Un saludo a todos. Soy David Castilla, tutor del Centro Asociado de la
UNED en Huelva. Me dispongo a presentar la primera de las sesiones dedicada
al tema 7 sobre contrastes no paramétricos del grado en Economía. Esta
sesión tiene como objetivos pedagógicos conocer el concepto de contraste
no paramétrico, dominar los contrastes de bondad de ajuste, conocer e
interpretar las tablas de contingencia y realizar contrastes de
independencia y homogeneidad. Los alumnos del grado en Economía que
pretendan contactar conmigo en la asignatura de Inferencia Estadística
pueden hacerlo a través del foro del grupo de tutorías de la plataforma
ADO. En cuanto a las referencias necesarias para abordar este tema,
recomendaría especialmente el manual de Casas y Gutiérrez 2011,
concretamente de las páginas 301 a 351, y el de Ruiz, Maya y Martín,
1999, de las páginas 271 a 308. En cualquier caso, por lo general,
cualquier manual que aborde la Inferencia Estadística suele incluir algún
tema relativo a los contrastes no paramétricos, como puede ser el caso de
Novales 1997. El tema 1 de la asignatura de Inferencia Estadística del
grado de Economía abordó el concepto de inferencia estadística. La
inferencia estadística utiliza datos muestrales para llevar a cabo
estimaciones, tomar decisiones, realizar predicciones, comprobar hipótesis
o hacer otro tipo de generalizaciones relativas a un conjunto de datos más
grande denominado población. La inferencia estadística viene justificada
por la existencia del muestreo y la necesidad del mismo. El muestreo es
necesario porque permite reducir significativamente el coste de estudio en
ciencias sociales, debido al tamaño tan grande que suele tener la
población y a otras razones como la rapidez de su aplicación, el detalle
de la información que sostiene o algunas limitaciones como el carácter
destructivo de la observación de la población. Entre los procedimientos
de la inferencia estadística estudiados en este curso se encuentran los de
estimación de parámetros poblacionales, que han sido abordados en los
temas 2 al 4, y la contrastación de hipótesis estadísticas que están
solicitadas por la Inferencia Estadística. En concreto, el tema 5 abordó
los conceptos básicos de los contrastes de hipótesis, distinguiendo entre
contrastes paramétricos y no paramétricos. Los contrastes paramétricos
los definimos como aquellos que contrastan hipótesis sobre el valor que
toman los parámetros de distribuciones poblacionales conocidas. Estos
fueron abordados principalmente en el tema 6. Un ejemplo lo podría
constituir el caso de contrastar la hipótesis sobre mu y sisma de una
familia de distribuciones normales. El otro tipo de contrastes que existen
son los del tipo no paramétricos, que serán los abordados en este tema.
En concreto, los contrastes no paramétricos no contrastan hipótesis sobre
parámetros poblacionales. En su lugar, contrastan hipótesis sobre otras
características como pueden ser la forma, la localización, la
aleatoriedad, etc. Estos contrastes son métodos de distribución libre, lo
que quiere decir que en general no implican supuestos sobre las
distribuciones de la población muestreada, en particular el supuesto de
normalidad, que es requerido en la amplia mayoría de los contrastes
paramétricos. Los contrastes no paramétricos, además, permiten trabajar
con variables cualitativas tanto de escala nominal como ordinal, en
particular aquellos que trabajan con variables distintas. En la escala
ordinal constituyen lo que se conoce como estadística de rangos. Estos
contrastes serán siempre más potentes que los contrastes paramétricos
cuando la población no sea normal. En el caso en el que la población sea
normal o se cumplan todos los supuestos establecidos por los contrastes
paramétricos, estos serán muchos más potentes. Usualmente, los
contrastes no paramétricos involucran simples cómputos frente a los
contrastes de tipo paramétrico y, por lo tanto, estos son más fáciles de
entender. Y de aplicar. Contrastes de bondad del ajuste Los contrastes de
bondad del ajuste permiten comprobar si un conjunto de datos procede de una
población de una cierta distribución de probabilidad. Los más usuales
son el chi cuadrado de Pearson, de la bondad del ajuste, el
Kolmogorov-Smirnov, el de normalidad de Lillefors, el de normalidad de
Shapiro-Wilks o el Kolmogorov-Smirnov para dos muestras. No obstante, en
este tema vamos a abordar únicamente los contrastes de bondad del ajuste.
Por razones de espacio, el contraste chi cuadrado de Pearson de bondad del
ajuste. El cual es uno de los más importantes y más frecuentemente
utilizados. La idea básica de este contraste es la de comparar las
frecuencias observadas en una muestra con las esperadas en el caso de que
esa muestra procediera de una distribución que se pretende contrastar. Se
emplea para distribuciones tanto de naturaleza discretas como continuas. Y
en los dos casos es necesario que se disponga de una partición finita del
espacio muestral para aplicar el contraste. Las hipótesis que se detectan
en este contraste son las siguientes. La hipótesis nula sería que la
muestra aleatoria procede de una población con función de distribución f
. Mientras que la hipótesis alternativa sería que la muestra aleatoria no
procede de una población con función de distribución f . Para aplicar
este contraste, los datos se suelen disponer como se presentan en la
siguiente tabla. En la primera columna se recogen las clases, modalidades o
valores que toma la variable. En la segunda columna se suele recoger la
frecuencia observada en la muestra para esas clases de la variable
considerada. La tercera columna representa las probabilidades teóricas en
el caso de que se cumpla la hipótesis nula. Mientras que la última
columna representa la frecuencia esperada en caso de que se cumpla la
hipótesis nula, que sostiene multiplicando el número total de
observaciones existentes en la muestra por las probabilidades teóricas en
caso de que se cumpla la hipótesis nula. Para aplicar el contraste de
hipótesis chi cuadrado de bondad del ajuste, así como otros test de tipo
chi cuadrado, es primordial que las frecuencias esperadas cumplan la
condición de que sean mayores o iguales que 5. En caso contrario, será
necesario agrupar clases de modo que se cumpla la condición. El
estadístico de prueba chi cuadrado resulta ser bastante intuitivo y lo que
hace es sumar la discrepancia al cuadrado entre las frecuencias observadas
y esperadas respecto a las frecuencias esperadas para cada una de las
clases, modalidades o valores de mi distribución de frecuencias. De tal
modo que cabría esperar en el caso en el que las frecuencias observadas
fueran muy parecidas a las esperadas, lo que ocurriría cuando se cumple la
hipótesis nula, que su valor fuera muy próximo a cero. Lo que lleva a
pensar que se tratará de un contraste de tipo unilateral en el que se
rechazará la hipótesis nula cuando los valores de chi cuadrado sean muy
altos. Luego será un contraste unilateral por la derecha. Bajo el supuesto
de la hipótesis nula, el estadístico de prueba chi cuadrado se distribuye
como un chi cuadrado con k-h-1 grados de libertad donde k sería el número
de clases y h el número de parámetros desconocidos que son necesario
estimar para determinar las probabilidades teóricas bajo el supuesto de la
hipótesis nula. La región crítica del contraste, como ya he adelantado,
es una región crítica para un contraste de tipo unilateral por la
derecha, de tal modo que se rechazará la hipótesis nula cuando la chi
cuadrado experimental supere el valor de un chi cuadrado con k-h-1 grados
de libertad que deja a la izquierda una probabilidad de 1-alfa. Veamos a
continuación un ejemplo de aplicación de este contraste. Una compañía
eléctrica afirma, basándose en experiencias anteriores, que al final de
invierno el 70% de las facturas han sido cobradas. Un 20% se cobrarán con
pago aplazado a un mes, un 5% a dos meses y un 5% a más de dos meses. Al
final del invierno actual, la compañía selecciona una muestra aleatoria
de 400 facturas, resultando 287 de estas facturas cobradas, 49 a cobrar en
un mes, 30 en dos meses y 34 a más de dos meses. ¿Podemos concluir, a
raíz de los resultados, que la experiencia de los años anteriores se ha
vuelto a repetir este invierno? Considere un nivel de significación igual
a 0,05. Pues bien, lo primero que tenemos que plantear para resolver este
ejercicio son las hipótesis nula y alternativa que se pretende testar. En
concreto, la hipótesis nula será que este invierno es igual que los
anteriores, mientras que la hipótesis alternativa será que este invierno
es diferente de los anteriores. ¿En qué se traduciría la hipótesis
nula? En que las frecuencias esperadas que se dieron en años anteriores se
siguen cumpliendo. Pues bien, planteamos la tabla que se presenta a
continuación donde se recogen los valores de las frecuencias absolutas
para cuatro clases diferentes. Facturas cobradas, 0. Facturas cobradas a un
mes, 1. Facturas cobradas en dos meses, 2. Y facturas cobradas en más de
dos meses. Las probabilidades esperadas se detallan en el enunciado donde
se indica que la probabilidad de que todas las facturas fueran cobradas el
invierno pasado fue del 70%, la de que las facturas se cobren a un mes es
del 20%, la de que se cobren en dos meses es del 5% y la de que se cobren a
más de dos meses sería del 5%. Nótese que la suma de todas estas
probabilidades es igual a 1, de tal modo que esta distribución constituye
una partición finita del espacio muestral. El cálculo de las frecuencias
absolutas esperadas se haría simplemente multiplicando las probabilidades
esperadas de cada clase por el número total de observaciones, de tal modo
que en el caso de la primera clase sería igual a 280. Una vez calculadas
las frecuencias esperadas, sería conveniente calcular la diferencia entre
las frecuencias absolutas y las esperadas y la proporción del cuadrado de
esta diferencia respecto a las frecuencias esperadas para que una vez
sumadas nos permitan obtener el estadístico chi cuadrado, que en este caso
es igual a 26,99. Este estadístico, bajo el supuesto de la hipótesis
nula, se distribuye como un chi cuadrado con k-h-1 grados de libertad,
donde k sería el número de clases, en este caso 4, h el número de
parámetros a estimar para determinar la probabilidad esperada, que en este
caso ha sido 0 dado que viene especificada en el enunciado y por lo tanto
los grados de libertad serán 3. De modo que el valor crítico para un alfa
igual a 0,05 será el de un chi cuadrado que deja a la izquierda un 95% de
la probabilidad que es igual a 7,81. Como se observa en el presente
gráfico la región de rechazo se encuentra a la derecha de 7,81 donde
podemos localizar el valor del chi cuadrado experimental que es igual a
26,99 De modo que podemos concluir a la luz de este gráfico que se rechaza
la hipótesis nula y por lo tanto podemos afirmar que la experiencia de
otros años no se ha vuelto a repetir este invierno. Veamos otro ejemplo.
Los siguientes datos son las edades de una muestra de personas
seleccionadas entre los asistentes a una sala de cine. Compruebe mediante
un contraste chi cuadrado de bondad el ajuste si podemos aceptar que las
edades siguen una distribución normal con un nivel de significación del
5%. Esto permite que se utilicen cuatro intervalos de igual amplitud para
la distribución empírica. Esto es, que se empleen cuatro clases.
Comencemos como en el caso anterior definiendo nuestras hipótesis. Nuestra
hipótesis nula es que la muestra pertenece a una familia de distribuciones
normal mientras que la hipótesis alternativa es que la muestra no
pertenece a una familia de distribuciones normal. A continuación se han
construido cuatro intervalos de igual amplitud para nuestra distribución y
se han calculado las frecuencias absolutas para cada uno de esos
intervalos. Dado que nuestro enunciado no nos da los parámetros de la
distribución normal tendremos que estimarlo empleando la muestra. Por eso,
se computan tal y como se realiza en esta diapositiva. De modo que nuestra
distribución teórica tendrá una esperanza matemática igual a 55,83 y
una varianza igual a 329,63. Para calcular las probabilidades teóricas
vamos a suponer que el primer intervalo es abierto por la izquierda hasta
el menos infinito y el último intervalo es abierto por la derecha hasta el
más infinito para poder conseguir así una mejor aproximación de la
normal. De tal modo, que para calcular las probabilidades teóricas
bastará con calcular en el primero de los intervalos la probabilidad de
que x sea menor que 41,50 que es igual a 0,21 en el segundo intervalo la
probabilidad de que x está entre 41,50 y 60 0,38 en el tercero la
probabilidad de que x esté entre 60 y 78,5 0,3 y en el último la
probabilidad de que x sea mayor que 78,5 0,11 Una vez calculadas estas
probabilidades teóricas bastará con multiplicar las mismas por el número
total de observaciones muestrales para obtener las frecuencias absolutas
esperadas. Aplicando la fórmula del estadístico chi cuadrado se obtiene
que este toma un valor igual a 0,7 el cual se distribuye bajo el supuesto
de la hipótesis nula como un chi cuadrado con k-h-1 grados de libertad
donde es k es 4 el número de clases en las que se ha dividido mi
distribución muestral y h el número de parámetros mu y sigma cuadrados
estimados para calcular las probabilidades teóricas 2 en este caso Luego
se trata de un chi cuadrado de 1 grado de libertad De modo que el valor
crítico que sería el de un chi cuadrado que deja a la izquierda un 95% de
la probabilidad será igual a 3,84 Considerando que el valor del chi
cuadrado experimental de nuestro estadístico de prueba se encuentra a la
izquierda del valor crítico podemos concluir que se acepta la hipótesis
nula y nuestra muestra procede de una población normal Tablas de
contingencia-correlación Las tablas de contingencia son empleadas para
mostrar distribuciones bidimensionales de atributos o variables
cualitativas Cuando éstas se emplean para representar variables
cuantitativas se emplea el término tabla de correlación A continuación
se representa una tabla de contingencia En ésta se representan en la
primera columna las modalidades del atributo a a1, a2, así hasta ar y en
la primera fila las modalidades del atributo b b1, bj, así hasta bs En el
interior de la tabla se representan lo que se conoce como frecuencias
absolutas conjuntas En este caso por ejemplo la frecuencia absoluta
conjunta n11 b1 representa el número de veces que la modalidad a1 y b1
aparecen a la vez en mi muestra La última fila representa las frecuencias
marginales del atributo b mientras que la última columna, los ni puntos
representan la distribución de frecuencias marginal del atributo a La
esquina inferior derecha recoge el sumatorio de los n.j y los ni puntos que
coincide con el valor del tamaño muestral Las tablas de contingencia
permiten dos aplicaciones de interés del estadístico chi cuadrado de
Pinson El contraste de independencia y el contraste de homogeneidad
Contraste de independencia Este contraste se aplica para contrastar la
independencia entre atributos Las hipótesis del contraste serían las
siguientes Hipótesis nula Los atributos a y b son independientes
Hipótesis alternativa Los atributos a y b no son independientes Bajo el
supuesto de independencia las probabilidades teóricas conjuntas de cada
celda de nuestra tabla de contingencia se podrían calcular mediante el
producto de las probabilidades marginales de las modalidades
correspondientes a esa celda De tal modo que la frecuencia esperada se
obtendrá tal y como se presenta en la diapositiva El estadístico de
contraste o prueba es el mismo que empleamos en los casos anteriores lo que
ocurre que sustituyendo las frecuencias esperadas con las que
corresponderían en el caso de independencia Y este se distribuye como un
chi cuadrado con r-1 por s-1 grados de libertad donde r sería el número
de modalidades del atributo a y s el número de modalidades del atributo b
La región crítica, como en los casos considerados anteriormente es una
región crítica unilateral por la derecha en la que se rechazaría la
hipótesis nula cuando el estadístico chi cuadrado experimental supere a
una chi cuadrado con r-1 por s-1 grados de libertad que deja a la izquierda
una probabilidad de 1 menos alfa Veamos un ejemplo A los efectos de
comprender mejor cómo la gestión de la calidad total se practica en
España se entrevistó a 86 empresas andaluzas Los datos obtenidos se
presentan en la siguiente tabla de contingencia ¿Se puede decir que no hay
diferencias entre la práctica de la calidad total entre las empresas de
servicio e industria? Como hemos hecho en casos anteriores lo primero que
habría que hacer es plantear las hipótesis de nuestro contraste La
hipótesis nula sería la práctica del TQM es independiente del sector de
actividad mientras que la hipótesis alternativa sería la práctica del
TQM es dependiente del sector de actividad Una vez representados nuestros
atributos en nuestra tabla de contingencia convendría calcular las
frecuencias esperadas para cada una de las celdas A modo de ejemplo la
frecuencia conjunta de la celda 2-2 se podría calcular multiplicando la
frecuencia marginal de industria por la frecuencia marginal de no practicar
TQM dividido entre el número total de observaciones que es 11,47 Una vez
calculadas las frecuencias esperadas el cálculo del estadístico de prueba
es trivial tal y como se presenta en esta diapositiva y es igual a 0,05 el
cual se distribuye bajo el supuesto de la hipótesis nula como un h
cuadrado de r-1 por s-1 grados de libertad donde r sería el número de
clases del atributo a 2 en este caso y s el número de clases del atributo
b 2 en este caso Luego los grados de libertad serán un grado de libertad
De modo que el valor crítico será el de un h cuadrado de un grado de
libertad que deja a la izquierda una probabilidad del 95% que es igual a
3,84 Como vemos en la siguiente gráfica y considerando que el h cuadrado
experimental cae a la izquierda de 3,84 y por tanto en la región de
aceptación se acepta la hipótesis nula y por lo tanto la práctica de la
gestión de la calidad total es independiente de los sectores industria o
servicios Contraste de homogeneidad del h cuadrado Bien, a diferencia del
contraste de independencia en el contraste de homogeneidad la tabla de
contingencia presenta una especificación ligeramente diferente En este
caso por filas se recogen las distintas muestras que se pretenden comparar
mientras que por columnas se recoge la característica o atributo que se
pretende comprobar en relación con estas muestras De modo que lo que se
pretende testar es que estas muestras son todas iguales considerando el
atributo establecido por columnas La hipótesis del contraste en este caso
sería que las muestras 1 a r son homogéneas mientras que la hipótesis
alternativa sería que las muestras 1 a r no son homogéneas El
estadístico de contraste se calcularía de manera similar a como se hacía
en el caso del contraste de independencia con la única diferencia de que
en este caso los valores de la última columna representarían el número
de observaciones de cada una de las muestras Este estadístico de prueba se
distribuye como un h cuadrado de r-1 por s-1 grado de libertad donde r
sería el número de muestras y s el número de modalidades del atributo b
La región crítica sería una región crítica como en los casos
anteriores unilateral por la derecha cuyo valor crítico sería el de un h
cuadrado de r-1 por s-1 grado de libertad que deja a la izquierda una
probabilidad de 1 menos alfa En resumen Se ha indicado que los contrastes
no paramétricos contrastan características de la distribución distintas
de los parámetros son métodos de distribución libre y pueden ser
también empleados a atributos nominales u ordinales Se ha explicado y
ejemplificado el contraste chi cuadrado de bondad del ajuste y se ha
explicado que es una tabla de contingencia y ejemplificado los contrastes
chi cuadrados de independencia y homogeneidad