Hola, retomamos el tema 8, estamos en la cuarta parte. Nos habíamos
quedado en las inferencias sobre la regresión. De la misma forma, todo lo
que hemos visto hasta el momento, excepto los supuestos, la discusión
sobre los supuestos, etc., ha sido descriptivo. Obviamente como tenemos una
muestra de datos queremos inferir a la población los resultados que hemos
obtenido en nuestra muestra. Nos lleva a la inferencia estadística. Pero
aquí la situación se complica un poco porque para una simple recta de
regresión tenemos muchos parámetros. Tenemos la correlación entre X e Y,
que aunque no pertenece estrictamente a la recta de regresión es muy
importante. Entonces tendremos que hacer inferencias sobre R. La
correlación entre X e Y. En relación a la recta de regresión tenemos B y
B0, la pendiente y el punto de corte con la ordenada. De cada uno de esos
parámetros tendremos que establecer su inferencia, su contraste
estadístico para ver si podemos asumir una hipótesis nula o no. Tendremos
los intervalos de confianza para cada uno de los parámetros B y B0. Y
luego tenemos también que para cada valor de X sub Y, de la variable
independiente, la recta de regreso nos hace una predicción. Entonces
tendremos que establecer también inferencias sobre esa predicción que nos
realiza la recta de regresión. Cuanto vale nos va a venir dado
básicamente por la recta de regresión, los parámetros se aplican a X y
ya está. Pero tendremos también que calcular su intervalo de confianza.
Como vemos las inferencias sobre la regresión para un único tema tenemos
muchas inferencias que hacer porque hay muchos parámetros. Una vez que
hemos construido el modelo de estimación, ese modelo de estimación se
refiere a los parámetros B y B0 que hemos extraído, que hemos calculado
mediante el criterio de mínimos cuadrados con los datos muestrales que
tengamos. Teníamos un modelo inicial y lo hemos concretado al calcular los
parámetros B y B0. Ahora tenemos que darle significación estadística,
inferencial. De tal forma que las inferencias que hagamos a partir de los
datos muestrales sean válidas para el conjunto de la población. Porque
los valores B y B0 que hemos obtenido en esta muestra van a diferir si
cogemos una muestra distinta. Cada vez que cogemos una muestra distinta
vamos a tener un valor de B y B0 distintos por consiguiente necesitamos
establecer contrastes inferenciales sobre esos parámetros. Entonces, las
inferencias que vamos a hacer sobre la regresión básicamente son tres. En
primer lugar vamos a tener que hablar sobre el coeficiente de correlación
entre la variable dependiente e independiente entre X e Y que aunque no
pertenece estrictamente a la regresión es un contraste sobre la misma. En
segundo lugar realizaremos un contraste sobre los coeficientes de la
regresión es decir, B y B0 pendiente y punto de corte con la ordenada. Y
por último, para cada uno de esos parámetros necesitaremos un intervalo
de confianza con una determinada probabilidad tanto para el coeficiente de
correlación como para los coeficientes de regresión. Vemos que es, de
nuevo, inferencias pero hay muchos parámetros sobre los que hacerlas y por
eso el tema se complica un poquito más. Vamos a empezar con el contraste
sobre la correlación y la regresión es decir, el parámetro R, perdón,
el estadístico RXY que hemos obtenido en nuestra muestra es decir, el
valor concreto de correlación que hemos obtenido entre los valores de X y
de Y en nuestra muestra tendremos que establecer un contraste normalmente
el contraste que se establece es este R es la correlación en la muestra RO
en la población, observen, letra latina, letra griega entonces el
contraste normalmente que se va a aplicar es que no existe relación entre
la variable dependiente y la independiente que RO vale cero por tanto la
hipotesis nº1 plantea que RO vale cero y la hipotesis alternativa plantea
que RO es distinto de cero si es distinto de cero, ya sea positivo o
negativo indica en la hipotesis alternativa lo que plantea es que hay
relación entre ambas variables para ver la significación de este
contraste estadístico entre H1 y X1 tenemos dos procedimientos el primero
es que se puede establecer una razón F ya hemos visto muchas razones F en
el ANOVA continuamente trabajamos con razones F aquí también recordemos
que F se puede considerar bien como una función continua de distribución
de probabilidad y un cociente de varianzas se distribuye según una razón
F por consiguiente, también se puede considerar que la razón F es un
cociente entre medidas cuadráticas que son las varianzas entonces podemos
otra vez tener una razón F un cociente entre medidas cuadráticas entre
varianzas, entre el coeficiente de determinación R al cuadrado y el
coeficiente de alienación cada uno de ellos dividido por sus respectivos
grados de libertad entonces vemos la razón F es el cociente entre el
coeficiente de determinación que es la correlación al cuadrado partido
por los grados de libertad de la regresión que siempre van a ser la unidad
partido por su complementario 1-R al cuadrado el coeficiente de alienación
es decir, el numerador representa la parte la proporción de Y que se puede
explicar a partir de X y el denominador la parte de Y que no puede explicar
a partir de X el coeficiente de alienación dividido por su grado de
libertad el grado de libertad de los residuos el grado de libertad de los
residuos es N el número de datos que tenemos de pares de datos que tenemos
en nuestra muestra menos 2 porque hemos hecho dos estimaciones mientras que
la regresión es lograr la libertad vale 1 en definitiva la media
cuadrática de vida a la regresión partido por la media cuadrática de los
residuos con lo tanto, el ejemplo si recordamos que R al cuadrado nos
salió 0.7963 si redondeamos a dos cifras significativas sería 0.80 con
tres cifras sería 0.796 hay que tener mucho cuidado los redondeos son
inevitables luego recomendaré alguna anécdota sobre lo mismo vamos a
seguir con esto R al cuadrado es 0.79 aproximadamente y tenemos 16 sujetos
por consiguiente, en el numerador ponemos R al cuadrado partido por 1 R al
cuadrado 0.79 partido por su complementario 1 menos 0.79 partido por lo
grado de libertad 16 menos 2 tenemos 16 pares de observaciones la F que nos
sale es 54.72 o 73 si queremos redondear a simple vista ya me parece una F
muy elevada claramente va a ser significativa esto depende de lo grado de
libertad siempre, pero intuitivamente me parece una F muy elevada pero
vamos a comprobarlo vamos a comprobarlo mediante las tablas para ello
buscamos en las tablas el valor crítico con qué grado de libertad pues
con lo mismo que hemos calculado la F empírica con 1 en el numerador y 16
menos 2 en el denominador si no nos dicen alfa 0.05 buscamos en las tablas
y vemos con 1 grado de libertad en el numerador y 16 menos 2 en el
denominador es decir 14 nos sale una F crítica del 4,60 4.60 al 0.05 si lo
graficamos vemos el 4.60 este es el valor crítico es un valor en el eje de
las de acisas de la curva F la distribución F con 1 y 14 grado de libertad
vemos que ese valor del 4,60 me deja por encima de sí el 0.05 de la
distribución y por debajo si el 0.95 sin embargo la F empírica que hemos
obtenido es tan elevada que ni siquiera aquí nos sale para poder
representar un poquito poder visualizar alfa he tenido que limitarme a que
el eje de acisas valga como máximo 8 4, 5, 6, 7 y 8 ese sería el valor
máximo que he podido representar aquí para representar el 54,72 observen
esa misma gráfica la F de 1 con 14 grado de libertad y la F empírica
quedaría aquí ni siquiera el gráfico me permite visualizarla porque es
tan pequeña tan pequeño el área de probabilidad que deja por encima que
visualmente el ordenador me ha tenido que superponer el eje de acisas con
la propia línea de la gráfica observen que el 10 está aquí y el 8
estaría aquí esta sería la zona de la gráfica que he podido dibujar en
la primera gráfica claramente la F empírica queda en la zona de rechazo
de H0 porque 4.60, el valor crítico al 0.05 es menor que 54 el valor
crítico es tan bajo que solo lo podemos obtener con un ordenador observen
los niveles de probabilidad en esta gráfica 0.004 no son niveles de
probabilidad son niveles de Fx recuerden que cuando trabajamos con
funciones continuas la probabilidad es el área entre dos valores concretos
del eje x por tanto la altura no es estrictamente una probabilidad aunque a
veces por exceso de confianza lo digamos es importante observar los grados
de libertad asociados a la suma de cuadrados de la regresión tenemos un
solo grado de libertad esto indica que el coeficiente de determinación r
al cuadrado se distribuye con un grado de libertad este grado de libertad
asociado a la suma de cuadrados de la regresión representa la desviación
de la pendiente b con respecto a 0 solamente puede variar en una única
dimensión un grado de libertad por otra parte el grado de libertad de la
suma de cuadrados de los errores o residuos ya hemos visto que era n-2 que
esto es el mismo grado de libertad que tiene el coeficiente de alineación
1 menos r al cuadrado el término n el número de pares de observaciones
refleja el número de observaciones independientes es decir, el total de
sujetos normalmente y el valor 2 representa el número de restricciones que
hemos impuesto para construir la ecuación de estimación ¿qué
estimaciones han sido esas? pues hemos estimado la pendiente b y el
intercepto dos parámetros que son los grados de libertad que eliminamos
restamos de n y esto es muy importante todos esos datos se pueden expresar
de la misma forma que se hacía en el ANOVA mediante una tabla de ANOVA una
tabla con suma de cuadrados, grado de libertad media cuadrada, etc. pero en
este caso aplicado al contraste de regresión tenemos lo mismo que vimos en
el tema 5 tenemos las fuentes de variación según el modelo que hemos
aplicado nuestros datos para el análisis, tenemos solamente dos fuentes de
variación aquí debida a la regresión de y sobre x y lo que resta los
residuos el total tiene que ser la suma de los dos anteriores las sumas de
cuadrados r al cuadrado y 1 menos r al cuadrado los grados de libertad son
los mismos que habíamos visto anteriormente y las medidas cuadráticas son
las que hemos calculado y esta es la f que hemos obtenido la probabilidad
no tardéis en buscar en las tablas porque no van a conseguirlo es 3 por 36
por 10 elevado a menos 6 es un nivel de probabilidad bajísimo y
obviamente, como he dicho anteriormente sin ordenadores o calculadoras
científicas en las tablas no se puede bueno, si se puede pero no tiene
sentido esto es simplemente una forma bonita como dicen los ingleses es una
forma bonita de resumir el contraste de la regresión donde expresamos todo
lo que conocemos la suma de cuadrados r al cuadrado y 1 menos r al cuadrado
los grados de libertad las varianzas insesgadas, es decir, las medidas
cuadráticas la razón empírica y la probabilidad de obtener una razón
empírica igual o superior a la obtenida hemos dicho que esa era una forma
de contrastar la hipotesis nula de que rho en la población es igual a 0 un
contraste de medidas cuadráticas entre aquello que me permite explicar x y
lo que no me permite el coeficiente de determinación y el coeficiente de
alienación la otra manera de contrastar la hipotesis nula de que la
correlación en la población, es decir, rho es igual a 0 no existe
relación entre x e y es mediante el estadístico T con n menos 2 grados de
libertad el estadístico T siempre es un cociente y en este caso el
numerador es el producto entre el coeficiente de correlación no de
determinación recuerden siempre, cuando es r mayúscula al cuadrado es
coeficiente de determinación cuando es r minúscula, es coeficiente de
correlación a secas y como subí un detalle las variables sobre las que se
ha calculado es el coeficiente de correlación x e y multiplicado por la
raíz cuadrada de n menos 2 del grado de libertad y todo ello partido por
raíz cuadrada de 1 menos el coeficiente de determinación r al cuadrado
aunque aquí no se ha puesto en mayúscula sabemos que r al cuadrado
siempre es coeficiente de determinación por consiguiente vemos que en el
numerador tenemos la raíz cuadrada del coeficiente de alienación y en el
numerador, el producto del coeficiente de correlación por raíz cuadrada
de n menos 1 raíz cuadrada de los grados de libertad si esto lo aplicamos
a nuestros datos tenemos una T de 7.40 si no me he equivocado el
coeficiente de correlación es 0.89 16 menos 2 y este es el coeficiente de
correlación al cuadrado 7.40 obviamente ahora tendremos que ir a las
tablas para comprobar si esta T empírica que hemos obtenido en nuestro
experimento mejor dicho, nuestra observación estamos en correlación es
iniciativa a un nivel de probabilidad determinado para ello buscamos la
probabilidad o el valor crítico, es otra forma de esta T, es la misma que
la del valor del estadístico F calculado anteriormente y esto es curioso
pero se produce esto es debido a que existe una relación de igualdad entre
la T calculada anteriormente a la fórmula anterior y la F calculadamente
el coeficiente entre medidas cuadráticas en determinadas condiciones del
grado de libertad es decir, cuando la T tiene n grados de libertad y la F
tiene en el numerador 1 y en el denominador n, es decir los grados de
libertad del denominador de la F coinciden con el grado de libertad de la T
se cumple que el valor de T al cuadrado es el mismo que el valor obtenido
de F si le damos al cuadrado una T como la que hemos obtenido de 7.39 esa
es la que hemos obtenido, ¿verdad? 7, sí 7.40 le vamos al cuadrado nos da
la F que hemos obtenido en la tabla de la NOVA anteriormente obtenida con 1
grado y 14 grados de libertad recuerden que esta relación entre el valor
de T y el valor de F solamente se cumple si se respetan la relación de los
grados de libertad que se puede ver en pantalla en caso contrario no tiene
por qué y nos va a dar no lo hemos hecho no hemos calculado la T crítica
pero por una sencilla razón, porque nos va a dar lo mismo que la F
intervalo de confianza es decir, para cada contraste estadístico que
estemos aplicando en otro caso tendremos que contrastar una hipotesis y
otra normalmente que va a ser que la población ese parámetro vale 0 y
luego su intervalo de confianza porque el contraste activador simplemente
nos dice si es fácil de asumir que la población robo vale 0 o no pero
ahora necesitamos una estimación de los valores superior e inferior en
relación al coeficiente de correlación que hemos obtenido en nuestra
muestra en el cual esperamos encontrar un determinado nivel de confianza en
la población el intervalo de confianza que hemos estado trabajando para
casi todos los estadísticos sí, casi todos también tenemos que aplicarlo
al coeficiente de correlación hemos determinado que el coeficiente de
correlación en la población es distinto de 0, es decir, tenemos que
rechazar h sub 0 por lo tanto ahora vamos a ver su intervalo de confianza
¿qué valor del coeficiente de correlación a un nivel de confianza
asumimos que se encuentra el verdadero valor de rho en la población el
problema es que la distribución muestral es decir, recuerden la
distribución muestral si repetimos el experimento de obtener una muestra
con un n fijo, por ejemplo 16 que es el ejemplo que estamos siguiendo si
mantenemos si repetimos ese experimento multitud de veces y en cada muestra
extraemos un coeficiente de correlación nos preguntamos ¿cómo se
distribuyen todos esos coeficientes de correlación en las infinitas
muestras que podemos extraer? infinitas o finitas, depende esa es la
distribución muestral del coeficiente de correlación pero esta
distribución no es simétrica salvo en el caso de que en la población en
la que se están extrayendo esas muestras la correlación sea realmente
igual a 0 pero eso ya lo hemos descartado en el paso anterior, en el paso
anterior hemos hecho contraste de correlación y hemos descartado que rho
en la población sea igual a 0 por consiguiente esto supone que los
límites del intervalo de confianza el límite superior LS LI siempre hemos
visto que calculábamos los valores numéricos que quedaban de forma
simétrica con respecto al estadístico que hemos calculado en nuestra
muestra en este caso, si calculáramos el coeficiente de correlación este
y sus límites de confianza que nos dan dos valores superiores dos valores,
uno superior y otro inferior podríamos encontrar que la distribución es
simétrica con respecto a Rx esto en el caso de correlación no se cumple
los límites de intervalo de confianza no son equidistantes del valor eso
quiere decir que podremos encontrarnos situaciones de este tipo en donde el
coeficiente de correlación la distancia entre el coeficiente de
correlación muestra que hemos encontrado en nuestra muestra correlación
al límite inferior, por ejemplo sea mucho más pequeña que la distancia
con respecto al límite superior o a la inversa es decir, los límites del
intervalo de confianza no son equidistantes con respecto al coeficiente de
correlación muestra obtenido y para ello para resolver este problema
Fischer el maestro de la estadística el príncipe de la estadística
desarrolló el estadístico Z' ya simplemente por el nombre del
estadístico podemos ver que se va a distribuir según la curva norma
tipificada le pone Z' para diferenciarlo para identificarlo, mejor dicho
como una transformación del coeficiente de correlación esa
transformación obedece a esta fórmula es decir, hemos obtenido en nuestro
experimento una correlación entre X e Y entre la variable dependiente e
independiente y ahora aplicamos esta fórmula un medio de una diferencia
entre dos valores numéricos el primero es el logaritmo neperiano de 1 más
el coeficiente de correlación obtenido en la muestra menos el logaritmo
neperiano de 1 menos el coeficiente de correlación obtenido en la muestra
vemos que Z depende solamente podríamos ponerlo también así Z es una
función de R, X Y si graficamos ahora en un eje de coordenadas Z con
respecto al coeficiente de correlación obtenemos esta gráfica obviamente
el coeficiente de correlación no puede ser inferior a menos uno o superior
a más uno, por consiguiente ese es el rango en el que podemos graficar
nuestra función si graficamos esta función para el coeficiente de
correlación entre menos uno a uno obtenemos esta gráfica y esa se ve bien
la gráfica vemos que no es lineal en absoluto por los componentes del
logaritmo neperiano ahora, si en vez de trabajar con el coeficiente de
correlación hemos visto que no es simétrica con respecto al valor
obtenido en la muestra trabajamos con una transformación de ese
coeficiente de correlación la transformación Z' tenemos una distribución
muestral distinta a la de Z' la cual depende únicamente del tamaño
muestral, DN y presenta una distribución normal incluso con muestras
pequeñas con lo cual Z' ya sí tiene una distribución muestral que va a
ser simétrica con respecto al valor central el error típico es uno
partido el error típico de la distribución muestral de Z' es uno partido
por raíz cuadrada DN-3 entonces, si aplicamos esta fórmula en nuestro
ejemplo hemos obtenido un coeficiente de correlación de 0.89 aplicamos la
fórmula y nos sale una Z, es decir, a esta correlación le corresponde una
Z' de 1.43 si vamos a la gráfica anterior lo veremos gráficamente 0.89
estará aproximadamente 6, 7, 8... 0.89 por aquí graficamos X Y es 1.0 que
es efectivamente lo que hemos obtenido en nuestro cálculo 1.4 una vez que
tenemos la puntuación Z calculamos un error típico que es uno partido por
raíz cuadrada de DN-3 nos sale 0.27 y una vez que tenemos por coincidente
el error típico y Z' podemos calcular el intervalo de confianza a un
determinado nivel de confianza vamos a hacerlo al 95% entonces, el
intervalo de confianza IC al 95% es decir, significa que los otros valores
que vayamos a obtener de coeficiente de correlación mediante este cálculo
podemos tener una oscilidad del 95% de que el verdadero valor de error en
la población se encuentra entre esos valores viene dado como siempre por
Z' que es Z' mejor dicho el estadístico que hemos obtenido en nuestra
muestra más, menos el producto entre la Z de las tablas de la
distribución normal al 95%, al 0.05 que es 1.96 es un valor que nos suena
bastante por el error típico obtenido esto es el error máximo ese
producto Z' más menos el error máximo y el error máximo es el producto
de dos factores, uno que depende solamente de cómo se distribuye el
estadístico en este caso Z' se distribuye según la curva normal
tipificada multiplicado por el error típico de la distribución mostrar de
ese estadístico que en este caso era 1 partido por R' de N-3 esto nos da
estos dos valores, límite superior y límite inferior es decir que
observamos que como estamos sumando y restando exactamente el mismo error
máximo a 1.43 ahora el intervalo de confianza si es simétrico con
respecto al valor obtenido si el valor obtenido es 1.43 el valor superior
es 1.98 que queda a la misma distancia pero por la zona superior que 0.89
ahora lo que podemos asegurar al 95% es que en la población el verdadero
valor de R' se encuentra entre 1.98 y 0.89 y la mejor estimación que
podemos darle dado nuestros resultados empíricos es 1.43 pero claro, aquí
hemos obtenido el intervalo de confianza de Z' si es simétrico pero si
queremos expresarlo en Z Z no es un coeficiente de correlación es una
puntuación titificada y sin embargo si yo quiero hablar de la correlación
entre dos variables obviamente me resulta mucho más intuitivo hablar de
las correlaciones, no de las puntuaciones Z por consiguiente un último
paso es estas puntuaciones Z Z superior la Z empírica que hemos obtenido
en nuestra muestra y Z inferior me gustaría verlas reflejadas en
correlaciones y para ello hay una tabla con la que podemos conseguirlo esta
tabla es la tabla de la transformada Z de Fischer en vez de utilizar la
fórmula anterior simplemente nos vamos a esta tabla y buscamos los valores
de Z que hemos hallado en el paso anterior uno de ellos era 0.89 y otro era
1.94 vemos en su fila correspondiente que se corresponden con coeficientes
de correlación de 0.71 y 0.96 el gráfico bien hecho del coeficiente de
correlación obtenido creo que era 0.86 y graficamos estos valores 0.89 no,
perdón 0.89 es Z 0.71 0.96 el superior 0.71 el inferior estos ya son
valores de R de correlación y el valor concreto de la correlación en este
ejemplo era 0.89 vemos que no hay la misma distancia entre el valor
superior y el coeficiente de correlación que entre el coeficiente de
correlación y el valor inferior en concreto este sería más cercano al
valor superior es un intervalo asimétrico por consiguiente los límites
aproximados del intervalo de confianza del coeficiente de correlación son
0.71 y 0.96 valores que no son simétricos respecto al coeficiente de
correlación muestrado 0.89 todo esto para el coeficiente de correlación
hemos hecho un contacto estadístico con respecto a R y su intervalo de
confianza aplicando la transformada Z de Xc ahora vamos a hacer lo mismo
para B y B0 para la pendiente y el punto de encuesta con la ordenada con
este contraste lo que queremos entender es si hay evidencia científica o
estadística mejor dicho no científica de que la pendiente es diferente de
0 normalmente va a ser este el contraste que vamos a poner a prueba porque
si la pendiente es diferente a una línea horizontal B igual a 0 una línea
perpendicular al eje de ordenadas significa que X no nos permite predecir Y
da igual en qué punto de X se encuentra la puntuación de un sujeto no nos
dice nada sobre Y también se puede contestar mediante este contraste el
intercepto y también se puede plantear y se va a hacer si el intercepto es
distinto o igual a 0 pero en la mayor parte de los estudios en reales suele
ser ignorado porque a no ser que tengas una teoría muy clara que te
indique que el intercepto va a ser 0 no tiene un significado muy claro en
cambio B sí lo tiene porque es la pendiente, es el que te indica si X me
sirve para predecir Y sin embargo el punto en el que la recta me cruce el
eje de accisas normalmente no tiene una significación interesante entonces
estos son los dos contrastes que vamos a poner a prueba Observen que la
primera parte es para beta beta ya se refiere como pueden haber supuesto a
la pendiente en la población B0 y B0 a la ordenada en la población
nosotros lo que tenemos son B letra latina dos valores, dos estadísticos y
B0 muestrales el hipótesis nula plantea que la pendiente en la población
de la recta de reacción entre X e Y para todos los sujetos polacionales es
0 la población alternativa que es distinta de 0 lo mismo para beta vamos
entonces a ver qué contraste podemos utilizar y qué intervalo de
confianza podemos utilizar el estadístico de contraste, lo primero ¿qué
estadístico de contraste vamos a utilizar? una T con N-2 grados de
libertad donde en el numerador tenemos que la diferencia entre el valor
planteado el que hemos obtenido en nuestra muestra B menos el valor
obtenido menos 0 0 es el valor propuesto en la hipótesis nula planteado
por la hipótesis nula la diferencia entre estos dos valores como en la
hipótesis nula hemos planteado que beta según la hipótesis nula es igual
a 0 es B menos 0 con lo cual muchas veces ni siquiera se pone y simplemente
se divide B la B que hemos obtenido en nuestra muestra no beta, B partido
por el error típico de beta y ese error típico viene dado por esta
expresión la distribución muestral de la pendiente de las pendientes en
todas las muestras que pudiéramos obtener de un tamaño determinado viene
dado por el producto entre el cociente entre la división típica de Y
partido por la división típica de X multiplicado por la recuadrada del
coeficiente de alinación 1 menos el recuadrado partido por N-2 a veces en
N los he puesto en mayúcula, otros en minúcula como aquí no hay
confusión es el número de sujetos que tenemos en nuestra muestra cuando
el tamaño muestral es muy elevado se plasma en que N sea mayor o igual que
100 como siempre T tiende a la normal y por tanto podemos utilizar la
distribución normal típica en este caso tenemos N igual a 16, con lo cual
no se puede hacer si aplicamos este contraste a la pendiente con los datos
que nos están sirviendo de ejemplo el valor del estadístico que vamos a
obtener va a ser 1.50 de nuevo esto no es beta sino que es B la B empírica
que hemos obtenido en nuestra muestra aquí tenemos el estadístico
contraste y el error típico de beta lo hemos ampliado en esta fórmula
para no hacer muy compleja la primera hacemos los cálculos T igual a la
coeficiente entre 1.50 que es el valor que hemos obtenido de B en nuestra
muestra, menos 0 partido por 4.64 que era la división típica de Y partido
por 2.75 multiplicado ese coeficiente por raíz cuadrada del coeficiente de
alineación menos 0.79 partido por 16 menos 2 y esto nos da 7.39 ya estoy
viendo que esto es muy elevado a un alfa de 0.05 va a ser significativo
seguro pero vamos a comprobarlo esta es la T empírica T.4 aproximadamente
el valor crítico según las tablas este no es el valor crítico es la P
crítica la P crítica el valor crítico sería un valor concreto de T es 3
por 36 por 10 elevado a menos 6 un valor muy bajo esa es la probabilidad de
encontrar un valor igual o mayor que la T que hemos calculado de 7.4 sí
obviamente es tan baja que seguro que en las tablas no viene habría que
hacerlo con un ordenador la probabilidad de T estadístico bueno, esto no
lleva a rechazo al H0 obviamente porque 3.36 por 10 elevado a menos 6 es
menor que 0.05 que es el alfa que solemos utilizar si no lo hiciera otra
cosa para realizar este tipo de contrastes la probabilidad de T
estadístico es la misma que la probabilidad de la F en la tabla de la
norma de la regresión de eso no me había dado cuenta bien, hemos visto
para el estadístico de contraste la T para B vamos a hacer lo mismo para
B0 yo esto lo pondría como B la B empírica que hemos obtenido en nuestra
muestra como en la hipótesis nula hemos planteado de nuevo que beta en la
población, beta sub 0 es igual a 0 este es el valor que colocamos aquí
entonces B0, el valor empírico que hemos obtenido en nuestra muestra,
menos 0 partido por su la división el error típico de beta sub 0 y este
error típico viene dado en la fórmula que pueden ver en pantalla es el
error típico con n-2 grados de libertad es el error típico de la
distribución mostral del intercepto que es el producto de la división
típica de los errores por raíz cuadrada de la suma de dos cocientes 1
partido por n sabemos que n es el tamaño mostral más la media de x al
cuadrado partido por n-1 por la varianza de x esta fórmula es un poquito
más complicada que la anterior siendo la división típica de los errores,
observen ese epsilon en el subíndice era lo que aparecía en la ecuación
de regresión que habíamos planteado b sub 0 más b por x más un epsilon
ese es el que se corresponde con ese subíndice obviamente no lo conocemos
porque los errores no los conocemos pero una buena estimación una
estimación apropiada de los mismos es la raíz cuadrada de la media
cuadrática del error, ¿dónde hemos visto esto? en la tabla F que hemos
visto previamente de los residuos de la tabla de la NOVA para el contraste
de la regresión por eso era tan importante la tabla F que hemos visto
anteriormente este valor de sigma sub epsilon representa la varianza
residual en la población en el caso de regresión bivariada varianza
residual, varianza de los errores después de haber ajustado la recta por
consiguiente ahora en la fórmula anterior en vez de poner sigma sub
epsilon ponemos la media cuadrática la raíz cuadrada de la media
cuadrática del error aquí hemos puesto la fórmula anterior desarrollada
y hemos colocado en la parte superior la ecuación de regresión que hemos
calculado para que no se nos olvide la ecuación de regresión que hemos
obtenido es que I' las puntuaciones pronosticadas para la variable
pendiente es igual a B0 4.03 más 1.5 por X y la nueva de la regresión que
hemos visto anteriormente nos daba una media cuadrática del error de los
residuos de 4.71 colocamos ahora todos los datos, obviamente esto no es
beta sub 0 sino es el valor B que hemos obtenido en nuestra muestra B0 el
empírico no el que planteamos por la final entonces vemos que 4.03 se
corresponde con el valor de la ordenada según la recta de regresión menos
0 que es lo que hemos planteado en la hipotesis nula partido por la raíz
cuadrada de 4.70 se corresponde con la raíz cuadrada de la media
cuadrática de la nueva por la raíz cuadrada de 1 partido por 16 más la
media de X al cuadrado no la hemos puesto por aquí en ningún lado pero
tenía que estar en una tabla anterior 6.375 al cuadrado partido por la
varianza de X que es 7.58 y esto nos da una T de 2.86 a primera vista me
parece elevada pero esto lo vamos a buscar en las tablas porque si podemos
buscarlo con 14 grados de libertad vemos aquí que la T que hemos obtenido
de 2.86 se queda entre vamos a ponerle otro color entre 2.62 entre esta T y
esta T vemos que se queda ahí en medio consiguiente no podemos conseguir
su nivel de probabilidad exacto según las tablas pero sabemos que es
superior a 0.01 e inferior a 0.05 está entre esos dos valores de las P que
limitan las dos que sí conocemos en concreto es 0.125 superior a 0.01 e
inferior a 0.05 no, no, a ver al revés 0.01 es mayor 0.0125 es menor en
este caso no he puesto los 0.0125 y eso sube a ser inferior a 0.005 vemos
por consiguiente que ahora que el valor de probabilidad se encuentra entre
0.01 y 0.005 según las con ordenador se puede saber que es exactamente
0.0125 pero como ustedes no lo van a utilizar saben que se encuentra entre
esas dos puntuaciones con 14 grados de libertad por consiguiente se rechaza
la hipótesis nula de que el intercepto sea igual a 0 con un alfa del 0.05
0.005 hemos visto por consiguiente los contrastes para B y B0 ahora
necesitamos sus intervalos de confianza, lo mismo que hemos hecho antes
para la regresión vamos a hacer ahora los intervalos de confianza de ambos
estadísticos y la aceptación o el rechazo de H0 mientras los contrastes
anteriores producen el mismo resultado que si calculamos el intervalo de
confianza yo a veces me he encontrado con situaciones en las que esto no se
da el intervalo de confianza me da una información distinta al contraste
de hipótesis pero son casos muy extraños, muy raros y también debidos a
que existen diversas formas de calcular el intervalo de confianza como lo
mismo hay tres pero olviden eso quiere ser con que normalmente el contraste
de hipótesis que hemos hecho anteriormente para B y B0 nos lleva a la
misma conclusión que el cálculo del intervalo de confianza si hacemos el
cálculo del intervalo de confianza para B y los límites superior e
inferior no incluyen a 0 nos está diciendo que a un nivel de confianza
determinado 0 no es un valor que entre dentro del intervalo de confianza,
por consiguiente lo podemos rechazar, que es lo mismo que hemos hecho con
el contraste de hipótesis. Hemos puesto a prueba que B fuese 0 Los
intervalos de confianza siempre responden a la misma fórmula El
estadístico que hemos calculado en nuestra muestra en este caso vamos a
aplicarlo a B, más o menos si se suma y se resta el producto de dos
factores un primer factor que es el error típico la división típica del
parámetro en la distribución muestra sigma del parámetro que sea
multiplicado por el estadístico que se haya utilizado en el caso anterior
en este caso es la t Este es un valor que nos viene dado por las tablas y
este es un valor que nos viene dado por la distribución muestra de ese
estadístico Hemos dicho que el producto de esos dos factores se conoce
como el error máximo y este es el error típico mientras que T el
estadístico de contraste A veces se le llama también a este error máximo
la precisión porque cuanto mayor sea este producto el resultado de este
producto sea mayor quiere decir que el intervalo de confianza es mayor y
por tanto la precisión para localizar B en la población es menor es
decir, si yo tengo un intervalo de confianza de este tipo aquí estaría B
y se le suma y se le resta la misma cantidad La precisión con la que yo
puedo localizar en la población este B es mucho mayor que si yo tuviese
este otro intervalo de confianza El intervalo de confianza es mayor y tengo
menos precisión a lo largo de localizar B en la población Por
consiguiente esta es la fórmula general Aplicado en concreto AD intervalo
de confianza a una alfa determinada siempre tiene que ser bilateral por eso
alfa medios ya que estamos calculando por encima y por debajo el tipo de
estadístico con el que estamos trabajando es el estadístico en este caso
B más menos el producto del estadístico contra T en este caso es una T y
su error típico sabemos que para este caso esta es la fórmula B más
menos T y el cálculo más complicado es el error típico de B ya lo hemos
visto previamente en este caso con T de 1 menos alfa medios que vale 2.145
según las tablas es este componente que vemos aquí multiplicado por sigma
del error típico de B vemos que si no hemos cometido ningún error esta es
la división típica de Y partido por la división típica de X por la red
cuadrada de coincidente de alineación 1 menos 0.89 al cuadrado partido por
16 menos 2 el número de sus vectores menos 2 y este es el valor B que
hemos obtenido para la resta de reversión 1.50 si hacemos este cálculo
obtenemos un intervalo de confianza para B que va de 1.94 como valor
máximo y 1.07 como valor mínimo vemos que ese intervalo no contiene al
valor 0 entre al no contener el intervalo de confianza al valor 0 entre sus
límites se llega a la misma conclusión a la que hemos llegado a través
del estadístico T rechazamos H0 ahora vamos a hacer lo mismo pero para el
resto de estadísticos ahora para el intercepto el intercepto es B0 más
menos su feliz contraste, en este caso una T y su error típico vemos que
es exactamente lo mismo que antes, el producto de dos componentes el
estadístico y su distribución la división típica de su distribución
mostrar y ya hemos visto anteriormente que sigma de B0 viene dado por esta
expresión raíz cuadrada de la media cuadratica del error por raíz
cuadrada de la suma de dos coeficientes 1 al divido por n y la media dx al
cuadrado partido por el producto entre n-1 por la varianza dx buscamos en
la tabla bueno, aquí de nuevo he puesto la recta de regresión ahora como
queremos hacer un contraste sobre el intercepto el intercepto es 4.03 más
menos el producto del estadístico y contraste que es T con 14 grados de
libertad alfa medios nivel de confianza es 0.975 es decir, 0.025
multiplicado por 2.145 que es lo que hemos puesto aquí multiplicado por
para el segundo término necesitábamos la tabla de la ANOVA raíz cuadrada
del MC de error de la media cuadratica de los residuos va a ser un poco
torcida por la raíz cuadrada de 1 partido de 16 más la media en di, si no
me equivoco al cuadrado partido por 16-1 por la varianza dx y esto nos da
entonces no lo he puesto vale nos tiene que dar dos valores numéricos
simétricos con respecto a 4.03 y si no incluyen 0 podemos también
rechazar la hipótesis nula de que beta, su cero en la población valga 0
si lo incluyen no podemos rechazarla estamos calculando los números de
confianza para B0 por último tenemos el intervalo de confianza no sé si
hacer el cálculo aquí y probar una herramienta que me ofrece INTECA no,
la voy a facilitar seguimos por último intervalo de confianza de los
valores estimados y' es de nuevo para la recta de regresión que vemos en
la gráfica anterior esta es la recta de regresión que hemos calculado al
inicio del tema esta recta de regresión nos permite para cada valor de x
nos da un valor de y' y ese valor es único pero también tenemos que
calcular su intervalo de confianza alrededor de ese valor predicho por
consiguiente tenemos que calcular el intervalo de confianza acerca de los
valores estimados y' para ello los intervalos de confianza siempre tienen
la misma forma pero necesitamos conocer lo único que nos falta, el error
típico de la distribución mostral de los pronósticos es decir, sigma de
y' y este viene dado por la fórmula que pueden ver en pantalla este valor
a diferencia de lo que hemos visto anteriormente es una función de x' si
nosotros hemos cogido para un determinado valor de x' por ejemplo para x'
igual a 10 ¿cuánto vale la y' estimada para ese 10? como tenemos un valor
concreto al que le hemos aplicado la recta de regresión lo podemos poner
en esta fórmula x' si la predicción es con respecto a otro valor el error
típico de las y' cambia no es constante depende de xy entre otros factores
el valor sobre el que yo estoy calculando la y pronosticada entonces vemos
que ese producto de sigma de los errores ya sabemos que eso va a ser la
raíz cuadrada de la medida cuadrática de los residuos según la tabla de
la NOVA por recta cuadrada de 1 partido por n más sería un objeto muy
parecido a lo que hemos visto anteriormente excepto por el término xy
hemos visto que depende del valor para el que esté realizando el
pronóstico entonces aplicado los datos del ejemplo anterior, por eso no
tenemos un solo intervalo de confianza tenemos tantos como x tengamos y
tenemos entonces que calcular para x igual a 1 según la recta de
regresión anterior la y predicha según la recta de regresión para una
persona que en x tuviera 1, la y predicha es 5.53 y el error típico de esa
y predicha aplicando la fórmula anteriormente es 1.22 y por consiguiente
calculamos su límite inferior para ese valor de x si ahora cogemos otro
valor de x, por ejemplo 4 ahora el error típico de y prima es distinto
ahora para x igual a 4 la y progresificada según la recta de regresión es
10.04 pero su error típico ya no vale 1.22 sino aplicando la fórmula
anterior 0.72 y su límite inferior y límite superior será 8.49 y 11.60
relativo a esa x y el nivel de confianza del 95% se lo tenía hecho más
desarrollado vamos a expresarlo vamos a verlo más claramente esta es la
recta de regresión que hemos calculado con un b sub cero que es el
intercepto y un b que es la pendiente observemos que y es función de x
para cada valor de x tenemos una y predicha entonces para x igual a 1 la
sustituimos en la fórmula y hacemos los cálculos 4.03 más 1.50 por 1 y
nos da una y pronosticada de 5.53 ahora calculamos el error típico de y
que es sigma de los errores hemos visto que era recuadrado del medio
cuadrante del error por recuadrado de 1 partido por n vemos que es todo muy
parecido a lo que hemos visto anteriormente excepto que ahora la x y sobre
la que estamos calculando esta predicción vale 1 1 menos la media de x la
diferencia entre x y menos la media al cuadrado partido por n menos 1 por
la varianza de x y esto nos da 1.22 que es este valor excepto variaciones
de rondeo entre un ordenador y otro de las variaciones cuando yo meto en un
ordenador el dato 4.03 o 4.02 o meto 4.02747 o hago 1.50 o 1.50549 los
resultados que se van a obtener estas variaciones en la precisión con la
que yo introduzco los datos o con la que trabajo me producen variaciones
finales en los resultados como las que se pueden ver aquí es 1.2209 o
1.22086 obviamente por el rondeo está muy claro que es así el problema es
que este tipo de variaciones cuanto más cálculos se realicen con las
mismas cuanto más transformaciones hagamos más se incrementan y puede
llegar un momento en que veamos discrepancias entre lo que calculamos
nosotros con 2 dígitos de precisión o lo que calcula el SPSS con 8
dígitos de precisión o lo que calcula la matemática con 16 dígitos de
precisión hay que tener un poquito de sentido común desde mi punto de
vista ante este tipo de variaciones entonces aquí esta variación me
resultaría trivial este es el error típico de la Y predicha para X igual
a 1 y por último aplicamos el intervalo de confianza que es como siempre
el estadístico en este caso Y' pronosticada 5.53 más o menos el
estadístico contraste que es una T cuando hemos hecho el contraste para
las Y' por su división típica recuerden que ahora esta división típica
depende de X, es distinta para cada valor de X en este caso para X igual a
1 tenemos que el límite inferior es 2.91 y el límite superior es 8.15 si
ahora cambiamos de X y lo hacemos con X igual a 2 o X igual a 3 el único
problema es que nos va a variar sigma sub Y' y tendremos que recalcularla
en cada momento aquí se ha hecho se ha vuelto a hacer ya de forma más
rápida para X igual a 2 es decir los intervalos de conciencia para X igual
a 2 calculamos su predicción según la recta de regresión no tenemos más
que este X lo sustituimos en la recta de regresión hacemos los cálculos
nos sale 7.03 este valor que es sigma de Y' 1.22 me sale a mi aquí hay un
pequeño error este cálculo debería dar lo mismo que esto este cálculo
es simplemente el mismo que hemos hecho anteriormente pero con X igual a 2
porque es sobre la que estamos calculando su límite de confianza inferior
y superior el resto es exactamente el mismo la misma T la Y predicha es la
que nos da la recta de regresión y sigma de Y' es la que nos da esta
expresión entonces obtenemos un intervalo de confianza de 4.80 como
límite inferior y 9.27 como límite superior y eso lo tendremos que hacer
para todos y cada uno de los valores de X si lo queramos hacer si no ya
hemos visto el procedimiento no hay que complicarse si ahora graficamos
esos límites de confianza para cada valor de X obtendríamos una
situación como esta vemos que en verde se ha dibujado la recta de
regresión definida por los parámetros B y B' y la línea roja aunque me
salga mal esa línea roja representa los límites superiores para cada
valor de X y la línea azul representa los límites inferiores para cada
valor de X y observamos que en relación al punto medio que es la línea
verde la recta de regresión los intervalos de confianza son más estrechos
en la media de X y conforme nos alejamos de los mismos se van abriendo
tenemos mayor precisión cerca del punto media de X media de Y que cuando
nos alejamos con respecto a los mismos es decir cerca de las medias de X y
de Y encontramos la menor anchura de intervalo de confianza de las
puntuaciones estimadas por el procedimiento anterior la parte más estrecha
del intervalo se sitúa en el punto y se va abriendo a medida que las
estimaciones se alejan de este punto debido a este factor ese factor nos
provoca lo que hemos visto en la gráfica que la precisión no sea la misma
en toda la recta de regresión dejamos ya este capítulo en la
transparencia 170 para la próxima clase ah, les había comentado algunos
asuntos curiosos anécdotas sobre la precisión en los cálculos la primera
es la de un listo un listillo o un informático al que le pidieron hacer un
software para controlar todas las transacciones bancarias que se producían
en un banco muy bien, le hizo su programa pero introdujo una pequeña
línea de código en la que como él sabía que en el banco no te van a dar
una centésima de céntimo o una décima de céntimo los ordenadores de los
bancos redondean y te dan un céntimo o dos céntimos o tres céntimos,
pero no dijo bueno, como yo estoy haciendo los cálculos voy a hacer que
esas pequeñas décimas o centésimas de céntimo que el usuario no ve
porque redondea las voy a meter en mi cuenta bancaria les voy a decir al
ordenador el software que estoy realizando que las meta en la cuenta
bancaria con mi nombre con lo cual nadie se va a dar cuenta porque esos son
redondeos pero se dieron cuenta no porque alguien revisara el código que
había escrito sino porque un cajero observó en la atención personalizada
que una cuenta corriente tenía un crecimiento exponencial la de este
informático el informático no tuvo la precaución de considerar de no
hacer demasiado visible esas pocas centésimas o décimas de céntimo iban
a ser muy poquita cosa pero eran tantas las transacciones bancarias que se
producían que su cuenta empezó a engordar de una forma exagerada y lo
pillaron bueno, ya sabemos que esto tiene sus consecuencias en este caso el
informático fue a la cárcel y otro caso también muy sonado fue con un
cohete de la NASA la trayectoria también venía definida por una serie de
cálculos que realizaba el ordenador mediante un programa que alguien
había escrito el problema era que para los cálculos de velocidad, de
posición etcétera de aceleración de ese cohete el programador había
reservado espacios en la memoria del ordenador de 18 dígitos una
precisión con 16 dígitos una precisión usual con la que él consideraba
que iba a ser suficiente para que los cálculos cupieran en esos 16
dígitos el problema es que no fue así y cuando hubo un número lo
suficientemente elevado que no cabía en una posición de memoria de 16
dígitos, el ordenador lo pone todo a cero todos esos 16 dígitos lo pone
todo a cero y comienza la cuenta parte de nada resultado un cohete de no se
cuantos miles de millones perdido hasta el próximo día