En el vídeo anterior vimos, dado un sistema en su espacio vectorial A de
k vectores linealmente independientes en Rn, vimos cómo pasar de las
ecuaciones, de sus ecuaciones paramétricas, cómo determinar sus
ecuaciones paramétricas y cómo pasar de las ecuaciones paramétricas a
ecuaciones implícitas. En este caso vamos a hacer el recorrido contrario y
vamos a ver si nos dan las ecuaciones implícitas de un subespacio
vectorial de Rn como ya sus ecuaciones paramétricas. Bueno, recordar que
nos diesen las ecuaciones implícitas de un subespacio vectorial no es más
que nos den un sistema lineal homogéneo de x igual a cero, donde la matriz
del sistema D tiene n menos k filas y m columnas. Y además las ecuaciones
del sistema son linealmente independientes es que eso es equivalente a
decir que el rango de la matriz es n-k. Bien, hallar las ecuaciones
paramétricas lo que supone es directamente resolver el sistema lineal
homogéneo de x igual a cero, porque la solución de dicho sistema nos da
todas las componentes de su espacio vectorial, es decir, nos caracteriza en
su espacio vectorial. Bien, por los chefrobeños, bueno, en primer lugar
sabemos que el sistema es compatible porque la solución nula siempre es
solución de sistemas lineales homogéneos y por los chefrobeños sabemos
cómo el número de incógnitas menos el rango de la matriz, que en este
caso sería n menos n menos k, nos da el número de parámetros de la
solución del sistema que en este caso son k parámetros. Por tanto, lo que
nos dice, lo que hemos visto en vídeos anteriores, que la solución del
sistema de x igual a cero, que denominamos Kerr-de-B, viene dado por k
vectores linealmente independientes, k vectores de su 1, de su k. Es decir,
que Kerr-de-B es un suespacio vectorial que viene dado por las
combinaciones lineales de k soluciones linealmente independientes de
sistema de x igual a. Y en este caso, como que el de b nos determina en su
espacio vectorial a, tendríamos que a es igual a las combinaciones
lineales de los k vectores y por tanto a es el vector determinado por los k
vectores, solución linealmente independientes del sistema lineal
homogéneo. Por tanto, hallaríamos una base del espacio A y a partir de
ahí es inmediato encontrar las ecuaciones paramétricas de A. Bueno, vamos
a ver todo esto en un ejemplo, ¿no? Vamos a considerar el mismo ejemplo
que vimos en el vídeo anterior. En este caso partimos de las ecuaciones
simples. Matricialmente lo podríamos expresar de esta manera y
efectivamente, Bueno, pues este sistema lineal es un sistema lineal de dos
ecuaciones que son linealmente independientes porque, claramente, el rango
de la matriz es 2. Y, por tanto, representan, las soluciones del sistema
lineal homogéneo representan su espacio vectorial. Bien, por
Roche-Frobenius, el número de parámetros será N menos el rango de D, que
en este caso es 5 y el rango de D es 2, por tanto tendremos 3 parámetros.
Bien, si expresamos esto de esta manera y vemos que la matriz asociada a
las dos primeras componentes tiene rango 2, podemos considerar que el resto
de variables son los tres parámetros y resolver el sistema lineal en las
dos incógnitas x1, x2. Si no, lo podríamos resolver aplicando
eliminación de Gauss o como quisiésemos. En este caso podemos aplicar
esta idea. Consideramos que los tres parámetros vienen directamente por
las coordenadas x sub 3, x sub 4 y x sub 5. Como es un sistema lineal, en
este caso cuadrado, y el rango de la matriz del sistema tiene determinante
no nulo, podemos considerar la inversa, multiplicamos por la inversa, ya
hemos sustituido ya hemos sustituido aquí por los parámetros, ya hemos
efectuado esta multiplicación y al final nos sale que XU1, XU2 es igual a
lambda SU2 menos 2 lambda SU1 más lambda SU3 y en la segunda componente
que XU2 es igual a 2 lambda SU1 menos lambda SU2 teniendo en cuenta que
estamos diciendo que XU3 es lambda SU1, XU4 es lambda SU2 y que XU5 es
lambda SU3, tendríamos determinadas las 5 ecuaciones paramétricas de su
espacio vectorial y sacando factor común a los lambda en nuestra
expresión como vimos anteriormente tendríamos que landa su 1 no es mas
que menos 2 2 1 0 0 landa su 2 seria 1 menos 1 0 1 0 mas landa su 3 que
seria 1 0 0, 0, 1, obtendríamos tres vectores, bueno, que son los asu1,
asu2 o asu3, o lo que hemos llamado anteriormente asu2, asu3 y asu4, los
tres vectores linealmente independientes que constituyen una base de su
espacio vectorial A.