Buenas tardes. Seguimos con el tema 8 y comenzamos con la parte 6 del tema
8. Nos habíamos quedado en el modelo de regresión múltiple. Habíamos
visto que al ajustar dos variables independientes, dos variables
predictoras, para predecir una tercera variable y la variable predicha o
dependiente, lo que obteníamos era un plano de regresión. Y
necesitábamos, para obtener ese plano a partir de los datos empíricos, de
los datos obtenidos en nuestra muestra, necesitábamos tres parámetros.
B0, B1 y B2. Es decir, las dos pendientes para cada una de las variables
independientes y el intercepto, el punto de corte con la ordenada.
Habíamos visto las fórmulas de su cálculo y ahora nos pasamos al ajuste
del modelo. De la misma forma que vimos, cuando estábamos en regresión
simple, no es suficiente con que calculemos una serie de parámetros en
función de los datos muestrales. Tenemos que ver si ese ajuste, si ese
plano, tengamos en cuenta que B0, B1 y B2 nos van a definir un plano
absoluto, un plano matemático, sobre el que no se van a encontrar
exactamente dos variables. Y si no se van a encontrar exactamente los
puntos que hemos medido en nuestra muestra, tenemos que ver qué tal grado
de ajuste tiene ese plano con respecto a los datos empíricos para aceptar
el modelo o rechazarlo. Es como antes el ajuste del modelo. Y por
consiguiente, para ajustar el modelo necesitamos tener una serie de
índices matemáticos, una serie de valores numéricos, que nos indique si
el ajuste es mejor o peor. En regresión simple, el ajuste del modelo vimos
que venía dado por el cuadrado del coeficiente de correlación, el
coeficiente de determinación. Ese coeficiente nos informaba acerca de la
proporción de la variabilidad en la variable dependiente, es decir, de la
varianza de i, que podía ser explicada o atribuida a la variabilidad en la
variable predictora o variable independiente. Eso era en regresión simple.
En el caso de la regresión múltiple, las preguntas básicas son
similares. Variables, en primer lugar, ¿estiman bien la variable
dependiente el conjunto de variables independientes que estamos utilizando?
En nuestro caso, las dos variables independientes que estamos utilizando,
¿estiman bien a la variable dependiente? Y la segunda pregunta, ¿cuánto
añade cada variable por sí sola con independencia de la otra, una vez que
las otras variables han aportado su parte de explicación? Es decir,
podemos tener... una buena predicción a partir de dos variables, x1 y x2.
Pero puede ser que no las dos aporten la misma proporción de explicación.
Podría ser que una aportara el grueso y la otra muy poquito. Por eso es
por lo que nos vamos a preguntar si individualmente las dos variables
¿qué añaden a la predicción de la variable dependiente?
Independientemente de la otra. Esto... Esto va a traer complicaciones. Va a
traer complicaciones porque entonces tenemos que separar las correlaciones
que observamos empíricamente, aquella parte empírica, de los efectos
espúreos que pueden producirse no por esa variable sino por otras. Lo
vamos a ver a continuación. Entonces, en primer lugar, para la primera
pregunta que hace referencia a la ecuación, en general, ¿estima bien la
variable dependiente el conjunto de variables independientes? El conjunto,
no una u otra. Las dos. Para ello lo que podemos utilizar es el coeficiente
de correlación múltiple. R. Y entonces, observemos que ponemos dos
subíndices. y para indicar que es la predicha punto y a continuación
ponemos las predictoras y por eso hemos puesto 1 y 2 no 12 son la primera
variable independiente y la segunda variable dependiente lo que estamos
diciendo aquí es la r nos indica en qué grado el conjunto de esas dos
variables independientes me explican o predice y realmente entonces aquí
tenemos solamente dos componentes la predicha y las dos predictoras es el
coeficiente de correlación múltiple o subcuadrado que es el coeficiente
de determinación como sucedía en el caso de reacción simple al igual que
r la correlación no si es un coeficiente un índice numérico que nos
señala el grado de relación de correlación entre dos variables r y punto
12 nos indica ese consciente que correlaciona la variable dependiente y con
una combinación óptima ya hemos visto lo que era óptima criterio de
mínimos cuadrados variables independientes y con una combinación de esas
dos variables es la correlación entre i e i prima y esa i prima aportada
por las dos variables independientes el consciente correlación múltiple
múltiple precisamente por lo que estamos diciendo porque estamos
incluyendo para predecir y dos variables independientes viene dado la raíz
cuadrada de un consciente en el que numerador tenemos la correlación al
cuadrado entre la variable predicha y x1 más La correlación al cuadrado
entre la variable predicha e i sub 2. Sabemos que es la suma de dos
cuadrados y cada uno de ellos es una correlación. Una correlación entre
la variable predicha y las predictoras que haya, como i2, i1 e i2. Si
hiciéramos nada más que esto, esto sobreestimaría el verdadero
coeficiente de correlación múltiple. Y para ello se le elimina, mediante
esta resta, el doble del producto entre el coeficiente de correlación
entre i1 por el coeficiente de correlación entre i2 por el coeficiente de
correlación entre la primera variable independiente y la segunda. Y todo
ello se divide por... 1 menos r al cuadrado, la correlación al cuadrado,
pero tomando ahora las dos variables predictoras. La 1 y la 2. Una forma
más simple, vemos que esta está basada en los coeficientes de
correlación. Si tenemos tres variables, tenemos tres coeficientes de
correlación. Tenemos el coeficiente de correlación entre i y x1, que es
lo que aquí denominamos siempre con el subíndice. Los subíndices i1, el
coeficiente de correlación entre i y x2, que es lo que denominamos los
subíndices que aparecen aquí como i2 y el coeficiente de correlación
entre x1 y x2, que es lo que aquí denominamos como 1, 2. Estos son los
subíndices que aparecen en las correlaciones anteriores, porque tenemos
tres conjuntos. Y por tanto tenemos tres correlaciones. Y aquí estamos
trabajando con las correlaciones directas. Otra forma de obtener este mismo
dato, o mejor dicho, este mismo resultado, la correlación múltiple, es
mediante la raíz cuadrada de la suma de dos productos. En donde vemos,
aquí tenemos beta, beta sub 1 era, lo habíamos visto, el coeficiente de
regresión parcial estandarizado, es decir, el plano en puntuaciones
tipificadas tenía dos pendientes, una para x1 y otra para x2. Y a esas dos
pendientes les llamamos beta sub 1 y beta sub 2. Pues el producto de beta
sub 1 por la correlación entre la variable predicha y x1 más lo mismo
para la segunda variable, es decir, beta sub 2 por la correlación entre la
variable predicha y x2 nos da el mismo valor, el coeficiente de
correlación múltiple. Que es un índice del grado en el que nuestro plano
está más o menos cerca de los datos empíricos. En el caso de aplicar a
los datos del ejemplo, aplicamos la fórmula, tenemos 0.469 era beta sub 1,
lo habíamos calculado previamente porque era más sencillo, por el
coeficiente de correlación entre la variable predicha y x1. x1 más 0.649
que era beta sub 2, el coeficiente de regresión tipificada para x2 por el
coeficiente de correlación entre la variable predicha y x2. Y esto nos da
un coeficiente de correlación múltiple de 0.78, es muy alto. Eso nos
indica, por sí solo. Solo que ya podemos suponer que el ajuste es bastante
bueno. Tenga en cuenta que, como todo coeficiente de correlación, el
máximo es la unidad y nos hemos quedado al 0.78. Es alto. No obstante, el
coeficiente de otro índice más adecuado para establecer ese ajuste es el
coeficiente de determinación, tal y como sucedía en reversión lineal
simple. El coeficiente de determinación es el cuadrado del coeficiente de
correlación múltiple, el anterior al cuadrado. Es decir, podríamos
simplemente coger 0,78 y elevarlo al cuadrado y tendríamos el coeficiente
de determinación. Pero otra fórmula para calcularlo, o más que para
calcularlo, para interpretarlo, es la que ven en pantalla. La razón entre
la varianza de los pronósticos y la varianza de la variable dependiente.
Es decir, observen, en el denominador tenemos la varianza de i, de la
variable dependiente, de la variable que queremos predecir. Y en el
numerador tenemos la varianza de los pronósticos, que conseguimos mediante
el plano de regresión que hemos visto anteriormente. Es decir, utilizando
x1 y x2, para cada valor de x1 y de x2 nos predice una puntuación en i.
Esa puntuación predicha, para todos los datos que tengamos, en nuestro
caso va a tener una determinada varianza. El coeficiente entre esas dos
varianzas es... ...el coeficiente de determinación. En nuestro caso, la
tabla muestra los valores de i, los pronósticos... ...bueno, vamos a
verlos. Los sujetos, teníamos 15 sujetos. Aquí teníamos la variable x1,
tenemos la variable x2, era las horas de estudio de los chavales, y un test
de razonamiento abstracto. A partir de estas dos puntuaciones, queremos
encontrar el plano que mejor ajuste las puntuaciones observadas en
matemáticas, en un test de matemáticas. Y habíamos encontrado esta...
Esta ecuación, en puntuaciones directas, b sub 1 por x sub 1 más b sub 2
por x sub 2 más b sub 0. Entonces, por ejemplo, si queremos predecir para
los valores 8 en x sub 1 y 19 en x sub 2, nosotros aplicamos esta
ecuación, simplemente tenemos que sustituir 8 en x sub 1 y 19 en x sub 2.
Hacemos los cálculos y nos da una y predicha de 50.56. Esta sería la y
predicha para ese primer sujeto, mientras que la puntuación realmente
pronóstica observada es 54. Si seguimos trabajando con el... a ver, 8,
19... Ah, aquí lo que he calculado, esto era... estas tres líneas son las
que hemos visto en la transparencia anterior y lo que vemos a continuación
es el error. Si para el primer sujeto la puntuación observada es de 54 y
la predicha por el plano de regresión es de 50.6, la diferencia entre
ellos, el error que cometemos con nuestro plano de regresión, es de 3.46.
Y 4, aproximadamente. Por consiguiente, si hacemos este cálculo para todos
y cada uno de los sujetos, es decir, nos cogemos sus puntuaciones en x sub
1 y en x sub 2, las introducimos en la fórmula que hemos calculado, que
nos define un plano de regresión, vamos a tener puntuaciones predichas y
prima. Y como tenemos las... Observadas. Porque son las que hemos medido,
la diferencia entre la observada y la prevista nos da el error. Esto
realizado para todos y cada uno de los sujetos nos daría un conjunto de
puntuaciones pronosticadas y prima sub 1-2 para indicar que estamos
utilizando dos variables predictoras. Aquí vemos que hemos colocado
simplemente el primer pronóstico, que ya lo hemos visto en la apariencia
anterior, 50.6, y el error que cometemos con ese primer pronóstico, error
o residuo. Ahora lo hacemos con el segundo. El segundo tiene x1, 9, lo
ponemos en esta fórmula, y x2, 18, lo ponemos en esta fórmula. Hacemos
los cálculos correspondientes y nos sale una y predicha de 50.87. Sin
embargo... Sin embargo, la puntuación observada, aunque está cerca, no es
idéntica, es 52. Por consiguiente, tenemos un error, en este caso, de
1.13. Y la colocamos en la tabla anterior, la puntuación predicha, el
plano de regresión y el error, el residuo, para ese sujeto. Y así vamos
haciéndolas todas. Es obvio que esto es pesado, y lo más adecuado sería
disponer de un ordenador y un software adecuado. Hay muchos para ello,
intentaremos verlo más adelante. El caso es que al final tenemos un
conjunto de puntuaciones en i, que son la variable en la que estamos
interesados. Es decir, la puntuación en matemáticas, ¿de qué depende?
De que un chico saque mejor nota o peor en un test de matemáticas, o en
los exámenes... ...de matemáticas del colegio. Tenemos estos 15
sujetos... Y utilizando las variables tiempo de estudio, la x1, y
razonamiento abstracto, como dos variables predictoras, vemos que
conseguimos estimaciones bastante cercanas a la puntuación real. Hemos
obtenido 54 en el primer caso y 50 en el segundo, en la puntuación
estimada. La puntuación observada para el segundo caso ha sido 52, y 50.8,
casi 51, la puntuación estimada. 34 la observada para el tercer sujeto, y
38.8 para el segundo, como puntuación pronosticada. Vemos que este
conjunto de puntuaciones son bastante aproximadas. Y esto lo que nos está
indicando es que la estimación que estamos haciendo con x1 y x2 parece que
es bastante buena. Y hemos visto anteriormente que el coeficiente de
correlación múltiple era bastante elevado. Luego veremos los contrastes
estadísticos para aceptarlo o rechazarlo. Pero el caso es que ahora
tenemos también un conjunto de puntuaciones de i estimadas, de i prima.
Como tenemos la puntuación observada i y la puntuación pronosticada i
prima, su diferencia nos da otro conjunto de puntuaciones que son los
errores o residuos. Una vez que tenemos todas estas puntuaciones, podemos
calcular las varianzas de cada una de ellas. Vemos que la varianza total en
i es de 60.23. La varianza en la i pronosticada es de 36.9, y 23.2 la de
los residuos. Como siempre, las varianzas son ensalgadas. Entonces, estimar
bien el conjunto, la variable dependiente i, el conjunto de esas variables
independientes, aunque... A siempre vista parece que sí, porque hay un
acuerdo bastante importante entre la puntuación observada y la predicha.
Necesitamos un índice numérico que nos lo cuantifique. ¿Qué grado de
aproximación? Y ese grado, ese índice numérico, normalmente es el
coeficiente de determinación múltiple en este caso. R al cuadrado. Entre
las puntuaciones predichas por la recta de regresión, las puntuaciones i y
las puntuaciones predichas por la recta de regresión. En este caso,
habíamos visto previamente que este coeficiente de correlación se puede
calcular mediante el coeficiente entre dos varianzas. La varianza de las
puntuaciones predichas partido por la varianza de las puntuaciones
observadas. Y vemos que esto nos da 0.76. Es un índice bastante correcto.
Y nos quiere decir que la combinación de las dos variables, x1 y x2, que
eran tiempo de estudio y razonamiento abstracto, nos permite explicar el
61,4% de la variabilidad de las puntuaciones obtenidas en matemáticas. Y
solamente nos deja un 38,6 debido a otros factores que no conocemos, que no
están relacionados lindamente con dichas puntuaciones. Simplemente que no
se han metido en la recta de regresión, que no las conocemos. Pero
observen que de un 100% de variabilidad en las puntuaciones de i, estas dos
puntuaciones x1 y x2 nos han explicado el 61,4. Es bastante elevado. Y esto
es lo que... Bueno, vemos que se cumple lo que han denominado aquí el
teorema de Pitágoras. De la regresión lineal. Se puede expresar como que
la varianza... De las puntuaciones observadas, es decir, la varianza de i,
es igual a la suma de la varianza de las puntuaciones estimadas más la
varianza de los residuos. En el gráfico anterior... Mejor dicho, en la...
En esta tabla que vimos anteriormente, lo que nos está diciendo es que la
varianza total en i es la suma de la varianza de los pronósticos y la
varianza de los residuos, que es lo que han expresado 60.23, es lo mismo
que 26.9 más 23.2. Este coeficiente, r al cuadrado, coeficiente de
determinación múltiple, que nos informa de la proporción de la
variabilidad en la variable dependiente, que es explicada por la
combinación lineal de las dos variables predictoras, mediante los
resultados obtenidos en la muestra, sin embargo, no es un estimador
insesgado de r al cuadrado del coeficiente de determinación múltiple en
la población. Pasaba lo mismo que la varianza poblacional con respecto a
la varianza muestral. La varianza muestral estaba sesgada. Y tenemos que
recordar que la variabilidad de la variabilidad en la variable dependiente,
que es la variabilidad que utiliza la cuasi-variante, pues aquí pasa lo
mismo. Tenemos otro estimador sesgado. R al cuadrado no acierta en la diana
de r al cuadrado. Se debe a las fluctuaciones del proceso de muestreo. Esto
se debe a que debido a las fluctuaciones del proceso de muestreo, raramente
se observa una situación en la que no haya contribución de una variable
independiente a la varianza de la variable dependiente. Bueno,
independientemente de por lo que se deba este sesgo. Lo que nos está
diciendo en esta segunda parte es que simplemente por la variabilidad en el
proceso de extracción de la muestra, cogemos una variable independiente
que no esté relacionada con la variable dependiente y es posible que por
esa variabilidad observemos que cuando calculamos r al cuadrado que esa
variable independiente aporta, explica parte de la variabilidad de Y,
incluso aunque realmente no sea así, simplemente por proceso de mostreo.
Entonces, cuanto menor sea la muestra, es decir, cuanto menos sea más
pequeño, mayor será la contribución de esas variables independientes
extrañas, variables independientes que realmente no afectan a la variable
dependiente. Obviamente, esto provoca un aumento artificial de R al
cuadrado y eso no se corresponderá con R al cuadrado en la población. Por
ello, tenemos que ajustar, tenemos que calcular no R al cuadrado, sino un R
al cuadrado ajustado que nos corrija ese sesgo. Es lo mismo que cuando
hemos hablado de que la cuasi-varianza es un estimador insesgado de la
varianza, no podemos considerar la cuasi-varianza, la cuasi-varianza como
una varianza ajustada. Es lo mismo. Pues es lo que vamos a hacer aquí.
Para tener una estimación más ajustada y realista de R al cuadrado en la
población, realizaremos un ajuste que se llama, ese índice lo denominamos
R al cuadrado ajustado. Por eso le he puesto aquí el... el acento
circunflejo, el HAT, para indicar que está insesgado. Vemos que el resto
es lo mismo. R al cuadrado de las puntuaciones de la variable predicha por
una combinación lineal de las dos variables predictoras. Y para hacerlo,
para conseguirlo, ese R ajustado, aplicamos esta fórmula. Uno, una
constante, menos el producto entre todos los factores. El primer factor es
uno menos el coeficiente de correlación, el coeficiente de determinación
múltiple, no ajustado. Multiplicado por el coeficiente entre... n-1,
recordemos que n era el número de sujetos que tenemos, partido por n-p-1.
p es el número de variables independientes que estamos utilizando. En este
caso son dos, x1 y x2. Aplicando estos datos al ejemplo, habíamos obtenido
una r al cuadrado de 0.614. Si aplicamos este ajuste, 1-1-0.614, tenemos 15
sujetos, menos 1 partido por 15, menos 2 porque tenemos dos variables
independientes, esto es p, menos 1 menos una constante. Y ya tenemos el
resultado. Y esto nos da 0.55. Observemos que, aunque hemos obtenido 0.61
en la muestra, el ajuste normalmente va a ir a la baja. Es decir, nos va a
disminuir el grado de explicación de la variable de i debido a la
combinación de las dos variables independientes. Es una combinación, es
un ajuste. Y nos va a disminuir normalmente la baja. No obstante, 0.55
sigue siendo elevado. Hemos visto entonces r al cuadrado y r al cuadrado
ajustado con índices de ajuste entre nuestros datos empíricos y los datos
predichos mediante el plano de regresión utilizando x1 y x2. Pero no son
los únicos índices que nos informan de ese ajuste. Otro valor numérico
que nos informa del grado de ajuste es el error típico, de los errores. Y
está relacionado con r al cuadrado. Si son índices que miden lo mismo,
están relacionados. obviamente, pero en el sentido de que cuando aumenta R
al cuadrado el error típico disminuye, lo cual es lógico porque si nos
vamos a una de las tablas anteriores a esta tabla, podemos decir que R al
cuadrado está considerando estas dos primeras columnas mientras que sigma
del error está considerando los residuos por consiguiente, cuanto mayor
sea R al cuadrado, significa que las estimaciones derivadas de nuestro
plano de regresión se acercan mucho ahí, es bueno el ajuste si es bueno
el ajuste, significa que sigma de los errores, el error típico, es
pequeño y es por eso por lo que nos indican que cuando R al cuadrado
aumenta, el error típico disminuye aquí tenemos la fórmula para calcular
el error típico raíz cuadrada de un cociente, en el numerador tenemos el
sumatorio al cuadrado suma de cuadrados de i menos las i predichas es
decir, de los errores, de la tercera columna que hemos visto suma de
cuadrados de los errores 325.45 partido por número de sujetos que tenemos
número de variables independientes, menos 1 tenemos 15 sujetos, dos
variables independientes entonces la raíz cuadrada de este cociente nos da
5.20 es el error típico de esos errores y como hicimos en la nova y como
hicimos en revisión simple, vamos a hacer una revisión múltiple podemos
trabajar con las sumas de cuadrados la suma de cuadrados total La suma de
cuadrados de los residuos y la suma de cuadrados de la reversión. Tenemos
la suma de cuadrados total es el sumatorio, para todos los sujetos, de las
puntuaciones observadas menos la media al cuadrado. Y en este caso nos da
un total de 843. Los residuos es, de nuevo, el sumatorio para cada uno de
los casos de esos residuos. Y esos residuos son la puntuación observada y
menos la pronosticada al cuadrado. El valor de esa suma de cuadrados de
residuos es 325. Y por último, la suma de cuadrados que aporta el plano de
regresión. Tenemos un sumatorio de puntuaciones al cuadrado. Y esas
puntuaciones al cuadrado son las puntuaciones predichas y prima menos la
media. Suma de cuadrados de la regresión. Y nos da, en este caso, 517.
Bien, ahora estamos hablando del grado de índices, conciencia de
determinación múltiple ajustado, el error típico. Todos estos índices
nos miden el grado en el que x1 y x2 nos permiten predecir y, en qué
grado. Pero de forma conjunta. Y es por eso por lo que se introducen los
conceptos de correlación semiparcial y conceptos de correlación parcial.
Que lo que pretenden es ver esos índices de ajuste de una variable
independiente, independientemente de la otra. Entonces, porque hemos...
Hemos dicho que el ajuste, por ejemplo, antes era bueno. Pero podría ser
que toda la voluntad del ajuste se debiese a una sola variable y la otra
estuviese ahí de acompañante. Y no aportará nada. Estamos midiendo la
contribución conjunta en los índices anteriores, la contribución
conjunta de las dos variables independientes. Vamos a verlo ahora de forma
separada. Es decir, ¿cómo podemos determinar la contribución de cada
variable independiente a la explicación de la dependiente? De forma, aquí
es, no la contribución conjunta, sino cada variable independiente
independientemente una de la otra. Otra. X1 por un lado, sin considerar a
X2, y X2 por su lado, sin considerar a X1. La respuesta a esta pregunta la
proporciona la correlación semiparcial. Le vamos a llamar SR, la vamos a
simbolizar como SR. Y su cuadrado, SR al cuadrado. Correlación R, como
siempre, S de semiparcial. Ya lo vemos después porque es semiparcial. Y
tendremos entonces que calcular también la parcialidad. Es decir, cuando
en un modelo intervienen más de dos variables, las correlaciones que se
calculan entre las variables 2 a 2 no son correlaciones puras. No mide la
relación entre esas dos variables al margen del influjo que las otras
variables del modelo puedan tener sobre ellas. Si yo calculo la
correlación entre Y y X1, como ya he hecho anteriormente, esa
correlación, ese valor numérico, no es la correlación entre Y y X1, es
la correlación pura, sin más, del grado en que correlacionan Y y X1. En
esa correlación, en ese índice numérico, hay parte de lo mismo, o puede
haber parte de lo mismo, debido a X1. En ese sentido, no son correlaciones
puras. He realizado este gráfico que es muy similar a lo que se está
haciendo actualmente Ecuaciones estructurales, aunque estos son análisis
de vías, como una forma gráfica de representar la situación que tenemos
es que tenemos una variable y que la hemos medido, la hemos observado
predicha y la hemos tratado de predecir mediante x1 y x2 en el grado en que
estas dos variables afecten a y y eso lo hemos representado por las flechas
habrá una correlación entre esas variables que es la que vemos en
pantalla, la correlación entre x1 e y y la correlación entre x2 e y el
problema es que entre x1 y x2 también hay correlación, o puede haberla
que es la correlación entre x1 y x2 o como se ha puesto anteriormente r1 y
2 cuando estamos midiendo esta correlación no estamos midiendo esta flecha
por si sola ya que x2 a través de este de esta vía me está aportando
también su influjo para medir y por consiguiente esas correlaciones no son
puras y necesitamos o queremos índices más puros estas correlaciones que
se calculan entre dos variables, las bivariadas se denominan correlaciones
de un valor de x1 y x2 en orden cero y a través del valor obtenido en las
mismas, es decir, el valor numérico que obtenemos cuando calculamos esas
tres correlaciones que vemos en pantalla no podemos saber de forma pura
qué parte de la variante de la variable independiente es capaz de explicar
cada una de las variables independientes por si sola ya que entre estas
también puede haber relación ya que tenemos ese componente Por lo tanto,
para saber qué parte de la variable independiente, es decir, de Y, explica
cada variable independiente sin considerar las otras variables
independientes, necesitamos eliminar el influjo que sobre cada variable
independiente tiene el resto de variables independientes. Es decir, aquí
vemos que sobre X1, X2 tiene un efecto, y X2 tiene un efecto sobre, y X1
tiene un efecto también sobre X2. Y eso se ha representado mediante esta
línea de doble flecha entre las dos predictoras. Queremos eliminar ese
influjo para establecer de forma pura las correlaciones entre las variables
predictoras y la predicha. Esta relación entre cada variable
independiente. Y la dependiente, habiendo eliminado el influjo del resto de
las variables que existan, variables independientes, sobre cada variable
independiente es lo que se llama como coeficiente de correlación
semiparcial. Entonces, en un modelo de regresión múltiple, como estamos
en este caso, hay una proporción de varianza explicada, la varianza debida
a las puntuaciones predichas de Y, y una proporción de varianza no
explicada. Los errores o residuos. La explicada, la proporción de varianza
explicada, lo es en función de que hemos combinado ciertas variables para
predecir Y. Por consiguiente, si en un modelo, por ejemplo, con dos
predictores X1 y X2, ajustamos una recta de regresión de la 1 sobre la 2,
por ejemplo, observen aquí el gráfico que lo estoy inventando. Lo
importante es simplemente que... La regresión simple que vimos en la
primera parte de este tema, la podemos aplicar también a las variables
independientes. Y si hacemos esta regresión... Vemos que estamos
utilizando x1 como predicha y x2 como predictora. Si x2 me permite predecir
algo de x1, ese algo ya me viene dado por la recta de regresión simple. Y
ahora, ¿qué podríamos hacer ahí? ¿Qué parte de esta regresión no
está asociada con x2? Los residuos. Los residuos de esta regresión, que
los he dibujado aquí en rojo, son aquella parte de las puntuaciones de x1
que no viene explicada por x2. Y por consiguiente, si ahora correlaciono
estos residuos de la regresión anterior, que no tienen parte alguna de la
variable predictora x2, estoy utilizando residuos de x1 y los correlaciono
con la variable dependiente. En este caso habré calculado el coeficiente
de correlación semiparcial entre x1 y la variable dependiente y, habiendo
eliminado el influjo que sobre x1 tiene x2. Ese influjo lo he... Lo
eliminamos porque nos estamos quedando solamente con los residuos de la
anterior regresión. Estoy ajustando una regresión simple entre x1 y x2,
extraigo los residuos y esto lo correlaciono con la predictora, con y. De
esta forma habré calculado la correlación entre uno de los predictores,
el que antes servía de variable predicha y la variable dependiente,
habiendo eliminado el influjo del otro predictor, en este caso de x1 y x2.
Al correlacionar esto... Estos residuos con las puntuaciones de la variable
dependiente habré calculado el coeficiente de correlación semiparcial
entre x1 e y. He eliminado el influjo del otro predictor. Al haber
eliminado el influjo de x2 sobre x1, el cálculo de la correlación ahora
entre x1 e y será pura. No tendrá componentes de x2. Y es lo que he
intentado reflejar en este gráfico. Hemos hecho la recta de regresión
simple entre x2 y x1 y obtenido una recta de regresión. Ahora me quedo con
los residuos de x1, perdón, x2 y x1 para el caso que tenemos en pantalla.
Hemos hecho la recta de regresión. Y por consiguiente los residuos de esta
regresión son valores de x1 de los que he eliminado el influjo que puede
tener x2. He eliminado esa, estadísticamente he eliminado ese influjo, esa
flecha que va de x2 a x1. Y ahora correlaciono los residuos de x1 con y. Y
eso me dará la correlación semiparcial. Correlación pura entre x1 e y.
Que es sr1r. Correlación s semiparcial, correlación semiparcial para la
variable predictora 1. Que es sobre la que he calculado los residuos y
viene dada por esta ecuación. Obviamente será... La correlación
semiparcial... De x1 sobre y. Será una función directa proporcional a la
correlación entre y y x1, pero le eliminamos este influjo.
Estadísticamente, ese influjo viene dado por la correlación entre x1 y 2,
x1, 2, por la correlación entre las dos predictoras. Y lo divido por la
raíz cuadrada de 1 menos el coeficiente de determinación entre 1 y 2, que
es... ...un factor de escala. Para llevar a cabo este cálculo, tenemos
fórmulas. A partir de las correlaciones de orden 0, ya las hemos visto
anteriormente, elevando al cuadrado estos valores de correlación
semi-imparcial, lo que tenemos es la contribución en porcentajes, igual
que el r al cuadrado que hemos visto anteriormente, que cada variable
independiente tiene sobre la variable dependiente, habiendo eliminado el
influjo de las otras variables independientes. Hemos corregido.
Gráficamente, también se puede representar mediante un diagrama de Venn,
en el que tenemos todo el área, todo el primer círculo que hay debajo de
y, se refiere a la varianza de y. El círculo que hay por encima de x1 se
refiere a la varianza de x1, y este se refiere a la varianza... ...de x sub
2. En cada caso, la intersección entre estos tres círculos... Va a
diferir, pero siempre se va a representar de la misma forma para, en los
casos concretos con datos, con muestras, A, C y B no tienen por qué ser
exactamente las áreas que se pueden ver en el gráfico. Pero se deja
siempre así como muestra. Es decir, A, C y B en cada caso que son las
intersecciones entre esas varianzas, en los casos reales van a diferir en
cada caso real, pero siempre se dibujan con la misma área. Pero que no nos
equivoque que las áreas reales pueden diferir de los valores que aquí
aproximadamente... El caso es que A, este área, es la parte común que
tienen Y y X1 independientemente de X2. Y en ese sentido representa a la
correlación semiparcial al cuadrado, en términos porcentuales, de la
primera variable independiente X1 con Y. Y se puede calcular mediante esta
otra fórmula. Vemos aquí el coeficiente de determinación múltiple, que
ya lo hemos visto, y al cuadrado, menos R al cuadrado entre la variable
predicha y la segunda variable, X1. Y esto ya lo hemos visto, se están
repitiendo algunas de las transparencias. En el ejemplo numérico los
cálculos del coeficiente de correlación semiparcial son los siguientes.
Aquí tenemos la... Las correlaciones de orden 0. Y teníamos que el
coeficiente de determinación múltiple era 0.614. Aplicamos la primera
fórmula que hemos visto, 0.446. Que era la correlación de orden 0 entre
x1 e y menos el producto entre la correlación entre la otra variable
predictora e y, 0.628, por la correlación entre x1 y x2, que en este caso
es menos 0.043, partido por 1, por la red cuadrada de 1, menos el cuadrado
de menos 0.0431. Y esto nos da 0.47. Observemos entonces que la
correlación de orden 0 inicial que teníamos para x1 e y valía 0.44, y
ahora al calcular la correlación semiparcial se ha elevado, se ha
producido una mejora. Los datos en reales, la correlación de orden 0
infraestimaba la verdadera correlación. ¿Por qué? Y eso solamente se
puede deber a la influencia que tenía x2, en este caso concreto, claro. Lo
mismo podemos hacer para el segundo caso. Y entonces esto tendría que ser
2. La correlación semiparcial de x2 con y. Para ello lo que hacemos es la
correlación de orden 0 de esa vía, que es 0.628, menos el producto de las
otras vías, que es... 0.441, multiplicado por menos 0.043, y dividido por
el mismo factor que hemos visto anteriormente. Esto nos da una correlación
semiparcial de x2 con respecto a y de 0.65. De nuevo se ha producido que la
correlación de orden 0 estaba infraestimando la verdadera correlación
entre x2 e y. En este caso concreto. En otros casos podría ser al
contrario. Estas correlaciones semiparciales. elevadas al cuadrado nos
informa sobre la proporción porcentaje de varianza de i explicada por cada
variable predictora habiendo eliminado el flujo de la otra variable. En
este caso, la correlación semi-parcial de la primera variable predictora 1
con respecto a i es 0.46 al cuadrado 0.21 el porcentaje sería entonces del
21,9 para la primera variable y para la segunda 0.62 al cuadrado 0.42 y se
han puesto aquí los símbolos. que se utilizaron en el diagrama de Venn
para representar A y B. Vemos en este caso que A, la contribución por sí
sola que hace x1 para explicar i es el área en amarillo y vale 0.22,
mientras que 0.42 es la aportación que tiene x2 para explicar i
independientemente de x1. Si no hubiéramos我 video hecho esto las
correlaciones habrían estudiado la intersección entre las tablas de
variabilidad. Por eso se dice que en este caso titulas son puras. La
porción C es la proporción del modelo que representan las atribuciones de
las tres variables hasta Nuria 1,7 y haciendo x2 antiguamente. Proporción
de varianza de la variable independiente estimada conjuntamente, de forma
redundante, por las dos variables. Esta proporción C es difícil de
interpretación y normalmente no se realiza porque lo que nos interesa es
la correlación siniparcial de X1 con Y y de X2 con Y. Porque representa...
correlaciones puras eso era la correlación semiparcial y vamos a ver ahora
la correlación parcial de nuevo R para indicar correlación y P para
indicar parcial el coeficiente de correlación parcial nos sirve para
determinar cual es la primera nos va a servir para determinar cual es la
primera variable que se incorpora al modelo cuando se realiza variable a
variable esto si no nos vamos a meter en otro y no nos vamos a meter en
más variables independientes cuando tenemos 4, 5 o 6 variables
independientes si es importante saber si las metemos todas al unísono en
los cálculos o primero nos cogemos aquella variable que mejor pediga ahí
de las 5 cual la segunda, la primera que metemos y una vez que hemos metido
esa tenemos una regresión simple y luego de las 4 restantes vamos,
escogemos de nuevo en un segundo paso aquella que realice una mejor
aportación a la predictoria entonces tendremos una regresión doble y nos
quedarán otras 3 variables independientes y así sucesivamente pero esto
solamente es necesario tenerlo en cuenta cuando tenemos más de 2 variables
y aquí lo han dicho como información pero yo no me metería mucho más
con esto porque esto básicamente se utiliza cuando tenemos muchas
variables tenemos que considerar si es necesario incluirlas todas o qué
criterio utilizamos para ir metiéndolas hasta que la predicción sea lo
suficientemente buena lo importante es el concepto de correlación parcial
la diferencia con ese mi parcial con la diferencia entre PR y SR es que en
el parcial en el coeficiente de correlación parcial eliminamos el influjo
de los predictores tanto de la variable independiente objeto de
correlación como de la variable dependiente es decir Es una correlación
entre residuos. Vamos a verlo más detenidamente. El modelo de dos
variables, que es el que tenemos en este momento. Tenemos x1 y x2 para
predecir y. Si ajustamos una recta entre la variable predicha y x2, y de
esa recta quiere decir que hay una parte de y que viene explicada por x2. Y
hay una parte que no viene explicada. Son los residuos de esa regresión. Y
a continuación, ajustamos lo mismo que hemos visto anteriormente. Una
recta entre x1 y x2 y nos quedamos también con los residuos. Y ahora
correlacionamos ambos residuos. Lo que tenemos es la correlación parcial
entre y y x1. Hemos visto anteriormente que en la correlación siniparcial,
básicamente de la variable x1, trabajamos con residuos. Hay un denominado
en el flujo de x2. Entonces, esto eran los residuos. Pero de y, no
trabajamos con los residuos, trabajamos con la puntuación directa. Lo que
hace la correlación parcial es que de y, también eliminamos la parte de
x2 que la puede explicar. Y entonces aquí también vamos a trabajar con
residuos. De tal forma que ahora eliminamos tanto de x1, como de y, la
aportación que pueda tener x2 en cualquiera de ellas. Y ahora
correlacionamos los residuos de esas dos regresiones simples. Que es lo que
dice un gráfico efectivamente. Es decir, primero ajustamos una recta entre
y, variable predicha, y x2. Esa recta, esa línea de regresión, ya hemos
visto que lo que nos permite es explicar parte de x2, parte de x2, parte de
x3, parte de x4, parte de x5, parte de x6, parte de x7, parte de la
variabilidad de y, y entre x2. Por consiguiente, si nos cogemos solamente
los residuos, De esta recta de regresión estamos cogiendo parte de y que
no está asociada a x sub 2. Es decir, nos quedamos con los residuos
valores de y de los que x sub 2 no tiene nada que decir ya que todo lo que
tiene que decir viene dado por la recta de regresión. Y luego hacemos lo
que hemos hecho anteriormente entre x sub 1 y x sub 2 utilizando x sub 1
como predicha y x sub 2 como predictora. Y nos quedamos también con los
residuos, con lo cual lo que tenemos son puntuaciones de x sub 1 de los que
se ha eliminado todo el influjo que x sub 2 pueda tener sobre ellos. Y por
consiguiente si ahora disponemos de dos conjuntos de residuos, residuos de
x sub 1 habiendo eliminado el influjo de x sub 2 y residuos de y habiendo
también eliminado la aportación de x sub 2. Por consiguiente esos dos
conjuntos de residuos, los residuos de x sub 2 no dependen para nada de x
sub 2 mientras que la correlación semiparcial al menos en y, x sub 2
tenía algo que decir. Por consiguiente la correlación entre ambos
residuos nos proporcionará la correlación parcial entre y y x sub 1 sin
interferencia ya en modo alguno de x sub 2, por ningún lado. Ni por el
lado de x sub 2 hacia x sub 1 ni por el lado de x sub 2 hacia x sub 2 Es lo
que vemos aquí. Hemos eliminado el influjo que tenía x sub 2 sobre y
quedándonos simplemente con estos residuos. Y hemos eliminado el influjo
que tenía x sub 2 sobre x sub 1. Y por consiguiente ahora la correlación
que calculemos entre esos residuos de x sub 1 e y es la correlación
parcial. Y esta sí es ya una correlación pura entre x sub 2 y x sub 1. x
sub 1 e y. Puesto que de ambas se ha extraído el influjo de una tercera
variable, en este caso x sub 2. Lo que hemos hecho para establecer la
correlación pura entre x sub 1 E I se podría hacer lo mismo, obviamente,
con X utos. Y calculamos la correlación parcial con I, eliminando el
influjo que pueda tener sobre ella, sobre X1. Entonces, al igual que la
correlación semi-parcial, estos cálculos de correlaciones semi-parciales
y parciales serían complicados si tuviéramos que calcular los residuos
para cada una de las regresiones simples que hemos visto anteriormente.
Porque tenemos fórmulas en las que, a partir de las correlaciones de orden
cero, entre cada par de variables, correlaciones bivariadas, podemos
obtener estas correlaciones parciales. Compárense las fórmulas. Vamos a
ver aquí, correlación parcial, vale. Aquí esto sería semi-parcial. Si
no me equivoco, efectivamente, esa P sería S. Por eso he dicho comparar
las fórmulas. Estas serían las fórmulas. Hemos visto previamente la
correlación semi-parcial y estas son las nuevas fórmulas para calcular la
correlación parcial. Vemos que son muy parecidas. Los numeradores son
idénticos. Y lo único es que en el denominador hemos incluido para la
correlación parcial este término. Ya que este otro coincide con el
denominador. Y este término es idéntico al anterior, raíz cuadrada de
uno menos la correlación al cuadrado entre y, la variabilidad predictora,
y uno. Es decir, la correlación al cuadrado de la vía que quiero eliminar
para calcular la correlación parcial de la segunda variable independiente
con respecto a la otra. Y aquí pasa lo mismo. Si quiero calcular la
correlación parcial de I de la primera variable predictora 1 respecto a I,
el término me incluye la otra correlación al cuadrado, la correlación
entre I y la segunda variable predictora independiente. Es una fórmula de
ver la relación que existe entre las fórmulas. El cuadrado de estos
coeficientes se interpreta como la proporción de la varianza de I que no
está asociada con X2, pero para PR1, para la correlación parcial 1, es la
proporción de la varianza de I que está asociada con X1, pero no con X2.
Para PR2, al contrario. Otra manera de calcular esta proporción de
varianza es por medio de las porciones representadas en el diagrama de
Venn, que hemos visto anteriormente. Para calcular la correlación al
cuadrado, entonces la determinación parcial simple entre la primera
variable independiente 1 e I, lo que se hace es que se divide el área A
partido por la suma. El denominador siempre incluye el mismo componente del
numerador más otro componente. En términos numéricos, la fórmula sería
el coeficiente de determinación múltiple, sin más, menos, le eliminamos
el influjo, de la otra variable que tiene sobre I, por eso es R al cuadrado
de la correlación entre I y X2 partido por 1 menos esa misma correlación
al cuadrado. Para PR2, justamente a la inversa en este caso, es B partido
por B más D. B es el área en gris y D, perdón, antes me he equivocado, D
es simplemente el área en amarillo. Y en este gráfico lo he dibujado como
el área rosa más amarillo. No, D es simplemente el amarillo. Aquí está,
en este gráfico está mejor, mejor representado. Las áreas, cuando la
hemos dividido entre D, A, C y B, no se solapan. Entonces, sería B, el
área en gris partido por el área en gris más el área en amarillo. En
términos numéricos, coeficiente de determinación, múltiples y más. Y
le restamos, como ahora queremos calcular, eh... PR2 para la segunda
variable, le restamos lo que aporta la otra. R2 de I, la variable vectora,
y X1, partido por su complementario. En el ejemplo, PR1 aplicando los
cálculos con las correlaciones de orden 0, vemos que la correlación entre
I1, 0.441, 1 menos el producto entre las otras dos, 0.728 por menos 0.043,
partido por el producto entre esas dos raíces cuadradas. En donde la
primera tenemos R2 de I2, es decir, la que no queremos que nos influya, por
la raíz cuadrada de 1 menos R2 de I2. 2 predictoras. Y me da una
correlación parcial. de la primera variable independiente con y de 0.60 y
subcuadrado es 0.36 lo mismo aplicado a la correlación parcial entre la
segunda variable predictora e y eliminando el influjo de x1 en este caso
sería la correlación de x2 con y menos el producto de la otra vía de la
correlación entre la otra vía sería esto y esto partido por el producto
entre las dos raíces cuadradas esta es la que ya hemos visto que debida a
la correlación entre las dos variables predictoras y 1 menos r al cuadrado
es la vía que nos está afectando a los datos que hace que la correlación
entre las dos variables predictoras entre x2 e y no sea pura hacemos los
cálculos y nos sale 0.72 este valor pr al cuadrado es decir, la
correlación parcial al cuadrado de x2 con respecto a y nos da 0.52 y estas
sí son correlaciones puras en resumen por los resultados de los dos
coeficientes de correlación parcial y semiparcial al cuadrado en el modelo
que hemos obtenido está clara la contribución de ambas variables x1 y x2
para explicar la puntuación en matemáticas y aunque es mayor la
aportación del razonamiento abstracto que la del tiempo de estudio ya que
en un caso tenemos el 36% de aportación y en otro un 34% posteriormente
tendremos que ver la significación estadística por medio de los
contrastes apropiados Y aquí dejamos por hoy el tema, ya nos quedan
solamente esos contrastes. No sé si tendría algún... parece que hay de
por aquí nada más. Bueno, esto es una simple anécdota, el huevo de la
discordia. El señor Regnier de Graaf descubrió los folículos femeninos,
es decir, el envoltorio de los óvulos en mujeres, en una época en la que
se pensaba que las hembras tenían testículos. Esto hoy día puede
parecer, pero en el siglo XVII se pensaba eso. Y se pensaba que de estos
testículos producían unos huevos que iban a parar al útero. La idea de
que las mujeres ponían huevos trajo por la caída de la amargura a de
Graaf. Bueno, el único pensamiento que me trae esta anécdota es... que
muchas cosas que actualmente damos por asentadas, por ciertas, pues el día
de mañana nos parezcan tan ridículas como las que nos parece en este
momento lo que le sucedió a este investigador. Yo, por ejemplo, me he
criado, digamos, en la tradición cognitivista. No veía otra forma de
considerar la conducta, de contemplarla. Sin embargo, actualmente está
surgiendo algunas nuevas... visiones, algunas perspectivas nuevas que yo
hace diez años jamás hubiera sospechado. Y es posible que con estas
nuevas perspectivas, ciertos conceptos que ahora tenemos como algo claro y
obvio que existen, quizá el día de mañana tengamos que ponerlos en
cuarentena o reformularlos completamente. Esto es parte del trabajo
científico. Lo que nos sirvió ayer es posible que hoy no, o que lo veamos
con otros ojos. Hasta el próximo día.