Bueno, pues entonces hoy vamos a hacer muy pocos ya más problemas, porque
yo creo que ya, mientras que se hacen aquí en clase, más no es de estos,
de la colección de problemas resueltos, de que tienen con esto nada más,
que es más que suficiente. Entonces, este problema que traje hoy, uno es
relacionado con la dinámica del punto ligado, pues que es uno de los
últimos temas de la asignatura de mecánica 1, porque a partir de aquí ya
es materia de esto, de mecánica 2, siguiente curso. Bueno, este problema
dice lo siguiente. Un punto de masa m que corre con velocidad constante v,
la curva sin rozamiento de ecuaciones x igual a r por alfa menos seno de
alfa y igual a r por 1 menos coseno de alfa. Lo primero que tenemos que
ver, aunque no es este tipo de problemas necesario, pero sí es muy
conveniente, es saber identificar las ecuaciones con las... ...con la
curva. Repito, no es necesario en este problema. En otros, en este no. Pero
bueno, está muy fácil identificar porque son las ecuaciones paramétricas
típicas de una curva llamada epicicloide, que es la que está dibujada
ahí a la derecha. Sabiendo que en todo punto se cumple que el módulo de
la reacción normal a la curva coincide con el peso del dictado punto, por
lo tanto, esta masa... ...m es pesada, tiene peso. Entonces nos dice,
calcular en función del parámetro alfa, la fuerza f que está sometida al
punto y las componentes de la reacción m. Bueno, el parámetro alfa ya
sabemos, debemos recordar de geometría analítica que esta curva
epicicloide es la que generaría una circunferencia de radio r... ...que
rodara sobre el eje de las x. ...de las x, poniendo que es el suelo, el eje
de las x. Y la circunferencia de radio r tiene un punto marcado en su
periferia y la vamos rodando empezando ese punto en el punto o, en el punto
cero cero. La vamos haciendo rodar hacia la derecha y ese punto nos iría
marcando lo que es la curva epicicloide. Y el ángulo alfa es el ángulo
que gira el radio de esa circunferencia generadora de la epicicloide a
medida que va rodando. Tampoco hace falta saber, eh, pito, que tengo que
revisar toda la geometría analítica para saber identificar una curva a
través de otras ecuaciones. Bueno, no, no es absolutamente... Hombre, para
otros niveles de mecánica sí, pero para estos de la humedad en principio
no es necesario. O sea, aquí pondríamos cualquier curva y nos daría
igual. No sabríamos lo que es alfa. Sabemos que es un parámetro que
está... Por ahí, pero no sabemos qué pertenece, ni geométricamente qué
significa, pero bueno, vamos a verlo. Bien. Esto, lo primero que tenemos
que hacer entonces es dibujar o bien la curva real, si la conocemos, como
hemos dibujado ahí, o si no, una curva hipotética cualquiera que nos dé
la gana. Y sobre esa curva, pues, dibujamos la partícula, el llamado de
Moët. Esta partícula, según el enunciado del problema, tiene un peso.
Por lo tanto, el peso será siempre vertical en el sentido de las
negativas. Y ahí está dibujado con ese vector que hemos colocado. Esta
partícula tiene una velocidad. La velocidad de la partícula, como
siempre, pues, ha de ser tangente a la curva, a la trayectoria descrita por
esa partícula. Por lo tanto, tiene un vector que coincide con la
dirección de la tangente a la curva en ese punto. Y sobre esa partícula,
además, para que esta partícula se mueva, hemos de estar ejerciendo una
fuerza F, que no sabe ni su dirección ni siquiera su modo. Es precisamente
uno de los datos que nos pide el problema. Pero, además, la curva sobre la
que se mueve esa partícula M ejerce una reacción sobre la partícula. Una
reacción que ahí se ha pintado. En realidad debería ser al revés.
¿Sí? ¿La ha pintado al revés? No tiene. Esto. La podría haber pintado
hacia arriba, que sería lo más lógico, porque es la acción que ejerce
la curva sobre la partícula. Pero bueno, me da igual. La he pintado hacia
abajo. Le voy a ir dos. A medida que vaya avanzando el problema, pues, si
está mal dibujada, me lo dará el sentido del resultado. Me dirá que es
negativo y, por lo tanto, habrá que ponerlo en el sentido de... O sea, no
tiene... La mayor importancia es ponerle un sentido u otro. Lo que sí
tiene importancia es que vaya bien la dirección. Y la dirección de la
normal a una curva o a una superficie, la reacción de una superficie sobre
una partícula o sobre un cuerpo, o de una línea, como es este caso, sobre
una partícula o un cuerpo, es siempre normal a la superficie. Siempre y
cuando no haya rozamiento. Porque si hay rozamiento, entonces ya no es
normal. Pero aquí, como nos dicen que es una curva sin rozamiento, pues
evidentemente eso quiere decir que la reacción, la fuerza que está
ejerciendo la línea sobre la partícula, para que la partícula se mueva
sobre él, precisamente, es una reacción normal. Por tanto, su dirección
ha de ser perpendicular. A la dirección del vector que nos representa la
velocidad. Bien. Entonces, dibujar eso ya tenemos avanzado un paso
estupendo. Es el primer paso a realizar. Y el segundo ya es plantear las
ecuaciones de equilibrio. Porque aquí lo que me pide es que determine esa
fuerza n y la reacción que ejerce la línea sobre la partícula m, que
hemos llamado n, nos piden que calculemos esas fuerzas. Bueno, pues
obviamente la suma de todas esas fuerzas ha de ser igual a la masa por la
aceleración que lleva la partícula en cada punto de la trayectoria,
aplicando la segunda ley de Newton. Por lo tanto, hagámoslo. Digamos, suma
de las fuerzas que se ejercen a la partícula incluidas las reacciones y el
peso, no sobrevivimos al peso, ha de ser igual a masa por la aceleración.
En este caso, tenemos que fijarnos en dos cosas. Primero, la aceleración
de la partícula ha de coincidir con la aceleración normal. Es decir, ha
de coincidir con la normal a la curva. ¿Por qué? Pues si le demos un
problema, vemos que nos dice, que la aceleración tangencial es nula. No
nos lo dice así explícitamente el problema, pero sí nos lo dice
implícitamente. Cuando dice que se mueve con una velocidad v constante, ya
sabemos que la aceleración tangencial es la derivada del módulo de la
velocidad con respecto al tiempo. Si la velocidad tiene un módulo
constante, la derivada respecto al tiempo de una constante es 0. Por tanto,
la aceleración tangencial es 0. ¿Cómo sabemos que en cualquier
movimiento de una partícula o de un cuerpo tienen lugar siempre dos tipos
de... podemos descomponer su aceleración en dos tipos de aceleraciones,
que se llaman aceleraciones intrínsecas. Una es en la dirección tangente,
llamamos tangencial, y otra en la aceleración normal, particularmente la
tangente, que llamamos normal. Pues aquí esa descomposición, como fruto
de esa descomposición, tenemos que la aceleración tangencial es 0 y que
la aceleración normal es la aceleración de la partícula. Y la segunda
cosa en que nos debemos fijar es que la reacción n también ha de ser
normal a la curva, como hemos dicho antes, puesto que no hay rozamiento.
Aquí nos dice el problema que no exista rozamiento. Si existiera
rozamiento, la reacción que ejerce la curva sobre la partícula ya no
sería en la dirección normal a la curva. Sería... en otra dirección que
no sabemos cuáles habría que determinar. Pero aquí ha de ser normal
puesto que no hay rozamiento. Muy bien, pues ahora planteamos las
ecuaciones de equilibrio dinámico, es decir, la segunda ley de Newton.
Suma de fuerzas igual a masa por afectación. Y de la teoría, sobre todo
de mis grabaciones, os recomendaba hacer lo que llamábamos un diagrama de
sólido libre, que era poner en la parte izquierda del diagrama las fuerzas
a que está sometida la partícula y descomponer o proyectar esas fuerzas
según las direcciones x e y. Y en la parte derecha del diagrama poner esas
generaciones y descomponerlas a sí mismas en los ejes x e y. Y luego
igualar ambos lados de este diagrama de sólido libre. Bueno, es lo que
hemos hecho aquí, lo que pasa es que no hemos pintado el sólido libre. Ya
está pintado ahí arriba en la figura, ya hemos pintado las fuerzas y no
hemos pintado la aceleración, pero sabemos que la aceleración es normal
por tanto ha de coincidir en dirección con L, una normal L, por tanto ya
nos evitamos hacer eso. No... Yo la teoría es decir, no os evitéis hacer
esto nunca porque primero si lo hacemos no nos vamos a equivocar y segundo
estamos seguros de que estamos entendiendo lo que estamos haciendo. Pero
bueno, una vez que ya has hecho muchos problemas de éste pues ya
prácticamente te puedes pasar sin hacer ese diagrama de sólido libre y ya
tenedlo en la mente con esa solución. Y es lo que hemos hecho. Entonces
planteemos las ecuaciones de equilibrio dinámico y las planteamos siempre
según los ejes x e y, proyectando fuerzas y aceleraciones según los ejes
x e y. Y es lo que hemos hecho aquí. Primero, suma de fuerzas,
vectorialmente claro, como hay tres fuerzas nada más. La fuerza F
desconocida, la fuerza normal que es desconocida aunque salga de su
dirección y la fuerza del Pw que es conocida su módulo y su dirección. Y
la suma de todas esas fuerzas que sea la resultante de ellas ha de ser
igual a masa por aceleración. Que en este caso como la aceleración
coincide con la aceleración normal yo puedo poner masa por aceleración
normal. Por otra parte, sé que la fuerza, la reacción m ha de coincidir
en dirección con la aceleración normal. Las dos son normales,
perpendiculares a la tangente, a la curva de cada punto. Por lo tanto eso
yo lo pongo de esta forma. n igual a lambda, lambda es un número
cualquiera, multiplicado por a sub n. Quiere decir que la dirección de n y
la de a sub n son las mismas. Lo que no son iguales son sus módulos. Por
eso le he puesto lambda. Lambda es el valor que me iguala los módulos de a
sub n con n. Siempre se pone así. Cuando quiero decir que una cosa es
igual en dirección a la otra, siempre pongo esta cosa en orden del n igual
a lambda multiplicado por la otra cosa que en este caso es a sub n. Y
finalmente también me hice el problema que el módulo de la fuerza normal
de la reacción normal n coincide con el peso. Con el módulo del peso. Por
tanto, esta tercera ecuación también la hago. Todas estas ecuaciones las
descomponemos según los ejes x y z. Las proyectamos, las fuerzas y las
aceleraciones todo sobre el eje x y z. Entonces me sale la parte de la
derecha. La primera ecuación de fuerza es igual a masa por aceleración
conectada según el eje x sería f sub x más n sub x correspondiente a la
componente x de f y a la componente x de n. La componente x de v no existe
puesto que su proyección sobre el eje x es 0. Es vertical esa fuerza.
Igual a masa por proyección de aceleración según el eje x que le he
llamado a sub x. Y lo mismo hice con la dirección y. Es esta segunda
ecuación. Fuerzas en la dirección y igual a masa por la aceleración
componente en la dirección y. De la segunda ecuación m igual a la por a
sub n pues trasladada al eje x y del eje y pues me sale esto que veis
aquí. m sub x igual a lambda por a sub x y m sub igual a lambda por a sub
y la tercera ecuación ya viene dada en los ejes en x e y por lo tanto ya
no tengo nada que hacer tal vez igual que esta. Bueno aquí tenemos un
sistema formado por 5 ecuaciones y que solamente tiene 5 incógnitas por lo
tanto puedo despejar bueno tiene un poco más porque tiene a sub x a sub y
m sub x lambda f sub x y f sub y verdad tiene 7 por lo tanto podríamos
pensar que no sé que faltan dos ecuaciones ahí pero las puedo resolver
las puedo obtener perfectamente sabiendo que las ecuaciones de la línea me
las da la trayectoria por lo tanto yo puedo sacar la velocidad en la
dirección x que es derivada de x respecto de t respecto de alfa es decir
aplicar la regla de la cadena derivada de x respecto de t es igual a
derivada de x respecto de alfa por derivada de alfa respecto de t derivada
de x respecto de alfa la sé puesto que me dan x en función de alfa es una
de las ecuaciones de una trayectoria por lo tanto la deriv se hace por 1
menos coseno de alfa y multiplicado por derivada de alfa respecto de t que
es la velocidad angular alfa prima de esa circunferencia generadora de la
ecuación hago lo mismo con y la velocidad en la dirección y es derivada
de y respecto de t que derivo a través de alfa el parámetro es derivada
de respecto de alfa por derivada de alfa respecto de t derivo y respecto de
alfa porque conozco y en función de alfa el parámetro de alfa respecto de
t por lo tanto igual a r seno de alfa multiplicado por derivada de alfa
respecto de t de aquí haciendo operaciones despejando derivada de alfa
respecto de t igual a u partido por 2 r seno de alfa medios ya tengo la
derivada de alfa respecto de t que es el parámetro en función de del
parámetro alfa y en función de constantes porque u es constante y r es
constante por lo tanto sigo operando sustituyendo el valor de alfa prima en
la ecuación anterior que era que me daba la velocidad en la dirección x
pues tengo derivada en la dirección x bueno derivada de x respecto al t
que es la velocidad la componente de la velocidad de la partícula en la
dirección x es igual a v seno de alfa menos el número mínimo de la
componente ni de la velocidad es igual a seno de alfa lo que quiero
calcular son aceleraciones porque lo que me dan son aceleraciones no
velocidades pero para calcular aceleraciones tengo que poder derivar la
velocidad respecto al tiempo lo hago vuelvo a derivar respecto al tiempo
tanto x como y y me da los valores de a su x y a su y que tenía antes ya
tengo otras 2 ecuaciones más por tanto ahora tengo 5 ecuaciones que tenía
que eran marcadas con estrella a mas ahora estas 2 aceleración a su x a su
y ya tengo 7 ecuaciones y 7 incógnitas por lo tanto puedo despejar sin
ningún problema todos los datos que hay ahí en esas ecuaciones que son
los que me piden el problema por lo tanto despejo de una f a su x me da
esto de otra f a su y me da esto de otra n a su x al cuadrado más n a su y
al cuadrado igual a n a su y al cuadrado es sustituyendo los valores porque
como sé que n a su x es igual a lambda por a su x y n a su y es igual a
lambda por a su y sustituyo y saco esto saco el valor de lambda una vez
calculado el valor de lambda sustituyo las ecuaciones de arriba f a su x y
f a su y y n a su x y n a su y quedó como quede el problema y ya está el
problema es saber cómo de estas siete ecuaciones con siete incógnitas
pues calculo y despejo unas y otras lo importante es llegar a las
ecuaciones lo importante es llegar aquí a llegar aquí estas cinco
ecuaciones más luego sacar las dos que me faltan que son estas dos a su x
y a su vale el resto ya es simplemente esto de las ecuaciones planteadas
bueno pues este es un problema muy típico de exámenes eh muy típico de
exámenes a los de mecánica uno como uno tiene la segunda parte que es
geometría ah bueno la parte de momentos de inercia momentos de centroides
eh dinámica del sólido etcétera como se queda aquí la asignatura
solamente dinámica será este esta pequeña parte digamos este comienzo
pues muchas veces suele caer en este problema de este bueno aprovechando
que está chus al otro lado me pregunto si sobre los eh me parece que era
sobre los problemas de la no sé si era la prueba de evaluación a
distancia o la prueba de auto evaluación vale más de otro problema este
de cinemática y también interesante porque entra dentro una que a lo
mejor muchas veces la gente pasa por alto es el velocidad areolar que luego
que no se debe pasar pornym porque luego hay una parte importante dinámica
donde se sobre todo la mecánica espacial dice que nos viene dada, nos dan
sus ecuaciones en forma paramétrica, como veis ahí, son ecuaciones
típicas de una LX. X igual a por coseno del parámetro, un ánimo por fi,
e Y igual a B por seno de fi. Nos dice que ese punto tiene una velocidad
areolar constante cuyo valor es K partido por 2. Allá hay las ecuaciones
horarias del movimiento y la odógrafa, sabiendo que se parte de un ángulo
fi, de un parámetro fi, igual a cero. Es decir, el instante inicial que
igual a cero, el parámetro fi, va a ser. Muy bien. Lo hemos dibujado en la
LX ahí arriba, como veis, ese dibujito lo hemos dibujado, y también el
vector de posición, OP, en un momento determinado, la partícula, se
encuentra en un punto P. Punto P, ahí tiene unas coordenadas X e Y, y por
lo tanto su vector de posición será el vector OP. En ese momento, la
partícula, en ese punto, punto P, lleva una velocidad V, cuya dirección
obviamente, como siempre, es agente a la trayectoria, y cuyo modo es ese
que veis ahí. Que no lo conocemos, pero bueno, imaginemos que lo
conocemos. Sabemos que la velocidad areolar, pues es, coincide con el área
de un triángulo, que es ese que veis ahí dibujado en la figura, es
sombreado, que tiene de vértices OP y el extremo del vector U. El área de
ese triángulo, OPQB, coincide. Entonces, vamos a calcularla. ¿Cómo se
calcula la velocidad areolar? Ya sé que es el área de ese triángulo,
pero ¿cómo la calculo? ¿Cómo sé que en un punto determinado, en ese
punto P, cómo determino cuál es el valor de la velocidad areolar? La
velocidad areolar, recordad el concepto, que era, el área que recorre el
radio vector OP, radio vector de posición OP, el área que barre por
unidad de tiempo. Es decir, la partícula P en ese momento se encuentra en
el punto P, pero en un momento determinado, no está antes del determinado,
se encontrará en otro punto más a la izquierda, porque camina según esa
dirección que vemos ahí, hacia la izquierda, en el sentido contrario al
centro más del globo. Entonces, el área que va barriendo el vector OP a
medida que se va desplazando la partícula, el área esa que va barriendo
ese vector partido por el tiempo, esa es la velocidad areolar. ¿Cómo se
calcula? Se calcula, pues, es igual, ya hemos dicho que era el área
formada por el triángulo OP, pero bueno, pues hay que calcular el área de
ese triángulo. Si recordamos de cálculo vectorial elemental, cómo se
calcula el área de ese triángulo, pues si OP es un vector, vector V es
otro vector, tal y como figura ahí, el valor del área de ese triángulo
es igual a un medio del vector OP multiplicado vectorialmente por el vector
OP. Así se calcula el área de ese triángulo. Bueno, pues hagámoslo. Un
medio, lo sacamos fuera y luego hacemos el cálculo del vector OP
multiplicado vectorialmente por el vector V. Eso sabemos que se puede hacer
a través de un determinante. La primera fila son los versores, los tres
ejes, el fota K, dirección de OX, OI y OZ. La segunda fila es la del
vector OP, coordenadas del vector OP. Y la tercera fila son las coordenadas
del vector V, que será la dirección X, que es una velocidad derivada de X
respecto de T. La dirección Y, que es una velocidad derivada de Y respecto
de T. Y la dirección Z, que es una velocidad 0, puesto que aquí nos
dice... Bueno, nos dice... Este es un movimiento plano. Otra de las cosas
que hay que recordar de la teoría es que cuando se trata de un movimiento
central como es este, recordamos al mismo tiempo lo que es movimiento
central, lo que llamábamos movimiento central. Llamamos movimiento central
a un movimiento de una partícula o de un cuerpo cuando esa partícula
tiene una aceleración siempre dirigida por el mismo punto. Como es este
caso, que siempre tiene una aceleración, o también ya vemos la fuerza,
está sometido a la fuerza, siempre dirigida por el mismo punto, que es en
este caso el punto. Y sabemos que todo movimiento central es un movimiento
plano, es decir, se realiza en un plano, que es el plano en que está
dibujada la trayectoria. Por lo tanto, este plano aquí lo hemos dibujado
en los ejes OXY, por lo tanto el eje Z es 0. Así que sus componentes, las
componentes tanto del vector P como del vector Y son 0, en la dirección Z.
¿Vale? Entonces, hagamos así. Terminante y nos sale esto que vemos aquí.
Esto es cómo se calcula la velocidad agregada. ¿Vale? Como veis, X e Y
son conocidos desde el punto de la trayectoria. X' e Y' no son conocidos,
son unas derivadas respecto al tiempo de X y de Y, que coinciden con las
componentes de las velocidades en la dirección X, Y, Z o Y. Pero no son
conocidas, ahora las podemos conocer perfectamente. ¿Vale? Las puedo
conocer puesto que la ecuación de la trayectoria la conozco, viene dada en
función del parámetro phi en el enunciado del problema. Por lo tanto,
para derivar X respecto a T, tengo que echar mano de la regla de la cadena.
Derivada de X respecto de T es igual a derivada de X respecto del
parámetro phi por la derivada del parámetro phi respecto a T. La derivada
de X respecto al parámetro phi es fácil, a partir de la ecuación de la
lista. Y derivada de X respecto de T es una incógnita. Hacemos esto,
derivamos X respecto de Z, que es A por seno de Z, multiplicamos por,
bueno, menos A seno de Z. Multiplicamos por phi prima y eso es el
resultado, la componente de la velocidad en la dirección X. La componente
de la velocidad en la dirección Y es lo mismo, pero en la dirección Y, su
valor después de derivar es phi prima por B por coseno de Z. Sustituyendo
estos valores en la ecuación anterior de la velocidad areolar, nos va a
dar esto que figura aquí. Como me dicen que la velocidad areolar vale,
¿vale? Y operando, nos va a resultar que phi prima, que es derivada del
parámetro phi con respecto al tiempo, es igual a K partido por A. Ya
conozco, derivada del parámetro con respecto al tiempo. Integro esta
ecuación diferencial para poder buscar el parámetro phi en función del
tiempo. Su integración es inmediata. Separo variables e integro en cada
término y me sale esto con una constante A que determinar. La constante A
también es fácil de determinar a partir de los, las condiciones iniciales
que nos vienen dada en el enunciado del problema. Nos dice que para el
tiempo t igual a cero en el instante inicial, el parámetro phi vale cero.
Sustituyendo la ecuación anterior nos sale que la constante t igual a cero
es igual a cero. Entonces la integración nos da vale cero. Por lo tanto,
saco phi en función del tiempo. Phi igual a K partido por A B multiplicado
por t. Esto era lo que yo quería. Determinar el parámetro phi en función
del tiempo. El resto ya es coser y cantar. No tengo más que sustituir este
parámetro phi en función del tiempo en las ecuaciones de la hélice y me
dará esto que vemos aquí. X igual a A por coseno de phi. que vale K por T
partido por AB e igual a B por seno de Y que vale KT partido por AB estas
son las ecuaciones horarias de la trayectoria si queremos calcular la
odógrafa como nos pide el problema también lo que tenemos que hacer es
derivar estas ecuaciones anteriores horarias con respecto al tiempo ahora
ya lo podemos hacer sin necesidad de pasar por el parámetro puesto que ya
están puestas X e Y en función del tiempo así que derivamos directamente
nos queda el componente de la velocidad en la dirección X es derivada en
respecto de T que es menos Fi por A por seno de Y ya lo podía haber
derivado directamente menos K partido por Y por seno de KT partido por AB y
lo mismo con el componente de la velocidad en la dirección Y y esas son
las ecuaciones de la odógrafa así que por tanto tengo las dos cosas que
me piden el problema por un lado las ecuaciones horarias de la trayectoria
y por otro lado las ecuaciones de la odógrafa fijémonos en una cosa el
problema solamente nos pide las ecuaciones no que le dibujemos bueno en un
caso en el caso de la trayectoria ya la hemos dibujado está dibujada
arriba es el LIS pero en el caso de la odógrafa nos piden solamente la
ecuación no que dibujemos qué forma geométrica tiene la odógrafa
normalmente en la UNED no nos piden dibujarla en otros centros más
completos sí nos piden derivar aquí podían nos podían decir el problema
podía continuar diciendo hay usted las ecuaciones de la odógrafa y
además dibújela es muy fácil dibujarla porque fíjate fijaros que estas
ecuaciones de la odógrafa que acabamos de obtener son las ecuaciones de un
LIS fijaros que tiene el mismo la misma forma la misma estructura que las
del problema las dadas por un problema que eran las ecuaciones
paramétricas de un LIS estos son iguales esto también sería una LIS la
odógrafa sería un LIS bien bueno, pues con esto quedaría terminado el
problema vamos a hacer finalmente otro problema y ya lo dejamos por hoy
porque ya creo que son bastantes este es un problema bastante completo un
poco más difícil de los que suele ponerse en la UNED pero yo considerado
importante interesante con conceptos interesantes y por eso lo he traído
dice lo siguiente una partícula material M llamada M de peso P fijémonos
en la figura de la derecha porque vamos a ir pintando todo lo que nos va
diciendo el enunciante ahí tenemos la partícula M cuyo peso es P ya le
hemos dibujado incluso el vector que nos representa el peso y esta
partícula está sometida a un campo de fuerzas que viene viene dado por
esta expresión que vemos ahí en el enunciado la fuerza esa
correspondiente a ese campo de fuerzas en ese momento aplicada a la
partícula que ya va por el punto M la hemos pintado ahí porque nos hemos
dado cuenta inmediatamente a partir de su expresión que figura ahí en el
enunciado que esta partícula esta fuerza perdón esta electrofuerza tiene
la siguiente estructura por un lado un módulo que viene dado por este por
estos valores de aquí multiplicado por la raíz cuadrada de X al cuadrado
más Y al cuadrado por lo tanto observamos que al faltarle a un componente
en la dirección Z esa es una fuerza que hay que representar en el plano XY
es decir que es paralela al plano XY y que encima pasa por el punto 0,0 es
decir dando valores de X,0 y de Y,0 observamos que el valor de X va a lo 0
por lo tanto la fuerza tiene esa dirección que hemos pintado ahí bien
esta partícula M se desplaza sobre una hélice una hélice que nos da su
sus ecuaciones paramétricas que están ahí en el enunciado X igual a R
por coseno de phi igual a R sin de phi Z igual a R por phi partido por
raíz de 3 esto si es importante saber que se trata de una hélice ya nos
lo dice que es una hélice que se compone de lo siguiente de un cilindro
que es un cilindro cuyo eje de dicho cilindro es el eje Z o Z por lo tanto
la intersección de ese cilindro con el plano OXY sería una circunferencia
esto lo vemos perfectísimamente si elevamos al cuadrado el valor de X e Y
que están las primeras ecuaciones de una hélice y sumamos nos quedaría
al haber un coseno al cuadrado del mismo ángulo phi nos quedaría X
cuadrado más Y cuadrado igual a R R cuadrado que es la ecuación de una
circunferencia centrada en el punto O en el plano X y Y y Z igual a R por
phi partido por N de 3 pues es el valor en la dirección Z que dibuja la
hélice que es esta que veis aquí con un trazo más grueso esta que estoy
yo pasando ahora en amarillo sobre ella esa es la hélice chamalo mal
pintada por lo tanto lo voy a borrar para no para que no haya lugar a
equivocaciones bien si entre la partícula y la hélice existe un
rozamiento de coeficiente F por lo tanto hay una fuerza de rozamiento ahí
entre la partícula y la hélice sobre la que se mueve la partícula se
pide primero suponiendo que el valor del coeficiente de rozamiento es el
valor de tres dos partido por raíz de trece determinar el arco o arcos de
la hélice que es posible en que es posible el equilibrio de F segundo
existe algún valor o valores de F para los que no haya ninguna posición
de equilibrio sobre la H ¿cuáles son? y tercero existe algún valor o
valores de F para los que todas las posiciones del punto sobre la hélice
sean de equilibrio ¿cuáles son? bien con tanto borrar me he borrado el
punto el ángulo que representa el parámetro de las ecuaciones de la
hélice el ángulo FI lo voy a volver a trazar otra vez mal como siempre
porque es muy difícil dibujar con el ratón el ángulo sería este ángulo
FI este es el parámetro FI que nos da en las ecuaciones de la hélice muy
bien pues vamos a a ver vamos a ver bueno ahí en la figura también veis
que se ha representado una bueno que se han representado un triedro que es
el triedro de las coordenadas o de las componentes intrínsecas como veis
es un triedro en el que un eje es el eje de la tangente a la hélice en ese
punto N otro es el de la normal a la hélice que es este eje que tiene
representado aquí perpendicular al tangencial y otro eje que es
perpendicular a los dos que es la binormal que es la representada por este
sobre esos ejes que van a ser los ejes sobre los que vamos a trabajar
nosotros porque vamos a utilizar las coordenadas intrínsecas para resolver
este problema que nos van a facilitar enormemente la labor pues observamos
que hemos pintado todas las fuerzas a que está sometida la partícula como
hemos dicho antes su peso P su fuerza a la que está sometida la partícula
y que nos viene dada F y además habrá una relación una reacción de la
línea de la hélice sobre la partícula puesto que la partícula se mueve
sobre la hélice por tanto hay una reacción de la hélice sobre la
partícula esta reacción que tiene una dirección que no conocemos la
vamos a descomponer según los tres ejes de coordenadas que hemos definido
hace un momento y entonces nos dará en la dirección normal una componente
que vamos a llamar N1 que la veis ahí representada en la dirección
binormal una componente que vamos a llamar N2 que la vemos ahí
representada y en la dirección tangencial una componente que va a ser que
vamos a llamar Fsuel también está ahí representada la suma de las tres
va a ser la reacción que existe de la hélice sobre la partícula por
tanto ahí tendremos tres fuerzas la fuerza F el peso P y la reacción N
vamos a llamarle pero la reacción N ya la hemos descompuesto en sus tres
componentes N1 N2 N3 Fsuel bien pues seguimos el vector F tiene de módulo
pues es el que veis ahí efectivamente ya sabemos que el módulo de un
vector es la raíz cuadrada del cuadrado de sus componentes uno un
componente es bueno tiene una constante todos los componentes que es P
partido por 2R cuadrado por raíz cuadrada de R cuadrado más R cuadrado
por ser también es partido por R que es constante para todo y luego una
componente es X en la dirección X e Y en la dirección la otra componente
elevando al cuadrado los componentes sumando y extraiendo la raíz cuadrada
nos iba a dar este valor de F que es el módulo de la fuerza F pero X Y y Z
son conocidos porque tienen que coincidir con la L puesto que la partícula
se mueve sobre la L por lo tanto sustituyendo los valores X Y Z de la L en
esta ecuación nos da el módulo de F pues y operando simplificamos nos va
a dar el valor de F en función del parámetro F es S que vemos ahí P
medios por 0 determinemos ahora el valor de la tangente el vector perdón
el vector tangente a la N porque ya vemos que hay visto antes uno de los
ejes coincide con la tangente a la L y existe ahí una fuerza que hemos
llamado F su R que va en esa dirección de la tangente por lo tanto vamos a
buscar un vector unitario que nos define la dirección de la tangente bien
la tangente un vector que tangente a la trayectoria en ese punto será
derivada de que respecto del parámetro FI en la dirección I más derivada
de respecto del parámetro FI en la dirección J más la derivada de Z
respecto del parámetro FI en la dirección K derivada de que respecto de I
de FI de I respecto de FI de Z respecto de FI es fácil de hacer porque
tenemos las ecuaciones paramétricas de la L por lo tanto haciéndolo nos
va a salir este valor este es un vector que nos va a salir tangente a la
trayectoria por lo tanto en la misma dirección del X del eje de las
tangentes el ángulo FI volvemos a cita perdón el ángulo cita que forma
la tangente con la con el eje de las Z o con una vertical que pase por el
punto M paralela al eje o Z hemos llamado ángulo cita vamos a calcular
este ángulo porque lo vamos a necesitar para poder proyectar el vector P
sobre la dirección de la tangente y sobre la dirección de la normal por
lo tanto vamos a necesitar ese ángulo cita vamos a calcular sabemos que si
multiplicamos escalarmente un vector U su T unitario en la dirección de la
tangente por un vector K unitario en la dirección del eje de las Z nos va
a dar esto nos va a dar el coseno de ese ángulo precisamente acabamos de
decir así que entonces que terminemos vector unitario en la dirección de
la tangente multipliquemoslo por el vector K escalarmente y ese es el
ángulo del coseno ¿cuánto vale vector unitario U su T? hombre teniendo
un vector como ya tenemos en la dirección de la tangente que lo acabamos
de calcular que es T dividamos ese vector entre el módulo de ese mismo
vector y nos dará un vector siguiendo la dirección de la tangente pero
unitario le hemos llamado U su T hagamos un T ya lo hemos calculado
horrible es este vector el módulo de T es la raíz cuadrada de la suma de
esos componentes que es esto muy bien multipliquemos ahora escalarmente el
vector U su T este que acabamos de calcular por el vector K que es 1,1K
multiplicando escalarmente estos dos vectores nos va a dar este valor que
haciendo números y simplificando es igual a un medio este es el valor del
coseno del ángulo cita que hemos visto antes por lo tanto ese cita ese
ángulo cita vale pi tercios coseno de pi tercios es un T bien ya tenemos
calculado ese ángulo cita que forma el peso P con el eje de las tangentes
la reacción N de la hélice como hemos dicho antes ya la hemos
descompuesto en tres en sus tres componentes según la dirección N su 1
según la dirección normal principal de la hélice en la dirección de la
binormal y F su T en la dirección de la tangencia la fuerza F su T que va
en la dirección de la tangente ha de ser menor o igual a la máxima fuerza
de rozamiento que pueda haber ahí entre la partícula y la línea y la
hélice la máxima fuerza de rozamiento que puede haber ahí será F
multiplicado por la normal es decir F multiplicado por la raíz cuadrada de
N sub T al cuadrado más N sub 2 al cuadrado nunca puede superar esto por
lo tanto planteemos sabiendo esto las ecuaciones de equilibrio de esa
partícula en ese punto de la partícula M en ese punto precisamente que
aparece en la figura la suma de todas las fuerzas para que esté en
equilibrio ha de ser 0 pues la partícula de modulo pero ya en los ejes de
las coordenadas intrínsecas tangente normal y binormal entonces será en
la dirección de la normal la fuerza vamos otra vez a la figura la fuerza
eje que aparece ahí en la figura es en la dirección de la normal ya la
hemos calculado antes sabemos que su módulo vale su módulo vale menos P
medios por seno menos porque va en el sentido negativo del eje de las
normales en el sentido positivo del eje normal es hacia afuera y esta va
hacia adentro con esos menos por otro lado hacia afuera va la componente M
sub 1 de la normal por lo tanto menos P medios por seno de phi más M sub 1
es igual a 0 por lo tanto de ahí despejamos M sub 1 igual a P medios por
seno de phi ya tenemos el valor de M sub 1 en la dirección de la binormal
volvamos a la figura en la dirección de la binormal es decir en la
dirección de N sub 2 tenemos una fuerza N sub 2 que es la componente de la
normal en la dirección de la binormal componente de la reacción N en la
dirección de la binormal es N sub 2 y por otro lado está el peso P pero
el peso P hay que proyectar está en la dirección del eje Z pero no
coincidente con la dirección de la binormal que es la dirección de N sub
2 por lo tanto proyectemos el vector P en la dirección de la binormal es P
por seno de phi de fita perdón así que entonces la ecuación aquí sería
menos P menos porque va para abajo el eje de la binormal positivo es hacia
arriba menos P por seno de fita más la componente de la normal en la
dirección binormal componente de la reacción N en la dirección de la
binormal igual a Z y despejamos el valor de M sub 2 y finalmente en el
tercer eje que es el eje de la dirección de las tangentes tenemos la F F
sub T como he llamado la fuerza en la dirección de la tangente menos el
peso en la en esa la componente del peso en esa dirección volvamos otra
vez a la figura para darnos cuenta de eso el peso lo podemos descomponer
también según la dirección de la tangente según la dirección de la
binormal y según la dirección de la tangente según la dirección de la
tangente es P por coseno de Z y además va en el sentido contrario al eje
positivo de la tangente si en el sentido contrario ha pintado ahí el
vector de F sub R por lo tanto con sentido negativo así que ponemos F T
menos P por coseno de Z debe valer C lo cual me sale que F T es igual a
menos pero F T ya lo hemos dicho antes ha de ser menor que la fuerza
máxima de rozamiento que pueda aparecer ahí que es F por raíz cuadrada
de 1 al cuadrado más el número al cuadrado F T entonces que vale P medios
ha de ser menor que F por raíz cuadrada de ahora como ya sabemos en el
sudo su valor que lo hemos calculado ya pues ponemos su valor cuadrado el
en el sudo también lo conocemos en vez de poner en el sudo ponemos su
valor R por raíz de 3 partículas al cuadrado hacemos operaciones en ambos
miembros y nos sale que 1 ha de ser menor o igual que F por raíz cuadrada
de 1 al cuadrado más 3 bien la pregunta del problema me dice supongo usted
que F vale 2 partido por raíz de 3 determinen los arcos donde la hélice
está en equilibrio si F es 2 partido por raíz de 3 pues pongámoslo en la
ecuación que acabamos de, de deducir 1 entonces ha de ser menor o igual
que F que ahora vale 2 partido por raíz de 13 por raíz cuadrada de seno
cuadrado de fi más 3 haciendo operaciones en ambos miembros me sale que el
valor absoluto del seno de fi ha de ser mayor o igual que un medio para que
se cumpla esta desigualdad que hemos dicho anteriormente si eso se cumple
se cumplen todas las ecuaciones que hemos visto anteriormente por lo tanto
la partícula está en equilibrio pero cuando se cumple esto cuando el seno
de fi es mayor o igual a un medio cuando se cumple esto para que eso sea
así fi ha de estar comprendido entre pi sextos y 5 pi sextos ha de ser
mayor que pi sextos que son 30 grados y ha de ser menor que 5 pi sextos que
son 150 grados ¿por qué? es decir que el ángulo fi visto ya el cilindro
desde arriba desde el eje z ya en el eje x y como lo vemos ahí en la
figura inferior ha de ser mayor que 30 grados y menor que 150 es decir el
arco donde está la partícula de equilibrio será el arco a b sexto pero
también se cumple que el seno de fi en valor absoluto es mayor o igual a
un medio cuando fi está comprendido entre 7 pi sextos y 11 pi sextos es
decir que corresponde a menos 30 grados y a menos 150 desde el punto b al
punto c estas son las zonas donde está los arcos donde está en equilibrio
la partícula m subitida a esas fuerzas que nos dicen y así estaría
contestado bueno cuidado no solamente se cumple que el seno de fi es mayor
o igual a un medio en estos ángulos que acabamos de decir sino también en
esos ángulos más aumentándoles 2 pi k porque si a un ángulo le aumentas
2 pi k siempre cuando k sea entero da los mismos valores del seno por tanto
si se da en todos los tramos a b y c d estará en equilibrio y para
cualquier ángulo entre 30 y 150 o 30 y 150 más 2 pi k y lo mismo menos 30
menos menos 150 o menos 30 menos 50 más menos 2 pi k con k cualquier
entero ¿vale? bien segundo parte del problema ¿existe algún valor o
valores de f para los que no haya ninguna posición de equilibrio sobre la
n? ¿y cuáles son? vamos a ver si elevamos el cuadrado la relación que
hemos tenido antes esta de aquí una de las condiciones de equilibrio del
problema es esta de aquí vamos a elevarla al cuadrado y trabajar con ella
nos quedaría esto 1 es el menor o igual que f cuadrado por 3 seno cuadrado
de f de ahí despejando f cuadrado nos tendría que f cuadrado debe ser
mayor o igual que 1 partido por 3 más seno cuadrado de f para que haya
equilibrio de cumplirse eso si queremos que no haya equilibrio en ninguna
de las posiciones ha de ocurrir que esa igualdad no puede ocurrir sino la
contraria si distraigamos la raíz cuadrada de esta expresión 3 nos
quedaría f igual a 1 partido por raíz cuadrada de 3 seno cuadrado de f si
no hay equilibrio ha de cumplirse la desigualdad la contraria esto de aquí
f ha de ser menos menor perdón que 1 partido por raíz cuadrada de 3 más
seno cuadrado de f si esto se cumple no hay equilibrio para que haya
equilibrio debería de cumplirse esta igualdad así que si no se cumple es
que no hay equilibrio ¿para qué valores de f o sea ¿para qué valores o
sea ¿para qué valores de f se cumpliría esta última desigualdad que
acabamos de poner esta ¿para qué valores de f bueno si queremos que se
cumpla esa desigualdad se cumpla para cualquier valor de f f obviamente ha
de ser menor o igual que 1 medio y si no pensemos en que ¿cuáles podían
ser los ángulos f que nos hagan mayores al seno cuadrado de f bueno sus
ángulos nos darían seno cuadrado de f igual a 1 y la raíz cuadrada de 3
más 1 es 4 es 2 por tanto si f es menor que 1 partido por 2 me da igual el
ángulo f que sea que siempre esa desigualdad se cumple y por lo tanto
nunca hay equilibrado así que esta es la solución a la segunda pregunta
del problema si el coeficiente de rozo en el término no era igual a 1
medio nunca existe equilibrio en ninguna posición de la partícula sobre
la f pasemos a la tercera parte del problema ¿hay algún valor de f para
los que todas las posiciones del punto sobre la n y c sean de equilibrio?
volvamos otra vez a la ecuación 3 anterior si se cumple esa desigualdad
esta desigualdad de aquí siempre hay equilibrio esto es lo que decíamos
traigamos la raíz cuadrada y busquemos cuáles son los valores de seno de
f de tal forma perdón valores de f para que cualquier valor de seno de con
cualquier valor de seno de f se cumpla que f ha de ser mayor o igual que 1
partido por raíz cuadrada de 3 más seno cuadrado de fi esto se cumple
solamente cuando f es mayor o igual que 1 partido por raíz cuadrada de 3
es decir haciendo seno de fi igual a 0 si hacemos seno de fi igual a 0
cualquier valor de fi diferente a este nos hará el seno de fi mayor que 0
por lo tanto f será inferior puesto que está en el denominador ¿por
qué? porque así que si f es el valor de f es mayor que 1 partido por
raíz cuadrada de 3 para cualquier valor del ángulo fi se cumple la
desigualdad de que f es mayor que 1 partido por 3 más seno cuadrado de fi
y por lo tanto hay equilibrio en todo ángulo de fi cualquiera que sea en
ángulo de fi problema terminado y no hay más hasta la próxima día bueno
repito este problema no hace falta que lo diga una vez más están son
problemas de la colección de problemas resueltos y bueno pues a ellos
podéis recurrir a este más a otros muchísimos hay hasta 600 problemas en
la colección de problemas resueltos pues poder recurrir a ellos para ver
problemas como este hay varios problemas de otro tipo también hay muchos o
sea que recomiendo que recurráis a ellos para pues practicar este tipo de
problemas y otros correspondientes a las asignaturas nada más gracias por
vuestra atención y hasta la próxima