Continuamos con el segundo vídeo dedicado a resumir los contenidos de la
unidad didáctica dedicada a matrices. En este caso hablamos de la inversa
y el determinante. En primer lugar, decir que la inversa de una matriz
sólo tiene sentido cuando esta matriz es cuadrada. Es decir, vamos a estar
trabajando en el conjunto de matrices de orden n con coeficientes en un
cuerpo k. En ese conjunto, el producto de matrices es una operación
interna. Se pueden multiplicar dos matrices, AB y BA. Ese producto es
asociativo, por serlo en general el producto de matrices. No es
conmutativo. Esto es importante recordarlo. Y tiene un elemento identidad
que sería la matriz identidad de orden n. También podríamos preguntarnos
bajo qué condiciones existe elemento inverso, la propiedad típica de las
estructuras algebraicas. Entonces cuando existe ese elemento le vamos a
llamar la matriz inversa. De una matriz A vamos a decir que es invertible o
regular o que tiene inversa siempre y cuando exista otra matriz a la que
denominaremos A-1 que al multiplicar por la derecha y por la izquierda a A
obtenemos la matriz identidad. A esa la llamaremos matriz inversa. La
inversa de una matriz cuando existe es única. Como primeros ejemplos de
matrices invertibles tenemos a la identidad ya que ella por sí misma, el
producto es igual a la identidad y por tanto su inversa es ella misma.
Tenemos también como ejemplos las matrices elementales. Del hecho de que
realizar una operación elemental en las filas de una matriz A sea
equivalente a multiplicarla por la izquierda por una matriz A, nos da una
forma de cálculo de la matriz inversa. Es decir, si tenemos una matriz
cuadrada A, aplicamos operaciones elementales de filas hasta llegar a
obtener, si se puede, la matriz identidad de orden n entonces eso quiere
decir que existen matrices elementales asociadas a cada una de las
operaciones elementales e sub 1 hasta e sub k, de manera que si
multiplicamos la matriz A por la izquierda del producto de matrices
obtenemos la identidad. Y de ahí obtendremos que la inversa de A es
precisamente ese producto matricial. Y ese producto de matrices, e sub 1
hasta e sub n, no es más que el resultado de aplicarle a la matriz
identidad las operaciones elementales que le habíamos aplicado a A. Y de
ahí obtenemos precisamente la inversa. En la práctica lo que haremos es
partir de una matriz A invertible, le adosamos la identidad del orden
correspondiente a la derecha e iremos aplicando operaciones elementales en
las filas hasta obtener la matriz identidad a la izquierda y la resultante
matriz que obtenemos a la derecha es precisamente la inversa deseada.
Tenemos un ejemplo en el 1.67 en el que partimos de una matriz A de orden 3
es esa matriz que marcamos en rojo, le hemos añadido a la derecha la
matriz identidad del mismo orden y vamos haciendo operaciones elementales
hasta llegar a obtener a la izquierda la matriz identidad donde estaba A y
lo que nos ha salido a la derecha es precisamente la inversa de A. El
teorema 1.58 recoge algunas de las propiedades de las matrices inversas.
Por ejemplo, la inversa de la traspuesta es la traspuesta de la inversa. La
inversa de un producto es el producto de las inversas pero cambiado de
orden eso para dos o para varias matrices. También tenemos el teorema 1.70
que nos ofrece distintas caracterizaciones de las matrices invertibles.
Destacamos aquí una de las más importantes es que A tiene inversa si y
solamente si A tiene rango n o bien la forma de Hermite por filas de A es
la identidad. A continuación, pasamos a ver el concepto de determinante de
una matriz cuadrada. El determinante es un número que se asigna a cada
matriz siguiendo una serie de reglas de cálculo. Todos conocemos el
determinante de una matriz de orden 2 de cursos preuniversitarios.
Conocemos también la regla de Sarrus para el cálculo del determinante de
una matriz 3x3 y en general el determinante se define de manera recursiva
por el orden de la matriz. Del siguiente modo. Para matrices de orden 1,
una matriz de orden 1 es simplemente un escalar un número o bien real o
complejo. El determinante de una matriz de orden 1 se define como el único
elemento que tiene el de la fila 1, columna 1. Mientras que para matrices
de orden mayor que 1 el determinante de A se va a escribir como n
determinantes de orden n-1 del siguiente modo. Se aplicará la conocida
fórmula de Laplace que aquí la escribimos, desarrollada por la primera
columna como es la primera definición del libro pero se puede desarrollar
por cualquier fila o columna de la matriz. Esta fórmula de Laplace utiliza
los elementos A11, A21 hasta An1 que es toda la primera columna de la
matriz y cada uno de ellos se multiplica por su mero adjunto α11, α21,
etc. hasta αn1. El menor adjunto αij de un elemento Aij de A es positivo
o negativo según ocupe cierta posición en la matriz y se calcula también
utilizando el determinante de la submatriz Aij que resulta al eliminar en A
la fila I y la columna J. Esta submatriz Aij tiene orden 1- que tenía A y
así se obtiene el determinante de A como determinantes de orden n-1. Una
primera consecuencia es que el cálculo del determinante de una matriz
triangular es trivial. Se calcula simplemente multiplicando los elementos
de la diagonal principal y eso se obtiene sin más que aplicar la fórmula
de Laplace desarrollada por la primera columna. Si tomamos la primera
columna, todos son ceros salvo el primer elemento y entonces nos queda que
el determinante de la matriz Aij es igual a 3 que es el elemento primero
por el determinante de la submatriz que resulta de eliminar la primera fila
y primera columna de A. Y así sucesivamente se tiene el resultado deseado.
El determinante de la matriz original es igual al producto de los cuatro
elementos de la diagonal principal. Aprovecharemos este hecho para
relacionar una matriz cuadrada con una escalonada equivalente que será
triangular y calcular de esa manera el determinante. Para ello vemos cómo
se comporta el determinante frente a operaciones elementales en filas. Si a
una matriz A le aplicamos una operación de intercambio de filas lo que le
pasa al determinante es que cambia de signo. Si a una matriz A le
multiplicamos una de sus filas por un escalar T entonces todo el
determinante de la matriz que se obtiene queda multiplicado por T. Y si a
una fila de A le sumamos otra multiplicada por un escalar entonces la
matriz B que se obtiene tiene el mismo determinante que A. Este tipo de
operaciones serán las que apliquemos siempre que podamos para no modificar
el determinante. Como decíamos antes estas propiedades nos aportarán un
método eficiente para el cálculo del determinante que consistirá en
transformar una matriz cuadrada en otra escalonada equivalente B. Por ser
cuadradas esta será triangular y entonces podremos calcular de manera
sencilla su determinante. Podemos ver aquí un ejemplo. Partimos de una
matriz A y podemos aplicar operaciones elementales del tipo III que
mostramos justo arriba y con dos operaciones elementales la transformamos
en una escalonada B. Esa matriz es triangular y por tanto su determinante
es el producto de los tres elementos 2, menos 1 y menos 7 de la diagonal
principal. Y el determinante de B es igual al determinante de A.
Estudiaremos también otras propiedades del determinante como que si la
matriz tiene dos filas o columnas iguales su determinante es cero o si
tiene una fila o columna de ceros también es el determinante cero. Y en
particular destacamos el teorema 184 en el que se enuncian propiedades del
determinante entre otras una importante caracterización de las matrices
invertibles. Unas matrices invertibles y solo si su determinante es
distinto de cero. El determinante como se comporta afecta al producto de
matrices y frente a la transposición. También añadimos aquí que en
general el determinante de la suma de matrices es distinto de la suma de
los determinantes. Precisamente la caracterización de matrices invertibles
que acabamos de ver en el teorema anterior hace que si una matriz es
invertible su determinante sea distinto de cero y se puede utilizar la
conocida fórmula de cálculo directo de la inversa mediante la matriz
adjunta traspuesta partido por el determinante. Este método de cálculo
sin embargo es mucho más ineficiente que el método de escalonamiento que
hemos visto en la sección anterior. Lo que ocurre es que este método es
tanto más ineficiente cuando mayor es el orden de la matriz y para
matrices de tamaño pequeño, por ejemplo para matrices 3x3 no se aprecia
gran diferencia. Por último, estudiamos también una de las aplicaciones
que tiene el determinante en el cálculo del rango de una matriz. Para ello
se introduce el concepto de menor el menor de orden P de una matriz es el
determinante de una submatriz cualquiera de ellas de orden P. Ahora A no
tiene por qué ser una matriz cuadrada y vamos considerando submatrices
cuadradas de A para calcular los menores. Y ocurre que el rango de una
matriz A es igual al mayor orden de un menor no nulo de A. Es decir, de
entre todos los menores de A de todos los determinantes de todas las
submatrices cuadradas de A el que tenga mayor orden y sea distinto de 0 ese
da lugar al rango de A. Vemos en el siguiente ejemplo un modo de cómo
proceder para estudiar el rango por menores. Empezaríamos por el orden
más pequeño visualizamos un menor de orden 1 que sería una matriz 1x1
cuyo determinante fuera distinto de 0 por ejemplo es este distinto de 0 y
la matriz al menos tiene rango 1. Continuamos localizando un menor de orden
2 si lo hubiera, no nulo y vemos este el determinante de esta matriz es
igual a menos uno por cero o sea, menos uno menos cero menos uno sería un
menor no nulo de orden 2 luego la matriz tiene al menos rango 2. Podemos
ver que esta matriz por ejemplo en el libro tiene rango 2 y no más
entonces para ver que no tiene rango 3 tendríamos que ir inspeccionando
todos los menores de orden 3 y ver que son iguales a cero es decir, todas
las submatrices de orden 3 tienen determinante 0 pero no es necesario
hacerlo con todos y esto es un resultado importante que hay que tener en
cuenta que se anuncia en la proposición 1.96 que quiere decir lo siguiente
si hemos localizado este menor de orden 2 que tenemos marcado en rojo
distinto de cero si existiera un menor de orden 3 distinto de cero debería
contener a este es decir que solamente tenemos que inspeccionar las
matrices 3x3 que contengan a esta marcada en rojo y serían exactamente
pues estas cuatro matrices que tenemos ahí marcadas y no haría falta que
inspeccionáramos las otras matrices posibles matrices de orden 3 de A en
total tendríamos 16 posibles submatrices y solamente tendremos que
inspeccionar en realidad 4 este es un resultado importante que se suele
olvidar con facilidad y que hace que se nos atrasen mucho los cálculos y
los problemas en concreto si perdemos el tiempo inspeccionando menores que
no hace falta inspeccionar pues con esto terminamos el repaso de contenidos
de la unidad didáctica 1 matrices