Bueno, pues muy bien, con esta oda al bosón de Gis comenzamos la tutoría
virtual tenéis el título de la primera tutoría, la de esta tarde que yo
comprendo que tendrá una primera hora de 4 y media a 5 y media, un
pequeñito descanso y luego de 5 y media a 6 y media lo que vamos a ver en
la tutoría de esta tarde es la cinemática del movimiento armónico simple
más y la superposición de vibraciones básicamente la superposición de
vibraciones es una vez estudiada la cinemática del más veremos cómo
sumar señales, movimiento armónico simple con amplitudes, frecuencias
diferentes y señales paralelas o perpendiculares entre ellas ¿se me
escucha bien? ¿todo el cacharreo funciona bien? ¿podéis verlo? ¿podéis
poner en el chat? ¿nadie tiene ningún problema, no? vale, pues parece que
vamos a seguir bien, el índice de lo que vamos a ver esta tarde es, como
ya os he adelantado la cinemática del movimiento armónico simple más
superposición de vibraciones e intercalado con los comentarios de la
teoría resolución de problemas básicamente las referencias para estas
notas son el libro básico de la asignatura vibraciones y ondas, los
capítulos unidos bien, algunos de los objetivos de esta sesión es conocer
las características generales de un movimiento armónico simple establecer
una analogía entre el movimiento armónico simple y el movimiento circular
de una partícula material conocer el significado de un fasor saber
resolver expresiones que involucren fasores saber representar un movimiento
armónico simple mediante fasores saber superponer vibraciones paralelas
saber suponer vibraciones perpendiculares y conocer el significado de las
figuras delisayados pues, para introducirnos en la cinemática del
movimiento armónico simple algunas definiciones previas un movimiento es
oscilatorio o vibratorio si se reproduce idénticamente a sí mismo
después de un cierto intervalo de tiempo T mayúscula al que llamaremos
periodo se dice que la vibración efectúa un ciclo durante este periodo
durante el tiempo de duración de un periodo la frecuencia NU de un
movimiento vibratorio se define como el número de ciclos efectuados por
unidad de tiempo y se calcula como la inversa del periodo sus unidades son
segundo a la menos uno en el sistema internacional y eso se le llama un
hercio diremos, hay un segundo que me parece que las diapositivas sí,
parece que lo ha pasado bien diremos que una partícula realiza un
movimiento armónico simple una partícula o un sistema físico en general
cualquier sistema físico con un grado de libertad al que denotamos x por
lo tanto el grado de libertad del sistema físico será una función del
tiempo pues cuando esa función del tiempo que nos da el grado de libertad
del sistema si fuera una partícula positiva que es la posición de la
partícula en todo instante del tiempo obedece este patrón x es igual a
una amplitud constante por una función coseno de omega 0 t más delta pues
bien, cuando el patrón del grado de libertad sigue esta función diremos
que la partícula realiza un más y ahora a cada uno de los miembros que
aparecen en la función x x de t reciben un nombre que hay que tener bien
en claro a la hora de resolver los problemas y sobre todo cuando se
consultan diferentes textos. Llamaremos al factor que multiplica por el
coseno como amplitud de la oscilación. Al factor dentro del argumento del
coseno que multiplica el tiempo se le llama frecuencia angular o pulsación
y se miden radianes por segundo. Es importante no confundir la frecuencia
angular o pulsación, medían radianes por segundo, con la frecuencia nu
que es la inversa del periodo. Hay una relación entre la frecuencia
angular y la frecuencia nu que tiene que ver con un factor 2pi. Siempre que
estemos haciendo un problema o leyendo un enunciado pues ojo para saber si
la información que nos dan es la frecuencia angular o la frecuencia de la
frecuencia angular o la frecuencia, o lo que nos piden calcular es la
frecuencia angular o la frecuencia. El periodo ya he dicho que se llamaba,
la nomenclatura en estas notas era t mayúscula y ahora a todo el argumento
del coseno, a lo que sería w0t más delta, se le llama fase y lo
representaremos por phi de t. Phi de t es omega sub cero, que aquí se me
ha olvidado el cero, escribimos omega sub cero t más delta. Esa es la
fase. Con esta nomenclatura delta es la fase en t igual a cero, se
entiende, cuando aquí colocamos t igual a cero, phi de t nos da delta, esa
delta se llama defasaje o fase inicial. De forma que veremos el grado de
libertad que cumple un movimiento armónico simple, x de t, como una
amplitud por el coseno de una fase. Esta fase phi de t es una función
omega cero t más delta. ¿Alguna pregunta? En cualquier momento podéis
usar el chat, escribir cualquier observación que tengáis y si me doy
cuenta pues lo comentamos. ¿Alguna pregunta sobre las definiciones?
¿Hasta ahora todo claro? Muy bien. Weisenberg dice no. No entiendo muy
bien el no, ¿es que quieres hacer alguna pregunta? Todo claro. A ver, M.
López todo claro. Heisenberg insiste en el no. ¿Quieres hacer alguna
pregunta Heisenberg? Ah ok, todo claro, muy bien, pues seguimos. Bueno, no
os lo había comentado antes, al principio estaba en la tutoría, en el
principio del documento que tenéis. Mi nombre es Juan José Miralles, soy
tutor intercampus y tutor de la sede local en Albacete. Bien, pues dos
proposiciones importantes en el estudio del Más. La primera proposición
establece que durante un ciclo completo de un movimiento armónico simple
la fase aumenta en 2pi. Y la proposición dos, que es un color aéreo de la
uno, es que en todo Más se cumple que el periodo es 2pi partido la
frecuencia angular del sistema. Observad que en estas notas intentaré
seguir con el ejercicio. Entonces, siempre que no me haya despistado,
colocaré su índice cero, W sub cero. Eso indicará que estamos trabajando
con la frecuencia natural del sistema. Como veréis en este curso y sobre
todo en lecciones posteriores, un sistema físico tiene un conjunto de
frecuencias, no solo una, y llamaremos a la frecuencia principal,
frecuencia natural del sistema, en estas notas, W sub cero. Aquí tenéis
la representación del Más. Pues una amplitud por un coseno. Bien, para
ver la proposición uno, consideramos la fase del sistema phi de t, que es
la frecuencia angular multiplicada por el tiempo más el desfasaje delta y
visualizamos qué pasa con el grado de libertad del sistema x de t cuando
pasamos del periodo t mayúscula a t minúscula más un periodo. Es decir,
x de t, que es a coseno de la fase, que sea igual a x, de t más el
periodo. Sabemos que en un movimiento armónico simple, en este tipo de
vibración, cada vez que el tiempo aumenta en un periodo, la señal se
repite. Por lo tanto, x de t tiene que ser igual a x de t más el periodo,
que formalmente será a por el coseno de la fase en el tiempo t más el
periodo t. De esta ecuación, de esta igualdad, de esta ecuación se deduce
esta igualdad de cosenos. Y esta igualdad de cosenos sólo se cumple si la
fase está relacionada en un tiempo más un periodo con la frase anterior
más 2pi, que es justamente lo que queríamos demostrar. Bien, pues ahora
como consecuencia de la propiedad anterior se cumple que en un periodo el
periodo es 2pi partido la frecuencia natural del sistema. Pues de la
ecuación phi en t más un periodo igual a phi de t más 2pi desarrollamos
la fase, esta fase vale esto, por lo tanto será igual a omega cero t más
2pi de lo que seduce que el periodo es 2pi partido la frecuencia natural.
¿Alguna pregunta? ¿Seguimos? Vale, pues parece que seguimos. Bien,
observar que en estas notas yo he definido el más con esta definición,
pero la definición del más al depender de una función trigonométrica
como el coseno no es única, perfectamente podríamos haber definido y se
hace en otros libros en vez de en términos de la frecuencia natural en
términos de la frecuencia en hercios o en términos del periodo. Entonces
es importante cuando estéis resolviendo un ejercicio pues pensar que
manteniendo el coseno, ahora veremos qué pasa cuando en vez del coseno
ponemos el seno u otras combinaciones trigonométricas, pero incluso dando
la definición del más como el coseno lo podemos tener en función de la
frecuencia o pulsación angular del sistema, de la frecuencia en hercios o
del periodo. Y además hay que observar que matemáticamente un más está
bien definido así amplitud por coseno de frecuencia natural por tiempo
más un desfasaje pero para que este más sea consecuencia de un problema
físico esa señal del grado de libertad x debe de depender de las
condiciones iniciales de ese problema. Pensar por ejemplo un péndulo yo
para tener un péndulo, una masa M colgada por un hilo necesito soltar el
péndulo con una posición inicial y una velocidad inicial sino jamás se
moverá jamás tendré física en ese problema. Pues bien, tanto la
amplitud como el desfasaje dependen de las condiciones iniciales a las que
he llamado x0, posición del grado de libertad en t igual a 0 y v sub cero.
Velocidad inicial en v sub cero. Para cada problema debéis de dar en
función de la información del problema descubrir cuál es la posición
inicial y la velocidad inicial y obtener la amplitud del más y el
desfasaje en función de las condiciones iniciales. Lo que os he hecho en
esta plantilla, en esta proposición 3 es darlo para todos los problemas.
La amplitud vale esta expresión en función de las condiciones iniciales
la velocidad inicial y por supuesto siempre en la escuela la frecuencia y
el desfasaje o fase inicial en función de la velocidad inicial la
posición inicial y siempre es una escuela la frecuencia natural del
sistema. Voy a limpiar un poquito la pantalla. Muy bien, pues vamos a ver
que se cumple esta proposición 3 y ya os digo, una vez que hagamos la
demostración lo tomamos como una plantilla para todos los problemas. Muy
bien, pues en la señal que tenemos el grado de libertad x es una amplitud
que sabemos por la teoría que debe depender de la posición inicial y la
velocidad inicial posición inicial y velocidad inicial y un desfasaje o
fase inicial que debe depender de la posición y de la velocidad inicial.
Pues imponemos el cálculo de x en t igual a 0 es idénticamente lo que ya
hemos llamado posición inicial en esta ecuación al sustituir t igual a 0
obtenemos a coseno de delta y que será v en t igual a 0 la derivada de x
que es el seno con el signo menos y en t igual a 0 nos queda menos v sub
cero seno de delta de forma que podemos ver este sistema de dos ecuaciones
donde yo conozco x0 y v0 y espero obtener el valor de delta de la primera
ecuación despejamos coseno de delta de la segunda seno de delta imponemos
la relación trigonométrica de que seno cuadrado más coseno cuadro es
igual a 1 y despejamos la amplitud y obtenemos que la amplitud vale esta
cantidad dividiendo la segunda ecuación por la uno nos queda seno de delta
partido coseno de delta igual a la tangente de delta de forma que el
desfasaje cumple la relación de que es la arco tangente o tangente a la
menos uno de menos velocidad inicial dividido posición inicial por
frecuencia natural del sistema pues ya tenemos para cualquier problema la
amplitud y el desfasaje del movimiento armónico simple concreto que se
esté estudiando ese problema en función de las condiciones iniciales
¿alguna pregunta? seguimos bien pues ¿cómo vamos a construir la
cinemática del mas? pues como cualquier cinemática definida la posición
o grado de libertad del sistema su primera derivada x punto la notación x
punto la conocéis x punto y x dos puntos primera derivada y segunda
derivada de cualquier función del tiempo ¿de acuerdo? pues la primera
derivada x punto de t es la velocidad que es la derivada del coseno la
derivada del coseno es el seno y introduciendo el factor pi medios
escribimos el seno otra vez en función del coseno con lo cual lo tenemos
referenciado al mas que nuestra referencia es un coseno la segunda derivada
nos da la aceleración menos omega cero otra vez por la posición y esta
relación conceptualmente es bastante importante porque nos define la
física del mas un movimiento armónico simple se da desde el punto de
vista dinámico aunque estamos en la cinemática en la clase de mañana
veremos la dinámica siempre que la aceleración es opuesta a la posición
esa es la característica del movimiento armónico simple de su dinámica y
en términos de fuerzas ese signo menos será siempre una fuerza
recuperadora con lo que quizá ligáis en lo que visteis en física del
curso pasado muy bien pues vamos a hacer un primer problema la notación
que estoy usando hace unos días os subí el boletín con los enunciados de
los problemas cuando acabe la tutoría os subiré en formato pdf las
transparencias con las que estamos trabajando hoy o sea estos problemas
resueltos os lo subiré al foro de las tutorías que tenemos en la
asignatura bien pues el enunciado dice una partícula realiza un mas donde
ese movimiento armónico simple viene dado por esta expresión x se mide en
milímetros t en segundos obtener frecuencia b periodo c amplitud d
desfasaje h frecuencia angular y posición del mas y representarlo
gráficamente j velocidad en todo instante de tiempo y su representación y
aceleración el apartado k aceleración en todo instante de tiempo y su
representación y el último apartado es el mas propuesto un mas físico
bien pues este problema es simplemente una aplicación directa de las
definiciones que hemos visto en teoría para ver si se entienden si me
piden la frecuencia secas no me están pidiendo la frecuencia angular que
sé de la teoría que es 2pi por nu sino me están pidiendo la nu que será
la frecuencia partido 2pi en este problema la frecuencia angular es dos
radianes partido segundo dividido por 2pi el resultado es que la frecuencia
es pi a la menos uno hercios el periodo es 2pi partido la frecuencia
natural que es 2pi partido por dos por lo tanto es pi partido segundo la
amplitud en el sistema internacional es la señal la amplitud en
milímetros dividido por mil 3 por 10 elevado a menos 4 metros el desfasaje
leyendo la señal era pi sextos y la frecuencia angular que ya lo he dicho
antes pues el factor que multiplica el tiempo dos radianes partido segundo
en estos apartados alguno tenéis algún problema daros cuenta que la
señal quizá le ha tapado aquí se ve bien este es el factor de la
frecuencia angular que multiplica el tiempo la amplitud que es cero tres y
el desfasaje pi sextos vale todo el mundo lo tiene claro muy bien pues
ahora dice representar gráficamente el más en este apartado mi consejo en
esta asignatura y en general pues en todas las que tenéis en la carrera en
particular en segundos y alumnos de segundo es que debéis de usar sistemas
de cálculo simbólico sistemas cas como pueden ser matemática maypol o el
mismo que estáis usando en la asignatura de física computacional máxima
para realizar estas representaciones geométricas digamos que el paradigma
que hay detrás de esta recomendación es que si lo sé programar lo
entiendo y una forma de programar pues cosas como representaciones
gráficas de una manera muy rápida es usando una herramienta de cálculo
simbólico en particular en matemática yo podría definir una función
simbólica x de las variables t, amplitud a frecuencia w cero y delta en
matemáticas indicas las variables con guión bajo y todas las variables de
una función van entre corchetes recordad que es una sintaxis un poco
simétrica la de máxima en la de máxima en vez de corchetes que
pondríamos en vez de corchetes pondríamos paréntesis con el mismo casi
con el mismo esfuerzo lo podéis programar en máxima al que no tenga
matemática y la asignación diferida en matemáticas sería dos puntos
igual a a por coseno la función coseno va entre corchetes como cualquier
función en matemática omega cero t más delta una vez que introduces esto
en la memoria ram del software de matemática en este caso tienes una
función en particular cuatro variables pero cada vez que de un valor a la
amplitud a w cero y a delta obtendréis la función x de t que podréis
representar gráficamente vamos a ver si nos carga la transparencia vale
entonces una vez que he definido la función observad el código yo uso en
matemática un gráfico en dos dimensiones se representa con la orden plot
creo que se llama igual en máxima plot la función y todo lo demás bueno
la función coma el rango de variación entre cero y tres pi y a partir de
esta coma separado por coma opciones para que el gráfico sea más bonito
pero daos cuenta que la función que he definido antes x de t a w cero
delta le he dado el valor de a el que tiene el problema en el sistema
internacional el valor de la frecuencia angular en radianes por segundo el
desfasaje y aquí tenéis el dibujo de la señal este sería el más en
general os subiré algunos ficheros de matemática lo veremos al final de
la tutoría en formato cdf que es un formato auto ejecutable y en mis
tutorías veréis algunas partes en las tutorías en el material de las
tutorías en calabaza código escrito en matemática insisto el que no
tenga en matemática es relativamente fácil y como ejercicio os vendrá
muy bien pasar este código a máxima que es el lo que estáis estudiando
ahora en la primera parte de la asignatura de segundo cuatrimestre física
computacional 1 bien la velocidad en todo instante pues o bien usando una
herramienta de cálculo simbólico o bien a mano la velocidad es la
derivada respecto al tiempo de la posición en una herramienta como
matemática definiríamos la función velocidad otra vez abres corchete
depende de tiempo amplitud frecuencia y delta como la derivada de la
función x que hemos definido antes respecto del tiempo si ejecutas ahora
quien es vdt pues te da la derivada del coseno menos el seno muy parecido
lo podríais hacer en máxima sustituyendo los corchetes por los
paréntesis muy bien una vez que hemos definido la función vdt hacemos un
plot plot vuelve a ser abres corchete el nombre de la función y el
intervalo no obstante observar tanto en máxima como en matemática si
queréis hacer así la derivada y el plot pensar que ya hemos gastado el t
en la definición de la velocidad luego el recurso que hay que usar es el
paso de parámetros en matemática es barra punto donde t lo convertimos en
el símbolo tt por poner algo y tt es lo que varía ahora entre 0 y 5pi
esto se llama paso de parámetros a una función simbólica y el concepto
se usa tanto en matemática como en máxima como en maple como en derive
como en cualquier herramienta CAS bien pues con ese código obtendríamos
en verde aquí le he dicho que me dibujo en verde la velocidad y ya
rápidamente lo mismo sería con la aceleración tenéis el código si lo
queréis estudiar y la aceleración observar y que no lo he dicho antes que
la posición la velocidad y la aceleración del movimiento armónico simple
están relacionadas en la fase porque la fase de la velocidad está
aumentada pi medios respecto a la x de la posición y la aceleración pi
medios y por lo tanto pi respecto a la posición muy bien pues ahora una
pregunta quizá sea un poquito lo más difícil de este ejercicio
introductorio la pregunta es ¿es el ejemplo propuesto de movimiento
armónico simple un ejemplo físico? ¿qué quiere decir esta pregunta?
esta pregunta está puesta con toda la intención para que diferenciemos un
problema de movimiento armónico simple en el contexto matemático en el
contexto matemático cualquier objeto así obedece a la función que hemos
definido como movimiento armónico simple pero si ese movimiento armónico
simple tiene que ver con algún problema físico real esa amplitud que es
0,3 y ese delta que es pi sextos tienen que cumplir las ecuaciones que
ligan la amplitud y el desfasaje con las condiciones iniciales por lo tanto
o a mano o usando una herramienta de cálculo simbólico en matemática
sería SOLVE abre corchetes en máxima creo que también es SOLVE pero con
minúscula tanto máxima como matemática mayúsculas y minúsculas son
diferentes y quitáis corchetes por paréntesis en concreto en la notación
de matemática resuélveme un sistema de ecuaciones donde la primera
ecuación es la del desfasaje esta y la segunda es la de la amplitud coma y
entre llaves las variables x0 y v0 y dame lo máximo simplificado si
además te hago el paso de parámetros para que me des dándote yo los
valores delta igual a pi sextos a igual a 0,3 partido por mil en el sistema
internacional y la frecuencia angular a dos radianes partido por segundo
dame los valores numéricos entonces la herramienta te resuelve el problema
y te dice que hay dos soluciones este más sería un problema físico si
tienes esta posición y esta velocidad o esta posición inicial y esta
velocidad es decir cualquier condición inicial que no sea uno de estos
pares no sería físicamente un problema que te diera un movimiento
armónico simple físico una señal física que se pueda producir en el
laboratorio preguntas es muy importante en esta lección y en las que
vienen en este curso el concepto de condiciones iniciales que mañana
relacionaremos con la dinámica del más su ecuación diferencial perfecto
pues seguimos como siempre si queréis hacer alguna pregunta o si algunos
habéis incorporado un poco más tarde recordar que lo que tenéis que
hacer es en el chat escribir la pregunta y que yo me dé cuenta seguimos
bien pues lo que os decía antes además de observar que nosotros hemos
tomado un patrón para definir el más el patrón que hemos tomado es a por
coseno además de poder dar el más en el patrón a coseno en función de
la frecuencia natural o la frecuencia nube del periodo debemos de tener
claro que podemos dar ese más en función de otras formas trigonométricas
equivalentes aquí tenéis tres posibles el ejercicio dice las siguientes
ecuaciones representan la posición de una partícula animada de un
movimiento armónico simple encontrar la expresión del mismo movimiento
armónico simple según la definición dada el primer caso es este muy
parecido a nuestro patrón la única diferencia es el signo del desfasaje
el siguiente es en vez de coseno seno y el tercero es el más complicado en
vez de un coseno una combinación lineal coseno seno entonces lo que
tenemos que ser es capaz de pasar de las formas dadas de más la 1 la 2 o
la 3 a nuestro patrón y esto va a ser muy importante por lo menos en dos
tipos de cuestiones en los problemas cuando quieras usar fórmulas que os
vaya a dar en estas lecciones yo las voy dadas referenciadas al coseno si
vosotros tenéis un más en una forma que no es como el coseno por ejemplo
en la forma 3 pues lo primero que tienes que usar para usar esas
expresiones es pasar de tu forma 3 al patrón coseno y lo otro que es lo
más importante pues cuando comparéis resoluciones de movimiento armónico
simple disculpad un momento que me ha sonado el móvil vale pues volvemos
entonces como os decía cuando estéis trabajando con un texto donde no
haya referenciado el movimiento armónico simple como un coseno pues
podéis comparar los resultados de un ejercicio que viene dado el más como
una combinación coseno seno con vuestro patrón siempre de estos cambios
volvemos a la resolución el primer caso es sencillo nos dan una amplitud D
y un desfasaje menos phi y queremos identificar con una amplitud A en
coseno y un desfasaje delta pues la solución es evidente A es igual a D y
el delta del patrón coseno que uso es menos phi todo claro perfecto
sencillo no vale la siguiente señal f seno de omega 0 t menos phi se
supone que conocemos esta f conocemos esta w0 y conocemos este menos i y
queremos encontrar una amplitud equivalente y un delta equivalente en el
referencial coseno que estamos usando para el más muy bien pues entonces
lo que vamos a usar es la relación trigonométrica que coseno de A es seno
de A más pi medios muy bien pues por un lado yo tengo que la x que me dan
va como f seno y quiero llegar a un x que es A coseno de omega 0 t más
delta pues el coseno al que quiero llegar omega 0 t más delta lo pongo
como el seno del ángulo que tengo omega 0 t más delta más pi medios
debido a esta igualdad entonces identifico que este seno de omega 0 t es
seno de omega 0 t y delta más pi medios es el menos si que conozco luego
delta tiene que ser igual a menos el si que conozco más pi medios y por
supuesto las amplitudes f y A la misma esa sería la resolución de mi
sistema y el tercer caso que es el más complicado y pensar que estos tres
clases no son los únicos tres que hay igual que en este ejercicio tenéis
una combinación coseno seno podría haber otra combinación incluso coseno
coseno con un desfasaje múltiples combinaciones de las funciones
trigonométricas coseno seno en este ejercicio conocemos esta forma de más
y en vez de darla en función de b y c queremos darla en función de una
amplitud y un desfasaje inicial pues bien trabajaremos con la equivalencia
de la que me dan de esta que me han dado con esta otra de coseno de omega 0
t menos pi porque ya hemos visto antes como pasar de esta bien la relación
que vamos a usar trigonométrica es que el coseno de la diferencia de A
menos b de dos ángulos es el producto de cosenos más el producto de senos
bien pues para usar esa relación cojo la forma a la que quiero llegar de
coseno de frecuencia por tiempo menos fi y desarrollo el coseno como coseno
del primero por coseno del segundo más seno del primero por seno del
segundo estamos usando esta relación y ahora exigimos que esta igualdad
que esta igualdad cumpla que sea igual a esta ahora queremos resolver que
esta ecuación sea igual a esa ese es mi objetivo bien pues factorizando en
los términos coseno de omega 0 t y seno de omega 0 t la ecuación anterior
me queda que esta ecuación se tiene que cumplir en todo instante de tiempo
si la ecuación se cumple en todo instante de tiempo se cumplirá en
particular en t igual a cero donde el seno es cero y en t igual a pi
partido dos omega cero donde el coseno es cero en t igual a cero entonces
lo que me quedará es este término b menos dos coseno de fi por uno igual
a cero de aquí obtengo la relación b igual a d coseno de fi y en el otro
instante de tiempo se me anula el coseno me queda c menos d seno de fi
igual a cero por lo tanto obtengo la relación c igual a d por el seno de
fi como aquí tengo seno y aquí tengo coseno seno cuadrado es uno puedo
obtener las relaciones la amplitud que ando buscando en la raíz cuadrada
de las amplitudes b y c al cuadrado que conozco y la tangente de fi del
desfasaje en la normalización a la que quiero llegar es c partido por b
por lo tanto fi será la arcotangente de c partido por b ¿alguna
observación o pregunta? Muy bien pues el resultado de lo que he obtenido
es repasemos las cuentas yo tenía un más dado por esta expresión y lo se
pasar a este más siempre que d cumpla esta relación y que la tangente de
fi cumpla esta relación donde c y b son conocidos una vez que he escrito
el más en la forma d por coseno menos fi se pasará la forma referencial a
coseno de omega cero t más delta donde d es a y menos fi es delta y la
solución entonces en el referencial a coseno de omega cero t más
desfasaje no menos desfasaje será que a es igual a d igual a la raíz
cuadrada de b cuadrado más c cuadrado y delta es menos la arcotangente de
c partido por b pues este ejercicio ya os sirve como una forma de pensar
para cualquier otra combinación lineal de cosenos y senos donde tendréis
que buscar a lo mejor en vez del coseno de la diferencia de los ángulos el
seno de la diferencia de los ángulos muy bien si no tenéis a mano un
libro en el momento que estais haciendo un problema de las identidades
trigonométricas en esta transparencia os las he puesto algunas importantes
y en general en la misma wikipedia pues tenéis las relaciones
trigonométricas usuales y si en el momento estáis con un ordenador
trabajando pues no hace falta ni que busquéis un libro bien la velocidad y
la aceleración del más ya lo he comentado y lo hemos visto antes en el
problema la velocidad es la derivada de la posición la aceleración es la
derivada de la velocidad aquí se ve un poquito mal en rojo estaría la
posición la velocidad adelantada pi medio respecto a la posición en azul
y en verde en este mismo gráfico la aceleración adelantada respecto a la
velocidad y pi respecto a la posición en las derivadas en la primera
derivada aparece la frecuencia en la segunda la frecuencia natural al
cuadrado por lo tanto aquí os comento que tanto la posición, la velocidad
y la aceleración son funciones y no necesidades del tiempo y sus
amplitudes están en la relación 1 para la posición w0 1 o a o a w0 o a
w0 cuadrado para la aceleración el adelanto de pi medios de velocidad
respecto a la posición y de pi respecto a aceleración a la posición muy
bien en esta siguiente transparencia vamos a ver la relación entre el
movimiento circular uniforme y el movimiento armónico simple el movimiento
circular uniforme podemos considerar que tenemos una partícula de masa m
aquí tenéis una visualización y la partícula de masa m está dando
vueltas en un círculo de radio r constante con un ángulo inicial que
forma el radiovector posición que va de o a la partícula r en el instante
inicial el radio estaba aquí forma un ángulo delta y para cualquier
instante de tiempo el ángulo ha variado de su posición inicial a donde
está en ese instante de tiempo un ángulo tecta de t pues bien x puedo
llamar a la proyección del vector om en el eje de las x esto de aquí
sería x esa x es r por coseno de un ángulo el ángulo tecta de t que
hemos definido antes pero tecta de t voy a considerar un movimiento
circular uniforme el ángulo, el espacio angular es la velocidad angular
por el tiempo más el desfasaje donde en t igual a 0 tecta es el desfasaje
y recuerdo que la velocidad lineal de un movimiento circular es su
frecuencia angular por el radio por lo tanto podemos decir que el
movimiento circular uniforme se relaciona con el más porque o bien su
ascisa en coseno perdón, si, o bien su ascisa en coseno o bien su ordenada
i podría haber hecho la construcción para la ordenada i obedecen un
movimiento armónico simple es decir voy a borrar podría ver que lo que
hace la ascisa de la posición de m respecto de o es esto en cada instante
de tiempo o la ordenada hace esto, preguntas? se entiende la analogía
movimiento circular uniforme movimiento armónico simple muy bien estas
analogías las podéis tener en construcciones en particular hay apple java
hay muchas simulaciones y recursos en internet hoy en día aquí me he
centrado en este sitio web demostraciones de word rank com donde tenéis
demostraciones hechas pues de física, de matemáticas muy interdisciplinar
hechas con matemáticas en particular demostraciones hechas con el programa
matemática de movimiento armónico simple y os podéis bajar en ficheros
de formato cdf formatos auto ejecutables de matemática si se ha programado
lo que se tiene que ejecutar de la analogía movimiento armónico simple en
este caso con un muelle que oscila verticalmente y la analogía con
movimiento circular uniforme con el movimiento oscilatorio de un pistón en
un fluido estos formatos cdf los bajáis y lo abrís con un visor gratuito
no hace falta que tengáis matemática de pago y podéis trabajar con ellos
al que no le guste la matemática pues simulaciones equivalentes hay en el
lenguaje java del lado del cliente bien pues vamos a introducirnos en la
parte de la lección donde vamos a hablar de la representación de fresnel
o fasores disculpad pero parece que tengo un terremoto un segundo sigue
oscilando la habitación nunca había sido tan apropiada un terremoto dando
una clase de vibraciones parece que no se cae nada seguiremos dando la
clase yo en Albacete a ver por casualidad indicar de dónde estáis Madrid
en Vizcaya también Palma de Gran Canaria pues esto ha sido gordo lo
habéis escuchado en el norte un poquito después que en Albacete es al
revés bueno vamos a seguir esperemos que no sea el incipiente fin del
mundo bien pues en la representación de fresnel y de fasores vamos a
considerar una forma vectorial equivalente y muy importante en muchas
asignaturas de física y en muchas aplicaciones de la física en
ingeniería como son los vectores giratorios o vectores de fresnel nosotros
acabamos de ver que si consideramos que una partícula está dando vueltas
movimiento circular uniforme tanto la x como la y que son las proyecciones
del vector op en el eje x o en el eje y tanto la x como la y obedecen a un
más entonces vamos a caracterizar un fasor por la amplitud del más y el
desfasaje inicial de forma que la ecuación de composición la ecuación de
composición será que el movimiento armónico simple es un fasor que lo
tenemos que definir multiplicado por toda la parte que tiene la dependencia
en el tiempo y ese más expresado así el fasor por una exponencial
imaginaria donde está la frecuencia natural y el tiempo pertenece a los
complejos la idea del fasor es escribir la señal del más como la parte
real de una magnitud compleja donde tengo factorizado lo que depende del
tiempo en una exponencial y lo que no depende del tiempo en otra
exponencial para poder hacer esto usaremos la relación de Euler que en
palabras de Feynman os suena a Feynman todos os conocéis a Feynman os
suena la biblia la bibliografía de Feynman Lectures on Physics hay
traducción en español todo el mundo conoce a Feynman posiblemente yo
diría que junto a Landau ¿Landau os suena? Feynman por Estados Unidos
Landau por la antigua Unión Soviética los dos físicos más notables de
la segunda mitad del siglo XX de alguna manera uno es el reverso de otro
desgraciadamente Landau malorgado muy pronto se quedó muy tocado en un
accidente de tráfico pues Feynman y Landau segunda mitad de la física del
siglo XX bien, Feynman en sus míticas lecturas o lecciones de física en
el capítulo 22 introduce un capítulo de álgebra en su tomo 1 de
mecánica un capítulo de álgebra en el volumen 1 motivado por la
relación de Euler y aquí explica que podría pasar por encima de la
relación de Euler sin hacer mucho más comentario pero la ciencia además
de ser práctica tiene que tender a ser bella y eso le lleva a introducir
un capítulo en su libro tomo 1 para especificar bien la relación de Euler
nosotros vamos a ser un poquito más cortos recordamos que la relación de
Euler nos dice que elevado a la unidad imaginaria que he llamado i por un
ángulo tecta es coseno de tecta más i seno de tecta la relación de Euler
nos pone la exponencial como una combinación imaginaria de cosenos y senos
y luego tenemos que tener en mente la representación polar de un número
complejo como x parte real y veces y parte imaginaria pues con ese
armamento podremos describir los fasores de la siguiente manera e elevado a
i cero es 1 e elevado a i pi cuartos como tenéis coseno de 45 más i seno
de 45 siempre estamos usando la relación de Euler e elevado a i pi medios
que sería la unidad imaginaria i e elevado a i pi estamos en esta parte
menos 1 e elevado a i 2 pi igual a 1 esta representación la conocéis de
otros cursos para nadie es nuevo esto ¿conocéis esta representación de
la relación de Euler? si no pues la estamos repasando por eso ok muy bien
pues armados de este álgebra vamos a llamar fasor voy a inventarme un
vector a que tiene componentes x e i y ese vector a podría ser
perfectamente este la posición de la partícula en el movimiento circular
a coseno de tecta seno de tecta pero cada ángulo tecta que vale el ángulo
tecta solo hay uno vale omega t más el desfasaje aquí he llamado epsilon
omega t más el desfasaje y ahora de todo este vector quien es el más
recordar que el más solamente es la proyección en el eje de las x lo que
para un número complejo será su parte real el más es a coseno de omega 0
t más epsilon pues ¿a qué llamaremos fasor? fasor llamaré al vector a
sin la dependencia en el tiempo por lo tanto será a por coseno de epsilon
seno de epsilon la proyección en el eje de las x a coseno de epsilon de
esta manera yo podré definir que un vector a que depende del tiempo y de
la frecuencia es módulo de a por elevado a la unidad imaginaria por el
ángulo tecta función del tiempo el ángulo tecta es omega t más epsilon
pues puedo despejar, puedo descomponer en esta igualdad el módulo del
vector la exponencial, la suma de exponenciales ese producto exponencial es
la exponencial del tiempo por la exponencial del desfasaje y a esta
cantidad a la que no tiene la frecuencia le llamaré fasor y el más será
la parte real del producto de la exponencial que depende del tiempo por el
fasor que no depende del tiempo aquí lo tenéis, x de t que por
definición es esto será la parte real de esto que es la real del producto
de la exponencial que depende del tiempo por lo que he llamado fasor ¿qué
se consigue con los fasores? para problemas pensar por ejemplo en teoría
de circuitos para problemas donde la frecuencia siempre es constante pues
trabajas sin la dependencia funcional en el tiempo como si trabajaras con
números complejos eso es lo que por ejemplo habéis hecho si lo habéis
hecho ya en el curso pasado al resolver circuitos de alterna ¿de acuerdo?
¿se entiende el concepto de fasor? ¿de acuerdo? muy bien pues ahora desde
el punto de vista de la relación de Euler y del cálculo vamos a ver que
el uso de fasores es bastante aconsejable para facilitar el trabajo de
cálculo si consideramos generar una función compleja z de t como un
módulo por e elevado a un ángulo que depende del tiempo en la forma
lineal omega cero t más delta y descomponemos la exponencial suma en
producto de exponenciales podemos observar que cada vez que yo derivo
respecto del tiempo aquí tenéis la relación derivar respecto del tiempo
es como multiplicar por e elevado a i pi medios pues muchas veces lo que
puedes hacer y eso es básicamente lo que hacíais en alterna es hacer
operaciones añadiendo exponenciales que significan operaciones de cálculo
en derivadas como el ejemplo que tenéis aquí eso junto con el álgebra de
números complejos es lo que nos va a permitir usar los fasores, recordemos
un poquito el álgebra de complejos y definir estos números complejos en
este caso funciones del tiempo z1 y z2 aquí ya hemos descompuesto las
exponenciales como producto pues bien tenemos bien definida la suma y la
resta sacando factor común la dependencia en el tiempo y quedándonos
solamente con el fasor 1 y con el fasor 2 porque la frecuencia es la misma
y tenemos perfectamente definido el producto sacando siempre la exponencial
en el tiempo factor común y también tenemos definido el cociente en
términos de sacar el factor común de la exponencial si hacemos el
producto pues nos aparece una suma en las exponenciales de los fasores y si
hacemos la división nos aparece una resta o si no menos en las
exponenciales voy por aquí rápido porque yo creo que todo esto suena
verdad ahora la idea básica con las que nos vamos a quedar es la siguiente
siempre que yo tenga una señal z de t módulo de z por e elevado hay veces
un ángulo donde el ángulo es omega cero de t más delta voy a descomponer
en un fasor que es lo que tengo aquí puesto en rojo z por e elevado y
delta y una parte que ya no pertenece al fasor que es la dependencia en el
tiempo entonces mi señal z de t ¿cómo la veré? como multiplicar un
fasor por una exponencial al derivar respecto del tiempo mi señal z de t
que es fasor por exponencial derivar una vez respecto al tiempo es
multiplicar mi señal fasor por exponencial en el tiempo por el número y
veces la frecuencia e integrar, así haré el cálculo de la exponencial de
t de z de t que es fasor por la exponencial del tiempo es equivalente a
coger el fasor por la señal del tiempo y dividirla por i veces la
frecuencia natural derivar es hacer esto en fasores integrar es la
operación dividir por 1 partido Iw0 ¿de acuerdo? tener en mente cuando
haya que usar fasores en cálculo estas dos relaciones ¿ok? seguimos bien
daros cuenta que todo esto que parece matemáticas tiene grandes
aplicaciones incluso en la física aplicada que es la ingeniería por
ejemplo consideremos lo que es la corriente trifásica un sistema
trifásico es un sistema de producción distribución y consumo de energía
formado por tres corrientes monofásicas de igual frecuencia y amplitud es
como si jugáramos con los conocidos de circuitos con tres generadores de
alterna pero de fasados 120 grados el esquema de un circuito de trifásica
el más sencillo posible sería pues aquí tenemos tres cargas tres
resistencias aquí tenemos el generador V1 que da una corriente I1 el
generador II que da una corriente I2 creo que las corrientes corrigieron
las notas que hay una pequeña rata si aquí pone I1 aquí debería de
poner un 1 el I2 el II está bien el III aquí debería de poner 3 cada
intensidad va a pasar por una carga una resistencia diferente y aquí
tenemos un nudo donde las tres corrientes la III, la II y la I nos van a
dar una sola corriente se cumple la conservación de la carga y la
corriente que se llama corriente de retorno sería la suma de estas tres
vamos a ver que al sumar esas tres señales de trifásica de fasadas en
voltaje 120 grados mirad que aquí pongo V1 será una amplitud V0 la pongo
aquí la V2 de fasada 120 grados está aquí la V3 de fasada otros 120
grados está aquí en términos de esos voltajes éstas serían los tres
fasores donde he quitado la dependencia del tiempo W0 que es la los hercios
de la red que es común a las tres señales vamos a ver que el hecho de
generar la suma como tres generadores independientes de fasados 120 grados
tiene relevantes propiedades por eso se hace así en la producción
industrial de energía porque si ahora yo me quiero calcular la intensidad
por la ley de Ohm cada intensidad será cada voltaje y estoy en el caso
sencillo donde las tres resistencias son iguales aquí tengo V1, V2 y V3
¿y cuánto vale la corriente de retorno? esta corriente de retorno sería
la suma de estas tres señales que al estar de fasadas 120 grados una
respecto a otra nos da 0 eso que hace en el caso ideal asegurarnos que la
corriente de retorno es 0 no vuelve prácticamente corriente a la
suestación y lo que tienes es que toda la intensidad se va a consumir en
las resistencias ¿qué genera eso? un ahorro por ejemplo en desgaste de
material en corrientes de retorno ¿se entiende un poquito el ejercicio? la
relación de fasores con una cosa que parece muy industrial como la
corriente trifásica ¿alguna pregunta? muy bien pues seguimos vamos a
considerar ejercicio 3 recordad que mi notación es problema p de problema
tutoría virtual 1 tercer problema que estamos viendo en la tutoría
virtual y se correspondería con el problema del french propuesto el 1,1
considerar un vector z definido por la ecuación z igual a z1 por z2 siendo
z1 en polares ab y z2 cd en polares a demostrar que la longitud de z es
igual al producto de la longitud de z1 y z2 b demostrar que el ángulo
comprendido entre los ejes z y x es la suma de los ángulos que forman por
separado z1 y z2 con x muy bien, pues vamos al primero z1 es ab en polares
como magnitud compleja a más i por b z2 c más i por d ¿qué será z1 por
z2? multiplicar los dos números complejos, separamos parte real y parte
imaginaria bien, nos puede ayudar gráficamente ver la representación de
z1 la representación de z2 y ahora ¿quién será z1 o z2, el producto?
pues si aquí pongo el vector z1 o z2 esta es su parte real esta es su
parte imaginaria y el arco tangente de la arcisa perdón, de la ordenada a
partir de la arcisa me daría este ángulo si no necesitara calcular muy
bien, pues nos piden demostrar que la longitud de z su norma es igual al
producto de cada uno bien, la longitud del producto z1 por z2 será la
norma el módulo de este vector complejo, por lo tanto la norma de z1 y z2
es la raíz cuadrada de la parte real al cuadrado más la parte imaginaria
al cuadrado, desarrollamos esto y vemos por construcción que es el justo
z1 por z2 donde z1 es la raíz cuadrada al cuadrado más b al cuadrado y z2
la de c al cuadrado más d al cuadrado ¿problemas? ¿se entiende? luego
pensar que estas notas las vais a tener pues seguimos muy bien, vamos ahora
a demostrar que el ángulo comprendido entre los ejes z y x, este ángulo
es la suma de los ángulos que entra en el producto por separado de z1 y de
z2 bien, pues el módulo de z es z1 por z2 y z como producto usando la
relación de Euler es z1 por la exponencial del primer ángulo y z2 por la
exponencial del segundo ángulo que me queda el producto de los módulos
por la exponencial de la suma el producto de los módulos es el módulo que
ya he calculado y la suma de ángulos es el ángulo θ3 que quiero obtener
pues ya he demostrado que θ3 el ángulo que tengo que poner aquí es
simplemente la suma de θ1 más θ2 mirad lo fácil que es hacer esta
demostración usando la relación de Euler por relaciones de geometría
pura y dura sería algo más complicado bastante más complicado
¿preguntas? bien, pues vamos a hacer el siguiente problema el problema 1.6
del French el cuarto que es a partir de la relación de Euler obtener la
representación geométrica d elevado a menos i θ seno de θ y coseno de
θ bien, en el French problema 1.6 el enunciado es el que os he comentado y
vamos a saber, como siempre estamos trabajando con la relación de Euler
¿y quién será el número e elevado a menos i θ? será coseno de menos
θ más i seno de menos θ pero el coseno del ángulo opuesto es el mismo
coseno de θ y el seno de menos θ es menos seno de θ luego e elevado a
menos θ es coseno de θ menos i seno de θ lo podemos dibujar entonces
aquí tenemos el seno perdón el número complejo e elevado a i θ y aquí
tenemos el número complejo elevado a menos i θ teniendo en cuenta eso
pues ahora si sumamos obtenemos la relación para el coseno y si restamos
la relación para el seno sería ésta coseno de θ es un medio al sumar
aquí se nos van los senos un medio de e elevado a i θ más e elevado a
menos i θ y como vector esto es e elevado a i θ esto es e elevado a menos
i θ como tiene un medio la suma te da coseno de θ y lo mismo para el seno
de θ si ahora en esta relación en vez de sumar rectas obtienes que el
seno de θ es igual a 1 partido 2i por e elevado a i θ menos e elevado a
menos i θ del diagrama anterior sabemos quien es e elevado a i θ esto es
e elevado a menos i θ quien será menos e elevado a i θ el opuesto de
éste el opuesto de éste es éste con parte real menos coseno y con parte
imaginaria seno la suma de los dos como aquí hay el factor 2 partido de i
nos queda seno de θ ¿alguna pregunta? muy bien pues seguimos el siguiente
problema que vamos a hacer el 5 de esta tutoría es el problema propuesto
en el french el 1.8 en el libro que dice utilizando las representaciones
vectoriales de su único seno comprobar las siguientes identidades
trigonométricas la identidad a, la b y la c bien pues entonces si la que
queremos demostrar en primer lugar o comprobar que se cumple más que
demostrar ésta pues el seno cuadrado lo puedo poner como el seno más i
coseno multiplicando al seno menos i coseno ahora cada uno de estos dos
números complejos los pongo en la relación de Euler y me queda que la
multiplicación de las exponenciales es la exponencial de la suma y como el
ángulo es el mismo cambiado el signo me queda elevado a cero que es 1 lo
hemos demostrado en la primera voy a usar la relación la relación
importante para la demostración de las dos es esta relación de aquí e
elevado a i tecta al cuadrado es e elevado a 2 i tecta bien pues usando esa
relación coseno de tecta más i seno de tecta al cuadrado usando esta
relación es coseno de 2 tecta más i seno de tecta pues ya lo hemos
demostrado y por otro lado coseno cuadrado de tecta menos seno cuadrado de
tecta si desarrollo este cuadrado más 2 i coseno de tecta seno de tecta
será igual a lo que tengo aquí que es coseno de 2 tecta más i seno de
tecta igualo la parte real obtengo esta expresión igualo la parte
imaginaria y obtengo esta expresión ojo que para otras relaciones
trigonométricas en vez de usar esta relación usaríais a un exponente n
el que fuera elevado a i n tecta elevado al cuadrado es e elevado a 2 tecta
que es la unidad imaginaria preguntas seguimos bien el siguiente problema
el problema 6 que vamos a hacer es el problema 1-9 del french yo diría
modificado en enunciados ya tenemos euros y quedaría algo así estaría
usted dispuesto a pagar 200 euros por un objeto que ha sido valorado por un
matemático con un valor de i elevado i euros pues vamos a ver como
resolver el problema de lo que se trata es saber elevado a y pi medios, es
e elevado a menos pi medios, que aproximadamente son 0.2079. Entonces el
problema se ha convertido ahora en el siguiente enunciado. Se trata de
pagar 200 euros por un objeto cuyo valor es de 0.2079 euros. Digamos que el
problema, un problema clásico de física, cuando se hizo el Frens hace 30
años, pues sería decir, no, no se va a pagar por algo que vale 200 euros
0.2079. Pero la contestación depende, ¿no creéis? Depende, o no. Si en
vez de aplicar el rigor matemático de no pagar algo por algo más de lo
que vale, intentamos hacer física social, lo que hoy en día se llamaría
sociofísica, quizá tuviéramos estas alternativas. Entonces, si es usted
un liberal, en el sentido económico del término, la respuesta
evidentemente sería no. Si es usted socialista, en el sentido económico
del término, pues depende que sí. Desde el punto de vista socialista hay
que subvencionar cosas. Pensar, por ejemplo, en las energías llamadas
verdes. Y si es usted comunista, hay poco margen de duda, lo que diga el
jefe. Piénsese en la economía en Venezuela. Aunque esto es un poco una
broma, lo importante es notar que hoy en día, desde hace 15, 16 años, la
física se ha metido en el mundo de contestar este tipo de preguntas. ¿A
qué tipo de preguntas? A preguntas que vienen de los sistemas sociales y
de los sistemas económicos con el desarrollo de dos disciplinas, hoy en
día todavía más un arte que unas ciencias consolidadas, como son la
econofísica y la sociofísica. Por ejemplo, aquí tenéis la captura de
pantalla. La pantalla de uno de los primeros congresos de sociofísica,
pues fue en mayo de 2008, donde os define lo que quiere o lo que pretende
hacer la sociofísica. Básicamente, la sociofísica, desarrollada por un
físico francés, uno de los pioneros en este campo, Seth J. Gallam, es la
aplicación de modelos fenomenológicos de la mecánica estadística a la
resolución de problemas sociales. Y la econofísica, es lo mismo, pero a
problemas económicos. Aquí tenéis algunas publicaciones en sociofísica,
incluso aplicación de fenómenos de sociofísica, el fenómeno de la
percolación a la modelización de acciones terroristas. Hoy en
sociofísica hay dos tendencias, una sería la sociofísica y otra la
sociodinámica. La sociodinámica viene de la escuela de física teórica
alemana, trabaja no con fenomenología, sino con modelos. Con la ecuación
maestra, la sociofísica es buscar un modelo que haya funcionado en algún
problema, como la percolación, en mecánica estadística y aplicarlo por
analogía a algún problema físico y económico. Muy bien, esto junto al
desarrollo del paradigma de redes complejas, desarrollado por el
matemático Stroga y por el físico y economista Dukan Bach, Bach hizo su
tesis, aquí tenéis la publicación de su tesis, que es el mundo pequeño.
Después de hacer un grado de tres años de física y, digamos, un máster
en economía. Stroga la dirigió a la tesis, aquí tenéis el libro de
referencia de este autor, Noria Dinámicas y Caos, es alguien que viene de
la matemática aplicada al caos, libro de divulgación, libro de tesis,
libro de divulgación. Pues el paradigma de las redes complejas es otra
notable aportación incorporada en el campo de la econofísica y la
sociofísica, pensar que el artículo de 1999, Redes, dinámica y el
fenómeno del mundo pequeño, perdón, me estoy equivocando, el artículo
que quería decir es el otro, el artículo de Bach y Stroga, Colectiva
Dinámicas de Redes Mundo Pequeño, publicado en Natchar, con esta
referencia, fue el artículo más citado sobre redes en el decenio 90,
1998-2008, y el sexto más citado en física, considerando todas las áreas
de la física. Bien, pues ya que estoy estudiantes de segundo, que estas
cosas os vayan sonando, hoy en día un físico puede hacer otras cosas de
las que se hacían hace 15 años, y un buen ejemplo lo tenéis este
maravilloso libro que os recomiendo, la versión en español se llama
Cuando los físicos asaltaron los mercados, en inglés el libro se llama La
física de Wall Street, este es el autor del libro, y en el libro podréis
descubrir la contribución de la física a los modelos económicos y su
incidencia en la crisis, en particular en la crisis de la subprime de 2008,
y descubriréis a este señor que yo desconocía hasta que leí este libro,
James Simmons, hasta 1974, profesor del Instituto Tecnológico de
Massachusetts, especializado en física teórica, en unas ángebras muy
raras, que da la casualidad que físicos de teoría de cuerdas las usan, su
rama de investigación en las formas características e invariantes
geométricas, cuando se jubila monta con, a finales de los 70, monta con un
colega matemático una empresa, hoy en día operativa, se llama
Renacimiento, esta empresa es la única empresa que asesora en bolsa en
Wall Street, que no ha tenido jamás pérdidas, ha tenido menos ganancias,
pero nunca ha tenido pérdidas en asesoramiento de inversores, tiene 200
empleados, un tercio son doctores en física y matemáticas, y su norma es
no contratar doctorados en economía, la norma de esta empresa es que no
hay economistas trabajando con ellos. En una conferencia del MIT, este
profesor del MIT dijo que el mejor departamento de física y matemáticas
del mundo es, que yo creo que es un exceso, pero no deja de ser interesante
el comentario, es la empresa Renacimiento. Aquí tenéis lo que se
encuentra en Wikipedia sobre esa empresa. Pues ahora vamos a hablar de las
oscilaciones, diréis que tiene un poquito que ver esto, pues en el fondo
todo lo que tiene que ver con la sociofísica, econofísica y redes
complejas son oscilaciones en sistemas dinámicos. Y que se conozca esto
una vez que estéis viendo ya una primera asignatura en serie sobre
vibraciones y ondas. Vamos a hacer un pequeño descanso de cinco minutos y
volvemos para la siguiente hora. ¿Os parece? Cinco minutos de descanso,
¿de acuerdo? Y volvemos. ¿Ok? ¿Queda claro? Pues cinco minutos de
descanso. Ponemos la sintonía y descansamos.