Bien, en este vídeo vamos a seguir estudiando los sistemas lineales
escritos en forma matricial A por X igual a B. Recordamos que A es una
matriz de m filas y k columnas, lo que representa un sistema lineal de m
ecuaciones y k incógnitas. Y vamos a estudiar el segundo enunciado del
programa de Chacrón, en el que, si nos acordamos, decía estudiar el caso
cuando el rango de la matriz ampliada es igual al rango de la matriz del
sistema, es decir, se cumple la condición de compatibilidad y existe
solución, pero dicho rango, vamos a estudiarlo. Anteriormente estudiamos
el caso del sistema es compatible determinado, que era cuando el rango
coincide con el número de cornos. En este caso vamos a estudiar el caso
cuando es estrictamente menor el rango L es estrictamente menor que el
número de incógnitas K. Bueno, en dicho caso, si nos acordamos, sabemos
que el sistema es compatible y determinado con K-L para nosotros. Bueno, en
este vídeo vamos a estudiar un poco cómo se puede interpretar este
resultado es el inicio del problema de Roche-Frodenus a través de los
conceptos de combinaciones lineares en este caso del espacio. Y lo que hay
que hacer en primer lugar es asociar al sistema lineal A, por el que se va
a ver, su sistema lineal asociado homogéneo, que no es más que
considerar, en el término independiente el vector nulo. Es decir, tenemos
un sistema lineal asociado que tiene una misma matriz del sistema pero en
el término independiente tiene el vector nulo. Dicho sistema, si pensamos
por los chefrodonios, sí que tiene solución. Y al conjunto, ¿qué es lo
que tiene solución? Bueno, como vamos a ver, porque la solución nula si
tomamos x igual a cero, a por cero es igual a cero, ¿no? Y entonces, el
conjunto de soluciones de dicho sistema se le denomina QED o núcleo de A,
que va a ser un concepto que nos va a aparecer posteriormente cuando
estudiemos aplicaciones vectoriales, aplicaciones entre espacios
vectoriales, y la razón de por qué estudiamos, pues, está muy motivada
por lo que habla. Pues el K de A son los X que nos dan las soluciones del
sistema lineal homogéneo. Bueno, si seguimos pensando en el sistema lineal
homogéneo, es evidente que el vector nulo, X igual a cero, siempre es
solución porque A por cero es cero. Por tanto, siempre existe una
solución que es la nula, la trivial, podemos decir. Y por los chefrovenios
podríamos razonar que esta solución es la única si el rango es igual al
número de incógnitas. En el caso de que el rango sea menor siempre vamos
a poder encontrar soluciones nuevas del sistema homogéneo. Si lo razonamos
en términos de combinaciones lineales, recordando que es, vamos a denotar
por columna, donde nos ha subido una de las columnas de la matriz A y
entonces el sistema no homogéneo es equivalente a encontrar los
coeficientes X1 hasta, bueno, vamos a ir poniendo acá, k incógnitas,
consideramos caracteres columna, x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10,
x11, x12, x13, x14, x15, x16, x17, x18, x19, x20, x21, x22, x23, x24, x25,
x26, x27, x28, x29, x30, x30, x31, x32, x32, x33, x33, x34, x34, x35, x36,
x37, x38, x39, x40, x40, x41, x42, x42, x43, x44, x44, x45, x46, x47, x48,
x49, x50, x50, x51, x52, x52, x53, x53, x53, x54, x54, x55, x56, x56, x57,
x58, x59, con uno de sus elementos no nudos, es decir, existe una función
no nuda. Bueno, eso es evidente por la definición de combinación lineal.
En dicho caso, si el rango del sistema de los vectores a su y no a su k es
menor que el número de incógnitas, necesariamente el sistema no es legado
y si pensamos en la definición, debería existir una coordenación lineal
que se expresa a través de los coincidientes, no nulada. Y aquí
podríamos deducir que se cumple esto para un vector no necesariamente
nulo. Bien, ahora conseguiremos que estamos en ese caso, seguimos en ese
caso y vamos a considerar que X es una solución del sistema y que V es una
solución, el vector V, es una solución del sistema lineal. Si
consideramos la combinación X más lambda por V y le aplicamos A, es lo
que está aquí, como sabemos que las matrices operan linealmente podemos
considerar esto que es a por x más lambda por a por v. Como a por x es una
solución, x es una solución del sistema, a por x es igual a b y como v es
una solución del homogéneo, a por v es igual a cero y, por tanto, lambda
por cero es cero y esto es igual a b. Lo que hemos probado es que, para
cualquier escalar que cojamos, x más lambda v, que si nos damos cuenta es
la ecuación de periodo de una recta, es siempre solución. Es decir, lo
que hemos probado aquí es que la recta formada por una solución
arbitraria del sistema y que tiene por vector-director, podemos decir, una
solución del sistema lineal homogéneo nos proporciona una recta o un
conjunto de soluciones del problema que vienen dados por un parámetro. Si
recordamos el sistema del vídeo anterior, el sistema de tres hipómetros y
dos ecuaciones Habíamos probado con una solución arbitraria generada por
el vector 0,0,1 y pensando en combinaciones lineales, eso viene porque el
término independiente coincide con la tercera columna de la matriz y por
tanto podemos tomar como combinaciones de las otras columnas, los elementos
que vimos anteriormente. Por otro lado, es también inmediato ver que el
vector V011 es una solución de sistema homogéneo, Bueno, precisamente,
porque si pensamos en vectores-columna, claramente a su 2 más a su 3 nos
da el vector nudo, y eso se produce en términos de combinaciones lineales
en los coeficientes 0, 1, 1, efectivamente expresado esta manera. Por
tanto, en dicho caso, racionando como decimos anteriormente, la recta que
tiene a X la solución 0,0,1 y como que tiene por punto la solución 0,0,1
tipo vector-director, el vector-solución de la homogénea, nos da un
conjunto uniparamétrico de soluciones del sistema. Bueno, la demostración
de Rothschild-Sodomius, lo que nos duela, que no la vamos a ver aquí, es
que siempre vamos a encontrar, si se cumple la conexión de QE, que es
menor que K, siempre vamos a encontrar K-L electores, que es un número
entero, linealmente independientes de soluciones del sistema homogéneo, de
manera que el conjunto de soluciones viene caracterizado, es decir, no
sólo el conjunto dado por estas combinaciones afines de solución, sino
que cualquier solución del sistema lineal se caracteriza por sumar una
solución cualquiera del sistema más las combinaciones lineales del
sistema de vectores linealmente independientes solución del sistema
homogéneo. Digamos, esto sería lo gordo que hay que probar en el teorema
de Rochefoubenus. El teorema de Rochefoubenus en su prueba, la nuestra, que
es dado la condición L menor que K, siempre podemos encontrar K menos L
vectores linealmente independientes que son soluciones, cada uno de ellos,
del sistema lineal homogéneo y de manera que la solución del sistema se
expresa como el, podemos decir, conjunto afín formado por el punto x, x
siendo cualquier solución habitual del sistema, más las las combinaciones
lineales dadas por el sistema lineal de soluciones del sistema lineal
homogéneo. La parte vectorial de este conjunto afín viene dado por el
QUER de la matriz del sistema. Recordamos que el K no era más que el
conjunto de soluciones de la ecuación lineal homogénea asociada al
sistema. Y en este caso, esto X es una solución arbitraria del sistema.
Bueno, lo que hemos visto aquí... Bueno, recordad que si el rango de la
amplidad es igual al rango de A, igual a L y L es menor estrictamente de K,
el sistema es compatible y determinado con K menos L parámetros. K menos L
parámetros, digamos, veremos, va a ser la dimensión, veremos en vídeos
posteriores, a la estabilidad de los espacios vectoriales, va a ser la
dimensión del subespacio vectorial formado por el k. Lo que hemos visto
aquí, que los conjuntos de soluciones tienen una interpretación
geométrica en el sentido de que son conjuntos afines y vimos en el primer
vídeo que los conjuntos afines se asocian con puntos cuando tenemos que la
parte vectorial es el punto cero, con rectas, cuando tenemos un parámetro,
con planos, cuando tenemos dos parámetros asociados a dos vectores
linealmente independientes y, bueno, pues llegar hasta hiperplanos que
sería cuando hay un número de k-1 vectores, los sellos linealmente
independientes. Tiene, por tanto, una interpretación geométrica. Como
vimos, estos conjuntos, los conjuntos alpines, tienen un interprete. Bueno,
en el caso del sistema anterior, como el rango de la ampliada, la
elevación de compatibilidad, lo vimos el otro día, nos da un rango común
de 2, y la matriz del número de incógnitas es 3, el sistema es compatible
indeterminado con un parámetro, por tanto podemos decir que la solución
efectivamente se caracteriza por la recta de soluciones que calculamos
anteriormente. Y los parámetros aparecen como los coeficientes de la
combinación lineal de la parte vectorial que no, la parte vectorial es
más que el QUER de la matriz del sistema. Bien, vamos a ver otro ejemplo.
Aquí tenemos un sistema 3x3. Bueno, se puede ver que el rango de la matriz
del sistema y el rango de su ampliada es igual a 2. Bueno, esto lo
podríamos hacer por determinantes, también por Gauss, pero bueno,
recuerdo que en este tipo de ejercicios con un número pequeño de filas o
de columnas, pues casi sería 1. De hecho, podemos ver que si pensamos en
términos de filas, recordad que el rango se puede ver por columnas, que es
un poco como estamos estudiando las combinaciones lineales, pero como
vectores columna, pero también se puede ver con vectores fila. En este
caso, si vemos los vectores fila, podemos ver que en ambos casos, la
tercera fila es igual a la suma de la primera más la segunda, es decir, 1
más 2 es 3, menos 1 más 1 es 0, 1, 1, 2 y 0 más 5 es 2. Y como los dos
primeros claramente son linealmente independientes podemos probar que el
sistema, la condición de rango de compatibilidad se cumple con rango de la
ampliada igual al rango del sistema igual a 2. Bueno, en este caso, como el
rango de la ampliada es igual al rango de la ampliada igual a 2, y es menor
a 3, vamos a tener un parámetro. Nos sale que K-L es igual a 3-2 igual a
1, vamos a tener un K. Bueno, para resolver el sistema, podemos aplicar
operaciones elementales, que sería aplicar el método de Howard Jordan, y
ver que si a la segunda fila le sumamos la primera multiplicada por menos
dos, y vamos haciendo ceros, nos sale esta fila y si a la tercera fila le
sumamos la primera fila multiplicada por menos tres para hacer cero en este
elemento que es lo que estamos haciendo, nos sale esta matriz. Nos sale una
matriz que tiene un rango equivalente con las propiedades del algoritmo de
Lawes-Jordan y directamente podemos ver que en esta matriz la tercera fila
y la segunda fila coinciden Por tanto, podemos eliminar una. Llegamos a
eliminar la tercera fila. Llegamos a un sistema lineal equivalente de dos
filas y tres columnas. Bueno, este sistema lineal, si lo expresamos En
términos de combinaciones lineales lo podemos escribir de esta manera
Pensad que esta es la combinación lineal de la primera fila más la
segunda fila que esta parte del sistema tiene rango 2, entonces podemos
tomar la tercera como parámetro y aquí directamente podemos despejar
tomando x sub 3 igual a la ranga del parámetro que tenemos un parámetro.
Bien. La segunda ecuación viene directamente de resolver la segunda
ecuación del sistema. En términos de ecuaciones vendría a dar de esta
manera. A ver, sacaríamos esto y después, como en la primera ecuación,
tenemos aquí linear por x1-x2 igual a 0-x3 Esto es equivalente a x1, x2,
x3, y ahora sustituyendo la expresión que tenemos de x1 ahí, Bueno, le
daríamos a esta expresión, de manera que estas serían las ecuaciones de
solución donde, recordamos, podemos formar un x y 3 como parámetro.
Luego, el conjunto de soluciones del sistema lineal, lo hubiera dado por
esta expresión. Bueno, esta manera de resolver es una manera de resolver
estándar. Hay que dedicarle un poco de tiempo para ver lo que se hace. Y,
finalmente, concluir que el teorema de los chefereños es un resultado de
clasificación. Nos indica si un sistema lineal es resoluble o no a partir
de plantearlo con un problema de combinación lineal entre vectores de Rn
que el conjunto solución no existe dominada por x igual a b es un conjunto
afín que puede ser un punto, una recta con un parámetro o un plano con
dos parámetros, cuya parte vectorial que es la parte de las combinaciones
lineales En este caso, las combinaciones lineales son generadas por los
vectores lineales antidependientes que nos aseguran la condición de que n
es estrictamente menor que k, generada por el núcleo, o que es de la
matriz del sistema. Bueno, veremos en el capítulo de las combinaciones
vectoriales, como nos aparece está el TeamFlow, pero ya hemos visto una
aplicación muy clara de lo que es el Kerr de una matriz y veremos como nos
aparece en una de las aplicaciones. También, que para resolver
algorítmicamente un sistema lineal, lo que tenemos en una de las
herramientas principales es el algoritmo de North Jordan, que equivale a lo
que probablemente vamos a hacer ceros por filas, aquí hemos visto un
ejemplo un poco rápido pero es muy importante recordar este contenido que
también es del archiviato. Aquí os dejo un enlace en un vídeo donde se
puede, se explica un poco cómo la idea de la algoritmo de Aurelior, que es
hacer ceros por filas o por columnas, no es más que multiplicar por
determinadas matrices, que se denominan matrices elementales a ambos lados
del sistema lineal. Bueno, en este vídeo se puede ver un poco una
explicación de este contenido. También recordar que en el curso C de
Matemáticas de UNED, y también traemos un enlace, pues hay ejercicios de
cómo resolver el algoritmo de la autiorga que interesa recordar este
contenido fundamental para la resolución sistemática.