Buenas tardes Andrea vamos a a ver como se resuelven los ejercicios 79 y
108 que me has preguntado mira el 79 lo vamos a hacer de cuatro formas
distintas entonces para que veas también como como Pero el mismo ejercicio
se puede hacer de distintas formas. Por un lado lo vamos a resolver sin
necesidad de hacer ningún tipo de operación, simplemente por razonamiento
económico con lo que sabemos hasta este momento. Luego lo resolveremos
como lo resuelven en el libro de ejercicios aplicando la teoría. Luego lo
volveremos a resolver pero ya utilizando los atajos que nos permiten
acortar tiempo al aplicar esa teoría. Y por último responderemos a la
pregunta concreta de este ejercicio porque aquí lo que están
preguntando... O lo que están pidiendo es que se obtenga la curva
precio-consumo. Entonces las respuestas son los gráficos, pero en los
gráficos no aparece la curva precio-consumo. Entonces la vamos a calcular
también. Bueno, para empezar vamos a intentar resolverlo sin necesidad de
hacer ninguna operación. En primer lugar, a ver cómo me apaño un poco
también con la pizarra esta. A ver, en primer lugar, la función de
utilidad con la que vamos a trabajar es u igual a x sub 1 elevado a 1 medio
por x2 elevado a 1 medio. La restricción presupuestaria general es esa. Y
luego está aquí la situación inicial cuando el precio del bien 1 es 3 Y
la situación final cuando el precio del bien 1 es 6. Bien. lo que se
produce es una variación en el precio del bien 1. Entonces, en los
gráficos de la respuesta, lo que tenemos son distintas rectas
presupuestarias. Esa una y esta sería otra. En este otro gráfico tenemos
estas dos rectas presupuestarias y los puntos de equilibrio. para cada uno
de los precios del bien X1. Entonces, lo primero que podemos ver es que, o
sabemos ya, que cuando baja el precio del bien, o cuando se modifica el
precio del bien X1, lo que sucede es que la recta presupuestaria pivota
sobre el eje de las de X2, alejándose, o sea, pivotando, haciéndose más
horizontal, si baja el precio y haciéndose más vertical, si lo que hace
es subir el precio. Entonces, por eso, ya podemos descartar como respuestas
la B y la C. Porque en esas dos respuestas lo que nos están dibujando es
un desplazamiento paralelo de la recta presupuestaria. Entonces, ese
desplazamiento paralelo se puede producir solamente por dos cosas. Una, por
una variación en la renta del consumidor, por incremento o disminución, o
bien porque variaran, se mantuviera constante la renta y variaran los dos
precios en la misma proporción. Si varían en la misma proporción, se
mantiene la pendiente constante. Entonces, como únicamente varía el
precio del bien 1, lo que sucede es las respuestas que están marcadas con
la A y con la D. La recta presupuestaria pivota y se hace más horizontal.
Como los puntos de corte que están poniendo, 22,5, 30 y 15, son los mismos
en la respuesta A y en la respuesta B, pues tampoco podemos descartar a
priori ninguna. Bien, entonces, para empezar, respuesta posible, la A y la
D. Continuamos. La función de utilidad que estamos utilizando es una
función de utilidad del tipo Cobb-Douglas. Si recuerdas, la función de
utilidad del tipo Cobb-Douglas sería de este tipo. Tipo U igual a X1
elevado a alfa por X2 elevado a beta. Cualquier función. De utilidad que
tenga esa expresión, ese tipo de expresión es una función de utilidad de
co-obdublar. Entonces ya vimos en el capítulo segundo del equilibrio del
consumidor cómo se obtenía el equilibrio del consumidor con una función
de utilidad co-obdublar. Y sabíamos que la función de demanda de este
tipo de bienes es una función de demanda, digamos, normal. Normal en el
sentido de que se le puede aplicar o cumplen la ley de la demanda. Y la ley
de la demanda lo que dice es que si se incrementa el precio de un bien va a
disminuir su consumo y si desciende el precio del bien lo que va a hacer es
aumentar el consumo de ese bien. Entonces vamos a fijarnos en las dos
respuestas. Entonces, gráficamente, el aumento en el precio del bien
económico, x1, lo que va a hacer es que la recta presupuestaria pivote y
se haga más vertical. Entonces, En el punto A, o sea, en la respuesta A,
pasamos de un equilibrio que está en los ejes de coordenadas para P sub 1
igual a 3, en X1 igual a 15 y X2 igual a 11,5. Y al aumentar el precio del
bien 1 a 6, pasamos a este otro punto, que es el punto 7,5 de X1, 11,25 de
X2. Y en el gráfico cuarto, que es la respuesta D, pasamos del punto...
7,5, 16,87, 16,87 lo he calculado yo. Pasamos a cuando el precio es 6, el
precio del bien 1, pasamos al punto 7,5, 11,25. Entonces, lo que te estaba
diciendo, las funciones de utilidad de Cobb Douglas lo que hacen, lo que
nos representan son bienes que se comportan de una forma normal. No hablo
de bienes ordinarios normales en función de la renta, sino en el sentido
del que cumplen la ley de la demanda. Aumentos en el precio producen
disminución del consumo y disminuciones en el precio aumentan el consumo.
Entonces, que cumplan esa condición solamente se da en el caso A, en el
primero de los tráficos. Porque pasamos al aumentar el precio de un
consumo. A ver, pasamos de un consumo de 15 unidades del bien X1 a 7,5
unidades del bien X1. Nos da igual lo que suceda con el bien 2. En cambio,
en el gráfico cuarto, en la respuesta D, pasamos, realmente el bien X1 no
varía, se sigue consumiendo independientemente de tu precio, 7,5 unidades.
Con lo cual, el único gráfico que cumple la ley de la demanda, que al
aumentar el precio de un bien, el 1, disminuye la cantidad demandada de
este bien, es el gráfico 1. Con lo cual, la respuesta es la respuesta A.
Eso sin hacer ninguna operación. Bien, ahora vamos a resolverlo como se
resuelve en el libro. En el libro se aplica la teoría. Esto mismo, esta
forma de resolverlo está explicado, como te digo, en la tutoría del
capítulo 2, pues será en la segunda parte, donde se obtiene el equilibrio
del consumidor. Entonces, para obtener el equilibrio del consumidor, las
cantidades que consume el consumidor, dados unos precios y la renta, se
realiza en dos pasos. Primero, aplicamos la condición de tangencia. La
condición de tangencia es que la relación marginal de sustitución tiene
que ser igual al cociente del precio de los bienes. Entonces, la relación
marginal de sustitución es la utilidad marginal con respecto al bien 1,
dividido por la utilidad marginal con respecto al bien 2. Y eso tiene que
ser igual al cociente de los precios de los bienes. Aquí, en esta parte de
aquí, he calculado primero la utilidad marginal con respecto a cada uno de
los bienes. Con lo cual continuamos aquí abajo, cociente de las utilidades
marginales igual al cociente de precios. Simplificamos y nos queda esta
expresión de aquí abajo. X2 partido por X1 es igual a P1 partido por P2.
No estoy sustituyendo los precios por su valor. Porque ahora estoy
calculando el equilibrio antes o el equilibrio inicial con los precios 3 y
4. No lo estoy sustituyendo porque como luego voy a modificar el precio
para no tener que hacer todo el proceso otra vez. De momento los dejo
indicados y solamente voy a sustituir los precios al final. De esa forma me
vale todo el recorrido que he hecho, todo el desarrollo que he hecho y
solamente voy a tener que sustituir al final el precio de un bien o el
precio primero o el precio final. Bueno, como vemos en la última, en la
condición de tangencia que nos deja x sub 2 partido por x sub 1 igual a p
sub 1 partido por p sub 2. Eso es una ecuación con dos incógnitas. Las
dos incógnitas son x sub 1 y x sub 2. Como es una ecuación no podemos
resolverla. Entonces, ¿cómo lo resolvemos? Pues con el segundo paso, que
es sustituyendo esos valores, o sustituyendo, o utilizando, por decirlo de
alguna forma, la restricción presupuestaria como un sistema de ecuaciones.
Entonces, ¿qué hago yo? Pues despejo de la condición de tangencia x2,
p2, que es igual a p1, x1. Y entonces lo puedo sustituir yo en la
restricción presupuestaria. Y sustituyo P2X2 por P1X1. Entonces ahí ya me
queda una ecuación con una sola incógnita, que es X1. Porque el precio
del bien y la renta son datos, son parámetros. Con lo cual ya puedo
despejar X1. Y X1 es igual a un medio de Y partido por P1. Eso que he
obtenido ahí es la función de demanda del bien X1. Que depende de la
renta y del precio del bien. Si recuerdas, la función de demanda de un
bien depende de una serie de variables. Entre las que están el precio del
bien, el precio de otros bienes, la renta, los justos, etc. Pues esa
expresión de ahí es la expresión de la función de demanda general de
ese bien X1. Y esa función de demanda general, si yo concreto ahí el
nivel de renta y los precios, pues entonces ya obtengo el punto de
equilibrio. Ya obtengo la cantidad que consume el consumidor con unos
precios dados y con una renta rara. Entonces, en primer lugar, en la
situación inicial, para P1 igual a 3. Yo sustituyo la renta es 90, el
precio del bien 1 es 3 y eso me da como respuesta que cuando el precio del
bien 2 es 4 y la renta 90, el consumidor consume de X1 15. Y de X2 lo
podríamos calcular también. Pero bueno. Bueno, en principio nos interesa
X1. ¿Y qué sucede cuando el precio del bien pasa a 6? Pues entonces
simplemente ahora no tengo que repetir todo el proceso. Simplemente
sustituyo el precio del bien en lugar de 3 por 6. Respuesta 7,5. Con lo
cual, al incrementarse el precio de 3 a 6, el consumo del bien X1 queda
reducido a la mitad. Bien, con lo cual esto nos coincide con el gráfico
primero, la respuesta A, con lo cual ya podríamos resolverlo también.
Vamos a resolverlo ahora de la misma forma pero haciendo atajos para no
tener que hacer todo el proceso de igualar, de hacer las derivadas
parciales, de hacer el cociente de las utilidades marginales, de despejar,
de sustituir, etcétera, etcétera. ¿Por qué? Porque... En este caso en
concreto estamos utilizando la función de utilidad de Cobb-Douglas,
¿vale? Y de cualquier forma que sea la función de utilidad, siempre que
sea de Cobb-Douglas, las funciones de demanda que nos salen de x1 y de x2
son estas. Alfa partido por alfa más beta por y partido por p sub 1, es
decir, el exponente de x sub 1 partido por la suma de exponentes
multiplicado por la renta y dividido por el precio del bien 1. Y la de x2
es el exponente de x2 dividido por la suma de exponentes multiplicado por
la renta y dividido por p sub 2, ¿eh? Entonces, como ves... Ya sabemos el
resultado final al que nos ha llevado a hacer todo este proceso. Porque
esta ecuación de aquí es, x sub 1 es el exponente de x sub 1 dividido por
la suma de los exponentes. Que el resultado es 1 y medio. Perdón, 1 y
medio, 1 medio. Entonces, aquí abajo, las cantidades de equilibrio en este
caso con esa función en concreto y para x sub 1 igual a 3 son 1 y medio,
que es el... el exponente de x sub 1, dividido por la suma de los
exponentes que es 1. 90 que es la renta y 3 el precio. Operando me queda x
sub 1 es igual a 15, que hemos hecho un atajo porque lo hemos resuelto
mucho más rápidamente sin necesidad de hacer todo el proceso porque es
una función de copduglas. x sub 2, haciendo lo mismo y utilizando la
expresión de la función de demanda de copduglas que viene de la función
de utilidad de copduglas, nos da x sub 2 igual a 11.25 y para p sub 1 igual
a 6, sustituyendo, nos queda 7.5 como antes y 11.25. Pues ya lo hemos hecho
también de una forma más rápida que haciendo todo el proceso. El proceso
que he hecho en la página anterior es el que se hace aquí en el libro de
texto hasta aquí. ¿Eh? Al final hay una errata, pero eso es una errata
del texto, o sea, están mal puestos los números, ¿eh? Pero bueno, bien,
entonces como ves lo podemos resolver de una forma más sencilla y esto es
útil saberlo de cara a los exámenes para no perder tanto tiempo
resolviendo un ejercicio. Es decir, estas funciones de demanda, ya te digo,
son exclusivas de las funciones de utilidad de coptura. Si nos dieran otra
función de utilidad distinta, pues tendríamos que hacer el procedimiento
de la página anterior. Igualar el cociente de utilidades marginales al
cociente de precio, de allí despejar una variable y sustituirla en la
restricción presupuestaria. En cuanto a los resultados que hemos visto de
los bienes, vamos a profundizar un poco más. Como ves, el bien X1
disminuye la cantidad al aumentar el precio de 15 a 7,5. Cumple la ley de
la demanda. El bien X2, aunque baje el precio del bien X1, se mantiene
constante en 11,25. Y eso también lo vemos en la propia función de
demanda del bien X2, porque ahí no aparece para nada el precio del bien 1.
Eso significa que a la cantidad demandada del bien X2 no le afecta el
precio del bien 1, son independientes en el consumo. De la misma forma que
al bien X1 no le afecta la variación del precio del bien 2. Y ahora por
último lo que vamos a hacer es responder a la pregunta de los ejercicios,
que preguntaban cuál era la curva precio-consumo. En primer lugar, ¿qué
es la curva precio-consumo? Que lo pongo ahí. Lugar geométrico de las
combinaciones óptimas de ambos bienes para cada precio del bien X1 dados
la renta y el precio del otro bien. ¿Qué significa esto? Que si tenemos
una situación de equilibrio y vamos pagueando solamente el precio del bien
uno y mantenemos constante el precio del otro bien y la renta, se nos van a
producir distintos puntos de equilibrio conforme vaya pivotando la recta
presupuestaria. Entonces, si yo uno todos esos puntos, que esos puntos que
voy uniendo son precisamente combinaciones óptimas de ambos bienes y esa
línea que los une, que está también en el eje de coordenadas X1 y X2,
pues esa línea es precisamente la curva precio-consumo. Entonces, ¿cómo
se obtiene esa curva precio-consumo? Bueno, pues para obtener la curva
precio-consumo aplicamos la condición de tangencia. Que como lo hemos
hecho antes, pues veíamos que nos daba en este caso con esta función de
utilidad x sub 2 partido por x sub 1 igual a p sub 1 partido por p sub 2.
Aquí tenemos tres variables. Tenemos x sub 2, x sub 1 y p sub 1. Porque
ahora sí que está variando p sub 1. P sub 2 es constante, ¿eh? ¿De
acuerdo? Yo puedo dejarla aquí, podría ponerle ya el 4 directamente y me
queda una expresión, una ecuación, pero con tres incógnitas. Entonces yo
tengo que quitar incógnitas de ahí. La que tengo que quitar seguro es la
del precio del bien 1. ¿Eh? Porque yo la curva precio-consumo la voy a
representar en un eje de coordenadas en el que tengo X1 en las fichas y X2
en la ordenada. Entonces, a mí, para empezar, me sobra ahí P1. Bien,
entonces voy a despejar P1 y voy a sustituir P1 en la restricción
presupuestaria. Pues bueno, ya estamos aquí. Despejo P1, que es igual a P2
por X2 partido por X1, en la recta presupuestaria. Digamos que aquí tengo
un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas, que las incógnitas son
X1, X2 y P1. Como a mí me interesa quitar P1, pues bueno... Aquí
sustituyo P1 por lo que había obtenido, P2 por X2 partido por X1 y opero,
simplifico. Resulta que también X1 se me va a ir y me va a quedar 2P2 por
X2 igual a Y. De ahí despejo ya X2, que es una variable que me interesa
porque P2 y Y son parámetros, el precio de la renta y el precio del otro
bien. Luego lo sustituiré cuando me interese. Y al despejar X2 ya me queda
Y partido por P2. Ahora ya puedo sustituir porque la renta y P2 son
números concretos. Sustituyo por 90 y por 4 y me queda esta expresión, X2
es igual a 11.25. Vale, pues la curva precio-consumo precisamente es esta,
X2 igual a 11.25. ¿Qué significa eso? Eso es representada en este
gráfico, en este eje de coordenadas con X1 y X2. Pues bueno, que es una
línea horizontal. que paralela al eje de abscisas en el nivel de 11.25, o
sea, la curva precio-consumo es la que he marcado en negro. Al nivel de
11.25 de ordenada, esa es la línea horizontal. Si yo fuera variando el
precio del bien 1 continuamente, todos los puntos de equilibrio del bien X1
estarían en esa línea. Y además, el bien X2 se consumiría, para que sea
el precio del bien 1, se consumirían 11.25 unidades. ¿De acuerdo? Pues
bueno, este sería mi explicado lo que es el ejercicio 79-2. Pasamos al
108, vale. Bien, la función de utilidad que se está considerando que
aparece en ejercicios anteriores es esta, es también de coctubla, 2X1 al
cuadrado por X2. Los precios que nos dice, según los datos que nos pone
ahí, P1 igual a 2, P2 igual a 4 y la renta igual a 20. Bien, lo que nos
pregunta es el índice de utilidad. ¿Cómo se obtiene el índice de
utilidad de cualquier función de utilidad? Pues lo único que hay que
hacer es sustituir los valores de X1 y de X2 del equilibrio en... La
función de utilidad, y eso nos da el nivel de utilidad del equilibrio. El
nivel de utilidad o índice de utilidad que es lo mismo. Entonces en este
caso yo lo primero que tengo que hacer es obtener las cantidades de
equilibrio. Igual que lo había hecho en el ejercicio anterior. Si no fuera
una función de coctublar, pues condición de tangencia. Cociente de
utilidades marginales igual a cociente de especios. Es decir, despejar una
incógnita, sustituirla en la restricción presupuestaria y despejar. Y
luego hacer lo mismo con la otra incógnita. Como es una función de
coctublar, yo ya sé la respuesta. x sub 1 es igual a alfa partido por alfa
más beta por i partido por p sub 1. Sustituyo los valores exponente de x
sub 1, 2. exponente, suma de los exponentes, 2 y 1, 3, la renta 20, el
precio del bien 1, 2, operando 6.66, lo mismo para x2, me da 1.67, pues ya
tengo yo las cantidades de equilibrio. Entonces, para obtener el índice de
utilidad, sustituyo en la función de utilidad x1 por el valor que he
obtenido, 6.66 por supuesto elevado al cuadrado y x2 por 1.67 y operando me
sale esto, teniendo en cuenta los decimales porque no son exactos y demás.
Bueno, pues estas son las explicaciones de estos dos ejercicios. Estos dos
ejercicios. Espero que te hayan sido de utilidad. Si no, me vas comentando.
Buenas tardes y hasta luego.