Buenas tardes, soy Julio López, tutor del Centro de Sociedad Operativa de
Ayud. Estamos en la asignatura de Introducción a la Meta-Economía del
Tratado de A. Hoy vamos a continuar con el tema 6 de los oligopolios,
viendo un poco lo que es la teoría de juegos y haciendo algún ejercicio
para que sepáis cómo se resuelven de una forma. Bueno, ¿de dónde sale
esta teoría de juegos? Pues este es un enfoque que inicialmente se ha
visto en las ramas de las matemáticas y que se ha utilizado en distintas
situaciones o son distintas aplicaciones de esta teoría y que implican un
conflicto o antagonismo entre los intereses de las distintas partes
implicadas en la situación. En nuestro caso es como un... una situación
en la que se puede aplicar que da muy buenos resultados, es la de los
oligopólicos, cuando solo consideramos dos participantes en el juego, un
duopolo. Conceptos básicos relativos a la teoría del juego. La situación
o la estructura de competencia económica que en la que se encuentren los
jugadores es lo que se denomina juego. Y las reglas del mismo están
descritas por el conjunto de acciones estratégicas factibles para cada uno
de estos jugadores. ¿Qué es lo que puede hacer cada uno de estos
jugadores? En nuestro caso los consideramos como duopolistas, utilizaremos
una matriz de dos formas. Las reglas también estarán formadas por la
información de mercado y las estimaciones de los resultados de estas
estrategias por parte de los participantes. El conjunto de todo esto, de
las acciones que tenga cada participante, los resultados que obtenga de
dichas acciones y la información del mercado, es lo que se llama,
utilizamos el nombre de matriz de pago. La solución de este juego consiste
en la elección del conjunto de estrategias decididas por los jugadores, de
modo que ninguno de ellos pueda mejorar su resultado. Los resultados
también los llamaremos pago, cambiando de estrategia, siempre que estén
dadas las estrategias, tanto de uno como del otro. Es decir, estrategias...
Estaremos considerando, si estamos hablando de un duopolio, estaremos
considerando que los duopolistas actual deciden simultáneamente.
¿Recordáis la tutoría anterior? Hablábamos de duopolistas de elección
simultánea o sucesiva. Pues bueno, aquí consideramos que deciden
simultáneamente. Aunque conocen los resultados de las elecciones de los
competidores. De esta forma, los participantes en el juego, estos dos
bolistas, consideraremos que son adversos al riesgo, o sea, que son
conservadores. De forma que eligen lo mínimo de lo peor que les puede
suceder. O sea, no se lanza ni a la estrategia que más resultados tenga,
sino a la que el perjuicio sea menor. Los tipos de juegos que nos vamos a
encontrar van a ser de los dos. Pueden ser cooperativos si producen un
acuerdo, o no cooperativos si el acuerdo no es posible. Los juegos
cooperativos a su vez pueden ser de suma constante o de suma no constante.
Un juego cooperativo de suma constante podría ser, es aquel en el que el
resultado total no varía. A ver... Por ejemplo, si en un mercado
regateamos el precio, es decir, por ejemplo, el que vende el producto como
mínimo, porque es el coste de producción, imaginemos que no vendería el
producto por debajo de 10 euros, porque es el coste de producción. Y el
comprador que acude al mercado, que no sabe ese coste de producción, pero
sí que sabe lo que está dispuesto a pagar como máximo por ese producto
que quiere comprar. Imaginemos que el máximo precio que se quiere gastar o
la máxima cantidad de dinero que se quiere gastar en ese producto es de 15
euros. Entonces tenemos el mínimo al que lo quiere vender el productor.
Que es 10 y el máximo que está dispuesto a pagar el consumidor que es de
15. Si el precio se establece entre esos dos valores, en 11, 12, 13 o 14
unidades... Ambos han salido ganando, porque el productor lo vende por
encima del precio de coste, el vendedor lo compra por debajo del precio
máximo que quería obtener, con lo cual ambos ganan. Y es de suma
constante porque las ganancias que ambos, sea cual sea el precio que se
establezca finalmente, permanecen constantes. O sea, si lo venden a 11
euros, por ejemplo, el productor gana 1 euro. Y el comprador gana, si lo
quería vender a 15, gana 4 euros. La suma de datos es 1,45. Si en lugar de
venderlo a 11 euros, lo vende a 14, el productor está ganando 4 euros y el
consumidor está ganando 1 euro. La suma, 4, lo que gana 1 y lo que gana 2.
Si gana 1 y lo gana 2, vuelve a hacer 5. Pues es de suma constante. Y un
todo cooperativo de suma no cero o no constante... Eso que es suma
constante también se llama suma permanente. Pues los otros pueden generar
unos beneficios para las partes que en conjunto no se pueden precisar a
priori. En cualquier caso, los juegos cooperativos permiten la posibilidad
de firmar un acuerdo, mientras que los no cooperativos no lo permiten. No
son estrategias de acuerdo, sino más bien todo lo contrario. Ahora, los
secuestros que vamos a introducir en esta teoría van a ser Los
globoquistas conocen y contemplan el resultado de sus opciones para cada
movimiento de sus competidores. Veremos que tenemos dos competidores y cada
uno de ellos tiene, por ejemplo, dos opciones. Entonces, cada uno de ellos
sabe los resultados de sus propias opciones, de elegir la fuma o la
acción. Incluso para cada uno de los movimientos del competidor. O sea,
elija lo que elija el otro competidor. El primero va a saber cuál va a ser
su propio resultado. Bien, entonces lo que se dice es que los competidores
conocen la matriz de pagos o ganancias que será lo que utilizaremos
nosotros para resolver los ejercicios. El segundo supuesto es que el
objetivo de cada jugador está bien definido y entra en conflicto con los
objetivos del oponente. Lo que quiere decir que no puede optar cada uno de
ellos por el mayor valor de las casillas de la matriz, como veremos
después, sino que se ven limitados a las opciones mostradas tal y como
aparezcan en la matriz de pagos. Todo esto queda un poco teórico, pero
luego cuando hagamos ejercicios lo veréis más fácil. Y tercera, el
tercer supuesto es que se espera que el competidor se comporte de forma
racional. O sea, ambos. Competidores se van a comportar de forma racional,
evaluando correctamente sus opciones a partir de la información
disponible. O lo que es lo mismo, cada jugador va a esperar lo peor del
contrario. Es decir, se piensa que los competidores elegirán siempre la
mejor contraestrategia de las disponibles para lograr sus objetivos. Vamos
a empezar con el juego del dilema del prisionero. Es un tipo de juego muy
común. Bueno, bien. Bien, supongamos que tenemos dos delincuentes que son
culpables. O sea, no será aquí el caso de que uno sea inocente y lo hayan
encapsulado por nosotros. No, los dos son culpables. Los dos, por ejemplo,
han cometido un robo cúnico y han sido capturados los dos. Y ambos, como
es natural, dicen que ellos no han sido. No confiesan en él. No confiesan
en la participación en el robo. Entonces, ¿qué hace la policía? La
policía los encierra por separado. El prisionero A por un lado y el
prisionero B por el otro. No saben lo que está haciendo el otro
prisionero. O sea, el A no sabe lo que hace el B y el B no sabe lo que hace
el A. Entonces, les plantea lo siguiente. Les ofrece una reducción de
condena si confiesan. Supongamos que la condena máxima por el delito
fueran 10 años de cárcel, pues bueno, pues les ofrece que si confiesan el
delito, se les traduzca la condena. En este caso, esto lo expresamos aquí
en esta matriz de pago. Tenemos el prisionero A que tiene en cuenta las
líneas horizontales y el prisionero B lo que tiene en cuenta son las
columnas. Confesar y no confesar aquí son las opciones para el prisionero
A y para el prisionero B están aquí en las columnas. Y los números que
se expresan en cada una de ellas... ...en cada una de esas casillas indican
el número de años de rebaja de la condena. Perdón, lo que les quedará
de condena... Aunque está con un negativo, pero es lo que les queda de
condena en las distintas situaciones. Así, por ejemplo, si el prisionero A
confiesa, pues le caerá una condena de cuatro años siempre y cuando el
prisionero B también confiese. O sea, si los dos eligen la opción de
confesar, a cada uno de ellos les caerán cuatro años. Si no confiesa a
ninguno, pues les caerían dos años. Supongamos que no pueden probarlo con
la misma certeza que su confesante. Entonces, lo que aparece ahí son los
números de condena. A los dos prisioneros se les presenta la opción de
confesar y reducir su condena. Pero supongamos... Si confiesan los dos, las
penas de cárcel son mayores que si no confiesa a ninguno. O sea, si
confiesan los dos, la pena de cárcel que les cae son de cuatro años. Si
no confiesa a ninguno, las penas de cárcel que les va a caer a cada uno es
de dos años. De forma que los prisioneros tienen un cierto incentivo a no
confesar, porque aún podrían tener una condena más baja si no confiesan
ninguno de los dos. Claro, ese incentivo de la condena más baja de dos
años de cárcel funciona siempre y cuando ninguno de los dos confiese.
¿Por qué? Porque en el momento en que uno de ellos confiesa, por ejemplo,
confiesa al prisionero A, o sea, elige la opción confesar, y el prisionero
B elige la opción no confesar. ¿Qué es lo que sucede? Pues que en este
caso la casilla relevante es la que tenemos aquí, esta de aquí, que es la
de confesar y no confesar, confesar del A y no confesar del B. ¿Y en esta
qué pasa? Pues que el prisionero A, que es el que ha confesado, tiene una
condena de sólo un año. Y el que no ha confesado, como le han pillado por
todo el equipo, pues le cae una condena de 10 años. Con lo cual, si no
confesaba ninguno, les caía en dos años. Pero cada uno de ellos por su
canal puede decir, ah, pues si yo confieso y tengo suerte que el otro no lo
hace, me cae solamente un año. Con lo cual, puede haber un incentivo a no
confesar, esperando que el otro no lo haga, por supuesto. Lo que sí que os
puedo adelantar es que, en cada una de las características de este juego,
tal y como está definido con esta matriz de pagos, lo que harán los dos
prisioneros será confesar. Porque es lo mejor que pueden hacer si no saben
lo que hace el otro. Claro, si ellos se pudieran poner de acuerdo, hablar
entre ellos, podrían llegar a un acuerdo y decir, pues no confesamos.
Entonces tenemos algo de lo tal. Pero como no saben, no puede llegar a ese
acuerdo porque están separados. La estrategia mejor para ellos, sin saber
lo que hace el otro, es confesar. Porque si confiesan, saben que van a
tener o cuatro años si confiesa el otro o un año nada más si el otro no
confiesa. Bueno, pues esta estrategia que nos va a salir en este caso, de
que para los dos es interesante confesar, es lo que se llama una estrategia
dominante. Que es lo que nos interesará buscar en los dos. ¿Cuál es la
estrategia dominante? Pero también esta estrategia es lo que se llama un
equilibrio tenaz, porque una vez que sepan el resultado de la situación,
cuando ya les digan, pues mira tu compañero también ha confesado, pues se
sentirán muy aliviados, porque si no hubiera confesado, pues tendría una
condena de diez años. Bien, entonces es una estrategia dominante porque es
lo mejor que pueden hacer si no saben lo que hace el otro y además es un
equilibrio tenaz porque... Una vez que sepan, o sea, a posteriori, una vez
que se sepan lo que ha sucedido en realidad, los dos estarán contentos y
no querrán cambiar la situación. Es decir, no sean arrepentidos. Vamos a
ir con más detalle y vamos a ir analizando un poco estos dos conceptos que
son los dos. Estrategias dominantes y equilibrio de no. Empezamos con la
estrategia dominante. Aquí tenemos otro dilema. Tenemos dos empresas, la
empresa A y la empresa B. Y las opciones del juego son o lanzar una
campaña publicitaria o no lanzarla. Y las cifras que aparecen ahí son los
resultados que se obtienen dadas las opciones realizadas por los dos. O
sea, en esta primera casilla de la izquierda. Y de arriba tendríamos, si
la empresa A lanza la campaña y la empresa B también la lanza. Entonces
la empresa A obtiene un rendimiento de 12 y la empresa B un rendimiento de
10. Siguiendo con esa misma línea, si la empresa A lanza la campaña y la
empresa B no la lanza, la empresa A obtiene un rendimiento de 18 y la
empresa B un rendimiento de 10. ¿Vale? Estas serían las posibles acciones
de las empresas y los resultados que podrían obtener. Bueno, pues vamos a
fijarnos un poquito en las cifras que nos han llegado. Bueno, nos fijamos
en la empresa A en primer lugar. La empresa A va a ganar... La empresa A va
a ganar siempre más si lanza la campaña. Haga lo que haga la empresa B,
porque si lanza la campaña y la empresa B la lanza también, pues va a
ganar 12. Y si no la hubiera lanzado la empresa A, pues solo tendría 8. Si
la empresa B no lo lanza, no lanza la campaña, la empresa A gana 18
lanzando la campaña y si no la lanzara, pues ganaría solo 12. Con lo cual
siempre obtiene un mayor rendimiento lanzando la campaña, porque 12 es
mayor que 8 en la vertical y 18 es mayor que 12. 12, 18, 8, entonces son
los resultados de la empresa A. Entonces la horizontal 12, 18 es mayor que
la horizontal de no lanzarla, que es 8, 9. Con relación a la empresa B,
ahora nos tenemos que fijar en este 6, en el 6, en este 10, en el 3 y en el
0. Pues aquí fijándonos en la vertical vemos que... Y también le
interesa lanzar la campaña porque va a obtener siempre, independientemente
de lo que haga la empresa A, va a obtener más. Fijándonos en la
horizontal, va a obtener más lanzando la campaña que no lanzando la
campaña. Porque por un lado saca 6, por el otro 10. Y si la empresa A no
lo lanza, la empresa B va a ganar 10 y si no lo lanza, ganaría solo 3. Con
lo cual, también es una estrategia dominante para la empresa B. Por tanto,
si suponemos que se comportan ambos de forma racional y disponen de toda la
información que está en esta matriz de pago, ¿qué es lo que harán
ambas empresas? Pues lanzar la campaña. Porque para cada una de ellas, la
estrategia dominante es lanzar la campaña. Porque independientemente de lo
que hagan los otros, la otra empresa obtiene más rendimiento que si no
lanza la campaña. Por lo tanto, una forma extensa de expresar todo esto es
mediante este árbol de decisiones. Que es ir detallando paso a paso, pues
la empresa A decide entre lanzar y no lanzar. Si decide lanzar, pues la
empresa B no lo hace, pues la empresa B también lo hace. Y lo que se
obtiene con cada una de ellas. Es lo mismo, un poco más extenso y quizá
un poco más complicado de ver estrategias dominantes. Aquí tenemos otro
caso, es distinto, ¿eh? O sea, cambiamos los números con relación a la
anterior, ¿no? Sí, cambiamos el 24 de abril. En el juego que habíamos
hecho antes, esto era un 2, ¿vale? Nosotros hemos cambiado un número.
Vamos a ver ahora qué pasa con las estrategias dominantes de cada una de
las empresas. Bueno, ¿qué sucede en este caso? Si nos fijamos en la
empresa B, para empezar. Pues a la empresa B está igual que antes. Le
interesa lanzar la campaña. Nos fijamos en el 6, el 10, el 0 y el 10. Y
vemos que esta columna de lanzar la campaña. 6, 10, que es mayor
respectivamente para cada uno de los valores. Y no la otra, la anterior.
¿Qué pasa? Con lo cual, la empresa B tiene una estrategia dominante que
es la alcanza de la campaña. Con relación a la empresa A, ¿qué es lo
que sucede? Ahora nos tenemos que fijar en el 12, en el 8, el 24, este, lo
marco ahí, pero este es un valor en trozo, lo voy a marcar en trozo porque
es un valor de la empresa A, y el 18. Bueno, pues ahora, aquí ya no
podemos ver que tenga la empresa una estrategia dominante, porque si elige
como estrategia al alzar la campaña, resulta que si no la hace, si no la
alza, la empresa B obtiene más rendimiento. Si no lanza la campaña,
también obtiene más rendimiento si no lo lanza la empresa B. O sea, nos
tenemos que fijar ahora aquí, o sea, buscar una estrategia dominante
fijándonos en cómo es cada fila con relación a lo que sucede en función
de lo que haga la empresa B. ¿Ok? Si la empresa B pone de toda
información, sabrá que la estrategia dominante de la empresa B va a ser
lanzar la campaña. Y entonces A, ¿qué es lo que hará? Pues lo mismo,
porque sabiendo que va a lanzar la campaña, entonces le interesa más
lanzarla porque va a obtener 2T de resultado y si no la lanza... Solo
obtendrá 8. ¿Veis? En este caso la empresa A está condicionada por la
acción de la empresa B, porque la empresa B tiene una estrategia
dominante. Entonces la empresa B va a lanzar la campaña. Entonces la
empresa A, sabiendo eso, conociendo la materia de pago, pues elige también
lanzar la campaña porque si no la lanza obtiene menos. Bueno, esto en
cuanto a estrategias dominantes. ¿Qué es el equilibrio de Nash? Que es
algo que también hemos comentado. Bueno, pues el equilibrio de Nash, el
nombre de Nash viene de este matemático que es el que desarrolló toda
esta teoría de juego. Este es el mismo matemático que le dieron el premio
Nobel de Economía por esta teoría de juego y es en el que está basada la
película Una mente maravillosa. Que a lo mejor habéis visto en
televisión, que es La vida de un matemático. Un matemático que tiene un
problema mental, de que ve visiones, y ve a un personaje, a una niña, a un
compañero suyo en la habitación que no existe, ni tal. Pues esa
película, ese Nash que aparece en la película es el de... El de este
equilibrio de Nash. Bueno, el equilibrio de Nash es una situación en la
que se encuentran una serie de empresas como consecuencias de decisiones
propias, pero que a la vista de lo que han decidido las demás, se muestra
como las mejores opciones que podrían haber tomado cada una de ellas. O
sea, las estrategias dominantes conducen a un equilibrio de Nash siempre.
Porque la otra empresa adopta esa estrategia dominante que la conduce a la
mejor opción para ella independientemente de lo que haga. Es decir, la
estrategia dominante, de lo que hemos visto hasta ahora, nos permite saber
a priori qué debemos hacer para alcanzar el óptimo. Es la constatación a
posteriori, una vez que se han ejercido las acciones y se han tomado las
restricciones, y entonces cada jugador constata que está en la situación
óptima dado lo que han hecho los demás. Y por tanto no se atendiente el
exorcismo. Los equilibrios de NARC son estables porque no hay ningún
incentivo por parte de ninguno de los intervinientes en querer cambiar esa
situación. Vamos a ver cómo podemos distinguir lo que son las estrategias
dominantes y el equilibrio de NARC. Para ello vamos a utilizar, porque lo
que hay a continuación son preguntas de examen relativas a esto, a juego,
a teoría de juego. Por cierto, ya que veo esta de aquí, en este caso,
esto que pone 4,4, 8,1, lo que indica es... El resultado de cada uno de
los, en este caso son prisioneros, pues bueno, en esta casilla, para verlo,
el 8 indica el resultado del prisionero 1 y el 1 indica el resultado del
prisionero 2. ¿Eh? Es lo que poníamos antes con la barra. En los, en las
matices de pagos que hemos puesto antes, poníamos una diagonal ahí, aquí
poníamos el 8 y aquí poníamos el 1, ¿vale? Pues esto es lo mismo para
que no digáis, ¿y esto qué significa? Pues bueno, no es que sea 8,1,
sino que la primera cifra es el resultado del prisionero 1 y el 1 es el
resultado del prisionero 2. Bueno, vamos a ver, ahí tenéis unos
ejercicios, vamos a volver con este ejercicio, por ejemplo, y vamos a ver
cómo lo resolveríamos un poco ya en la práctica. Por supuesto. y bueno
vamos a ver cómo podemos distinguir lo que son estrategias dominantes y lo
que es el equilibrio para eso una vez que tenemos ahí la matriz de pagos
nos empezamos dejando primero en el jugador en la empresa tomamos la
primera de las columnas la de lanzar la campaña de la empresa y rodeamos
con un título y la mejor solución para el jugador en este caso la mejor
solución para el jugador es el 2 dentro de la columna lanzar la campaña o
sea estamos por la empresa está en las horizontales pero nos fijamos en la
mejor opción que tiene en la columna en la primera columna luego hacemos
lo mismo para la segunda columna si es la empresa viendo la cara Y elegimos
entre 18 y 12 su mejor opción. Nuevamente está en esta horizontal, ahí
tenemos también la opción en ese lugar. ¿Vale? ¿Está claro? O sea,
cogemos para la empresa A y elegimos la mejor opción entre 12 y 8 y entre
18 y 12 para cada una de las columnas. Ahora pasamos a la empresa B. Y nos
fijamos en la fila, para cada una de las filas, cuál es su mejor opción.
Entonces, en la fila que he marcado en azul, la mejor opción para él es
el 6, ¿no? Es mejor el 6 que el 0. Pues marcamos el 6. Y ahora nos fijamos
en la segunda fila. Para la empresa B tenemos que elegir entre 10 y 10C.
Pues bueno, el 10. Es mejor opción que el 3. ¿Vale? Pues ya tenemos, esto
es lo que tenemos que hacer. Marcar con círculos, o como queramos, las
mejores opciones de cada empresa para cada una de las respuestas del
adversario. Bien, si nos encontramos con una fila o con una columna que
tenga los dos números del mismo color, o sea, referidos al mismo jugador,
esos son estrategias dominantes para ese jugador. O sea, en rojo que he
marcado con el jugador 1, vemos que en esta fila las dos cifras están
rodeadas por un círculo. Con lo cual, para la empresa, lanzar la campaña
es una estrategia dominante. En cuanto al jugador B, vemos que esta
columna, lanzar la campaña, tiene también las dos cifras. Las dos cifras
que le corresponden al jugador B, 6 y 10, marcadas por un círculo.
Entonces, eso quiere decir que lanzar la campaña es también una
estrategia dominante para el jugador B. Vale. Bien, así es como
identificamos las estrategias dominantes. Si en la misma fila o en la misma
colina están marcadas las dos cifras con el mismo color, con un círculo
del mismo color. Vale, con eso marcamos las estrategias dominantes. Y
ahora, ¿cómo sabemos si hay un equilibrio de edad? Bueno, pues si en una
casilla los dos números están rodeados con un círculo, entonces ahí
tenemos un equilibrio de edad. Entonces, en esta casilla que tenemos aquí,
las dos cifras están rodeadas por un círculo, con lo cual esa casilla es
un equilibrio de edad. O sea, en este ejemplo, la empresa... La empresa A
tiene como estrategia dominante lanzar la campaña, la empresa B también
tiene como estrategia dominante lanzar la campaña y existe un equilibrio
de edad en esa situación. Si hiciéramos lo mismo con este juego de aquí,
a ver qué pasa aquí. Y antes, recordad que había cambiado aquí el
número 24. Empezamos con la empresa A y nos fijamos en las columnas. Aquí
tenemos que comparar el 12 y el 8, el 18 y el 24. Y rodeamos con un
círculo la más interesante para él. El 12, porque es mejor que el 8, y
aquí el 24. Y el 4, porque es mejor que el 18. Ahora cogemos y en azul
marcamos la empresa B. Y nos fijamos en la fila y comparamos el 6 con el 0,
con lo cual el 6 es el mejor opción, y el 10 con el 3, con lo cual el 10
es también mejor opción. Y es lo que nos decía antes. La empresa A, la
empresa B, tiene una estrategia dominante porque hay una columna en la que
los dos valores están rodeados con un círculo. El 6 y el 10. Entonces, la
estrategia dominante para la empresa B es avanzar la campaña. Sin embargo,
la empresa A no tiene en las filas ninguna, ninguna de las dos tiene los
dos valores marcados por un título. Con lo cual, la estrategia B no tiene,
perdón, la empresa A no tiene estrategia dominante. Y aquí vemos también
que esta casilla inicial está en los dos títulos marcados por un título,
con lo cual ese será equilibrio de nada. ¿Sí? Porque las dos casillas,
los dos números, los dos números de la casilla están rodeados con un
título. Entonces, ¿qué es lo que hará? La empresa B lanza la campaña,
pero como hemos visto antes, la empresa A, que no tenía estrategia
dominante, sabiendo que la empresa B va a lanzar la campaña, lanzará
también la campaña. Y ese equilibrio será el... equilibrio de las porque
la empresa no va a querer cambiar una vez que se han tomado las decisiones
no va a querer cambiar su postura y la empresa ve tampoco porque la opción
que tiene es no lanzarlo y si no la lanza aún está en la situación pues
así es como numéricamente o gráficamente obtenemos estrategias
dominantes de equilibrio y lo último que tenéis ahí son preguntas de
examen que han salido en exámenes relativas a teoría de acuerdos que os
pueden servir para reportar lo que es la acción bueno pues con esto hemos
acabado el tema 6, el de oligopolios con la teoría de acuerdos nos queda
una última tutoría que es el próximo día 16 y con eso habremos acabado
las teorías de este curso pues hasta el próximo lunes un saludo nos vemos
el próximo lunes