Muy buenas tardes, bienvenidos a la segunda tutoría de la lección 1 del
curso. ¿Se escucha bien? Bueno pues, acabada la sintonía de la tutoría,
vamos a comenzar. La tutoría de hoy me pregunta que si podía subir al
chito la presentación en formato PDF. Creo que la presentación, os mandé
al foro la presentación en formato PDF de tres diapositivas por página
para que preparéis la tutoría y cuando acabe la tutoría os subiré un
PDF en forma de una diapositiva por página. La primera versión es por si
queréis imprimir y tomar notas y la segunda es la que se ve mejor. ¿Vale
así? Me molo que me lo habías preguntado. De hecho, me molo que ya está
subida el PDF de la presentación en el foro del curso de vibraciones y
ondas, en el foro de estas tutorías del tema 1 donde pone Juan José
Miralles, la suelo subir antes en formato de tres diapositivas por página
y cuando acabe la subo en formato más visual de una diapositiva por
página. Dice hace más de tres horas pues no sé. No me cuadra cómo
funciona entonces el servidor de la UNED. Yo esas diapositivas las subí el
viernes. Hoy estamos al lunes del viernes cuando convoqué el, reservé el
aula. No sé, mirarlo en la fecha de correo pero la subí el viernes.
Bueno, luego lo miraré yo también, ¿eh? Pero tengo mala memoria pero yo,
vamos, casi seguro que la subí el viernes porque recuerdo que fue cuando,
en la misma hora y el mismo día que convoqué la video, la tutoría.
Quiero decir cuando reservé la sala. Vale, ¿alguna pregunta más antes de
iniciar? Venga, pues vamos allá. Lo que vamos a hacer en esta tutoría es
el estudio de las oscilaciones libres o dinámica del movimiento armónico
simple. Pues vamos a ver dinámica de oscilaciones libres junto con
sistemas, diversos sistemas físicos, cuya oscilación se puede modelizar
por una oscilación libre o dinámica de movimiento armónico simple. Y
veremos algunos conceptos de esta, de la teoría con la resolución de
problemas. Pues la bibliografía de esta lección se corresponde con el
capítulo 3 del French. Hablan problemas de la parte de mecánica con un
grado de libertad están tomados del libro del Riley, Ingeniería mecánica
volumen dos, capítulo veintiuno. Y la normalización, la normalización
del más que yo uso es la que figura en el libro de Rañada, Dinámica
clásica, capítulo seis. En algunos objetivos de la lección, como tenéis
las transparencias o las vais a tener los que no las tengáis todavía,
pues le echáis un vistazo. Y en general, pues una pequeña reflexión
sobre que el uso de las vibraciones en el desarrollo de la civilización
humana, pues contempla un lado positivo. Somos capaces a partir de la
teoría de generar industria, generar objetos, pues instrumentos musicales,
aplicaciones en medicina por resonancia, microscopios de fuerza atómica
con los cuales digamos generar unas pinzas entre comillas con las que
ordenar átomos o el análisis y la aplicación de los otros ultrasonidos
desde la medicina hasta la arqueología. Pero así mismo debemos de ser
conscientes que a veces las vibraciones nos dan profundas sorpresas. Una de
estas sorpresas es el incidente del puente de Tacoma de 1940, que
analizaremos con un poco más de detalle en la última tutoría en
oscilaciones forzadas. Y a veces no sólo nos dan sorpresas, sino que
producen efectos devastadores, pues como los terremotos. Entonces toda una
rama de la tecnología, el control, la necesidad de controlar y aislar las
vibraciones. Y pensar por ejemplo en física, supongo que estáis a la
noticia de que el año pasado el descubrimiento histórico que es la
detección por primera vez, detección de ondas gravitatorias, me
contestáis en el chat, estáis al tanto de la noticia, ¿no? A mitad del
año pasado, creo, en septiembre o octubre, se comunicó que se habían
detectado ondas gravitatorias por primera vez. Pues uno de los problemas
fundamentales de esa medida es el aislamiento. Cómo aislar el sistema de
adquisición de datos de, por ejemplo, los coches que pasan por las
carreteras y generan vibraciones debido a la precisión de la amplitud de
la oscilación que se pretendía medir. Exactamente, no es molo. Pues parte
de la infraestructura para medir la oscilación asociada a la propagación
de las ondas gravitatorias es en los sistemas de detección, pues aislar...
Esas vibraciones que quieres medir de las vibraciones que te rodean. Muy
bien, pues aquí tenéis en esta transparencia un diagrama conceptual, un
diagrama conceptual de cómo vamos a enfocar los problemas. Nosotros vamos
a estudiar sistemas, en esta lección, oscilaciones libres de sistemas con
un grado de libertad. Y siempre tendremos dos formas de plantearnos la
resolución del problema. La primera es, a partir de la segunda ley de
Newton, suma de fuerzas igual a masa por aceleración, ver si la segunda
ley de Newton para ese grado de libertad verifica la ecuación diferencial
de un más. Opción dos, ver si a partir del principio de conservación de
la energía mecánica, energía mecánica del sistema constante, derivando
respecto al tiempo esa ecuación derivada respecto al tiempo de energía
mecánica constante que es cero, se obtiene una ecuación equivalente a la
ecuación de la dinámica de un más, que como sabéis es aceleración más
constante por posición igual a cero, donde esa constante que multiplica la
posición es la frecuencia angular del sistema al cuadrado. Este va a ser
el planteamiento de la resolución de cualquier problema de dinámica de
más. Si aunque los problemas con los que vamos a trabajar esta tarde, la
resolución de forma específica es con la segunda ley de Newton, sería
equivalente si queréis usar para cada problema como ejercicio para
vosotros, pues realizar el mismo problema obteniendo el Lagrangiano del
sistema y a partir de las ecuaciones de Lagrange se llega a una ecuación
diferencial y hay que comparar si esa ecuación diferencial cumple la
ecuación diferencial de un más. ¿Se entiende el planteamiento? Nuestra
idea es entonces ver si por un camino u otro somos capaces de obtener esta
ecuación. A un momento así cojo escritura. La ecuación x, dos puntos de
aceleración más omega cero, es difícil con el ratón escribir, omega
cero cuadrado por x igual a cero. Si la ecuación diferencial del
movimiento obtenida por cualquiera de estos métodos o por el método
Lagrangiano es la que acabo de escribir, diremos que el resultado es un
más. ¿Alguna pregunta? Muy bien, pues aquí tenéis nuestro patrón que
hay que encontrar y que no se nos olvide que como estamos haciendo un
problema de física, la solución de esa ecuación diferencial es x de t,
una amplitud que no depende del tiempo, por un coseno de omega t más un
desfasaje, pero esa amplitud depende de las condiciones iniciales x cero y
v cero del movimiento y el desfasaje depende de las condiciones iniciales
posición x cero y velocidad inicial v sub cero del problema en concreto
que nos den. Esa dependencia de la amplitud y el desfasaje con las
condiciones iniciales las tenéis aquí en estas ecuaciones. Vale, pues
vamos a ver las oscilaciones masa-muelle. Pues lo que tenemos es nuestro
sistema físico va a ser una masa m sujeta a un muelle que lo que va a
hacer es desplazarse a partir de la posición de equilibrio. ¿Cuál es la
fuerza que actúa sobre el sistema? La fuerza que actúa sobre el sistema
es la ley de Hooke y nuestra forma de resolver este problema será aislar
el sistema. Esta es mi partícula, la aíslo del medio, hago el diagrama de
partícula libre, las fuerzas que actúan son la normal, el peso y la
fuerza de retoración del resorte que cumple la ley de Hooke. En el eje
horizontal no hay dinámica, la ecuación es normal, menos peso igual a
cero, por lo tanto la reacción normal considerando que no hay refocamiento
con el suelo debe coincidir con el peso y toda la dinámica está en el eje
horizontal donde la ecuación diferencial del movimiento es menos k por x
igual a m por a, en la notación que estamos usando en la teoría mx dos
puntos más kx igual a cero dividiendo por m. Esta es la ecuación
diferencial del movimiento. Ya hemos obtenido la ecuación diferencial del
movimiento y ahora nos preguntamos, es la ecuación diferencial del
movimiento una ecuación que sigue el patrón aceleración más constante
por potencia igual a cero? La contestación es que si donde esa constante
multiplica al grado de libertad x de t es k partido por m. Preguntas? por
lo tanto identifiquemos la frecuencia natural del sistema con k partido por
m, luego una frecuencia natural del sistema al cuadrado igual a k partido
por m y de ahí sacaremos el periodo. Un ejemplo sencillito, pues del nivel
de los que habéis visto en el primer curso de física, imagino, para ir
entrando en situación. Esta es la ecuación diferencial que hemos
obtenido, este es el patrón con el que siempre hay que comparar, pues la
conclusión es que la frecuencia natural vale esto, por lo tanto la
frecuencia natural es la raíz cuadrada de k partido por m y el periodo es
2pi partido la inversa. ¿Cuál es la posición de la masa en todo instante
de tiempo? Una amplitud por un coseno en función de unas condiciones
iniciales que nos tienen que dar. Preguntas, como el problema era un
problema sin donde nos dan las condiciones, pues hemos acabado. Si nos
dieran la posición y la velocidad inicial, como ahora veréis, pues hay
que identificar esa amplitud y ese desfasaje inicial. ¿Alguna pregunta?
¿Alguna observación? ¿Alguna observación? ¿Alguna pregunta? ¿Alguna
observación? Seguimos. Bien, vamos a estudiar las oscilaciones del
péndulo ideal. Daros cuenta que a diferencia del ejemplo anterior del
muelle, el péndulo, que es esta bolita sujeta por un hilo, el péndulo,
esa masa m, es un sistema que en principio, para especificar dónde está
la bolita en función del tiempo, ¿cuántas coordenadas? Necesitamos, a
ver, contestadme en el chat, para especificar, en un sistema de referencia
el que tenéis aquí puesto, digamos que pongamos aquí el origen, 2, muy
bien. A García Caru 1 dice 2, correcto. En cada instante de tiempo
tendrás que decir dónde está la coordenada y y dónde está la
coordenada x, ¿de acuerdo? Ahora bien, el sistema, aunque necesite dos
coordenadas para especificar su posición en el tiempo, es un sistema con
un solo grado de libertad. ¿Por qué? Porque esas dos coordenadas x e y,
esas dos coordenadas x e y, cumplen una ligadura geométrica que es que x
al cuadrado más y cuadrado es igual a la longitud al cuadrado. Por lo
tanto, dos coordenadas y una ecuación de ligadura nos da un grado de
libertad. Ya sabéis que en general los grados de libertad de un sistema es
el número de coordenadas, las que necesitas especificarlo, menos las
ecuaciones de ligadura que hay entre ellas. Dos coordenadas, una ecuación
de ligadura, 2 menos 1, este es un sistema con un grado de libertad. Por lo
tanto, vemos que la dinámica del más con un grado de libertad no solo
afecta a la dinámica de partículas especificadas por una sola coordenada,
sino cualquier sistema cuyo diferencia de coordenadas menos grados de
libertad sea 1. El grado de libertad dice a Domínguez que sería tecta.
Sí, tomaremos tecta, pero perfectamente podría ser, X o Y, porque las
relaciones son X igual a L se nos detecta, Y igual a L se nos detecta.
Cualquiera de los tres, la coordenada de X, Y o E tecta, lo podrías tomar
como grado de libertad. ¿Alguna observación o pregunta más? Muy bien,
pues aplicando el diagrama de partícula libre a la bolita de masa M, me
queda que las fuerzas que actúan son la tensión, la tensión, y el peso.
Descomponiendo en eje X y en eje Y, nos queda que la segunda ley de Newton
resultante, donde R es la suma de todas las fuerzas que actúan sobre la
partícula igual a masa por aceleración, se convierte en el eje X en la
ecuación diferencial, masa por aceleración igual a menos T se nos
detecta, y masa por coordenada, he dicho aceleración no, por componente X
de la aceleración igual a menos T se nos detecta, y masa por componente Y,
de la aceleración igual a T coseno detecta menos Mg. ¿Estáis de acuerdo
todos en esta, todo el mundo de clave de estas dos ecuaciones? Ahora os voy
a hacer una pregunta. A la vista de las dos ecuaciones, que he subrayado
por esta flecha, ¿el péndulo obedece la dinámica de un MAC, un
movimiento armónico simple? A la vista de esas dos ecuaciones, de estas
dos, ¿o es... obedece el péndulo un MAC? Sí, ¿no? ¿Por qué? ¿Alguna
observación en el chat? La contestación es que sería que a la vista de
esas ecuaciones, en principio, el péndulo no obedecería un MAC. ¿Por
qué? Porque daros cuenta que toda la dinámica va a estar en el eje de las
X o eje tangencial. Y aquí nos queda que la masa por la aceleración en
menos T se nos detecta. Luego, si aparece la función seno del grado de
libertad, eso va a ser de la forma aceleración más grado de libertad por
constante igual a C, pero, entonces, la contestación sería que en primera
aproximación y de forma exacta, el péndulo no obedece un MAC. Ahora bien,
si linealizamos el sistema, que es considerar ángulos pequeños, donde
hacemos seno detecta igual a tecta, correcto, y coseno detecta igual a 1,
digo, correcto a domínguez, será un MAC solo en caso de ángulos
pequeños, correcto. Eso significa linealizar un problema. Un problema que
no era lineal por la dependencia en seno y coseno, en primera aproximación
lo hacemos lineal tomando el seno detecta como tecta, desarrollo de T lo
hará el primer orden en tecta, y coseno detecta su desarrollo a primer
orden es un 1. Con lo cual, las ecuaciones de la dinámica originales se
nos convierten en esta, pero esto es una aproximación en el sentido que
tenga sentido esa propia aproximación. Pues nos queda masa por componente
X de la aceleración menos T por tecta, masa por componente Y de la
aceleración, T menos MG. Introduciendo la geometría, las relaciones entre
X, Y, senos y cosenos, pues X dos puntos es aproximadamente, en la
aproximación lineal en la que estamos, la longitud del hilo por tecta dos
puntos, e Y dos puntos es igual a cero. ¿Hasta aquí se comprende? Pues
sustituyendo X dos puntos aproximadamente L tecta dos puntos en la
ecuación del eje de las X, nos da la ecuación diferencial del más. Masa
por aceleración, aproximadamente, aproximación lineal menos MG, X por L.
Y ahora hay que preguntarse, ¿esta ecuación diferencial cumple el patrón
del más, aceleración más constante por posición igual a cero? Pues si
pasamos el miembro de la derecha de la ecuación a la izquierda pasa con
signo positivo, y nos quedaría esta ecuación diferencial. Donde esta
ecuación diferencial es un más sí, porque es de la forma, aceleración
más constante por posición igual a cero, donde identificamos la
frecuencia natural del sistema con la constante G partido por L. Luego este
sistema tiene una frecuencia natural al cuadrado, la gravedad partido la
longitud del hilo, esta es su frecuencia natural en radianes por segundo, y
el periodo con la inversa con el factor 2pi. Como en cualquier problema de
dinámica de oscilaciones libres, si conociéramos la posición y la
velocidad inicial, deberíamos tener la ampliación de la velocidad
inicial, y la amplitud y el desfasaje en función de esas condiciones
iniciales. ¿Alguna pregunta, alguna observación? ¿Seguimos? Muy bien.
Pues vamos a ver otro ejemplo de la física, en concreto de oscilaciones en
sólidos elásticos. Ahora vamos a considerar que tenemos una barra de
longitud L, que debido a las propiedades de la elasticidad se puede estirar
en L más X, cuando esa barra está sometida a unas fuerzas, por ejemplo de
tracción F. En este contexto de las oscilaciones elásticas, tenemos que
recordar la definición del módulo de Young, escrito así por Y
mayúscula, fuerza que se ejerce partido superficie debido a longitud de
desplazamiento X sobre la longitud total L, con el signo menos. ¿Vale?
Esto supone que la fuerza F, que se aplica en función de la elasticidad,
en función del módulo de Young, cumple esta relación. Bien, pues para
obtener la dinámica de las oscilaciones elásticas, vamos a plantear una
forma de pensar que será la misma a partir de ahora en todos los problemas
que vamos a abordar, que es, vamos a considerar primero la situación de
equilibrio y sobre la situación de equilibrio, después de tener bien
controlada y acotada la situación de equilibrio, la situación dinámica.
Así que intentar centrarnos en la transparencia en la parte derecha, en
esta parte. Si consideramos el sistema en equilibrio, pues la fuerza que se
ejerce, que tendería a estirar el cuerpo, debe de coincidir con el peso, F
menos MG igual a cero, donde esta fuerza vale el valor que hemos visto y
donde el cuerpo se estirará una longitud a la que llamo XE. XE es la
longitud de la superficie, y la longitud que se estira el sólido
elástico, y después de estirarse esa longitud se queda quieto. Es como si
estirarais un muelle, a un muelle le ponéis una cantidad de masa M, se
deforma y se queda quieto. ¿Vale el ejemplo de la analogía? Entonces
siempre te interesa saber quién es esa posición de equilibrio. Pues la
despejas y te da esta ecuación. Esta ecuación la vamos a ver como una
ligadura sobre una ecuación que debe de cumplir aquí, en este caso, la
variable de la longitud. Es decir, X que se queda en equilibrio. Ahora,
sobre esa posición X, sobre esa longitud X, ocurrirán las oscilaciones
del sólido elástico. Cuando hacemos que el sistema oscile a partir de esa
posición de equilibrio, la dinámica será la fuerza elástica menos el
peso, ahora en vez de ser cero, es la masa por la aceleración.
Introduciendo la expresión de la fuerza elástica, la ecuación
diferencial es la aceleración más constante por posición más G igual a
cero. Entonces mirad esta ecuación y me contestáis en el chat, ¿cumple
esta ecuación diferencial para X el patrón de ser una ecuación
diferencial de un más? Otra forma de preguntarlo, ¿es esta ecuación
diferencial de la forma aceleración más constante por posición igual a
cero? ¿Sigue el patrón? No. Muy bien. ¿Veis todos que no? Y el no es
porque hay un término G que aparece que no va multiplicado por X, ¿no?
Bien. Siempre que tengáis una ecuación diferencial de la forma
aceleración más constante por posición más otra constante, esa
ecuación diferencial siempre se puede llevar a la ecuación diferencial
del más rescalando la variable X con otra variable aquí le he llamado I
donde hacéis intervenir la posición de equilibrio. Así pues, si la
posición de equilibrio era X sub E, yo puedo definir X, la variable X,
como Y menos XE y tengo entonces una nueva variable IY. Llevando X igual a
Y menos I sub E a la ecuación diferencial, obtengo una ecuación
diferencial en Y que ya cumple un más. ¿Se entiende? ¿Preguntas?
¿Cuánto vale entonces ahora la frecuencia natural del sistema? A por el
módulo de Young partido L por M que introduciendo el valor de la posición
de equilibrio también es lo mismo que G partido la posición de
equilibrio. Luego esa sería la frecuencia natural del sistema. Habrá
problemas donde la información que tenga sea la longitud del alambre, su
superficie y el módulo de Young y habrá otros problemas donde la
información que tenga sea la posición de equilibrio. ¿Preguntas?
¿Observaciones? ¿Se me está escuchando bien? ¿No están pasando los
desastres de la última tutoría? ¿Recibí sin mucho delay la
comunicación? ¿Y las transparencias se pasan bien? Bueno, vamos a ver si
mantenemos el nivel. Muy bien. Pues seguimos. Entonces ya tenemos la
ecuación diferencial de las oscilaciones elásticas. Esto es volver a
describir lo que he dicho antes. Y identificamos la frecuencia natural del
sistema con el periodo para obtener el periodo si necesitamos el periodo,
por ejemplo, en función del módulo de Young. Poco más hay que decir de
este problema. Vale. Pues un pequeño ejercicio muy sencillito con números
pero como a lo mejor lo del módulo de Young lo tenemos un poquito
olvidado, pues para recordar las dimensiones y cómo funcionaba un poquito
la definición y el papel del módulo de Young en sólidos elásticos.
Mirad que desde un punto de vista físico lo que estamos diciendo es que
las oscilaciones de un muelle y una masa M son la misma física, la misma
dinámica que las oscilaciones de una barra o un alambre elástico de un
sólido elástico. Por eso gastaremos en estas lecciones el concepto de
representante canónico de una oscilación. Un muelle de constante K y una
masa M horizontal que se desplaza en contacto con el muelle por una
superficie horizontal sin rozamiento será el representante canónico de
todas las oscilaciones libres. Eso quiere decir que otro sistema, por
aparentemente diferente que sea, se puede obtener su equivalente con el
representante canónico. ¿Y aquí qué sería obtener el equivalente? Pues
decir que mi sistema es mi sólido elástico le asocio una constante de
muelle y es equivalente a esta masa con esta constante de muelle. Bien,
pues para el problema ya hemos visto en la teoría que el grado de libertad
Y cumple que es un más por lo tanto el periodo que es la inversa de la
frecuencia natural del sistema será esto pues esta es la masa que me dan
esta es la longitud en metros esta es la sección está aquí en el
enunciado y tengo que poner el módulo de Young de que, como no me lo da el
problema leo que es cobre pues me voy a unas tablas y mire bien las tablas
que no me acuerdo en su día pues este es el módulo de Young Newton
partido metro cuadrado del cobre este es el periodo en segundos y esta es
la frecuencia inversa en hercios ¿preguntas? vale, pues seguimos momento
que Molo quiere hacer una pregunta ¿dime? es que no veo muy bien lo que
dice Mmol1 ¿frecuencia es lo mismo que número de onda? no el número de
onda lo veréis en las siguientes tutorías digamos que estamos estudiando
funciones que dependen de una sola variable que es el tiempo en esas
funciones tienes una frecuencia temporal una función de onda la más
sencilla es una función de dos variables x y del tiempo y tendrás que ver
cuál es la periodicidad en el espacio y en el tiempo y esa periodicidad en
el espacio tiene que ver con el número de onda nosotros estamos con
oscilaciones oscilaciones son funciones del tiempo el concepto de número
de onda te aparecerá en el estudio de ondas y una vez que veáis los
sistemas con más de un grado de libertad la estructura matemática del
problema que tenemos es una función del tiempo que es solución de la
ecuación diferencial del mar ¿ok? ¿alguna pregunta más? bien, pues
ahora vamos a ver una oscilación libre en el contexto de mecánica de
fluidos aquí tenemos un tubo abierto por aquí hay presión atmosférica
pero significa tubo abierto por esos lados y si un tubo en forma de U
abierto por ambos extremos en contacto con la atmósfera está lleno de un
fluido incompresible de densidad Rho recordad que un fluido incompresible
es un fluido de densidad constante el área de la sección A del tubo es
uniforme esa área es A y la longitud total de la columna de líquido es L
L mayúscula se utiliza un pistón para presionar la altura de la columna
de fluido en una longitud L0 es decir, voy a borrar un momentito aquí
limpiar página no documento, vale entonces lo que vamos a hacer es actúa
aquí un pistón y al actuar el pistón por este lado sube una pequeña
cantidad de de fluido al que el enunciado llama X0 y ahora quitas el
pistón y al quitar el pistón esto comenzará a oscilar bueno, por un lado
o por otro os lo pongo por la rama de la derecha por la izquierda lo mismo
¿se entiende esa oscilación? ¿tenéis una imagen mental de la
oscilación? vale pues la pregunta es ¿cuál es la frecuencia del
movimiento resultante? se supone que estamos en régimen ideal que no hay
rozamiento del fluido con las paredes del tubo y que estamos en un flujo
laminar que es un flujo ideal sin mezcla de capas sin turbulencia, por lo
tanto ¿cómo abordar el problema? ¿cuál sería el planteamiento? pues
hay que buscarse la vida para plantear una ecuación diferencial sobre la
cantidad de masa que está oscilando y ver si esa cantidad de masa que
está oscilando cumple la dinámica aceleración más constante por
posición igual a cero pues aquí hasta ahora hemos razonado, si os
acordáis del primer diagrama conceptual por la izquierda era aplicando
suma de fuerzas igual a masa por aceleración aquí vamos a razonar con la
parte del diagrama conceptual de la derecha aplicando que la energía
mecánica es constante y nos recordamos que la velocidad de la coordenada x
es la derivada de x respecto del tiempo entonces vamos a imaginarnos un
instante de tiempo, congelamos una película, hacemos una foto donde el
sistema está oscilando y en un instante de la foto hacemos la foto cuando
una cierta cantidad de masa incremento de m se ha desplazado una coordenada
x hacia arriba ¿cuánta cantidad de masa incremento de m tengo? pues la
cantidad de masa que ha subido en la columna x es la densidad por el área
por x como la densidad es constante, densidad es masa partido volumen, masa
es volumen he dicho densidad es igual a masa partido densidad es igual a
masa partido volumen por lo tanto la masa es densidad por volumen el
volumen lo hemos escrito como sección por una longitud constante vale bien
entonces, ¿cuánto vale la energía potencial de esa cantidad incremento
de masa que está a una altura x? pues tomando esta línea de puntos como
energía potencial igual a cero con ese sistema de referencia para medir la
energía potencial pues será la energía potencial es masa por gravedad
por altura nos queda esta expresión ahora como no hay rozamiento y el
sistema es ideal la energía mecánica del sistema se mantiene constante y
esa energía mecánica es igual a la energía cinética que es un medio de
la masa por la velocidad al cuadrado pero ¿de qué masa? de toda la masa
del fluido que oscila de toda la masa del fluido que oscila que es rho por
toda la masa que es a por todo l más la que está en ese instante de la
foto a una altura x sobre el nivel de energía potencial cero si la
energía mecánica es constante la derivada es cero la derivada vale esto
hacemos un poquito de álgebra entonces si nos queda que cero tiene que ser
igual a todo esto necesariamente nos queda la expresión aceleración más
2g partido la longitud total del cubo por x igual a cero y esa ecuación
diferencial del patrón aceleración más constante por posición igual a
cero donde la frecuencia natural del sistema es w cero al cuadrado para
este sistema físico es 2g partido por l ¿alguna pregunta o observación?
¿alguna pregunta o observación? ¿si? ¿alguna pregunta? en mi modo
quiero hacer una pregunta te escucho he entendido que alguien quería hacer
una pregunta o no, decirme algo en el chat si alguien quiere hacer alguna
pregunta que lo diga ahora antes de pasar transparencia ah vale vale me he
confundido con la pregunta anterior de acuerdo y me molo muy bien pues
seguimos ahora vamos a ver oscilaciones libres en un péndulo físico y ya
puestas en cualquier péndulo físico independientemente de la forma del
péndulo vamos a considerar que tenemos un sólido tan irregular como
queramos pensar que esto es que estoy poniendo al lado de la flecha en
roja, imaginaros un sólido patata donde tenemos un cierto punto del
sólido por el que pasa un eje de giro el punto que pasa por el sólido el
punto que es del sólido y ese eje de giro en un instante dado le llamamos
P y en algún lado del sólido tenemos el centro de masas del sólido pues
un péndulo físico es cualquier sólido capaz de poder oscilar alrededor
de un eje entonces quien controla la dinámica de esa oscilación para el
sólido rígido lo controla el momento si nos calculamos el momento del
peso respecto al punto P ya se que es una notación un poco desgraciada
usar la misma letra para el peso que para el punto pero cuando lo escribís
por primera vez no caéis en la cuenta entonces distinguir el P vector que
es el peso P vector del P punto que es el punto del sólido por el que pasa
el eje de rotación pues bien si nos calculamos el momento del peso
respecto al punto P el momento de un vector respecto a un punto es el
vector que va de donde quiero calcular momentos al punto de aplicación del
vector que en este caso es el centro de masas multiplicado vectorialmente
por el vector que es el peso si hacemos esta operación nos queda menos
seno detecta bmg por k claro de lo que estoy hablando es péndulo físico
rotaciones de un péndulo siempre que ese sólido rígido realice un
movimiento plano en el movimiento plano recordar que todo el tensor de
inercia se convierte en un número el momento de inercia y toda la
rotación depende entonces de esta distancia b que es b la distancia del
centro de masas al punto de aplicación perdón la distancia del centro de
masas por el que pasa el eje bien pues la segunda ley de Newton para la
rotación es suma de momentos suma de momentos igual a I por alfa donde I
es el momento de inercia respecto de un eje paralelo al eje z que pasa por
el punto P del sólido y donde alfa es el módulo de la aceleración
angular que es la segunda derivada del ángulo pues escribiendo alfa como
tecta a dos puntos esta es la ecuación diferencial del movimiento como en
el caso del péndulo simple siempre que linealicéis esto obedecerá un
más en el caso de oscilaciones donde el seno de tecta se puede aproximar a
tecta en el caso lineal una pausa me pregunta a Garciano entonces esto no
se puede hacer con ejes principales del momento de inercia la rotación del
sólido tienes que diferenciar el movimiento plano donde toda la matriz de
inercia o tensor de inercia colapsa en un número, en un escalar el momento
de inercia porque en esa situación tan particular el momento angular y la
velocidad angular son paralelos cuando tienes tensor de inercia momentos de
inercia principales aunque estés en un sistema de máxima simetría y
tengas todos los productos de inercia cero el momento angular no es
paralelo a la velocidad angular y el planteamiento sería de otra manera
¿de acuerdo? muy bien pues entonces esta es la ecuación diferencial que
nos ha quedado y vemos que en la aproximación con las dos restricciones
importantes que tenemos movimiento plano y movimiento plano y la otra es la
linealización seno de tecta lo aproximamos a tecta y el sistema obedece un
más donde la frecuencia natural del sistema es la masa del sólido que
oscila por la gravedad multiplicado por la distancia del punto al eje de la
distancia entre el centro de masa y el punto por el que pasa el eje de
rotación y divido por el momento de inercia respecto de un eje paralelo al
z y que pase por el punto P del sólido en cada péndulo físico debemos de
calcular esas cantidades entonces tenéis ahora como lo tenéis resuelto me
lo voy a resaltar un poquito este problema estudiar la resolución porque
ahora lo que tenéis calculado para cada uno de estos tres sólidos la
regla, el anillo y el disco es la cantidad anterior y el resultado lo
podéis ver aquí resumido si tenemos un péndulo ideal si tenemos una
regla si tenemos un anillo o si tenemos un disco lo que hacemos es aplicar
esta expresión a estas cuatro a estos cuatro tipos de sólidos y obtenemos
el periodo de cada uno de ellos ejercicio interesante para que hagáis y
ahora veréis que volveremos otra vez a las oscilaciones de un sólido en
un caso un poquito más complicado donde tenemos un sólido compuesto eso
lo veremos con un poco de detalle yo creo que podéis hacer mano y intentar
viendo la resolución trabajaros estos cuatro casos y ya puesto nos
aprendemos la comparación entre los cuatro ¿seguimos? vale, pues el
siguiente problema el 2-4 vamos a obtener la ecuación de movimiento nos
pide obtener la ecuación de movimiento para la masa M ¿cuánto vale la
ecuación diferencial del movimiento para esta masa? y a la vista de esa
ecuación diferencial ¿lo oscila el sistema? b en su caso obtener la
frecuencia y el periodo de la oscilación c determinar la posición de la
masa M en todo instante de tiempo pues vamos allá pues voy a aplicar la
metodología que os decía antes primero voy a hacer cualquier problema de
dinámica voy a hacer primero el problema de estática suma de fuerzas
igual a 0 encontraré o bien alguna condición para la posición de
equilibrio en este caso de la masa M o ligaduras sobre la condición de
equilibrio esas ligaduras que llamaré ligaduras estáticas me las guardo
una vez que las descubra y veréis que aparecen en la ecuación de la
dinámica haciendo que un término siempre sea 0 y reduciendo el problema,
en su caso de la ecuación diferencial de la dinámica a la del patrón del
más vamos a ver y viéndolo explico lo que he querido decir centrado
solamente en la parte digamos izquierda de la transparencia vamos a
estudiar el equilibrio entonces para el equilibrio lo que tengo es una masa
M quieta, pero este muelle cuando la masa M está en reposo se habrá
deformado voy a llamar delta de E delta sub E, el equilibrio a la longitud
del muelle deformado en equilibrio o sea, este muelle tiene una longitud de
deformación delta sub E metros ¿qué fuerzas actúan sobre el sistema?
actúa, diagrama de suelo libre la fuerza y el peso como estoy en
equilibrio la fuerza menos el peso es 0 ¿y qué vale el módulo de la
fuerza? ley de Hooke, k por delta E por lo tanto la ecuación de equilibrio
para la fuerza que hace el muelle sobre la masa se ha traducido en esta
ligadura estática no puede ser cualquier cosa sino que k por delta sub E
menos Mg es igual a 0 en esta ecuación si me lo pidiera el problema
podría determinar la longitud de deformación del muelle en equilibrio si
no me lo piden, pues sé que esa relación se cumple y en cualquier momento
que tenga k por delta E menos Mg puedo tomar valor 0 una vez que hemos
resuelto el problema de la estática que es encontrar la ligadura estática
que hay en todo problema de oscilaciones pues abordamos la situación
dinámica ¿qué es la situación dinámica? pues ahora a partir del
equilibrio a partir del equilibrio el sistema puede estar oscilando hacia
arriba o hacia abajo considero el instante en que la masa M se ha
desplazado una posición y de t respecto a la posición de equilibrio
anterior y en ese instante congelo el tiempo hago una foto ¿se entiende?
el problema se podría hacer perfectamente y debe dar lo mismo si congelas
el tiempo cuando la partícula está a una distancia y de t en el instante
de la foto entonces la partícula estaría aquí volvamos a hacerlo cuando
está aquí y ¿qué te dice la segunda ley de Newton? pues nada que fuerza
menos Mg sistema de referencia positivo hacia arriba negativo hacia abajo
para las fuerzas fuerza menos Mg es igual a masa por aceleración pero
¿qué vale la fuerza? por la ley de Hooke la fuerza es la constante k por
lo que estaba deformado el muelle más lo que ha estirado ahora la masa M
el muelle y hay que gastar una letra para hablar de las deformaciones de
los muelles y conviene una letra diferente en este caso y para fijar la
posición de la masa y en todos los problemas de oscilaciones tendréis que
relacionar la longitud de deformación de los muelles con las posiciones de
las partículas pues tenemos la ley de Hooke menos Mg igual a masa por
aceleración ¿alguien me puede decir porque pongo aquí el signo menos?
porque pongo aquí el signo menos suma de fuerzas igual a masa por
aceleración porque eso se traduce en este problema en menos M y dos puntos
T ¿alguna observación en el chat por favor? signo menos ¿porque el
muelle frena la masa? no no exactamente, me molo ¿porque la oscilación va
hacia abajo? porque yo estoy más de acuerdo con la contestación de
Adominguez estoy haciendo la dinámica en una foto congelada del tiempo por
lo tanto hacia abajo es negativo, hacia arriba es positivo la aceleración
que es la segunda derivada de este vector respecto al tiempo va hacia
abajo, es una aceleración en estas coordenadas, negativa ¿se entiende?
congelamos el tiempo y vemos que va para arriba o hacia abajo ¿de acuerdo?
de ahí viene el signo menos pensar que congelamos el tiempo y escribimos
la segunda ley de Newton bien, pues arreglamos un poquito la el álgebra
del tema pasando menos M menos masa por aceleración lo pasamos hacia la
izquierda y ahora os cuento lo que nos queda masa por aceleración más K
por E menos MG más K por Y igual a cero ¿pero qué es K por E menos MG?
la ligadura estática la ligadura estática se nos cuela en la ecuación de
la dinámica de forma que nos limpia la ecuación de la condición de
equilibrio y nos queda que la aceleración más una constante que es K
partido por M multiplicado por Y es igual a cero luego la oscilación
vertical sigue el patrón de un más ¿alguna pregunta o observación?
¿seguimos? vale muy bien pues este es el resultado de lo que hemos
obtenido mi sistema obedece a la ecuación diferencial de movimiento
armónico simple para el grado de libertad Y que es lo que está por arriba
o por abajo de la bola en cada instante de tiempo respecto a la posición
de equilibrio donde estaba deformado y identificado el periodo a partir de
la frecuencia natural la posición de la bola Y de T este Y de T por abajo
o por arriba ese Y de T es A coseno de omega cero T más delta si el
problema fuera un problema físico me debían dar las condiciones iniciales
para dar yo la amplitud y el desfasaje de este más particular en función
de las condiciones iniciales ¿alguna observación? ¿pregunta? seguimos
muy bien vamos a hacer ahora dos problemas que ilustran que N muelles
conectados en paralelo son equivalentes a uno solo y que N muelles
conectados en serie son también equivalentes a uno solo recordáis un poco
la parte electrostática que hayáis visto en la física si la habéis
visto en la física del primer cuatrimestre o en bachillerato recordáis
por ejemplo la disposición de condensadores en un circuito eléctrico los
condensadores se pueden colocar en paralelo o en serie o ni en paralelo ni
en serie los muelles son el equivalente mecánico de un condensador un
condensador almacena energía electrostática un muelle almacena y te
devuelve al circuito entre comillas mecánico te devuelve energía
potencial elástica entonces los muelles en un circuito entre comillas
mecánico que es una unión de muelles hilos y de masa despreciable y masas
esos muelles se pueden disponer en paralelo como lo tenéis en la figura o
en serie como está en el siguiente problema o ni en paralelo ni en serie
es decir que no son reducibles vamos a ver si tenemos muelles en paralelo
el resultado es que los muelles en paralelo se pueden sustituir por uno
solo con una constante equivalente la suma de todas las constantes que
tenéis en paralelo pues bien para hacer eso consideramos un sistema de
referencia eje x horizontal eje y vertical la masa m la hacemos oscilar en
un instante dado y consideramos cuando congelamos el tiempo cuando la masa
m se encuentra a la derecha de su posición de equilibrio entonces la
segunda de newton aquí tenéis el diagrama de partícula libre he
congelado el tiempo en ese instante que fuerzas actúan sobre el sistema la
reacción normal del suelo la reacción el rozamiento tangencial es
despreciable para las consideraciones del problema el peso y la fuerza que
hace el muelle sobre la masa en la segunda de newton como tengo dos muelles
uno y dos tendré la fuerza que hace el muelle uno más la fuerza que hace
el muelle dos igual a la masa por la aceleración como la masa está a la
derecha de la posición de equilibrio esa aceleración es positiva y la ley
de Hooke te da los módulos k1 por x k2 por x menos k1 por x menos k2 por x
las fuerzas igual a masa por aceleración despejamos la aceleración para
intentar buscar un patrón y vemos que este sistema cumple la ecuación
diferencial de un más siempre que la constante elástica sea k1 más k2 de
hecho para demostrar esto matemáticamente os lo dejo como ejercicio puede
ser un buen repaso de aquello que aprendisteis en cálculo 1 del principio
de inducción visto que se cumple para 2 se supone que se cumple para n-1 y
se demuestra a partir de n-1 que se cumple para n, ¿recordáis el
principio de inducción? pues aplicando el principio de inducción en vez
de para 2 muelles se comprueba, se demuestra que para n muelles los puede
reducir a uno solo como es la suma de todos ellos ¿alguna pregunta? vale,
pues lo mismo para muelles en serie si ahora consideramos dos muelles en
serie unidos a una masa lo que vamos a ver es que estos dos muelles en
serie son equivalentes a un muelle a uno solo de constante k sub e tal que
la inversa de esa constante 1 partido k sub e es la suma desde igual a 1
hasta n dos o más que tenga de las inversas de cada muelle si recordáis
como era la sección de condensadores se ve que los condensadores se
comportan igual en su asociación que los muelles cambiando la c de los
condensadores por la constante k de los muelles vale, para ver esto pues
vamos a considerar el instante congelado en el tiempo cuando la masa m ha
desplazado una cierta cantidad x de t a la derecha de su posición de
equilibrio si esta era la posición de equilibrio antes ahora estoy en x de
t bien pero que pasa con los muelles en el instante de tiempo de esta foto
en este instante de tiempo el muelle 1 se habrá deformado delta 1 de t y
el muelle 2 se habrá deformado delta 2 de t y ahora consideramos dos
diagramas de sólido libre, el diagrama de sólido libre de la masa y el
diagrama de sólido libre del muelle intermedio las fuerzas que actúan
sobre la masa m son la reacción normal el peso y la fuerza que hace el
muelle 2 y ahora sobre el muelle 2 que fuerzas actúan la misma ley opuesta
que sobre la masa que he llamado f de k2 en sentido opuesto tercera ley de
newton y la que le hace el muelle 1 al 2 pues ahora se trata de aplicar la
segunda ley de newton a esta masa y la segunda ley de newton a este muelle
pues tenemos segunda ley de newton a la masa m y segunda ley de newton al
muelle 2, alguien me puede decir porque la segunda ley de newton aplicada
al muelle 2 a este muelle es f de k2 menos f de k1 igual a 0 me lo
comentáis en el chat porque f de k2 menos f de k1 es igual a 0 muy bien,
porque se considera nula la masa del muelle estamos en el caso ideal donde
este muelle y este no tiene masa yo aquí pondría f de k2 menos f de k1
igual a m por a pero si m es 0 pues me queda igual a 0 es decir que las dos
fuerzas son iguales sólo bajo la hipótesis de masa despreciable a esas
dos fuerzas que son iguales les llamo f y me quedará f igual a k1 por
delta 1 f igual a k2 por delta 2 entonces despejando delta 1 como f partido
k1 y delta 2 como f partido k2 y sustituyendo aquí obtengo esta relación
que la puedo poner de esta manera por favor observad que hay una rata en
los apuntes que falta aquí un menos uno si os habéis visto los apuntes lo
he puesto aquí en negrita falta la inversa ahí hay una rata, falta un
menos uno en las notas que subí en fin que lo que hemos descubierto
entonces es que estos dos muelles para este sistema este sistema es
equivalente a un solo muelle que cumple que uno partido la constante de ese
muelle equivalente es uno partido k1 más uno partido k2 otra vez usando el
principio de inducción se demuestra que esto es cierto para n muelles en
serie pero recordad que es como los problemas de circuito hay problemas de
circuitos con condensadores que los condensadores no están ni en serie ni
en paralelo por eso se usa análisis de mayas pues en el contexto de los
muelles también pasa eso puedes tener sistemas de muelles que no están ni
en serie ni en paralelo y debes obtener mediante métodos mecánicos su
equivalente que se hace para cada problema es el que obtengas pregunta,
observaciones muy bien pues vamos al problema 2.7 que nos dice que un
bloque de masa n 0,5 kg es libre de oscinar de forma horizontal unido a un
extremo de un resorte horizontal en t igual a 0 el bloque es lanzado desde
su posición en reposo en t igual a 0 este es un problema con condiciones
iniciales en t igual a 0 tenemos x igual a 0 pero con una velocidad de 40
cm por segundo que le imprime instantáneamente un martillo con el que
golpeas el bloque a continuación después de su condición inicial
simplemente una velocidad para la derecha otra para la izquierda oscilará
me pide encontrar la frecuencia angular de oscilación apartado b perdón
apartada frecuencia angular de oscilación periodo y la constante del
muelle la velocidad en t igual a 0,25 segundos apartado c obtener la
energía cinética potencial y mecánica del bloque apartado d representar
gráficamente las energías apartado e considerar un sistema bloque muy
idéntico que se hace oscilar con condiciones iniciales diferentes ahora es
el mismo sistema pero la condición inicial es que la posición inicial es
10 cm no es 0 y lo que es 0 es la velocidad inicial en esas condiciones
obtener la posición de la masa en todo instante de tiempo en el apartado f
me pide la diferencia de fases entre las dos masas entre que dos masas
entre la masa con las primeras condiciones iniciales y la masa con las
segundas y el último apartado g cual es la diferencia de energía
mecánica entre ambas masas vamos a ver pues el sistema ya hemos visto este
problema es el primero que hemos visto este sistema oscila como un más con
esta ecuación diferencial donde en cada instante de tiempo en la
normalización coseno que nosotros en la teoría x de t en mis notas en el
frame no la usa es a coseno omega cero de t más delta donde esta es la
amplitud inicial de este pasaje por ejemplo a mano con la calculadora y yo
con matemática estableces el siguiente sistema de ecuaciones resuelveme
que la frecuencia natural es la raíz de k partido por m que la amplitud
vale esto que el periodo vale esto y que la frecuencia de hercios vale esto
siendo las incógnitas la frecuencia natural, la constante el periodo y la
frecuencia de hercios sustituye en esa resolución que la masa vale 0.5 kg
que la velocidad inicial es 40 partido 100 metros y que la amplitud es 10
partido por 100 metros muy bien pues entonces nos da dos soluciones la
primera no es física la segunda es física donde la constante es 8 y esto
es la solución de lo primero que me pide el problema en el sistema
internacional de unidades sustituyo con una calculadora valores y usar ya
ojo usar y andar con cuidado cuando tenemos las funciones iniciales que nos
fijan una amplitud y un desfasaje ¿alguna pregunta? ¿pregunta o
observación? pues seguimos vale entonces ¿cuánto valdrá x de t? x de t
las podría escribir directamente con papel pues aquí lo tenéis probado
con matemática x de m lo defino como una variable del tiempo de la
frecuencia natural de la amplitud del desfasaje dos puntos igual a coseno
de omega cero t más delta una vez que lo he definido le doy valores dame x
de m en cualquier instante de tiempo cuando la frecuencia vale esta
cantidad la amplitud vale esto y el desfasaje vale eso y me contesta que la
x en cualquier instante de tiempo vale eso ¿como calcularía la velocidad?
la velocidad la calculo derivando la posición la posición es esto
respecto al tiempo aquí tienes hecho el resultado de la velocidad en todo
instante de tiempo y me preguntaba el problema la posición y la velocidad
en pi cuartos segundos pues lo sustituyes con la calculadora o lo haces con
un programa de cálculo simbólico y lo que me queda es que en pi cuartos
segundos la posición es cero voy a pasar por el origen de coordenada y la
velocidad es dos quintos metros por segundo ahora el problema dice ¿cuál
es la energía cinética potencial y mecánica del bloque? ¿como hacer
esto? pues la energía potencial del bloque solo es energía potencial
elástica porque la energía gravitatoria no varía luego esto será un
medio de k por x al cuadrado un medio de k si por x al cuadrado y la
energía cinética será un medio de la masa por la velocidad al cuadrado
que es la derivada de la posición aquí tenéis la energía cinética
calculada como la velocidad depende del coseno la derivada del coseno
aparece el seno y al cuadrado por el cuadrado y la energía potencial
elástica es un medio de x al cuadrado aparece el coseno cuadrado ahora que
va a ocurrir que si sumas la energía cinética con la potencial seno
cuadrado más coseno cuadrado te da uno y obtienes lo que sabes de la
teoría que la energía mecánica que es la cinética más la potencial
cuando no hay rozamiento con el suelo no hay fricción ni amortiguamiento
con el aire debe de permanecer constante trabajo no conservativo igual a
cero variación de energía mecánica constante alguna pregunta o
observación pregunta o observación muy bien pues seguimos bien pues ahora
yo puedo usar el programa que estoy usando en este caso matemática para
esas ecuaciones definirlas defino la energía cinética la energía
potencial la energía mecánica el que tenga máxima máxima el sistema que
uséis pero alguna hay que usar en estos tiempos y te das todos los valores
del problema y dejas funciones matemáticas de una sola variable energía
potencial función del tiempo energía mecánica función del tiempo y
energía cinética función del tiempo y aquí tenéis en rojo la energía
cinética en verde la energía potencial y en azul la energía mecánica
que se mantiene constante aquí tenéis el código de ese gráfico en
matemática ahora me pide considerar un sistema como el anterior pero ahora
la posición inicial es 10 y la velocidad inicial es cero si resolvéis el
problema os daréis cuenta que hay que volver a calcular la posición y la
velocidad que lo que afecta y afecta mucho es el desfasaje ahora al ser la
velocidad cero el desfasaje es cero y la señal no es la misma que antes la
señal antes era menos seno y ahora es uno partido diez la amplitud por
coseno entonces ¿cuál es la diferencia de fase entre las dos masas?
siempre que en un problema os pidan la diferencia de fase tenéis que poner
las dos señales o las señales que tengáis en la misma normalización si
x2 es coseno y es la que está en teoría pues la x1 que es la que he
calculado antes que es menos un décimo de seno de 4t la pongo en función
del coseno un décimo de 4t más pi medios y observo que la diferencia de
fase es pi medios ¿se entiende? ¿pregunta? ¿alguna pregunta o
observación? bueno, pues lo siguiente que nos piden es la diferencia de
energía mecánica entre ambas masas pues para calcular la diferencia de
energía mecánica sabemos de la teoría que la energía mecánica se
mantiene constante luego en las dos tengo la misma energía mecánica ahora
uno puede preguntar ¿por qué? ¿por qué tenemos la misma energía
mecánica? pues tenemos la misma energía mecánica porque la variación
respecto del tiempo de la energía mecánica que es igual a esta cantidad
si es cero es porque lo es cero alguno de estos dos factores entonces será
cero solamente si este factor lo es y que ese factor sea cero es que el
sistema obedece a un más podemos dar cuenta que en un más la energía
mecánica se mantiene constante ¿alguna pregunta o observación? pues si
os parece como llevamos una hora vamos a hacer cinco minutos de descanso
podemos levantarnos de la mesa beber un poquito de agua, relajarnos y
seguimos en cinco minutos ¿os parece bien? aproximadamente otra hora ok
¿me habéis entendido todos? contestadme en el chat que seguir lo de los
cinco minutos por mi reloj de ordenador las 17.07 a las 17.07 más 5
comenzamos