Continuamos con el otro día, ¿vale? Entonces, os dan un sistema y de
alguna manera en el examen vosotros os van a decir que lo resolváis luego
veremos qué tipos de preguntas hay posibles entonces la idea es que ese
sistema vosotros lo podéis convertir en una matriz ¿Qué matrices tiene
en realidad un sistema? El otro día escribía directamente la matriz
cogiendo los números y los términos independientes pero en este sistema
en realidad hay tres matrices A ver, os lo cuento, aunque luego en la
práctica esto no es importante pero que os suene En este sistema hay tres
matrices Una, que es la matriz de los coeficientes que son los números que
están delante de las letras que serían en la primera fila 2, 1, menos 3
en la segunda fila menos 1, 3, 1 y en la tercera fila 3, menos 1, menos 1
Esa es la matriz de los coeficientes, se llama así, matriz de coeficientes
Vale, luego hay otra matriz Las matrices se estudian en el tema siguiente
pero todo esto ya que os vaya sonando que es la formada por las letras que
son la X, la Y y la Z y es una matriz con una única columna X y Z Esa se
llama matriz de las incógnitas Y luego hay una tercera matriz que es la
matriz de los términos independientes que es la forma de la matriz de los
términos independientes formada por los números que están a la derecha
del igual el menos 1, el 3 y el 3 Bueno, pues en el tema siguiente en el de
matrices vamos a ver que si multiplicáis la primera matriz por la segunda
igual esto ahora no suena lo de multiplicar matrices o sí, pero se pueden
multiplicar el resultado es la tercera Si multiplicáis las dos primeras el
resultado es la tercera Esto es el tema siguiente, que os vaya sonando.
Bueno, y luego, yo os dije que había tres matrices, en realidad hay cuatro
en ese sistema. Luego está la cuarta, que es la más importante, la que
coge esta y la última, y junta todo eso y es con la que vamos a trabajar
para resolver sistemas. Pero, en realidad, cualquier sistema lo podéis
transformar así. Esto es lo que se llama escribir un sistema en forma
matricial, o matrices. Con letras, que en vuestro libro viene, esa es la
matriz A, multiplicada por la matriz X, es igual a la matriz B. En la
práctica esto no es importante, porque no lo vais a utilizar, pero como en
vuestro libro os viene, y luego en el tema siguiente se va a repetir, pues
que os suene. Pasamos a una parte ya más práctica y muy importante, que
el otro día os hablaba de la matriz A. Y en el tema siguiente ya no
dijimos nada. Tipos de sistemas. Esto es muy importante porque preguntan
por esto. En el examen es probable que os pregunten de qué tipo es este
sistema. Apartado A, incompatible. Apartado B, compatible. Todo eso.
Entonces, un sistema puede ser sistemas compatibles o incompatibles. Estas
son las palabras que se utilizan. ¿Qué significan esas palabras? Pues
compatible quiere decir que el sistema tiene solución. Incompatible quiere
decir que no la tiene. Un sistema que no tiene solución es incompatible.
Un sistema que sí tiene solución es compatible. Si no tiene solución, se
acabó. Pero si sí tiene solución, o sea, si es compatible, hay dos
opciones. Que tenga una sola solución y entonces el sistema esté
terminado. O que tenga infinitas soluciones y entonces el sistema es
indeterminado. Y esos son los tipos de sistemas que hay. Tres tipos.
Compatible determinado, compatible indeterminado, incompatible.
Incompatible no tiene ninguna solución. Compatible determinado tiene una.
Compatible indeterminado tiene infinitas. Es decir, no hay sistemas que
tengan dos soluciones, ni tres, ni cuatro. O no tienen ninguna. O tienen
una. O tienen infinitas. No hay más opciones. Bueno, vamos a ir viendo
cómo se sabe de qué tipo es un sistema dentro de un poco. Por esto
pregunta. Así que estos nombres, pues tenéis que aprenderlos. Y saber lo
que significa cada uno. Vale. de clasificación yo ya no sigo nada más y
vamos a seguir con lo que vimos el otro día de cómo se puede resolver un
sistema copiate 2X más Y menos 3Z igual a menos 1 menos X más 3Y más Z
igual a 3 3X menos Y menos Z igual a 3 antes de contaros nada nuevo vamos a
recordar cómo se hacía eso con un ejemplo completo os piden que
resolváis ese sistema entonces lo convertís en matriz cogiendo los
números de cada fila en la primera fila 2, 1 menos 3 menos 1 en la segunda
fila menos 1 3 1, 3 en la tercera fila 3, menos 1 menos 1, 3 recordad que
todo esto lo podéis hacer en sucio todo lo que queráis no lo va a recoger
nadie y nadie lo va a ver lo que hagáis por el medio bueno la idea es
entonces convertir la matriz en una matriz escalonada eso se puede hacer de
muchas formas el otro día ya vimos cómo hay que intentar hacerlo lo más
fácil posible y lo más fácil posible es intentar que aquí haya un 1 en
la esquina de arriba de la izquierda o un menos 1 es decir este menos 1 hay
que subirlo para arriba se cambia la primera fila y la segunda fila las
cambio de sitio me queda la primera menos 1, 3, 1, 3 la segunda 2, 1 menos
3 menos 1 y la tercera 3, menos 1 menos 1, 3 El otro día os iba poniendo
creo que las operaciones que hacía y escritas, pero eso no hace falta.
Ahora, necesito un 0 donde está el 2 en la segunda fila. Recordad que la
primera fila ya no se toca. Una vez que habéis conseguido un 1 o un menos
1, esa ya no se toca en todo el proceso. Menos 1, 3, 1, 3, se queda así.
¿Por quién hay que multiplicar ahora la primera? Para conseguir un 0
donde está el 2, ¿por quién tengo que multiplicar? Por 2. Multiplicar la
primera por 2 y sumar a la segunda. Y ya me queda un 0. Y ahora, 2 por 3,
6, y el 1 de debajo, 7. 2 por 1, 2, y el menos 3 de debajo, menos 1. Y 2
por 3, 6, y el menos 1 de debajo, 5. Ya tengo un 0. Lo siguiente,
conseguimos un 0 donde está el 3 al principio de la tercera fila.
Utilizando la de arriba del todo, ¿por quién hay que multiplicar la de
arriba? Por 3. Multiplico la de arriba del todo por 3 y le sumo la de abajo
del todo. Y me queda ya 0 al principio. Y luego, 3 por el 3 de arriba, 9. Y
menos 1, 8. 3 por el 1 de arriba, 3. Y el menos 1, 2. Y 3 por el 3 de
arriba, 9. Y el 3 de abajo, 12. Ya es escalonada. Falta un 0 donde está el
8. ¿Cómo consigo un 0 donde está el 8? Ahora ya no puedo utilizar la
primera fila. La primera fila se va a quedar como está y ya no la puedo
utilizar en este paso. Uno de los errores más típicos que soléis tener
cuando os ponen esto en un examen es que llegáis hasta aquí y no os
acordáis que la primera fila ya no se puede tocar. Y entonces, por
ejemplo, veis que hay un 1. Donde está el 3 de la primera fila veis que
hay un 1 y decís, ah, pues multiplico la primera por menos 8, le sumo una
tercera y ya me sale un 8. Pero entonces lo que hacéis es fastidiar el 0
que tenéis al principio. Es decir, acordaros que para conseguir el tercer
0 ya no se puede tocar la primera fila ni utilizar. Ahora tenéis que
utilizar la segunda para cambiar la tercera. Resulta que encima del 8 hay
un 7. Es conveniente que ahí haya un 1. Pues divido toda la segunda fila.
Por 7. Y me queda 0 entre 7 que es 0. 7 entre 7 que es 1. Menos 1 entre 7
que es menos un séptimo. Y 5 entre 7 que son 5 séptimos. Salen
fracciones. Vale, ahora ya tengo un 1 ahí. ¿Por quién tengo que
multiplicar la segunda fila? Por 8, ¿no? Por menos 8. Ah, por menos 8. Por
menos 8, para que al sumarle el 8 te salga un 0. Entonces, el 0 del
principio va a quedar y luego va a salir un 0. Eso no tenéis que pensarlo.
Los problemas vienen con los otros dos números. Estoy multiplicando la
segunda fila por menos 8. Vale, pues ahora hay que multiplicar menos un
séptimo por menos 8. ¿Cuánto sale eso? Hay que multiplicar menos un
séptimo por menos 8. Sale 8 séptimos. ¿Y qué hay que hacer con ese 8
séptimos? Sumarle el 2. A 8 séptimos le sumáis 2. El número 2 lo
escribís como una fracción, tiene un 1 debajo. El mínimo común. El
múltiplo es 7. La primera fracción es 8 séptimos y la segunda es 14
séptimos. En total, 22 séptimos. Estos cálculos hacerlos con cuidado.
Tenéis que hacerlos porque estos van a salir ejemplos así. Vale, por
último. Estoy multiplicando la segunda fila por menos 8. Me falta
multiplicar el 5 séptimos por menos 8. ¿Cuánto es eso? 5 séptimos por
menos 8. ¿Cuánto es? Uy, tenéis que repasar la multiplicación Menos 40
séptimos ¿Y qué hay que hacer con el menos 40 séptimos? Sumarle el 12
El número 12 es 12 partido por 1 Tenéis que convertirlo en fracción
poniéndolo 7 debajo Y arriba sería 12 por 7 84 El número 12 son 84
séptimos Y ahora ya podéis sumar esas dos fracciones Debajo se queda el 7
Y arriba sería 84 menos 40 Que son 44 44 séptimos Ya tengo la matriz
escalonada ¿Os habéis perdido hasta ahí? Es un ejemplo complicado porque
salen fracciones Pero tenéis que saber hacerlo Bueno, una vez llegados
aquí La matriz ya es escalonada Pasáis a la última fila Que es la fácil
Y le ponéis las letras que antes quitamos ¿Cuál es la única letra que
hay que poner? Como aquí hay un 0 y aquí hay un 0 La única que tengo que
poner es la Z O sea, que lo que quedaría es 22 séptimos por Z Igual a 44
séptimos Y de ahí tenéis que despejar Z A ver Probad antes de que lo
vayáis ¿Cuánto vale Z? La fracción que está multiplicando pasa al otro
lado dividiendo. 22 por 7 es 44. Para dividir se multiplican en cruz. La de
arriba de la primera por la de abajo de la segunda. Y eso lo ponéis
arriba. Entonces, ¿cuánto queda? 22 por 7. No hagas 22 por 7. Bueno,
hazlo si quieres. Que, claro, yo lo digo pensando que yo estoy más
acostumbrado a simplificar antes. 22 por 24. A ver, la idea es que queda 44
séptimos dividido entre 22 séptimos. No, eso es lo que queda al pasar el
22 séptimos para ir dividiendo. Y ahora tenéis que multiplicar en cruz.
44 por 7. No hace falta hacer esa multiplicación. Y debajo queda 22 por 7.
¿No? ¿Y qué podéis hacer ahí? Quitar los 7. O sea, lo que queda es 44
entre 22. 2. Porque 44 entre 22 es 2. El resultado es 2. Z vale 2. Bueno,
he buscado este ejercicio así con fracciones porque os puede salir.
Tenéis que practicar esto. La mayor parte de las veces, los ejercicios de
este tipo salen sin fracciones en el examen. Pero alguna vez sale alguno
con fracciones. Tenéis que estar acostumbrados a esto. Bueno, ya tengo que
z vale 2. Ahora pasáis a la segunda ecuación. A la segunda fila. La
segunda fila. Le ponéis las letras. La segunda fila empieza por un 1. Ese
1 es de la i. Y luego viene menos un séptimo. Por z, pero z acabamos de
calcular que vale 2. O sea, i menos un séptimo por 2, eso es igual a 5
séptimos. Esa es la ecuación que queda de la segunda fila. i menos un
séptimo por 2 es igual a 5 séptimos. El 2 sale de que acabamos de
calcular que la z vale 2. Bueno, entonces, menos un séptimo por 2,
¿cuánto es? Dos séptimos. Menos dos séptimos. Lo pasáis al otro lado
cambiado de signo. Más dos séptimos. Es decir, en el otro lado hay 5
séptimos y ahora paso 2 séptimos. ¿Cuánto queda entonces? 7 séptimos.
¿Y cuánto es 7 séptimos? 1. Total, que i vale 1. Y por último, paso a
la primera fila. Ponéis las letras. Menos x más 3 por i. Pero acabamos de
calcular que la i vale 1, así que más 3 por 1. Más z, que ya sabemos que
vale 2. Y todo eso tiene que ser igual a 3. Pues, solo falta despejar la x
ahí. A ver, ¿cuánto valdrá la x? 3. Piénsalo bien con calma. No puedes
llegar hasta aquí y luego fallar en eso. Dos. Quedaría tres por uno, que
es tres, más dos, cinco. Ese cinco pasa al otro lado cambiado de signo.
Menos cinco. Tres que ya hay y menos cinco son menos dos. O sea, que lo que
quedaría es que menos X es igual a menos dos. Se quitan los dos signos
menos y queda que X es igual a dos. Pues esa es la solución. X vale dos, Y
vale uno y Z vale dos. Han aparecido fracciones por el medio, pero en el
resultado final no. Pueden aparecer fracciones también en el resultado
final. Bueno, lo bueno es que esto no suele pasar, pero a veces pasa. Vale.
Otro ejemplo. Haríamos muchos más, pero es que no da tiempo. A ver, uno
más fácil. Más fácil en el sentido de que no hay fracciones. En el
sentido de que tiene una letra menos. Que también puede haber, o os pueden
aparecer sistemas con una letra menos. Este sistema. 5X menos 3Y igual a
uno. Menos 2X más Y igual a menos uno. 3X menos 2Y igual a cero. Es un
sistema raro porque tiene tres ecuaciones pero solo dos letras. Pero a
veces los pone. De hecho el año pasado... El año anterior creo que en el
examen pusieron este. Es más fácil porque tiene una letra menos. Vale,
pues empezadlo vosotros. Primero hay que escribir la matriz. La matriz ya
os la pongo yo. 5 menos 3, uno. Menos 2, uno menos uno. Y luego 3 menos 2 y
cero. El problema es que no hay ningún 1 en la primera columna. Así que
podéis empezar dividiendo toda la primera fila por 5, para conseguir un 1
en la primera fila. Os van a quedar fracciones desde el principio. El
primer paso lo pongo. Si dividís por 5 la primera fila, quedaría 1 menos
3 quintos y 1 quinto. Y luego las otras filas, en principio, igual. ¿Por
quién hay que multiplicar ahora la primera fila para obtener el primer 0?
Por 2. La primera por 2 y le sumáis la segunda. Venga, un minuto y pongo
yo lo que sale en la segunda fila. A ver si os sale igual. Ahora, siempre
me lío con las asignaturas, porque como tengo muchas, en algunas dejan
calculadora y en otras no. Ahora no recuerdo en la vuestra. No. No la
dejan, ¿no? Vale. O sea, en el examen no vais a tener calculadora. Tenéis
que hacer todo esto a mano. El primer número de la segunda fila va a ser
un cero. ¿Tenéis el segundo número? Sí. ¿Menos? Uy. A mí me dio menos
11 aquí. ¿Menos 11? Sí. A ver, me habéis dicho que hay que multiplicar
por 2. Sí. 2 por menos 3 son menos 6 quintos. Menos 6 quintos. Le tienes
que sumar 1. Ay, menos 1. Sumas por 1. Menos 1 quinto, sí, menos 1 quinto.
Queda menos 1 quinto. Menos 1 quinto. Porque sería menos 6 quintos más 5
quintos. Menos 1 quinto. Menos 6 quintos. Vale, el siguiente número.
Calcular para ver qué sale en el siguiente número. Hay que multiplicar el
1 quinto que está al final de la fila por 2. Y luego sumarle el menos 1
que está detrás. ¿Cuánto es el ajo? 2 quintos menos 1. ¿Cuánto es
eso? Tenéis que hacer esto operado. Dos por un quinto, que son dos
quintos, ¿no? Y luego sumarle menos uno, o sea, menos uno. El número uno
son cinco quintos. ¿Cuánto queda entonces? Menos tres quintos. Si sabéis
hacerlo, solo es con un poco de cuidado. Mirad, ya tengo la segunda fila.
Tercera fila. ¿Por quién hay que multiplicar ahora la de arriba? Para
obtener el siguiente cero. Por menos tres. El primer número va a ser un
cero. Vale, calculad el siguiente número. Hay que multiplicar la de arriba
por menos tres y sumarle el menos dos que está debajo. O sea, tenéis que
hacer esta operación. El menos tres quintos, multiplicarlo. Y a lo que
salga eso, sumarle el menos dos. Menos dos. Parece fácil. Primero el menos
por el menos es un más del principio. O sea, al principio queda un más.
El tres se multiplica por el tres y sale nueve quintos. Al principio nueve
quintos. Y tenéis que restarle dos. ¿Cuántos quintos son en dos? Al
principio quedan nueve quintos y hay que restarle dos. Dos lo tenéis que
poner... ¿Cuatro quintos? No. Tenéis que poner el mismo denominador que
la otra, cinco. Y ahora, ¿qué número hay que poner arriba si tiene que
salir un dos? Diez. Porque diez entre cinco son dos. Menos un quinto. Total
menos un quinto. ¿Me aclaras por qué hay que poner...? Aquí es un diez.
Diez. Dos. ¿Por qué hay que poner un diez ahí? Porque al multiplicar el
cinco por el dos. ¿Tú piensas que tiene que salirte un dos? Sí.
Entonces, si debajo pones un cinco y te tiene que salir un dos, ¿qué
número hay que poner arriba? Cinco por dos, diez. Diez. Total menos un
quinto. Vale, ya solo falta un número. Venga. Hay que multiplicar este un
quinto que está aquí por menos tres y sumarle cero. Más fácil. Menos
tres quintos más cero, menos tres quintos. Menos tres quintos. Vale. ¿Ya
es escalonada esa matriz? No. Falta un cero más. Y diréis, uff, esta
tiene todas fracciones. Pero ahora ya es muy fácil. La primera fila no se
toca. Uno menos tres quintos, un quinto. La segunda fila no se toca ahora.
Cero menos un quinto, menos tres quintos. Tres quintos. Vale. Ahora. ¿Qué
haréis? Por uno. ¿Por uno? Por uno o por menos uno. A ver, que siempre me
lo dices con el signo al revés. ¿Por quién hay que multiplicar la
segunda fila para que al sumarle la tercera me salga un cero? ¿Por 1 o por
menos 1? Por menos 1. Porque resulta que este número y este número son
iguales. Si lo multiplicas por 1, no te va a salir 0. Tienes que
multiplicar el menos un quinto por menos 1. ¿Cuánto es menos un quinto
por menos 1? Más un quinto. Le sumas el menos un quinto que está debajo y
ya tienes el 0. Pero, el último número de la fila es menos tres quintos.
También hay que multiplicarlo por menos 1 y sale tres quintos. Y le
sumáis menos tres quintos y también sale un 0. ¿Esa matriz ya es
escalonada? ¿O porque nos hayan salido más ceros ahí? No lo sé. Si lo
es. Vale. Cuando sale una fila con todos ceros, luego vamos a ver qué
pasa. Pero, en principio, nos olvidamos de ella. Esa fila, olvidarla. Os
quedáis con las otras dos filas. La segunda. Le ponéis la letra. ¿Qué
letra tengo? Que ponerla menos un quinto. La y. ¿La y? Sí. O sea, me
quedaría menos un quinto por i igual a menos tres quintos. Y ahora
calculad la i. Hay otra opción. A ver, podéis calcular la i así. Mirad
un momento. Si esto de las fracciones ahora os asusta y decís, uff, ahora
tengo que andar dividiendo esas fracciones. Si os fijáis, todos los
denominadores que aparecen aquí son cincos. Recordad que siempre podéis
coger una fila y multiplicarla por el número que queráis. Es decir, ahora
podéis coger y multiplicar toda la primera fila por 5 y toda la segunda
fila por 5 y va a salir el mismo resultado. Si multiplicáis la primera
fila por 5 quedaría 5 menos 3 y 1 porque los 5 se simplifican y en la
segunda fila quedaría 0 menos 1 y menos 3. ¿Entendéis eso? Esa es una
opción. La otra opción es que calculeisla ahí así que tampoco es que
sea difícil. Como hicimos antes, la fracción menos un quinto pasa al otro
lado dividiendo. O sea que tendríais que dividir menos tres quintos entre
menos un quinto multiplicando en crudo. ¿Cuánto sale? 3 menos 5. 3. Menos
entre menos es más para empezar. Y ahora sería 3 por 5, 15. 5 por 1, 5.
15 tercios. 15 quintos, perdón. 15 quintos. Pero 15 entre 5, 3. El
resultado es 3. Vale, por último. La primera fila. Pongo las letras y me
queda x menos 3 quintos por i. Pero acabamos de calcular que la i vale 3. O
sea, menos 3 quintos por 3 igual a un quinto. Primero hay que multiplicar
el menos 3 quintos por 3. ¿Cuánto es eso? 15 quintos. 9 quintos. Hay que
multiplicar el 3 quintos por 3. 9, 3 por 3, 9. 9 quintos con signo menos.
Lo pasas al otro lado con signo más. A ver, sitúate. He puesto x aquí
ahora menos 3 quintos por i. La i hemos calculado que vale 3, por eso he
puesto el 3. Y eso es igual a un quinto. Bueno, pues calculad a ver cuánto
vale la i. Gracias. Ese es fácil Aquí quedan nueve quintos con menos Lo
tenéis que pasar al otro lado con más Más nueve quintos pasaría para
allí Nueve quintos es ya cuando ya le has restado lo otro Yo es que, digo,
pero ¿dónde sale la nueve si es...? No, el nueve sale de tres por tres Lo
he puesto ahí Sí, pero vamos, que el tres sería El tres este El tres
para ponerlo en fracción sí sería Quince Quince quintos Pero no tienes
que poner ese tres en fracción Para multiplicar no hace falta Eso es para
sumar Para multiplicar este por este X es igual a dos El nueve quintos
pasaría al lado derecho Sumando un quinto Queda diez quintos Que son dos
El resultado es dos Total, que la solución es Que X vale dos Y que Y vale
tres Bueno Este sistema es un poco especial Porque tenía una letra menos
que fila Y por eso ha salido una fila ahí abajo Con todos ceros Pero esto
de filas con todos ceros Sale muchas veces Ahora vamos a hablar de eso
Volviendo a Los tipos de ecuaciones Uy, esto de reducidas nada Ahora
Volviendo a los tipos de sistemas que os conté antes Había tres tipos de
sistemas Los incompatibles Los compatibles determinados Bueno ¿Cómo se
sabe de qué tipo es un sistema? Antes de resolverlo Pues resulta que ¿Os
acordáis de lo que eran los pivotes? Que lo dijimos el otro día Los
pivotes son En la matriz escalonada Los primeros números de cada fila Que
no son ceros O sea, si vuelvo para atrás A las que hicimos antes En esta
matriz de aquí. Aquí está escalonada. Entonces, ¿cuáles son los
pivotes? El 1 y el menos un quinto. Los primeros números de cada fila que
no son ceros. Esos son los pivotes. ¿De acuerdo? Bueno, pues resulta que
si después de hacer una matriz escalonada, la escalonáis del todo,
miráis los pivotes y queda algún pivote en la última columna, entonces
el sistema es incompatible. Y si es incompatible, no tiene solución.
Paráis. Porque no hay solución. No sigáis porque no lo vais a encontrar.
Repito. Os lo pongo ahí. Si escalonáis la matriz y os queda un pivote en
la última columna, es que el sistema es incompatible y no tiene solución
ninguna. Por ejemplo. Vamos a resolver este sistema. Menos x. Más 2y.
Menos 3z. Igual a 5. La segunda ecuación, 2x. Menos 4y. Más 6z. Igual a
6. Y la tercera, x. Más y. Menos z. Igual a 2. Escribo la matriz. La
primera fila, menos 1, 2, menos 3 y 5. La segunda fila, 2, menos 4, 6 y 6.
Y la tercera fila, 1, 1, menos 1 y 2. Ahora, la primera fila se queda como
está, menos 1, 2, menos 3 y 5. ¿Por quién hay que multiplicar la primera
fila para sacar el primer cero? Por 2. Por 2. Y le sumáis la segunda. Con
eso tengo un cero al principio. A ver, calcular los otros números de esa
fila, que aquí no hay fracciones, esto es más fácil. Multiplicáis la
primera por 2 y le sumáis la segunda. ¿Qué te sale en la segunda fila? A
ver, dime la segunda fila, ¿qué te sale? 0, 0, 0. 0, 0. 0, 16. 16. Pero
todavía no se escalonada la matriz. Eso de que el pivote en la última
columna no tiene solución es cuando la matriz ya es escalonada. Todavía
no hemos acabado. Vamos a la última fila. ¿Qué hay que hacer para tener
un cero al principio de la última fila? Sumar la primera y la tercera.
Multiplicar por 1 y sumar. O sea, sumar la de arriba con la de abajo del
todo. Y queda 0, 3, menos 4. Y 7. Y 8. Y 9. Y 10. Vale, y os lo pregunto.
¿Esa matriz es escalonada o no? ¿Por qué no? Ah, pues sí, sí. A ver,
es que de esto no hemos hablado porque no salió el otro día. Porque se
puede... ¿Se puede qué? ...hacia arriba. Se pueden cambiar las filas.
Acordaros que las filas las podéis cambiar de sitio cuando queráis. Si
ahora pasáis la tercera fila para la segunda, lo que me queda es menos 1,
2, menos 3, 5, 0, 3, menos 4, 7, y luego 0, 0, 0, 16. ¿Esa es escalonada
sí o no? Sí. ¿Qué ha pasado? Que hay un 16, o sea, hay un pivote en la
última columna. Pues paráis. El sistema es incompatible. Ya no hace falta
que sigáis haciendo nada. Acordaros de esto. Cuando salga un pivote en la
última columna, cuando ya la matriz esté escalonada, es que el sistema es
incompatible y no tiene solución ninguna. Estos son los fáciles. En todos
los ejercicios, en todos los ejemplos que hemos resuelto antes, si os
acordáis, al final nos acababa saliendo una solución. Todos los que hemos
hecho antes eran compatibles y determinados. Este es un ejemplo de
incompatible. Ahora vamos a ver los complicados, que son los compatibles
indeterminados. ¿Cómo se sabe si un sistema es compatible o
indeterminado? Pues cuando convertir la matriz en escalonada al final del
proceso, al final del proceso de convertir la matriz en escalonada,
contáis los pivotes. Si el número de pivotes es menor que el número de
letras del sistema, es que el sistema es indeterminado. ¿De acuerdo? En el
ejemplo anterior, ¿cuántos pivotes hay? Tres. El menos uno, el tres y el
dieciséis. El dieciséis no debería estar ahí pero sigue siendo un
pivote. Hay tres pivotes. ¿Hay menos pivotes que letras tiene el sistema?
No. Pues este no es indeterminado. Para que salga indeterminado entonces
aquí tendría que haber un cero. Si ahí hubiese un cero, solo habría dos
pivotes. El menos uno y el tres. Como letras hay tres y pivotes dos, el
sistema es indeterminado. Y tendría infinitas soluciones. Se suele decir,
esto no es verdad, ¿eh? Se suele decir que si una fila salen todos ceros,
el sistema es indeterminado. Eso es mentira. En algún libro, el vuestro
creo que viene bien esto explicado. En algún libro he visto eso. No porque
en una fila salgan todos ceros, el sistema es indeterminado. No. Tenéis
que contar el número de pivotes. Y tiene que ser menos que letras. Antes
hicimos un ejemplo. ¿Os acordáis que solo tenía dos letras? A ver, este.
Este ejemplo que hicimos antes con dos letras. Escalonamos la matriz y
salió una fila con todos ceros. Entonces es indeterminado. No. Porque
tiene dos pivotes y dos letras. Aunque salga una fila con todos ceros...
Eso no quiere decir que sea indeterminado. Para que sea indeterminado el
número de pivotes tiene que ser menor que el número de letras. Acordaros
de eso. Bueno, vamos a ver un ejemplo ahora normal de indeterminado. x más
y menos z igual a 2. 2x menos y más z igual a 3. 3 menos 3x menos 3y más
3z igual a menos 6. La matriz sería la primera fila, 1, 1, menos 1 y 2. La
segunda fila, 2, menos 1, 1 y 3. Y la tercera fila, menos 3, menos 3, 3 y
menos 6. Vale, para conseguir el primer cero, ¿por quién hay que
multiplicar la fila de arriba? 3. Para conseguir el cero, ¿dónde está el
2? Menos 2. Menos 2. La de arriba por menos 2. Vale, pues calculad la
segunda fila y a ver qué queda. La de arriba por menos 2, le sumáis la
segunda. ¿La tenéis ya? Al principio un 0, luego parviene. 3, luego 3 y
luego menos 1. Ahora, para tener un 0 en la esquina de abajo, ¿por quién
hay que multiplicar la de arriba? Por 3 y sumarle la de abajo. La de arriba
por 3, le sumáis la de abajo. El primer número va a salir un 0. ¿El
segundo número? Otro 0 y otro 0. ¿Esa matriz es escalonada ya? Sí. Sí,
pues paráis. ¿Cuántos pivotes hay? Dos. El 1 y el menos 3. ¿Cuántas
letras hay? Tres. Pues el sistema es indeterminado. Compatible, pero
indeterminado. Esto quiere decir que tiene infinitas soluciones. Y eso os
complica la vida de una forma extraordinaria. Porque hay que calcularlo.
Hay que calcular las infinitas soluciones. Aquí ahora ya no hay que
calcular una, hay que calcularlas todas. Entonces, vamos a ver qué hacemos
aquí. La matriz ya es escalonada. O sea, con la matriz ya no se hace nada
más. Os olvidáis de la fila que tiene todos ceros y pasamos a la fila
más fácil, la segunda. Le pongo letras a la segunda fila. Menos 3 es la
i, más 3 que es la zeta, igual a menos 1. En un sistema normal de los que
hicimos al principio el otro día, esta ecuación solo tenía una letra y
era muy fácil. Despejabais la letra y se acabó. Pero aquí hay dos
letras. Si hay dos letras en una ecuación es que sobra una letra. Si sobra
una letra, escogéis una de las dos, la Z o la I, la que os dé la gana,
escogéis una y se le llama de otra manera. En vuestro libro creo que
utiliza la letra A, o la letra griega alfa, o la B a veces, o la beta. A
una letra, una de las dos letras que están en la ecuación, la llamáis de
otra forma. A o alfa. No me acuerdo en vuestro libro cómo viene. La letra
que queráis, o sea, la letra es lo de menos. No en el libro, es que en
segundo bachillerato la llamaban T. Depende de los libros. Yo estoy
acostumbrado a poner alfa, letras griegas que se utilizan. Pero ponerle lo
que quieras. Lo que queráis, que eso es lo de menos. Creo que vuestro
libro utiliza la A. Pero no os lo aseguro. Bueno, entonces, cogéis una
letra, le llamáis de otra forma. Eso deja de ser una incógnita. Y ahora
se llama parámetro. Pero el nombre es lo de menos. Total, ¿qué me queda?
Menos tres I, más tres A, igual a menos uno. Hay que calcular la I. Por lo
tanto, el tres A lo paso al otro lado. Cambiado de sentido. Y me queda que
menos tres I es igual al menos uno que está del otro lado, menos tres A.
¿Entendéis de dónde sale eso? Vale, hay que calcular y. Por lo tanto,
ahora hay que despejar la y. ¿Qué se hace con el menos 3? Pasa dividiendo
al otro lado. Hay otra opción aquí para hacer las cosas más sencillas.
Si os fijáis, todos los signos son menos. Pasarlos a positivos. Cambiarlos
todos a positivos. Esto no haría falta hacerlo, pero así se ve todo más
claro. El 3 pasa dividiendo. O sea, que lo que queda es 1 más 3a partido
por 3. Eso es lo que vale y. Y tenéis que llegar hasta ahí. Ahora, ¿qué
significa eso? ¿Cuánto vale y? Pues depende de a. A es un número
cualquiera. La idea es que a es un número cualquiera. El que os dé la
gana vosotros. Pero esa ya no es solución. A ver, la idea es que este
sistema es indeterminado. Por lo tanto, tiene infinitas soluciones. Si
ahora os preguntan. Bueno, pues dime una. Una de las soluciones. Nos falta
calcular la x. Sé que todavía no lo hemos calculado. Le dais un valor a
a. El que os dé la gana. 7. Y entonces la z valdría 7. Y ahora aquí
ponéis también el 7. 7 por 3, 21. Más 1, 22 tercios. Y eso es lo que
valdría la y. Y no hemos acabado. Nos falta calcular la x. Utilizando la
primera fila. Pongo letras. 1 de la x. Más 1 por la y. La y esto. Todo
esto. O sea, más 1 más 3a partido por 3. Eso es lo que vale y. Menos.
Ahora vendría la z. La z vale a. Y todo eso igual a 2 A ver, pensad a ver
si entendéis Donde he sacado todo eso He quitado la letra I Y he puesto la
fracción que hemos calculado que vale Y he quitado la letra Z Y hemos
puesto lo que vale, que es A Y ahora aquí despejáis la X Todo lo que
está en su lado Lo pasáis al otro lado cambiando de signo Y queda que X
es igual al 2 Menos la fracción 1 más 3A partido por 3 Y más A Y todo
eso es lo que vale X Bueno, estos son los sistemas más difíciles Porque
al final Al utilizar las letras Pues se complica la cosa un poco El
próximo día vamos a trabajar Sobre todo con este tipo de sistemas Pero
ahora recordad Que para que un sistema sea indeterminado No vale con que
salga una fila a ceros Tenéis que contar el número de pivotes Y tiene que
ser más pequeño Que el número de letras Como aquí, 2 pivotes, 3 pivotes
Si llega a ver Una fila menos Si hubiese una fila más Aunque saliesen
todos ceros Daría igual El sistema sería determinado ¿Te refieres a eso?
Me refiero a que si hubiera esa columna, si quitamos la de la derecha
sería... Si quitarla de la derecha, seguiría siendo indeterminado. A ver,
si quitarla de la derecha entonces es que no habría tres letras, habría
dos. Con lo cual el número de pivotes coincidiría con el número de
letras y sería determinado. Como en el ejemplo de antes. Bueno, de todas
formas, eso es raro, quiero decir. Cuando aparece una fila con todos ceros,
probablemente es que el sistema sea indeterminado. Lo más probable. Pero a
veces no. Bueno. El próximo día vamos a seguir con esto de indeterminados
pidiendo más ejemplos. Pero para acabar con lo que habla el tema, y para
que os suene ya todo, sistemas homogéneos. ¿Os acordáis de lo que es
eso? ¿O lo habéis leído? Estos son fáciles. Un sistema es homogéneo
cuando todos los números de la derecha son ceros. Todos los que hay
después del igual, todos son ceros. Entonces el sistema se llama
homogéneo. ¿Vale? Por ejemplo, en el tema. X más Y igual a cero. X menos
Y igual a cero. Esto es un sistema homogéneo. Porque los números de la
derecha son ceros. Y ya está. Muchas veces, en el examen, los ejercicios
de sistemas, el sistema que ponen es homogéneo. Eso hace las cosas más
fácil. ¿Por qué? Porque en los sistemas homogéneos ya no hay tres tipos
posibles. O sea, no hay indeterminados, compatibles determinados y
compatibles indeterminados. Los sistemas homogéneos siempre son
compatibles. Siempre. O determinados o indeterminados. Pero nunca son
incompatibles. Gracias. Acordaros de eso, viene en vuestro libro. Los
sistemas homogéneos no pueden ser incompatibles, siempre son compatibles.
Y una solución del sistema homogéneo se sabe de antemano. Es decir, los
sistemas homogéneos siempre tienen por lo menos una solución. O tienen
una o tienen infinitas. Y una la sabéis siempre. ¿Cuál es la solución
que se sabe de un sistema homogéneo? ¿En este caso? Pues que X es igual a
Y. Pero no vale con que me digas eso, tienes que decir X vale tanto y vale
tanto. ¿Cuánto valen la X y la Y? Cero. En todos los sistemas
homogéneos, con dos letras, con tres letras o con veinte letras, con tal
de que sea homogéneo, una solución es siempre que todas las letras valen
cero. ¿Sí o no? Sí. En todos los sistemas homogéneos, esa es una
solución. ¿Qué puede ocurrir? Que esta sea la única solución y
entonces el sistema es compatible determinado o que haya esta e infinitas
más y entonces el sistema es compatible indeterminado. Pero esta desde
luego que la hay. Bueno, en este caso... En este caso, el sistema solo
tiene esta solución. Vamos a ver por qué. Ya que puse este. Imaginaros
que no os acordáis de esto, de que la solución que hay es x igual a cero
igual a cero. ¿Queréis resolver el sistema? Pues escribir la matriz. La
primera fila, uno, uno, cero. La segunda fila, uno, menos uno, cero. Y hay
que escalonarla. Pues, este es fácil. La primera fila se queda como está,
uno, uno, cero. A ver, ¿qué quedaría en la segunda fila? Por menos uno,
y le sumas la segunda. Cero, cero, cero. No. Calcula bien. Cero, menos dos.
Cero, menos dos, y... El último número, ¿cuál sería? Cero. En los
sistemas homogéneos, la última columna, van a salir cero, cinco. Siempre
es. Por mucho que hagáis, calculeis, cambiéis o lo que sea, la última
columna siempre van a ser ceros. No queda cero, cero, cero. Vale. Esta
matriz es escalonada. Sí. Ya hemos acabado. ¿Cuántos pivotes tiene? Dos.
¿Cuántas letras había? Dos. Por lo tanto, ¿de qué tipo es este
sistema? Determinado. Y entonces, ¿cuál es la solución? Cero, cero. Ya
no hace falta que sigáis. Si es determinado... La solución es esta.
porque esta la tiene que haber y si es determinado solo hay una pues tiene
que ser esta ¿entendéis el razonamiento? bueno, pues sistemas como estos
también ponen en el examen bueno, pues llegamos hasta ahí tenéis que
practicar todo esto no es mucho se verá como si puede haber más
soluciones pudiera ser que el sistema fuese indeterminado, entonces habría
más soluciones en este caso no en este caso no, no porque número de
pivotes dos número de letras dos, por lo tanto es determinado si es
determinado tiene una solución y si tú sabes que esta es una solución y
que solo hay una pues tiene que ser esta no puede haber más no lo tenéis
yo lo he pedido para la biblioteca, no sé si ha llegado a la biblioteca o
no pero lo pedí hace diez días entonces, no sé a mí me dijeron que no
lo iban a comprar es lo que di yo ah, pues entonces Pues a mí la chica me
dijo que no había dinero, que no sé qué, que no le iba a pedir. Espera,
a ver, ya me digo. No os digo nada, no os digo nada, no os digo nada. Por
no tener que comprarlo. No os digo nada, no sé si lo he pedido o no lo he
pedido. Está abierto ahora, podemos preguntar. Preguntar, no lo sé. Pero,
pero... A mí, yo he ido varias veces y al final, de tanto insistir, me
dijo que no lo iban a pedir, que lo comprase. ¿Y cuánto vale ese libro?
¿No me habías dicho el otro día? Sí, te acuerdas que te lo dije. Sí.
¿Cuánto, cuánto habías mirado tú? Te hubieras mirado cuando te
gustaba, ¿no? Era treinta, ¿eh? Treinta y algo, sí. Pero yo te digo que
fui, he ido varias veces y al final me dice que no lo iban a pedir. A ver,
yo de todas formas tener el libro ayuda, pero... Sí, para practicar. De
verdad, pero que no es imprescindible, eh. Quiero decir... Internet y... Si
tú buscas sistemas en Internet... Encuentras que en mil apuntes. Y os
prometo que no hay más que lo que cuento yo. En el libro no viene más que
lo que cuento yo. Vienen más ejemplos, eso sí, porque aquí no nos da
tiempo de más. Pero es lo que cuento yo. O sea que no es imprescindible
el... Hombre, para ayudaros... Hasta para este tema también sirve el libro
de bachillerato. Menos para lo de Gauss-Jordan, esto, que es un... Pero lo
de Gauss-Jordan... Yo creo que no os lo voy a contar este año. Porque no
os va a hacer falta. Lo que necesito... Lo que necesitáis es lo que os he
contado. Lo que necesitáis para sacar un 10. No para probar, para sacar un
10. Si sabéis hacer todo esto y lo que vamos a ver el próximo día...
Sabéis hacer todo lo de este tema. Que os puedan preguntar. El libro
ayuda, evidentemente, el libro ayuda. Pero bueno, que tampoco os volváis
locos por el libro. Si no lo conseguís no pasa nada. Que se puede sacar un
día sin él, la verdad. Tenéis que practicar. Venga, hasta luego.