Bien, hemos visto como las computaciones de vectores a la hora de definir
una recta, un plano en el plano, en el espacio, en la extensión ARN, son
parte fundamental de la descripción de dichos conjuntos y hemos podido ver
que la parte que se encarga de la descripción de dichos conjuntos, de las
combinaciones lineales de elementos de Rn, es a lo que solemos llamar
espacios vectoriales, que sabemos que es uno de los contenidos
fundamentales del curso. En este vídeo vamos a ver algunas propiedades
elementales de este concepto. Vamos a ver cómo podemos expresarlo a
través de una combinación lineal, a través de unas matrices, la
relación que existe con los sistemas lineales, que nos van a ayudar mucho
a la hora de entender lo que son los espacios vectoriales. En primer lugar,
recordar la definición de combinación lineal, que es algo que ya hemos
podido ver en cursos anteriores de bachillerato. En este sentido, bueno,
pues decimos que si tenemos un conjunto de k vectores de Rn, sus
combinaciones lineales no son más que aquellos vectores v dobles que se
pueden obtener a través de operar vectorialmente dichos vectores. Recordad
que las operaciones vectoriales es multiplicar o escalar por un vector y
sumar vectorialmente los vectores. es decir, v es combinación lineal de
los vectores u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7, u8, u9, u10, u11, u12, u13, u14,
u15, u16, u17, u18, u19, u20, u21, u22, u23, u24, u25, u26, u27, u28, u29,
u30, u30, u31, u32, u33, u34, u34, u35, u36, u37, u38, u39, u40, u41, u42,
u42, u43, u44, u45, u46, u46, u47, u48, u49, u50, u51, u51, u52, u52, u52,
u53, u53, u54, u54, u55, u56, u56, u57, u57, u58, u59 Si tomamos el vector
6 1 0, vemos que podemos obtener dicho vector con la combinación lineal de
USO 1 a USO 2. ¿Por qué? Porque si multiplicamos USO 1 por 4 y lo sumamos
vectorialmente al producto de 1 por dicho vector, por USO 2, es decir, si
le sumamos USO 2, nos da, si sumamos componentes de los vectores, pues nos
da el vector v1. Si, por ejemplo, en vez de w, el vector anterior, cogemos
el vector que tiene todas las componentes iguales a 1, el 1, 1, 1, podemos
ver que podemos expresar como una combinación lineal de 1, 0, 0 y 2, 1, 0.
Si razonamos por lo que se dice al absurdo, es decir, Si suponemos que
existe una combinación lineal, es decir, si suponemos que existe un lambda
y un mu reales tal que 1,1 es combinación lineal de muchos vectores, es
decir, que podemos expresarlo por lambda por U1 más mu por U2, llegamos,
operando normalmente a esta expresión, desigualamos componentes por
componentes y nos fijamos en la tercera componente, llegamos a que esto
implicaría que uno es igual a cero por lambda más cero por mu, que no es
más que cero y llegaríamos al absurdo de que uno es igual a cero. Por
tanto, por lo que se dice, por reducción al absurdo, vemos que esto es un
absurdo, entonces hay una contradicción y, por tanto, no es verdad de que
los vectores sean combinaciones lineales. Bien, veamos ahora, antes de ver
cómo podemos representar matricialmente una combinación lineal, un poco
de notas. Si nosotros tenemos un vector v que lo representamos de esta
manera, un vector v de Rn, un vector de m componentes, donde el vector lo
representamos por v pequeña con negrita, podemos asociarle lo que se llama
un vector columna, una matriz columna, a la que denominamos por v
mayúscula. Bueno, es muy claro que esto representa lo mismo y para los
vectores escritos de De esta manera utilizamos letras pequeñas en negrita
y para sus vectores columna o matriz columna asociada utilizamos letra
mayúscula en la misma letra. Por ejemplo, si tenemos el vector A negrita
1, 2, 3, con notación de comas, podemos decir, podemos asociarle el vector
A grande igual a la matriz columna 1, 2, 3. Bien, esta notación la vamos a
mantener a lo largo de los siguientes vídeos si no hicimos nada especial,
¿no? De esta manera podemos decir, como dijimos antes, que el vector 6 1 0
es combinación lineal de USO 1 y USO 2 y lo podemos escribir tanto en
notación, digamos, negrita, como en notación de vectores columna o
vectores o matrices columna. Bien, lo interesante aquí es ver que la
combinación lineal de W en términos de los dos vectores Usu1 y Usu2 se
puede expresar matricialmente como el producto de la matriz U, que podemos
llamar U, que tiene por vectores columna, o tiene por columnas, los dos
vectores del conjunto que genera las combinaciones lineares. La matriz U
tiene como primera columna el vector columna USU1 y el vector columna USU2.
Y en esta parte tenemos que U multiplica a las componentes de la
combinación linear. Recordad que la primera componente era 4 y la segunda
era 1. De manera que podemos expresar W como vector-columna, como el
producto de las matrices del conjunto de vectores que tiene, la matriz que
tiene por columnas los vectores del sistema, por el vector columna que nos
da las combinaciones lineales, es decir, en este caso 4. Bueno, esto es
así porque si operamos matricialmente esta operación, recordando cómo se
operan las matrices, pues se cumple, ¿no? Para obtener el primero
multiplicamos 1 por 4 más 2 por 1 y eso nos sale 6. Para obtener el
segundo nos sale 0 por 4 más 1 por 1 y eso nos sale 1. Y en la segunda nos
sale 0 por 4 más 0 por 1 igual a 0. Es decir, que a la hora de expresar un
vector en términos de combinaciones lineales de un conjunto de vectores
u1, u2, no tenemos más que considerar la matriz que tienen por columnas
los vectores del sistema. En general, si denotamos de esta manera, dar un
sistema de pusu1 hasta pusuK vectores y a cada vector pusuI lo denotamos
con una notación que nos dice que la componente primera del vector USUI no
es más que USU1I y la componente enésima del vector USUI no es más que
USUNI, es decir, la coordenada, digamos, el índice del vector en el
sistema, que sería I, va como segunda coordenada En el vector y la
correspondiente ordenada del vector va como primera, de esta manera, una
combinación lineal de este tipo, Vw igual a lambda su 1 por u su 1 más
lambda su k por u su k, se puede expresar en notación vector por una de
esta manera, esto es equivalente a esto y matricialmente podemos expresarlo
como que w es igual a u por lambda siendo u la matriz que tiene por
columnas los vectores del sistema. En este caso, pues esto sería, en este
caso, u tendría como primera colina, tendría el vector usu1 siguiendo la
anotación que hemos hecho, USO1-1 sería USO-N1 y como enésima o caésima
columna sería el vector USO-K que sabiendo que estamos denotando en el
segundo índice lo estamos denotando vector y el primero la coordenada del
vector que sería USO-1-K y este elemento sería u sub nk. Bien, esta
notación, lo mejor es hay que pararse un poco, ver cómo funciona, pero
realmente aquí lo que tenemos es una matriz de n filas y k columnas, n
filas porque los vectores son de Rn y k columnas porque es la matriz que
tiene por columnas los k vectores del sistema de la combinación línea. Y
lambda sería el vector que contiene los k parámetros de la combinación
línea. Bien, teniendo en cuenta esto, hay que dedicarle un poco de tiempo,
pero es importante, saber si un vector v es combinación lineal de un
sistema dado por k vectores no es más que ver si existe un vector lambda
de parámetros para que u por lambda nos dé v, es decir, un sistema
lineal. Por ejemplo, si volvemos a este nuevo caso, tenemos que el vector v
es menos cuatro menos cinco menos seis y se puede expresar como
combinación lineal de uno cero menos uno y uno uno uno sin más que
multiplicar uno por uno cero menos uno menos cinco por uno uno. El uno y el
menos cinco serían los parámetros de la combinación lineal, entonces lo
que teníamos aquí sería el lambda y la matriz U que tiene por vectores
columna, que tiene por vectores columna los vectores del sistema, no sería
más que la matriz que tiene como primera columna el primer vector del
sistema y como segunda columna el segundo vector del sistema. Bueno, y
aquí hay que tener en cuenta que cuando se dice menos cinco, realmente lo
que se está haciendo es multiplicar, sumando más menos cinco, ¿no? Bien.
Bueno, como he dicho anteriormente, un elemento W es combinación lineal de
un sistema de k vectores si el sistema lineal tiene solución. Por tanto,
analizar si un vector V es combinación lineal de un conjunto de vectores
equivale a resolver un sistema lineal. Por ejemplo, en el caso del vector
W610, sabemos que es combinación lineal de 1,0 a 2,1,0 porque la matriz
del sistema, que recordemos que es la matriz que tiene por columnas los
vectores del sistema, tiene solución si consideramos los parámetros como
incógnita y el vector que debemos saber si es con dimensión lineal como
término independiente. Bueno, en este caso se puede ver que este sistema
es compatible y determinado y, bueno, pues en el caso del vector 1,1
sabíamos que no es combinación lineal pero lo podemos conocer, podemos
determinar esto porque el correspondiente sistema lineal, en este En este
caso, sería la misma matriz U por lambda igual a 1, 1, 1, pues no tiene
solución. Por tanto, podemos saber que un vector no es combinación de
lineales de otro planteándolo como un sistema lineal. Esto es lo que nos
dice que para estudiar las combinaciones lineales clasificar y resolver
sistemas lineales, recordad, Poche-Froubeni, el algoritmo de Gaussian, el
que hemos visto en el instinto, es un contenido fundamental que debemos,
más o menos, dominar. En próximos vídeos vamos a ver cómo se relaciona
la resolución de sistemas lineales con la asistencia o no de combinaciones
lineales, que es un tema fundamental a la hora de analizar espacios
vectoriales que hemos visto, bueno, pues que están íntimamente
relacionados con el estudio de la geometría de rectas y planes, la
geometría film, que es, digamos, la geometría de la que tenemos una idea
más clara.