Este es el primer vídeo de una serie de varios en los que se resumen los
contenidos del libro Algelolineal y geometría vectorial, en su segunda
edición, en los que se desarrollan los contenidos de las asignaturas
algelolineal 1 y 2 del grado en matemáticas. En este primer vídeo
comenzamos con la primera parte del primer capítulo, relativo a matrices.
Una matriz de tamaño o de orden, decimos también mxm, es un conjunto de
mxm escalares que están ordenados en m filas y n columnas y tiene una
representación como vemos aquí, de esta forma. En general a las matrices
las dematamos con letras mayúsculas y esos mxm escalares, que no son más
que elementos de un cuerpo, los que estamos acostumbrados a llamar números
comúnmente, en concreto k va a ser el cuerpo de los números reales o el
de los números complejos en esta asignatura, que están distribuidos en la
matriz. Se llaman también entradas y los identificamos por el lugar que
ocupan. Les llamamos a sub ij con dos índices al elemento que está en la
fila i y en la columna j. Entonces aquí tendremos el elemento a sub i1 que
está en la fila iésima y en la columna 1. Por ejemplo el a12 está en la
fila 1 y en la columna 2, etc. Usamos esta notación compacta para escribir
la matriz A a todos sus elementos de forma resumida indicando el genérico
que ocupa la fila i y la columna j. También utilizamos esta anotación
aquí para denotar el elemento de la fila i columna j de la matriz A. Unos
primeros ejemplos ilustran este concepto. Esta matriz que llamamos A es una
matriz que diríamos que tiene tamaño 3x4 porque tiene tres filas. Aquí
tendríamos la primera fila, etc., debajo 2 y 3 y tiene cuatro columnas.
Esta sería por ejemplo la columna 2. Es por tanto una medio de orden 3x4.
Tenemos aquí un caso extremo de matriz, la matriz B, que tiene una única
fila. Esto es lo que llamamos una matriz fila. Tiene una fila formada por
tres escalares, tres elementos y tiene tres columnas. Cada columna es muy
pequeñita pero ahí tiene sus tres columnas. Esta sería una matriz de
tamaño 1x3 Y otro caso extremo sería el concepto de matriz columna. Esta
matriz C tiene una única columna. Tiene tres filas. Esta sería su primera
fila, su segunda fila y su tercera fila. Ahí tiene una única columna.
Otros ejemplos de matrices, como son estas que tenemos aquí, la matriz D y
F. Estas tres son lo que llamamos matrices cuadradas porque tienen el mismo
número de filas que de columnas. Esta sería una matriz... La matriz D
tendría orden 2x2 y la matriz E tendría orden 3x3 igual que F. Este es un
caso en el que todas las entradas de la matriz son igual a cero, que
llamamos matriz nula. Existe una matriz nula para cada orden, que es
aquella que tiene todas sus entradas iguales a cero. Aquí tenemos un caso
de matriz que denominamos triangular superior y esta triangular inferior.
Bueno, vamos a continuar con el tipo de operaciones que podemos hacer con
matrices. La primera operación sería la suma. Podemos sumar dos matrices
del mismo tamaño u orden. Y aquí tenemos un ejemplo. Esta sería una
matriz de orden 2x3 Aquí tendríamos otra matriz de orden 2x3 y podríamos
sumarlas formando otra matriz del mismo orden, 2x3. ¿Cómo lo hacemos?
Pues sumamos los elementos que están colocados en las posiciones, por
ejemplo la posición 1-1 Sumaríamos el 3 con el 0 de la posición 1-1 de
la segunda matriz y obtendríamos 3 más 0 igual a 3, que sería el
elemento de la posición 1-1 de la matriz suma. Y así haríamos con el
resto de elementos, el de la posición 1-2 con el de la posición 1-2
sumado, el elemento de la posición 1-2 de la matriz suma. Esta operación
tenemos que definirla para las matrices de cualquier tamaño y tenemos que
utilizar un lenguaje genérico. ¿Qué lenguaje utilizamos? Bueno, pues
denotamos así como m sub n m por n, el conjunto formado por todas las
matrices de orden m por n con coeficientes en un cuerpo fijado k que sea el
real o el complejo. Si denotamos una matriz A de este modo genérico, de
ese orden, con m filas y m columnas, siendo a sub ij el elemento que está
en la fila i columna j, llamamos B la matriz que tiene los elementos b sub
ij. Para la matriz A más B, el elemento de la fila i y columna j será el
elemento de la fila i columna j de A más el elemento de la fila i columna
j de B. Tenemos que familiarizarnos con esta notación porque nos va a
hacer falta para hacer demostraciones y definiciones genéricas que ocurren
a todas las matrices. La segunda operación que podemos realizar con
matrices sería la de multiplicar una matriz dada de orden m por n por un
escalar del cuerpo en el que esté definida la matriz. Por ejemplo, si
cogemos esta matriz A y la queremos multiplicar por el escalar lambda igual
a un medio, pues lo que hacemos es que multiplicamos cada una de las
entradas de A, las seis entradas que tiene, por un medio. En lenguaje
matemático lo expresamos así, si A es la matriz entre entradas A sub ij,
queremos multiplicarla por el escalar lambda, entonces la matriz A por
lambda es la matriz cuya entrada ij es la entrada ij de A multiplicada por
lambda. Estas operaciones de suma y producto por un escalar, consideradas
dentro del conjunto de matrices de orden m por n, cumplen ocho propiedades
que están aquí marcadas, la asociativa, conmutativa, existencia de
elemento neutro, que es la matriz nula, la matriz nula sumada con cualquier
matriz A nos da la propia matriz A, y la existencia de elemento inverso,
llamaríamos el elemento inverso en el caso de la operación suma le
solemos llamar también opuesto. La demostración de este teorema es el
primer ejercicio de trabajo con notación matemática en abstracto. Son
propiedades muy sencillas pero tenemos que trabajar con una notación que
nos permita demostrar que se cumple para cualquier matriz genérica.
Tenemos una tercera operación que podemos hacer con las matrices que tiene
sus restricciones, que es el producto de dos matrices. Primero vamos a
decir cuándo podemos multiplicar dos matrices. Dadas una matriz A y otra
matriz B, vamos a hacer el producto AB cuando se cumpla la siguiente
condición y es que el número de columnas que tenga A, lo estoy marcando
aquí, sea igual al número de filas que tenga B. Sólo en esa situación
se puede hacer el producto y se obtiene una matriz de orden m por p. m es
el número de filas que tenía A y p es el número de columnas que tenía
B. ¿Y cómo se hace este producto? Que también conocemos, pues como lo
describimos de forma genérica, del siguiente modo. El elemento IJ, es
decir, el que está situado en la fila I columna J de la matriz A por B, se
obtiene así, multiplicando la fila i-ésima de A por la columna j-ésima
de B según se indica aquí abajo en esta expresión. Esta sería la fila
I. En la fila I están los elementos A y 1 hasta la I en A porque tenemos n
columnas y en la columna j-ésima de B tenemos el B sub 1j hasta el B sub
nj y en la columna J lo que está fijo es el segundo. El producto se hace
multiplicando el A1i por el B1j, lo tendríamos aquí, después iríamos al
AI2 por el B2j, etcétera, y hasta llegar al último, el AIN por el BNJ,
que sería el último elemento. Es equivalente a lo que conocemos como el
producto escalar entre dos vectores del mismo número de componentes. Este
tipo de expresiones las vamos a representar mediante sumatorios. En lugar
de poner unos puntos suspensivos, que indican que hay un índice que va
variando, empieza en el 1, luego iría al 2 y luego iría hasta el n, pues
los pensamos de esta forma. En estas sumas cada elemento, cada sumando, es
de la forma A sub ik por Bkj. Son las Ks que coinciden y van variando
empezando por 1 y llegando hasta n. Es importante que nos familiaricemos
con esta notación que es, digamos, la dificultad inicial que tenemos en
este primer capítulo de operaciones con matrices para poder hacer
demostraciones de propiedades que se cumplen. Un ejemplo muy sencillo, en
aplicación de la fórmula que tenemos arriba, diría que el producto de A
por B lo podemos hacer. Podemos multiplicarla porque esta es una matriz de
tamaño 1 por 3. Esta matriz B es de tamaño 3 por 1 y coinciden el número
de columnas de A con el número de filas de B. El producto A por B será de
tamaño igual al número de filas que tiene A por el matriz 1 por 1. Está
formada únicamente por una entrada. ¿Cómo se hace el producto? Pues
haríamos 3 por menos 1, lo tenemos aquí, más 3 por 2, que es el segundo
sumando y 1 por 3, el tercero sumando. Hacemos la suma y ya tenemos nuestra
matriz. El producto de matrices tiene muchas menos propiedades que tenían
la suma y el producto por escalares que son muy parecidas a las propiedades
que tienen esas operaciones entre números. Aquí hay muchas restricciones
porque podemos hacer, por ejemplo, el producto A por B pero no garantiza
que podamos hacer siquiera B por A. Primera propiedad que sería la
conmutativa, no tiene por qué darse. Bueno, vamos a destacar ahora algunas
propiedades que son distintas respecto a lo que solemos conocer
habitualmente. Como acabamos de decir, la primera sería destacar que el
producto de matrices no es conmutativo en general. Ni siquiera cuando A y B
son matrices del mismo orden, cuadradas, entonces sí se puede hacer A por
B y también se puede hacer B por A pero no tienen por qué ser iguales. A
por B puede ser distinto a B por A. A veces puede ser igual pero estos
productos no tienen por qué ser iguales. La segunda propiedad que merece
la pena destacar es que puede ocurrir que al multiplicar dos matrices
obtengamos la matriz nula y siendo A y B dos matrices no nulas, eso nos
pasa con los números. Si multiplicamos dos números distintos de cero no
nos sale nunca cero pero aquí puede ocurrir que multiplicar dos matrices
no nulas dé como resultado la matriz nula. Y como tercera propiedad
destacamos aquí que suele producir también algunas confusiones cuando
hacemos operaciones con matrices. Cuando manejamos matrices cuadradas y
estamos calculando potencias por la matriz cuadrada, la potencia enésima
es simplemente multiplicar A por sí misma n veces. Supongamos que queremos
hacer el cuadrado de la suma de la matriz A y B, que es coger la matriz A
más B y multiplicarla por sí misma. Aplicamos la propiedad distributiva y
obtenemos A cuadrado más A por B más B por A más B al cuadrado. Entonces
aquí esto no tiene por qué ser igual al desarrollo al que estamos
habituados que es el del binomio de Newton para el cuadrado de una suma. No
tiene por qué cumplirse. Solamente se va a cumplir cuando las matrices A y
B conmuten. A continuación pasaríamos a la segunda sección de este
capítulo que se dedica al método de escalonamiento de Gauss. También es
conocido de cursos preuniversitarios pero ahora le vamos a dar un uso mucho
mayor. Este método nos va a servir para detectar cuántas filas
independientes o linealmente independientes hay en una matriz. Y luego ya
veremos para qué nos va a servir ese concepto. Tenemos un primer ejemplo
en el libro en el que tenemos una matriz con cinco filas y cuatro columnas.
Es una matriz de orden 5 por 4. Y podemos ver que la fila 5 la podríamos
obtener del siguiente modo, haciendo dos veces la fila 1 más la fila 2
menos tres veces la fila 3 más 0 por la fila 4. O sea, teniendo la fila 4
no la usaríamos pero la marcamos así. Entonces podemos decir que la fila
F5, decimos formalmente que la fila F5 es una combinación lineal de las
demás filas. Como mucho va a tener cuatro filas linealmente independientes
porque hay al menos una quinta que se puede obtener a partir de las demás.
Ya definiremos esto con más formalismo. Para determinar las filas
linealmente independientes de una matriz vamos a utilizar el método de
Gauss que nos va a transformar una matriz en escalonada. Tenemos dos
conceptos muy importantes que son el de matriz escalonada y matriz
escalonada justita. Antes de entrar en ellos pues hay que definir el
concepto de pivote. El pivote es el primer elemento no nulo de una fila de
una matriz. Hay filas que pueden no tener pivotes y en el caso de las filas
nulas. Bien, entonces la matriz escalonada viene definida por dos
propiedades. La primera es que si tiene filas nulas son las últimas y la
segunda propiedad es respecto a cómo están ubicados los pivotes. Todo
pivote tiene a su izquierda más ceros que el de la fila anterior. Lo vemos
en este ejemplo. Tenemos la primera matriz. Llamemos a esta primera matriz
y comenzaríamos marcando los pivotes de cada una de las filas. En la fila
primera es menos i el primer elemento no nulo, en la fila segunda i y en la
fila tercera dos. La fila cuarta es nula y no tiene por tanto pivotes.
Entonces se cumple la primera propiedad. Hay una fila nula y es la última,
la cuarta, y cada pivote tiene a su izquierda más ceros que el pivote de
la fila anterior. Hemos trazado aquí una línea que va recorriendo de
pivote en pivote las filas y produce ese efecto escalón debajo de esa
escalera, digamos, todos los elementos son nulos. La matriz B, segunda que
tenemos aquí en este ejemplo, sigue siendo también una matriz escalonada.
Los pivotes o primeros elementos no nulos de cada fila son estos cuatro, no
tienen ninguna fila nula y cada pivote tiene más ceros a la izquierda que
el de la fila anterior. Así que las dos matrices son escalonadas. Vamos a
ver si son escalonadas reducidas. La primera no porque no cumple la primera
de las propiedades que dice que todos los pivotes tienen que ser iguales a
uno. Y la matriz B, pues veamos, efectivamente todos los pivotes son unos y
luego tiene que cumplir que toda entrada situada en la misma columna que un
pivote sea igual a cero. Es decir, en la columna 1 el resto de entradas
salvo el pivote son ceros, lo mismo tiene que pasar en la columna 4, en la
columna 6 y en la columna 7. Por tanto B sí es escalonada reducida. El
método de Gauss se basa en ir haciendo operaciones con las filas de una
matriz que llamamos operaciones elementales de filas. Tenemos tres tipos de
operaciones. El tipo 1 es el intercambio de filas. Podemos intercambiar la
fila i con la fila j y lo denotamos así. El tipo 2 de operación es que a
una fila le podemos sumar otra multiplicada con un escalar y lo denotamos
así. A la fila i le sumamos la fila j multiplicada por un escalar beta. Y
el tipo 3 consistiría en que podemos multiplicar una fila por un escalar
no nulo, esto es muy importante. Podemos multiplicar, y lo denotamos así,
a la fila i la multiplicamos por alfa con alfa distinto de cero. Esto no se
nos puede olvidar porque es un error que cometemos con mucha frecuencia. No
podemos multiplicar por cero una fila. Aquí tenemos un primer ejemplo de
cómo se realizan operaciones elementales de filas. Vamos a hacer la
operación de intercambiar la fila 1 con la fila 3, que denotamos así.
Esta fila 1 va a pasar abajo a la posición de la fila 3 y la fila 3 se va
a intercambiar y va a ir a la posición en que estaba la fila 1. Y así
iremos aplicando el resto de operaciones elementales. En este ejemplo vemos
que realizando tres operaciones conseguimos transformar la matriz A inicial
en una matriz B escalonada. Tenemos un importante concepto, que es el de la
equivalencia por filas, y que es el siguiente, dos matrices A y B. Vamos a
decir que son equivalentes por filas y lo vamos a denotar así con este
símbolo. A es equivalente por filas si las matrices son iguales. Esto no
es necesario diferenciarlo pero para que no se produzca confusión. O si
podemos obtener la matriz B a partir de A mediante una cantidad finita de
operaciones elementales. Esta es una relación de equivalencias, una
relación reflexiva, simétrica y transitiva. Y ocurre que una matriz puede
ser equivalente por filas a distintas matrices escalonadas. Puedo
transformar A en una matriz B escalonada en una matriz C escalonada
distinta. Hay muchas infinitas matrices a las que yo podía llegar
escalonadas pero hay una única matriz escalonada reducida a la que puedo
llegar transformando A mediante operaciones elementales. A esa matriz que
es única, la llamamos la forma escalonada reducida de A con el artículo
terminado o bien también se llama forma de Hermite por filas de A y la
denotamos así. Tenemos dos algoritmos descritos en el libro el método de
Gauss es el teorema 1.24 que nos indica cómo podemos transformar A en una
matriz escalonada B siguiendo un procedimiento estandarizado y luego
tenemos el teorema 1.27 que es el método de Gauss-Bordanes aplicamos el
método de Gauss y continuamos una serie de pasos extra para transformar A
no en una matriz escalonada cualquiera sino en su forma escalonada reducida
o forma de Hermite por filas. Existe una relación directa entre la
aplicación de operaciones elementales de filas y el producto de matrices y
la relación está en lo que se denominan matrices elementales. Vamos a
definir una matriz elemental asociada a cada operación elemental y la
denotamos así. La matriz elemental sur con esta notación fi intercambio
fj es la matriz resultante de aplicar la operación elemental en cuestión
a la matriz identidad. O sea, si cogemos la matriz identidad y le aplicamos
el intercambio de filas obtenemos la matriz elemental e fi intercambio fj.
Eso lo podemos hacer para todos los tipos de operaciones elementales y se
tiene la siguiente relación Realizar en A una operación elemental de
filas x equivalente a multiplicar A por la izquierda por la matriz
elemental correspondiente. Podemos ver un ejemplo, tenemos aquí una matriz
a la que le aplicamos la operación intercambio de filas, cambiamos la fila
1 por la fila 3 y obtenemos esta matriz. Podemos comprobar que obtenemos lo
mismo multiplicando nuestra matriz original por la matriz elemental
asociada a esa operación elemental. De modo que tendríamos la siguiente
caracterización de la equivalencia por filas Dos matrices hemos definido
que son equivalentes por filas Si se puede transformar una en otra mediante
una sucesión finita de operaciones elementales esto va a ser equivalente a
decir que existan matrices elementales, e1 hasta ek una por cada operación
elemental que hemos aplicado de manera que la matriz final B que se obtiene
tras aplicar operaciones elementales de filas A es igual a A multiplicada
por todas las matrices elementales asociadas a las operaciones. En la
tercera sección de este capítulo se introduce el concepto de rango. El
rango de una matriz, vamos a denotarlo así rango de A es el máximo
número de filas linealmente independientes que tiene. Para estudiar este
rango nos vamos a apoyarnos en las matrices escalonadas. Utilizamos el
siguiente resultado El rango de una matriz cuando es escalonada es igual al
número de filas nómulas que tiene y la siguiente propiedad también. Si
tenemos dos matrices equivalentes por filas ambas tienen el mismo rango.
Entonces ¿cómo vamos a proceder? Pues partiremos de una matriz A, haremos
operaciones elementales de filas hasta obtener una matriz B escalonada
Ahora tenemos que A es equivalente por filas a B El rango de A por ser
escalonada es igual al número de filas nómulas que es 3 y por tanto el
rango de A al ser equivalente por filas también será igual a 3. Tenemos
varios teoremas como se indica ahí que expresan propiedades del rango en
relación con las operaciones de matrices y con la equivalencia por filas.
Un resultado muy importante es el que ya hemos anunciado antes pero vimos
aquí formalmente si A es equivalente por filas a B entonces el rango de A
es igual al rango. Aquí quiero destacar específicamente que el recíproco
de este resultado no es cierto, es decir, que dos matrices A y B sean
equivalentes por filas es una condición suficiente para que tengan el
mismo rango pero no es una condición necesaria Es decir, dos matrices
pueden tener el mismo rango y no ser equivalentes por filas. Vamos a
introducir otra relación de equivalencia que nos va a permitir
caracterizar el rango con una condición necesaria y suficiente. Sería la
relación de equivalencia que la incluimos aquí pero ahora hablaremos de
ella más adelante. Y con esta nueva relación si se cumple que A es
equivalente a B, esa sí es una condición necesaria y suficiente para que
los rangos sean iguales. Otras propiedades que expresan estos teoremas pues
tienen que ver como digo con propiedad del rango en relación con la suma
de matrices, con el producto de una columna escalar, con la matriz
transpuesta, con el producto matricial, etc. Las mismas operaciones que
hemos definido entre filas de una matriz se pueden definir igualmente entre
columnas Entonces tenemos lo que denominamos operaciones elementales de
columnas que serían igual que antes las del tipo intercambiar dos
columnas, el tipo de sumarle a una columna con el tipo de otra y el tipo 3
multiplicar una columna por un número distinto de cero. Definimos
igualmente la equivalencia de matrices por columnas y podemos transformar
una matriz en otra realizando operaciones elementales de columnas y
también el rango se va a caracterizar por coincidir con el número de
columnas independientes de una matriz, exactamente coincidirá con el
número de filas independientes. Usamos esta notación A es equivalente por
columnas a B y si se da esta condición pues tenemos el mismo resultado que
antes. En esa situación el rango de A coincide con el rango de B Y, como
dije anteriormente, el recíproco no es cierto Dos matrices pueden tener el
mismo rango pero no ser equivalentes por columnas. Así vamos a introducir
una nueva relación de equivalencia y así tendríamos tres relaciones de
equivalencia La relación de equivalencia por filas, por columnas y la
relación de equivalencia en la que podemos realizar tanto operaciones de
filas como de columnas Esta tercera relación sí que nos va a permitir
caracterizar como decíamos antes el rango Esta caracterización la tenemos
en el teorema 1.49 que viene a decir que el rango de A es igual al rango de
B si y solo si A es equivalente a B Otra forma de expresar el enunciado de
este teorema a lo que llamo aquí versión 2 para que nos familiaricemos
con el lenguaje sería la siguiente. Una condición necesaria y suficiente
para que dos matrices del mismo orden tengan el mismo rango es que sean
equivalentes Y una tercera versión que dice lo mismo sería la siguiente.
Dadas dos matrices A y B del mismo orden, son equivalentes las siguientes
afirmaciones La primera afirmación dice A y B son equivalentes y la
segunda A y B tienen el mismo rango ¿De acuerdo? Esto serían tres formas
1, 2 y 3 de enunciar el mismo teorema con la misma y completa formalidad y
con un lenguaje diferente en cada caso Y con esto terminaríamos el resumen
de contenidos de este primer vídeo