Bien, el tema que vamos a ver hoy es el tema 5, función característica.
Función característica phi de t de una variable aleatoria xi es el valor
esperado de e elevado a i t xi. Bien, bueno, es decir, es una función de
t. Es decir, aquí e elevado a i t xi, la i es la unidad imaginaria,
entonces la expresión e elevado a i t xi es un número complejo de módulo
1. Aquí está representado, es decir, que depende del ángulo tx, en el
que e elevado a i tx es un número complejo que lo representamos como un
vector y el ángulo es el tx. Bien, bueno, en el caso de la variable t, si
la variable sea discreta, pues la función característica sería el
sumatorio de e elevado a i t x sub j multiplicado por la probabilidad de
que la variable xi sea igual a x sub j, o sea, por p sub j. Y en el caso de
que la variable sea continua, pues el valor esperado se definía como la
integral de e elevado a i tx por f de x diferencial de x, desde menos
infinita hasta más infinita. Vamos a ver algunos ejemplos. Si la función
de probabilidad es la que tenemos aquí en esta tabla, es decir, que la
variable toma los valores 0 y 1 con probabilidades respectivas 0,4 y 0,6,
entonces la función característica es simplemente e elevado a i t x 0
multiplicado por su probabilidad, que sería 0,4, más e elevado a i t x 1
multiplicado por su probabilidad, que es 0,6. Simplemente es aplicar la
definición. Simplemente es aplicar la definición de función
característica de una variable discreta. Bueno, y esto, el resultado
sería 0,4 más 0,6 por e elevado a i t. O sea, es, ya te digo, una
función de la variable t y generalmente es una función compleja, pues
porque tiene la unidad imaginaria. A veces la unidad imaginaria desaparece,
bueno, se hacen las operaciones, pero en principio es una función
compleja. Bien, un segundo ejemplo. Entonces, es continua, ¿no? Y tiene
por función de densidad 2 por e elevado a menos 2x para x mayor o igual
que 0, o 0 en el resto. Entonces, la función característica sería,
fíjate, igual, vamos a hacer la integral de la función de densidad
multiplicada por e elevado a i t x. Es decir, que sería 2, lo sacamos
fuera de la integral, por la integral desde 0 hasta infinito de e elevado a
i t x por e elevado a menos 2x diferencial de x. Bueno, vamos a resolver
esta integral. Agrupamos los exponentes de la e en una sobreexponencial,
que sería e elevado a menos, sacamos menos de este factor común, de 2
menos i x por diferencial de x. Bueno, esta integral la resolvemos por
partes. Bueno, no hace falta por partes, porque en realidad es que es
inmediata. O sea que aquí, puesto que la derivada del exponente es menos
2, menos 2 o menos i. Y t, pues eso sería 2 partido por menos 2 menos i t,
pero bueno, aquí le cambio el signo, porque luego, bueno, es que luego va
a cambiar el signo de esto. O sea que sería por e elevado a menos 2 menos
i t x. Y esto desde 0 hasta infinito, si x vale infinito, el e elevado a
menos infinito, que sería 0, menos 1. O sea que esto de aquí es menos 1.
Por lo tanto, bueno, esto sería 2 partido por 2 menos i t. Bien. Función
de variable compleja. Bien. La función característica tiene una serie de
propiedades que vamos a ir viendo, ¿no? En primer lugar, la función
característica existe siempre. Es decir, que tanto si es el sumatorio como
si es la integral, pues son convergentes. Si de 0 vale 1, es decir, si
escribimos la t, recordemos que la variable, la función característica,
es una función de variable compleja. Es una función de t, la variable t.
Entonces, si sustituimos t por 0, pues nos sale igual a 1. Y aquí lo
podemos ver, por ejemplo, o sea que aquí sería la esperanza de... O sea,
por ejemplo, aquí el sumatorio sería e elevado a 0, que es 1 multiplicado
por t sub j. Y si sumamos, en el caso de discreta, y si sumamos todas
las... Por lo tanto, me quedaría la suma de todas las probabilidades, que
es igual a 1. Y en el caso de que se continúa, e elevado a 0 es 1. ¿Por
qué? F de x, o sea que nos quedaría la integral de f de x, que es la
integral de la función de densidad, que eso es 1. Por lo tanto, la
función característica en el punto 0 vale 1. El módulo, aquí decimos
módulo, pues lo que se trata es una función compleja. El módulo de la fi
de t es siempre menor o igual que 1. Porque e elevado a tx es módulo 1. Es
un módulo complejo de módulo 1. Luego, multiplicado por la función de
densidad. El módulo de densidad, integrar, nos queda que, por ejemplo, en
el caso de continua, la integral de una función... O sea, el módulo de la
integral es menor o igual que la integral del módulo. Eso es menor o igual
que 1. Y el sumatorio es por lo mismo. También, si sustituimos t por menos
t en la función de característica, nos aparece el número complejo
conjugado de fi de t. O sea, que fi de menos t es el conjugado de fi de t.
Si la propiedad siguiente, la propiedad 5, si fi de t es una función que
es uniformemente continua en todo intervalo real de t. Es decir, que se
cumple esto de aquí. En un intervalo t, t más h, el incremento de la
función, que sería fi de t más h menos fi de t, en el valor absoluto,
tiende a 0 cuando h tiende a 0 independientemente de lo que valga t. La
sexta propiedad. Si omega igual a a más b sí, es una variable aleatoria,
entonces fi sub omega de t, que sería la esperanza de e elevado a i por t
por omega, sustituimos omega por su valor, a más b sí, y haciendo
operaciones en el exponente nos quedaría e elevado a i t a más e elevado
a i t b. Por tanto, descomponemos la exponencial en un producto e elevado a
i t a por e elevado a i t b sigma. O sea, sí, perdón. Luego, entonces,
como e elevado a i t a no contiene la variable aleatoria sí, puede salir
del operador esperanza, y entonces me queda e elevado a i t a por la
esperanza de e elevado a i t b sí. Que es e elevado a i t a por la
función característica... ...de la variable sí, pero en el punto t b.
Porque aquí el exponente está elevado a i t b sí. Por lo tanto, es una
función de t b. Estamos utilizando la testa multiplicada por b. O sea, que
sería la función característica en el punto t b. Bueno, luego veremos
algunos ejercicios y esto aparece, ¿no? Hay ejercicios donde aparecerá,
habrá que utilizar esta expresión. Bien, otra propiedad. Si tenemos
una... O sea, n variables aleatorias independientes y su suma, ¿no? Eta es
su suma. Entonces, la función característica de la suma es el producto de
las funciones características. Bueno, esto simplemente es sustituir. Y
puesto que me saldría una suma en los exponentes, pues me sale el producto
del exponencial. Bien, la propiedad 8. Si derivamos sucesivamente fi de t y
hacemos t igual a cero, entonces se obtiene... Vamos a verlo, ¿no? Primero
la derivada de la parcial de fi de t respecto de t. Bueno, tenemos la
esperanza, la función característica es la esperanza de e elevado a i t x
i. Si derivamos e elevado a i t x i respecto de t, pues nos quedaría...
Sacamos la i fuera y nos queda la esperanza de x i. O sea, que al derivar
me queda la e elevado a i t x i. La derivada sería la misma función e
elevado a i t x i por la derivada. La derivada del exponente respecto de t,
que sería i sin. Claro, la i la puedo sacar fuera, ¿eh? O sea, que es lo
que tengo aquí. La i la puedo sacar fuera en una constante, o sea, la
constante imaginaria, pero la si no la puedo sacar fuera. Claro,
evidentemente tiene que ver dentro del paréntesis de la esperanza, ¿no?
Esta sería pues la derivada. Entonces, si ahora sustituimos la t por el
cero, nos quedaría que la derivada de la función característica en el
punto cero... ...sería... Sería i por la esperanza de x i, ¿eh? Porque e
elevado a cero es uno, claro. Entonces me queda i por la esperanza de x i.
La esperanza de x i es el momento del primer orden respecto del origen. O
sea, que sería i por alfa sub 1. La segunda derivada... Bueno, pues lo
mismo. O sea, que aquí dentro de... O sea, ya tengo la... Partiendo de la
primera derivada... Pues la derivada de x i por e elevado a i t x i vuelve
a ser x i... Bueno, o sea, sería x i cuadrado, ¿eh? Porque bajo la
derivada de i t x i es i. Si vuelvo a sacar una i fuera, o sea, me
quedaría i cuadrado y dentro me quedaría... O sea, me quedaría la
esperanza de x i cuadrado por e elevado a i t x i. Ahora sustituimos la t
por el cero y nos queda que esto sería igual a i cuadrado por la esperanza
de x i cuadrado, ¿eh? Porque el elevado a cero pues siempre es un cero. Es
decir, que sería i cuadrado por alfa sub 2. Bueno, y así sucesivamente.
Es decir, que lo que observamos es que, si lo hacemos ya para la derivada
enésima... La derivada enésima de la función característica en el punto
cero es i elevado a n por el valor esperado de x i elevado a n... Que es el
momento de orden n respecto del origen. Bueno, esta fórmula es muy
importante porque además nos permite... Bueno, precisamente porque nos
permite calcular los momentos de una variable aleatoria conociendo su
función característica. Que muchas veces es más fácil de calcular a
través de la función característica... Bueno, que a través de la
función de densidad. Y a través de la función de probabilidad. Cuando
quitemos pues la fórmula, ¿no? Bien, hay una propiedad, otra propiedad,
la nueve, que es el teorema de inversión. Que dice que si sí es una
variable aleatoria continua... Entonces se demuestra que f de x es igual a
uno partido por dos pi por la integral desde menos infinito hasta más
infinito de e elevado a menos itx por fi de t. Es decir, que si tenemos una
función característica podemos encontrar... La función de densidad. Y
viceversa. Por la función de densidad, claro, podríamos encontrar la
función característica. Eso está relacionado con la propiedad siguiente
que es el teorema de unicidad. Que a toda función característica le
corresponde una y solo una función de distribución y viceversa. Bueno,
precisamente por eso se llama función característica. Porque viene a
caracterizar a la variable aleatoria. Cada variable aleatoria tiene su
función característica específica. Bien, y otra última propiedad que es
la once, el teorema de continuidad, de Lévi-Kramer. Que dice que una
sucesión de funciones de distribución, f sub n de x, de x converge a una
función de distribución f de x. Si y solo si la sucesión de funciones
características asociadas converge a la función característica que será
la de f de x. Bien, vamos a aislarla. Muestra un poco la relación. La
relación entre la función característica y las funciones de
distribución. Bien, un concepto relacionado y se parece bastante a la
función característica es la función generatriz de momentos. ¿Qué? La
función generatriz de momentos es simplemente el valor esperado de e
elevado a t sin la unidad imaginaria. Podría parecer que todo sería más
sencillo con esta función generatriz de momentos. Esta esperanza. No
aparece la unidad imaginaria, que ya serían todos números reales. Sin
embargo, no es el caso. Bueno, la función generatriz de momentos, si sí
es discreta, pues sería el sumatorio de e elevado a t por x sub j por la
probabilidad de que la xi sea x sub j o sea por t sub j. Y si sí es
continua, pues es la integral de menos infinito a más infinito de e
elevado a tx por f de x diferencial de x. Es decir, es parecido a la
función característica pero sin la y en el espacio. Bueno. Claro, pero ya
tiene una primera pega y es que además la principal diferencia con phi de
t es que, bueno, aquí, perdona, aquí pone phi de t, pone phi de t, pero
bueno, debe poner g de t. G de t es como se expresa la función generatriz.
Entonces, la principal diferencia como de phi de t y de g de t es que la
función generatriz de momentos no existe siempre. Es decir, que podemos
encontrarnos con que eso no siempre exista. Bien, además también se
cumple una fórmula. La fórmula parecida a la de la función generatriz es
que los momentos también son las derivadas parciales de, o sea, las
derivadas g de t y para t igual a c. Igual que pasaba con la función
característica, aquí ya no hay que dividir por i elevado a ningún
exponente. Bien, también podemos generalizar lo de la función
característica a una variable aleatoria bidimensional. Se define phi de t
sub j. Si no, t sub 2 como el valor esperado de e elevado a i por t sub 1,
si sub 1, más i t sub 2, si sub 2. Esto es generalizar lo de una variable.
En el caso de que sea discreta, pues a ver el sumatorio, doble sumatorio.
Tenemos dos variables, ¿no? Y en el caso de que sea continua, pues no hay
que dar doble. Ya digo, esto es la generalización de la variable, o sea,
de la función característica para una variable. Las propiedades. Pues son
también parecidas a las de la función característica de una variable.
Phi de t sub 1, t sub 2 existe siempre. Phi de 0, 0 es igual a 1. No hay
más que sustituir. Los exponentes cero, el resultado es 1. Y el módulo de
phi de t sub 1, t sub 2 es siempre menos o igual que 1. Lo mismo que pasaba
con la misma variable. Y también, análogo al caso unidimensional, se
cumple que la derivada n, de phi de t sub 1, t sub 2, respecto de t sub 1
de orden m menos r y de t sub 2 de orden r, pues es i elevado a n por la
esperanza de psi sub 1 elevado a n menos r por psi sub 2 elevado a r por e
elevado a i por r por psi sub 1 por más i, o sea, perdona, por t sub 1 por
psi sub 2. Pues psi sub 1 más i por t sub 2 por psi sub 2. Bueno, pues ya
te digo, simplemente, que aquí si hacemos t sub 1 y t sub 2 igual a 0,
pues entonces se obtienen los momentos respecto del origen de la variable
bidimensional. Esto ya te digo, es análogo a lo de una variable. O sea,
aquí tengo esta fórmula, que es la interesante, o sea, que la derivada
enésima de phi de t sub 1, t sub 2, respecto de t sub 1 n menos r y t sub
2 r, en el punto cero, 0, 0, pues es i elevado a n por el momento de orden
n menos r, r. Variables bidimensionales. Bueno, y también hay un teorema
de unicidad que a toda función característica le corresponde una y solo
una función de distribución. Y también de la definición se deduce que
la función, si sustituimos, o sea, si en una función característica
bidimensional ponemos t sub 1 igual a t sub 2, donde nos queda, es decir,
la phi de t, t, pues esto sería lo mismo que si sumásemos las variables
aleatorias, phi, si sub 1 más si sub 2 de t. O sea, que al sumar dos
variables aleatorias se convierte en una variable unidimensional. Y en
particular, si son independientes, pues phi de las, o sea, sub, si sub 1 y
si sub 2 de t, sería el producto de las dos funciones unidimensionales.
Bueno. Entonces, esto en realidad no es muy complicado porque no hay más
que verlo en la definición y sustituir. Y, bueno, en el caso de las
funciones características bidimensionales tenemos las funciones
características marginales que serían phi sub 1 de t sub 1 es phi de t
sub 1, 0 y phi sub 2 de t sub 2 que es phi de 0, t sub 2. Y luego, si son
independientes, pues claro, phi de t sub 1, t sub 2 que sería el producto,
¿eh? phi sub 1, t sub 1 por phi sub 2 por t sub 2. Vamos a ver unos
cuantos ejercicios extraídos de los dos exámenes. Bueno, si las variables
aleatorias si sub 1 y si sub 2 tienen la misma función característica,
entonces, phi de t igual a 1 menos 3 y t elevado a menos 1 esa sería la
misma función característica, ¿eh? para las dos variables aleatorias si
sub 1 y si sub 2. Entonces, la de eta igual a 3 si sub 1 más 3 si sub 2
será, bueno, aquí hay varios resultados, ¿no? Lo que ocurre es que,
claro, aquí en este ejercicio, ya te digo, son de exámenes, no se dice
nada de que las variables aleatorias si sub 1 y si sub 2 sean
independientes. Por lo tanto, muy probablemente no se pueda llegar a una
expresión como las que ponen aquí como resultado. Es decir, que aquí la
respuesta sería de ninguna de las anteriores, ¿no? Nosotros, si fuese
independiente es cuando podríamos separar, es que si no, no podemos
separarlas. Confiar, ¿eh? Si las variables, eso no podemos separar el
valor esperado. El valor esperado del producto es el producto de los
valores esperados si las variables son independientes. Pero en caso de que
no lo sean no podemos, tanto no se podría llegar, ¿no? Bueno, si fuese
independiente sería la A. Bueno, eso lo podemos, eso sí lo podemos hacer
suponiendo que fuese independiente pero también para ver cómo funciona
esto, ¿no? Es decir, nosotros tenemos que, añadir el valor esperado
también. Debemos ver el valor el valor esperado de el valor ahí P por el
grado. Bueno, eso lo tenemos que calcular. Que sería igual a esperanza de
elevado a I P por 3 si subo uno 3 si subo uno más 3 si subo uno. Bueno,
esto es lo que tenemos que calcular. Ahora bien, esto sería igual al valor
esperado elevado a 3. Bueno, voy a ponerlo en 3. Voy a poner a I T3 si subo
uno por elevado a I tres o sea, bueno elevado a 3. Y T3 Y bueno, hasta
aquí llegamos. Hasta que llegamos porque ahora ya precisamente lo que
decía que no se puede separar este el valor esperado de este producto
porque si subo uno y si subo dos no significa que sea independiente. En el
caso de que lo puse esto sería igual al valor esperado de E elevado a I T
por tres por si subo uno multiplicado por el valor esperado de E elevado a
I T tres si subo dos. Y esto son dos funciones características como la
función o sea, son esto de aquí es fi sub si subo uno de 3T ¿eh? 3T y la
otra es fi sub si subo dos también de 3T. Como resulta que las ambas y
subo dos tienen la misma función característica ¿eh? Que es uno menos
tres I elevado a menos uno esa es la fi de T por tanto la fi de 3T se
sustituyendo allí la T por 3T nos quedaría eh uno menos tres eh uno menos
menos eh como acabamos de subir la T por 3T quedaría uno menos nueve I uno
menos nueve I elevado a menos uno y la otra lo mismo eh por tanto elevado a
menos dos eh lo mismo claro que ese es un resultado ese es el resultado de
la apartado A pero claro eso no está bien o sea la solución del ejercicio
no es el apartado A que las soluciones no son ninguna de las anteriores
porque las variables de la teoría no son interferentes o sea que ojo con
eso que ya te digo en los exámenes a veces muchas veces mmm a ver perdona
es que vamos aquí me dices que el resultado anterior a ese último sería
tres I T mmm no sé a qué te refieres no sé a qué te refieres eh bueno
es que estoy a ver lo anterior a ver claro aquí bueno pero no sé si te
refieres a esto vamos a estas expresiones de aquí eh a ver bien ah bueno
si fi de tres T claro fi de tres T mmm sí elevado a 2IT, definida para
todos los valores de la recta real, se verifica que o es una función de
densidad o no es función característica o es función de distribución o
ninguna de las anteriores. Bueno, desde luego que esta función HDT igual a
un medio elevado a 2IT no puede ser función de densidad porque es una
función compleja. La función de densidad es una función real. No puede
ser función de distribución por la misma razón. Es decir, es una
función compleja. Desde luego tiene el aspecto de una función
característica. Ahora, aquí dice, ¿no es función característica?
Bueno, vamos a ver. La función característica tenía una serie de
propiedades. Por ejemplo, en este caso H, HD0 era 1. La función
característica al fin de 0 es 1. Y aquí si sustituimos la T por 0 nos
queda igual a un medio. Por lo tanto, no es función característica. Es
decir, que eso es cierto. Es decir, que no es función característica. Por
lo tanto, la respuesta correcta es la B. No es función característica. Lo
parece, pero no lo es. Y no lo es precisamente por eso es porque incumple
la segunda propiedad. HD0 tiene que ser 1. Bueno, esta es la pregunta. En
realidad no son muy las preguntas sobre este tema del examen. Igual, no son
complicadas. Siempre por ahí hay que llevar mucho cuidado. Por ejemplo,
esto lo he dicho antes de la independencia. Bueno, la función generatriz
de momentos. O sea, que ojo con esta, que ya no es la función
característica. Es la que hemos comentado antes. Bueno, pues aquí dice
que existe siempre. Si existe la función característica. No está
garantizada su existencia. O ninguna de las anteriores. Bueno, porque ya lo
hemos comentado antes. Obviamente la respuesta es la C. No está
garantizada su existencia. Así como la función característica sí que
existe siempre. La función generatriz no siempre existe. Bueno, esta
pregunta pues también era así. Dada, sí, variadora aleatoria con
función de densidad elevado a... Aquí debe poner menos X. Sí, aquí pone
menos X. Aunque para la gente no se ve. Pero bueno, es menos X. Elevado a
menos X. Si X. Es mayor o igual que 0. Y nula en el resto. Entonces su
función característica. Bueno, pues es. Vamos a ver aquí. Tres o cuatro
respuestas. Entonces las calculamos. Es decir, que sería integral desde 0
hasta infinito. Porque la variable está definida para X mayor o igual que
0. Entonces sería la integral desde 0 hasta infinito. De e elevado a ITX.
Por e elevado a menos X. Por diferencial de X. Entonces, bueno, aquí. Eso
agrupamos una sola exponencial, que sería e elevado a menos 1 menos iX por
X, que lo sacamos. O sea, por menos IT, perdón, por X, que lo sacamos
factor común por diferencial de X. Y esta integral es inmediata. Es menos
1 partido por 1 menos IT por e elevado a la misma exponencial desde 0 hasta
infinito. Para infinito saldría e elevado a menos infinito que es 0 y para
0 me sale 1. Luego esto sería, esto que hay aquí es menos 1. Con lo cual,
pues, aquí nos quedaría, bueno, está puesto aquí, multiplico por menos
1 y nos queda 1 partido por 1 menos IT. Que es una de las, a ver, es que
aquí el 1, es decir, bueno, es un menos 1. Lo que pasa es que no se ve, el
signo menor ahí no se ve, pero bueno, ahí debe aparecer un menos. O sea,
que la respuesta es esa, la respuesta C. Bien. Otro ejercicio. O sea, la
variable aleatoria con función característica 1 partido por 1 más T
cuadrado. Bueno, aquí, por ejemplo, aquí, por ejemplo, la función
característica no es compleja, ¿eh? No tiene Y. Bueno, eso puede ocurrir.
De hecho, bueno, aquí seguramente sacar la función característica de
ahí se iba al cuadrado o al tercero y se convierte en un número real.
Claro, no siempre tiene por qué tenerlo. Y eta. Igual a sí partido por 2
menos 1. Bueno, entonces, la esperanza de eta, o sea, y aquí ya no nos
piden la función característica de eta, pero bueno, pero lo vamos a tener
que calcular, claro. O sea, lo que nos piden es la esperanza de eta, ¿eh?
Nos dan tres respuestas o ninguna de las anteriores. Claro, ¿cómo calculo
yo la esperanza, el valor esperado de una variable aleatoria? Es un momento
de primer orden. Precisamente la C. Vamos, y aquí no sabemos, porque eta
solo sé qué es sí partido por 2 menos 1. Pero yo de la variable sí no
sé cuál es su función de densidad o de distribución, ¿no? Pero vamos,
conozco su función característica. Entonces, con eso nos vamos a
arreglar, vamos a poder calcular la esperanza de eta. Bueno, aquí está
hecha, ¿no? O sea, que la esperanza de, o sea, fi sub eta de t, la
función característica de eta, sería el valor esperado de elevado a it
eta. Ahora, simplemente sustituyo la eta por sí lo que vale, x y partido
por 2 menos 1. Y sacamos fuera. Lo que no lleve, lo que no lleve x, ¿eh?
Lo que no lleve variable aleatoria, vamos. O sea, que sería e elevado a
menos it. Y dentro me queda la esperanza de e elevado a it partido por 2
sí. Que claro, eso es precisamente, es precisamente la, o sea, e elevado a
it partido por 2 o sí, la esperanza de eso, es la función característica
de la variable sí en el punto t partido por 2. O sea, que es fi sub sí. E
t partido por 2 multiplicado por e elevado a menos it que iría adelante.
Entonces, ahora ya simplemente lo que hago es que sustituyo, en lo que era
la función característica de x y, el 1 partido por 1 más t cuadrado,
sustituyo la t por t partido por 2. Y bueno, nos queda esta expresión,
¿eh? O sea, que sería entonces e elevado a menos it por 1 partido por 1
más t partido por 2 al cuadrado. Y haciendo, bueno, simplificando un poco,
pues nos queda 4 por e elevado a menos it partido por 4 más t cuadrado.
Esa sería. Esa sería la función característica de eta. Con ella, es con
lo que podemos calcular el valor esperado de eta, que es lo que queremos,
¿no? Entonces, derivando respecto de t, pues nos queda, bueno, aquí la
fracción está, ¿eh? Derivada, pues derivada del numerador, que es 4 por
la derivada de e elevado a menos it, que es la misma función por la
derivada del exponente. Estamos derivando respecto de t. O sea, que sería
menos i. Por lo tanto, aquí me aparece menos 4i. i por e elevado a menos
it por el denominador sin derivar, que es 4 más t cuadrado. Menos el
numerador por la derivada del denominador. La derivada del denominador es
2t. Por lo tanto, pues al multiplicarlo por el numerador, pues sería 8t
por e elevado a it. A menos it. Y todo partió por el cuadrado del
denominador, 4 más t cuadrado al cuadrado. Luego, la esperanza de eta. Eso
simplemente, pero en la fórmula era 1 partido por i por la derivada que
acabamos de hacer, pero en el punto. Entonces, en el punto 0, sustituimos y
el numerador, o sea, el menos 8t, este va a ser 0, entonces se va, claro, y
entonces aquí el t también se hace 0, luego aquí me quedaría menos 16i,
porque el valor de 0 es 1. O sea, menos 16i en el numerador. Y en el
denominador me queda 16. Y como va multiplicado por 1 partido por i, pues
sería también 16i. Con lo cual me queda menos 1. Esto se simplifica. Y me
queda menos 1, que es precisamente el apartado c. Es una de las respuestas.
Bueno, esta pregunta, bueno, pues hay que hacerla. Hay que hacerla más...
Otras son más sencillas de responder a algunas de las opciones del test.
Pero bueno, esta por ahí hay que hacerse. Bien, otra pregunta. Dada la
variable aleatoria xi y su función característica, aquí la tenemos, 1
menos 2it elevado a menos n partido por 2. Si se tiene que xi es un medio
de eta menos 2, entonces la función característica de eta, bueno, esto es
parecido también a lo anterior, pues es, aquí tenemos varias respuestas,
o sea que ahora lo que tengo que hacer es eso, en función de xi calcular
la función característica de eta, puesto que la de xi es la que
conocemos. Bueno, pues despejamos eta de aquí, que sería 2xi más 4, con
lo cual la función característica de eta, pues le despejamos. Lanzo de e
elevado a it por eta, sustituyo ahora lo que vale eta en función de xi, o
sea que sería e elevado a it por 2xi más 4, separo lo que... O sea,
separo. E elevado a 4it, que esto no lleva xi, por e elevado a 2it xi. El e
elevado a 4it lo saco fuera, esto es lo mismo que antes, por la esperanza
de e elevado a 2it xi. Y claro, esta esperanza de e elevado a 2it xi es phi
sub xi de 2t. O sea, es una función característica, pero en el punto 2t.
Y ya está. Tengo la función característica de xi en el punto x, ¿no?
Bueno, aquí pone phi sub x, pero en realidad debe poner aquí en el
enunciado, phi sub xi de x, pero es phi sub xi de t. Bueno, pues aquí
entonces sería e elevado a 4it por sustituir en la función
característica la t por 2t. Entonces sería 1 menos 4it elevado a menos n
partido por 2 y eso pues también es una de las respuestas que ya tenemos,
es la c, e elevado a 4it por 1 menos 4it elevado a menos n partido por 2.
Otro ejercicio, dada una variable aleatoria cuya función característica
es 1 partido por 1 más t cuadrado, ésta ya ha salido antes también, pues
su varianza es... Bueno, hay varias respuestas. Entonces claro, la varianza
es un momento respecto del origen, pero se puede hacer como combinación de
momentos. O sea, el momento respecto de la media, pero se puede hacer como
combinación de momentos respecto del origen. Entonces calculamos las dos
primeras derivadas. Bueno, aquí están hechas. Es derivar 1 partido por 1
más t cuadrado. Al final es una expresión real. Bueno, la primera
derivada pues es menos la derivada del denominador, menos 2t partido por su
cuadrado. Y la segunda derivada se deriva como una fracción
tranquilamente. Y bueno, se simplifica y queda esto. Entonces simplemente
lo que hay que hacer es sustituir la t por el cero y la esperanza de xi
sería 1 partido por i por ti prima del cero, que eso sale cero, porque
claro, ti prima es el menos 2t, partido por 1 más t cuadrado elevado al
cuadrado. Si haces que t valga cero, es cero. La derivada primera de cero
es cero, por tanto el valor esperado de xi es cero. Y el valor esperado de
xi cuadrado, si hacemos t igual a cero, nos queda... A ver aquí... Nos
queda... A ver... Si hacemos t igual a cero me queda menos 2. Me queda
menos 2. Sí, exacto, exacto, me queda menos 2. Por lo tanto, como va 1
partido por i cuadrado, y el i cuadrado es menos 1, pues el resultado
sería 2. Luego entonces la varianza que es la esperanza de xi cuadrado
menos la esperanza de xi elevado al cuadrado. La esperanza de xi es cero,
por lo tanto el resultado sería la esperanza de xi cuadrado que es 2.
Bueno, eso también aparece aquí en las respuestas del apartado 1.
Bueno... Otro ejercicio... Dada una variable aleatoria xi cuya función
característica es phi de t, bueno, se verifica, esta es más teórica, que
existe la esperanza de la variable aleatoria. Que existe la varianza. Que
existe su función generatriz de momentos. O ninguna de las anteriores.
Desde luego, la respuesta es d. La función característica ésta existe
siempre. Pero eso no garantiza la existencia de la esperanza. Ya sabemos
que el valor esperado no siempre existe. Los momentos no siempre existen.
El valor esperado no siempre existe. La variable general... La varianza
tampoco existe siempre. Aquí no sabemos quién es xi. Por lo tanto, no
podemos asegurar que con la existencia de la función característica
exista ninguno de los momentos. Y lo mismo con la función generatriz de
momentos. La función característica ya sabemos que ésta va a existir,
pero la función generatriz de momentos no. La función generatriz de
momentos no siempre existe tampoco. Por lo tanto, aquí la respuesta es d.
Ninguna de las anteriores. Esta era una cuestión más teórica. Bien. Este
es el último ejercicio. Dadas las variables aleatorias xi y eta, cuyas
funciones características son... Aquí las tenemos. 1-2it elevado a menos
0,5. Lo veía bien. Y fi sub t de t es 1-2it, también elevado a menos...
Este de aquí está elevado a menos 1,5. Entonces la función
característica de la variable suma... Bueno, por aquí estamos como en el
ejercicio anterior. Es decir, aquí nos dan varias respuestas, pero no vale
la pena. Bueno, no vale la pena intentarlo como ejercicio, pero desde luego
el resumen que presenta, las tres posibilidades, si fuesen
independientes... Es que si no, no podemos reducirlo a una sola variable
característica. Por lo tanto, la respuesta es d. Ahora, si fuesen
independientes, la respuesta es la falta de b. Bueno, eso lo podemos hacer
como ejercicio. Hemos hecho uno antes, uno similar a este. Bien. Bueno,
pues este es el tema. Este es el tema más corto. El tema 5. Y aquí lo
vamos a dejar. Si quieres preguntar algo antes de terminar... No es un tema
muy complicado. Siempre preguntan, ¿eh? Siempre preguntan sobre... Ya lo
ves que en todos los exámenes, por donde estamos en todos prácticamente,
siempre aparece alguna pregunta sobre la función característica. Así que
no sé qué es. Bien. Se va a seguir bien. Bueno, pues venga. Aquí lo
dejamos. Hasta luego.