Muy bien, muy bien. Bueno, hoy vamos a ver el tema que tenéis en la
asignatura Matemáticas Avanzadas para la Economía, que sabéis que es de
segundo curso de Economía y corresponde a este primer semestre, a esta
primera parte. Vosotros, alguno quizá se preguntará, dirá, bueno, ¿y
cómo es que usted empieza por las ecuaciones en diferencias finitas? No es
que empiece, es que acabo. Es que en años anteriores, lo que habíamos
visto, el curso pasado, el anterior, etcétera, son siete primeros temas,
este que vamos a hacer hoy creo que es el octavo, en total hay diez temas
de esta asignatura, los siete primeros temas se referían a ecuaciones
diferenciales, ¿no?, en sus diferentes modalidades y concretamente el
último tema, que era el tema siete que vimos, hacía referencia a
ecuaciones diferenciales. Hoy es el primer día que vamos a ver las
ecuaciones en diferencias finitas. Este será el tema ocho, para
entendernos, o los que tenemos grabado. El tema nueve lo veremos después
de Navidad, obviamente la primera, como mucho, la segunda semana de enero,
y serán ecuaciones en diferencias finitas dos. Y el tercer tema, si nos da
tiempo, lo veremos este año, si no, el año que viene. Os explico esto
porque aquellos de vosotros en seguir esta asignatura, que es una
asignatura en fin, un poquito dura, como veréis pues sabed que hay
grabaciones mías de años anteriores pasadas exactamente en el mismo
temario, porque lo han cambiado desde hace 5 o 6 años entonces esto lo
encontraréis en el repositorio de Inteka, podéis buscarlo incluso a veces
se encuentra está en abierto se encuentra en Google directamente o sea, en
un navegador ponéis Google, ponéis Franquet, que es mi nombre, ¿no?
ecuaciones diferenciales o algo así, automáticamente ya os sale os
habrían de salir teóricamente 7 sesiones en fin todo lo referente a
ecuaciones diferenciales y por supuesto también os saldrá la de hoy, que
también se está grabando o sea que vamos a proceder ya a ecuaciones en
diferentes finitas como supongo que a estas alturas del curso ya habréis
visto algunas cosas os recuerdo que la primera parte del curso hace
referencia a optimización que es un tema muy importante en economía
muchas funciones económicas las funciones de producción las funciones de
beneficio las funciones de oferta y demanda, etc. en fin son funciones, las
funciones de coste son funciones que con frecuencia exigen su optimización
quiere decir su maximización o su minimización suelen ser funciones de
varias variables dependen no de una sola variable sino en general de muchas
variables por esa razón la primera parte de la asignatura son los 6
primeros temas Se refieren a optimización. Optimización con restricciones
de igualdad, con restricciones de desigualdad, condicionadas, no
condicionadas, con el método de Lagrange, con el método de Kuntuker, en
caso de desigualdades, es lo último que se ve, etc. Esa es la primera
parte. Esta primera parte no está grabada. La podéis seguir a través del
libro porque concretamente en el centro de Tortosa, que es donde yo imparto
las clases, la da otra persona y otro profesor que por lo visto no la ha
grabado. Yo lo que he grabado ha sido la segunda parte. O sea, todo lo que
hace referencia a esto, a las ecuaciones diferenciales y a las ecuaciones
en diferencias finitas, o también llamadas ecuaciones recurrentes. Quiero
decir con esto que cuando busquéis estas clases en TECA, os encontraréis
la parte segunda de la asignatura. Las ecuaciones diferenciales y las
ecuaciones en diferencias. Pero no la primera parte, salvo que existan
otras grabaciones hechas desde otros centros de social o desde alguna otra
unidad. Bien, ya que estamos hablando de ecuaciones diferenciales y de
ecuaciones en diferencias, alguno dirá, bueno, pero eso es muy parecido,
¿no? Porque hasta el nombre suena igual, ¿no? Pues sí, francamente son
cosas muy parecidas. O sea, que primero se estudian en este caso las
ecuaciones diferenciales y cuando vayáis estudiando y vayamos viendo las
ecuaciones en diferencias, cosa que hoy veremos un poco, y seguís viendo
supongo estas navidades en casa tranquilamente, ¿no? Mientras estáis
allí tomando turrones, algún vaso de whisky, alguna cosa de estas vais
viendo. las ecuaciones en diferencias unidas, os daréis cuenta que se
parecen bastante a las ecuaciones diferenciales. ¿Cuál es la diferencia?
La diferencia está en que las ecuaciones en diferencias finitas
corresponden a los espacios discretos. En cambio, las ecuaciones
diferenciales corresponden a los espacios continuos. La variable que
estamos estudiando, o las variables toman valores, en el primer caso, unos
valores concretos y hay espacios en los cuales no toman valores. Son
valores discretos. Sin embargo, en el caso de las ecuaciones diferenciales,
los valores son continuos. O sea, que se pueden tomar en toda la recta
real. Números enteros, números fraccionarios, números irracionales,
incluso, etc. Esta es básicamente la diferencia. Entonces, la operativa
que se sigue para resolver ese tipo de ecuaciones, tanto las diferenciales
como las diferencias finitas, que, insisto, también se llaman recurrentes,
están sujetas a recurrencias, como veremos, pues es muy parecida. Y muchas
veces recuerda el caso de una solución al de otra. Bien, aquí tenemos la
portada que nos explica simplemente que nos encontramos con esta asignatura
y si pasamos ya a la página siguiente veréis aquí lo que se refiere a el
índice. En el índice tenéis aquí lo que vamos a ver hoy en definitiva.
las ecuaciones lineales. El próximo día veremos las ecuaciones no
lineales, otro tipo de ecuaciones pero hoy nos vamos a centrar en este tipo
de ecuaciones. Lo que pasa es que ahí se pueden producir diversos casos.
Las ecuaciones lineales pueden ser de primer orden pueden ser de segundo
orden o de orden superior, pueden ser homogéneas, pueden ser no
homogéneas, entonces pueden ser de coeficientes constantes o de
coeficientes variables, por esa razón tiene que estudiar y ver los
diferentes casos. Vamos a pasar a la diapositiva siguiente entonces ya nos
centramos en el caso de las ecuaciones lineales Las ecuaciones lineales de
primer orden, es el caso más sencillo primero hay una definición.
Conviene, yo he dejado la opción de que os podáis descargar este cover
point, que hemos estado hablando hoy aquí en clase pero que lo podéis
descargar prácticamente para ir estudiando ahí tenéis varios ejemplos
resueltos y algunas explicaciones que creo que os ayudarán a entender
mejor todo este tema Entonces, en primer lugar hay una definición sobre
estas tres líneas de aquí hay una sencilla definición de lo que es una
ecuación lineal diferencias finitas de primer orden y el orden en
definitiva de una ecuación en diferencias finitas no es más que la
diferencia o la sustracción o la resta entre el subíndice mayor y un
subíndice menor, por ejemplo, en el caso de esta ecuación de aquí, que
es el ejemplo primero, veis que el primer subíndice es a sub n más 1, que
está precedido por un 2, eso es el coeficiente. Y luego hay un segundo
monomio, o un segundo sumando, 3a sub n, cuyo subíndice es n. Pues bueno,
¿cuál es el grado, pero no he dicho el orden, de esta ecuación de
diferencias finitas? Pues la diferencia entre ambos subíndices es n más 1
menos n es 1, o sea que en definitiva este es el orden. Bien, estas
ecuaciones, igual que sucede con las ecuaciones diferenciales, se pueden
resolver teniendo en cuenta que hay diversos tipos de soluciones. Hay una
solución general, que es la normal, pero luego hay las llamadas soluciones
particulares, que también sucedía con las ecuaciones en diferencias, o
sea, las ecuaciones diferenciales. ¿Qué diferencia hay entre una
solución general o una integral general? En el caso, se llaman integrales
generales más bien en el caso de las ecuaciones diferenciales. ¿Qué
diferencia hay entre una solución general y una solución particular? Pues
como su propio nombre indica, en la solución general intervienen
constantes, y el número de constantes es igual al número de orden de la
ecuación en cuestión. Sin embargo... En el caso de las soluciones
particulares, lo que sucede es que se dan unos valores concretos a esas
constantes. Entonces esas constantes, como tales constantes c, k, etc., c1,
c2, desaparecen de la solución general y lo que aparecen son números
reales, que son los valores que hemos dado a esas constantes. O sea, en
realidad es la misma solución pero dando valores a las constantes, es una
solución particular. Pero claro, ¿qué valores son los que se dan a esas
constantes? Para esto nos tienen que dar unos valores previos en el
inicial. Tienen que decir con la condición que tal. Entonces sí que
podemos encontrar o hallar la solución particular de dicha ecuación.
Tanto si es una ecuación diferencial como si es una ecuación recurrente,
una ecuación diferente. En este caso concreto, en este ejemplo que nos han
puesto, observen que sí que nos ponen una condición. Nos dicen,
resuélvase la siguiente ecuación. Para todo n perteneciente al conjunto
los números no son tan positivos. Todo esto es un número natural. Bien.
Pero además nos dan una condición. Nos dicen, cuando a sub 2 es igual a
2. A. Vale. Eso nos sirve justamente para hallar la solución particular.
Vamos a ver cómo lo hacemos. ¿Cómo se calcula la solución general?
Ahora, la solución general se calcula siempre más o menos del mismo modo.
Que es... Y ante un procedimiento que aquí no está, precisamente en este
ejemplo, lo veremos en los ejemplos siguientes. Es el ejemplo de la
ecuación característica. Eso también lo utilizábamos en el caso de las
ecuaciones diferenciables. La ecuación característica de esta ecuación
que tenemos aquí, yo les voy a decir cuál es. Sería 2R más 3 igual a 0.
Simplemente eso. 2R más 3 igual a 0. Entonces, 2R más 3 igual a 0 quiere
decir que pasamos el 3 al otro lado y nos queda que R es igual a menos 3
medios. Entonces, la forma que tiene la solución general de una ecuación
lineal de primer orden, en este caso, siempre es la constante, es este caso
de aquí. Es este de aquí que ahora les estoy redondeando. Es C que
multiplica a R, esta R obtenida mediante la ecuación característica,
elevado a N. Como R es igual a menos 3 medios, pues la solución general
siempre es esta. ¿Vale? ¿Qué pasa? Que si esta es la solución general,
que la representaremos por A sub N, la solución particular, ¿cómo se
obtiene? Pues se obtiene sustituyendo el valor que nos han dado de la
condición, pues este de aquí arriba, es un 2 igual a 2, en el caso de la
solución general que acabamos de obtener. Para esto, cogemos la solución
general, la ponemos aquí abajo, aquí, le subrayamos, y entonces verán
ustedes que, A sub n lo sustituyo por 2, no es así, porque a sub 2 es
igual a 2, n es 2 en este caso, sustituyo por 2 y entonces esto quedará c
que multiplica menos 3 medios elevado a 2. Esto es igual a 2, porque nos
dice que a sub 2 es igual a 2, muy bien. Si ahora en esta expresión, en la
expresión de aquí, ustedes despejan c, obtienen que c vale 8 novenos. Y
entonces, ¿cuál será la solución particular? Que en este caso se suele
representar ya por a sub p, particular, p. Pues sería la misma que la
general, la misma que la general, esta de aquí, pero como ya hemos hallado
el valor de c, que en este caso concreto vale 8 novenos, pues sustituimos c
por 8 novenos y da 8 novenos que multiplica menos 3 medios elevado a 2. Y
ya está. Esta de aquí, esta de aquí, es pues la solución integral. Y
esta de aquí es la solución particular, ¿vale? Y hemos hallado las dos
soluciones. Aquí nos pedían que resolviésemos la ecuación, bueno, hemos
hallado la general y ha sido la particular. Muy bien, normalmente siempre
tenemos que empezar por hallar la solución general, porque tanto si no, si
nos lo piden solamente la general, como se nos pide la particular, hay que
hallar siempre la general, como ustedes han visto. ¿Veis? Porque siempre
hemos de empezar por aquí. Bien, a ver, vamos a continuar. Y vamos a
limpiar la página. Y vamos a continuar. A página siguiente tienen ustedes
otro ejemplo, ejemplo segundo, que sigue las mismas pautas, los mismos
pasos que hemos seguido en el caso anterior. En este caso es u sub n más
1. A ver, no se asusten por el hecho de que en vez de a ahora aquí
aparecen u. Esto es lo mismo. Según los libros ya lo he hecho
expresamente. Aquí fíjense que la ecuación que les dan, en el caso del
problema anterior, era a sub n más 1 y a sub n. En cambio aquí, en este
caso, en vez de a son u, u sub n más 1 menos 3 es u sub n. Esta viene una
ecuación lineal de coeficientes constantes. ¿Qué quiere decir de
coeficientes constantes? Pues que el u sub n y el u sub n más 1 están
multiplicados. El primero, el u sub n más 1 por 1. Y el segundo por menos
3. Es decir, el coeficiente constante. En el caso anterior, perdón, eran
coeficientes constantes. Ustedes recordarán. Puede ser que existan
coeficientes variables. ¿Por qué sí? Si, por ejemplo, aquí, en este
segundo, o no, fuera menos 3 por u sub n. Fuera menos 3n por u sub n. Pues
ahí tendríamos un coeficiente que sería 3n, que no sería constante,
sino que sería variable. Porque depende de los diversos valores que pueda
adoptar la n. Pero no entraremos. Estamos aquí. En el momento estamos en
coeficientes constantes. Y no sé que haya una diferencia de esta ecuación
con la ecuación anterior. La ecuación anterior... aparecía la ecuación
igualada a cero. Esa ecuación se llama homogénea. Cuando el segundo
miembro de la ecuación es cero, la ecuación se llama homogénea. Y por lo
contrario, cuando el segundo miembro de la ecuación aparece una función
de n, n, n más uno, tres n cuadrado, e elevado a seis n, en fin, lo que
sea, entonces se dice que es una función no homogénea o inhomogénea o
heterogénea, se puede llamar de muchas maneras. En definitiva, los
fáciles demás son homogénea y no homogénea. La primera que hemos
resuelto, el primer problema, el ejemplo uno, era evidentemente una
ecuación homogénea. Por eso que estaba igualada a cero. Ya no nos hemos
preocupado de nada más. Hemos hallado la solución general, hemos hallado
la solución particular, que por cierto aquí también nos la pedían, y
tal. En el caso de esta segunda ecuación, vean ustedes que el segundo
miembro no es cero. Esto lo hemos puesto así. Sino que es n más dos, es
un polinomio de n. Entonces, ¿qué hay que hacer en estos casos? Pues
aquí hay que hacer un doble cálculo. Hay que calcular, en primer lugar,
la ecuación como si fuera homogénea, generalmente, como si estuviera
igualada a cero, y el segundo miembro se calcula después. Después el
resultado se sube. Lo veremos ahora cómo se hace. ¿Cómo se calcula la
primera ecuación? Pues como hemos hecho en la anterior. La primera
ecuación, mira, Como ustedes verán, si se resolvía la ecuación
característica que le hemos puesto aquí, la ecuación característica
¿cuál es? Pues es R menos 3 igual a 0. La ecuación característica de la
homogénea. Entonces R es igual a 3. Bueno, si R es igual a 3, entonces ya
sabemos que la solución de la homogénea es alfa por 3 elevado a menos.
Alfa o C o K o como quieran llamarlo. En el anterior le hemos llamado T,
aquí le hemos puesto la letra griega alfa. Es una constante. Esta es la
solución de la parte homogénea. Pero ahora, cuidado, resulta que tenemos
una segunda parte. Porque esto no está igualado a 0. Estamos en presencia
de una ecuación no homogénea. Lo hemos resuelto primero porque supone la
homogénea. Se ha dado alfa por 3 elevado a N. Y ahora hemos de ver qué
pasa con la parte no homogénea. Para esto, ¿qué pasa? Lo que se hace es
sustituir por un polinomio genérico que sea en principio del mismo grado
que el polinomio que nos aparece en esta segunda parte. Ahí nos aparece un
polinomio que es N más 2. Entonces el polinomio genérico de primer grado,
¿cuál es? Es este de aquí. A N más 1. Es el polinomio genérico de
primer grado. ¿Cuál sería el polinomio genérico de segundo grado?
Aquí, por ejemplo, en este ejemplo, nos hubiera aparecido. En el segundo
miembro, no N más 2, sino N cuadrado más 2, por ejemplo. ¿Qué polinomio
genérico hubiéramos considerado? Pues a n al cuadrado más b n más c.
Pero no hemos tenido que recurrir a un polinomio genérico de segundo
grado. Y así de tercer, de cuarto grado, etc. Bueno, entonces lo que se
hace es muy simple. Es sustituir el valor a n más b, sustituirlo en la
ecuación esta que tenemos aquí. En la ecuación del problema. Bueno,
aquí tenemos que u sub p es a n más b. Entonces, u sub p más 1, ¿qué
será? Pues lo mismo, pero en vez de n ponemos a n más 1. Por lo cual
sería a n más 1. O sea, a que multiplica a n más 1 más b. Menos 3 u sub
n. ¿u sub n cuál es? u sub n es a n más b. Y esto igualado a n más 2.
Esto nos permite, siguiendo el método de los coeficientes indeterminados,
despejar los valores de a. y de b, que son, mediante este sistema, que lo
pueden calcular tranquilamente, no hay problema, y al final obtendríamos
que a vale menos 1 medio y b menos 5 cuartos. Es esto que vamos a obtener.
Si no hay error, es esto. Muy bien. Entonces, como ya sabemos cuánto vale
a, y como ya sabemos cuánto vale b, resultará que la solución
particular, esta de aquí que hemos buscado, a n más b, será, pues, a es
menos 1 medio, ¿no es así? es 1 medio de n, menos 5 cuartos, porque b es
menos 1. Y en definitiva, ¿cuál es la solución global, o la solución
general en definitiva, cuál es la solución general de este problema? La
solución general de este problema es la suma de la solución de la no
homogénea y de la solución de la homogénea. En primer lugar, la
solución homogénea, que hemos visto antes que era alfa por 3e elevado a
n, más u sub p, que hemos obtenido, que sería, sustituyendo los valores
obtenidos de a y b, p menos un medio de n, menos 5 cuartos. La suma de
ambas, la suma de ambas, en definitiva, es la solución general de n. Si
nos hubieran dado condicionada, como se ha hecho en el caso anterior, una
cierta condición, entonces podríamos haber despejado el valor de alfa.
Hemos obtenido, por ejemplo, alfa igual a 4, que sería 4 por 3 elevado a
n, menos un medio de otro. Eso ya sería una solución particular. Pero no
es el caso. Nos piden. Es simplemente una solución general. Muy bien.
Vamos a seguir. ¿Qué sucede si las ecuaciones no son de primer orden,
sino que son de orden k? Y en este caso, la introducción teórica, yo les
he subrayado. La solución de orden k, es una ecuación de orden k, es
decir, de segundo orden, de tercer orden, de cuarto orden, etc., pues se
seguiría un procedimiento muy parecido, por no decir el mismo, el que se
sigue, en las ecuaciones lineales de primer orden. De hecho, pasando ahora
de la teoría, que eso se lo miran ustedes, tiene más problemas, en el
libro también lo tienen, vamos a ver qué pasa. Lo que pasa es que para
resolver ese tipo de ecuaciones lo primero que hay que hacer es plantearse,
como antes, la ecuación característica. Si una vez nos hemos planteado la
ecuación característica hay que ver las raíces de esa ecuación
característica cómo son. Bueno, si son, por ejemplo, raíces simples, o
sea, raíces reales distintas, 4 y menos 1, 5 y 7, etc. Bueno, pues hay una
manera de solucionarlas, que sería este caso de aquí. Pero puede ser que
estas raíces no sean simples, sino que sean, por ejemplo, múltiples. Por
ejemplo, que haya 3 raíces en la ecuación del tercer orden, que es el
número de raíces, que hay 3 raíces en la ecuación característica, que
sean, por ejemplo, 3 menos 2 y menos 2. Entonces habría una raíz simple,
que este es, y 2 raíces múltiples, que son dobles, en este caso, menos 2.
Puede ser que haya 2 raíces, 2 y menos 2. Pues son simples, simplemente.
Pero cuando hay raíces múltiples, entonces hay que aplicar otra
metáloga. Vamos a empezar con el caso simple de las raíces reales
distintas, o sea, de las raíces simples. Vamos a ver el ejemplo 1, el
siguiente de aquí. Y sería esta ecuación. u sub n más 2 menos u sub n
más 1 menos u sub n más 2 menos 2 sub sub i. Obsérvese que en este caso
ya no es una ecuación general de primer orden, sino de segundo orden,
puesto que n más 2 menos n igual a 2. Tenemos el segundo orden. Si
gastamos los subíndices de mayor y los subíndices de menor, nos da 2. La
ecuación de segundo orden. ¿Cuál es la ecuación característica de esta
ecuación en diferencias finitas? Lo mismo, r cuadrado menos r menos 2
igual a 0. Ya está. La pulgar ecuación de segundo orden, aplicando la
formulita de siempre, la resolvemos, entonces obtenemos que r sub 1 es
igual a 2 y r sub 2 es igual a menos 1. O sea, estas son las dos raíces
que hay. Pues esas son las dos raíces que hay. Pues resulta que hay dos
raíces. Antes teníamos solamente una raíz, porque eran condiciones
generales de primer orden. Aquí tenemos dos raíces. Pues aquí tienen
ustedes la solución. Simplemente. C sub 1, que hay dos constantes
también, puesto que estamos en una ecuación de segundo orden. El segundo
orden tendrá dos raíces características y tendrá también dos
constantes. C sub 1 por menos 1 elevado a n, porque es una de las raíces,
más C sub 2 por 2 elevado a n. El orden es el mismo. Podríamos haber
puesto perfectamente C sub 1 por 2 elevado a n más C sub 2 por menos 1
elevado a n. Eso es exactamente. Esta sería la solución general. ¿De
acuerdo? Bueno, a partir de aquí vamos a borrar. En la página pasamos a
la diapositiva siguiente. Otro ejemplo, vamos a complicarlo un poquito
más. Si hay alguna cosa que de momento no captáis o no entendéis es
normal, porque esas cosas hay que meditarlas, hay que reflexionarlas. Ya la
veréis, pues podéis descargar el programa, podéis descargar ese cover
point, pues lo estudiáis y lo miráis en casa. Bien, aquí nos piden ya,
cada vez lo vamos complicando un poquito más, que se halle la solución
particular de la ecuación homogénea que cumpla la siguiente escondición.
Aquí nos dan la ecuación, que como veréis es también una ecuación de
segundo orden, n más 2 menos n es el segundo orden. Pero aquí ya nos dan
soluciones particulares, o sea, nos dan las condiciones que nos obligarán
a calcular la solución particular. Nos dicen que a sub 0 es igual a 1 y
que a sub 1 es igual a 0. Ah, muy bien. Pues de momento, como siempre,
vamos a hallar la solución general. ¿Cómo se halla la solución general?
Como siempre. Primero de todo, resolver. La ecuación característica.
¿Cuál es la ecuación característica? Mira, aquí la tenéis. R al
cuadrado, menos un rayo, más 3R, es así, vamos siguiendo aquí, lo he
denunciado, más 1, igualado. Muy bien. Resolvemos esta ecuación, el
segundo grado, y nos sale que son dos raíces. Que son dos raíces
conjugadas. Menos, raya de quebrado, 3 más raíz de 5 partido por 2, menos
3 menos raíz de 5 partido por 2. Muy bien. ¿Y cuál será la solución
general? Ya lo sabemos. C sub 1 por r sub 1 elevado a n, más c sub 2 por r
sub 2 elevado a n. igual que sucedía con el problema anterior. ¿Y ahora
cómo se ha hecho la solución particular? Hombre, con la solución
particular para eso hay que dar valores. Como tenemos la solución general,
es esta de aquí, yo estoy ahora señalando, ¿no? La solución particular
perdón, la solución general para dar la solución particular nos han
dicho en el enunciado esto de aquí. Nos han dicho que a sub cero es igual
a uno y que a sub uno es igual a cero. Pues bueno, nos encontramos con este
sistema de ecuaciones, con este sistema de aquí. A sub cero igual a uno.
Muy bien. Pero entonces sustituimos la n por cero pues aquí, te sale esto
de aquí. En el de abajo dice a sub uno igual a cero. Pues bueno, pues
sustituimos la n por uno. Es esto de aquí. Si ustedes resuelven este
sistema de ecuaciones que es un sistema simple de dos ecuaciones con dos
incógnitas c sub uno y c sub dos son las dos incógnitas que se despejan,
obtendrán pues esto de aquí. Esto mismo. Pues eso señalado ahora. Que c
sub uno es igual a un medio más c raíz de cinco partido por diez y el
otro exactamente igual. Y entonces ya tenemos los valores de la c sub uno
la constante c sub uno y de la constante c sub dos. No tenemos más que
sustituirlos en la solución general, esta de la flechita que nos ha tenido
antes de aquí y automáticamente c sub uno es el valor que hemos sacado
aquí, c sub dos es el valor que hemos sacado aquí entonces ya tiene la
solución particular. ¿De acuerdo? Bien. Vamos a lograr esto de aquí,
limpiar la paginita y pasar a la pagina siguiente. Fíjense que ese caso
que hemos visto antes era de raíces reales simples. En el caso de raíces
reales múltiples, 3, 3, 5, 5, etc., que se van repitiendo, que pueden ser
dobles, triples, cuádruples, lo que sea, entonces lo que hay que hacer es
un caso muy parecido al que habíamos justamente en las ecuaciones
diferenciales. Entonces se multiplican por n, se van multiplicando por n.
Por ejemplo, si se trata de una raíz doble, esto sería c sub i más c sub
i más 1 por n. Si es una raíz triple, sería lo mismo, pero c sub i más
2 por n al cuadrado, etc. Si se fijan, es lo mismo, es muy sencillo. Lo
utilizamos con las ecuaciones diferenciales. A ver, aquí hay un ejemplo,
que es el ejemplo primero. En el cual, como lo he visto, al resolver la
ecuación característica nos salen raíces reales múltiples. Y por
cierto, es también una ecuación recurrente, la cual nos da dos
condiciones, c sub i igual a 1 y c sub i igual a 2. Que sepan ustedes que
el número de condiciones ha de ser igual al número de orden. O sea, que
si esta ecuación en vez de ser de segundo orden, que lo es, puesto que n
más 3 menos n más 1 es justamente 2, si en vez de segundo orden fuera de
tercer orden, nos tendrían que dar tres condiciones. Si fuera de orden n,
nos tendrían que dar n condiciones. para hallar la solución particular
que nos está viendo. Bien, fíjense que aquí hemos hecho un pequeño
truco. Nos han dado esta ecuación, pero el subíndice más bajo no es n,
sino que es n más u. Bueno, eso nos lo pueden dar así, no pasa nada.
Rebajamos un grado y decimos que esta ecuación es equivalente a esta otra,
a u sub n más 2 menos 6u sub n más 1 más 9u sub n igual a 0. Es lo
mismo, pero habiendo bajado un grado. Pero en realidad es lo mismo, porque
aquí sería n más 2 menos n seguiría siendo el segundo. Obsérvense,
esto sí, que esta ecuación es homogénea, puesto que el segundo miembro
de esta ecuación de esta igualdad es 0, porque estamos en presencia de una
homogénea. Bueno, no nos tenemos que preocupar de nada más, simplemente
de la ecuación característica. Si ustedes montan la ecuación
característica de esta ecuación, pues sería r al cuadrado más 6r más 9
igual a 0. Es una sencilla ecuación del segundo grado cuya raíz es doble,
es 3. Las dos raíces son 3 y 3. Saben que una ecuación de grado n tiene
precisamente raíces reales o imaginarias. En este caso son dos raíces
reales, pero dobles. La raíz múltiple es 3. Luego, ¿cuál será la
solución general de esta ecuación en diferencias finitas? Pues será c
sub 1 por 3 elevado a n con la raíz múltiple de 3. Lo hacíamos siempre.
Ustedes dirán, más c sub 2 por 3 elevado a n también, porque es una
raíz doble. Sí, pero hay que multiplicar el segundo sumando por n. en esa
está la diferencia cuando hay raíces reales y si hubiera 3, si fuera de
orden 3 sería c sub 3 por n al cuadrado pues ya está esta solución de
aquí es la solución general si por ejemplo vuelvo a echar marcha atrás
para aclararnos un poco mejor todos si en vez de haber obtenido aquí una
raíz 3 doble hubiéramos obtenido 3, 4 dos raíces la raíz 3, falta 4
¿cuál hubiera sido la solución general? pues hubiera sido c sub 1 por 3
elevado a n más c sub 2 por 4 elevado a n pero como es doble es por eso
que hemos tenido que multiplicar el segundo monomio joven bien, para hallar
la solución particular ya saben ustedes que lo que hay que hacer es
obtener los valores de las constantes c sub 1 y c sub 2 ¿y eso cómo se
hace? pasando, no se lo he anunciado como os han dicho que cuando u sub 1
vale 1 y cuando u sub 2 vale 2 pues cuando u sub 1 que es cuando n vale 1
nos venimos aquí a la solución general esto sería si n vale 1 eso sería
3 elevado a 1 que es 3 eso sería 3 c sub 1 más 3 c sub 2 porque n vale 1
igual a 1 y la u sub 2 cuando n vale 2 ¿cuál sería? pues lo mismo sería
3 al cuadrado de 1 en este caso sería 9 c sub 1 más n, n, n, hemos dicho
que vale 2, ¿no? Pues si n vale 2, esto sería 2 por 3 elevado al
cuadrado. 3 elevado al cuadrado son 9 por 2, 18. O sea que sería 18, eso
es 2, igual a 2. Muy bien. Y ahí en definitiva obtenemos un sistema de dos
ecuaciones, con dos incógnitas, que se puede resolver muy fácilmente, con
la regla del Sarmouth o el método de inversión de la matriz o simplemente
por la cuenta de la vieja. Sale perfectamente. Es un sistema sencillo. ¿Y
cuál es el resultado? Pues c sub 1 igual a 4, 9, ¿no? Y c sub 2 igual a
menos 1, 9. Entonces la solución particular será sustituyendo en la
solución general los valores de c sub 1 y c sub 2, que son estos de aquí.
Esto es simplificado, ¿no? La notación. O sea, nos sale la función b.
Hemos obtenido todas las opciones de las ecuaciones de diferentes. Muy
bien. Si seguimos ahora con... con el tema, veremos el caso siguiente de
raíces complejas. Claro. ¿Ahí qué pasa? Que a veces las raíces que
salen no son reales, ni simples, ni múltiples, sino que son complejas.
Saben ustedes que la mejor relación es la segunda orden, pues normalmente
sale la raíz compleja, ¿eh?, cuando se trata de una raíz de un radical
no negativo, donde sale la famosa unidad de maquinaria i, etcétera. Muy
bien. Bueno, entonces, ¿qué pasa? ¿Cómo se resuelven ese tipo de
ecuaciones recurrentes en el caso de que su correspondiente ecuación
característica... nos tenga raíces complejas. Complejas simples o
complejas múltiples, que también pueden ser. Bien, pues en este caso la
solución general adopta esta configuración. ¿Sí? ¿Vale? Que también
en algunos libros encontrarán ustedes que se puede expresar así. Uy, eso
que me ha salido muy mal. ¿Vale? Puedo expresar de esa manera. Pero
normalmente la que nosotros emplearemos será esta de aquí. Yo estoy
dibujando, verán ustedes el señor que mal dibuja. Lo que pasa es que
estoy dibujando a mano con un ratón, con un ratón y bueno, ahí no se
puede, no tiene bienvenida, ¿no? Pero vamos, más o menos ya ven ustedes
lo que sea. En definitiva, que la solución general de este tipo de
ecuaciones que provocan raíces complejas es esta de aquí que tienen
ustedes en la plancha. Y a partir de aquí, pues iremos resolviéndolas
aplicando esta formulación. Vamos a pasar de página y vamos a ver ya el
primer ejemplo en el cual nos van a salir seguramente raíces complejas.
Mire, se trata de esta ecuación. Pues mira, aquí casualmente ni es la A,
ni es la U, sino que es la I. Normalmente suelen aparecer los diferentes
libros tanto en los que tienen ustedes de texto como en los libros de
problemas, como en otros que se pueden ir encontrando, o aparecen Is, o
aparecen Us, o aparecen As. Yo por eso he puesto ya las tres casas para que
ustedes se familiaricen con todos los casos. Ahí tenemos el caso de Y.
¿Cómo es esta ecuación? Pues es una ecuación de coeficientes
constantes, 1, 2 y 2. Es una ecuación de segundo orden, n más 2 menos n
igual a 2, y es una ecuación homogénea, puesto que el segundo miembro es
0. Muy bien, estupendo. Vamos a ver, vamos a plantear, como siempre, la
ecuación característica. ¿Cuál es? Es r al cuadrado más 2r más 2
igual a 1. ¿Y cuáles son las raíces de esta ecuación característica?
Pues son precisamente menos 1 más y y menos 1 menos y. Pueden ustedes
resolverlo y verán que es así. Con lo cual, a, ya saben ustedes que la
expresión general en forma binómica o binómica se llama, de un número
complejo, es a más bi, ¿no? El primer coeficiente. El primer coeficiente
de la parte real es a, y el segundo coeficiente, b, de la parte imaginaria.
Pues bien, en este caso, observen, b, a más a más menos bi, sería, la
expresión general de estas raíces, a más menos bi, a es menos 1, y b es
1. Porque b es más menos, no es 1 siempre, si fuera más menos 3i, pues
sería 3. En este caso, es 1. ¿Cuál es? Entonces, lo primero que tenemos
que hacer, una vez sabemos que estas son las raíces, r sub 1 y r sub 2. Lo
primero que tenemos que hacer es calcular el módulo de este número
complejo, con lo cual tenemos que repasar el concepto del número complejo,
módulo, argumento, etcétera, de recordar. El módulo del número complejo
viene dado justamente por la raíz cuadrada de a cuadrado más b cuadrado.
Como sabemos que a vale menos uno y b vale uno, la raíz cuadrada de a más
b cuadrado es raíz cuadrada de dos. O sea, el módulo ro, si se lo
representara así, es igual a raíz de dos. Y el argumento, que es un
ángulo, es el arco tangente de b partido por a. ¿Y cuál es ese
argumento? Pues bueno, si ustedes representan el número complejo en un
círculo, aquí algo lo podemos representar, verán ustedes que si a, a,
nos aparece en el eje de acisa, si ven el eje de ordenada, si ustedes lo
representan, ¿no?, a y b, entonces verán que, en definitiva, se halla el
número complejo. El número complejo representado en el segundo cuadrante
del círculo. Puesto que a es menos uno y b es igual a uno. Entonces eso
está representado en el segundo cuadrante del círculo. Y justamente,
justamente, arco tangente de b partido por a sería esta cantidad, sería
el ángulo del argumento, sería ciento treinta y cinco grados. Que es pi
medios, que es todo el primer cuadrante, más la mitad del segundo
cuadrante, Todo esto que les estoy diciendo les puede sonar a chino, sobre
todo si no tienen ahora la idea exacta del número complejo, ¿eh?, de
cómo se representa. por eso vale la pena que repasen este punto para
tenerlo bien claro bien entonces si sabemos que el argumento es 3 pi
cuartos expresar radianes expresando en grados expresionales sería 135
grados sería normalmente a grados del primer cuadrante más 45 grados del
segundo cuadrante 135 grados y sabemos que el módulo es raíz de 2
entonces viendo a la formulita anterior vamos a recordarla la expresión de
la solución general de un número complejo sería esta de aquí esta de
aquí entonces hemos de colocar la r y aquí las constantes y aquí teca
que sería el módulo perdón, el argumento el módulo es el r muy bien
volvemos otra vez al problema que estamos tratando entonces resultaría que
esto sería c sub 1 por el módulo raíz de 2 elevado a n por el coseno
detecta n o sea 3 pi cuartos de más c sub 2 por raíz de 2 que es el
módulo elevado a n por el seno detecta o sea que no hemos hecho más que
solventar el número complejo y a continuación sustituir esos valores en
la expresión anterior de la solución general de una ecuación de este
tipo una ecuación que tenga raíces complejas ¿qué puede suceder en el
caso, vamos a ver si antes borramos esto de aquí Bien, una página,
pasamos a la página siguiente y también la volvamos, ¿vale? Y pasamos a
la página siguiente a ver qué pasa. Puede suceder que esta ecuación sea
una ecuación que tenga paraíces características, en la cual las
características sean múltiples. Y en este caso haríamos un procedimiento
muy parecido a lo que hemos hecho antes con las raíces reales múltiples.
Las raíces con raíces múltiples también se multiplica por n y se hace
exactamente lo mismo. Muy bien. Bien, pasamos al caso siguiente, que sería
la ecuación lineal no homogénea de coeficientes constantes y orden k. No
homogénea quiere decir que existe, efectivamente, aquí se me ha subrayado
un segundo miembro que es diferente de cero. El homogéneo sería este de
aquí y el no homogéneo sería cuando existe una función de. ¿Por qué?
Lo que pasa es que esa función de n, y aquí desarrollaremos diferentes
casos que se pueden presentar, esa función de n puede tener diferentes
formas. Puede ser un polinomio, sería este caso de aquí. Puede ser un
polinomio porque puede ser un orden. Por ejemplo, 3n cuadrado más 1. Es un
polinomio de segundo orden. Y, bueno, entonces hay que resolverlo de una
manera determinada. ¿Qué pasa si en vez de tratarse de un polinomio de
segundo orden, es, por ejemplo, otra cosa? ¿Eh? Por ejemplo, es... una
ecuación trigonométrica o es una ecuación potencial, etc. Entonces hay
diferentes casos que veremos el próximo día. Hoy vamos a contemplar
únicamente el caso de esta primera sesión de que sea un polinomio
simplemente. Entonces lo que hay que hacer es sustituir, igual que hemos
hecho antes, con el polinomio genérico del grado que corresponde. Lo que
pasa es que a veces se obtiene y eso está aquí explicado por una teoría,
esa teoría que hay aquí a veces aparece un sistema incompatible, o sea,
un problema de resonancia que se llama. Entonces llegamos a veces, por
ejemplo, a resolver el sistema en vez de hallar los valores de A, B, etc.,
pues se obtiene la conclusión de que A es igual a A, o mejor dicho, que 3
es igual a 3, que 5 es igual a 5, etc. Cuando sucede un problema de estos
de resonancia, entonces lo que hay que hacer es aumentar en un grado, lo
hacíamos antes también, el grado del polinomio que se sustituyó. Esto lo
veremos en algún ejemplo. El caso siguiente. Vamos a ver. Se trata de
resolver esta ecuación en diferentes citas. Obsérvese que es una
ecuación no homogénea, puesto que aquí existe una n. Hay un segundo
miembro, eso no es cero. Pues no. Pero nosotros no nos preocupamos, al
principio lo vamos a resolver como siempre, como si fuera homogéneo. Para
esto lo único que hay que hacer es hacer la ecuación característica, que
es esta de aquí. R al cuadrado, vamos a R más 1 igual a C. ¿Cuáles son
sus soluciones? Ah, muchacho, ahí resulta que nos han salido soluciones
complejas. Un medio más menos raíz de 3 partido por 2 por I. Y también,
a su vez, es igual a esta expresión. ¿Esto qué quiere decir? Pues que
entonces, si tenemos esto de aquí, resulta que A es igual a un medio y D
es igual a raíz de 3 partido por 2. Esta es la expresión genérica A más
menos de I, en forma binomia. Entonces, lo que hay que hacer es, aplicando
la formulita que nos ha dado antes de la solución general de las
ecuaciones diferentes limitas, entonces resultará que la solución de la
ecuación homogénea... ...sería esta de aquí. Es esta de aquí. Muy
bien, pues ya la tenemos. Pero pasa que ahora resulta que la que nos han
dado no es homogénea, sino que es no homogénea. Entonces ya estamos como
en un caso anterior, hay que añadirle el valor de la homogénea. ¿Para
esto qué hay que hacer? Pues hay que sustituir el polinomio genérico del
segundo miembro, que es una homogénea, en la ecuación. Y los coeficientes
indeterminados, como hemos hecho también con las ecuaciones lineales de
primer orden, hallar el valor de a y b. Pues bueno, eso es lo que se hace
aquí. A ver, esto estaba igualado a n, pero su polinomio genérico
correspondiente es este de aquí, a n más b. ¿Vale? Si ahora resulta que
el a n más b lo sustituimos en la ecuación inicial, aquí tendríamos a n
más 2 más b, sería el u sub n más 2. El u sub n más 1, ¿cuál sería?
Pues sería a sub n más 1 menos b, etc. Y bueno, y así sucesivamente.
Más el u sub n que es simplemente a n más 1. Y esto igualado a n. Hacen
aquí ustedes operaciones, desarrollan esto y entonces obtienen al final
que a es igual a 1 y b es igual a menos 1. ¿Esto cómo se obtiene? Se
obtiene simplemente teniendo en cuenta que si ustedes agrupan términos, se
dan cuenta que a n es igual a o sea, a n es igual a n. Eso quiere decir que
a vale 1. Y si a vale 1, que resulta que no existe a más b es igual a 0,
porque no existe ningún otro término suelto, pues quiere decir que b es
igual a menos 1. Bueno, entonces ya está. Sustituimos valores de a igual a
1 y b igual a menos 1 y entonces estos valores son los que se suman al
valor o a la solución general obtenida anteriormente. En definitiva,
¿cuál es la solución total? La solución particular, o la solución
total, sería aquella en la cual se dieran valores reales a las dos
constantes del problema, C1 y C2. ¿Cuál sería la solución global del
problema? Sería la suma de la solución de la homogénea más la suma de
la solución de la no homogénea, la particular que hemos estudiado. Es
n-1, puesto que es an más b siendo a igual a 1 y siendo b igual a menos 1.
Muy bien, y a partir de aquí ya estamos acabando y tenemos la página
siguiente en la cual existe un último problema. Este último problema se
lo miran ustedes porque ya se nos acaba el tiempo, no tenemos mucho tiempo
más para comentarlo, pero es un problema como el anterior, pero en el cual
nos aparece también una ecuación que es no homogénea, por eso que hay un
segundo miembro que es este, 2N1. 2N1, entonces el polinomio genérico que
ensayamos tendría que ser teóricamente como antes, an más b. Sin
embargo, hay un fenómeno de resonancia y entonces tenemos que multiplicar
por n. Entonces, en realidad, el polinomio que vamos a ensayar, si no nos
va a salir bien el problema, es an cuadrada más b. Aquí está cómo se ha
desarrollado el problema y cómo se soluciona, en definitiva, siguiendo el
mismo procedimiento que suceden. Bien, al solucionar la ecuación
homogénea... La ecuación homogénea es c sub 1, simplemente, más c sub 2
por 2 elevado. eso hace precisamente, eso provoca que tengamos, aquí lo
explica en el libro de investigues también eso provoca que tengamos para
evitar la resonancia, que multiplicar por n una solución particular que
estamos ensayando de la no homogénea, o sea, de la del segundo m bien,
pues bueno poca cosa más puedo añadir porque ya se nos acaba el tiempo
son exactamente 17.22 que ocurrió están ahora para la clase no sé si les
ha llegado bien el sonido espero que sí, que les haya llegado
adecuadamente, desearía que me respondieran si no se les ha llegado el
sonido y no se preocupen demasiado por si hay cosas vale, Moreno ya veo que
te ha llegado bien a ti estupendo hay cosas que si no entienden en un
momento dado pues pueden consultar insisto, esta clase este PowerPoint
está colgado y en su consecuencia pueden ustedes perfectamente consultarlo
ya sé que las explicaciones son muy rápidas y no da tiempo para más
entre esto y el libro deseo que tengan ustedes suerte y les recuerdo que a
partir del 8 o 9 de enero volveremos a estar en contacto con ustedes abran
el aplicativo correspondiente para ver en qué momento colgamos la clase,
que será la primera insisto, la segunda, o sea, la segunda o la tercera
semana del mes de enero de 2017 la segunda clase de ecuaciones y
diferencias deseo que les sea útil y muchas gracias por su asistencia
buenas tardes