En vídeos anteriores hemos estudiado las dos operaciones vectoriales, que
recordemos es la suma de vectores y producto de escalares en Rn, y hemos
estudiado algunas de sus propiedades principales, sobre todo relacionadas
con la resolución de sistemas lineales. En general, las operaciones
vectoriales verifican ciertas propiedades que han dado lugar a una
generalización o a una estructura algebraica denominada espacio vectorial,
porque verifican ciertas propiedades que verifican la suma de vectores en
Rn, producto por una escala. Por tanto, Rn, que motiva a esta estructura
algebraica, que es un espacio vectorial, Y lo es porque la suma de vectores
verifica cuatro propiedades algebraicas que hemos visto, como es la ley
asociativa, la existencia del elemento neutro, que sería el vector nudo,
es decir, el vector que tiene ceros entre sus componentes. Todo elemento
tiene su simétrico respecto de la suma, y la suma de vectores es
conmutativa, como consecuencia de la conmutatividad de los números
grandes. Además, la operación producto por escala verifica otras cuatro
propiedades como son la distributiva respecto a la suma de Rn, la
distributiva respecto a la suma de R, la substitutiva respecto al producto
de R y que 1 es el elemento dentro de R, es decir, que si un vector lo
multiplicamos por uno, nos vuelve a dar dicho vector. Bueno, estas ocho
propiedades se pueden ir verificando para cualquier espacio Rn, por ejemplo
para R2, y bueno, pues es bastante inmediato ver que se verifican, pero lo
que han motivado es la definición de un concepto abstracto de estructura
geográfica denominado como el ejecto de Montes Papel. Si tenemos un
conjunto redoble y definimos dos operaciones que podemos denotar por más y
por una operación, por ejemplo, por escalares que nos podemos denotar de
esta manera, Si verifican estas ocho propiedades, se puede decir que es un
espacio vectorial, entre otras cosas, porque sus operaciones van a tener un
comportamiento muy similar a las operaciones vectoriales en R. Bien, en
este vídeo nos vamos a seguir centrando en Rn y vamos a ver cómo esta
estructura vectorial de Rn tiene unas propiedades muy interesantes y que se
relacionan con lo que vamos a ver directamente, con lo que solo vamos a ver
cuando estudiemos espacios vectoriales. Los subespacios vectoriales de R
son aquellos subconjuntos de Rn que son, asimismo, espacios vectoriales con
respecto a las operaciones vectoriales, es decir, cabe preguntarse si yo
tengo un subconjunto de Rn, ¿cuál es ese subconjunto con las operaciones?
Es un suespacio vectorial, como vemos aquí en esta definición, los
suespacios vectoriales de Rn son aquellos conjuntos que conservan las
operaciones del conjunto. Es decir, que la combinación de un par de
vectores u, u, u y del conjunto, A, que aquí A representa lo mismo, aunque
aquí está denotado por una dita, vuelve a pertenecer al conjunto. Es
decir, que las combinaciones de los elementos, de los elementos del
conjunto, la combinación de lineares, pueda ser un elemento del conjunto.
En ese sentido, se dice que conserva las sustancias estructurales. Por
ejemplo, si consideramos el subconjunto DR2, que tiene una primera
componente arbitraria, y cero en la segunda, es un subespacio de autoridad
DRN, ya que es fácil ver que toda combinación lineal de dos elementos del
propio conjunto vuelva a pertenecer al conjunto, es decir, la combinación
lineal, siendo la cuenta directa de dos vectores de A, es decir, que tenga
la segunda componente del elemento nudo, vuelva a ser un vector que tiene
el elemento nudo en la segunda componente y, por tanto, pertenece a A. Por
tanto, A conserva las operaciones vectoriales y podemos decir que es un
subespacio vectorial. Eso quiere decir que si considerásemos el conjunto A
con las dos operaciones, verificaría las ocho propiedades que hemos visto
anteriormente que definen a un espacio vectorial. Bueno, vamos a la
anterior. En cambio, si consideramos el conjunto A, que tiene una segunda
componente arbitraria, y un 1 en la primera, podemos ver que no es un
suespacio vectorial, porque podemos encontrar una combinación lineal, En
este caso, la suma de dos vectores, que sería la suma del vector 1,1 y
vw1-2, ambos pertenecen a A porque tienen 1,1 en la primera componente,
pero si los sumamos, nos da un vector que no pertenece a A porque tienen 2
en la primera componente. Luego A es un ejemplo de subespacio de Rn, en
este caso R2, que no es un subespacio vectorial. En general, la noción de
subespacio vectorial está muy limitada y si pensamos en R2 solo son
suespacios vectoriales, el mismo conjunto de dos, el vector nulo, que es un
suespacio, como podemos decir, son los suespacios lineales o denominados
impropios, y los suespacios generados por un vector que se corresponde, y
pensamos gráficamente, con rectas que pasan por el origen. Esos son
exactamente todos los suespacios vectoriales que podemos definir en R2. Es
decir, el punto total o el punto cero o una recta definida por una
dirección que pasa por el eje de coordenadas. En R3 más o menos es lo
mismo. En R3 tendríamos el espacio R3, el vector nulo, rectas que pasan
por el origen y conjuntos generados por dos vectores linealmente
independientes. Bueno, puedo decir que si no fueran linealmente
independientes lo que tendríamos este 2 y 2, lo que tendríamos es una
recta, por eso se pide que sean linealmente independientes. Y dos vectores
linealmente independientes hemos visto que generan un plano, y en este
caso, como no le sumamos ningún punto, es un plano que pasa por él. Es
decir, tenemos que en R2 y R3, el propio espacio y el vector nudo, que son
los denominados suespacios impropios, son los denominados suespacios
ideales y el resto, que serían los denominados suespacios propios, están
dados, en el caso de Re2, por rectas que pasan por el origen y rectas y
planos que pasan por el origen en R3. Es decir, la noción de su espacio
está muy limitada y coincide con conjuntos generados por un conjunto de
vectores, es decir, todos los subespacios vectoriales de Rn, que de acuerdo
son los conjuntos que consideran las operaciones vectoriales en Rn, se
corresponden con conjuntos generados por un conjunto de vectores. Es decir,
podemos decir que A, que es un uso espacio del programa ARN, es equivalente
a que existe un conjunto de vectores, en este caso por ejemplo K, que
generan el conjunto. Es decir, que todos los elementos de A están dados
por combinaciones lineales de los K vectores. A dicho conjunto, que es un
núcleo de azúcar que genera su espacio A, se le denomina conjunto o
sistema de generadores de A. Bien, vamos a ver un ejemplo muy sencillo.
Consideramos este conjunto en R3, que es un plano que pasa por el origen.
Por tanto, bueno, es un subespacio vectorial y lo tenemos que es el
conjunto de elementos dos de tres que tienen un cero en la segunda
componente. Bueno, cualquier elemento x y cero se puede expresar, sin más
que esa cartatura x y ahí, como x por 1, 0, 0, más y por 0, 1, 0. Por
tanto, estos dos vectores constituyen un sistema generador. En general, los
sistemas generadores de un suespacio vectorial no tienen un nombre fijo,
porque, por ejemplo, si consideramos Bueno, si a esto lo llamamos u y v, su
suma, que sería el vector 1, 1, 0, vuelve a ser un elemento, porque como
es un espacio vectorial, vuelve a ser un elemento del conjunto B y es un
sistema generador, porque de una manera trivial podemos expresar todo
elemento, como una combinación lineal de los tres vectores, en este caso,
sin más que multiplicar por cero la combinación correspondiente al tercer
vector. Por tanto, el sistema de tres vectores es también un sistema
generador lineal. En general, cabe definir un conjunto minimal de vectores
que generan un espacio, es decir, podemos encontrar un número mínimo de
vectores que generan un subespacio, que es el concepto de base. Una base es
un conjunto de generadores linealmente independientes. Es decir, un
conjunto de vectores es una base del espacio generado por dichos vectores
si dichos vectores son linealmente independientes. Bueno, pues hay un
resultado que es el teorema de la base que nos dice considerado el
subespacio vectorial A, recordad que estamos considerando subespacios
vectoriales de Reynolds, siempre existe una base y siempre cualquier base
de ese subespacio tiene el mismo número de elementos, a la que se domina
dimensión del espacio. Matricialmente la dimensión coincide con el rango
de la matriz asociada a cualquier conjunto de vectores generadores del
espacio. Recordar que estamos identificando vectores columna de la matriz
asociada, como hemos hecho en Bursa. Otro resultado importante es que todo
vector se expresa de manera única respecto de los elementos de la base, es
decir, existen unas únicas componentes de la combinación lineal de la
expresión, de la combinación lineal de cualquier vector de A con respecto
a una base cualquiera de A. A estos escalares es a lo que se le denomina
coordenadas o componentes de V con respecto de una base fijada, en este
caso Q de su 1 o Q de su K. Y lo importante de esto es que las coordenadas
constituyen una etiqueta única de todos los vectores del espacio, es
decir, que si yo tengo un subespacio A y tengo un vector, le va a
corresponder un único conjunto de coordenadas. Podemos asociar A con RK.
Cada vector se corresponde o un conjunto de coordenadas que no es más que
los coeficientes de la coordenación límite. En el caso del ejemplo
anterior, si consideramos la base, consideramos el conjunto 1,0,0,0,1,0
como son linealmente independientes estos vectores, constituyen una base de
D. La dimensión de D es, por tanto, 2 y las coordenadas respecto de la
base de un vector genérico x,y,0 vienen dadas por el propio x, la primera
componente, y la segunda coordenada viene por i. Estas coordenadas para
cualquier elemento x y cero son únicas porque cada x y define un vector de
b. Si pensamos en el segundo sistema generador, el que tiene tres
elementos, no va a poder Este es el base, porque hemos visto que el
problema de la base, tenemos asegurado que cualquier base de D
necesariamente tiene unos elementos, y podemos ver que no se cumple que
cualquier combinación lineal de un vector tiene una única etiqueta, tiene
unas únicas coordenadas. podemos expresar el vector, por ejemplo, 1, 1, 0
con dos etiquetas diferentes, con 1, 1, 0, y con 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1. Por
lo tanto, no todo conjunto generador es base y vemos aquí que en cierto
sentido los conjuntos generadores para etiquetar elementos de su espacio no
son útiles porque no podemos asociar de manera única una etiqueta a la
misma. Bueno, finalmente decir que nosotros solemos escribir x1 para
cualquier vector x1, xn, rn. En general, cuando lo notamos de esta manera,
estamos simplificamente considerando las coordenadas respecto de la base
canónica que no es más que la base dada por los elementos SU1, SU2, SUm
donde SUi es un elemento que es todo C2 menos un 1 en la coordenada I y a
eso se le llama base canónica. vimos en vídeos anteriores, por ejemplo en
R3, vimos que claramente estos conjuntos que están asociados, y los
escribimos de manera matematical para matriz de identidad, son linealmente
independientes y constituyen una base de Rn, que es evidente que la
dimensión de Rn es n. Bien, en próximos vídeos veremos más cotidades de
la zona.