Bien, pues antes de comenzar me gustaría presentaros, supongo que lo
conocéis, la manera de acceder a la asignatura de propiedad en modelos
tecnológicos a través de Academos. Igual lo hacéis ya a través de este
portal de la UNED. Esto es lo que aparece y aquí a través de este portal
de Academos, como digo, podéis entrar desde la sala AVID, tenéis aquí un
acceso, por ejemplo, el correo UNED, etc. Y también podéis acceder al
foro de la asignatura y en ese foro, concretamente en la tutoría número
3, que es la nuestra, soy yo el que recibe los mensajes y los contesta.
Evidentemente podéis también acudir a los foros generales donde cualquier
tutor puede hacer respuestas e incluso lo sabe. Pero en fin, os recomiendo
que utilicéis el que nos corresponde a nosotros, que es el foro número 3.
Bien, también quisiera comentaros una cuestión. Si yo poseo una página
web, bueno, no sé si la conocéis, aquí tenéis el código QR para poder
acceder a ella, muy sencillo, simplemente poniendo página de Ildefonso,
que es mi nombre, pues ya podéis acceder. Entonces en esa página aquí
están las asignaturas que yo tutorizo de la UNED, en particular está la
probabilidad. Y, bueno, pichando en ella se despliega otra página donde
están todos los exámenes resueltos desde que comenzó la titulación del
grado. De hecho, también se pueden consultar exámenes de la antigua
licenciatura, que era un plan similar y que está puesto una buena
colección de exámenes resueltos. Yo en fin, os recomiendo muy
encarecidamente esta página porque tenéis ahí un material muy
interesante para preparar. Bien, bueno. El curso de este año se llama
probabilidad, modelos probabilísticos y, bueno, se trata exclusivamente,
como dije, de probabilidad. O sea, el primer tema es probabilidad, pero el
resto de temas sigue hablando de lo mismo. En fin, la probabilidad, ya
veréis, pues son los modelos que se elaboran para luego aplicarlos en
estadística, sobre todo para inducir propiedades, o sea, basándonos en
propiedades de pequeños colectivos, que son las muestras. O sea, poder
inducir propiedades de las poblaciones. Eso ya será en la asignatura del
año que viene, que es estadística, la estadística de carácter, ¿no?
Bien, vamos nosotros entonces a desarrollar hoy el primer tema, ¿no? O
sea, yo lo que voy a hacer será un desarrollo más o menos teórico, pero
bueno, un poco resumido, claro. Evidentemente todo lo podéis encontrar en
el libro, que yo os recomiendo, por supuesto, y ejercicios también. Y
después, pues... Después de cada tema haré ejercicios de los propuestos
en exámenes, a modo de ejemplo, para ir practicando. Bueno, podéis hacer
preguntas, por supuesto, pero yo también lo más os recomiendo es que
luego, a lo largo de la semana, utilicéis bien los foros o bien el correo.
Podéis escribir particularmente a mi correo y hacerme cualquier duda o
cualquier pregunta que tengáis, ¿no? Bien, vamos... Ah, y el tema que yo
voy a desarrollar... El tema que yo voy a desarrollar ahora lo podéis
bajar aquí, o sea, pinchando la carpeta, pues tenéis el tema 1 y vosotros
lo bajáis. Bien. Bueno, pues... Empezamos con el tema de probabilidad y en
primer lugar, pues, con el concepto de suceso, que entendemos por sucesos,
¿no? Hay fenómenos o experimentos que, repetidos en idénticas
condiciones, siempre proporcionan el mismo resultado. Y a eso los llamamos
deterministas. Y otros que... Repetidos en las mismas condiciones pueden
proporcionar un resultado distinto, a los cuales les llamaremos aleatorios.
Bueno, aquí he puesto varios ejemplos. Por ejemplo, presentarse a un
examen y ver qué calificación se obtiene es un experimento aleatorio,
obviamente, ¿no? Medir el espacio recorrido por un móvil y el tiempo
empleado y calcular la velocidad media, pues esto es un experimento
determinista. Es decir, que siempre que tengamos el mismo resultado del
espacio y la velocidad, nos va a dar... El espacio y el tiempo siempre nos
va a dar la misma velocidad media. Enviar una carta por correo y ver el
tiempo que tarda en llegar a su destino, eso es un experimento aleatorio.
Que, aunque tú lo repitas muchas veces, pues nunca tardará el mismo
tiempo en llegar, ¿no? Lanzar una moneda o lanzar un dado al aire y ver el
resultado es claramente un experimento aleatorio. O en una fábrica de
pinturas se mezclan, en las proporciones adecuadas, los ingredientes para
fabricar el color verde. Bueno, pues si cada vez que tú repitas este
experimento en idénticas condiciones te va a salir el mismo resultado.
Claro, es un experimento determinista, ¿no? O, por ejemplo, el número de
clientes que compran en una tienda cada lunes, pues es también un
experimento aleatorio. Aunque tú lo repitas cada lunes, hagas el recuento,
no sabes si te va a dar. No se puede prever, no existe ninguna fórmula
determinista que nos pueda dar esos datos. Bien, la probabilidad se va a
centrar precisamente en los experimentos aleatorios. Llamaremos suceso
aleatorio a cualquier resultado de un experimento aleatorio. Por ejemplo,
para lanzar un dado, obtener tres, obtener un tres es un suceso. Obtener un
número par es un suceso. Obtener un número mayor que cuatro es un suceso,
etcétera. Y estos son sucesos aleatorios. En general nosotros los
representaremos con letras mayúsculas y en lo que sigue siempre al hablar
de sucesos los supondremos todos de un mismo experimento aleatorio fijado
previamente. Es decir, aquí los sucesos de experimentos distintos en
principio no los vamos a mezclar. Bien, hay algunos sucesos notables que
conviene destacar. Como por ejemplo, llamamos suceso seguro de un
experimento aleatorio aquel que ocurre siempre que se realice el
experimento. Lo representaremos con la letra E y también se llama espacio
muestral. Por ejemplo, para lanzar una moneda sí, seguro, que siempre sale
cara o cruz. O para lanzar un dado nos sale un número, por ejemplo, entre
un nivel seis. Sería el suceso seguro. Otro suceso, también destacamos,
es el suceso imposible que es aquel que no se verifica nunca. Se representa
por el símbolo del conjunto vacío. Y por ejemplo, para lanzar una moneda
es imposible no obtener ni cara ni cruz. O al presentarse un examen pues es
imposible obtener menos de tres y más de cinco. Menos no se puede. Son
sucesos imposibles. Un suceso contrario. Lo escribimos de un suceso A, lo
escribimos A con una barrita encima. Pues es aquel que se verifica cuando
no se verifica A. Esto es equivalente en la teoría de conjuntos a lo que
se llama el suceso complementario. Por ejemplo, el suceso contrario del
suceso imposible es el suceso seguro. Y viceversa, el suceso contrario del
suceso seguro es el suceso imposible. Inclusión de sucesos. Nosotros
decimos que un suceso A está contenido en un suceso B. Y escribimos A
incluido en B. Usamos el símbolo de inclusión de conjuntos. O B incluye
A. Si siempre que se verifique A, se verifica B. Esto evidentemente es muy
paralelo a la teoría de conjuntos. El lenguaje que usamos es el mismo. Lo
que pasa es que bueno, aquí es... Es decir, de conjuntos decimos sucesos.
Bien, pues en el... Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, los sucesos
A obtener menos de 4 y B obtener menos de 5 pues se verifica que A está
contenido en B. Evidentemente si yo lanzo un dado y obtengo un número
menos de 4 también es menor que 5. Luego también se cumple B. Admitimos
que el suceso imposible está contenido en cualquier suceso. Forma parte de
cualquier suceso. El suceso elemental es aquel suceso no imposible que no
contiene a ningún otro suceso distinto de él. Por ejemplo, al lanzar un
dado, obtener 1 es un suceso elemental. Obtener 2 es un suceso elemental,
etcétera. Hay 6 sucesos elementales. Al lanzar una moneda, obtener cara es
un suceso elemental. Obtener cruz es un suceso elemental, etcétera. Los
sucesos elementales los representamos por letras minúsculas. A sub 1, a
sub 2, etcétera, a sub n. Y si estos son los sucesos elementales de un
suceso A pues escribiremos que A es igual a A sub 1, a sub 2, etcétera,
hasta A sub n. Es muy práctico en muchas ocasiones representar
gráficamente los sucesos sobre todo para visualizar ciertas propiedades
mediante los diagramas que se llaman diagramas de Venn. Ya te digo, esto es
como los conjuntos, como la teoría del conjunto. Es decir, que
representamos el espacio mostrado mediante un rectángulo y los sucesos son
esos conjuntos y pueden tener partes en común o no, etcétera. Esta sería
la manera de los diagramas de Venn de representar los sucesos. Bien, con
los sucesos se pueden hacer operaciones de manera que luego se construye
una especie de álgebra de sucesos igual que si fuesen números. Con los
números hacemos operaciones y ahí obtenemos lo que se llama el álgebra
pues con los sucesos también. Existen operaciones y obtenemos lo que se
llama el álgebra de sucesos. Las operaciones que se pueden hacer, las más
importantes son la unión de sucesos que escribimos como símbolo de la
unión de conjuntos o sea que dos sucesos A y B la unión A, unión B es el
suceso que se verifica cuando se verifican A o B uno o cualquiera de los
dos y sobre en ese caso aquí representado gráficamente pues sería toda
la zona sombreada. La intersección B de los sucesos sería el suceso que
se verifican cuando se verifican A y B y sobre en ese caso digamos no
simultáneamente tanto gráficamente porque aquí lo tenemos representado
la parte sombreada. Después la diferencia de los sucesos o sea el suceso A
menos B sería quitarle a A la parte que tiene de B lo que está aquí
representado y aquí vemos el suceso A se le ha quitado la parte que tiene
de común con B entonces lo que queda es el suceso A. Hay unas propiedades
importantes la mayoría de ellas fáciles de comprobar recorriendo los
gráficos de B y que son tanto para la unión como para la intersección
pues son las clásicas, la propiedad asociativa que es la que nos permite
unir más de dos sucesos sin poner paréntesis aquí por ejemplo lo que se
indica A unión B entre paréntesis unión con B aquí unimos siempre dos
sucesos A unión B es un suceso estamos aquí A unión B es un suceso unido
con C tengo ahí la unión de dos sucesos esa unión de dos sucesos es
igual a A unido con B unión C que es otra unión de dos sucesos esta
propiedad es evidente se verifica y eso nos permitiría escribir la A
unión B unión C sin paréntesis tiene sentido escribir sin paréntesis la
unión lo mismo pasa con la intersección la propiedad conmutativa de la
unión A unión B es igual a B unión A es evidentemente también cierta la
propiedad distributiva de la unión respecto de la intersección sería
esta de aquí o bien la de la intersección respecto de la unión que bueno
dice que el ejemplo de la unión es que A unión con una intersección con
B intersección C pues se distribuye el A o sea que se hace A unido con B
intersección A unido con C de forma similar a la de la intersección es la
propiedad distributiva por ejemplo la propiedad de elemento neutro pues es
que el suceso imposible es elemento neutro de la unión A unión imposible
es igual que A no importa nada y con la intersección el elemento neutro es
el suceso seguro es el espacio muestral o sea que A intersección E
obviamente es igual a la parte común de A y del espacio muestral es A
bueno y las leyes de De Morgan que son dos una para la unión y otra para
la intersección la de la unión dice que A el contrario o el contrario de
la unión el contrario de la unión es la intersección de los contrarios y
en el caso de de la intersección pues el contrario de la intersección es
la unión de los contrarios bueno aquí sí que podría sí que voy a hacer
una sea esta demostración la voy a hacer para que veáis un poquito como
se maneja la cuestión de las demostraciones con los diagramas de Rien
vamos a verlo por ejemplo lo que vamos a demostrar es que A voy a poner A
unión de espera que esto es demasiado vamos a limpiar R A unión de
contrario esto es igual A contrario, intersección B, contrario es decir
que aquí cambiamos la unión por la intersección bueno para ello lo que
vamos a hacer es un dibujo aquí tengo A B esto es A esto es B y aquí voy
a hacer el mismo dibujo pues A A y B entonces aquí vamos a representar el
contrario de la unión A unión B contrario y aquí vamos a representar la
intersección de los contrarios ahora el contrario de A entonces aquí el
contrario de B vamos a ver el dibujo porque es que esto está tan difícil
de explicar bueno, ahora ¿quién es el contrario de la unión? bueno
porque tengo el contrario de la unión B entonces lo que está fuera de la
unión lo voy a marcar marco lo que está fuera de la unión eso sería el
contrario de la unión y en la segunda figura voy a representar la
intersección de los contrarios entonces, ¿qué tengo? peso A el contrario
de A sería lo que está fuera de A todo lo que está fuera de A sin
fijarme en el suceso todo lo que está fuera de A y ahora voy a parrañar
todo lo que está fuera de B lo haré en vertical para poder luego
distinguir porque es el contrario de A y el contrario de B entonces ahora
rayaré en vertical lo que es el contrario de B independientemente de donde
esté A entonces estoy rayando ahora el contrario de B entonces tienes la
intersección del contrario de A con el contrario de B, por lo que está
cuadriculado está rayado en horizontal el contrario de B está rayado en
vertical lo que está cuadriculado es la intersección entonces si nos
fijamos en B lo que está cuadriculado a pesar de la catástrofe del dibujo
observamos que lo que está cuadriculado es exactamente lo que está fuera
de los dos fuera de la unión es lo mismo que había aquí por tanto, esto
es una manera y sencilla y fundamental de demostrar la ley del demora por
lo tanto se demuestra igual lo que habéis intentado hacer es muy simple
bien continuamos entonces bien bueno lo que os decía antes de la propiedad
asociativa pues resulta que si tenemos n sucesos pues podemos escribir la
unión de todos ellos ay perdona es que no había visto lo que habíais
escrito aquí bueno vamos a ver las leyes del demorgan no es que tengan
resultados sino que lo que pretenden es demostrar la igualdad es decir, que
las leyes del demorgan lo que establecen es esto es una igualdad el
contrario de la unión es igual que la intersección de los contrarios por
eso yo hago dos dibujos juro que sean idénticos o sea, los dos dibujos los
hago idénticos en uno de ellos represento el contrario de la unión y en
otro represento la intersección de los contrarios y entonces observo que
la zona marcada en ambos es la misma luego entonces ambos sucesos son
iguales no es que hayan resultados sino que es demostrar una igualdad
bueno, continuamos con esto eh... bien lo que decía yo de que cuando
tienes n sucesos pues puedes escribir la unión de ellos sin paréntesis
sub 1, sub 2, etc. y eso pues se puede simbolizar de esta manera ponemos un
símbolo grande de la unión desde i igual a 1 hasta n de a sub i, esto es
similar a lo de los sumatorios cuando hay una sucesión o una serie y lo
mismo con la intersección si yo tengo n sucesos puedo dar la intersección
de todos ellos entre intersección a sub n y escribirlo abreviadamente como
una intersección un símbolo de intersección grande desde i igual a 1
hasta n de los a sub i bien, eh... decimos que los sucesos son
incompatibles si no pueden verificarse simultáneamente por ejemplo en este
caso es obvio que la intersección de ellos es el suceso imposible si no se
pueden verificar simultáneamente por ejemplo avanzar un dado los sucesos A
obtener menos de 3 y obtener un número mayor o igual a 4 eso no puede
ocurrir a la vez si sale menor que 3 no es mayor que 4 y si sale mayor que
4 no es mayor que 3 son sucesos que pueden ocurrir por separado pero no
simultáneamente son sucesos incompatibles estos son conceptos sencillos
pero todos son importantes porque luego por eso en los ejercicios aparece
todo esto bien, el conjunto de todos los sucesos que resultan de la unión
la intersección o la complementariedad complementariedad de los
subconjuntos o los sucesos de E se representa por omega entonces el par E
omega se denomina espacio probabilizable o sea que el omega en realidad es
el espacio de los sucesos no confundir con el espacio muestral el espacio
muestral es el suceso seguro el espacio muestral, por ejemplo en el caso
del dado uno, dos, tres, cuatro, cinco y seis ese es el suceso, ese es el
espacio muestral de ahí salen todos los sucesos como subconjuntos ahora
bien el conjunto omega son todos los sucesos coges cualquier suceso de E y
está en omega esto que hay aquí intersección o complementariedad pues
eso es que si coges todos los sucesos de E y los unes formas otro suceso de
E y si los intersectas formas otro suceso de E y si hayan los
complementarios o contrarios formas otro suceso de E eso lo haces con todos
te sale el conjunto todos los sucesos eso lo representamos por omega bueno,
una cuestión teórica bien, vamos entonces con la probabilidad bueno,
aquí vosotros tendréis que leer todo esto en el libro habla de la
probabilidad clásica y otro de la probabilidad precultista es decir, el
tema de la probabilidad empezó a desarrollarse allá por el siglo XVII
entonces lo de la probabilidad clásica se refiere a que al principio
Laplace estaba intentando matematizar de alguna manera los fenómenos
aleatorios se trata de eso de formalizar lo que es la aleatoriedad de los
experimentos entonces claro, por ejemplo si tú lanzas una moneda pues es
muy, bueno, explosible se puede uno suponer que igual de la misma manera
sale cara que cruz, es decir que ahí de una manera intuitiva porque
interpretamos que la probabilidad es la misma bueno, pues entonces o por
ejemplo al lanzar un dado pues la probabilidad también podemos intuir que
la probabilidad puede ser la misma en principio la misma de cara a cara si
el dato está bien hecho bueno, de esta manera la probabilidad de un suceso
Laplace la definía como el número de casos favorables partido por el
número de casos posibles es decir, que por ejemplo lanzar un dado que la
probabilidad de que me salga un 3 pues es 1 de 6 que tengo entonces la
probabilidad la definíamos como un sexto un caso favorable 6 posibles, por
ejemplo la probabilidad de que al lanzar un dado obtener un número menor o
igual que 2 es decir, que salga el 1 o el 2 pues que son dos casos, tengo
dos casos ¿de cuántos? de 6, pues dos sextos es decir, que eso es lo que
él de una manera ya te digo, intuitiva pues estableció como definición
de la probabilidad, eso es lo que se llama la probabilidad clásica bueno,
pero claro resulta que esto no es realmente así, no hay dado perfecto ni
hay moneda perfecta no hay dado equilibrado entonces al lanzar un dado pues
no son siempre igualmente probables todas las caras pero claro, eso cómo
se puede investigar, cómo se puede averiguar una manera de hacerlo es tú
pones aquí probabilidad frecuentista yo por ejemplo, vamos con la moneda
que es más sencillo para saber la verdadera probabilidad de obtener cara o
cruz al lanzar una moneda una cosa que se puede hacer es lanzar la moneda
cien veces o mil veces e ir anotando los resultados si yo lanzo la moneda
cien veces y observo que de las cien veces sesenta me sale cara y cuarenta
cruz bueno, eso tampoco me demuestra nada porque eso puede pasar obviamente
aunque la moneda esté perfectamente equilibrada pero si lo hago mil veces
y entonces me sale seiscientas caras y cuatrocientas cruces ya me hace
pensar y si lo aumento y me sigue saliendo en esa proporción al final
llegaré a la conclusión de que es más probable que salga cara que que
salga cruz y de esa manera pues le puedo asignar en vez de ponerle un medio
y un medio cero coma cinco cada suceso pues le puedo poner cero coma seis y
cero coma cuatro pero bueno, de todas maneras todo esto se resolvió la
cuestión está un poco intuitiva o por ejemplo esto de la frecuencia
cuántas veces tienes que hacer un experimento para poder decidir ya con
seguridad cuál es la probabilidad claro, te entendería infinito no se
puede entonces ya digo todo esto se resolvió con una axiomática que es la
axiomática de Kolmogorov que es lo siguiente nosotros tomamos la
probabilidad como una definición se define la probabilidad entonces si E
es el espacio muestral de un experimento aleatorio una probabilidad es una
función que a cada suceso no a cada suceso elemental si para cada suceso
le hace corresponder un número real que representamos por PbA con unas
condiciones que tiene que cumplir es como una especie de reglas del juego
con unas axiomas entonces los axiomas aquí los tenemos primeramente esa
probabilidad tiene que ser siempre un número mayor o igual que cero la
probabilidad por tanto nunca puede ser negativa en segundo lugar la
probabilidad del suceso segundo esa es uno por axioma y en tercera época
si A1, A2, An, etc o sea que aquí tenemos una sucesión de sucesos
infinita no hay puntos expresivos es una sucesión de sucesos incompatibles
2 a 2 esto es importante son incompatibles entre sí todos ellos entonces
se cumple que la probabilidad de la unión es la suma de las probabilidades
estos tres axiomas esto hay que memorizarlo, hay que saberlo los tres
axiomas de Kolmodov que ahí se deduce toda la teoría de la probabilidad
entonces bueno las consecuencias por ejemplo la primera consecuencia que no
está en los axiomas pero que se deduce de ellos es que la probabilidad del
suceso imposible es cero aquí es una breve demostración pero así de
sencilla la probabilidad del suceso imposible los sucesos son incompatibles
si su intersección es un suceso imposible y claro, el suceso imposible es
que es imposible entonces por el tercer axioma la probabilidad de la unión
de sucesos imposibles es la suma de las probabilidades y claro como resulta
que tengo que la probabilidad de un suceso o sea la probabilidad del
imposible que será un número es la suma de él mismo infinitas veces eso
no puede pasar más que estas demostraciones parecen un poco forzadas
porque son cosas muy evidentes pero bueno es por buscar un poco el rigor
para otra segunda para un conjunto finito de sucesos que sean incompatibles
dos a dos pero ahora finitos no como en el axioma si el conjunto es un
conjunto finito hasta en sucesos entonces también se cumple lo mismo esto
también se deduce de ese axioma yo lo que hago es que para demostrar eso
tomo el conjunto este a sub 1, a sub 2, a sub n de sucesos y sigo
uniéndole con sucesos imposibles hasta el infinito tengo una sucesión de
infinitos sucesos y entonces claro la probabilidad de la unión de todos
ellos es la misma que la de los a subir nada más una tercera consecuencia
es que si a está contenido en b evidentemente la probabilidad de a es
menor que la probabilidad de b claro efecto si a y b menos a a y b menos a
le quitábamos la parte que le quedaba de b eso es una partición del
suceso a son incompatibles a y b menos a son incompatibles y el suceso
segundo es a unido con el contrario de a esto también es cierto entonces
la probabilidad del suceso seguro que es 1 es igual a la probabilidad de a
más la probabilidad del contrario de a son sucesos incompatibles luego
entonces la probabilidad del suceso contrario de a es 1 menos la
probabilidad del suceso a bueno bien aquí tenemos que si hay b son dos
sucesos cualesquiera entonces se cumplen son dos sucesos cualesquiera ahora
ya no se indica que sean incompatibles si a y b fuesen incompatibles la
probabilidad de la unión es la suma de las probabilidades pero si son dos
sucesos cualesquiera pues la probabilidad de la unión es la probabilidad
del primero más la probabilidad del segundo menos la probabilidad de la
intersección esto también es bastante evidente si yo tengo dos sucesos
como por ejemplo en este dibujo a unión b tiene una parte común si yo
sumo quiero calcular la probabilidad de la unión y sumo probabilidad de a
más probabilidad de b de manera intuitiva yo lo que observo es que la
intersección la he sumado dos veces si sumo probabilidad de a y luego sumo
probabilidad de b pues la parte que es común la he sumado dos veces por
eso digo que eso de forma intuitiva también se ve que la fórmula esta
probabilidad de a unión b igual a la probabilidad de a más probabilidad
menos la probabilidad de la intersección aquí está demostrada con
detalle pero igual ya te digo se puede ver de manera bastante bueno y ya
generalizando esta fórmula de la unión si a, b y c son tres sucesos la
probabilidad de la unión de los tres sería la suma de las probabilidades
de cada uno de ellos y luego menos las probabilidades de la unión de dos
sucesos y en general para n sucesos la probabilidad de la unión de n
sucesos aquí ya te digo que hablamos de sucesos cualesquiera, no
incompatibles si fuesen incompatibles la probabilidad de la unión es la
suma de las probabilidades pero bueno, en general la probabilidad de la
unión es la suma de las probabilidades menos la suma de las probabilidades
de las intersecciones dobles más la suma de las probabilidades de las
intersecciones triples y así sucesivamente alternando los signos más
menos más menos hasta el último depende de n si es par o impar al final
sería la probabilidad de la intersección de todos esta fórmula tenedlas
en cuenta porque a veces aparecen preguntas de exámenes bien, tenemos un
caso particular especialmente importante y es que es el caso de los sucesos
elementales se puedan suponer equiprobables lo que comentábamos al
principio de Laplace esta fórmula de Laplace se puede deducir también de
la axiomática de Kolmogorov o sea, en muchos casos es coherente con la
experiencia de hipótesis de asignar la misma probabilidad de los sucesos
elementales de un experimento aleatorio bueno, eso ya lo hemos comentado,
por ejemplo al lanzar una moneda a asignar 0.5 la probabilidad de cada
suceso elemental o al lanzar un dado a asignar un sexto, etc diremos
entonces que los sucesos elementales son equiprobables bien, pongámonos en
tal caso y sea E un espacio muestral formado por sucesos, por n sucesos
equiprobables y de manera que la probabilidad de cada uno de ellos es
siempre la misma, es P, probabilidad de asumir es P, entonces claro, se
tiene entonces que E lo puedo expresar como la unión de los sucesos
elementales, los sucesos elementales nada más que tienen forma un suceso
obviamente, elemental son incompatibles los sucesos elementales son
incompatibles entre sí de manera que puedo aplicar la axioma de la unión
de sucesos elementales y tomando probabilidades, la probabilidad de E que
es un 1, sería igual a la suma de las probabilidades de los sucesos
elementales, pero como todas son iguales a P, pues esto sería n por P por
lo tanto de aquí despejo P o sea que puesto que 1 es igual a n por P
resulta que P es igual a 1 partido por N si ahora A es un suceso cualquiera
que está formado o sea, no es el suceso seguro no es el espacio mostrado,
sino que es un suceso que está formado por R sucesos elementales y por
aquí por lo tanto lo puedo escribir de esta manera ¿no? a sub 1, 1 a sub
2, etc, 1 a sub r entonces la probabilidad de A sería la suma de las
probabilidades de estos sucesos elementales pero como son R, pues sería R
por P, y como hemos visto que P era 1 partido por N, pues sería R partido
por N, entonces claro esta fórmula es la fórmula de Laplace entonces lo
puedo expresar diciendo que la probabilidad del suceso A es igual a R, que
es el número de casos favorables que son el número de sucesos elementales
de que consta, partido por N que es el número de casos positivos entonces
la fórmula de Laplace como digo es una consecuencia de la axiomática del
polinomio se puede demostrar con la hipótesis de X probabilidad bien
veamos un ejemplo, en una bolsa 5 bolas blancas 3 bolas rojas todas de
idéntico tamaño extraemos simultáneamente 2 de ellas o sea bien, hay 5
blancas y 3 rojas entonces tengo 8 saco 2 de ellas hallar las
probabilidades de los sucesos A que las dos sean blancas B que las dos sean
rojas o C que una sea blanca y una sea roja bueno, los casos posibles bueno
aquí se utiliza el que dice obligatoriamente combinatoria vosotros lo que
tenéis que hacer es repasarlo no se como estaréis en el libro al final
hay un apéndice donde desarrolla las fórmulas más importantes de la
combinatoria en este caso estoy usando combinaciones las combinaciones de 8
elementos de orden 2 significa el número de subconjuntos o de parejas en
este caso son de 2 el número de parejas que puedo hacer con 8 elementos si
los numero del 1 al 8 una pareja es el 1,2 evidentemente sin repetir porque
yo extraigo 2 bolas las extraigo simultáneamente entonces una pareja
sería el 1,2 otra el 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 3,4
3,5 etc bueno eso son las combinaciones y para eso hay una fórmula que son
los números combinatorios 8 sobre 2 esto os hace falta repasarlo lo
tenéis en el libro y ahí os lo recomiendo 8 sobre 2 que son 8 por 7
partido por 2 en este caso 2 2 factorial bien estos son 28 posibilidades de
las 8 bolas que tengo sacar 2 de ellas hay 28 posibilidades distintas aquí
bueno es un ejemplo de la fórmula 2 porque estoy considerando que
cualquier suceso elemental o sea que aquí un suceso elemental es sacar 2
bolas una blanca y otra blanca o una blanca y una roja o dos rojas eso cada
uno de ellos es un suceso elemental hay casos favorables de que las dos
sean blancas bueno pues entonces como blancas tengo 5 casos favorables de
parejas de blancas pues serían 5 sobre 2 efectivamente es la misma idea
que antes para hallar todos los casos posibles entonces sería 5 sobre 2
que son 5 por 4 partido por 2 que son 10 luego la probabilidad de que al
hacer este experimento las 2 bolas sean blancas son 10 partido por 28
normalmente se suele siempre expresar de forma decimal el resultado
redondeado con los decimales normalmente o puedes sacarse uno más la
segunda pregunta que las 2 sean rojas pues lo mismo como hay 3 bolas rojas
cuantas parejas de rojas puedo hacer pues 3 sobre 2 3 por 2 partido por 2
que son 3 luego la probabilidad sería 3 partido por 28 bueno aquí parejas
donde haya una blanca y una roja si tengo 5 blancas y 3 rojas pues cojo una
de las blancas una de las 5 con una de las 3 entonces formo una pareja otra
de las 5 con otra de las 3 formo otra pareja que con cada una con la numero
1 de las blancas cuantas parejas puedo hacer 3 parejas porque lo hago con
la numero 1 de las rojas con la numero 3 de las rojas con la numero 2 de
las blancas cuantas parejas puedo hacer otras 3 con la numero 3 de las
blancas cuantas parejas puedo hacer otras 3 cuantas parejas puedo hacer
blanca roja 5 por 3 entonces la probabilidad de obtener una pareja de
blanca roja sería 15 partido por 28 bueno aquí tenéis un ejemplo de la
forma de las rojas bien a que llamamos probabilidad condicional bueno pues
la probabilidad si no hay ningún dato o sea que yo voy a hacer un
experimento aleatorio pues ya hemos visto un ejemplo tengo una probabilidad
pero a veces hay información o sabemos algo del resultado se puede saber
algo del resultado entonces la probabilidad está condicionada vamos a
explicar esto por ejemplo yo tengo un espacio muestral cuyo suceso es
elemental supongamos aquí probable que sea A un suceso no imposible y
consideremos a su vez o sea A como un espacio muestral aquí lo tengo en el
dibujo E es un espacio muestral y está formado por sucesos todos los
sucesos que contiene son los sucesos del espacio muestral pero un suceso A
a su vez contiene sucesos dentro por ejemplo aquí está representado A y B
y la intersección A intersección B forma parte de A dentro de A cualquier
subsuceso de A porque es un suceso que esté contido dentro de A forma
parte de A de forma que yo puedo suponer que A es otro espacio muestral o
sea no es lo mismo por ejemplo aquí A intersección B es un suceso de A
pero también es un suceso de E la probabilidad de A intersección B como
suceso de E no es la misma que la probabilidad de A intersección B como
suceso de A es decir que a mi si me piden la probabilidad de A
intersección B sin más datos y estamos en el caso de Laplace que son
sucesos equiprobables pues yo lo que tengo que hacer es contar los casos
favorables de A intersección B dividido por los casos posibles ahora bien,
si a mi me dicen calcula la probabilidad de A intersección B pero hay una
información al hacer el experimento hemos visto que ha ocurrido A ah bueno
entonces ya si yo le voy a dar la probabilidad de A intersección B
sabiendo que ha ocurrido A ahora ya tengo información ahora resulta que ya
los casos posibles ya no son todos los de E si el caso es posible son menos
los casos favorables son los mismos pero los casos posibles son solamente
los de A por tanto la probabilidad ha cambiado esto más o menos es lo que
se entiende por probabilidad condicional aquí lo explico o sea que si es
lo que he dicho yo si A intersección B puede considerarse tanto
perteneciente a E como a A en ese segundo caso le llamamos o sea que A
intersección B si lo considero como en E pues es el suceso A intersección
B pero si lo considero como suceso de A le llamo suceso B condicionado por
A y lo escribo así B con una barrita B condicionado por A bueno, vamos
allá bien, aquí tenemos es decir que A intersección B es lo mismo, A
intersección B del espacio muestra la E, B condicionado por A es el suceso
A intersección B del espacio muestra la A pongamos que N es el número de
sucesos elementales de E que N sub A es el número de sucesos elementales
de A que N sub B es el número de sucesos elementales de B y que N sub A
intersección B es el número de sucesos elementales de A intersección B
entonces vamos a ver, ¿quién es la probabilidad de B condicionado por A?
pues será N sub A intersección B partido por N sub A pues he dicho A un
momento ¿no? si yo en este cociente que sería el número de casos
favorables N sub A intersección B partido por el número de casos posibles
porque yo estoy diciendo que ha ocurrido A bueno, pues entonces aquí en
este cociente divido por B y me queda pues esto N sub A intersección B
partido por B entonces, nosotros lo que vamos a hacer ahora es tomar esto
como definición general de probabilidad condicionada aunque los sucesos no
sean elementales y no se pueda utilizar la fórmula de Laplace, eh, de
manera que eso en general si hay de esos dos sucesos en un espacio
muestra-lee con sucesos elementales, no necesariamente de aquí probables
tales que C de A sea distinto de cero, claro que si no no se puede dividir
por C de A pues la probabilidad de B condicionado por A por definición
vamos a tomarla como la probabilidad de la intersección partido por la
probabilidad de A esta fórmula pues es una bastante importante que aquí
si se despeja la probabilidad de la intersección pues nos sale que la
probabilidad de la intersección es la probabilidad de A por la
probabilidad de B condicionado por A en esta formulita también lo es,
claro es la misma y aquí esto o sea que es la probabilidad de la
intersección es la probabilidad del primero por la probabilidad del
segundo condicionado por el primero bien los sucesos A y B se dicen
independientes si la probabilidad de B y la probabilidad de B condicionado
por A son la misma, es decir que A es independiente de B si al
condicionarlo por A o no condicionarlo da la misma probabilidad y en caso
contrario se llaman dependientes entonces si A y B son independientes
lógicamente la probabilidad de A intersección B es la probabilidad de A
por la probabilidad de B porque la probabilidad de B condicionado por A es
la misma que la de B bueno aquí tenemos un ejemplo se extraen
sucesivamente con reemplazamiento dos cartas de una baraja ¿esto qué
quiere decir? saco una carta, la miro anoto y la vuelvo a depositar vuelvo
a barajar y saco otra carta entonces eso es sacar dos cartas con
reemplazamiento todo puede repetirse de una baraja de 40 hallemos la
probabilidad de que las dos sean figuras sota, caballo y rey hay 12 hay 12
figuras en una baraja cuatro de cada palo cuatro sotas, cuatro caballos y
cuatro reyes por lo tanto 12 figuras entonces vamos a calcular la
probabilidad de que las dos cartas que saco de esa manera con
reemplazamiento sean figuras aquí sí que puedo utilizar la fórmula de
Laplace porque consideramos aquí probables sacar cualquier carta bien los
sucesos elementales son pares de cartas entonces vamos a llamar a que la
primera carta del par se afigura y de que la segunda carta del par se
afigura entonces ¿hay versión independiente? joder, claro, es que la
primera carta del par se afigura bueno, yo saco una carta si es figura la
vuelvo al mazo la segunda carta puede volver a salir la misma es decir, que
no influye en lo que haya salido en la primera a lo que va a salir en la
segunda por tanto son sucesos independientes la probabilidad de que la
segunda carta se afigura sabiendo que va a ser la primera es la misma que
la probabilidad de que la segunda carta se afigura por lo tanto la
probabilidad de b es decir, de que la segunda carta se afigura es 12
figuras que tengo, están todas da allí partió por cuarenta luego la
probabilidad de la intersección es 12 partido por 40 con 12 partido por 40
cuando los sucesos son independientes la probabilidad de la intersección
es el producto de las probabilidades Ahora, el mismo ejemplo, pero haciendo
que la extracción sea sin reemplazamiento, claro, ahora ya las cosas
cambian. Porque ahora, por ejemplo, si lo hago sin reemplazamiento, la
probabilidad de A de que la primera se afigura es 12 partido por 40, pero
la probabilidad de B condicionado por A, es decir, la probabilidad de que
la segunda se afigura, habiéndolo sido la primera, ya no es 12 porque ya
si la primera ha sido figura ya me quedan 11 nada más. Entonces sería 11
partido por 30 y 9. Por lo tanto, aquí no tenemos. La probabilidad de B
condicionado por A sería 11 partido por 30 y 9. Luego entonces la
probabilidad de A intersección B sería la probabilidad de A por la
probabilidad de B condicionado por A. La probabilidad de A es 12 partido
por 40 y la de B sería 11 partido por 30 y 9. Bien. Bueno, la fórmula de
la probabilidad de la intersección también se puede generalizar. Tenemos
la probabilidad de A intersección B intersección C. Sería la
probabilidad del primero. Esto se puede dejar a 3 y en general. A N, ¿no?
Pues fijaros la fórmula. La probabilidad de A intersección B
intersección C sería la probabilidad del primero por la probabilidad del
segundo condicionado por la anterior. Por la probabilidad del tercero
condicionado por la intersección de los dos anteriores. Y ya digo, si
hubiesen más, pues esto así se generaliza. Bueno. Bien. Bien, aquí
tenemos la fórmula generalizada para N sucesos. Bien, nos quedan dos
teoremas. Dos teoremas que son el teorema de la probabilidad, el teorema de
Bayes, que son bastante importantes y que requieren prestarle un poco de
atención. Y después, y después os he colocado ya ejercicios de
exámenes, ¿no? Esto, como ya digo, pues lo podéis, lo podéis bajar,
está en la carpeta, ¿eh? Pues bajáis esto que estoy yo disponiendo aquí
y está con los ejercicios incluso. Los ejercicios están todos con la
solución. Entonces, bueno, lo que vamos a hacer va a ser finalizar aquí
la clase. El próximo día continuaremos. Porque quiero... Quiero ver lo de
la fórmula de Bayes, ¿no? Especialmente. Y bueno, y entonces pues
también nos entretenemos un poco en repasar algunos ejercicios. Pero
vosotros ya podéis ir por vuestra cuenta por haciendo. Y muchos de ellos,
como veréis, muchos, ¿eh? Todos. Y la mayoría quizás, ¿no? Pero bueno,
muchos de ellos se hacen por la fórmula de Laplace. Contando casos
favorables y casos posibles. Pero eso depende un poco del problema. O sea
que aquí, por ejemplo, este primer problema, un grupo de ocho compañeros
de trabajo. Formado por cuatro mujeres y cuatro hombres. Se divide en dos
grupos de cuatro personas. ¿Cuál es la probabilidad de que cada grupo
tenga el mismo número de hombres que de mujeres? Claro, este experimento,
los sucesos elementales son equiprobables. Porque aquí no hay ninguna
preferencia, ¿eh? Sino que pueden estar formados de cualquier manera,
¿no? Entonces, pues se pueden aplicar. Bueno, aquí de hecho como está
hecho. Bueno, estos ejercicios están sacados de exámenes. Y son como veis
de tipo test. El examen. Ponen diez preguntas de tipo test, con cuatro
respuestas posibles. Y luego hay unos problemas. Hay dos problemas en los
cuales también a veces, a veces también, ¿eh? Con frecuencia también
salen problemas de probabilidad. Es un problema de desarrollo, un poco
más. Pero bueno, aquí también hay que desarrollarlos obviamente para dar
la respuesta. O sea, que tienes que hacer al margen, hay que hacer las
operaciones, ¿no? Es decir, que aquí hay cuatro respuestas y entonces,
bueno, pues eso. En este caso, como son ocho personas. Los casos posibles
son ocho sobre cuatro. Fijaros, como os he dicho antes, hay que utilizar
combinatoria necesariamente, ¿eh? Ocho sobre cuatro. Hay combinaciones de
ocho tomado entre cuatro y cuatro, que son setenta. Y los casos favorables
para que haya el mismo número de hombres que de mujeres son que tiene que
haber cuatro hombres y cuatro mujeres. Por lo tanto, como tengo que elegir,
o sea, perdona, dos hombres y dos mujeres, ¿no? Como tengo, como hay
cuatro hombres y cuatro mujeres, pues tengo que elegir de los cuatro
hombres dos y de las cuatro mujeres dos. ¿De cuántas formas se puede
hacer eso? Pues elegir los hombres se puede hacer de cuatro sobre dos.
Elegir a las mujeres de cuatro sobre dos formas. El producto de ambos
serían las parejas donde hay dos hombres, dos mujeres. Es treinta y seis
por treinta y seis, cuatro por treinta. Aproximadamente es cero coma
cincuenta y uno cuarenta y tres. Y bueno, aquí en realidad no hay ninguno,
no hay ninguno que coincida. Claro, esto a veces ocurre. Aquí no sé. Ahí
está la cosa, que tú en un examen, pues luego se te plantea la duda,
¿no? ¿Qué respondo? Pues a ver, porque la probabilidad es el resultado
del este, ¿no? Claro, aquí cincuenta y uno. Podríamos poner cincuenta y
uno. Esto si lo redondeas a dos decimales sale cincuenta y uno, pero
cincuenta y uno podríamos tomar esta. Bueno, pues venga, lo dejamos aquí
y continuamos el próximo día, ¿eh?