Hola, buenas tardes. Esta segunda grabación se va a centrar en la unidad
5 de vuestro programa. El título es más o menos átomos con dos
electrones. Lo podéis consultar en vuestra programación del curso. En la
grabación anterior, si habéis llegado a este punto del estudio, a dos
semanas vistas de las primeras pruebas... a distancia, pues se ha tratado
en profundidad el átomo de hidrógeno como primera aplicación de toda la
mecánica hipercuántica, obteniéndose un paquete de números cuánticos
que permiten describir el comportamiento del electrón dentro del átomo.
El siguiente problema que nos ocupa es el átomo con dos electrones, que es
el átomo de helio. Pero antes de hablar del átomo de helio y la
situación que presenta, la nueva situación que presenta, Hay que explicar
en detalle el tópico de las partículas idénticas en la mecánica
cuántica. Este problema no se plantea en la mecánica clásica. Siempre
que intentamos, o siempre que se describe en mecánica clásica el
movimiento de dos partículas en una caja, dos partículas sin interacción
entre ellas, pues en cada instante quedamos perfectamente identificadas. a
las dos partículas. Podríamos colorearlas con todos diferentes y en cada
instante podemos señalar con el dedo esta es la partícula 1 y esta es la
partícula 2, estas son las coordenadas x y z de la primera partícula y
estas son las coordenadas x y z de la segunda partícula. Y de hecho, de
alguna manera, el tratamiento de la ecuación de Newton para estas dos
partículas implícitamente estamos marcando las variables x y z, las
coordenadas x y z para cada una de estas. son perfectamente distinguibles
desde el punto de vista de la mecánica clásica. Sin embargo, esto no es
así desde el punto de vista cuántico y cabe preguntarse cómo elaborar
una descripción mecánico-cuántica acertada en un sistema que contiene
dos o más partículas idénticas. Tened en cuenta que vamos a tratar el
átomo con dos electrones por lo tanto, es una situación que se nos va a
plantear este problema. Cómo tratar un sistema Cerrado, con dos
partículas idénticas en su interior, con una aproximación inicial que es
que entre sí no hay interacción. Aquí necesariamente la descripción
mecánico-cuántica ha de ser así. Es decir, no podemos distinguir ambas
partículas, han de ser indistinguibles, porque en base al principio de
incertidumbre de Heisenberg, en que es imposible observar constantemente el
movimiento de las partículas, sin alterar sus comportamientos. Al cabo, la
observación se hace interactuando con cada una de ellas. Además, tenemos
que la mecánica cuántica permite la descripción de los sistemas físicos
a través de una función de ondas cuya información física, de acuerdo a
lo que contiene en su interior, pero no en la función de onda en sí, sino
en la densidad de probabilidad en el cuadrado de esta función de ondas.
Entonces, cuando estamos tratando de dos partículas idénticas, las
funciones de onda asociadas a cada uno de los dos electrones Pues es muy
razonable pensar que en determinadas situaciones estas dos funciones de
onda, por lo tanto, su densidad de probabilidad se encuentran solapadas.
Con lo cual es imposible distinguir qué función hemos de asignar a cada
uno de los ejes. Muy bien, pues esta es la dificultad que vamos a comentar.
¿En qué onda la vamos a resolver? Vamos a comentarla de una forma
ordenada. Para que, bueno, luego en el estudio nos permita abordarlo con
más facilidad. Habremos de asegurar el tratamiento de la
indistinguibilidad y por eso vamos a trabajar un modelo sencillo de dos
partículas integradas, confinadas en una caja. Entre las partículas no
hay interacción posible y vamos a analizar cuál es la ecuación de
Schrodinger asociada a este sistema de dos partículas. Ya el planteamiento
matemático que os propongo aquí, que os lo marco con esta línea. pues ya
no empezamos demasiado bien, porque al poner X1 y 1Z1, X2 y 2Z2, en
realidad estamos distinguiendo ambas partículas. Donde, como ya nos ha
resultado familiar, V es el potencial total que suma de los potenciales a
los que se han sometido ambas partículas y es la energía total del
sistema. Una función de ondas que ya del tema anterior no nos tiene que
resultar complicado entender que las... Son variables separadas y una
posible familia de funciones que pueden resolver esta ecuación en la
propuesta de continuación. Donde aquí hay una nomenclatura que a partir
de ahora tenemos que entender. Alfa, es decir, recordar que estas funciones
están cuantizadas, en concreto con cuatro números cuánticos, donde uno
hace referencia al erechón 1, dos al erechón 2. Alfa es un determinado
estado cuántico de erechón 1 y beta otro determinado estado cuántico. Un
determinado número de los cuatro números cuánticos del extremo. Estas
son soluciones, soluciones posibles de la reacción de Röntgen. Pero nos
tenemos que plantear si esta solución, tal y como la vemos aquí, la
primera por ejemplo, mantiene la condición de indistinguibilidad. ¿Dónde
podemos poner en el manifiesto si esta expresión de la solución de la
función de ondas asegura la indistinguibilidad de las dos partículas?
Pues bien, tenemos que ver el comportamiento de algún observador. Vamos a
ver la mesilla de probabilidad. Calculamos la densidad de probabilidad para
la primera función, que es la función de onda por subconjuada, e
intercambiamos las partículas, la 1 por la 2 y la 2 por la 1. Y llegamos a
esta expresión de densidad de probabilidad. Podemos ver que esta última
expresión no coincide con la densidad de probabilidad a la que teníamos
que haber llegado, que es la segunda propuesta en la línea anterior, esta
de aquí, al intercambiar las dos partículas. Hemos de encontrar otra
solución a la excreción de Schrödinger que nos asegure que los
observables que podamos obtener, la energía, momento lineal, la densidad
de probabilidad, no dependan del intercambio de marcas entre los dos
espectros. Pero no lo tenemos muy complicado. Podemos buscar combinaciones
lineales de estas dos soluciones que cumplan la indestinibilidad y
construyendo podemos ver que hay dos combinaciones lineales. que sí
preservan la propiedad de indistinguibilidad. Además, la cuestión es que
es lineal en esta situación. Y podemos comprobar sin problema, ahora más
adelante lo veremos, que estas dos construcciones, en base al producto de
dos funciones de los dos sistemas monoelectrónicos, hemos construido S y
A. Claro, S y A no tienen este nombre por casualidad, en el sentido de que
al intercambiar las marcas 1 y 2 en la primera expresión obtenemos
exactamente la misma función total. De ahí que el nombre de función de
una total simétrica. Mientras que en la segunda construcción, al
intercambiar las marcas 1 y 2, tenemos también una función de onda total
pero cambiada de signo. De ahí el nombre de función de onda total
antisimétrica. Cualquiera de estas dos expresiones, al calcular la
densidad de probabilidad, es decir, al multiplicar esa función por ella
misma de forma conjugada, llegamos a la misma densidad de probabilidad. Es
decir, podemos intercambiar las dos partículas, el resultado final. de la
necesidad de probabilidad sigue siendo el mismo al intercambiar las marcas.
Hay que tener en cuenta otra cosa, es decir, la función de onda, solución
de la ecuación de Rödinger no tiene por qué ser única. Tenemos claro
que hemos de encontrar la condición de indistinguibilidad y hemos hecho
esta construcción y reproducimos perfectamente la necesidad de
probabilidad con esta exigencia. Un dato importante. Estas dos funciones
corresponden al mismo valor de energía E del sistema. Digamos que son
soluciones degeneradas en la energía. La fi de S y la fi de A. A esto se
le da el nombre de degeneración de intercambio. Es decir, al cambiar las
marcas 1 y 2 por la 2, 1, obtenemos otra función de onda, pero con el
mismo valor de energía. Aquí podemos ver. Lo que os he comentado
anteriormente, al intercambiar las marcas en la función de onda cinética
obtenemos exactamente la misma función y en la segunda expresión, al
intercambiar las marcas 2 por 1, pues tenemos la función de onda inicial
cambiada de signo. Y, por supuesto, la dimensión de probabilidad es
exactamente la misma en ambos casos. Estas cumplen la condición de
dimensión de probabilidad, que, por cierto, esto es un fenómeno
exclusivamente mecánico cuántico. No tiene ningún paralelismo. como
podemos encontrar en algunos otros ocasiones, con la mecánica clásica. Y
conforme avancemos un poco más adelante, esto va a traer consecuencias
importantes dentro del tratamiento mecánico práctico de partículas
idénticas. Llegamos, vamos a dar un paso más. Y hablaremos del principio
de exclusión. El principio de exclusión, formulado en 1925 por Pauli,
tiene varios enunciados. Tiene un enunciado débil, en el sentido de que en
un átomo multielectrónico nunca puede existir más de un electrón
exactamente en el mismo estado cuántico. Es una formulación. Sin embargo,
el enunciado que vamos a emplear es uno más general. En el sentido de que
un sistema contiene varios electrones. Oso más, ha de ser descrito por una
función de onda total antisemética, cuya construcción ha de ser similar
a la del ejemplo que hemos visto en el caso anterior. El principio de
exclusión se generaliza para sistemas de partículas en los que el spin
sea nulo o sea entero, en el sentido de que un sistema, la función de onda
total para partículas de spin nulo o entero, la función de onda total ha
de ser... ha de ser simétrica. En diferentes situaciones, claro, dentro de
la mecánica cuántica, dentro de la mecánica de partículas, encontramos
partículas con fermín semientero o con fermín entero o nulo. Pues en
unos casos tenemos que tener muy claro que la función del mal total,
siguiendo el principio de exclusión de Pauli, ha de ser antisimétrica
para las partículas de spin semientero y simétrica para las partículas
de spin nulo o spin entero. Ahora veremos consecuencias. consecuencias de
esta situación. Este es un principio, fue el principio de exclusión de
Pauli ese resultado de los análisis sobre todo el análisis de la
espectroscopía química, análisis de los datos relativos a los niveles de
energía de los átomos. De hecho como tenéis en el manual base tenéis
una explicación mucho más detallada sobre el espectro del átomo de
helio. comparada con el del átomo de hidrógeno y se ven como unas zonas
donde, que se han denominado zonas de triplete y zonas de semilete, que,
bueno, desde un punto de vista mecánico-cuántico, basados en este
principio de excursión, encuentra una explicación teórica perfectamente
razonable y lógica desde la base de la indistinguibilidad de partículas
que hemos visto en las diapositivas anteriores. Muy bien. Pues ahora vamos
a tratar todas estas herramientas para el caso del átomo de helio. El
átomo de helio en donde vamos a trabajar con dos electrones, un sistema de
dos electrones fermiones. La función de onda total de este sistema de dos
electrones ha de ser antisimétrica, siguiendo lo establecido por el
principio de exclusión. En la función de onda total, en la discusión que
hemos hecho al principio de esta charla, Los números cuánticos estaban
simplificados en unos índices alfa e índices beta. Aquí vamos a
distinguir entre la función espacial y la función de spin. La función
espacial con sus números cuánticos en L y M, el número cuántico de capa
principal, el L orbital y la proyección orbital y el número cuántico de
spin, que es el número de las partículas. Ambas funciones han de asegurar
que el producto de ambas tenga simetría antisimétrica, sean
antisimétricas. Se pueden dar dos situaciones, o que la espacial sea
simétrica, por lo tanto la de spin sea antisimétrica, o que la de
espacial sea antisimétrica y la de spin sea simétrica. Vamos a
desarrollar más esta idea y vamos a construir cuántas funciones
espaciales simétricas y antisimétricas tenemos y cuántas funciones de
spin tenemos. posibles combinaciones entre las funciones de spin de ambas
partículas, ambos electrones por separada y cuántas son antisimétricas y
cuántas son simétricas. Hay que tener en cuenta que la función de spin
no es una función continua. El spin toma valores discretos. En realidad
son proyecciones. O más un medio o menos un medio en el caso del electrón
y combinaciones posibles. Pues hay cuatro. ¿Cómo vamos a ver la
combinación? En el caso del átomo helio, la función espacial Donde los
subíndices a y b hacen referencia a unos valores concretos de los números
cuánticos nl y nl. Está la construcción simétrica y la construcción
antisimétrica. Tenemos solamente una función de cada. La función
simétrica y la de antisimétrica. Pues en el mango, en la función de
spin, espero que os resulte sencilla la notación que yo he propuesto. Las
funciones de spin son funciones discretas, no tienen valores continuos.
creo que no vamos a encontrar funciones con dependencia radial o de
dependencia angular como teníamos en las funciones especiales del átomo
de hidrógeno, de la elección para el átomo de hidrógeno, sino que
tenemos cuatro posibles construcciones. Que las dos proyecciones sean
paralelas, en un sentido o en el otro, es el estado 2, ambas son
simétricas, al intercambiar las partículas tenemos el mismo resultado,
una construcción simétrica de las combinaciones de sentidos contrarios
del spin y una construcción antisimétrica. Como podemos observar... Para
la función de onda espacial simétrica, dicha función solamente puede
combinarse con la expresión antisimétrica del spin para asegurar que el
producto de la masa sea antisimétrico. Esta es una situación singlete. El
nivel singlete del átomo de helio viene descrito por el producto de estas
dos funciones. Esto en la terminología estamos hablando del triplete de
spin. El triplete de spin en realidad estamos haciendo referencia a las
tres funciones simétricas de spin que son susceptibles de ser combinadas
con la función antisimétrica espacial. Con lo cual pongámonos en
situación, la función simétrica espacial por la función antisimétrica
de spin nos da una función de onda total antisimétrica perfecta en la
cual los electrones tienen spins contrarios Pero hay una densidad de
probabilidad nódula, por supuesto, de encontrarlos en el mismo lugar, en
la misma localización. Están los puntos del mismo orbital, por ejemplo.
Es esta situación. Pero si los spins de los electrones son idénticos, en
el caso de estas dos funciones triplete, estas dos de aquí, a ver si las
puedo remarcar, o esta combinación, pues solo puede combinarse con la
función antisemética espacial. Estos dos electrones no pueden encontrarse
próximos, sus funciones de onda radiales no pueden estar solapadas. Es
como si de alguna manera existieran algunas fuerzas, fuerzas de
intercambio, es como normalmente se conoce en la literatura, en la
biografía, en la que dos electrones pueden estar perfectamente juntos si
tienen espines contrarios, es decir, si responden a una función
antisimétrica. A pesar de que electrostáticamente hablando,
eléctricamente hablando, esos electrones se sientan rechazados por el
potencial colombiano. No es una cuestión de que exista una nueva fuerza,
sino es una cuestión de simetría. Fenómeno puro y esencialmente
mecánico cuántico. Esto determina cuatro posibles estados que trasladados
al espectro del átomo de helio para estos dos electrones explica
perfectamente las líneas, el triplete, el conjunto de tres líneas que
aparecen en el espectro del átomo. Aquí como veis, si los spinos de los
dos electrones son paralelos y la función de spin es una de las tres
posibles que forman el triplete simétrico, la función espacial de islam
es antisimétrica, es decir, no podremos encontrar estos dos electrones
físicamente en el mismo lugar. Y si los spinos de los dos electrones son
antiparalelos y la función de spin es el triplete antisimétrico, sí que
pueden encontrarse especialmente en el mismo lugar, se pueden solapar las
funciones de ambos. Esta argumentación es general para todos los sistemas
mecánico-cuánticos. Podemos hablar de los protones en el núcleo, de los
neutrones... Podemos distinguir. Por ejemplo, de un protón en un lector no
hay problema. Son partículas perfectamente distinguibles, por su masa.
Antes de pasar a la siguiente diapositiva, No sé si creo que lo tengo al
final. Comentaros que, claro, cuando vamos a ver... Exacto. Me la había
pasado, perdonadme. Dentro de las partículas fundamentales, como habéis
estudiado o conocéis, hay partículas que tienen spin semi entero o spin
entero. Esto es importante saberlo porque nos va a dar información de
cuál ha de ser la simetría de la función de onda total del sistema, si
estamos hablando de las partículas. Hay unas cuestiones resueltas en la
plataforma, en las que hace referencia la unidad 5, con el equipo docente,
donde hacen este tipo de discusiones sobre qué ocurre cuando un sistema de
Perón o dos elecciones cuando tenemos un tercero, es decir, conviene que
lo analicéis teniendo en cuenta claro estas discusiones. El tema termina
con una introducción a los dos métodos tradicionales clásicos ya dentro
de la mecánica cuántica que se emplean para resolver, para calcular,
determinar funciones determinadas totales de estos sistemas de partículas
idénticas. Hay dos métodos, el método de variaciones y el método de
perturbaciones. Cabe decir que no son métodos específicos de la mecánica
cuántica, son métodos que se utilizan. en física de hace ya muchísimo
tiempo, no solamente para estos tópicos. Y brevemente comentaros que el
método de variaciones parte del hecho que existe una función de onda en
estado fundamental y un otro valor de energía asociado que es el valor de
la energía en el nivel fundamental. No se conocen, pero que podemos
acercarnos todo lo que queramos a esos valores partiendo de una función de
onda problema. cuyo valor de energía o de autovalor de energía asociada a
esa función de una problema siempre es mayor, igual si encontrásemos la
solución exacta, al valor de la energía del estado fundamental que
pretendemos buscar. Esto lo tenéis muy bien tratado y desarrollado en una
de las cuestiones del manual. Aquí nos aseguramos siempre, tenemos la
cierta tranquilidad, que en cada iteración, en cada cálculo que se hace
la energía nos acercamos al valor real. Pero siempre está por encima, es
decir, como vaya convergiendo la solución al valor exacto en cada
iteración, en cada modificación de la función de un problema, veremos
que las variaciones cada vez son más pequeñas y nos acercaremos todo lo
que podamos al valor real. En el caso del átomo de helio, la función
problema se coge. No se improvisa, se coge la función de onda del
electrón del átomo de hidrógeno y la función problema es el producto de
dos electrones en el estado 1. Y se empieza a encontrar, mediante
iteraciones, es un problema de ecuaciones diferenciales, el valor de la
energía variacional, que va convergiendo al valor real. Hay otro método,
el método de perturbaciones, pero solamente comentarlo. Aquí no se hace
ninguna hipótesis sobre el estado fundamental de la función de onda
problema, sino que el Hamiltoniano se expresa como un desarrollo en serie.
Normalmente empezamos por el orden constante, lineal y vamos aumentando el
orden y nos vamos aproximando a la función de onda real y al valor de
energía haciendo... modelizando el valor de este método. Aquí, una de
las dificultades que trae este método es que los valores que obtenemos con
el modelo nunca sabremos si estamos por encima o por debajo del valor real.
Y normalmente es un método más rápido que el anterior pero no es tan
fino, no llega a aproximaciones tan precisas como el anterior. Pues bien,
pues Estos son los conceptos. Ahora creo que es el momento de que, teniendo
en cuenta el planteamiento inicial que os he comentado de la
indistinguibilidad y las diferentes situaciones que nos podemos encontrar
con un sistema de dos electrones con función de la puntada antisimétrica,
pues abordar, por ejemplo, las cuestiones que el equipo tiene resueltas en
la plataforma ALT relacionadas con esta unidad. Bueno, muchas gracias por
la atención. Estoy a vuestra disposición.