sistemas de ecuaciones lineales bien, bueno sabemos lo que es una
ecuación lineal por ejemplo aquí, en este primer vamos a empezar con este
primer ejercicio ejercicio 3.1 del dossier entonces aquí por ejemplo aquí
tenemos dos ecuaciones dos ecuaciones lineales dos ecuaciones, voy a
dejarlo un poco más grande dos ecuaciones lineales, ¿de acuerdo? aquí
tenemos dos ecuaciones lineales con dos incógnitas cada una dos ecuaciones
lineales, no, perdón con tres incógnitas cada una entonces un sistema, el
sistema quiere decir que es como mínimo dos de dos ecuaciones lineales las
dos ecuaciones son lineales y la ecuación lineal las incógnitas no están
al cuadrado ni se están multiplicando, son ecuaciones lineales y con tres
incógnitas por tanto es un sistema se llama, es un sistema lineal SEL 2x3
dos ecuaciones con tres incógnitas entonces hay que aprender a clasificar
y resolver los sistemas de ecuaciones lineales lo primero que tenemos que
conocer es saber es escribir escribir escribir el sistema un sistema de
ecuaciones lineales por ejemplo este mismo que estáis viendo aquí en el
ejercicio 3-1 se puede escribir de cuatro maneras fijaros, cuatro maneras
de escribirlo cuatro maneras la primera manera es esta que es esta que he
marcado aquí que es escribiendo las ecuaciones una debajo de la otra una
ecuación, dos ecuaciones esta es la manera, la rotación estándar ¿de
acuerdo? la rotación normal otra manera que es la la que se utiliza para
clasificar y para resolverlo es mediante una matriz que se llama matriz
ampliada fijaros aquí de esta manera aquí se escribe una matriz que es la
matriz ampliada y si aquí tenéis en vez de escribir 2x más 5y menos 6
que es igual a 3 se pone 2, 5 menos 6 3 y en vez de escribir 3x menos 4y
más 2z igual a cero se escribe 3 menos 4, 2, 0 en ocasiones no siempre
pero en ocasiones se indica, se marca se separan la última columna de las
otras así ¿vale? se indica, se marca aquí una línea vertical separando
lo que se llaman las columnas de coeficientes de la columna de términos
independientes esto se llama matriz ampliada esta es la segunda manera de
escribir un sistema de ecuaciones la tercera manera es esta que veis aquí
la tercera manera es esta que indico aquí ¿eh? que es esta ¿eh? que es
escribir una matriz esta matriz que veis aquí 2, 5 menos 6 3 menos 4, 2 es
escribir una columna que es la columna de incógnitas x y z ¿vale? y
después aquí la columna de términos independientes 3z aquí si hacemos
el producto de matrices matriz por columna igual a columna pues salen salen
las dos ecuaciones de antes esta es la tercera manera y la cuarta que es la
menos utilizada es esta de aquí casi de momento si queréis la última no
la miréis mucho ¿vale? bien por lo tanto cuando tenemos un sistema de
ecuaciones lo tenemos que catalogar cuántas ecuaciones hay 2 cuántas
incógnitas 3 y saberlo escribirlo de estas cuatro maneras o como mínimo
de estas tres primeras que acabo de comentar bien esto es lo primero lo
segundo vamos al ejercicio 3.2 donde explico donde explico lo segundo aquí
tenemos estos dos sistemas de ecuaciones aquí hay dos sistemas de
ecuaciones los dos son de orden 2x3 dos ecuaciones y tres incógnitas si
observáis si comparáis uno y el otro la diferencia entre el sistema de
ecuación 1 y el sistema de ecuación 2 ¿cuál es la diferencia? la
diferencia entre un sistema y el otro sistema la diferencia entre los dos
sistemas ¿cuál? pues es la columna de términos independientes mirad,
comparad comparad en el primer caso se dice que el sistema es un sistema ya
lo he dicho es un sistema completo o no homogéneo un sistema completo un
sistema de ecuaciones que es completo o no homogéneo cuando la columna de
términos independientes no es nula en cambio cuando los términos
independientes son todos 0 el sistema se llama homogéneo es un sistema H
un sistema homogéneo y este es un sistema C un sistema completo o no a
veces dicen homogéneo un sistema de ecuaciones ¿vale? cuando la primera
parte de la ecuación la parte de la izquierda los primeros tiempos
coinciden también se dice que el sistema 2 es el sistema homogéneo
asociado al sistema 1 esto solamente se dice en el caso de que la de que
las los primeros miembros coincidan si no, no ¿qué podemos decir de un
sistema homogéneo? mirad el sistema de la derecha es homogéneo mirad el
sistema de la derecha miradlo miradlo con calma este sistema tiene una
característica o cualquier sistema similar a este cualquier sistema
homogéneo tiene la peculiaridad de que siempre tiene solución ¿eh?
siempre encontramos solución para las incógnitas todo sistema homogéneo
es compatible, tiene solución ¿de acuerdo? hay una solución todo sistema
homogéneo tiene solución cosa que no es verdad cuando el sistema no es
homogéneo este sistema siempre tiene solución hay una solución una
solución que siempre tenemos a la vista sin hacer ningún cálculo es la
llamada solución solución trivial solución trivial ¿y cuál es la
solución trivial? ¿qué valores tiene que tomar X, Y y Z para que esto
sea verdad? pues C X0 Y0 Z0 esta se llama solución trivial ¿de acuerdo?
¿entendido? ahora bien esto en el caso de un sistema de un sistema
homogéneo ¿de acuerdo? como este un sistema homogéneo siempre tiene
solución entonces cuando nos enfrentamos a un sistema homogéneo lo que
nos van a preguntar no es si el sistema es compatible o no es compatible un
sistema es compatible cuando tiene solución un sistema de ecuaciones
lineales dice que es compatible para eso ¿qué es lo que nos preocupa de
un sistema homogéneo? que sea compatible o incompatible no en el caso de
un sistema completo un sistema completo como este puede ser compatible o
puede no ser compatible puede que no tenga solución un sistema completo un
sistema de ecuaciones lineales completo es decir, no es homogéneo ¿de
acuerdo? puede que no tenga ninguna solución desde luego la solución
trivial, esta solución no es solución de un sistema homogéneo de un
sistema completo jamás esta no es solución 2 por 0 menos 2 por 0 más 0
no es útil en cambio la solución trivial siempre es solución de los
sistemas homogéneos entonces tenemos que distinguir claramente los
sistemas homogéneos de los sistemas completos porque el estudio es
totalmente diferente cuando un sistema es homogéneo no nos tenemos que
preocupar si el sistema es compatible o no es compatible porque es
compatible siempre en cambio cuando un sistema es completo nuestra máxima
preocupación es si es compatible o no si tiene solución o no este sistema
podría no tener solución podría no tener sí que la tiene en este caso
concreto pero podría no tenerla en cambio en el caso de un sistema
homogéneo siempre tiene solución y qué es lo que nos preocupa en un
sistema homogéneo entonces nos preocupa si tiene una única solución o
tiene infinitas soluciones es decir siempre que digamos un sistema
homogéneo la pregunta que nos van a hacer es si el sistema tiene o bien
esta única solución que es la trivial o tiene infinitas un sistema
cualquier sistema de ecuaciones lineales es una de estas tres cosas es lo
voy a escribir lo voy a escribir desde aquí cuando tengamos o sea por lo
tanto lo que os acabo de decir ha de quedar muy claro cuando tengáis un
sistema de ecuaciones lineales lo primero que habéis de mirar si el
sistema es completo o es homogéneo si es completo tenéis que estudiarlo
de una manera si es homogéneo de otra manera en cualquier caso hay tres
clases de sistemas de ecuaciones hay tres clases los sistemas I que son los
sistemas incompatibles los sistemas I son los sistemas incompatibles son
los sistemas que no tienen solución por ejemplo si un sistema es
incompatible entonces ya no puede ser homogéneo los homogéneos siempre
tienen solución por lo tanto los incompatibles los encontraréis en el
mundo de los sistemas de ecuaciones completos después tenéis los sistemas
CI los sistemas CI ¿de acuerdo? que se llaman compatible e indeterminado
un sistema se dice que es compatible e indeterminado cuando tiene infinitas
soluciones un sistema es compatible e indeterminado cuando tiene infinitas
soluciones un sistema es incompatible cuando lo tiene ninguna solución
cero soluciones ¿vale? un sistema es compatible e indeterminado cuando
tiene infinitas soluciones y finalmente están los sistemas más
importantes que son los sistemas CI compatibles CI los sistemas compatibles
e indeterminados si tienen una solución cualquier sistema de ecuaciones o
no tiene solución o tiene una o tiene infinitas un sistema de ecuaciones
no puede tener tres soluciones o cien, o mil o tiene una o ninguna de
infinitas así son todos los sistemas de ecuaciones lineales incluidos
estos dos que estáis viendo aquí el verde y el rojo ahora bien importante
si el sistema es homogéneo si el sistema es homogéneo entonces un sistema
homogéneo no puede ser incompatible un sistema homogéneo como este verde
o es compatible e indeterminado que tiene infinitas soluciones o es
compatible e indeterminado que tiene una solución y aparte la solución
única de un sistema homogéneo compatible e indeterminado es la trivial
cuando un sistema homogéneo es compatible e indeterminado su única
solución es la trivial y es homogéneo en cambio digamos que los sistemas
homogéneos son más fáciles son más sencillos de estudiar que los otros
los sistemas homogéneos para empezar sólo hay dos clases los que son
compatibles e indeterminados y los que son compatibles e indeterminados y
además cuando el sistema es compatible e indeterminado también es muy
fácil porque la solución única ya la tenemos prácticamente no hay que
hacer nada los sistemas homogéneos son muy fáciles de estudiar ¿por qué
los sistemas de ecuaciones lineales tienen en algunos aspectos mala fama?
pues porque tenemos los sistemas completos como este de aquí rojo este
sistema rojo es un sistema completo no es homogéneo con lo cual podría
podría ser incompatible podría no tener solución también podría ser
compatible e indeterminado tener infinitas soluciones y podría ser
compatible e indeterminado tener una única solución y además una vez que
sabemos que un sistema completo tiene una sola solución su única
solución no es la trivial puede ser la que sea por lo tanto con los
sistemas completos todos son problemas por ejemplo aquí en este pequeño
ejemplo fijaros que en este pequeño ejemplo ejercicio 3.2 tenemos que en
los dos casos hay más incógnitas que ecuaciones ¿de acuerdo? siempre que
tengamos más incógnitas que ecuaciones lo veis que hay más incógnitas
que ecuaciones ¿si o no? tres en los dos casos hay tres incógnitas y en
los dos casos hay dos ecuaciones ¿si o no? si restáis esto da uno hay
exceso de incógnitas la diferencia entre el número de incógnitas y el
número de ecuaciones independientes ya hablaremos de eso después es lo
que se llama el conjunto de grados de libertad del sistema siempre que
tengamos un sistema de ecuaciones que haya más incógnitas que ecuaciones
entonces el sistema no puede ser compatible determinado ¿si? no puede ser
compatible determinado por lo tanto ninguno de estos dos sistemas es
compatible determinado es decir o hay infinitas soluciones o no hay ninguna
pero no puede haber solo una para que un sistema tenga solamente una
solución una sea compatible determinado una solución tiene que haber
tiene que ser un sistema cuadrado con tantas ecuaciones independientes
porque si hay ecuaciones repetidas o redundantes hay que eliminarlas tiene
que haber tantas ecuaciones independientes como incógnitas entonces estos
dos sistemas que veis aquí los dos son o bien compatibles cada uno de
ellos es o bien incompatible o compatible y determinado en el caso del
segundo como es homogéneo seguro que es compatible y determinado puesto
que los homogéneos este segundo un sistema homogéneo donde hay más
incógnitas que ecuaciones seguro que es siempre compatible y determinado
por lo tanto este sistema verde tiene infinitas soluciones en cuanto a este
otro rojo no sabemos a priori no podemos saber a priori sin hacer cálculos
o sin encontrar alguna solución si es incompatible por qué sabemos que
este sistema por qué dice aquí que este sistema de la izquierda rojo es
compatible y determinado que tiene infinitas soluciones porque alguien ha
encontrado una solución que es la 1,2,3 fijaros que si x es igual a 1 eso
es porque alguien lo ha hecho en este caso yo si sustituís x por 1,y por 2
y z por 3 pues sale solución de las dos entonces por lo tanto como tiene
una solución tiene infinitas no una sino infinitas vamos a seguir en este
ejemplo solamente os he planteado lo que hay hay que ver cómo se llegan a
estas conclusiones cuando nos enfrentamos a un sistema de ecuaciones lo
primero que tenéis que hacer es clasificar averiguar y eso a veces es
difícil mirando y sin hacer ningún cálculo muchas veces no es posible
saber si el sistema es incompatible o si es determinado hay que
clasificarlo entonces aquí os he planteado el problema vamos por ejemplo
con este ejemplo vamos ya a clasificar uno esto estos cuatro mirad aquí
tenéis cuatro sistemas de ecuaciones son cuatro sistemas de ecuaciones un
poco especiales fáciles cuatro por ejemplo el primer sistema de ecuaciones
es sólo una ecuación un sistema 1 por 4 es una ecuación con cuatro
iconos y en esta tabla veis la M mirad la primera fila el sistema 1
corresponde al primer sistema de ecuaciones el sistema 2 al segundo etc
entonces si miráis la primera fila es un sistema formado por una ecuación
y cuatro iconos M y N el número de iconos el sistema 1 por 4 entonces hay
que clasificarlo aquí están clasificados estos cuatro sistemas para
clasificar cualquiera de estos cuatro sistemas se hace con la matriz
ampliada y con la matriz del sistema se hace así veis la matriz A hay una
matriz que se llama matriz A y otra que se llama matriz A y otra que se
llama matriz P la matriz A en el caso del sistema 1 está formada por
solamente es un como solamente es una ecuación pues solamente es una fila
para la matriz A y está formado 3 listo 3 1 3 1 esta matriz esta matriz es
la matriz A 3 1 menos 1 1 es la matriz A del sistema 1 es una ecuación
entonces ponemos esta ranita que dije antes y esta es la matriz ampliada la
matriz AB llamada matriz B mayúscula para saber rápidamente y sin pensar
si un sistema es compatible para clasificar un sistema si es compatible o
incompatible qué clase de sistema es hay que comparar el rango siempre hay
que calcular el rango de la matriz A y el rango de la matriz B calcular el
rango de la matriz A y el rango de la matriz B de acuerdo y hay que
comparar los dos rangos lo que expliqué antes mucho raro. Claro, las dos
matices son muy parecidas entre sí. Vamos a escribir, por ejemplo, aquí
vamos a hacerlo, por ejemplo, para el caso 4, que es el más complejo de
estos cuatro casos, el más complejo es el caso 4. El sistema 4, este es un
sistema que tiene tres ecuaciones y dos sincómitas ¿vale? Voy a escribir
la matiz del sistema Esta es la matiza ¿de acuerdo? ¿Veis la matiza? La
matiz del sistema. La matiz del sistema La matiz del sistema no vamos a
tener en cuenta los términos independientes solamente vamos a mirar aquí
Mirando aquí, escribimos la matiza, la matiz del sistema No miramos la
columna de términos independientes. ¿De acuerdo? Y entonces, hemos de
calcular el rango de esa matiz El rango de esa matiz es 2. Ya veis que el
rango de esa matiz es 2, ¿qué es lo que pone? El rango de la matiza es 2,
lo que expliqué antes. Ahora tenemos que calcular, tenemos que escribir la
matiz B, la matiz P o AB, la matiz ampliada ¿de acuerdo? Que es esta La
matiz esta completa que se obtiene a partir de la matiz A ¿de acuerdo? Y
entonces, la matiz A, para el caso 4, tiene rango 2 y la matiz B es una
matiz B, es una matiz 3x3 El rango de la matiz B no hay manera humana de
saber 2 y 2 o 3 Entonces hay que hacer el determinante y ver si da
diferente de C Hacerlo, y veréis que el determinante da diferente de C lo
cual quiere decir que la matiz B tiene rango 3 Entonces, este teorema que
se llama el teorema de Rousseff-Romellus que lo encontraréis lo
encontraréis... Este teorema es el teorema de Rousseff-Romellus
Rousseff-Romellus ¿vale? Yo lo voy a poner, ya que no tenía ni idea para
ponerlo El teorema de Rousseff-Romellus Aquí lo tenéis escrito, mirad, lo
tenéis aquí El teorema de Rousseff-Romellus Es el nombre Dice Que si yo
tengo un sistema de ecuaciones Es igual que sea una ecuación Que 2
ecuaciones con 3 incógnitas Que 2 ecuaciones con 2 incógnitas Que 3
ecuaciones con 2 incógnitas O que 8 ecuaciones con 57 incógnitas Es igual
Que sea completo o que no sea completo Aquí ninguno de estos 4 sistemas es
completo Perdón, los 4 sistemas son completos En todos los casos Aparte de
que a ojo también se puede O sea, sin la ayuda de este teorema Se pueden
obtener conclusiones Pero en general el teorema Es universal y dice Que si
la matriz del sistema Y la matriz ampliada tienen el mismo rango Entonces
el sistema es compatible El sistema tiene solución Y las 2 matrices tienen
el mismo rango ¿De acuerdo? Si la matriz A y la matriz B Tienen el mismo
rango Entonces el sistema es compatible Y si Estas 2 matrices tienen
diferente rango La matriz del sistema Recordad que es esta Es la matriz del
sistema Y la matriz ampliada Es esta Y aquí lo mismo Esta matriz es la
matriz del sistema Y esta es la matriz ampliada La matriz ampliada Es la
matriz del sistema Y una columna más Si tenéis que calcular el rango de
una Y el rango de la otra Y si las 2 matrices tienen el mismo rango El
sistema es compatible Y si tienen diferente rango El sistema es
incompatible Sistema incompatible Quiere decirse Que el sistema no tiene
solución ¿De acuerdo? Por ejemplo el sistema 2 No tiene solución Y el
sistema 4 tampoco tiene solución En cambio el sistema 1 Y el sistema 3 sí
que tienen solución ¿Por qué? Porque las 2 matrices tienen el mismo
rango Recordad que cuando un sistema es compatible El sistema 2 no tiene
solución Y recordad que os he dicho Que Si un sistema Tiene solución
Tiene o bien una o bien infinitas soluciones Hay dos opciones, ¿no? Cuando
tiene la misma cantidad de Conexión entre el compatible y el incompatible
O el incompatible Porque se ha mirado siempre que sea compatible Bueno
aquí sí Aquí la diferencia es el compatible Sí pero no Eso es una
manera de verlo ¿Sí? No he explicado Mira, míratelo Es muy fácil Bueno,
entonces Si un sistema Tiene más ecuaciones sincónicas Como por ejemplo
el caso 2 En el caso 2 Este sistema tiene más Tiene más Incógnitas
ecuaciones Este sistema es o incompatible O compatible y determinado El
sistema 3 ¿Qué le pasa? El sistema 3 tiene tantas ecuaciones como
incógnitas ¿No? Entonces este sistema es o incompatible O compatible y
determinado Pero no puedes decir a priori Que sea compatible y determinado
Por el hecho de que haya tantas ecuaciones Como incógnitas Esto no lo
podemos decir Bueno El criterio universal Es el teorema de los hechos
únicos Que es comparar los dos rangos Claro, si el sistema es muy sencillo
Como pasa aquí Evidentemente una ecuación con 4 incógnitas Es evidente
que es compatible y determinado No tiene distintas soluciones No hace falta
aplicar nada Estos son ejemplos que yo pongo Para que quede claro Vamos a
hacer ya un ejemplo concreto El 3-4 Mirad el sistema 3x4 El ejercicio 3-4
Este es un sistema que tiene Este es un sistema Tres ecuaciones, ¿lo veis?
Incógnitas También tres ¿Vale? Y aparte es un sistema que es homogéneo
o completo Homogéneo Es importante Que lo miréis Si es homogéneo Quiere
decir que ya no puede ser incompatible Que tiene una solución que es la
trilla Hablamos ya Lo escribimos, ¿eh? Es un sistema que Aquí nos van a
pedir En un sistema de ecuaciones nos van a pedir Lo primero que nos van a
pedir siempre es que lo clasifiquemos Que digamos lo que es Si es
compatible, determinado Si es compatible, indeterminado O si es
incompatible Entonces este sistema de entrada es O bien compatible
Indeterminado Que quiere decir Que tiene distintas soluciones ¿De acuerdo?
Claro Repaso Infinitas soluciones O bien es compatible, determinado Porque
es homogéneo No puede ser incompatible Esto sin mirarlo, ¿eh? No he
mirado qué sistema es No he mirado nada O es compatible, indeterminado O
es O sea, distintas soluciones O es compatible, determinado Una solución
Si fuese compatible, determinado Esto sería la tuya Esto es igual a c,
igual a c es igual a c Tendría que calcularla, ¿no? Porque es homogéneo
Por lo tanto, cuando tenemos un sistema Homogéneo Lo tenemos bastante bien
Lo tenemos mucho mejor que cuando el sistema no sea homogéneo Como veremos
en los siguientes ejemplos De esta clase ¿De acuerdo? Con lo cual, la
única duda Que me consume Es compatible, indeterminado O compatible,
determinado Lo que tengo que hacer es Que no lo he dicho antes Me falta por
decir una cosa Cuando los dos rangos De las dos matrices anteriores
coinciden He dicho Que entonces lo que pasa es que el sistema es compatible
Pero no he dicho Cómo decidir Si es indeterminado o determinado Para saber
si un sistema Es indeterminado o determinado Sabiendo que es compatible,
una vez que sabemos Que los dos rangos coinciden Como pasa aquí en el
ejemplo En el caso 1 y en el caso 3 Para saber Aquí he puesto compatible,
indeterminado En el caso 1 Y en el caso 3 compatible, determinado Porque he
puesto una cosa y la otra ¿En qué me he basado? Pues en otro teorema Que
dice que una vez que sabemos Que los dos matrices tienen el mismo rango Una
vez que sabemos eso Si este rango coincide con el número de incógnitas Y
el rango es el empate Tiene que haber empate de rangos ¿Os acordáis lo
que es el rango? Os lo tenéis que repasar Una vez que veis que las dos
matrices tienen el mismo rango Las dos, el mismo rango Como pasa aquí en
el ejemplo 1 y en el ejemplo 3 Mismo rango Una vez que sabemos que tienen
las dos El mismo rango Si este rango coincide con el número De incógnitas
Si este rango coincide Con el número de incógnitas Triple empate Si el
rango coincide con el número de incógnitas Entonces el sistema es
compatible Determinado Solución única Para que haya solución única
Tiene que haber triple empate El rango de la matriz del sistema El rango de
la matriz ampliada Y el número de incógnitas igual, los tres Triple
empate Si hay doble empate Que los dos rangos son iguales Pero hay más
incógnitas Entonces es compatible y determinado Más incógnita Todo
cuadra con lo que vosotros ya Habéis visto Todo esto tiene que cuadrar con
el sentido común Porque aparte está el sentido común Es lo que yo aquí
no explico Tengo aquí la parte técnica matemática Que no hace falta
tener sentido común Sino saberlo de esto Recordad que cuando los rangos De
las dos matrículas son diferentes Ya es igual las incógnitas que haya El
sistema es incompatible No hay solución y no hay que fijarse en las
incógnitas En las incógnitas solamente nos fijaremos Cuando Los dos
rangos coinciden Vamos a hacer este ejercicio 3-4 El ejercicio 3-4 es un
sistema De tres ecuaciones con tres históricas Podría ser compatible y
determinado Porque hay tres ecuaciones Y tres históricas No hay empate
Pero no es así Evidentemente aquí hay que coger La matriz del sistema La
matriz ampliada tiene que estudiarla Porque la matriz ampliada Es la misma
que la matriz del sistema La diferencia entre la matriz del sistema y la
matriz ampliada es una columna nula No tinta nada Con lo cual tenéis que
escribir directamente la matriz del sistema La matriz del sistema La
primera columna es la columna de las x La segunda columna es la columna de
las y La tercera columna es la columna de las z Y tenéis que estudiar el
rango De esta matriz Para estudiar el rango de una matriz 3x3 Hay dos
maneras Una manera es hacer un determinante Si el determinante es diferente
de 0 El rango es 3 Y si el determinante es 0 El rango es más pequeño que
3 Esa es una manera Aquí no la hago seguir La otra manera es mediante el
método de Gauss Aquí hago operaciones de fila con lo que expliqué antes
Efectúo operaciones de fila Concretamente estas tres operaciones de fila
Que veis aquí Están aquí apuntadas Hasta conseguir una matriz escalonada
Método de Gauss Esto que he hecho aquí se llama el método de Gauss Es lo
que expliqué antes Método de Gauss Tenemos que Dominar el método de
Gauss perfectamente El capítulo 2 Para dominar el capítulo 2 Tenéis que
dominar antes el capítulo 1 De matriz ¿De acuerdo? Bien, entonces Aquí
he efectuado He hecho el método de Gauss Y he mirado esta matriz He
acabado Aquí tenemos esta matriz verde Es una M Es una matriz escalonada
En una matriz escalonada El rango es el número de filas no lunas Por lo
tanto el rango de esta matriz Es 2 El rango de esta matriz es 2 Esto quiere
decir que el rango de la matriz original Es 2 Por lo tanto Como el rango es
2 y hay 3 sincópitas El sistema es Compatible indeterminado En infinitas
soluciones ¿Eh? Porque hay más sincónicas que ecuaciones ¿Alguna
pregunta? El rango es 2 Hay doble empate Porque la matriz ampliada Es la
misma matriz La diferencia es una columna nula Por lo tanto los dos tienen
el rango 2 Pero hay 3 sincónicas El sistema compatible Tiene un grado de
libertad Hay infinitas soluciones Hay que obtener la solución general De
eso ya hablaré En la próxima clase Vamos a continuar Para que veáis como
se resuelve un sistema Un sistema Como este Vamos a hacer el 3-8 Todo esto
lo tenéis en el dosier mío Esto no es del libro vuestro Es el dosier mío
que tenéis colgado En la plataforma digital Vamos a estudiar este sistema
¿Os gusta este sistema? Este es un sistema que tiene ¿Qué tipo es?
¿Cuántas ecuaciones hay? 4 ecuaciones No Si Aparentemente cuadrado 4
ecuaciones, 4 incógnitas Es un serio candidato a ser compatible y
determinado Cuando un sistema tiene tantas ecuaciones como yo Es candidato
Es candidato a ser compatible y determinado Siempre que tengamos más
incógnitas Ya no puede ser compatible y determinado Si tenemos más
incógnitas que ecuaciones Ya será compatible e indeterminado O
incompatible Incompatibles lo pueden ser todos Bueno, todos los que no sean
completos ¿Este sistema es homogéneo o completo? Es completo Por lo tanto
Ojo que se cierne Este sistema puede ser cualquier cosa Este sistema puede
ser Incompatible Porque es completo Si fuese homogéneo como el anterior Ya
no podría ser incompatible Pero este puede ser incompatible Es decir, que
no tiene ninguna solución Este sistema Ojo con el detalle Que no se
oscuele esto Después puede ser compatible Indeterminado Puede tener
distintas soluciones ¿De acuerdo? O bien puede ser compatible y
determinado Es lo ideal, son los bonitos Que tenga una única solución Que
no será la trivial No será x0 y 0, z0, e0 Será la cualquiera que sea Que
es el que nos van a pedir después Eso se llama resolver Esta parte se
llama clasificar ¿Eh? ¿Qué cosa es esto? Clasificamos y resolvemos Si el
sistema es incompatible Nos resolveremos Porque no tiene solución Si el
sistema es compatible y determinado Resolveremos y encontraremos la única
solución Para cada entorno Si el sistema es compatible e indeterminado
Habrá infinitas soluciones Y habrá que encontrar la solución general Y
aquí tenéis muchos ejemplos de cómo hacerlo Continúo Vamos a ver Lo
primero que tenemos que hacer con este sistema En la página 64 del dossier
Del dossier que tenéis colgado Podéis esto imprimirlo ¿De acuerdo? Es
coger la matriz ampliada Y método de Gauss ¿De acuerdo? Operaciones
elementales de fila Aquí en concreto me han dicho falta 5 Aquí están
explicadas las 5 que hay Esto lo puedo especificar Limpio, limpio por
debajo Escalón, escalón, escalón y llego hasta aquí He llegado hasta
aquí Ya está escalonado 5 operaciones de fila Roja es el final Método de
Gauss Para saber el rango de la matriz De las dos matrices La matriz del
sistema está dentro de la matriz ampliada Y aquí tiene el rango de las
dos En paralelo Primero la del sistema y luego la ampliada Que es doble
trabajo Mirad con mucho cariño La matriz del sistema La matriz del sistema
es hasta aquí Hasta aquí Es como si solamente nos fijamos En esto ¿De
acuerdo? Nos olvidamos todo el rato de la última columna Y a partir de
ahí decimos Cuál es el rango de la matriz del sistema La matriz del
sistema Aquí lo sabemos ¿De acuerdo cuál es? Si ¿Eh? Recordad, teorema
de Gauss-Froubert Tenéis que comparar el rango de la matriz del sistema Y
el rango de la matriz ampliada La matriz del sistema es mirando hasta aquí
O sea Obviando La columna de términos independientes Todo el rato Entonces
la matriz del sistema El rango de esto no sé cuánto es Imposible, no sé
cuánto es Sí sé cuánto es Siempre que tenemos una matriz escalonada En
una matriz escalonada El rango es el número de filas no nula Por tanto es
4 ¿Eh? Por tanto 4 El rango de la matriz De la matriz Del sistema es 4 Y
ahora El rango de la matriz ampliada También es 4 ¿No? Ahora tenemos que
mirar la matriz completa La matriz entera Y es 4 Aquí no lo sé, no lo
sé, no lo sé Es 4 porque también es una matriz escalonada La matriz
entera No nula Luego es 4 Las dos matrices tienen el rango 4 ¿Vale? Las
dos matices tienen el rango 4 ¿Cuántas incógnitas tiene este sistema? 4
Luego Triple empate 4 4, 4 Por lo tanto el sistema es compatible y
determinado Solución única Hay que encontrarla ¿De acuerdo? Triple
empate Para encontrar la solución única Pues lo que se puede hacer es Se
coge Se reescribe el sistema Pero no a partir de la matriz inicial Sino de
la última Porque tiene muchos ceros Y se resuelve de abajo arriba ¿Eh? A
partir de la última matriz que hemos conseguido Reescribimos el sistema Lo
veis aquí reescrito Y resolvemos de abajo arriba Con la última ecuación
tenemos t Una vez que tenemos t, tenemos zeta De abajo arriba Si no tenéis
mucha práctica Al principio cuesta pero sale ¿De acuerdo? Y conseguimos
todo La x es la y, la t es la c La t es 5, la z es 4 La y es menos 1 y la x
es 2 Este es el método 1 Hay tres métodos ¿Veis que pone aquí tres
métodos? El método 1 es este Si no queréis ninguno más Pues este es el
método que os lo tengo que dar Otro método es hacer Gauss-Jordan Limpiar
completamente Este es Gauss Gauss es Gauss-Jordan Es limpiar completamente
la matriz ampliada Limpiarla completamente por abajo y por encima Con
operaciones elementales de fila Esto lo expliqué en la primera clase Y
aquí aparece la solución Una vez que llegamos a la MERF La última
columna es la solución Y luego hay una regla que se llama la regla de
Kramer Que no sé si la ha explicado este libro Pero vaos que esto podéis
pasar Que es con determinantes Hay tres maneras de hacerlo De estas maneras
Como no tenéis que ir por faena Lo mejor es que os quedéis con la primera
manera Que es el método de Gauss La primera de estas tres ¿De acuerdo? Y
de esta manera Se hace Quedaría por ver Y esto ya lo explicaré en la
siguiente clase En espacios vectoriales Cómo se obtiene la solución
general Con los sistemas compatibles indeterminados Los sistemas
compatibles indeterminados tienen la solución Y hay que dar una cosa
llamada solución general Es un artículo, es la parte más compleja En
este asunto respecto a las siguientes clases ¿De acuerdo?