cubriendo toda la superficie de una esfera.
O sea, el cuerpo plano que estamos generando, el cuerpo plano o el cuerpo
en dos dimensiones que estamos generando sería la superficie de una
semisfera. No, perdón, la superficie de una esfera. Entonces, el teorema
de Papus nos dice el área del cuerpo generado, es decir, el área de la
esfera 4 pi r al cuadrado va a ser igual va a ser igual a la longitud L de
la curva, en este caso es la longitud del alambre en forma de semicircular
es decir, pi por r al cuadrado. Es decir, pi por r al cuadrado. Es decir,
pi por r al cuadrado. Es decir, pi por r al cuadrado. Es decir, pi por r al
cuadrado. Es decir, pi por r al cuadrado. Multiplicado por la longitud
recorrida por el centro de masas. Si nosotros consideramos que el centro de
masas está a una distancia I centro de masas la longitud recorrida por el
centro de masas cuando nosotros giramos el alambre la longitud recorrida va
a ser la de una circunferencia de radio y centro de masas. Este es el radio
de la circunferencia, luego la longitud recorrida por el centro de masas
será igual a 2 pi por ese radio de giro que es I de centro de masas. Pues
de esta igualdad nosotros deducimos que la posición del centro de masas
para el alambre está a una distancia vertical de 2r partido por pi.
Lógicamente, por simetría, la posición X del centro de masas va a ser
igual. ¿Qué ocurre si ahora tomamos, en vez del alambre tomamos el
semicírculo, una figura plana? Si nosotros esa figura plana la giramos en
torno al eje de giro si nosotros giramos esto en torno al eje de giro lo
que estamos es construyendo un volumen que es el volumen de una esfera.
Pues según el programa de Papus el volumen del sólido al generado, es
decir, el volumen de la esfera va a ser igual al área de la placa que
estamos girando que es el área de un semicírculo que es pi al cuadrado
partido por 2 multiplicado por la distancia que recorre el centro de masas
en ese giro. Si nosotros pensamos que el centro de masas está a una
distancia ahí vertical la longitud recorrida por el centro de masas al
girar será igual a 2 pi por ese radio de giro que es I centro de masas.
Resolviendo esta igualdad sacamos que I centro de masas es 4R partido por 3
pi, que era lo que conocíamos anteriormente. Lógicamente la posición del
centro de masas también va a ser igual a 0 por simetría. Con esto ya
terminamos la parte teórica de hoy. Dejaremos ya los momentos de segunda
orden, de inercia, para la próxima tutoria. Ahora vamos a ir resolviendo
ejemplos para hacer más práctica. Lo voy a hacer en la pizarra digital y
serán ejemplos seleccionados de bibliografía, no exactamente del
libro-texto, del texto base, sino algunos que he visto que pueden ser
interesantes. Voy a añadir una página en blanco y voy a trabajar en esta
página. La cuestión siempre es resolver ejemplos identificando cuáles
son los óleos elementales, los elementos que podemos sustituir por sus
masas correspondientes en las posiciones correspondientes. Hoy vamos a
hacer ejemplos muy sencillos que nos servirán de guía. Podemos, por
ejemplo, determinar las coordenadas del centro de gravedad de la siguiente
línea. Tenemos tres alambres, los verticales en longitud B y el horizontal
en longitud A. Nos preguntan dónde estaría el centro de masas. Pues, de
nuevo, esto sería igualmente. Suponemos que el alambre es el mismo para
todos, solo que tendría una densidad lambda, densidad de masa, pero de
longitud A. ¿Cuál sería la masa entonces? La masa sería igual a la
longitud lambda por la longitud. Los cuerpos son homogéneos entonces, por
ejemplo, la masa de los alambres verticales sería lambda por B. La masa
del alambre horizontal sería lambda por A. Entonces tendríamos aquí que
identificar dónde serían estas son las masas y dónde estaría el centro
de masas. Pues, como son cuerpos homogéneos, el centro de masas sería el
sustituto central. Luego aquí tendríamos que identificar una masa que
sería lambda por A. Aquí tendríamos la masa siguiente, que sería lambda
por B. Y aquí también sería lambda por B. ¿Cuál sería la distancia
entre ellas? Si ponemos aquí, por ejemplo, la distancia vertical, esta
distancia vertical se separa y esta sería lambda. ¿Y esta distancia
vertical sería lambda? Esta. Posición X del centro de masas. Sería el
sumatorio de N sub i por X sub i, partido por el sumatorio de N sub i. Para
todas las masas. Tenemos esto aquí. La primera masa es la masa de arriba,
que sería lambda por A, multiplicada, pues, por la posición de esa que
hemos visto a la última vez con la masa, sería C. Más lambda por B, por
A medios, más lambda por B, por menos A medios. La posición X estaría
así. Partido por la suma total de masas, que sería lambda A, más menos
lambda B. Esto. Posiblemente por simetría, pues el centro de masas debe
estar en esa línea. El centro de amistad debe estar en esta línea.
¿Cuál es la posición I del centro de masas? Si tomamos el FI hacia
abajo, pues sería el mismo. Lambda por A, multiplicado por cero, que
sería la posición de colgadas. Más lambda por B, multiplicada por la
distancia vertical, que es de medios. Y la otra posición sería lambda por
B, por cien centímetros. Un medio dividido por lambda por A, más dos
lambda por B. Puesto a cero, tendríamos lambda re cuadrado partido por
dos, pues sería lambda re cuadrado partido por lambda Dos lambda más que
A, tendríamos re cuadrado, partido por A más re. Esta sería la posición
del centro de masas. Este ya está aquí. Podemos comprobar, por ejemplo,
qué saldría si A es igual a B. Si A es igual a B, es decir, si estamos
tres grados de un cuadrado, pues sería A cuadrado partido por lambda, es
decir, tres ángulos. A cerdos. En el caso de este cuadro cuadrado, la
distancia sería a cerdos. Por ejemplo, si nosotros tomásemos B igual a
cero, si tenemos el límite que B tiende a cero, es decir, que sólo hay un
alambre, porque estos tienden a cero, es decir, no existe alambre aquí,
tampoco existe alambre aquí, pues el límite del centro de masas sería
cero. Y correspondería solamente al alambre horizontal. ¿Qué ocurriría
si nosotros tomásemos que B tiende a infinito, es decir, alargamos
indefinidamente los alambres verticales? Pues este límite también
tendría que ir al centro de masa porque cada límite tendría límites
donde va la masa. Podemos resolver este ejemplo algo más sofisticado. Por
ejemplo, si tuviéramos estos ejes que son alambres, límites, que
tuviéramos aquí un lado B, aquí otro lado B, aquí otro lado B. Este
sería el centro de masa. ¿Cuál sería el centro de masas? Pues tenemos
que sustituir de nuevo los elementos del alambre, los alambres, Pues
tendríamos, si se llaman los ejes como antes, x igual a cero igual a cero
en esta alambra inferior, tenemos que ir de masa a la alambra polar.
Tendríamos aquí a una distancia a medios y una altura de medios.
Tendríamos aquí un alambre y también a la derecha a una distancia a
medios y una altura de medios. O vendríamos a tener el alambre que nos
queda para identificar cuál es la masa de las cuales el centro de masas es
este que se ve aquí. La masa de la secuencia pues sería alta por la
longitud que es I por A. Tendríamos también I por A o simetría del
centro de masas que está en esta dirección y tenemos que ver en qué
posición están. También lo he visto antes en el teorema de Pagos. Aquí
tenemos la posición del centro de masas respecto a la base de la
circunferencia es 2R partido por pi. 2R partido por pi en el caso nuestro
quería decir que respecto a este punto está a una distancia 2R partido
por pi y luego respecto a este punto está a una distancia y luego esta
distancia de aquí es 2R más 2R partido por pi. Por eso ya tendríamos 4
masas puntuales en posiciones contundentes que podríamos aplicar las
fórmulas generales y el centro de masa en un ángulo puntual Lo dejamos
como ejercicio El resultado es que la presencia de masas es igual a cero y
la posición I del centro de masas es igual 2R cuadrado más R partido por
pi más R cuadrado y luego 4B más 2A más R partido por pi Y luego un
ejemplo sencillo si nosotros tuviéramos por ejemplo el límite cuando B
tiende a cero ¿Qué ocurriría cuando B tiende a cero? Quiere decir que
estos ángulos ya no existen pero se construye directamente sobre el
círculo de la segunda masa En este caso B tiende a cero esto sería cero y
quedaría A cuadrado partido por 2A más A por pi Este sería el círculo
de masas y esto Podemos hacer un ejemplo más o por lo menos con tal como
se haría un caso muy que quizás quisiéramos por ejemplo determinar el
círculo de masas que sería Aquí tenemos el círculo Aquí está bien
dibujado pero bueno y aquí abajo ¿Cuál sería el círculo de masas de
todo este sistema? Pues bueno identificaríamos el centro de masas de los
semicírculos este estaría por aquí aquí tendríamos el escalambre aquí
de este Después el semicírculo también en la línea vertical estaría
por aquí y después en el centro de masas del círculo vertical también
sería eso Por eso estamos estudiando todo el sistema por las masas
puntuales Podríamos determinar o incluso podríamos pensar que aquí
tenemos estos unir masas para poder calcular cuál es el centro de masas de
este sistema Es decir, por ejemplo tenemos que multiplicar y aquí también
tenemos que multiplicar Luego la masa está en la onda polar en la onda
polar ¿Cuál sería el centro de masas de estos dos sistemas? Estarían el
centro de cuadradas por simetría ¿Y qué masa tendría? Pues una de las
dos masas Como ya podemos sustituir esto por la onda polar Aquí sería lo
mismo ¿Qué masa equivalente a estas tres? Pues es una masa en el centro
¿Y qué masa total tiene? Pues por simetría esta masa estaría en el
punto medio de las dos ¿A qué correspondería? Pues a la masa total de
las tres que hemos dicho que era la onda lenta ¿Dónde estamos hablando? A
la onda lenta de los seguintes Este sería lo mismo Aquí tendríamos una
masa compartida Aquí tendríamos una masa aquí tendríamos otra Están
todas los conocimientos Podemos hacer un ejercicio de superficies El cuerpo
es un superficie Por ejemplo, si nos dicen ¿Cuál sería el centro de
masas de un semicírculo R en el que nosotros le quitamos la parte este
tipo de parte a lo mejor no había parte en el centro y esto Entonces aquí
hay un truco muy sencillo que es Es muy difícil de integrar zonas que
tienen huecos porque habría que determinar cuál es una pieza de hueco en
este punto donde acaba, pero realmente este sistema es igualmente a un
semicírculo de densidad uno más un semicírculo aquí de densidad menor
Si nosotros subimos estas dos gráficas nos está dando esto Aquí la
densidad sigma en toda la zona que tiene masa y la zona que no tiene masa
se ha quedado vacía porque está sumando una masa negativa o una masa
positiva Entonces, ¿cómo determinamos cuál es el centro de masas?
Determinamos cuál es el centro de masas de este sistema y una distancia a
una distancia de 4r partido por 3 Sabemos que está la distancia de 4r
partido por 3 Aquí también, aquí tenemos el centro de masas que estará,
en vez de semicrila a una distancia de 4r' r' será el radio del círculo P
¿Cuánto vale r'? No sé, solamente la mitad de r O entonces le ponemos el
sistema será equivalente a la masa puntual localizada a una distancia r en
la dirección x y una distancia hacia arriba de 4r partido por 3 ¿Cuánto
vale esa masa? Pues esa masa es igual a sigma por el área Le ponemos una
masa ¿Cuál sería la siguiente masa? La siguiente masa sería la que
está a una distancia r más r medios es decir, 3r medios 3r medios en una
distancia vertical de 4r' que es r partido por 2 partido por 2 ¿Y cuánto
vale esta masa que hay aquí? Semi prima va a ser igual a la densidad por
el área de ese semicírculo que es pi por el radio del cuadrado que va a
tener r medios al cuadrado que es r medios r cuadrado partido por 4 el
centro de masas de este sistema se ve que corresponde a una masa positiva
localizada aquí como masa negativa localizada Luego es sumatorio de masas
con distancias cambiado por masa La masa principal será la masa negativa
Podemos hacer el caso de la posición x En la posición x tendríamos la x
del control de masas igual a la masa 1 que es sigma por pi r cuadrado
partido por 2 de la masa 1 como he dicho es yare Más la masa 2 que es
menos sigma por pi sería r al cuadrado partido por 8 multiplicado por la x
que es 3r medios partido por la masa total la masa total con asa de las
piedras, sigma por pie del cuadrado partido en dos, más la masa de la
segunda, que es negativa, menos sigma por pie del cuadrado partido en dos.
Porque está bien. Esta es la forma de trabajar con huecos. Por ejemplo,
otro caso desestiguo. Si nosotros tuviéramos una circunferencia y
asumiríamos esta respecto al origen, algo de la mayúscula, y tuviéramos
una circunferencia más pequeña, que es válida, tal forma que los centros
están separados por una distancia Esto es el estar sólido, y esto es
invasivo. Sólo que en el plano de la definición sería más fácil. O
sea, que sería igual el sistema. Habría una esfera de radio r con
densidad sigma, más una esfera de radio r pequeña, con densidad menos
sigma. De tal forma que aquí la distancia, aquí el centro de masas,
estuviera localizado en una distancia x igual a r, y aquí el centro de
masas estuviera localizado en una distancia x igual a r, más x. x es la
separación entre los centros. Bueno, con eso ya se podría hacer nuestros
cálculos. Repite las masas. Debería ser la distancia sigma por x y r al
cuadrado. Aquí sería la distancia menos sigma, por x y r al cuadrado.
Supongamos que tenemos, en el último caso que tenemos, que miramos esto.
Sobre un cuadrado, le damos a A, le dejamos la sección circular, y nos
quedamos con esto. La sección de masas esónicas, esta sección. Entre el
círculo de la derivada y el cuadrado. ¿Cuál sería el círculo de masas?
Pues, primero, nuestro equivalente va a tener un cuadrado en algo A
positivo, más el círculo cuadrante, cuadrante. Una densidad menos sigma.
Y r. Si nosotros sumamos las dos cosas, el sigma con el menos sigma es el
círculo azul. Y nos queda el sigma positivo, que corresponde al cuadrado.
Por ejemplo, para terminar con el teorema de Pablos, si nos preguntan, si
nosotros tuviéramos, por ejemplo, aquí una parábola, que nosotros
podríamos llamar la raíz de x, desde el origen hasta el punto en el que
la estrategia gráfica es el círculo B, nos preguntarán cuál es la
posición del centro de masas. Bueno. Entonces, en este caso, porque
tirando un poco lo que hemos hecho en los ejercicios, sabemos que tiene una
densidad sigma, y tenemos que calcular la posición del círculo de masas,
como x, diferencial de área por sigma, al cubo de la masa total, igual a
y, al cubo de la masa total. Entonces, vamos a calcular primero cuál es la
masa total, que es igual a sigma, vamos a poner una integral doble,
diferencial de y, entonces tomamos, por ejemplo, plazos horizontales, esto
sería diferencial de x, esto sería altura y, entonces tenemos que estar
integrando, conseguimos integrar diferencial de x desde cero hasta el punto
final, es que sabemos que altura es b, pues al raíz del punto final es
igual a b, o sea, el punto final será igual a c, de cero a b cuadrado,
diferencial de x, sigma a la altura, y cuál sería el elemento de área,
pues sería la índice esta, que tiene altura y, lo que tiene que ver con
raíz. ¿Y cuánto vale y? Cuánto vale la altura, que es la posición de
la palabra, que es la raíz de x. Esta sería la expresión de la masa, y
desde el cero hasta el cero. Puede ser de igual, sigma, no sigma partido
por tres, o raíz de una cuba. Esta sería la masa. Para ir a la posición
del centro de masas, pues tenemos, en este caso, que determinar qué
elementos de área tienen la misma índice. Lo que hemos visto antes, es
que esta es la misma x, pues la eventualidad es y diferencial de x. Una
terminología de x, por y, es a la x, por c, y por c. De nuevo, el cero a b
cuadrado. Y ahora, en el caso de la i, ¿qué elementos de masa tienen la
misma distancia de i? Habríamos de tomar una cinta, que se refiere al
contrario, esta cinta de aquí, y la distancia sería, si nosotros sabemos
que el punto de corte a este punto de corte le llamamos x, la distancia
total es b, pues la distancia a la longitud de la cinta va a ser igual a b,
y a menos x. Entonces, si nosotros tendríamos la integral de b, sería b,
b menos x, por diferencial de i, por sigma, y por i. ¿Cuánto vale x? x es
la posición que toca la parábola. Pues si i es igual a la variable x, x
será igual a i más c. Lo equivocado es que sea b, no es este vector. Lo
he dicho en que la distancia es valiente de cuánto, Es perfecto. b al
cuadrado menos x, que es i al cuadrado, que es b al cuadrado menos i al
cuadrado, por i, diferencial de i, y por sigma. ¿Entre qué límites de
integración? La integración se realizaría en las is, desde i igual a 0,
que es esta parte de aquí, hasta i igual a 0. Cuando tenemos i igual a 0,
la longitud es igual a b al cuadrado. Cuando i es igual a b, la longitud de
la tinta es igual a b. Por esto ya vamos a terminar. Vamos a ver cómo se
ha realizado la misión de hoy. La semana que viene trabajaremos con el
teorema de Steyer y los documentos de Mercia sobre problemas resueltos e
impuestos. Muchas gracias por tu atención.