Bien, en estos dos próximos vídeos vamos a estudiar los diferentes tipos
de ecuaciones que caracterizan un suespacio vectorial de Rn y vamos a
razonar cómo pasar de uno a otro. En general, bueno, vamos a considerar un
espacio vectorial, un subespacio vectorial A generado por k vectores
linealmente independientes en Rn, por tanto los k vectores linealmente
independientes constituyen una base de A y si tenemos un vector genérico X
de A, bueno, pues sabemos que necesariamente se expresa como una
combinación lineal de los vectores de la base, a su i no a su k, donde los
lambda su i serían los escalares de la combinación. Si expresamos esto en
notación de vector-columna, bueno, pues tendríamos esta expresión
matricial que si operamos la parte de la derecha nos saldría este vector
que está dado en términos de las componentes de los vectores de la base y
los escalales de la combinación lineal los lambda su 1 hasta lambda su k y
si igualamos ambas expresiones obtendríamos un total de n. Ecuaciones,
¿qué es algo que vamos a ver? Se llama ecuaciones paramétricas de A.
Bien, vamos a verlo con un ejemplo muy sencillo, en R5 en este caso, y tres
vectores linealmente independientes. El primer vector, bueno, pues sería
el uno cero cero cero uno y así seguir el a su dos sería el uno menos uno
cero uno cero y el a su tres sería cero cero uno dos cero. Bueno, lo
primero que habría que ver es que, efectivamente, los dos vectores son una
base de su espacio vectorial, son linealmente independientes y en caso de
que no lo fuesen pues tendríamos que hallar una familia equivalente
linealmente independiente. Es decir, habría que ir eliminando los
elementos linealmente dependientes. Bueno, una vez que como en este caso
tenemos tres vectores o tenemos una familia de vectores linealmente
independientes, pues hacemos lo mismo que hemos hecho anteriormente.
Escribimos en notación maticial, en notación vector columna, la
combinación lineal y obtenemos en este caso en la parte de la derecha un
vector de cinco componentes en términos de los tres escalares, landos 1,
landos 2 y 3, de la combinación lineal que genera en su espacio vectorial
A. Por otro lado tendríamos el vector de las componentes genéricas de un
cualquiera. Bien, igualando ambas llegamos a un conjunto de cinco
ecuaciones que es lo que, como he dicho anteriormente, denominamos
ecuaciones paramétricas, en en este caso, de su espacio A generado por los
tres vectores. Bueno, en estas ecuaciones hay tres parámetros, porque hay
tres vectores y tendríamos que dando valores arbitrarios a lambdas u1,
lambdas u2 y lambdas u3 nos determinarían todos los posibles vectores,
todas las componentes de los posibles vectores de su espacio A. Bien, esto
en general para un espacio, como vimos en la primera diapositiva, de un
espacio A de k vectores linealmente independientes de Rn nos darían en
ecuaciones paramétricas que estarían expresadas en k con k parámetros
arbitrarios que como hemos visto no son más que los parámetros de la
combinación lineal genérica que define los vectores de la base. Bien,
ahora si tenemos las ecuaciones paramétricas de un suespacio A podemos
realizar un proceso que denominamos eliminar parámetros que nos da lugar,
eliminando estos parámetros a un sistema lineal homogéneo con una matriz
de sistema de n-k filas y n columnas por ser en Rn. Bien, lo que se dice es
que, mirando los parámetros, en las ecuaciones paramétricas que definen
su espacio vectorial, como vimos anteriormente, uno puede obtener n-k
ecuaciones linealmente independientes. Lo que significa eso es que el rango
de la matriz del sistema producto de eliminar los parámetros tiene rango
n-k. Es decir, el rango es maximal porque la matriz tiene n-k filas y lo
que viene a decir es que los vectores fila de la matriz son linealmente
independientes. Eso es lo que quiere decir que las ecuaciones son
linealmente independientes. O podríamos decir que las ecuaciones no se
pueden obtener como combinación lineal una de las ecuaciones no se puede
obtener como combinación lineal de las otras. Matricialmente lo que quiere
decir esto es que las componentes del vector A coinciden con todas las
soluciones del sistema lineal homogéneo. Es decir, el suespacio vectorial
A viene dado por lo que hemos llamado el Kerr de la matriz B. Bueno, vamos
a ver cómo, en la práctica, cómo determinar, dadas las ecuaciones
paramétricas, cómo determinar las ecuaciones implícitas. En general,
tenemos que si x1, xn representa un vector genérico del espacio vectorial
A, esto quiere decir que pertenece al conjunto generado por los vectores
generados linealmente o las combinaciones lineales de los k vectores de la
base. Eso lo que quiere decir es que el rango de la matriz definida a
partir de adjuntar un vector genérico x1, xn y la matriz del sistema, es
decir, la matriz que tiene como columnas, los vectores de la base tiene
rango k porque x, x es combinación lineal de los vectores, esto sería k,
de los vectores de la base. Bueno, esta es la matriz de la que estamos
hablando y esta matriz, por lo que hemos dicho, tiene rango, el rango de
esta matriz es K. Por tanto, cualquier submatriz de orden K más uno,
cualquier submatriz de orden, cualquier submatriz cuadrada de orden K más
uno será necesariamente formada por vectores linealmente dependientes y,
por tanto, su matriz, su determinante, el determinante de esta matriz será
normal. Bueno, pues igualando los determinantes de cualquier submatriz de
orden k más uno, igualando a cero, tenemos una ecuación que nos
proporcionará una de las n menos k ecuaciones linealmente independientes
que buscamos para determinar las ecuaciones simples. Bueno, vamos a ver
esto con un ejemplo. El ejemplo anterior, tenemos tres vectores linealmente
independientes en R5, consideramos la matriz asociada y consideramos un
vector genérico x1, x5 cinco que pertenece a su espacio generado por los
tres vectores. Bueno, por un lado tenemos que buscar, por lo que hemos
dicho anteriormente, n-k ecuaciones linealmente independientes. En este
caso n es la dimensión de cinco y k que es el número de vectores es 3 por
tanto buscamos dos ecuaciones linealmente independientes. Como K es 3,
tenemos que el rango de esta matriz es 3, pues cualquier submatriz de orden
K más 1, de orden 4 en este caso, nos va a proporcionar una de las dos
posibles, de las dos ecuaciones que vamos a buscar y encima tenemos que
buscarlas que sean linealmente independientes. Si por ejemplo, consideramos
en el primer caso la submatriz de orden 4 dada por las cuatro primeras
filas y lo igualamos a cero, pues obtendríamos la primera ecuación, la
primera ecuación. Y si consideramos el determinante de la matriz cuadrada
de orden cuatro de las tres primeras filas y la quinta fila porque
tendremos otra ecuación lineal. Bueno, podemos ver que las ecuaciones son
linealmente independientes porque el vector asociado a la segunda, por
ejemplo, es 1, menos 1, menos 1, 0, 0, 1, no es combinación lineal del
segundo, del primero, que sería el correspondiente a 0, 1, menos 2, 1, 0.
claramente son lineamente independientes y estas dos ecuaciones estas dos
ecuaciones x u2 menos 2 x u3 más x u4 igual a cero y-x1-x2 más x5 igual a
0 nos determinarían las ecuaciones implícitas de A. Bien, si lo queremos
escribir matricialmente tendríamos... Esto sería, la primera ecuación se
puede escribir matricialmente como uno se puede escribir cero uno porque
multiplica dos menos dos uno cero y la segunda como menos uno menos uno
cero cero uno esto multiplicado x1, x2, x3, x4 igualando a cero y esta
matriz sería la matriz del sistema lineal de las ecuaciones simplíficas
que es la matriz que tiene rango igual a n-k en este caso rango igual a 2.
Bien, aquí lo tenemos. Las ecuaciones son lineamente independientes como
acabamos de ver. Se puede mirar simplemente a ojo y por tanto son las
ecuaciones simplísticas del suespacio. Bueno, y una última cosa es decir
que hay que tener en cuenta que puede ser que dos menores diferentes de
orden 4 en este caso nos dé lugar a ecuaciones linealmente indeterminadas.
Por tanto, como hay que estar atento para calcular los determinantes, las
ecuaciones que nos dan no sean linealmente indeterminadas.