Este es el primer vídeo de una serie de varios en los que se resumen los
contenidos del libro Álgebra Lineal y Geometría Vectorial, en su segunda
edición, en los que se desarrollan los contenidos de las asignaturas de
Álgebra Lineal I y II del Grado en Matemáticas. En este primer vídeo
comenzamos con la primera parte del primer capítulo, relativo a matrices.
Una matriz de tamaño o de orden, decimos también m por n, es un conjunto
de m por n escalares que están ordenados en m filas y n columnas y tiene
una representación como vemos aquí, de esta forma. En general a las
matrices las demotamos con letras mayúsculas y esos m por n escalares, que
no son más que elementos de un cuerpo, los que estamos acostumbrados a
llamar números comúnmente, en concreto K va a ser el cuerpo de los
números reales o el de los números complejos en esta asignatura, que
están distribuidos en la matriz. Se llaman también entradas y los
identificamos por el lugar que ocupan. Les llamamos a sub i j, con dos
índices, al elemento que está en la fila i y en la columna j. Entonces
aquí tendremos el elemento a sub i 1, que está en la fila iésima y en la
columna 1. Por ejemplo, el a 1 2 está en la fila 1 y en la columna 2, etc.
Usamos esta notación compacta para escribir la matriz a todos sus
elementos de forma resumida, indicando el genérico. También utilizamos
esta anotación aquí para denotar el elemento de la fila i y columna j de
la matriz a. Unos primeros ejemplos ilustran este concepto. Esta matriz que
llamamos a es una matriz que diríamos que tiene tamaño 3x4, porque tiene
tres filas, aquí tendríamos la primera fila, etc., debajo 2 y 3, y tiene
cuatro columnas, esta sería por ejemplo la columna 2. Por tanto, una
matriz de orden 3x4. Tenemos aquí un caso extremo de matriz, la matriz B,
que tiene una única fila. Esto es lo que llamamos una matriz fila. Tiene
una fila formada por tres escalares, tres elementos, y tiene tres columnas.
Cada columna es muy pequeñita, pero ahí tiene sus tres columnas. Esta
sería una matriz de tamaño 1x3. Y otro caso extremo sería el concepto de
matriz columna. Esta matriz C. Una única columna. Tiene tres filas, esta
sería su primera fila, su segunda fila y su tercera fila. Y tiene una
única columna. Otros ejemplos de matrices, como son estas que tenemos
aquí, la matriz D, E y F, estas tres son lo que denominamos matrices
cuadradas, porque tienen el mismo número de filas que de columnas. Esta
sería una matriz, la matriz D tendría orden 2x2, y la matriz C tendría
orden 3x3 igual que F. Este es un caso... En el que todas las entradas de
la matriz son igual a cero, que llamamos matriz nula. Existe una matriz
nula para cada orden, que es aquella que tiene todas sus entradas iguales a
cero. Aquí tenemos un caso de matriz que denominamos triangular superior y
esta triangular inferior. Bueno, vamos a continuar con el tipo de
operaciones que podemos hacer con matrices. La primera operación sería la
suma. Podemos sumar dos matrices del mismo tamaño u orden. Y aquí tenemos
un ejemplo. Esta sería una matriz de orden 2x3. Aquí tendríamos otra
matriz de orden 2x3. Y podríamos sumarlas formando otra matriz del mismo
orden, 2x3. ¿Cómo lo hacemos? Pues sumamos los elementos que están
colocados en las posiciones, por ejemplo, la posición 1,1. Sumaríamos el
3 con el 0 de la posición 1,1 de la segunda matriz. Y obtendríamos 3 más
0 igual a 3, que sería el elemento de la posición 1,1 de la matriz suma.
Y así haríamos con el resto de matrices. El elemento de la posición 1,2
con el de la posición 1,2 sumado el elemento de la posición 1,2 de la
matriz suma. Esta operación tenemos que definirla para matrices de
cualquier tamaño y tenemos que utilizar un lenguaje genérico. ¿Qué
lenguaje utilizamos? Bueno, pues denotamos así como m sub n m por n el
conjunto formado por todas las matrices de orden m por n con coeficientes
en un cuerpo fijado k que sea el real o el complejo. Y denotamos una matriz
A de este modo genérico, de ese orden con m filas y m columnas, siendo a
sub i j el elemento que está en la fila i columna j. Llamamos B la matriz
que tiene los elementos b sub i j. Para la matriz A más B, el elemento de
la fila i y columna j será el elemento de la fila i columna j de A más el
elemento de la fila i columna j de B. Tenemos que familiarizarnos con esta
notación porque nos va a hacer falta para hacer demostraciones y
definiciones genéricas que ocurren a todas las matrices. La segunda
operación que podemos realizar con matrices sería la de multiplicar una
matriz dada de orden m por n por un escalar del cuerpo en el que esté
definida la matriz. Por ejemplo, si cogemos esta matriz A y la queremos
multiplicar por el escalar lambda igual a 1 medio pues lo que hacemos es
que multiplicamos cada una de las entradas de A, las seis entradas que
tiene, por 1 medio. El lenguaje matemático lo expresamos así. Si A es la
matriz entre entradas a sub i j queremos multiplicarla por el escalar
lambda entonces la matriz A por lambda es la matriz cuya entrada i j es la
entrada a i j de A multiplicada por lambda. Estas operaciones de suma y
producto por un escalar consideradas dentro del conjunto de matrices de
orden m por n cumplen ocho propiedades que están aquí en el cuadro. Y
marcadas la asociativa, conmutativa, existencia de elemento neutro que es
la matriz nula. La matriz nula sumada con cualquier matriz A nos da la
propia matriz A y la existencia de elemento inverso llamaríamos el
elemento inverso en el caso de la operación suma le solemos llamar
también opuesto. La demostración de este teorema es el primer ejercicio
de trabajo con notación matemática en abstracto. Son propiedades muy
sencillas pero tenemos que trabajar con una notación que nos permita
demostrar que se cumple para cualquier matriz genérica. Tenemos una
tercera operación que podemos hacer con las matrices que tiene sus
restricciones que es el producto de dos matrices. Primero vamos a decir
cuándo podemos multiplicar dos matrices. Dadas una matriz A y otra matriz
B vamos a hacer el producto AB cuando se cumpla la siguiente condición y
es que el número de columnas que tenga A lo estoy marcando aquí sea igual
al número de filas que tenga B. Solo en esa situación se puede hacer el
producto y se obtiene una matriz de orden M por P M es el número de filas
que tenía A y P es el número de columnas que tenía B. ¿Y cómo se hace
este producto? Que también conocemos pues como lo describimos de forma
genérica del siguiente modo El elemento IJ es decir, el que está situado
en la fila I y columna J de la matriz A por B se obtiene así multiplicando
la fila Iésima de A por la columna Jésima de B según se indica aquí
abajo en esta expresión. Esta sería la fila I en la fila I están los
elementos AI1 hasta el AIN porque tenemos N columnas y en la columna
Jésima de B tenemos el B sub 1J hasta el B sub nJ y en la columna J lo que
está fijo es el segundo sub 1J El producto se hace multiplicando el A1I
por el B1J lo tendríamos aquí después iríamos al AI2 por el B2J, etc. y
hasta llegar al último el AIN por el BNJ que sería el último elemento es
equivalente a lo que conocemos como el producto escalar entre dos vectores
del mismo número de componentes Este tipo de expresiones las vamos a
representar mediante sumatorios en lugar de poner unos puntos suspensivos
que indican que hay un índice que va variando empieza en el 1, luego iría
el 2 y luego iría hasta el N pues los pesamos de esta forma En estas sumas
cada elemento o cada sumando es de la forma A sub IK por BKJ son las Ks las
que coinciden y van variando empezando por 1 y llegando hasta N Es
importante que nos familiaricemos con esta notación que es la dificultad
inicial que tenemos en este primer capítulo de operaciones con matrices
para poder hacer demostraciones de propiedades que se cumplen Un ejemplo
muy sencillo en aplicación de la fórmula que tenemos arriba ya que el
producto de A por B lo podemos multiplicar porque esta es una matriz de
tamaño 1x3 esta matriz B es de tamaño 3x1 y coinciden el número de
columnas de A con el número de filas de B El producto A por B será de
tamaño igual al número de filas que tiene A por el número de columnas
que tiene B En este caso una matriz 1x1 está formada únicamente por una
entrada ¿Cómo se hace el producto? Pues haríamos 3x-1 lo tenemos aquí
más 3x2 y 1x3x2 el tercer sumando hacemos la suma y ya tenemos nuestra
matriz El producto de matrices tiene muchas propiedades que tenían la suma
y el producto por escalares que son muy parecidas a las propiedades que
tienen esas operaciones entre números Aquí hay muchas restricciones
porque podemos hacer por ejemplo el producto A por B pero no garantiza que
podamos hacer siquiera B por A Primera propiedad que sería la comunicativa
no tiene por qué darse. Bueno, vamos a destacar unas propiedades que son
distintas respecto a lo que solemos conocer habitualmente Como acabamos de
decir, la primera sería destacar que el producto de matrices no es
conmutativo en general ni siquiera cuando A y B son matrices del mismo
orden cuadradas entonces sí se puede hacer A por B y también se puede
hacer B por A pero no tienen por qué ser iguales A por B puede ser
distinto a B por A a veces puede ser igual pero estos productos no tienen
por qué ser iguales La segunda propiedad que merece la pena destacar es
que puede ocurrir que al multiplicar dos matrices obtengamos la matriz nula
y siendo A y B dos matrices no nulas eso no pasa con los números si
multiplicamos dos números distintos de cero no nos sale nunca cero pero
aquí puede ocurrir que multiplicar dos matrices no nulas dé como
resultado la matriz nula y como tercera propiedad destacamos aquí que
suele producir también algunas confusiones cuando hacemos operaciones con
matrices cuando manejamos matrices cuadradas y estamos calculando potencias
por una matriz cuadrada la potencia enésima es simplemente multiplicar A
por sí misma n veces supongamos que queremos hacer el cuadrado de la suma
de la matriz A y B aplicamos la propiedad distributiva y obtenemos A
cuadrado más A por B más B al cuadrado entonces aquí esto no tiene por
qué ser igual al desarrollo al que estamos habituados que es el del
binomio de Newton para el cuadrado de una suma no tiene por qué cumplirse
solamente se va a cumplir cuando las matrices A y B conmuten A
continuación pasaríamos a la siguiente sección en la que estudiamos el
método de Gauss de escalonamiento de matrices lo que haremos en el
siguiente vídeo