Bien, en este vídeo vamos a ver algunas de las propiedades más
elementales del espacio de coordenadas RM, que es el espacio principal que
vamos a utilizar durante el curso. Con el espacio RM, que es el espacio de
vectores de m componentes o m coordenadas reales, sabemos pues que tenemos
dos operaciones sobre él, una sería la suma de vectores que no es más
que sumar los elementos por componente, es decir, si tenemos un vector x y
un vector y, su suma no es más que vector formado por la suma de cada
componente. Y de igual forma, si tenemos un escalar lambda, podemos definir
un nuevo vector que es el resultado de multiplicar lambda por dicho vector
como el vector resultado de multiplicar cada componente de x por lambda.
Bueno, estas operaciones las tenemos muy claras y que hemos trabajado con
ellas desde los estudios de bachillerato y un poco la motivación, se
denomina operación de vectoriales porque la motivación viene de cómo
sumamos y multiplicamos por un escalar los vectores del plano, que sean los
vectores libres y los vectores del plano R2. Y sabemos que R2, R3, que son
espacios que hemos utilizado mucho a lo largo de cursos anteriores, pues
sirven tanto para representar puntos como vectores y que eso, de cierta
manera, es un poco lo que nos hace crear cierta confusión a la hora de
entender lo que es el espacio RM, los espacios vectoriales, su relación
con las rectas o con los planos. Si pensamos en un ejemplo muy sencillo,
tenemos dos vectores en el plano Q, que sería el vector 1,4, y el vector
V, que sería el vector 8,1, su suma no es más que hallar la componente,
la suma de las componentes, que en este caso sería sería 1 más 8, 9, y
la segunda componente sería 4 más 1. Bueno, sabemos que la suma de dos
vectores es otro vector, y que los vectores, pues, es un segmento
orientado, etcétera, que tiene sentido, y que en física, bueno, lo
utilizamos para representar fuerzas, para representar velocidades de una
trayectoria, etc. De igual forma, si tenemos un vector menos dos dos,
podemos multiplicar dicho vector por dos, que sería equivalente a sumarlo
dos veces, y eso lo hacemos sin más que multiplicar cada componente por
dos. En este caso, como es menos 2,2, pues multiplicar cada componente es 2
por 2,4 y 2 por 2,4. De igual forma, podemos considerar su elemento
opuesto, que es equivalente a multiplicar por menos 1. Y, bueno, pues
multiplicar por menos 1 menos 2,2 es 2 menos 2. Y de esta manera lo que
tenemos es que la suma de los vectores y el producto de un escalar por un
vector nos vuelve a dar la mitad. Y esto lo tenemos muy claro, como he
dicho anteriormente, un poco del Instituto. Pero de igual forma sabemos que
en el plano podemos representar puntos. Y que de hecho esos puntos se
vuelven a representar como un elemento de R2. No hay una diferencia,
digamos, desde el punto de vista matemático, de un punto y un vector.
Todos los dos objetos son elementos de R2. Y sabemos que a un punto le
podemos aplicar una fuerza, le podemos aplicar un vector. En este caso,
imaginaos que le aplico el vector al punto A, le aplico el vector W, doble
que era el resultado de sumar u más v. Bueno pues sí, es como si le
aplicásemos una fuerza, un desplazamiento y si le sumamos, si le
aplicamos, si representamos eso matemáticamente, estamos sumando un punto,
un vector y nos vuelve a dar un punto de plano que en este caso es la suma
de r2 de el punto a y del vector v doble. De esta manera podemos sumar
vectorialmente un punto y un vector para darnos un punto. Esto se ve
claramente cuando representamos una recta en R2 que sabemos, bueno pues,
por el instituto que una recta viene dada por un punto, en este caso el
punto tres cero, y una dirección que podemos tomar en este caso, por
ejemplo, la dirección dada por el vector 1,4. Sabemos que la ecuación
vectorial de la recta es a más lambda u, siendo a el punto u el vector de
dirección y lambda el parámetro que nos va determinando todos los puntos
del conjunto de la recta. De esta manera, si expresamos las ecuaciones
paramétricas de la recta llegaríamos aquí, son, recordamos, las
ecuaciones paramétricas de la recta y si eliminamos el parámetro llegamos
a la ecuación implícita, que no es más que la recta que pasa por el
punto A y sigue una dirección paralela al vector O, pero en ambos casos,
tanto los puntos de la recta como vector de dirección, lo estamos
representando a través del mismo espacio, R2. De igual forma, podemos
representar planos en R3. R3 sabemos que es la abstracción de los vectores
de tres componentes, o de los elementos de tres componentes, es la
abstracción de nuestra noción de espacio y sabemos que si tenemos un
punto A y dos vectores linealmente independientes, recordad, pero lo vamos
a ver, que dos vectores linealmente independientes son independientes si el
1, si no determina la misma dirección, porque si determinase la misma
dirección tendríamos una recta, pensad en eso. Bueno, pues sabemos que la
paramétrica de un plano viene dada por sumar a un punto los puntos que se
generan mediante dos parámetros de combinar linealmente las direcciones u
y v. De esta manera si tenemos este caso, por ejemplo, el punto A 2-1 3 y
las direcciones 2-1-1 y v-1-0 3 podemos determinar la ecuación vectorial
del plano y si la desarrollamos llegaríamos a la ecuación paramétrica
del plano donde los parámetros nos marcan las direcciones y nos van
determinando todos los puntos del plano. Bueno, si sacamos el punto 2,
menos 1, 3, lo sacamos al primer miembro de la igualdad Veremos que x-2 y
más 1 y theta-3 es un punto R3 que es combinación lineal de las dos
direcciones. 2-1, 2y-1 y (-1, theta-3). Bueno, sabemos y lo veremos que
entonces los tres elementos de R3, tanto si son vectores o puntos, como
elementos de R3, son linealmente dependientes. Y eso hace que el rango de
los vectores sea 2 y que el determinante de la matriz que tiene columnas,
dichos vectores o elementos es cero y de aquí podemos sacar la expresión
de la ecuación implícita del plano. Bien, estas ideas geométricas,
porque representan rectas y planos en R3, se pueden abstraer a cualquier
espacio de coordenadas Rn y de hecho pues es muy útil hacer eso y nos van
a aparecer constantemente cuando analizamos cualquier problema que
representemos por Rn. De esta manera si tenemos un punto de Rn y otro punto
de Rn que podemos decir que es el vector u, podemos definir una ecuación
vectorial que no es más que sumar al punto las combinaciones lineales que
genera por espacio generado por dicho vector, de manera que como tenemos un
parámetro nos genera un conjunto uniparamétrico que es una recta, podemos
decir, que es una recta en R y de mismo modo dar un punto y dos vectores
podemos definir una extracción del concepto de plano a cualquier conjunto
de R. Bien, donde el punto, al punto le sumamos las combinaciones lineales,
Este concepto de combinaciones lineales posteriormente, pero es un concepto
que hay que recordar que ya hemos visto en el bachillerato. Las
combinaciones lineales dadas por los dos vectores o por los dos puntos de
M. De manera que tenemos un plano. Esta distinción de decir que hay un
punto de un conjunto vectorial formado por las combinaciones lineales de un
conjunto de vectores es la diferencia entre lo que llamamos conjuntos
afines, que serían las rectas y los planos, y los espacios vectoriales que
serían la parte correspondiente a las combinaciones lineales. Bueno, como
podemos ver en la pantalla, tenemos un punto de Rn y le podemos sumar las
combinaciones lineales generadas por un conjunto de k elementos de Rn. Y
esto pues nos da las ecuaciones vectoriales de un conjunto que son los
conjuntos afines que, bueno, pues son las abstracciones como hemos visto de
las y de los planos en R2 y en Rn. Bueno, este tipo de conjuntos, como he
dicho, es lo que se llama, el estudio de este tipo de conjuntos es lo que
se llama la geometría fin, que es el estudio de las retas y planos y su
generalización de Rn, y la parte vectorial, que sería la parte de las
combinaciones lineales o la parte generada por las combinaciones lineales
de los vectores linealmente independientes, es la parte que vamos a
denominar espacios vectoriales y que es, digamos, uno de los conjuntos, una
de las estructuras algebraicas, probablemente la estructura algebraica más
importante o más usada de las nuevas. Y dentro de este estudio vamos a ver
conceptos de herramientas, pues un poco en el curso, como son combinaciones
lineales, que son este tipo de expresiones. Rango de vectores, que se
refiere a conjuntos de vectores que son linealmente independientes.
Dimensión, base, cómo podemos expresar los conjuntos de este tipo de
combinaciones lineales a través de un conjunto especial de vectores.
Determinantes, matrices, sistemas lineales nos aparecen, como vamos a ver
en videos posteriores, de manera natural al analizar este tipo de
estructuras vectoriales, que son las estructuras paramétricas que nos
daban las rectas y los planos, donde los parámetros serían los
parámetros de las combinaciones. Y vamos a ver cómo, igual que tenemos, y
esto lo sabemos de instituto, ecuaciones vectoriales paramétricas
implícitas de los conjuntos afines, que serían de los conjuntos uno más
un punto, como son las rectas y planos, vamos a ver cómo tenemos
ecuaciones vectoriales paramétricas simplíficas de conjuntos de los
espacios vectoriales que se refieren sólo a la parte vectorial.